Стабилизация состояний квадратичносвязных интервальных динамических систем на основе алгебраического метода форм модульных переменных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Стебулянин, Михаил Михайлович

• Стебулянин, Михаил Михайлович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Стебулянин, Михаил Михайлович

Содержание

Введение

Глава 1. Моделирование квадратичносвязных систем на примерах объектов мехатроники

1.1 Аспекты моделирования мехатронных систем

1.2 Примеры динамических моделей объектов мехатроники

1.2.1 Робот-станок

1.2.2 Автономный подводный аппарат

1.2.3 Беспилотный вертолет

1.3 Моделирование программного режима движения

1.3.1 Метод интегрирующей процедуры

1.3.2 Метод преследования

1.3.3 Настройка коэффициентов обратных связей

1.4 Модель возмущенного движения

1.5 Задача и концепция стабилизации

Выводы из главы 1

Глава 2. Математические основы метода интервальных форм модульных переменных

2.1 Некоторые преобразования векторов 2-го порядка

2.2 Интервальные числа и действия над ними

2.3 Элементы алгебры интервальных матриц

2.4 Вычисление квадратичной и кубичной интервальных форм модульных переменных

2.5 Теорема о компенсаторе интервальной кубичной формы

Выводы из главы 2

Глава 3. Результаты в области условий устойчивости нелинейных нестационарных систем

3.1 Лемма о (и)-граннике полинома

3.2 Условие асимптотической устойчивости нелинейной динамической системы с переменными параметрами

3.3 Теорема об устойчивости в малом динамической комбинированной системы

Выводы из главы 3

Глава 4.Построение стабилизатора интервальной квадратичносвязной системы методом модульных форм

4.1 Проблемный вопрос метода форм

4.2 Метод форм модульных переменных при синтезе неявного стабилизатора

4.3 Критический анализ полученных результатов

4.4 Оценка времени переходного процесса в системах

с кубичной стабилизацией

4.5 Решение уравнения стабилизатора

4.5.1 Случай действительных параметров

4.5.2 Случай интервальных параметров

4.6 Комбинаторный метод настройки стабилизаторов систем по скорости

Выводы из главы 4

Глава 5. Построение стабилизатора нелинейных систем с полиномиальными ограничениями скорости возмущений

5.1 Матрицы эквивалентных преобразований векторов высокого

порядка

5.2 Лемма о покрывающей конечной интервальной формы

5.3 Синтез стабилизатора на основе компенсатора произвольной конечной интервальной формы

Выводы из главы 5

Глава 6. Экспериментальное исследование метода модульных форм

6.1 Пример абстрактной системы

6.2 Пример моделирования режима висения робота-вертолета

6.3 Пример моделирования позиционного режима движения трехзвенного манипулятора

6.4 Эксперимент на малогабаритном беспилотном вертолете

Выводы из главы 6

Заключение

Список литературы

Приложения. Комментарии к разработанным программам

А Программа compensator

Б Результаты вычислительных экспериментов в задаче §6.2

В Пакет моделирования режима висения вертолета

Г Результаты вычислительных экспериментов в задаче §6.3

Д Пакет моделирования позиционного перемещения манипулятора

Е Вертолет на тензостенде

Ж Схема бортовой аппаратуры

И Электронные устройства системы управления JIA

К Поверхности функций моментов крена и тангажа

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стабилизация состояний квадратичносвязных интервальных динамических систем на основе алгебраического метода форм модульных переменных»

Введение

В 1892 г. появилась знаменитая работа замечательного русского математика Александра Михайловича Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения», положившая начало развитию математической теории устойчивости. Эта работа намного опередила свое время, и, может быть, вследствие этого при жизни автора не получила должного признания.

Лишь в 30-х годах после возникновения под руководством Н.Г.Четаева Казанской школы механиков стал бурно развиваться метод функций Ляпунова. Будучи выдающимся ученым, Н.Г.Четаев не только организовал исследования и практическое использование теории устойчивости, но и сам внес весомый вклад в ее разработку [1,2]. Позже последователями идей А.М.Ляпунова стали такие известные ученые, как А.И. Лурье, Е.А. Барбашин, H.H. Красовский, Н.П. Еругин, В.А. Плисс, В.А. Якубович, И.Г. Малкин, Б.С. Разумихин, М.А. Айзерман, В.В. Румянцев, В.И. Зубов, A.M. Летов и многие другие.

В послевоенные годы теория устойчивости движения получила мировое признание. Достаточно сослаться на работы Р. Бэсса, P.E. Калмана, Дж. Бертрама, И.П. Ла-Салля, С. Лефшеца, В. Хана, В.-М. Попова, Р. Беллмана, Х.Л. Массеры, Дж. Сансоне, Т. Йосидзавы, Р. Конти, Н.Ф. Минорского и др.

Появились новые направления: устойчивость неустановившихся движений [3], устойчивость при постоянно действующих возмущениях [4], устойчивость на конечном интервале [5], проблема обращения в теории устойчивости [6,7], устойчивость в критических случаях [8], устойчивость по отношению к части переменных [9,10], устойчивость алгебро-дифференциальных систем [11].

По выражению А.М.Летова «современная теория автоматического регулирования, в каком бы виде она ни излагалась, опирается на единственный и

прочный фундамент - учение А.М.Ляпунова об устойчивости движения».

Появление в последние десятилетия новых сложных технических устройств, таких, как беспилотные вертолеты, подводные автоматические аппараты, роботы-станки, интеллектуальные робототехнические комплексы, обоснованно связывается с успехами в развитии систем стабилизации заданных (программных) движений по многим координатам с взаимовлиянием.

Объясняется это следующим. Как известно, критериями при синтезе линейных систем автоматического управления (САУ) выступают определенные предписания параметров переходных процессов (таких, как относительное перерегулирование, время, установившиеся статические и скоростные ошибки) при ступенчатых или линейно нарастающих входных воздействиях, а также динамические ошибки при отработке эквивалентных гармонических сигналов [21].

Адекватное прогнозирование поведения системы в общей ситуации исходя из характеристик в частных случаях приводит при синтезе линейных САУ к допустимости частных критериев качества.

Однако, нельзя утверждать, что нелинейная САУ сохранит качество при отработке произвольного входного воздействия, если она проанализирована при частных входных сигналах. Сама формулировка и обоснование частных критериев синтеза нелинейной многосвязной системы представляет собой соответствующей сложности задачу.

Поэтому, из-за проблематичности выбора частных критериев, при синтезе таких систем распространен общий подход, как комплекс действий по разработке законов стабилизации заданных (программных) движений, поскольку понятно, что требование устойчивости программного движения является первичным.

Методологию построения законов стабилизации дает теория устойчивости.

Можно даже сказать, что стабилизация движения принципиально есть, прежде всего, следствие решенной задачи асимптотической устойчивости этого движения. Справедливо также и то замечание, что, с одной стороны, построение адекватных законов стабилизации является фактом практического внедрения результатов теории устойчивости, а с другой стороны, новые задачи в области стабилизации движения обогащают и развивают саму эту теорию.

В настоящее время уже существуют определенные обобщения и рекомендации в области построения функций Ляпунова; достаточно указать, например, на работы [23-47]. Тем не менее, следует заметить, что успех в этой области во многом остается зависящим от индивидуального мастерства разработчика системы.

Современные системы основаны на взаимопроникающих связях объектов точной механики , электроники и вычислительной техники, что обусловило появление нового термина: мехатронные системы.

Терминологическим и методологическим вопросам построения мехатронных систем посвящены многие работы [12-20]. Однако, полная классификация пока не дана. Отчасти этому способствует весьма широкое проникновение мехатронных систем в различные области техники, например, робототехнику, авиационную и военную технику, медицинское оборудование, офисную технику, автомобилестроение, контрольно-измерительную технику и др.

Значительная доля рынка в мехатронике приходится на долю робототехнических систем, причем эта доля возрастает засчет появления их новых типов, таких, как интеллектуальные роботы-помощники бытового назначения, роботы-станки, боевые экзоскелетоны, роботы-минеры и др. При этом одной из важных характеристик современной сложной системы является ее многосвязность, что выражается в существенном влиянии нескольких или всех переменных состояния системы друг на друга, особенно в случаях

перспективного применения безредукторных силовых приводов, практически исключающих автоколебательные режимы.

Не умаляя важности и сложности различных вопросов при построении мехатронной системы, следует подчеркнуть, что именно вопросы анализа многокоординатного механического движения являются одними из самых сложных в общем комплексе задач при ее проектировании.

Как правило, в уравнениях динамики многосвязных механических объектов присутствуют произведения обобщенных скоростей, а также нелинейные функции координат движения (например, тригонометрические). В силу этого многосвязная мехатронная система является существенно нелинейной. (Конкретный пример - различного типа роботы с вращательными кинематическими парами и безредукторным приводом.) Кроме того, для нее характерны неточности определения параметров, которые вызываются как причинами вычислительного характера, так и нестационарностью. Так, моменты инерции реального звена промышленного робота могут быть определены только методом конечных элементов, а значит, лишь с некоторой степенью точности. Величины присоединенных масс воды подводного аппарата, увлекаемые при его движении, совокупно зависят от многих факторов и переменны, но ограничены в определенных пределах. В вертолетных системах действие автоматов перекоса несущих винтов может привести к взаимовлиянию каналов тангажа и крена планера в некоторых углах и т.д. Как известно, в подобных случаях системы рассматриваются, как интервальные по параметрам.

Основным инструментом достижения целевых состояний системы продолжает оставаться принцип обратной связи по переменным этих состояний. Традиционное построение регуляторов технических систем (например, в рамках принципа подчиненного регулирования контуров [22]) предполагает их синтез в условиях сепаратных приводов со скалярными выходами. Однако, когда развязка дифференциальных уравнений модели системы на совокупность скалярных не

представляется возможной, принцип главной обратной связи по сепаратному типу уже «не работает».

Таким образом, в настоящее время в практике проектирования новой техники расширяется класс нелинейных интервальных многосвязных систем с необходимостью стабилизаторов на основе векторных обратных связей по переменным состояний. В этом классе получение аналитических решений либо их оценка весьма затруднены, что приводит к возрастанию роли математического моделирования таких систем, а следовательно, общих рекомендаций при построении их моделей. При этом вполне понятно, что оценка качества новой системы возможна только при выполнении требования устойчивости ее состояний, а значит, моделировать имеет смысл только те состояния, которые являются стабилизируемыми.

При моделировании следует разумно ограничить обобщенную математическую модель системы свойствами рассматриваемого конкретного класса, оставляя главные системно-функциональные признаки. Модели современных сложных стабилизируемых систем принадлежат в большом числе случаев к классу многосвязных квадратичных (далее - квадратичносвязных) интервальных моделей с неустойчивостью собственного движения. Это означает, что даже в отсутствие внешних возмущений качество системы будет низким. Общий случай стабилизации системы предполагает наличие двух компонент: компенсатора внешних постоянно действующих возмущений и стабилизатора собственного движения, однако, без второй компоненты система не будет соответствовать предъявленным требованиям даже в самых благоприятных условиях.

При этом программный комплекс, обеспечивающий гарантированное построение стабилизатора собственных состояний квадратичносвязной интервальной системы, требует специального математического обеспечения.

Все вышесказанное определяет цель, задачи и практическую значимость данной диссертации.

Целью диссертационной работы является решение научной проблемы стабилизации состояний квадратичносвязных динамических систем с интервальной неопределенностью параметров путем создания математических основ, методов построения и инженерно-ориентированного алгоритмического обеспечения универсальных стабилизаторов на основе разработанного автором алгебраического метода форм модульных переменных, что способствует техническому прогрессу в таких областях, как робототехника, беспилотная авиация, мобильная техника и станкостроение.

В диссертации решаются следующие научные задачи:

- структурный анализ динамических уравнений квадратичных систем в современной практической мехатронной технике;

- формирование концепции стабилизации движений квадратичносвязных динамических интервальных систем, в рамках которой обеспечивается квазинепрерывное воздействие на стабилизируемый объект и минимизация требуемого ресурса управления;

- разработка специального математического обеспечения решений задач стабилизации динамических квадратичных систем с интервальной неопределенностью параметров;

- математическое обоснование применимости интервальных моделей при анализе устойчивости многосвязных динамических систем с переменными коэффициентами;

- разработка инженерно-ориентированного метода и алгоритмов построения универсального стабилизатора для динамических квадратичных интервальных систем, в том числе заданных в квазикоординатах;

- разработка метода настройки регуляторов многосвязной мехатронной системы в режиме малых движений (динамического позиционирования) при неизвестных коэффициентах взаимовлияния степеней подвижности;

- создание метода построения стабилизатора нелинейной полнозамкнутой системы с двусторонним полиномиальным ограничением неизвестных функций собственного движения в возмущениях;

- построение программного комплекса, обеспечивающего моделирование разработанных средств стабилизации исследуемого класса квадратичных систем с визуализацией получаемых результатов.

Практическая значимость работы состоит в том, что аналитические, алгоритмические и программные решения по построению универсального стабилизатора сложных интервальных квадратичных систем позволяют снизить сроки и стоимость проектирования новых технических устройств, получая характеристики их функционирования на математических моделях, а не средствами макетирования и натурного эксперимента. При этом алгоритмы стабилизации могут быть использованы в программном обеспечении реальных робототехнических и мехатронных систем с безредукторными исполнительными приводами, повышая устойчивость и точность их программных движений, а следовательно, расширяя область их функциональных возможностей.

Теоретическая база исследования основывается на прямом методе А.М.Ляпунова в теории устойчивости движения, классической интервальной арифметике, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, математическом анализе, линейной алгебре.

Достоверность результатов обеспечивается:

1) математическими доказательствами новых положений на основе указанной выше теоретической базы работы; 2) подтверждением теоретических результатов при компьютерном моделировании разработанных алгоритмов; 3) результатами

экспериментального исследования автопилота малогабаритного робота-вертолета в условиях стендовых испытаний.

Диссертационная работа соответствует формуле научной специальности 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (технические науки) в области «анализа сложных прикладных объектов исследования» при разработке специального математического и алгоритмического обеспечения систем управления, а также методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза сложных систем в полном соответствии с п.п.5,7 области исследования паспорта указанной специальности.

Глава 1

Моделирование квадратичносвязных систем на примерах объектов

мехатроники

1.1 Аспекты моделирования мехатронных систем

Пожалуй, наиболее яркими представителями квадратичносвязных систем в современной технике являются мехатронные системы, динамические модели которых отличаются сложной структурой и весьма трудоемки в разработке.

Одним из основных вопросов при построении модели мехатронной системы является описание механического движения ее исполнительного устройства. Задачам математического описания механических движений посвящена обширнейшая литература, начиная с классических трудов Даламбера, Ньютона, Эйлера, Лагранжа, Аппеля, Гамильтона, Кориолиса, Гюйгенса, Рауса, Бернулли, лорда Кельвина, Якоби И. и заканчивая современными периодическими изданиями. Из отечественных авторов следует назвать Чаплыгина С.А., Крылова А.Н., Лурье А.И., Четаева Н.Г., Румянцева В.В., Сретенского Л.Н. и многих других. (Достаточно полный именной указатель с краткими характеристиками работ содержится, например, в двухтомнике знаменитого труда Э.Рауса «Динамика системы твердых тел» .)

Объектом моделирования в мехатронной системе является прежде всего исполнительное устройство, совершающее сложное механическое движение, описываемое дифференциальными (динамическими) уравнениями. Разные уравнения динамики, безусловно, в конечном итоге принципиально приводят к одним и тем же результатам вычислений характеристик движения. Выбор того или

иного вида уравнений определяется только удобством его использования в конкретных условиях либо наиболее компактной формой записи.

Несмотря на достаточно большое разнообразие современных мехатронных систем, каждая из них в части исполнительных устройств представляет собой совокупность твердых тел, взаимодействующих друг с другом, а также с внешними объектами. Для моделирования таких систем широкое распространение получили уравнения Лагранжа 2-го рода в явной и неявной формах. Формализм данных уравнений удобен тем, что для их записи достаточно знать функциональные зависимости кинетической и потенциальной энергии системы тел от выбранных обобщенных координат и скоростей. Кроме того, появляется возможность в единой форме уравнений дать аналитические выражения сил реакций всех действующих в системе связей.

При интегрировании уравнений динамики весьма важной задачей является адекватное вычисление в функции обобщенных координат/скоростей либо времени внешних сил (возмущений), действующих в системе. Модели внешних сил могут быть известны из разделов других научных дисциплин, например, модели сил резания [48], необходимые при проектировании мехатронных систем современных сложных станков, или модели аэродинамических сил, действующих на несущий винт беспилотного вертолета [49, 50] и т.д.

Для реализации закона изменения активных обобщенных сил в модель мехатронной системы вводятся модели приводов ее звеньев, которые сами по себе могут быть весьма сложными [51]. При этом под обратной задачей привода понимают задачу вычисления входного воздействия при заданных величинах момента/силы двигателя и скорости движения его ротора.

Физической связностью многокоординатного привода называют такое явление, когда один или несколько сепаратных движителей изменяют не только «собственные» обобщенные координаты, но и хотя бы одну другую, причем непосредственно. Примером связного привода может служить система рулевых

машинок автоматов перекоса несущего винта вертолета. В реальных условиях связность привода необходимо корректировать. Это составляет задачу развязки связного привода, решение которой предшествует решению обратной задачи.

Интегрирование динамических уравнений проводят в рамках прямой задачи динамики, когда по известному (заданному) закону изменения во времени обобщенных сил системы находят, как следствие, закон изменения ее обобщенных координат.

Вычисленные обобщенные координаты мехатронной системы определяют ее физические координаты, т.е. положения всех ее механических звеньев в пространстве. Зависимость физических координат движения от обобщенных выражается при решении прямой задачи кинематики системы. Однако, это не всегда может выполняться однозначно, как в случае, например, телескопических систем. Вычисление обратной зависимости составляет предмет обратной задачи кинематики (ОЗК), которая также может иметь неоднозначное решение, как, например, для робототехнических систем с так называемой избыточностью координат.

Современные мехатронные системы должны иметь эффективное информационное обеспечение для своих координат движения вплоть до уровня второй производной. Это позволяет построить структурные взаимосвязи в замкнутых моделях систем как на исполнительном, так и на тактическом иерархическом уровне. При замыкании отображается вектор ошибок управления, который в конечном итоге определяет закон обобщенных сил системы.

В замкнутых моделях многокоординатных мехатронных систем при использовании исполнительных обратных связей происходит целеуказание отдельно по каждой обобщенной координате после решения ОЗК, а затем формирование соответствующей обобщенной силы в функции величины сепаратной ошибки и ее производных на основе принципов динамического синтеза систем регулирования [52].

Структурно исполнительные ОС относительно просты и являются традиционными в условиях, когда взаимовлияние координат движения отсутствует или мало, например, при наличии редукторов в механических передачах приводов автоматических систем. Однако, в случае безредукторной кинематики нетрудно показать неэффективность традиционного построения регуляторов, основанных на сепаратных обратных связях [53].

В системах с существенным взаимовлиянием неизбежны обратные связи тактического уровня (тактические ОС), когда каждая обобщенная сила формируется как функция вектора переменных состояния системы с целью устранения ошибок движения. При построении таких связей в моделях сложных нелинейных систем распространены три подхода.

1. Первый подход основан на принципе динамической коррекции, когда в закон изменения отдельной координаты системы вводят компоненты, равные по величине и противоположные по знаку всем внешним для данной координаты величинам [54]. При этом дифференциальное уравнение координаты приводят к линейному виду с некоторым эталонным характеристическим полиномом [55].

Основной сложностью моделирования при таком подходе является не только громоздкий аналитический аппарат, но и возможный, а скорее всего неизбежный, разброс параметров динамической модели и реальной системы. Особенно это характерно для интервальных систем. Параметрические ошибки могут в таком случае привести к потере не только качества характеристик, но и собственно устойчивости движения.

2. В основе второго подхода лежит известный метод декомпозиции систем, предложенный Е.С. Пятницким [56]. Метод предлагает проведение «развязки» системы не с помощью «гашения» внешних для координаты факторов, а с помощью амплитудно-релейных воздействий.

Однако, это представляется для реальных систем не всегда приемлемым. Во-первых, вследствие инерционности современных движительных устройств, пусть и

малой, «прямоугольные» скачки обобщенных сил невозможны. (Например, изменение скачком тяги гребного винта судна невозможно из-за гидродинамических свойств жидкости [57].) Во-вторых, способ является ч неустойчивым в малом, а в-третьих, его реализация требует потребления приводом движения максимальной мощности. Так, в случае использования в системе в качестве движителей электродвигателей постоянного тока это приведет к разогреву двигателя максимальным по величине током.

Но есть и еще один весьма существенный недостаток: это возможность недопустимых структурных изменений объекта, трудноучитываемых при его моделировании. Например, при стабилизации вертолетов пренебрегают в первом приближении маховым движением лопастей несущих винтов [58]. Однако, при амплитудных воздействиях на автоматы перекоса винта маховое движение его лопастей становится критическим вплоть до необратимой аварии летательного аппарата. При этом математическая модель объекта резко изменяется, становясь переменной по структуре и нестационарной по параметрам.

3. И, наконец, третий подход основан на прямом методе А.М.Ляпунова, когда систему дифференциальных уравнений модели, чье собственное возмущенное решение является неустойчивым в нуле, приводят с помощью аддитивного стабилизатора к виду с асимптотически устойчивым тривиальным решением [5961]. Здесь вследствие отсутствия общей платформы многое зависит от математической квалификации и искусства разработчика стабилизатора.

В этой связи следует отметить работу [62], где на теоретическом уровне решены вопросы построения непрерывных стабилизаторов при управлении движением механических систем, состояние которых задается обобщенными координатами qv q2,..., qn, а кинетическая энергия Гкин системы записывается в виде:

^кин =\qTA(t,q)q + HT(t,q)q + T0(t,q[), q = [q1,q2, ...,qn]T, (1.1.1)

где A, H, T0 - соответственно матрица, вектор и скаляр. Тогда явная форма

уравнения Лагранжа 2 рода

^ д^кин дткин

dt dq dq

= Q, где Q G Rn - вектор обобщенных сил,

приобретает вид: {. = * Q t) . (1.1.2)

Пусть q = r(t) - заданное (программное) движение системы, которому соответствует вектор обобщенных сил Qr, a z(t) - некоторое другое движение, отклоненное от заданного, и ему соответствует вектор обобщенных сил:

Qz = Qr + Qv

Рассмотрим вектор у = z — г , описывающий отклонение движения от заданного и запишем кинетическую энергию системы в отклоненном движении [95]:

Гк'ин = \утШ У)У + HT(t,y)y + TmH(t,y) ,

где 3(t, у) = A^t,у + r(t)), ÎÎ(t,y) = H(t,y + r(t)) + + r(t))r(t),

Т'кин = + r(t))r(t) + tfr(t,y + r(t))f(t) + TKHH(t,y + r(t)) .

Вводя величину fKHH(t,y) = TKm(t,y + rÇt)) - T0(t,r(t)) , получим

Гк'ин = èУтШу)у + HT(tj)y + fK„H(t,y) • (1.1.3)

В силу одинаковой структуры выражений (1.1.1) и (1.1.3) явная форма уравнения Лагранжа 2 рода системы в отклонениях обобщенных координат получает аналогичный (1.1.2) вид:

В уравнениях (1.1.4) необходимо вычислить такой вектор фу, при котором тривиальное решение у = р = 0 асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Нетрудно видеть, что эта задача равносильна задаче вычисления в (1.1.2) такого чтобы программное движение д = г(£) было бы аналогично устойчиво.

Отсюда в [62] принимается вывод, что всегда, не умаляя общности, можно полагать, что в (1.1.2) координаты выбраны так, что движение г(£:) = 0 является заданным. Определяющим условием для этого, разумеется, является аналитически подобный вид уравнений (1.1.2) и уравнений возмущенного движения (1.1.4). Для такого случая в [62] находятся нелинейные законы непрерывных стабилизирующих управлений (см., например, теоремы 2.1 и 2.2 данного источника).

Однако, эти результаты не распространяются на случай, когда механическая система описывается квазикоординатами [63], как это делается в случае описания движений подводного или летательного аппарата. Здесь явная форма уравнений динамики может иметь вид:

Г ^^ (1.1.5)

и очевидно, что уравнения в координатах и отклонениях уже не будут аналитически подобными а, следовательно, уже нельзя полагать, что в (1.1.5) координаты выбраны так, что программное движение имеет вид г(£) = 0.

Преобразование (1.1.5) к виду (1.1.2) на основе некоторой замены переменных х = Сж(<2'), где взаимно однозначная векторная функция С имеет невырожденную якобиеву матрицу и известна обратная функция q = £Г(л;), неэффективно. В самом деле, пусть матрица В~г существует. Записав равенство:

получим после несложных преобразований:

X = XV

дв дв IV = {— + —

дд дц

дВ /дС\-1 дв дв

при подстановке q = G*(x), где X есть в данном случае знак сборки блочно-

матричного произведения, и становится понятно, что с вычислительной точки зрения данные выражения малоприемлемы.

Поэтому в настоящее время разработки непрерывных или квазинепрерывных стабилизаторов движения в моделях мехатронных систем, описываемых в квазикоординатах, представляются актуальными.

Допустимой альтернативой непрерывности законов стабилизирующих воздействий является непрерывность в пределе (квазинепрерывность), когда скачки воздействий модулируются некоторыми непрерывными в области нуля величинами. Например, в механических системах при наличии вязкого трения к устойчивости (по крайней мере, в малом) в режиме скольжения относительно «нулевого» положения приводит закон обобщенных сил со скачками, пропорциональными отклонениям координат движения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Стебулянин, Михаил Михайлович, 2014 год

Список литературы

1. Четаев, Н.Г. Устойчивость движения / Н.Г.Четаев. - Гостехиздат, 1955. - 176 с.

2. Четаев, Н.Г. Об устойчивости движения / Н.Г.Четаев // Изв. АН СССР: ОТН, 1946.-№6.

3. Четаев, Н.Г. О некоторых вопросах, относящихся к задаче об устойчивости неустановившихся движений / Н.Г.Четаев // ПММ, 1960. - XXIV, вып.1. - С. 6 - 18.

4. Летов, A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем / А.М.Летов. - М.: Государственное изд-во физико-математической литературы. Издание второе, исправленное и дополненное, 1962. - 486 с.

5. Каменков, Г.В. Об устойчивости движения на конечном интервале / Г.В.Каменков // ПММ, 1953. - XVII, вып. 5. - С. 529-540.

6. Красовский, H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения/ Н.Н.Красовский. - М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

7. Зубов, В.И. Методы Ляпунова и их применения / В.И.Зубов. - Л.: ЛГУ, 1957. -245 с.

8. Баутин, H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости / Н.Н.Баутин. - М.: Гостехиздат, 1949. - 164 с.

9. Румянцев, В.В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных / В.В.Румянцев, А.С.Озиранер. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987. - 253 с.

10. Воротников, В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных / В.И.Воротников. - М.: Наука, 1991. - 288 с.

11. Чистяков, В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В.Ф.Чистяков, А.А.Щеглова. - Новосибирск, Наука, 2003. - 320 с.

12. Исия, Т. Мехатроника / Т.Исия, И.Симояма, Х.Иноуэ. - М.: Мир, 1988. - 318 с.

13. Harashima, F. "What Is It, Why and How ?" / F.Harashima, M.Tomizuka, T.Fukuda // ASME Transactions on Mechatronics, 1996. - Vol. 1, № 1. - P. 1-4.

14. Heimann, B. Mechatronik / B.Heimann, W.Gerth, K.Popp. - Leipzig: Fachbuchverlag, 2003. - 382 p.

15. Kyura, N. Mechatronics / N.Kyura, H.Oho // ASME Transactions on Mechatronics, 1996.-Vol. 1,№ 1.

16. Подураев, Ю.В. Анализ и проектирование мехатронных систем на основе критерия функционально-структурной интеграции / Ю.В.Подураев // Мехатроника. Автоматизация. Управление, 2002. - № 4. - С. 6.

17. Подураев, Ю.В. Принципы построения и современные тенденции развития мехатронных систем / Ю.В.Подураев, В.С.Кулешов // Мехатроника, 2000. - № 1.

18. Подураев, Ю.В. Мехатроника: основы, методы, применение / Ю.В.Подураев. -М.: Машиностроение, 2006. - 256 с.

19. Илюхин, Ю.В. Совершенствование систем управления механообрабатывающих технологических роботов на основе концепций мехатроники / Ю.В.Илюхин // Мехатроника, 2001. - № 2.

20. Казмиренко, В.Ф. Электрогидравлические мехатронные модули движения / В.Ф.Казмиренко. - М.: Радио и связь, 2001. - 432 с.

21. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А.Бесекерский, Е.П.Попов. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1975. - 767 с.

22. Башарин, A.B. Управление электроприводами / А.В.Башарин, В.А.Новиков, Г.Г.Соколовский. - JL: Энергоатомиздат, 1982. - 391 с.

23. Барбашин, Е.А. Функции Ляпунова / Е.А.Барбашин. - М.: Наука, 1970. - 240 с.

24. Матросов, В.М. Метод функций Ляпунова в динамике нелинейных систем / В.М.Матросов, Р.И.Козлов, Л.Ю.Анапольский. - Новосибирск, Наука, 1983. - 192 с.

25. Кунцевич, В.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова / В.М.Кунцевич, М.М.Лычак. - М.: Наука, 1977. - 400 с.

26. Ла-Салль, Ж. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова / Ж.Ла-Салль, С.Лефшец. - М.: Мир, 1964. - 169 с.

27. Руш, Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н.Руш, П.Абетс, М.Лалуа. - М.: Мир, 1980. - 300 с.

28. Румянцев, В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения / В.В.Румянцев. - Механика в СССР за 50 лет. - М.: Наука, 1968. - Т. 1. - С. 7 - 66.

29. Якубович, В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем / В.А.Якубович // Автоматика и телемеханика, 1964.-№7.-С. 1017- 1029.

30. Леонов, Г.А. Метод нелокального сведения в теории устойчивости / Г.А.Леонов, В.Б.Смирнова. - Метод функций Ляпунова и его приложения. - М.: Наука, 1984. - С. 98- 106.

31. Леонов, Г.А. Об одном способе построения функций Ляпунова / Г.А. Леонов // Устойчивость движения. - Новосибирск: Наука, 1985. - С. 67 - 71.

32. Молчанов, А.П. Построение функций Ляпунова, определяющих необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости в классе нестационарных нелинейностей / А.П.Молчанов, Е.С.Пятницкий // Устойчивость движения. -Новосибирск: Наука, 1985. - С. 82 - 88.

33. Молчанов, А.П. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия линейных дифференциальных включений / А.П.Молчанов, Е.С.Пятницкий. - Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1987. - С. 52 - 61.

34. Молчанов, А.П. Функции Ляпунова для нелинейных дискретных систем управления / А.П.Молчанов // Автоматика и телемеханика, 1987. - № 6. С. 26 - 35.

35. Молчанов, А.П. Функции Ляпунова для нелинейных нестационарных дискретных систем управления с периодической линейной частью / А.П.Молчанов // Автоматика и телемеханика, 1992. - Т. 53, № 10. - С. 37 - 45.

36. Дьяченко, И.В. Численный метод построения функций Ляпунова и анализ устойчивости нелинейных динамических систем на ЭВМ / И.В.Дьяченко, А.П.Молчанов, Е.С.Пятницкий // Автоматика и телемеханика, 1994. - Т. 55, № 4. -С. 23 -38.

37. Крутько, П.Д. Функции Ляпунова в обратных задачах динамики управляемых систем. Многомерные модели / П.Д.Крутько // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1984. - № 4. - С. 168 - 177.

38. Крутько, П.Д. Синтез дискретных управлений по функциям Ляпунова / П.Д.Крутько // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1984. - № 2.

39. Гришин, С.А. Конструирование нелинейных законов управления по функциям Ляпунова / С.А.Гришин, П.Д.Крутько, Е.П.Попов // Докл. АН СССР, 1984. - Т. 278, № 4.

40. Скворцов, Л.М. К задаче построения управлений по функциям Ляпунова / Л.М.Скворцов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1984. - № 4.

41. Крутько, П.Д. Обращение прямого метода Ляпунова в задачах управления динамическими системами / П.Д.Крутько // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1989. - № 3.

42. Lindorff, D.P. Survey of adaptive control using Lyapunov design / D.P.Lindorff, R.L.Carrol // Int. J. Contr., 1973. - V. 18, № 5. - P. 897 - 914.

43. Parks, P.C. Lyapunov redesign of model reference adaptive control systems / P.C.Parks // IEEE Aut. Contr., 1966. - V. AC-11, № 3. - P. 362 - 367.

44. Meyer, K.R. On the existence of Lyapunov functions for the problem of Lur'e / K.R.Meyer // J. SIAM Control, 1966. - Ser. A, v. 3. - P. 373 - 383.

45. Wonham, W.M. A Lyapunov method for the estimation of statistical averages / W.M. Wonham // J. Differential Equations, 1966. - V. 2. - P. 365 - 377.

46. Kalman, R.E. Lyapunov functions for the problem of Lur'e in automatic control/ R.E.Kalman // Proc. of the National of Sciences of the United States of America, 1963. -V. 49, № 1. - P. 201 -205.

47. Grujic, L.T. Lyapunov-like solutions for stability problems of the most general

stationary Lurie - Postnikov systems / L.T.Grujic // Int. J. of Systems Science, 1981. - V. 12, №7.-P. 813 - 833.

48. Дружинский, И.А. Методы обработки сложных поверхностей на металлорежущих станках / И.А.Дружинский. - M.-JL: Машгиз, 3-е изд, 1965. - 600 с.

49. Миль, M.JI. Вертолеты. Расчет и проектирование. Кн.1 / М.Л.Миль. - М.: Машиностроение, 1966. - 455 с.

50. Колесников, Г.А. Аэродинамика летательных аппаратов / Г.А.Колесников, В.К.Марков. - М.: Машиностроение, 1993. - 543 с.

51. Андреев, А.Г. Метод формирования статорных токов при моделировании вентильного электропривода в составе технологического робота / А.Г.Андреев,

52. Бесекерский, В.А. Динамический синтез систем автоматического регулирования / В.А.Бесекерский. - М.: Наука, 1970. - 576 с.

53. Макарова, Т.А. Оценка взаимовлияния движения степеней подвижности трехзвенного робота с безредукторными приводами / Т.А.Макарова, М.М.Стебулянин // Вестник МГТУ «СТАНКИН». - 2012. - № 3. - С. 145 - 150.

54. Попов, Е.П. Манипуляционные роботы. Динамика и алгоритмы / Е.П.Попов,

A.Ф.Верещагин, С.Л.Зенкевич. - М.: Наука, 1978. - 398 с.

55. Ким, Д.П. Определение желаемой передаточной функции при синтезе систем управления алгебраическим методом / Д.П.Ким // Мехатроника, автоматизация, управление, 2011. - № 5. - С. 15 - 21.

56. Пятницкий, Е.С. Принцип декомпозиции и управления механическими и электромеханическими системами / Е.С.Пятницкий // Известия АН. Техническая кибернетика, 1990. - № 6. - С. 4 - 15.

57. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г.Лойцянский. - М.: ДРОФА, 2003. - 840 с.

58. Кожевников, В.А. Автоматическая стабилизация вертолета / В.А.Кожевников. - М.: Машиностроение, 1977. - 152 с.

59. Матросов, В.М. Метод функций Ляпунова в системах с обратной связью /

B.М.Матросов // Автоматика и телемеханика, 1972. - № 9. - С. 63 - 75.

60. Красовский, H.H. Второй метод Ляпунова в теории устойчивости движения / Н.Н.Красовский // Тр. Всесоюзного съезда по теории и прикладной механике. -М.: Изд-во АН СССР, 1962. - С. 36 - 47.

61. Красовский, H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений / Н.Н.Красовский. - Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Дополнение 4. -М.: Наука, 1966. - С. 475 - 514.

62. Смирнов, Е.Я. Управление движением механических систем / Е.Я.Смирнов, В.Ю.Павликов, П.П.Щербаков, А.В.Юрков. - Л.: Изд-во Л.ун-та, 1985. - 316 с.

63. Лурье, А. И. Аналитическая механика / А.И.Лурье. - М.: Издательство физико - математической литературы, 1961. - 824 с.

64. Филаретов, В.Ф. Устройства и системы управления подводных роботов / В.Ф.Филаретов, А.В.Лебедев, Д.А.Юхимец. - М.: Наука, 2005. - 270 с.

65. Каленова, В.И. Неголономные механические системы. и стабилизация движения / В.И.Каленова, А.В.Карапетян, В.М.Морозов, М.А.Салмина. - М.: Издательский дом «Открытые системы», Центр новых информационных технологий МГУ, 2005. - Фундаментальная и прикладная математика. - Т. 11, №7. -С. 117-158.

66. Неймарк, Ю.И. Динамика неголономных систем / Ю.И.Неймарк, Н.А.Фуфаев. -М.: Наука, 1967.-520 с.

67. Николенко, И.В. Динамика управляемых неголономных систем / И.В.Николенко. - Киев: Выща шк, 1985. - 184 с.

68. Стебулянин, М.М. Контурное управление манипуляционным роботом в режиме априорной неопределенности закона движения / М.М.Стебулянин,

A.Г.Синицын // Известия ВУЗов. Машиностроение, 2011. - № 8. - С. 44 - 50.

69. KUKA Robotics Project Book. - Kuka Robotics Corporation. - Version 6.5, 2010, July 01.-20 p.

70. Дьяконов, В. Simulink 4.Специальный справочник / В.Дьяконов. - СПб.: Питер, 2002.-518 с.

71. Зенкевич, С.Л. Управление роботами / С. Л.Зенкевич, А.С.Ющенко. - М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - 399 с.

72. Алефельд, Г. Введение в интервальные вычисления / Г.Алефельд, Ю.Херцбергер. - М.: Мир, 1987. - 360 с.

73. Добронец, Б.С. Двусторонние численные методы / Б.С.Добронец,

B.В.Шайдуров. - Новосибирск: Наука, 1990. - 208 с.

74. Калмыков, С.А. Методы интервального анализа / С.А.Калмыков, Ю.И.Шокин, З.Х.Юлдашев. - Новосибирск: Наука, 1986. - 222 с.

75. Назаренко, Т.Н. Введение в интервальные методы вычислительной математики/ Т.И.Назаренко, Л.В.Марченко. - Иркутск: Иркутский государственный университет, 1982. - 108 с.

76. Шарый, С.П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем

с интервальной неопределенностью / С.П.Шарый // Изв. РАН. Теория и системы управления, 1997. - № 3. - С. 51 - 61.

77. Шарый, С.П. Внешнее оценивание обобщенных множеств решений интервальных линейных систем / С.П.Шарый // Вычислительные технологии, 1999.-№4.-С. 83-113.

78. Шарый, С.П. Численное нахождение алгебраического решения интервальных линейных систем / С.П.Шарый. - Дискретная математика. - Красноярск: КГТУ, 1995.-С. 129- 145.

79. Shary, S.P. A new approach to the analysis of static systems under interval uncertainty / S.P.Shary. - Scientific Comput. and Validated Numerics. - Berlin: Academie Verlag, 1996. - P. 224 - 233.

80. Лакеев, A.B. Существование и единственность алгебраических решений интервальных линейных систем в полной арифметике Каухера / А.В.Лакеев // Вычислительные технологии, 1999. - Том 4, № 4. - С. 33 - 44.

81. Лакеев, А.В. О множестве решений линейного уравнения с интервально заданными оператором и правой частью / А.В.Лакеев, С.И.Носков // Сибирский математический журнал, 1994. - Т. 35, № 5. - С. 1074 - 1084.

82. Berti, S. The solution of an interval equation / S.Berti // Mathematica, 1969. - 11 (34),№2.-P. 189- 194.

83. Gay, D.M. Solving interval linear equation / D.M.Gay // SIAM J. on Num. Anal., 1982.- 19, №4. -P. 858- 870.

84. Hansen, E. Bounding the solution of interval linear equation / E.Hansen // SIAM J. on Num. Anal., 1992. - 29, № 5. - P. 1493 - 1503.

85. Neumaier, A. Interval methods for systems of equations / A.Neumaier. -Cambridge: Cambridge University Press, 1990. - 255 p.

86. Шашихин, B.H. Интервальные динамические системы. Модели, анализ, синтез / В.Н.Шашихин. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. - 214 с.

87. Шашихин, В.Н. Робастная стабилизация интервальных динамических систем / В.Н.Шашихин // Теория и системы управления, 1996. - № 6. - С. 47-53.

88. Шашихин, В.Н. Интервальная стабилизация объектов с параметрической неопределенностью / В.Н.Шашихин // Вычислительные, измерительные и управляющие системы. Труды СПбГТУ, 2000. - С. 65 - 69.

89. Шашихин, В.Н. Оптимизация нелинейных систем на основе метода интервальной линеаризации / В.Н.Шашихин // Известия РАН. Теория и системы управления, 1999. - № 3. - С. 29 - 37.

90. Petersen, T.R. Riccati Equation Approach to the Stabilization of Uncertain Linear Systems / T.R.Petersen, C.V.Hollot // Automatica, 1986. - P. 397 - 411.

91. Оморов, P.O. Робастность интервальных динамических систем. 1. Робастность непрерывных линейных интервальных динамических систем / Р.О.Оморов // Известия РАН. Теория и системы управления, 1995. - №1. - С. 22 - 27.

92. Рапопорт, Л.Б. Анализ робастной устойчивости линейных стационарных систем с помощью квадратичных функций Ляпунова, зависящих от параметра / Л.Б.Рапопорт // Автоматика и телемеханика, 1998. - № 8. - С. 146 - 156.

93. Щербаков, П.С. Достаточное условие робастной устойчивости неопределенных матриц / П.С.Щербаков // Автоматика и телемеханика, 1998. - № 8.-С. 71 -79.

94. Бобылев, H.A. О положительной определенности интервальных семейств симметричных матриц / Н.А.Бобылев, С.В.Емельянов, С.К.Коровин // Автоматика и телемеханика, 2000. - № 8. - С. 5 - 10.

95. Харитонов, В.Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений / В.Л.Харитонов // Дифференциальные уравнения, 1978. - Т. 14, № 11. - С. 2086 - 2088.

96. Hyland, D.C. A Majorant Lyapunov Equation: a Nonnegative Matrix Equation for Robust Stability and Perfomance of Large Scale Systems / D.C.Hyland, D.S.Bernstein // IEEE Trans, on Automatic Control, 1987. - Vol. 32. - P. 1005 - 1013.

97. Шокин, Ю.И. Интервальный анализ / Ю.И.Шокин. - Новосибирск: Наука,

*

1981.- 112 с.

98. Kaucher, Е. Interval analysis in the extended space IR / E.Kaucher // Computing Supplement, 1980. - V. 2. - P. 33 - 49.

99. Шклярский, Д.О. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Ч. 1. Арифметика и алгебра / Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. - 455 с.

100. Персидский, К.П. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений / К.П.Персидский. - ИАН Казахской ССР 97, 1950. - Вып.4

101. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П.Демидович. - М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1967. - 472 с.

102. Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения / А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников. - М.: Наука, Физматлит, 1998. - 231 с.

103. Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Р.Беллман. - М.: ИЛ, 1954. - 216 с.

104. Воеводин, В.В. Матрицы и вычисления / В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 318 с.

105. Дьяконов, В. MATLAB 6: учебный курс С.-Петербург / В.Дьяконов. - СПб.: Питер, 2000. - 592 с.

106. Гультяев, А. Визуальное моделирование в среде MATLAB / А.Гультяев. -СПб.: Питер, 2000. - 432 с.

107. Брамер, К. Фильтр Калмана-Бьюси. Детерменированное наблюдение и стохастическая фильтрация / К.Брамер, Г.Зиффлинг. - М.: Наука, 1982. - 200 с.

108. Стечкин С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С.Б.Стечкин, Ю.Н.Субботин. - М.: Наука, 1976. - 172 с.

109. Бибиков, Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Н.Бибиков. - СПб.: Лань, 2011. - 304 с.

110. Климентов, С.И. О синтезе асимптотически устойчивого алгоритма адаптивной системы с эталонной моделью прямым методом Ляпунова / С.И.Климентов, Б.И.Прокопов // Автоматика и телемеханика, 1974. - № 10. - С. 97 -104.

111. Кореневский, Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии / Д.Г.Кореневский. - Киев: Наук, думка, 1989. - 208 с.

112. Шильман, C.B. Алгебраический критерий абсолютной устойчивости нелинейных дискретных систем / С.В.Шильман // Автоматика и телемеханика, 1977.-Т. 38, № 12.-С. 48-55.