Статистические модели обработки результатов форсированных испытаний при сложной структуре данных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Ермолаева, Мария Андреевна

• Ермолаева, Мария Андреевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Ермолаева, Мария Андреевна

Оглавление

Стр.

Введение

Глава 1. Модели теории форсированных испытаний

1.1. Модель Кокса

1.2. Оценка параметров модели Кокса и проверка ее адекватности

1.3. Модели форсированных испытаний в переменном режиме

Глава 2. Статистический анализ модели Кокса в форсированных испытаниях

2.1. Постановка задачи

2.2. Точные распределения статистики Тк2 при справедливости проверяемой гипотезы

2.3. Асимптотическое распределение Тк2 при справедливости проверяемой гипотезы

2.4. Оценивание параметров степенной модели

2.5. Оценки параметров ¡3 регрессии к = от факторов нагружения

Глава 3. Статистический анализ результатов испытаний с переменной нагрузкой

3.1. Постановка задачи

3.2. Точные распределения Ттп

3.3. Асимптотическое распределение Ттп

3.3.1. Интегральные представления для моментов функций Рв (?) и

3.3.2. Асимптотические разложения для моментов функций Рв (/) и

3.3.3. Асимптотическое распределение статистики Ттп

3.4. Анализ точности оценки коэффициента ускорения методом Монте-Карло

3.5. Обобщение порядка проведения испытаний с переменной нагрузкой. Анализ результатов

Выводы и заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистические модели обработки результатов форсированных испытаний при сложной структуре данных»

Введение

Актуальность проблемы. В период «холодной войны» противоборствующие стороны активно наращивали военные мощности, совершенствуя и создавая все более сокрушительное и эффективное вооружение. Однако в гонке за количеством чаще всего в первую очередь страдало качество, обе стороны несли колоссальные убытки из-за частого отказа техники. Тогда и была впервые озвучена проблема определения показателей и критериев надежности.

Проведение испытаний на надежность является основным способом определения показателей надежности изделия, при этом испытываемое изделие должно безотказно работать довольно продолжительное время. В связи с этим оценка показателей надежности традиционными статистическими методами [1, 2], требующая длительных испытаний больших объемов выборок изделий, ведет к большим временным и материальным затратам. В условиях жесткой конкурентной борьбы сокращение времени с момента разработки изделия до вывода его на рынок - основная задача производителей. Таким образом, в 60-ых годах стало развиваться направление, связанное с проведением ускоренных испытаний, позволяющих определять показатели надежности в сжатые сроки. Чаще всего под ускоренными испытаниями понимается такой способ их проведения, при котором ускоряются процессы, приводящие к отказам изделия. Такой эффект достигается применением более жестких условий функционирования изделий в процессе испытаний - форсированных режимов испытаний. В дальнейшем под ускоренными испытаниями будут пониматься именно испытания в форсированных режимах - форсированные испытания. Многие идеи ускоренных испытаний были взяты из методов проведения усталостных испытаний материалов, в которых были сформулированы многие принципы, используемые в теории форсированных испытаний различных изделий (принцип Пальмгрена-Майнера [3], переменные режимы испытаний [4] и пр.)

Проблемам форсированных испытаний посвящено большое количество публикаций как у нас в стране, так и за рубежом. В частности, решению вопросов, связанных с их проведением, полностью или частично посвящены монографии [510]. Среди отечественных авторов отметим работы X. Б. Кордонского, А.И. Перроте, Г. Д. Карташова, Н.М. Седякина, Л .Я. Пешеса. Из иностранных авторов -Д. Кокса, В. Нельсона, Н. Сингпурваллу, Д. Хана, Ф. Прошана, Н. Манн.

При проведении испытаний сложных изделий в виду многообразия физико-химических процессов, протекающих в них, в большинстве случаев невозможно теоретически обосновать существование каких-либо закономерностей, связывающих между собой наработки до отказа этих изделий в разных режимах. Тогда необходимы предварительные испытания и исследования. Во время их проведения [11]:

-выбираются форсированные режимы;

-определяются функции пересчета результатов форсированных испытаний на нормальный режим;

-проверяются различные модели расходования ресурса; -обосновывается возможность применения полученных результатов для новых партий исследуемых изделий.

Общая методология. проведения предварительных исследований была разработана Г.Д. Карташовым [12]. Предложенные им методы проведения предварительных испытаний позволяли решить перечисленные выше задачи, однако требовали больших временных и материальных затрат.

В работах В.И. Тимонина [13, 14] было показано, что применение оценок Каплана-Мейера позволяет исключить испытания изделий в нормальном режиме в комплексе предварительных исследований. Это существенным образом снижает стоимость их проведения.

Однако в его работах рассматривались не все возможные варианты этих исследований. В настоящей диссертации его результаты обобщены на значительно более широкий класс предварительных испытаний, что в значительной степени позволяет сократить их объем и продолжительность. Важно

отметить, что предложенные в данной работе методы не уступают в точности ранее используемым, а в ряде случаев и превосходят их. Кроме того, они не требуют знания вида распределения наработок до отказа, которые практически всегда неизвестны. По этой причине новые методы более предпочтительны для применения на практике. Таким образом, решаемые в диссертации задачи являются важными и актуальными для проведения форсированных испытаний.

Постановка задачи. Решение основных проблем предварительных испытаний связано с решением двух задач:

1. Определение функциональных связей между распределениями наработок до отказа в нескольких режимах;

2. Определение корреляционных или функциональных связей между наработками изделия в нескольких режимах.

Отметим, что эти две задачи существенно различаются [15]. В первой необходимо установить зависимость между функциями распределения наработками в различных режимах. Во второй рассматриваются наработки до отказа одного и того же изделия в различных режимах эксплуатации, и требуется установить зависимость между компонентами случайного вектора, состоящего из этих наработок.

Во второй главе диссертации решается задача установления зависимости между функциями распределения наработок до отказа изделий в различных режимах. Обычно для ее решения проводят испытания в нескольких постоянных форсированных режимах, после чего стандартными регрессионными методами осуществляют экстраполяцию результатов к условиям нормального режима. В этом случае подавляющее большинство существующих методов требует знания вида распределения наработок до отказа, а также его неизменности во всем диапазоне используемых режимов. В диссертации аналогичная задача решается в рамках степенных моделей Кокса-Лемана [16], которые не требуют знания вида функции распределения наработок до отказа.

Таким образом, для решения первой проблемы необходимо:

1. Разработать модели регрессии, которые не требуют знания законов распределения наработок в различных режимах.

2. Разработать статистические методы проверки адекватности предложенных моделей.

3. Разработать статистические методы проверки гипотез о значениях параметров моделей и их оценки по результатам испытаний.

4. Создать программное обеспечение.

В третьей главе рассматривается возможные пути решения второй проблемы. Для ее решения невозможно использовать классические методы математической статистики. На практике нельзя определить наработки до отказа у одного и того же изделия в различных режимах, поскольку после первого же тестирования оно либо оказывается неработоспособным, либо у него существенно меняются технические характеристики. Эта проблема называется проблемой «ненаблюдаемых одновременно» параметров, решение которой и составляет цель проведения предварительных исследований. На основе результатов Г. Д. Карташова [17] были разработаны основные методы проведения предварительных испытаний, решающие данную проблему. Вместе с тем ввиду отсутствия современного аппарата обработки результатов этих испытаний, их проведение требовало больших объемов выборок и временных затрат. В работах В.И. Тимонина было указано направление исследований решения этой проблемы и получены первые результаты.

Поэтому основными задачами диссертации для решения второй проблемы являются:

1. Модернизация применяемых моделей планирования и проведения предварительных исследований.

2. Разработка точных и асимптотических статистических методов обработки результатов этих экспериментов, пригодных для малых выборок.

3. Создание соответствующего программного обеспечения.

Цель работы. Таким образом, целью работы является разработка новых методов предварительных испытаний и соответствующих статистических

моделей для обработки их результатов, которые должны обеспечить, во-первых, существенное снижение их времени проведения и стоимости и, во-вторых, независимость выводов от вида распределения наработок до отказа.

Научная новизна. Для моделей с ненаблюдаемыми одновременно наработками в разных режимах предложены модифицированные методы проведения экспериментов, позволяющие существенно сократить продолжительность и объемы испытаний. Разработаны специальные методы непараметрического анализа результатов этих экспериментов, обобщающие существующие процедуры для случая зависимых и цензурированных данных.

Для проблемы определения связей между функциями распределения Т7,^),/7^),..., отказов в нескольких режимах рассмотрена и решена задача

статистической проверки моделей Лемана-Кокса для случая многих выборок, которые имеют вид Т7*1 (/) = ... = ^ (7). Получены новый непараметрический

критерий, позволяющий проводить анализ результатов форсированных испытаний, не предполагая известным закон распределения наработок до отказа.

Все разработанные методы являются точными, то есть применимы для выборок любых объемов. Получена общая итерационная процедура вычисления точных распределений статистик предложенных критериев, применимая для выборок больших объемов.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Для предварительных испытаний в нескольких постоянных режимах предложена статистика типа Кифера-Гихмана, которая позволяет проверить адекватность модели Кокса-Лемана для нескольких форсированных режимов. Для этой цели получены точные и асимптотические распределения этой статистики при справедливости модели Кокса-Лемана. Разработан метод оценки параметров степенной модели Кокса-Лемана, основанный на минимизации статистики типа Кифера-Гихмана. Методами статистического моделирования показана состоятельность этих оценок.

2. Для предварительных испытаний в переменных режимах получен метод оценивания функций пересчета с форсированных режимов на нормальный режим, позволяющий не проводить в ходе исследования испытания в постоянном режиме. Это существенно снижает продолжительность и стоимость этих испытаний. Для реализации полученного метода оценивания функций пересчета предложена статистика типа Смирнова, основанная на применении оценки Каплана-Мейера функции надежности. Получены точные и асимптотические распределения этой статистики.

3. Методами статистического моделирования показана состоятельность оценок функций пересчета, основанных на минимизации этой статистики. Предложен метод планирования предварительных испытаний в том случае, если известен диапазон возможных значений коэффициента ускорения испытаний.

Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе выполнения диссертационной работы, использовались методы теории вероятностей и математической статистики, функционального анализа и вычислительной математики, а также методы математического моделирования.

Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов, полученных в диссертационной работе, с известными результатами других авторов. Сформулированные в работе допущения обоснованы как содержательным образом, так и методами математического моделирования.

Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы связана с ее прикладной направленностью, а полученные результаты могут быть использованы при оптимизации проведения предварительных испытаний, повышения достоверности оценок показателей надежности за счет применения непараметрических методов анализа их результатов.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры «Высшая математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (2009, 2010); Международных

конференциях «Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации» (Суздаль, 2009, 2011); 65-ой научной сессии, посвященной Дню радио (Москва, 2010); Международной научной конференции «Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях» (Москва, 2010).

Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 9 научных работах, в том числе 5 статей в научных журналах и изданиях, которые включены в Перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертации и материалах трех международных конференций.

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который, непосредственно принадлежит соискателю; заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертационная работа изложена на 99 страницах, содержит 14 иллюстраций и 6 таблиц. Библиография включает 84 наименований.

Глава 1. Модели теории форсированных испытаний

1.1. Модель Кокса

По мере роста показателей надежности основным направлением развития теории их статистического оценивания стал анализ результатов ускоренных испытаний. (В. Нельсон [7], Г.Д. Карташов [12], Н. Сингпурвалла [21], В.А. Смагин [55]).

Вначале рассматривались параметрические модели (см. [22, 23, 79, 80]), затем в виду неустойчивости законов распределения наработок до отказа все больше внимания обращалось на непараметрические методы, в которых главная роль в западной литературе отведена анализу модели Кокса [16].

Рассмотрим модель пропорциональных рисков Кокса, которая обычно записывается в виде

Я(?,х,р)-Я0(/)^(х,р), (2.1)

где А0(/) - базовая функция интенсивности отказов, Р- вектор неизвестных параметров, х - вектор известных переменных, определяющих «жесткость» режима испытаний (факторов или ковариат). Вид функции (//(х,р) полагается

известным. Вместе с тем базовая функция интенсивности отказов А0(/)-

произвольна, что иногда приводит к тому, что модель Кокса называют полупараметрической.

Важной особенностью модели пропорциональных рисков является то, что базовая функция интенсивности отказов зависит от времени I х не зависят от времени. В случае, когда х зависят от времени, такая модель не удовлетворяет предположению пропорциональности рисков и называется расширенной моделью Кокса.

Модель Кокса широко распространена и применяется для решения прикладных задач. Основной причиной популярности модели Кокса является то, что хотя величина базового риска неизвестна, можно получить оценку коэффициентов регрессии, интенсивности отказов, а также аппроксимировать

функцию надежности. С другой стороны, результаты применения модели Кокса могут быть приближены результатами соответствующей параметрической модели. Например, если правильная модель - модель Вейбулла, то использование модели Кокса даст результаты, сравнимые с результатом, полученным при использовании модели Вейбулла.

Параметрические модели, даже согласующиеся с результатами одного эксперимента, неудобны тем, что неизбежно остается вопрос о правильности их выбора. Таким образом, в случае сомнения правильности выбора модели (как это часто бывает на практике), модель Кокса даст достоверные результаты, так что использование этой модели - наиболее «безопасный» путь.

Отметим еще одно свойство модели Кокса. Несмотря на то, что базовая часть модели риска не определена, можно получить оценку параметра модели Р. Отсюда следует, что степень различия двух выборок может быть определена без знания в явном виде функции базового риска.

Преимущество использования модели Кокса проявляется и при анализе цензурированных данных. Поскольку в модели используется максимальное количество информации и не игнорируется наличие цензуры, она предпочтительнее любых других.

1.2. Оценка параметров модели Кокса и проверка ее адекватности

В анализе данных по испытаниям оцениваются две основные характеристики: отношение риска и функция надежности. В случае отсутствия определенной модели, необходимо проводить испытания с целью оценивания функции надежности при любых параметрах эксплуатации (если данные цензурированы, то с помощью метода Каплана-Мейера). Если для анализа используется модель Кокса, то можно прогнозировать функцию надежности в разных условиях, используя ковариаты в качестве экстраполяционных факторов. Этот процесс называется аппроксимацией кривой надежности. Как и кривая Каплана-Мейера, она имеет вид кусочно-постоянной функции.

Функция надежности для модели Кокса (2.1) может быть выражена через

соотношение является основным для аппроксимации функции надежности.

Адекватность модели Кокса проверялась в работах нескольких авторов, наиболее известные работы Д.В. Хосмера и С. Лемешева [24, 25], а также Ж.К.Гроннесби и О. Боргана [26]. Сразу отметим, что все эти методы являются разновидностями критерия отношения правдоподобия и строго могут быть использованы только для больших объемов выборок. Кроме того, для получения конкретных статистик критериев адекватности необходимо задавать альтернативные гипотезы к гипотезе Кокса, которые всегда неизвестны на практике.

Рассмотрим критерии согласия, которые основаны на статистиках типа Хосмера и Лемешева для логистической регрессии. Все эти критерии могут быть получены путем добавления групп индикаторных переменных к модели и проверкой гипотезы о том, что коэффициенты при индикаторных переменных равны нулю. Критерии, которые получены таким образом, называются критериями с добавленной переменной. Они были рассмотрены в работах Т.Моро [27], Д. Шенфилда [28], Ж.К.Гроннесби и О. Боргана [26].

Сразу заметим, что использование этих критериев сопровождается применением субъективных предположений (использование произвольно определяемых факторов, к тому же зависящих от времени). Это является главным недостатком описываемых процедур.

Предположим, что даны цензурированные справа данные п наблюдений в течение времени ? от начала исследования. Каждое изделие наблюдается до наступления отказа или цензуры (обозначим § - индикатор отказа). Пусть

х = (х,,х2,....гр) - вектор факторов. В соответствии с моделью

функцию интенсивности в виде

. Это

пропорциональных рисков функция риска при логарифмически линейной

' Р N

параметризации у/ (х, /?) = ехр ^ Д.х,

V '=1

принимает следующий вид

г В- \

(2.2)

Л(/,х) = Л0(г)ехр ^Дх,

V <=1

где А0(7) является неизвестной базовой функцией риска, а рг = (Д,/?2■■■Рр) ~

вектор оцениваемых коэффициентов. В дальнейшем для краткости записи

р

выражение ^Дх,. будем записывать в векторном виде ргх. В модели (2.2)

/=1

ковариаты являются постоянными в течение всего периода наблюдений.

Рассмотрим три метода проверки адекватности модели. Другими словами, соотношение (2.2) будем рассматривать как основную проверяемую гипотезу

Я0:Л(/,х) = Л0(Оехр(ргх). (2.3)

Разработанные в настоящее время методы основаны на адаптации критериев Хосмера-Лемешева (предназначенных для проверки адекватности логистической регрессии) к модели (2.3). Основной идеей этих критериев является сравнение реального количества изделий с определенным исходом с предсказываемым по (2.3) количеством изделий внутри каждой группы изделий, выделяемых по определенным признакам. В частности, Д. Шенфельд предложил критерий, который основан на сравнении числа наблюдаемых отказов с ожидаемым количеством отказов (в предположении справедливости модели) внутри каждой группы по значениям ковариат и временным интервалам. В работе Т. Моро [27] предложена небольшая модификацию критерия Д. Шенфельда, в которой используется оценка дисперсий для разностей между наблюдаемым и ожидаемым числом отказов.

Для применения этих критериев необходимо задавать альтернативы к основной гипотезе (2.3). Обычно в качестве альтернативных рассматривают гипотезы, когда факторы х меняются во времени определенным образом.

Рассмотрим г интервалов времени [Ь0,Ь]),...(^ЬГ_],ЬГ) где Ь0 = О, Ьг= оо. Каждый интервал времени разбивается на с; частей. Всего, таким образом, имеем Ь частей, с, + с, +... + сг = Ь. Каждый интервал обозначаем у = 1 ...г, д = 1,...с . Введем зависящие от времени переменные уя (?) = у у = \...г, д = 1,...с , которые равны 1, если значение £ попадает в интервал IV , и 0 - в противном случае. В этом случае альтернативная гипотеза может быть задана в виде

где yTj ф 0 - векторы неизвестных параметров, а у; - вектор индикаторов.

При условии справедливости гипотезы (2.3) (т.е. значения фактора х не меняются в зависимости от времени), коэффициенты у = 0 для любого разбиения

Для статистики Моро (MOL) логарифм функции частного правдоподобия имеет вид

где R - множество риска в момент времени ty, ху - вектор ковариат для изделия,

наблюдаемого в течение времени t , - число отказов, произошедших в у'-ом

временном интервале. Статистика Моро (MOL) получена путем добавления соответствующих индикаторных переменных в модель (2.3). Проверка основной гипотезы (2.3) сводится к нахождению оценок коэффициентов при индикаторных переменных и проверки их равенства нулю.

В этом случае предыдущее выражение можно переписать в виде

Я,: А(/,х) = А0(/)ехр(р7х +у^у,) при /

r kj( 1

У

где принимает значение 1, если вектор ковариатов для / - ого

изделия и время отказа /'- ого изделия попадают в интервал IV , и равно 0 в противном случае, ¿/ - число отказов. Индикатор /((*,,/,) е нужен для того,

чтобы получить переменные, зависящие от времени.

Д. Шенфилд (8сЬоепГе1с1) [28] предложил другой способ, как разбить ковариаты и временные интервалы. Например, можно разделить объекты наблюдения на группы по уровню ожидаемого риска и сформировать пересечение по временным интервалам.

М. Парзен и С. Р. Липшиц [29] в 1999 году предложили разбивать ковариаты и временные интервалы по виду функции правдоподобия и проверять критерий согласия для части индикаторных переменных. Они не предполагали, что этот критерий есть частный случай МОЬ-статистики. Так же в их работах не отмечено, что индикаторные переменные для временных интервалов зависят от времени. МОЬ-статистика - определяет широко распространенный критерий проверки гипотезы (2.3), который отвергает неверные альтернативы при достаточно больших объемах выборок.

Второй подход, предложенный Т. Моро в 1986 году [30] состоит в допущении изменения вектора ковариат х во времени, но с условием постоянства внутри фиксированных временных интервалов. Статистики, полученные на этой основе, носят название МОМ-статистик. Эти статистики позволяют выявить наличие существенного изменения на временных интервалах и являются широко распространенным способом проверки нарушения модели пропорциональных рисков. В данной модели для 6 , < ? < Ь} функция риска при альтернативе имеет

вид

Я1:Я(?,х) = Я0(г)ехр((р + уу)Гх).

При справедливости основной гипотезы о неизменности от времени вектора ковариат / =0,7=1 ...г. Логарифм частной функции правдоподобия имеет вид

А

(Р + Уу) х!/-1о§ХехР(Р + ^) X,

ехр(Р + у/Г

)=1 '=1 V щ

где - множество риска для времени х - вектор ковариат для изделий, наблюдаемых в течение времени ^, к число отказов ву-ый временной интервал.

С. Мей и Д.В. Хосмер [31] показали, что частная функция правдоподобия может быть представлена как

' ( Л

РЧ+уГ(1(0®х;)-1о§Хехр(ргх/+У:(/(0®х/)) ,

где ® - прямое произведение, ут = (уг..уг) = [уп,уп..., УХр,-Уг„Уг2,..., Угр), 1(;,)г = (/,(*,),...,/, (/,)), /;(*,) = 1, если ^ е и 0 в противном случае,

количество отказов. Альтернативное выражение для функции риска получается путем добавления соответствующих индикаторных переменных в модель (2.3) и необходимо проверить равенство коэффициентов при них нулю. Если вектор параметров состоит только из категориальных переменных, можно показать, что критерий сравнивает наблюдаемое число событий внутри временных интервалов.

Ж.К. Гроннесби (ОгаппезЬу) и О. Борган (Вог§ап) предложили [26] еще один критерий, основанный на мартингальных остатках. Эти остатки отражают разницу между числом наблюдаемых событий и моделью, основанной на оценке числа наблюдаемых событий. Основная идея критерия состоит на разделении наблюдений на группы по их ожидаемой оценке риска ргх( и на сравнении наблюдаемой и построенной с помощью модели оценки ожидаемого числа событий внутри групп риска. С. Мей и Д.В. Хосмером было доказано [32], что эта статистика также может быть получена добавлением соответствующих индикаторных переменных. Аналогично предыдущему случаю проверяется, будут ли коэффициенты при индикаторных переменных равны нулю. При этом вид частной функции правдоподобия имеет вид

Я ( Л

РЧ+у7*, -1О§2>Р(РЧ+угК/)

1=1 V /еЯ,

где К - это вектор оценки риска группы индикаторных переменных, у - вектор коэффициентов. При справедливости гипотезы (2.3) в группах по уровню риска У] =0, У = 1..-г.

Каждый из этих трех критериев проверяет равенство нулю вектора коэффициентов, добавленных в модель пропорциональности риска. Поскольку известно, что отношение правдоподобия, статистика Вальда, функция вклада асимптотически эквивалентны, то можно использовать любой из этих критериев. Следует подчеркнуть, что асимптотическим распределением этих статистик

является распределение % , причем асимптотика верна при больших объемах выборок. При небольших объемах выборок возможность их использования часто проверяется методами статистического моделирования.

Коротко опишем, как на практике вычисляются оценки неизвестных параметров в модели пропорциональных интенсивностей [16].

Функция правдоподобия для модели пропорциональных рисков имеет вид

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ермолаева, Мария Андреевна, 2014 год

Литература

1. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. Основные характеристики надежности и их статистический анализ. М.: Либроком, 2013. 584 с.

2. Вопросы математической теории надежности / Под редакцией Б.В. Гнеденко. М.: Радио и связь, 1983. 376 с.

3. Miner М. A. Cumulative Damage in Fatigue // Journal of Applied Mechanics. 1945. Vol. 67, A. 3.P. 159-164.

4. Corten H. Т., Dolan T. J. Cumulative Fatigue Damage // Proceeding International Conference on Fatigue. Berlin: Springer Verlag, 1956. P. 235-246.

5. Перроте А. И., Карташов Г. Д., Цветаев К. Р. Основы ускоренных испытаний радиоэлементов на надёжность. М.: Советское радио, 1968. 224 с.

6. Mann N. R., Shafer R. Е., Singpurwalla N.D. Methods for Statistical Analysis of Reliability and Life Data. N.Y.: Wiley, 1974. 522 p.

7. Nelson W.J. Applied Life Data Analysis. N.Y.: Wiley, 1982. 397 p.

8. Острийковский В.А. Многофакторные испытания на надежность. М.: Энергия, 1978. 150 с.

9. Пешее Л. Я., Степанова М. Д. Основы теории ускоренных испытаний на надёжность. Минск: Наука и техника, 1972. 168 с.

10. Карташов Г.Д. Об инвариантном решении проблемы переменного режима //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1986. №4. С. 78-83.

11. Тимонин В.И. Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний: Автореф. дисс. доктора физико-математических наук: 05.13.18 М., 2005. 32 с.

12. Карташов Г. Д. Предварительные исследования в теории форсированных испытаний. М.: Знание, 1980. 51 с.

13. Тимонин В. И. Применение оценок Каплана-Мейера для оптимизации проведения предварительных исследований // Надежность и качество: Труды международного симпозиума. Пенза, 2003. С. 194-198.

14. Тимонин В. И. Оптимизация проведения предварительных исследований в теории форсированных испытаний // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Естественные науки. 2004. № 1. С. 23-33.

15. Карташов Г. Д. Эксперименты с ненаблюдаемыми одновременно параметрами в теории форсированных испытаний // Ускоренные методы испытаний на надежность технических систем. М.: ВНИИНМАШ. 1972. С. 41-43.

16. Кокс Д., Оукс Д. Анализ данных типа времени жизни. М.: Финансы и статистика, 1988. 191 с.

17. Карташов Г. Д. Установление связей между ненаблюдаемыми одновременно случайными величинами // Применение теории вероятностей и математической статистики. 1981. № 4. С. 18-29.

18. Ермолаева М.А. Непараметрический анализ зависимости между распределениями наработок до отказа изделий и устройств в разных условиях эксплуатации // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени A.C. Попова. Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации. М., 2009. Вып. 3. С. 227-230.

19. Ермолаева М.А., Тимонин В.И. Анализ цензурированных данных в испытаниях с переменной нагрузкой // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени A.C. Попова. Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации. М., 2011. Вып. 4. С. 114-116.

20. Ермолаева М.А., Тимонин В.И. Новый метод определения коэффициентов ускорения форсированных испытаний радиоэлектронной аппаратуры //Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени А.С. Попова. Научная сессия, посвященная дню радио. М., 2010. Вып. 65. С. 57-59.

21. Singpurwalla N. Inference from Accelerated Life Tests Using Arrhenius Type Re-Parameterization//Technometrics. 1973. Vol. 15, №2. P. 201-208.

22. Тимонин В. И. Математические методы в теории ускоренных испытаний //Зарубежная радиоэлектроника. 1981. №1. С. 51-57.

23. Nelson Wayne. Accelerated Testing: Statistical Models Test Plans and Data Analyses. John Wiley & Sons Inc., New Jersey, 2004. 624 p.

24. Hosmer D.W., Lemeshow S. Goodness-of-fit tests for the multiple logistic regression model // Comm. Statist. Theory Methods. 1980. Vol. 9, No. 10. P. 1043-1069.

25. Hosmer D.W., Lemeshow S. Applied Logistic Regression. N.Y.: Wiley, 2000. 376 p.

26. Gronnesby J.K., Borgan O. A method for checking regression models in survival analysis based on the risk score // Lifetime Data Analysis. 1996. Vol. 2. P. 315328.

27. Moreau Т., O'Quigley J., Mesbah M. A global goodness-of-fit statistic for the proportional hazards model // Appl. Statist. 1985. Vol. 34. P. 212-218.

28. Schoenfeld D. Chi-squared goodness-of-fit tests for the proportional hazards regression-model //Biometrika. 1980. Vol. 67. P. 145-153.

29. Parzen M., Lipsitz S.R. A global goodness-of-fit statistic for Cox regression models // Biometrics. 1999. Vol. 55. P. 580-584.

30. Moreau Т., O'Quigley J., Lellouch J. On Schoenfeld's approach for testing the proportional hazards assumption // Biometrika. 1986. Vol. 73. P. 513-515.

31. May S., Hosmer D.W. An added variable goodness-of-fit test statistic for the Cox proportional hazards model // Biometrical Journal. 2004. Vol. 46, Issue 3. P. 343350.

32. May S., Hosmer D.W. A simplified method of calculating an overall goodness-of-fit test for the Cox proportional hazards model // Lifetime Data Anal. 1998. Vol. 4. P. 109-120.

33. Lehman E. The Power of Rank Tests // Annals of Mathematical Statistics. 1953. Vol. 24, №1. P. 23-43.

34. Тимонин В. И. О предельном распределении статистики одного непараметрического критерия // Теория вероятностей и ее применение. 1987. Т. 32, №4. С. 790-792.

35. Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев. М.:Наука, 1971. 376 с.

36. Гихман И. И. Об одном непараметрическом критерии однородности К выборок // Теория вероятностей и ее применение. 1957. Т. 2, № 2. С. 380384.

37. Kiefer J. K-Sample Analogues of the Kolmogorov-Smirnov and Cramer-V. Mises Tests // The Annals of Mathematical Statistics. 1959. Vol. 30, N.2. P.420-447.

38. Elandt-Johnson R., Johnson N. Survival Models and Data Analysis. N.Y: Wiley, 1980. 403 p.

39. Ермолаева M.A., Тимонин В.И. Многовыборочный аналог критерия Смирнова проверок степенных гипотез Лемана // Электромагнитные волны и электронные системы. 2011. № 11. С. 6-11.

40. Тимонин В. И., Черномор дик О.М. Метод вычисления точного распределения статистик типа Колмогорова-Смирнова при альтернативах Лемана // Теория вероятностей и ее применение. 1985. Т. 30, № 3. С. 572573.

41. Savage R. Contributions to the Theory of Rank Order Statistics - the Two -Sample Case // Ann. Math. Stat. 1956. Vol. 27, № 3. P. 590 -615.

42. Тимонин В. И. Об одной задаче проверки гипотез в теории форсированных испытаний // Применение теории вероятностей и математической статистики: Институт мат. и кибер. АН Лит. ССР. 1981. С. 81-85.

43. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. 352 с.

44. Kaplan Е., Meier P. Nonparametric Estimation from Incomplete Observations //Journ. Americ. Statistic. Associat. 1958. Vol.53. P. 457-481.

45. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990. 528 с.

46. Де Брейн Н. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961. 247 с.

47. Breslow N., Crowley J. A. Large Sample Study of the Life Table and Product Limit Estimates under Random Censorship // Annals of statist. 1974. № 2. P. 437-453.

48. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения; в 2-х томах. (3-е изд.). М.: Мир. 1984. Том 1. 528 с.

49. Ветров Л.Г., Сунчалина А.Л. Об оценке корреляции между одновременно ненаблюдаемыми наработками изделий радиоэлектроники в двух режимах //Успехи современной радиоэлектроники. 2008. №2. С. 40-44.

50. Карташов Т.Д., Тимонин В.И. Предварительные исследования в теории форсированных испытаний изделий радиоэлектроники // Электромагнитные волны и электронные системы. 2004. Т. 9, № 6. С. 51-60.

51. РД ВЗ 19.01.11-98. Аппаратура, приборы, устройства и оборудование военного назначения. Типовые методики ускоренных испытаний на безотказность и долговечность / Т.Д. Карташов и др. М.: Изд-во Министерства Обороны, 2000. 92 с.

52. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. М.: ИНФРА-М, 1998. 514 с.

53. Joseph F. Lawless. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. N.Y.: Wiley-Interscience, 1982. 596 p.

54. Martin J. Crowder. Multivariate Survival Analysis and Competing Risks //Chapman and Hall. 2012. 417 p.

55. Смагин В.А. Физико-вероятностные модели прогнозирования надёжности изделий на основе форсирования испытаний // Надёжность и контроль качества. 1998. № 4. С. 15-23.

56. Седякин Н.М. Об одном физическом принципе теории надежности // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1966. № 3. С.80-87.

57. Романов В. Количественная оценка надежности интегральных схем по результатам форсированных испытаний // Chip News Украина. Интегральная микроэлектроника. 2003 №10. С. 7-9.

58. Гинберг Я.З. Обработка результатов испытаний изделий с постепенными отказами при переменных нагрузках // Надежность и контроль качества. 1982. №4. С. 30-38.

59. Манулик И.Э. Использование моделей отказов при оценке результатов ускоренных испытаний интегральных схем // Надежность и контроль качества. 1987. № 1. С. 24-30.

60. Steven Е. Rigdon, Asit P. Basu. Statistical Methods for the Reliability of Repairable Systems. N.Y.: Wiley, 2000. 224 p.

61. Carl Carlson. Effective FMEAs: Achieving Safe, Reliable and Economical Products and Process Using Failure Mode and Effects Analysis. N.Y.: Wiley, 2012. 464 p.

62. Peter J. Smith. Analysis of Failure and Survival Data. N.Y.: Chapman and Hall/CRC, 2002. 264 p.

63. Багдонавичюс В. Статистическая проверка гипотез Седякииа и Володина //Применение теории вероятностей и математической статистики. 1983. № 5. С. 96-104.

64. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. 648 с.

65. Беляев Ю.К. Статистические методы обработки неполных данных о надежности изделий. М.: Знание, 1987. 55 с.

66. Хеттманспергер Т. Статистические выводы, основанные на рангах. М.: Финансы и статистика, 1987. 334 с.

67. Борисов А.А., Горбачева В.М., Карташов Г.Д., Мартынова М.Н., Прытков С.Ф. Надежность зарубежной элементной базы // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2000. №5. С. 3453.

68. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989. 640 с.

69. Тимонин В.И., Воробьева В.Д. О вычислении распределений статистик типа Колмогорова-Смирнова при альтернативах Лемана // Математическая статистика и ее применение. 1988. С.77-81.

70. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. СПб.: Наука, 2001. 296 с.

71. Тимонин В.И. Точные распределения ранговых статистик для цензурированных данных в испытаниях с переменной нагрузкой //Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1985. № 428. С. 48-54.

72. Тимонин В.И., Карташов Г.Д., Баскаков В.Н., Яров И.К. Планирование предварительных испытаний для экспоненциальной наработки на отказ //Стандарты и качество. Надежность и контроль качества. 1993. № 10. С.33-37.

73. Тимонин В. И., Ермолаева М.А. Оценки Каплана-Мейера в статистиках типа Колмогорова-Смирнова при проверке гипотез в испытаниях с

переменной нагрузкой // Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. Т. 15, №7. С. 18-26.

74. Ермолаева М.А. Исследование минимаксных оценок параметров модели Кокса-Лемана методами статистического моделирования // Вестн. Моск. гос. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2012. №7. С. 67-70.

75. Тимонин В.И., Ермолаева М.А. Точные распределения статистик типа Колмогорова-Смирнова, применяемых для анализа остаточной надежности резервированных систем // Электромагнитные волны и электронные системы. 2012. Т. 17, №10. С. 66-72.

76. Тимонин В.И., Ермолаева М.А. Оценка параметра степенной модели Лемана-Кокса методом минимизации функционалов типа Колмогорова-Смирнова и Сэвиджа // Наука и образование. Электрон, журнал. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2012. № 7. DOI: 10.7463/0712.0410885. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/410885.html.

77. Ермолаева М.А. Непараметрическая оценка зависимости коэффициента пропорциональности в модели Кокса от фактора нагрузки. // Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях: сборник трудов международной научной конференции М., 2010. С. 100-105.

78. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.

79. Liao Н.Т., Elsayed Е.А. Equivalent Accelerated Life Testing Plans for Log-Location-Scale Distributions // Naval Research Logistics. 2010. Vol. 57, No. 5. P. 472-488.

80. Elsayed E.A., Liao H.T., Wang, X.D. An Extended Linear Hazard Regression Model with Application to Time-dependent-dielectric-breakdown of Thermal Oxides // HE Transactions. 2006. Vol.38, No.4. P. 329-340.

81. Puri M., Sen P. Nonparametric Methods in Multivariate Analysis. N.-Y.: Wiley, 1971. 481p.

82. Carey M.B., Koenig R.H. Reliability assessment based on accelerated degradation: A case study // IEEE Transactions on Reliability. 1991. V. 40. P.499-506.

83. Meeker W. Q., Escobar L.A., Lu C. J. Accelerated degradation tests: Modeling and analysis // Technometrics. 1998. V. 40. P. 89-99.

84. Kahle W., Lehmann A. Parameter estimation in damage processes // Advances in Stochastic Models for Reliability, Quality and Safety. 1998. P. 139-152.