Статистические характеристики радиоволн в среде с крупномасштабными случайными неоднородностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Колесник, Сергей Николаевич

• Колесник, Сергей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колесник, Сергей Николаевич

Список обозначений и сокращении

Введение

Глава 1. Методика моделирования случайных полей диэлектрической проницаемости среды

1.1. Анализ существующих методик моделирования случайных полей

1.2. Модель случайного поля с гауссовой пространственной корреляционной функцией неоднородностей

1.3. Модель случайного поля со степенным пространственным спектром неоднородностей

1.4. Выводы

Глава 2. Исследование статистических характеристик радиоволны в слое со случайными неоднородностями диэлектрической проницаемости

2.1. Решение уравнений геометрической оптики с помощью теории возмущений

2.2. Методика расчета статистических характеристик радиоволны с помощью имитационного моделирования

2.3. Сравнение результатов приближенного и имитационного моделирования статистических характеристик радиоволн в слое со случайными неоднородностями диэлектрической проницаемости с гауссовой пространственной корреляционной функцией

2.4. Сравнение результатов приближенного и имитационного моделирования статистических характеристик радиоволн в слое со степенным пространственным спектром случайных неоднородностей диэлектрической проницаемости

2.5. Выводы

Глава 3. Статистические характеристики волны, прошедшей слой со случайными неоднородностями диэлектрической проницаемости

3.1. Сравнение результатов приближенного и имитационного моделирования статистических характеристик радиоволны, прошедшей слой со случайными неоднородностями диэлектрической проницаемости с гауссовой пространственной корреляционной функцией

3.1.1. Результаты имитационного моделирования

3.1.2. Корреляционная функция эйконала с учетом флуктуаций траектории в свободном от неоднородностей пространстве

3.1.3. Сравнение результатов имитационного моделирования с расчетами, выполненными с учетом вариаций траектории

3.1.4. Падение плоской волны на слой со случайными неоднородностями. Сравнение результатов имитационного моделирования с аналитическими расчетами, выполненными с учетом флуктуаций траектории в свободном пространстве

3.2. Сравнение результатов приближенного и имитационного моделирования статистических характеристик радиоволн, прошедших слой со случайными неоднородностями диэлектрической проницаемости со степенным спектром неоднородностей

3.3. Выводы

Глава 4. Исследование статистических характеристик радиоволны, отраженной от случайно-неоднородного слоя диэлектрической проницаемости

4.1. Методика расчета статистических характеристик радиоволны, отраженной от сферического ионосферного слоя со случайными неоднородностями диэлектрической проницаемости на основе имитационного моделирования

4.2. Вывод приближенных формул геометрической оптики для волны, отраженной от сферического ионосферного слоя со случайными неоднородностями диэлектрической проницаемости с помощью метода возмущений

4.3. Результаты имитационного моделирования

4.4. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистические характеристики радиоволн в среде с крупномасштабными случайными неоднородностями»

Актуальность темы. Как известно, при распространении радиоволн через атмосферу и ионосферу Земли наблюдается случайные и регулярные вариации фазы и амплитуды. Они негативно влияют на работу систем связи и навигации. С другой стороны, благодаря случайным и регулярным вариациям фазы и амплитуды появляется возможность получать информацию о случайных и регулярных возмущениях в среде распространения радиоволны. На этом основаны многие методы исследования атмосфер, ионосфер планет и космического пространства [1]. Появление высокоточных спутниковых систем навигации GPS (НАВСТАР) и ГЛОНАСС дало мощный инструмент для исследования как ионосферы и атмосферы Земли, так и воздействий на них природных и техногенных факторов [2-7]. Однако, несмотря на значительные успехи в области эксперимента, по-прежнему остаются актуальными проблемы теоретических исследований процесса распространения радиоволн в регулярных и случайно-неоднородных средах, без решения которых не может быть решена задача диагностики сред.

Исследованию процессов распространения радиоволн в регулярных и случайных средах посвящено большое количество работ. Развиты различные приближенные методы решения волновой задачи [8-14]. Среди этих приближенных методов особое место занимает геометрооптическое приближение [8] и его обобщения [15-16], учитывающие то, что при распространении радиоволн характерный масштаб неоднородностей, существенно влияющих на структуру радиосигнала, довольно часто значительно превышает длину волны. В этом приближении решение волнового уравнения сводится к решению уравнений эйконала и переноса, решение которых легко находится при наличии характеристик (лучей) - решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Несмотря на возможности численного интегрирования этих лучевых уравнений, многие исследователи при построении лучей используют приближенные методы [17-19]. Это обусловлено необходимостью достаточно оперативно исследовать распространение радиоволн в изменчивой, пространственно неоднородной среде. Из приближенных методов в траекторных расчетах наибольшее применение нашел метод возмущений (прямое разложение Пуанкаре).

Благодаря использованию теории возмущений в траекторных расчетах, в последнее время были достигнуты значительные результаты при описании эффектов регулярных [8, 17, 18] и случайных [19] неоднородностей при распространении радиоволн. Тем не менее, вопросы распространения радиоволн в случайно - неоднородных средах, особенно в средах с регулярной рефракцией, остаются не до конца исследованными в силу своей сложности. Одной из эффективных мер по преодолению этих трудностей является применение в исследованиях современных вычислительных машин для имитационного моделирования изучаемых явлений [20-24]. Этот подход обладает рядом преимуществ, таких как универсальность и гибкость. Имитационное моделирование позволяет определить область применимости приближенных методов в статистических задачах и исследовать эффекты, которые не могут быть описаны в рамках этих методов. Применение имитационного моделирования для расчета статистических характеристик радиоволн в случайно-неоднородной среде порождает, в свою очередь, ряд дополнительных задач, связанных с имитацией случайных сред с заданными статистическими характеристиками и оперативностью выполняемых вычислений. Несмотря на то, что теоретические вопросы моделирования случайных полей с заданными статистическими характеристиками достаточно хорошо изучены [25-26], могут возникать трудности с алгоритмической реализацией случайных полей. Поэтому возникает необходимость поиска способов моделирования случайных полей, позволяющих достаточно просто описывать возмущения диэлектрической проницаемости в реальных средах.

Цель работы:

Исследование траекторных и энергетических статистических характеристик радиоволны в случайно-неоднородной среде с однородным фоном при различных расстояниях источника и приемника от слоя со случайными неоднородностями, имеющими гауссовой и степенной спектры. Определение границ применимости метода возмущений.

Достоверность результатов

Достоверность результатов, описанных в диссертации, определяется использованием современных методов численного моделирования, тестированием алгоритмов. Выводы, сделанные в диссертации, согласуются с результатами, полученными известными приближенными методами в области их применимости.

Личный вклад автора

Основные результаты работы являются оригинальными и получены либо самим автором, либо при его непосредственном участии. Автору принадлежит вывод основных теоретических зависимостей, создание программного обеспечения, позволяющего проводить имитационное моделирование распространения радиоволны в среде с произвольным, аналитически заданным регулярным фоном и случайными неоднородностями с заданными статистическими свойствами, а так же программного обеспечения для статистической обработки данных, полученных в процессе имитационного моделирования. Личное участие автора заключается так же в обработке массивов данных, полученных на основе имитационного моделирования и анализе результатов.

Апробация работы

Основные результаты и выводы, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на международной конференции «Физика ионосферы и атмосферы земли» (Иркутск, 1998г.); третьем международном симпозиуме «СИБКОНВЕРС» (Томск, 1999г.); 26-й генеральной ассамблее U.R.S.I. (Торонто, 1999г.); 19-й и 20-й Всероссийской научной конференции по распространению радиоволн (Казань, 1999г., Нижний Новгород, 2002 г.); международной конференции «Математические методы в электромагнитной теории» (Харьков, 2000г.); 8-м международном симпозиуме «Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы»

Иркутск, 2001г.); Байкальской молодежной научной школе по фундаментальной физике (Иркутск, 2001г.); семинарах кафедры радиофизики Физического факультета Иркутского государственного университета. Результаты, полученные в ходе выполнения диссертации, использовались при выполнении исследований по проектам, поддержанных грантами РФФИ №00-02-17780, № 00-15-98509, №97-0216903, №01-02-06517 и Министерства образования РФ № Е00-3.5-474.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 81 наименования. Общий объем диссертации 122 страницы, включая 50 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Колесник, Сергей Николаевич

4.4. Выводы

Применение имитационного моделирования позволяет исследовать процессы распространения радиоволн за пределами применимости приближенных методов, а именно первого приближения метода возмущений к уравнениям геометрической оптики. Моделирование распространения радиоволны в случайно-неоднородной ионосфере в двухточечной постановке задачи показало, что математические ожидания углов приема и соответствующих им углов излучения в сферической регулярной слоистой среде со случайными изотропными неоднородностями практически равны. Дисперсия эйконала нижних лучей на малых углах излучения в большой степени зависит от наклонной дальности, пройденной волной в пространстве от источника излучения до слоя с неоднородностями, и от дальности, пройденной волной из слоя с

113 неоднородностями до точки наблюдения, а также размеров и положения случайно-неоднородного слоя внутри регулярного ионосферного слоя. Для нижних лучей, близких к регулярной зоне тени, и для верхних лучей флуктуации траекторий в свободном от неоднородностей пространстве, вызванные флуктуациями углов, не вносят значительных погрешностей в расчеты, выполненные с помощью первого приближения метода возмущений для эйконала.

Анализ результатов имитационного моделирования для флуктуаций поля показал, что на дальностях трассы, где флуктуации поля, согласно первого приближения метода возмущений для уравнений геометрической оптики, практически отсутствуют, имеется заметная флуктуирующая компонента поля радиоволны. Это обстоятельство также необходимо учитывать при использовании геометрооптического поля для описания парциальных волн в различных интегральных представлениях полей [15, 16, 53].

Заключение

В ходе работы получены следующие основные результаты:

1. Предложены модели нормальных случайных полей с гауссовым и степенным спектром флуктуаций. На основе этих моделей разработана достаточно простая и эффективная методика расчета геометрооптических статистических характеристик радиоволны, распространяющейся в случайно-неоднородной среде.

2. Результаты моделирования распространения радиоволны в случайно-неоднородной среде показали, что точка первого перехода функции корреляции уровня амплитуды волны через ноль зависит только от масштаба и вида спектра неоднородностей, практически не зависит от амплитуды возмущения среды и совпадает с нулем функции корреляции уровня, рассчитанной с помощью метода возмущений.

3. Показано, что вариации траектории в свободном от случайных неоднородностей пространстве от источника излучения до случайно-неоднородного слоя и от выхода из слоя до приемника, обычно не учитываемые в рамках первого приближения метода возмущений, вносят существенный вклад во флуктуации эйконала. Показано, что условия, при которых необходимо учитывать вариации эйконала в свободном пространстве, в большой степени определяются видом спектра случайных неоднородностей. Получены формулы для дисперсии и функции корреляции эйконала, которые учитывают вариации эйконала, вызванные вариациями траекторий на участках без неоднородностей. На применимости первого приближения метода возмущений в расчетах вариации углов прихода наличие свободных от неоднородностей участков существенно не сказывается.

В заключение автор выражает благодарность и глубокую признательность своему научному руководителю профессору М.В. Тинину. Автор искренне благодарен профессору Н.Т. Афанасьеву за постоянное внимание к работе и оказанную им помощь. Автор благодарен за поддержку, проявленную коллективом кафедры радиофизики физического факультета ИГУ: В.И. Сажину, В.Б. Иванову, М.К. ИвельскОй, В.Е. Унучкову, JI.A. Акатовой и коллективу кафедры Радиоуправления и вычислительных машин Иркутского военного авиационного инженерного института: С.Б. Жиронкину, Б.М. Миронову, Ф.К. Доцу, В.В.

Филоненко, А.В. Аврамову, С.Г. Быстракову, И А. Харченко, Ю.Ф. Сукневу, В.В. Евдокимову, JI.B. Рагускиной, А.И. Тиховой, И.В. Ашурковой, а также начальникам факультета Авиационного радиоэлектронного оборудования ИВАИИ ЮА. Коноплянникову и В А. Кобзарю.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колесник, Сергей Николаевич, 2002 год

1. Яковлев О.И. Космическая радиофизика. М.: Научная книга, 1998.

2. Afraimovich E.L., Palamartchouk K.S., Perevalova N.P. GPS radio interferon!etry of traveling ionospheric disrurbances. JASTP, 1998, Vol. 60, №12, p. 1205-1223.

3. Афраймович Э.Л., Лесюта O.C., Ушаков И.И. Спектр перемещающихся ионосферных возмущений по данным глобальной сети GPS. Известия вузов, Радиофизика, 2001, том 44, №10, с. 882.

4. Куницын В.Е., Терещенко Е.Д. Томография ионосферы. М.: Наука, 1991.

5. Kunitsyn V.E., Andreeva E.S. Possibilities of the near-space environment radiotomography. Radio Sci., 1997, Vol.32, № 5, p. 1953-1963.

6. Gorbunov M.E. and Gurvich A.S. Microlab-1 experiment. Multipath effects in the lower troposphere. JGR, 1998, Vol.103, №12, p.13819-13826.

7. Gorbunov M.E. Radioholographic metods for processing radio occultation data in multipath regions. Radio Sci, 35(4), p.1025-1034.

8. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980.

9. Черкашин Ю.Н. Вычисление волновых полей в плавно-неоднородных средах методом параболического уравнения теории дифракции. // Распространение декаметровых радиоволн. М.: ИЗМИР АН, 1980, с. 5-18.

10. Куркин В.И., Орлов И.И., Попов В.Н. Метод нормальных волн в проблеме коротковолновой радиосвязи. М.: Наука, 1981, с. 121.

11. Бабич В.М., Попов М.М. Метод суммирования гауссовых пучков. // Известия вузов. Радиофизика, 1989, том 32, № 12, с. 1447-1466.

12. Кляцкин В.И., Татарский В.И. О приближении параболического уравнения в задачах распространения волн в среде со случайными неоднородностями. // ЖЭТФ, 1970, том 58, №2, с.624-634.

13. МасловВ.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973.

14. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.

15. Tinin, M.V. Quasi-geometrical optics methods in the theory of wave propagation through a randomly inhomogeneous layer. // Waves Random Media, 1998, № 8, pp. 329-338.

16. Афанасьев Н.Т., Тинин М.В. Применение метода интерференционного интеграла для расчета корреляционных характеристик ионосферных радиоволн. // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. М.: Наука, 1982, Вып. 61, с. 236-241.

17. Баранов В.А., Кравцов Ю.А. Методы возмущения лучей в неоднородной среде. //Известия вузов. Радиофизика, 1975, том 18, №1, с. 52-62.

18. Кравцов Ю.А., Фейзулин З.И. О решении лучевых уравнений методом возмущений. // Радиотехника и электроника, 1971, том 16, №10, с. 1777-1787.

19. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. 4.2. Случайные поля. М.: Наука. 1978.

20. Лебедев А.Н., Недосекин Д.Д., Стеклова Г.А., Чернявский Е.А. Методы цифрового моделирования и идентификации стационарных случайных процессов в информационно-измерительных системах. Ленинград: Энергоатомиздат, 1988.

21. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.: Советское радио, 1971.

22. Бочаров А.А. Влияние межзвездного рассеяния на среднюю форму импульса и видимые угловые размеры пульсара: Метод случайных «лучевых» траекторий. // Известия вузов. Радиофизика, 1988, том 31, № 10, с. 1151-1159.

23. Chevret P., Blanco-Benon Ph., and Juve D. A numerical model for sound propagation through a turbulent atmosphere near the ground. // J. Acoustical Society of America 2, 1996, Vol.100, № 6, pp.3587-3599.

24. Акимов П.И., Баскаков С.И. Имитационное моделирование распространения лучей в трехмерной турбулентной среде. // Известия вузов. Радиофизика, 1983, том 26, №1, с.82-90.

25. Василев К.К., Крашенинников В.Р. Методы фильтрации многомерных случайных полей. Саратов: Саратовский университет, 1990.

26. Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Имитационное моделирование случайных полей. Санкт-Петербург: Балтийский государственный универсистет,1998.

27. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М:. Наука, 1981.

28. Ивахненко А.Г., Юрачковский Ю.П. Моделирование сложных систем по экспериментальным данным. М.: Радио и связь, 1987.

29. Беликович В.В., Бенедиктов Е.А., Толмачева А.В., Бахметьева Н.В. Исследование ионосферы с помощью искусственных периодических неоднородностей. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1999.

30. Журавлев А.А., Тептин Г.М., Хуторова О.Г. Рефракционные явления в реальной турбулентной атмосфере с примесями. Труды 20-й всероссийской научной конференции по распространению радиоволн. Н. Новгород: НИРФИ, 2002, с. 222.

31. Приходько Л.И., Вологдин А.Г. Численное моделирование отражения и прохождения радиоволн в неоднородных ионосферных слоях с межслоевой долиной. Труды 20-й всероссийской научной конференции по распространению радиоволн. Н. Новгород: НИРФИ, 2002, с.478.

32. Дэвис К. Радиоволны в ионосфере. М.: Мир, 1973.

33. Чернов Л.А. Волны в случайно-неоднородных средах. М: Наука, 1975.

34. Миронов В.Л. Распространение лазерного пучка в турбулентной атмосфере. Новосибирск: Наука, 1981.

35. Гулин О.Э., Ярощук И.О. Флуктуации импульсов, рассеянных слоем случайно-неоднородной среды. // Известия вузов. Радиофизика, 1999, том 42, №4, с. 383-393.

36. Kolesnik S.N., Tinin M.V., Afanasiev N.T. Statistical characteristics of a wave propagating through a layer with random irregularities. Waves in Random Media, 2002, Vol.12, p. 417-431.

37. Вентцель E.C. Теория вероятностей. M.: Высшая школа, 1998.

38. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991.

39. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. Теория и приложения. // ТИИЭР, 1997, том 65, №7.

40. Гундзе Е., Чжаохань Лю. Мерцания радиоволн в ионосфере. // ТИИЭР, 1982, том 70, №4.

41. Алимов В.А., Ерухимов Л.М., Мясников Е.Н., Рахлин А.В. О спектре турбулентности верхней ионосферы. // Известия вузов. Радиофизика, 1997, №4, с. 446-456.

42. Кравцов Ю.А., Фейзулин З.И., Виноградов А.Г. Прохождение радиоволн через атмосферу Земли. М.: Радио и связь, 1983.

43. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1967.

44. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973.

45. Бертмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969.

46. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и линейные уравнения. М.: Высшая школа, 2000.

47. Kravtsov Yu. A., Tinin M.V. Representation of a wave field in a randomly inhomogeneoiis medium in the form of the double-weighted Fourier transform. // Radio Sci., 2000, Vol. 35, № 6, pp. 1315-1322.

48. Afanasiev N.T., Tinin M.V., Kolesnik S.N. Quasi geometrical optics methods in the theory of wave propagation in randomly inhomogeneous media. XXVI-th General Assembly, International union of radio science. Abstracts, Toronto, 1999, p.134.

49. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980.

50. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Т.2. М.: Наука, 1977.

51. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1977.

52. Виноградов А.Г., Кравцов Ю.А. Гибридный метод расчета флуктуаций поля в среде с крупномасштабными и мелкими случайными неоднородностями. // Известия вузов. Радиофизика, 1973, том 16, № 7, с. 1055.

53. Денисов Н.Г. О флуктуациях амплитуды и фазы волны, прошедшей через слой со случайными неоднородностями. // Известия Вузов, Радиофизика, 1959, том 2, №2, с.316-318.

54. Денисов Н.Г. О дифракции волн на хаотическом экране. // Известия вузов. Радиофизика, 1961, том 4, № 4, с.630-638.

55. Агарышев А.И. Влияние случайных неоднородностей ионосферы на средние углы излучения и приема односкачковых нижних лучей. // Геомагнетизм и аэрономия, 1997, том 37, №4, с. 17-25.

56. Афанасьев Н.Т., Жженых А.А., М.К. Ивельская М.К., Сажин В.И., Тинин М.В. Области существенного влияния ионосферных неоднородностей на распространения радиоволн с частотами выше МПЧ. // Геомагнетизм и аэрономия, 1998, том. 38, № 4, с. 150-152.

57. Альперт Я.Л. Распространение элекромагнитных волн и ионосфера. М.: Наука, 1972, с. 564.

58. Chern V.E., Zernov N.N., Lundborg В. The two-frequency, two-time coherence function for the fluctuating ionosphere: wideband pulse propagation. // Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics, 1997, Vol. 59, №14, pp. 1843-1854.

59. Афанасьев H.T., Жженых A.A., Ивельская M.K., Сажин В.И., Тинин М.В., Унучков В.Е. Гибридное моделирование распространения радиоволн в ионосфере с учетом ее тонкой структуры. // Геомагнетизм и аэрономия, 2001, том 41, №5, с. 672.

60. Понятов А.А, Урядов В.П., Иванов В.А., Иванов В.Д, Чернов А.Г. и др. Наклонное JI4M зондирование модифицированной ионосферы. Эксперимент и моделирование. // Известия вузов. Радиофизика, 1999, том 42, №4, с. 303.

61. Нагорский П.М. Анализ отклика KB радиосигнала на возмущения ионосферной плазмы, вызванные ударно-акустическими волнами. // Известия вузов. Радиофизика, 1999, том 42, № 1, с. 36.

62. Калинин Ю.К., Катюшина В.В. Распределение случайных вариаций полного электронного содержания среднеширотной ионосферы. // Геомагнетизм и аэрономия, 2002, том 42, № 2, с.232-234.

63. Алимов В.А., Токарев Ю.В. Эффекты ионосферного распространения радиоволн в декаметровой интерференометрии. // Известия вузов. Радиофозика, 2001, том 44, № 7, с. 555.

64. SIBCONVERS'99) Proceedings. Tomsk: Tomsk state university of control system and radioelectronics, 1999, p.383-384.

65. Гусев В.Д., Виноградова М.Б. Влияние крупномасштабных неоднородностей ионосферы на структуру поля отраженной волны. // Геомагнетизм и аэрономия, 1980, том 20, №4, с.682-636.

66. Афанасьев Н.Т. Влияние ионосферных неоднородностей на распространение радиоволн в условиях сильной регулярной рефракции. // Дисс. докт. физ.-мат. наук, Иркутск, ИГУ, 1999.

67. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.

68. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.

69. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2. М.: Наука, 1967.

70. Голынский С.М., Гусев В.Д. Наиболее вероятные траектории лучей в плоскослоистой рассеивающей среде. II. Параболический случай. // Геомагнетизм и аэрономия, 1984, том 24, №1, с. 52-57.

71. Саичев А.И. Об одном статистическом варианте анализа двухточечной краевой задачи // Известия вузов. Радиофизика, 1978, том 21, № 7, с. 9981027.

72. Малахов А.Н., Саичев A.M. О лагранжевом и эйлеровом описании статистических свойств световых волн. // Известия вузов. Радиофизика, 1976, том 19, №9, с. 1368-1377.

73. Колесник С.Н., Тинин М.В., Афанасьев Н.Т. Имитационное моделирование распространения радиоволн в случайно-неоднородной ионосфере. // Известия вузов. Радиофизика, 2002, том 45, №9.