Стабилизация и устойчивость нелинейных импульсных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Муранов, Виталий Арсеньевич

• Муранов, Виталий Арсеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Муранов, Виталий Арсеньевич

Глава

Введение

1.1. Импульсные системы и методы их исследования

1.2. Основные результаты диссертации.

Глава

Устойчивость нелинейных импульсных систем с монотонной эквивалентной нелинейностью модулятора

2.1. Введение

2.2. Постановка задачи

2.3. Формулировка результата.

Глава

Стабилизация нелинейных импульсных систем с последействием

3.1. Введение

3.2. Постановка задачи

3.3. Формулировка результата для первого класса систем

3.4. Формулировка результата для второго класса систем

Глава

Инвариантная стабилизация импульсных систем с нелинейной непрерывной частью

2.1. Введение

2.2. Постановка задачи

3.3. Формулировка результата для первого класса систем

3.4. Формулировка результата для второго класса систем

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стабилизация и устойчивость нелинейных импульсных систем»

1.1. Импульсные системы и методы их исследования

По-видимому, первыми работами по исследованию систем с импульсной модуляцией были статья 1897 года [1], а также спецкурс Н.Е. Жуковского [2], читавшийся в 1908-1909 гг. В первой работе рассматривался регулятор температуры, который с помощью широтно-импульсной модуляции позволял поддерживать постоянную температуру в котле. Н.Е. Жуковский исследовал систему управления скоростью вращения турбины методом отсечки пара, в которой была реализована широтно-импульсная модуляция.

Интерес к динамике систем с импульсной модуляцией стимулируется не только тем обстоятельством, что некоторые модели нейронных сетей описываются импульсными системами, но и благодаря тому, что импульсные системы широко применяются в современной технике при обработке информации и управлении благодаря простоте их реализации, высокой точности и надежности, а также малой энергоемкости.

Поэтому естесственно, что исследование динамических свойств импульсных систем превлекало внимание многих ученых (Н.Е. Жуковский, Я.З. Цыгжин, В.А. Якубович, В.М. Кунцевич, Ю.Н. Чеховой, Е.Н.

Розенвассер, А.Д. Мышкис, A.M. Самойленко, М. Gouy, E.I. Jury, V. Lakshmikantham, D.D. Bainov, P.S. Simeonov, П. Видаль, Г.А. Леонов, A.X. Гелиг, A.H. Чурилов и др.). Развитию импульсных систем посвящены обзоры

И, [4], [5]).

С математической точки зрения системы с импульсной модуляцией представляют собой особый класс функционально-дифференциальных или функционально-интегральных уравнений.

Основным элементом импульсной системы класса, рассматриваемого в диссертации, является импульсный модулятор, который описывается нелинейным оператором, в дальнейшем называемом G-модулятором [48], отображающим входной сигнал сг (t) в выходной сигнал (обе функции определены при t > 0). Конкретный вид оператора зависит от типа модуляции и принятой математической модели. Наиболее общее свойство модулятора состоит в том, что он генерирует возрастающую последовательность моментов импульсации to = 0 < < h < • • •; интервал [£n, tn+1) называется n-м тактовым интервалом.

Для описания G-модулятора введем понятие эквивалентной нелинейности. Функция (р(сг) называется эквивалентной нелинейностью модулятора, если на любом тактовом интервале [tn, tn+1) существует такое tn £ [tn, tn+1), что среднее значение n-го импульса

1 ftn+l vn = --- / №<Н tn+l ~1П J tn удовлетворяет соотношению vn = <f{v{tn))

Для описания импульсного модулятора, вырабатывающего импульсы конечной длительности, используют G-оператор, описывающий импульсный модулятор. Он определен на множестве непрерывных входных функций cr(t), каждой из которых он сопоставляет кусочно-непрерывную функцию £(£). При t п t < tn+i функция £(t) описывает форму п-го импульса (обычно £(£) не меняет знак на тактовом интервале). Чаще всего встречаются импульсы прямоугольной формы, когда

Здесь t'n, тп, Хп — некоторые числа, tn < t'n < t'n + тп < tn+г. Числа Ап и тп называются амплитудой и шириной импульса соответственно. Встречаются случаи, когда форма импульса является существенно более сложной. Например, импульсы на выходе тиристорного преобразователя обычно являются кусками синусоиды [6]. Некоторые из параметров функции считаются известными и постоянными, в то время как другие являются функционалами от функции a(t). Последние параметры называются модулированными. Например, если tn является функционалом от сг(£), то имеем частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ). Если tn не модулируется, то tn = пТ, где Т — заданное положительное число (период импульсации). Аналогично можно рассмотреть амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), широтно-импульсную модуляцию (ШИМ) и фазо-импульсную модуляцию (ФИМ). Иногда несколько параметров импульсного сигнала модулируются одновременно. Такая модуляция называется комбинированной.

Опишем наиболее часто встречающиеся виды импульсной модуляции £ ^ + тп),

О, t G [tn,Q U [t!n + Tn,tn+i).

И, М, [9].

Широтно-импульсная модуляция первого рода (ШИМ-1)

Она описывается уравнениями

Isigncr(nT), nT<t<nT + tn,

1.1)

О, пТ + тп < t < (п + 1 )Т, тп = Тф{\а{пТ)\). (1.2)

В этом случае tn = пТ, п = 0,1,2,., где Т — положительное постоянное число, sign 0 = 0, ф(сг) — непрерывная функция, определенная при а е [0, +оо), ф(0) = 0, 0 < ф(<т) < 1.

Широтно-импульсная модуляция второго рода (ШИМ-2)

Здесь £(t) определяется формулой (1.1), а тп — минимальный неотрицательный корень уравнения тп = Тф(\а(пТ + тп)\), (1.3) если таковой найдется на интервале [0,Т), и тп = Т в противном случае. Здесь функция ф(а) — такая же, что и при ШИМ-1.

Если рассмотреть оператор М, отображающий сигнал a(t) G С[0,Р) в ф) е L[0,P), то очевидно, что в случае ШИМ-1 он будет непрерывным, ввиду непрерывности функции ф в равенстве (1.2). В случае же ШИМ-2 этот оператор будет, вообще говоря, разрывным, поскольку корень уравнения (1.3) не является непрерывным функционалом от функции a(t), сколь бы гладкой она не была. Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)

В этом случае

00 t(t) = £*nSe(t-nT), (1.4) п=О где \п = ф(а(пТ — 0)). Функция ф(а) — непрерывная, монотонно возрастающая и ограниченная при а Е (—оо,+оо), 0(0) = 0.

Частотно-импульсная модуляция первого рода (ЧИМ-1)

Здесь входной сигнал преобразуется в последовательность мгновенных импульсов, которые описываются с помощью ^-функций Дирака:

00 п=0 где моменты импульсации tn и коэффициенты А„ могут быть функционалами от <т(£).

Isigna(tn - 0) при \a(tn - 0)| > Д,

1.6)

О при \cr(tn — 0)| < Д, tn+i = tn + Tn, Тп = F(\a(tn — 0)|). (1.7)

Функция F(a) непрерывна и монотонно убывает при а Е [0,+оо), F(+oo) = Т* > О, Д — некоторая неотрицательная константа (порог нечувствительности).

Частотно-импульсная модуляция второго рода (ЧИМ-2)

Здесь £(£), \п и F(a) — такие же, как в в случае ЧИМ-1, Тп — минимальный положительный корень уравнения

Тп = F(\a(tn + Тп — 0)|).

Комбинированная модуляция

Например, широтно-амплитудная модуляция, при которой tn = пТ, ап, при пТ <t < пТ + тп f (t)

О, при пТ + rn<t <(п + 1 )Т signa(nT), при \<т{пТ) \ < 1 <т(пТ), при \сг{пТ)\ > 1

TF\a(nT)\, при \а(пТ)\ < 1 Т, при \а(пТ)\ > 1.

Среди систем с импульсной модуляцией лучше всего изучены системы с АИМ. Это объясняется тем фактом, что в случае стационарной непрерывной линейной части они легко могут быть сведены к дискретным системам с постоянными коэффициентами (разностным схемам).

Методы исследования дискретных систем хорошо известны (см.,

Изучение поведения системы между тактами в большинстве случаев также не встречает серьезных трудностей.

Если применить описанную выше схему к системам с ШИМ или ЧИМ, то также получаем дискретные уравнения, но уже не с постоянными, а с переменными коэффициентами (которые, к тому же, являются функционалами от вектора состояний x(t)). Единственное исключение представляют системы с ШИМ-1, для которых в работе [15] был предложен оригинальный метод сведения к дискретному случаю со многими нелинейностями.

Для исследования устойчивости дискретных систем с нелинейными коэффициентами В.М. Кунчевичем и Ю.Н. Чехавым в [8], [16] был предложен вариант второго метода Ляпунова, который приводит к трансцендентным неравенствам, зависящим от коэффициентов квадратичной формы, выбранной в качестве функции Ляпунова.

Для исследования устойчивости импульсных систем описываемых например, [7], [10], [11], [12], [13], [14], [9]). функционально-интегральными уравнениями использовался метод, основанный на свойствах положительных ядер интегральных операторов [17], метод прямых интегральных оценок [18] и предложенный В.А. Якубовичем метод интегрально-квадратичных связей [19], [20], [21]. Несколько иной подход, также основанный на втором методе Ляпунова, был развит в работе [22].

В работе [23], [24] было предложено при теоретическом исследовании широтно-импульсной системы заменить ее на амплитудно-импульсную с теми же площадями импульсов. При этом эвристически предполагалось, что если частота импульсации лежит вне полосы пропускания линейного фильтра, то такая замена оправдана. Этот способ получил название принцип "эквивалентных площадей" и долгое время применялся при расчете динамики импульсных систем без строгого математического обоснования.

В работе А.Х. Гелига [25] этот же принцип был применен для систем у которых модулироваться может и частота импульсации. С помощью метода усреднения и априорных интегральных оценок были получены частотные условия устойчивости в целом, которые при стремлении частоты импульсации к бесконечности превращались в известные частотные условия абсолютной устойчивости непрерывных нелинейных систем. Таким образом, в рамках использованного метода было получено теоретическое обоснование принципа эквивалентных площадей для широкого класса законов модуляции.

Другой подход к обоснованию принципа эквивалентных площадей был предложен А.Н. Чуриловым в [26]. Он был основан на методе усреднения и новых интегральных квадратичных связях, с помощью которых удалось для исследования устойчивости импульсной системы в целом непосредственно применить второй метод Ляпунова и частотную теорему

В. А. Якубовича. Полученные на этом пути частотные критерии оказались менее ограничительными, чем критерии, полученные в [25].

В дальнейшем эти интегральные квадратичные связи использовались и при исследовании устойчивости импульсных систем с помощью метода априорных интегральных оценок [27], а также при решении других задач: исследовании автоколебательности нелинейных импульсных систем (в смысле В. А. Якубовича) [28], [29], [30], исследовании широтно-импульсных систем фазовой синхронизации [31], исследовании устойчивости нелинейных импульсных систем, при стохастических возмущениях коэффициентов [32], [33], [34], [35], стабилизация импульсных систем периодическим внешним воздействием [36], при синтезе стабилизирующего управления в нестационарных импульсных системах [37], [38], [39].

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Муранов, Виталий Арсеньевич

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1. Исследована абсолютная устойчивость состояния равновесия нелинейной импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением с разрывным нелинейным оператором в правой части. При предположении о монотонности эквивалентной нелинейности получено частотное условие устойчивости в целом состояния равновесия, которое распространяют на импульсные системы частотный критерий Н.Е. Барабанова.

2. Для двух классов нелинейных импульсных систем синтезированы робастные стабилизирующие управления, при которых состояние равновесия устойчиво в целом.

3. Для нелинейной импульсной системы с постоянно действующим внешним воздействием синтезированы управления, которые стабилизируют выход системы независимо от внешнего воздействия, а вектор состояния системы оставляют ограниченным.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Муранов, Виталий Арсеньевич, 2007 год

1. Gouy М. Sur une etuve a temperature constante // J. Physique, Ser. 3. 1897. V.6. P.497-483.

2. Жуковский H.E. Теория регулирования хода машин // Собрание сочинений. Т. III. Гидравлика. Прикладная математика. М.; JL; ГИТТЛ, 1949.

3. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Pulse-Modulated Systems: a Review of Mathematical Approach // Functional Differential Equations, 1996. v.3. e3-4.

4. Гелиг A.X., Чурилов A.H. Динамика систем с импульсной модуляцией // Сб. "Нелинейная теория управления: динамика, управление, оптимизация". Москва, 2001, с.314-341.

5. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Частотные методы в теории устойчивости систем управления с импульсной модуляцией. // Автоматика и Телемеханика. 2006, ell, стр.60-76.

6. Моргоновский Ю.Я. Импульсные системы управляемой структуры с тиристорными преобразователями. М.: Энергия, 1976. 248 с.

7. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. М: Энергия, 1974. 336 с.

8. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Наука, 1970, 340с.

9. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973. 414 с.

10. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Динамика систем с импульсной модуляцией. // С.-Петербург, ун-та, Cep.l), Bbin.l(Nl), 2003.

11. И. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: ГИФМЛ, 1963. 456 с.

12. Косякин А.А., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автоматических системах. М: Наука, 1983, 334с.

13. Ту Ю. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964, 703 с.

14. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 310 с.

15. Delfelcl F.R., Murphy G.J. Analysis of pulse-width-modulated control systems// IRE Trans. Autom. Control. 1961. Vol. 6, N3, P. 35-44.

16. Kuntsevich V.M., Chekhovoi Yu.N. Fundamentals of non-linear control systems with pulse-frequency and pulse-width modulation. Automatica (IFAC journal), (7): 7-81, 1971.

17. Гелиг A.X. Динамика импульсных систем и нейронных сетей Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 192 с.

18. Gulcur И.О., Meyer A.U. Finit-pulse stability of interconnected systems with complete-reset pulse frequency modulators // IEEE Trans. Autom. Control. 1973. Vol. 18, N4, P. 387-392.

19. Шепелявый А.И. Частотные условия абсолютной устойчивости и неустойчивости широтно-импульсных систем управления// Вестник Ленингр. ун-та, Сер. мат., мех., астр. 1972. Вып. 3.N 13. С. 77-85.

20. Якубович В.А. Об импульсных системах управления с широтной модуляцией // Докл. АН СССР. 1968. Т. 180 N2, С. 290-293.

21. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости (специальные случаи) В кн.: Нелепин Р.А. (ред.) Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М.: Наука, 1975. С. 120-180.

22. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Об устойчивости в целом систем с импульсным воздействием.// Дифференциальные уравнения (Минск), 1997, N6, С. 748-753.

23. Andeen R.E. Analysis of pulse duration sampled-data system with linear elements // IRE Trans. Autom. Control. 1960. Vol. 5, N4, P. 306-313.

24. Andeen R.E. The principle of equivalent areas. Trans. AIEE (Applications and Industry). 1960. Vol. 79. P. 332-336.

25. Gelig A.Ch. Frequency criteria for nonlinear pulse systems stability // Systems and Control Letters, 1982. Vol. 1, N 6

26. Чурилов А.Н. Частотный критерий устойчивости нелинейных импульсных систем // Автоматика и Телемеханика, 1991. N 6, с. 95-194

27. Айвазян Э.Ю., Гелиг А.Х. Устойчивость асинхронных импульсных систем с комбинированной модуляцией// Автоматика и Телемеханика, 1993. N 4, с. 108-114

28. Гелиг А.Х. Автоколебания в нелинейных импульсных системах // Вестник Ленингр. ун-та, Сер.1, 1983. Вып. 13.

29. Гелиг А.Х. Автоколебания в импульсных системах с высокой тактовой частотой // Автоматика и Телемеханика, 1984. N 10.

30. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Условия автоколебательности нелинейных систем// Вестник Ленингр. ун-та, Сер.1, 1985. Вып. 1.

31. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1993. 266 с.

32. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В. Устойчивость функционально-дифференциального уравнения Ито с монотонной нелинейной характеристикой // Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1, 1995. Вып. 4.

33. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В. Устойчивость нелинейных импульсных систем при случайных возмущениях параметров // Автоматика и Телемеханика, 1995. N 11.

34. Гелиг А.Х., Санкина Н.А. Устойчивость первого класса функционально-дифференциальных уравнений Ито в критическом случае одного нулевого корня // Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1, 1998. Вып. 2, с. 19-23.

35. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В., Чурилов А.Н. Устойчивость одного класса функционально-дифференциальных уравнений Ито // Вестник С.Петербург. ун-та, Сер.1, 1994. Вып. 2. с. 3-9.

36. Гелиг А.Х., Чурилова М.Ю. Стабилизация импульсных систем периодическим внешним воздействием // Сборник "Анализ и управлениенелинейными колебательными системами" С.-Петербург: Наука, 1998, с. 5-21.

37. Гелиг А.Х. Аналитический синтез стабилизирующего управления по выходу для нестационарных импульсных систем. // Вестник С.Петербург. ун-та, Сер.1, 2004. Вып. 2.

38. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Стабилизация импульсных систем с нестационарной линейной частью. // Вестник С.-Петербург, ун-та, Cep.l, bbin.l(Nl), 2003.

39. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Стабилизация нестационарных импульсных систем.// Автоматика и Телемеханика, 2004. N 5.

40. Гелиг А.Х., Кабриц М.С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем. // Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер. 1. 2003. Выи. 2.

41. Кабриц М.С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем в критическом случае одного нулевого корня. / / Дифференциальные уравнения и процессы управления 2004, N2, стр. 68 -81.

42. Кипнис М.М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсных систем управления // ДАН, Т 324, N2, 1992.

43. Гелиг А.Х., Михеева Н.Н. Устойчивость одного класса функционально дифференциальных уравнений в простейшем критическом случае // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал. 2000. el. http://www.neva.ru/journal.

44. Kuznetsov N.V. On the stability of nonlinear systems with monotonic dif-ferentiable characteristics // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал. 2000. el. http://www.neva.ru/journal.

45. Гелиг А.Х., Кузнецов Н.В., Михеева Н.Н. Устойчивость импульсных систем управления // Труды 6-го С.-Петербургского симпозиума по теории адаптивных систем. СПб., 1999, 7-9 сент. Т.2. С.50-53.

46. Барабанов Н.Е. Частотные критерии устойчивости и неустойчивости в целом стационарных множеств нелинейных систем дифференциальных уравнений с одной монотонной нелинейностью. // Сибирский мат. журнал, T.XXVIII, е2, 1987.

47. А.Х. Гелиг, И.Е. Зубер, А.Н. Чурилов. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. // СПб: Изд-во СПбГУ, 2006.

48. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Stability and oscillations of nonlinear pulse-modulated systems. // Birkhauser, Boston, 1998

49. Yakubovich V.A., Leonov G.A., Gelig A.Kh. Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities // World Scientific, New Jersey-London-Singapore. 2004

50. Гелиг А.Х. Устойчивость нелинейных импульсных систем по первому приближению // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 62. е8. С.231-238.

51. Isidory A. Nonlinear Control Systems. Springer Verlag. Berlin, 1989. P.587.

52. Khalil H. Nonlinear Systems. Printers Hall. Jersey, 1996. P.460.

53. Zak S.H., Maccarley C.A. State-feedback control of nonlinear systems.// Int.J.Control, 1986, v.43, e5, P. 1497-1514.

54. Зубер И.Е. Квази-канонические преобразования подобия и стабилизируемость нелинейных систем управления.// Вестник СПбГУ. Сер.1.

55. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Стабилизация нестационарных импульсных систем.// Автоматика и телемеханика, 2004, е5, с.29-37

56. Гелиг А.Х., Муранов В.А. Стабилизация нелинейных импульсных систем с запаздывающим аргументом. // Международная конференция "Dynamical modelling of Control Systems.", S.-Petersburg, Jule 2004, www.neva.ru / ds2004/cm-ds2004.htm

57. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-modulated Systems. Boston: Birkhauser, 1998. P.360

58. Зубер И.Е. Синтез экспоненциально устойчивого наблюдателя для линейных нестационарных систем с одним выходом. // Автоматика и телемеханика, 1995, е8, с.25-33.

59. Щипанов Г.В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов. // Автоматика и телемеханика. 1939. N 1. С.4-37.

60. Левина З.М., Левин В.И. Г.В. Щипанов и теория инвариантности. М.: Физматлит. 2004.

61. Кухтенко А.И. Обзор по теории инвариантности. // Автоматика. 1984. N 2. С. 3-13. 1985. N 2. С. 3-14. N 6. С. 3-14

62. Якубович В.А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания. // ДАН СССР. 1995. Т. 343. N 2, С. 172-175.

63. Якубович В.А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выходной переменной системы управления от внешнего воздействия. // Докл. РАН. 2001. Т. 380. N 1, С. 25-30.

64. Якубович В.А., Проскурников А.В. Задача об инвариантности системы управления. // Докл. РАН. 2003. Т. 343. N 6. С. 742-746.

65. Зубер И.Е. Инвариантная стабилизация и задача слежения. // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2006.

66. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Инвариантная стабилизация нестационарных систем управления с внешним воздействием. // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2005 Вып. 2. С. 27-35.

67. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб: Изд. СПбГУ. 1998.

68. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston: Birkhauser. 1998.

69. Гелиг A.X., Муранов В.А. Стабилизация двух классов нелинейных импульсных систем с последействием. // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2005. Вып. 3. С.3-15.

70. Гелиг А. X., Муранов В. А., Инвариантная стабилизация импульсных систем с нелинейной непрерывной импульсной частью. // Вестник СПбГУ, сер. 1, 2007, вып. 3, стр. 100-110.