Стабилизация и аналитические методы синтеза режимов нелинейной динамики машин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат физико-математических наук Рыжов, Евгений Николаевич

• Рыжов, Евгений Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рыжов, Евгений Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ УСТОЙЧИВЫХ

МНОГОМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ЕДИНИЧНОМ ШАРЕ.

1.1. Постановка задачи синтеза нелинейной обратной связи по состоянию, стабилизирующей многомерную колебательную модель.

1.2. Стабилизации системы на замкнутом единичном шаре в окрестности его границы

13. Предельный цикл на единичной сфере в R

1.4. Возбуждение автоколебательного режима на эллипсоиде в R

1.5. Математическое моделирование автоколебательного режима на эллипсоиде. Фазовые портреты процессов стабилизации.

1.6. Выводы

ГЛАВА 2 СИНТЕЗ ИНВАРИАНТНЫХ ЭЛЛИПСОИДОВ И

СТАБИЛИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ГРАДИЕНТНОГО ТИПА.

2.1. Постановка задачи синтеза нелинейной обратной связи стабилизирующей многомерную градиентную модель

2.2. Достаточные условия инвариантности и асимптотической устойчивости эллипсоида

2.3. Фазовые портреты процессов стабилизации градиентных систем в замкнутом единичном шаре в R* . ^ s 2.4. Математическое моделирование процессов стабилизации трехмерных градиентных моделей

2.5. Выводы

ГЛАВА 3 АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ЗВЕНЬЕВ.

3.1. Постановка задачи аналитического конструирование v \ стабилизирующего устройства (АКСУ) для генерации и 52 автоколебательных режимов

3.2. Задача АКСУ для одного неустойчивого колебательного звена

33. Задача АКСУ для возбуждения автоколебательного режима при взаимодействии двух колебательных процессов

3.4. Алгоритм синтеза устойчивого автоколебательного режима на двух колебательных звеньях

3.5. Выводы

ГЛАВА 4 АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ

СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ НА АЛГЕБРАХ ЛИ

4.1. Динамические модели, их векторные поля и алгебры Ли.

4.2. Достаточные признаки существования структурной неустойчивой динамики моделей и робастность.

4.3. Неразрешимость некоторых задач стабилизации на абелевых алгебрах Ли

4.4. Синтез двумерных моделей, стабилизирующихся в окрестности, заданного состояния равновесия на некоммутативной алгебре Ли квадратично-нелинейных векторных полей.

4.5. Задача АКСУ аварийной стабилизации. Запасные точки стабилизации и формирование петлевой динамики при срывах устойчивого режима. Аварийная стабилизация на алгебре Ли.

4.6. Образование петель в пространстве концентраций реагирующих смесей как свойство стабилизации процессов в химических технологиях

4.7. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стабилизация и аналитические методы синтеза режимов нелинейной динамики машин»

Динамика современных машин характеризуется наличием нелинейных режимов, которые вызваны как наличием нелинейных силовых взаимодействий в машинах, так и использованием различного рода управляющих связей — регуляторов. Аналитический синтез динамических режимов с заданными параметрами устойчивости — стабилизации движения, осуществляется с помощью математических моделей в виде нелинейных систем дифференциальных уравнений. С момента появления первой работы И.А. Вышнеградского по регуляторам прямого действия до формирования нелинейной динамики регулирующих устройств элементов машин прошло немногим больше века. Такое временное расстояние объясняется тем, что с одной стороны нелинейная динамика управляемых процессов оформилась в самостоятельную область сравнительно недавно и, с другой стороны, это связано с достижениями в области современного материаловедения. Все это дало принципиальную возможность для технического воплощения сложных управляемых процессов, основанных на создании машин и их элементов с нелинейными принципами функционирования.

Настоящая работа посвящена синтезу в математических моделях элементов машин заданных нелинейных режимов, обеспечивающих их устойчивость и прочность. При этом модели технических устройства рассматриваются с позиций динамических систем. Такой подход оказывается достаточно эффективным по двум основным причинам: во-первых, рассматриваемые математические модели представляют собой системы дифференциальных уравнений, определяющие динамические системы [4,5,53]; во-вторых, динамическая система обладает групповыми свойствами [33, 35, 53, 54]. Первое позволяет привлечь к исследованию не только современные аналитические, но и качественные методы теории дифференциальных уравнений [4, 5, 8, 11]. Второе позволяет синтезировать для широкого класса моделей алгебры Ли на их векторных полях [53, 54-56] и исследовать t процессы стабилизации с позиций алгебраической теории Ли.

Математические модели динамики современной теории машин представляют собой взаимосвязанную совокупность подсистем различного типа. При этом существуют связи между подсистемами, сформированные как на стадии проекта, так и образующиеся в процессе функционирования реального устройства [43]. Таким образом, сложность динамических моделей определяется не только большими размерностями, но и нелинейным ; характером связей между подсистемами. Основные задачи синтеза заданных режимов функционирования связаны со стабилизацией, поскольку синтезированный режим должен обладать достаточным запасом устойчивости. Среди исследований отечественных и зарубежных ученых, определивших современную концепцию синтеза заданной нелинейной динамики систем, можно привести работы А.М.Летова, В.И. Зубова, А.А. Андронова, В.И. Арнольда, А.Г. Александрова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, Ю.Ф. Неймарка, Е.П. Попова, В.Н. Афанасьева, П.Д. Крутько, К.С. Колесникова, В.Р. Носова, К.В. Фролова, В.Ф. Журавлева, В.Б. Колмановского, Д.М. Климова, А. ван дер Шафта, Р.У. Брокетта, Н.Н. Красовского, Е.А. Барбашина. Большое влияние на построение систем, имеющих заданные траектории, оказали работы Н.П. Еругина [28].

Началу многочисленных исследований по синтезу регуляторов (управления с обратной связью) как в России, так и за рубежом положила серия известных работ А.М. Летова [ 46-49].

Развиваемый в диссертационной работе подход к различным задачам синтеза опирается на основные положения теории устойчивости инвариантных множеств динамических систем, предложенной В.И. Зубовым [33-37]. Понятие инвариантности в качественной теории динамических систем играет важную роль при геометрическом исследовании фазовых траекторий [12, 28, 36,76].

Кроме того, синтезируемая математическая модель должна обладать нелинейным трением в окрестности инвариантного множества. В своих исследованиях И.А. Вышнеградский определил наличие трения при работе регулирующего устройства, как основной из принципов теории регулирования: "без трения нет регулятора" [45].

Любая проектируемая машина представляет собой сложный комплекс управляемых элементов. Основные требования, предъявляемые к современным машинам, - это управляемость, наблюдаемость и устойчивость режимов их функционирования [6, 27, 50] согласно целям и задачам, преследуемым инженером-проектировщиком.

В связи с возможностью технической реализации сложных динамических режимов, в последнее время акцент при проектировании различных устройств сместился на применение концепций нелинейного регулирования динамики машин [12, 23, 49]. Это связано как с необходимостью синтеза нелинейных режимов, так и с подавлением нелинейного поведения устройства и обеспечения устойчивости линейного характера работы исполнительных органов машины. Например, работа многих устройств основана на возбуждении автоколебательных процессов, которые по своей природе являются нелинейными [ 4, 26, 16]. Простейшим устройством, работающем на этом принципе, является часовой механизм. Обеспечение синхронизации нескольких часовых механизмов основанных на захвате частоты, реализуется через нелинейное взаимодействие [60]. Задача синтеза нелинейного компенсатора, который разрушает нежелательные контуры нелинейных обратных связей, возникающие, например, при износе, усталостных напряжениях, выработке ресурса, возникновении эффекта сухого трения и т.д. [43, 74], относится к области нелинейного регулирования.

Задачи перехода от одного устойчивого режима устройства к другому также решаются посредством синтеза нелинейного управляющего устройства. Такие машины можно описать кусочно-сшитыми моделями [4, 6, 8]. Кусочнолинейные (сшитые на интервалах времени) модели являются аппроксимацией моделей с нелинейными характеристиками. В таких моделях нелинейность аппроксимируется линейными характеристиками, различными для каждого из конечных интервалов времени [21, 22].

При формировании контуров обратных связей в устройствах с целью достижения требуемого динамического процесса могут возникать колебания с растущей амплитудой [23], приводящие к неустойчивой работе устройства. Поэтому возникает проблема локализации переходных процессов. Практически любая технически интересная задача связана с локализацией процессов стабилизации заданных режимов в ограниченных областях пространства состояний динамических моделей машин. Это объясняется тем, что от работы конкретного устройства требуется выход на заложенные в проекте устойчивые динамические и статические режимы. В связи с этим можно сформулировать следующие принципы аналитического конструирования регулирующих устройств с обратной связью по состоянию модели, на основе которых формируется подход, предлагаемый в диссертации к задачам синтеза устойчивых режимов в нелинейной динамике машин:

1) синтез инвариантного компактного множества в пространстве состояний модели;

2) обеспечение асимптотической устойчивости синтезированного множества относительно динамической системы - модели, описывающей требуемую динамику устройства;

3) возможность регулирования размера границы области.

Выполнение первого принципа для синтезируемого множества приводит к локализации процессов, начинающихся на этом множестве, согласно теоремам об инвариантных множествах (интегральных многообразиях) [28, 33, 54], т.е. фазовые траектории пространства состояний системы при начальных условиях, заданных на этих множествах, не могут его покинуть при t —> ±оо. При выполнении первого принципа компактная односвязная область состоит из объединения двух инвариантных множеств- внутренности и границы области. Требование односвязности связано в первую очередь с тем, что если нелинейная характеристика определяется некоторой потенциальной функцией, то она должна быть однозначно определенной [25,43]. Выполнение второго принципа обеспечивает выход устройства на заданный режим. Выполнение третьего принципа позволяет управлять размером области асимптотической устойчивости заданного режима при начальных условиях, заданных внутри области с инвариантной границей.

В диссертации, в частности, сформулированы и доказаны достаточные условия, при которых задача синтеза удовлетворяет всем трем принципам аналитического конструирования регулирующего устройства, и требуемые динамические режимы лежат на границе области, они являются притягивающими для траекторий динамических моделей, величины, характеризирующие требуемую динамику, являются регулируемыми (управляемыми).

Например, для автоколебательных процессов с начальными условиями, заданными внутри области, ограниченной эллипсоидом, требуемый диапазон заданных амплитуд может регулироваться через длины полуосей многомерного эллипсоида, ограничивающего область в пространстве состояний и удовлетворяющий приведенным выше принципам.

С аналитической точки зрения, синтез стабилизирующих устройств представляет собой синтез нелинейных статических, динамических характеристик модели, представляющих собой нелинейную вектор-функцию -аналитическую модель регулирующих органов машины,

В диссертации аналитический синтез регулирующих устройств рассматриваются в теории гладких моделей нелинейной динамики машин. Регулирующие устройства, синтезируемые в данной работе, относятся к классу регуляторов прямого действия [6].

Выбор такой области является неслучайным и связан с тем, что позволяет получить достаточно общие результаты, так как модели гладкой нелинейной динамики могут быть вполне удовлетворительно аппроксимированы последовательностью кусочно-линейных и дискретных моделей [21,43, 79].

В настоящей работе рассматриваются гладкие моделей элементов машин на инвариантных компактных множествах, так как понятия динамической системы и векторного поля, заданного на инвариантном компактном множестве, эквивалентны вследствие его компактности [72 ]. Кроме того, в этом случае операторная запись векторного поля является инфинитезимальным оператором динамической системы, как группы преобразований пространства состояний модели. В конечном счете это приводит к исследованию предметной области как с позиций теории дифференциальных уравнений, так и с теоретико-групповой точки зрения.

В данной работе, в частности, предлагается решение ряда задач стабилизации движений посредством аналитического синтеза многомерных эллипсоидов в пространстве состояний динамических систем. Такой подход, следуя сформулированным выше принципам, включает в себя две основные задачи:

1) задачу синтеза эллипсоида как интегрального множества системы. Решение этой задачи приводит к выводу условий инвариантности эллипсоида, а также обеспечивает локализацию траекторий, начинающихся во внутренних точках области, ограниченной эллипсоидом, при выполнении условия существования и единственности решения задачи Коши.

2) задачу обеспечения асимптотической устойчивости эллипсоида. Решение этой задачи гарантирует притяжение этих траекторий к границе области.

Наконец, решение этих двух задач приводит к синтезу связей, стабилизирующих движение систем в окрестности эллипсоида и, как следствие этого, к аналитическому конструированию регулирующих устройств.

Решение этих задач для колебательных систем позволяет синтезировать колебательные процессы с выходом на стационарный режим с заданной амплитудой. При таком подходе притягивающие режимы стабилизации возникают на самом эллипсоиде. Кроме того, размеры области локализации движений систем можно регулировать через длину полуосей эллипсоида. Свойства поверхности эллипсоида, его инвариантность и устойчивость определяет характер нелинейных связей, синтезируемых в динамических системах.

Помимо этих задач в данной работе рассматриваются задачи стабилизации движений системы в окрестности заданных состояний равновесия на алгебрах Ли векторных полей [25, 75], посредством введения взаимодействия между подсистемами с квадратичным характером нелинейности. Активное применение алгебраической теории Ли в задачах синтеза заданной динамики управляемых систем за рубежом появилось сравнительно недавно - в 80-е прошлого века и восходит к программной работе Р.У. Броккета [10], где сформулированы некоторые важные направления в данном ключе. Советский Союз, а затем и Россия, в области задач синтеза заданной динамики на алгебрах Ли занимает одно из лидирующих мест в мире. Здесь уместно перечислить ряд работ, стимулирующих формирование новых направлений в данной области - это работы [29-31, 53].

Задачи синтеза устойчивых режимов, решаемые в диссертации, можно отнести к трем основным классам динамических моделей характерных для нелинейной динамики машин: колебательные, градиентные и комбинированные (синтезированные посредством нелинейного взаимодействия на апериодических и колебательных звеньях).

Актуальность и необходимость исследований проблемы стабилизации движений систем, такого вида и определило выбор темы, целей и задач данной работы.

Цель работы состоит в теоретическом исследовании многомерных колебательных и градиентных динамических моделей и синтезе обратных связей по состоянию модели, стабилизирующих движения систем в окрестности эллипсоидов.

Задачи исследований: разработка методов аналитического конструирования устройств, основанных на принципах локализации движений на ограниченных областях, инвариантности, притяжения границами заданных областей траекторий синтезируемых систем.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе используются методы качественной теории динамических систем, теории устойчивости и математического моделирования. На защиту выносятся: задача синтеза многомерных колебательных систем на замкнутом единичном шаре, с инвариантной асимптотически устойчивой границей относительно синтезируемых систем и синтез автоколебательного режима на эллипсоиде в R3; задача синтеза инвариантного асимптотически устойчивого эллипсоида для многомерных градиентных систем; задача синтеза нелинейной обратной связи, обеспечивающего выход колебательных процессов на устойчивый автоколебательный режим для моделей устройств, состоящих из двух колебательных звеньев; синтез некоммутативной алгебры Ли для задач стабилизации квадратично -нелинейных моделей.

Научная новизна. На основе исследования:

1) предложен единый подход к аналитическому синтезу градиентных и колебательных моделей с кубической нелинейностью, основанный на локализации движений в области, ограниченной эллипсоидом;

2) сформулирована и решена задача стабилизации в окрестности сферы многомерных колебательных нелинейных систем с нечетными многочленами третьего порядка в правых частях и синтез автоколебательного режима на эллипсоиде в

3) сформулирована и решена задача стабилизации в окрестности эллипсоида многомерных градиентных систем с потенциалом в виде четного многочлена четвертого порядка;

4) осуществлен синтез систем с квадратичной нелинейностью для задач стабилизации в окрестности заданных положений равновесия на некоммутативной алгебре Ли, что позволяет получить алгебраические принципы стабилизации на основе теории алгебр Ли и решить задачу аварийной стабилизации.

Практическая ценность работы заключается в создании теоретических основ для проектирования систем автоматического регулирования с динамикой, локализованной в замкнутых областях с границами эллипсоидального типа. Полученные результаты открывают новые перспективы в развитии качественных методов моделирования нелинейных систем.

Достоверность и обоснованность результатов и выводов диссертации определяется применением при проведении исследований обоснованных методов качественного и группового анализа нелинейных систем дифференциальных уравнений, теории устойчивости и методов математического моделирования.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции, посвященной 100-летию А.А. Андронова «Прогресс в нелинейной науке. Математические проблемы нелинейной динамики». (Н. Новгород, 2.07.2001-6.07.2001), на «VI международном конгрессе по математическому моделированию» (Н. Новгород, 20.09.200426.09.2004), на международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова "Устойчивость и процессы управления" (Санкт-Петербург, 29.06.2005-01.07.2005), на научных семинарах и конференциях государственных технических университетов (Астрахань, Волгоград 19952004).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы изложено в 10 научных работах и материалах конференций [17-20, 64-70].

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 104 страницах и состоит из введения, четырех оригинальных глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 82 наименования, 24 рисунка и таблицы. В конце каждой из глав приведены основные полученные результаты.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Рыжов, Евгений Николаевич

4.7. Выводы

1. Сформулирован и доказан достаточный признак структурной неустойчивости динамических моделей на алгебрах Ли. Данный признак может быть полезен при блокировании работы устройств на опасных областях параметров.

2. Доказана неразрешимость задач стабилизации в окрестности заданного стационарного режима, для моделей со многими состояниями равновесия на абелевых алгебрах Ли.

3. Синтезирована некоммутативная алгебра Ли, для задач "аварийной" стабилизации на векторных полях квадратичного типа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для многомерных колебательных моделей получена нелинейная аналитическая модель стабилизирующего устройства на множестве нечетных многочленов третьего порядка, обеспечивающая инвариантность и асимптотическую устойчивость единичной сферы.

2. Синтезированы модели с устойчивым автоколебательным режимом на эллипсоиде в R3.

3. Синтезированы многомерные градиентные модели регулируемых элементов машин с инвариантным и асимптотически устойчивым эллипсоидом.

4. Синтезирована модель регулирующего устройства, обеспечивающего локализацию колебательных процессов для моделей устройств, состоящих из двух колебательных звеньев, при этом на равных частотах генерируются устойчивые автоколебательные режимы.

5. Синтезирована некоммутативная алгебра Ли квадратично-нелинейных векторных полей для задач стабилизации режимов модели в заданной области пространства состояний

6. Предложен алгоритм аварийной стабилизации на некоммутативной алгебре Ли.

7. Доказано, что при решении задачи аварийной стабилизации на некоммутативной алгебре Ли формируется петлевая динамика в пространстве состояний.

Результаты исследований могут найти применение при проектировании стабилизирующих устройств и регуляторов машин и аппаратов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рыжов, Евгений Николаевич, 2005 год

1.Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем / А.Г. Александров. -М.: Машиностроение, 1986.-272с.

2. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы / А.Г. Александров -М.: Высш. шк.,1989.-263 с.

3. Анапольский Л.Ю. Способы построения функций Ляпунова / Л.Ю. Анапольский, В.Д. Иртегов, В.М. Матросов // Итоги науки и техники Сер. Общ. механика., 1975.-2-С.53-112.

4. Андронов А.А. Качественная теория динамических систем / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, А.Г. Майер, И.И. Гордон М.: Наука ,1966.- 665 с.

5. Арнольд, В.И., Ильяшенко Ю.С Обыкновенные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Динамические системы -1 т.1-М.: ВИНИТИ, 1985, с.7-151

6. Афанасьев В.Н. Математическая теория конструирования систем управления / В.Н.Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. М.: Высшая школа, 2003-415с.

7. Барбашин Е.А. О построении функций Ляпунова для нелинейных систем / Е.А. Барбашин // Тр. 1-го Междунар. конгр. федерации по автомат, упр. М.: Изд-во АНСССР.1961, т.1, с.742-751

8. Баутин Н.Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович.- М. Наука, 1976.- 496 с.

9. Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории колебаний/ Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М.:Изд.-во Физ.-мат. лит.- 412 с.

10. Броккет Р.У. Алгебра Ли и группы Ли в теории управления

11. Бутенина Н.Н. Качественные методы исследования управляемости систем, на плоскости / Бутенина Н.Н., Павлючонок З.Г., Савельев В.П. // Дифференц. уравнения. -1994.- 30, № 2. С. 358 - 359.

12. Валеев К.Г. Построение функций Ляпунова / К.Г. Валеев, Г.С. Финин. -Киев: Наукова думка, 1981.- 412с.

13. Ванг К. Об отображениях, сохраняющих устойчивость динамических систем // К. Ванг, А.Н. Мишель, К.М. Пассино /Автомат, и телемех. -1994.-№10-С. 3 -11.

14. Ван дер Шафт А. К теории реализации нелинейных систем/ А. Ван дер Шафт // Математика. Теория систем. Сер. Новое в зарубеж. науке 1989.- т. 44-С.192- 237.

15. Востриков А.С. Теория автоматического регулирования/ А.С. Востриков, Г.А. Французова. -М.: Высш. шк.,2004.-365 с.

16. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1995.- 450 с.

17. Гордов Е.П. Коммутирующие векторные поля и гиперболические особые точки / Е.П.Гордов, Е.Н.Рыжов // Изв. ВУЗОВ. Физика.- 1994.- №10.18. Ильин В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Г.Д. Ким.- М.: Изд.-во Моск. ун-та, 1998.-320с.

18. Grygoryeva О.Е. Potential feed-back control stabilization in the ellipsoid neighbourhood / O.E.Grygoryeva, E.N. Ryzhov // VI International Congress on Matematical Modelling. N. Novgorod 2004.- P.85.

19. Горобцов А.С. Использование методов моделирования динамики многотельных систем в задачах синтеза управляемого движения / А.С. Горобцов // Информационные технологии.- 2004.-№8.- С. 14 — 17.

20. Горобцов А.С. Синтез параметров управляемого движения многозвенных механических систем произвольной структуры методом обратной задачи / А.С. Горобцов // Мехатроника, автоматизация, управление.- 2004. № 6.- С. 43 — 50.

21. Гудвин Г.К. Проектирование систем управления / Г.К. Гудвин, С.Ф. Гребе,

22. М.А. Сальгадо М.: Москва БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004.-911с., ил.

23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович М.: Наука, 1967.- 452с.

24. Дубровин Б.А. Современная геометрия. Методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. -М.: Наука, 1986.-760с.

25. Егоров А.И. Управления колебаниями связанных объектов / А.И. Егоров, Л.Н. Знаменская // Устойчивость и процессы управления: Сб. тр., посвященный 75-летию со дня рождения В.И. Зубова в Зт. СПб.: Изд. СПбГУ- 2005.-T.I.- С. 141-154.

26. Емельянов С.В. Нелинейные системы. Управляемость, стабилизируемость, инвариантность // Итоги науки и техники Сер. Техн. кибернетика / Емельянов С.В., Коровин С.К., Никитин С.В. 1988.- 23- С. 3-107.

27. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений/ Н.П. Еругин. -Минск: Изд.-во Наука и техника, 1979.- 747с.

28. Журавлев В.Ф. Метод рядов Ли в проблеме разделения движений в нелинейной механике / В.Ф. Журавлев // ПММ -1986.- т.47, вып. 4. -С. 559 -565.

29. Журавлев В.Ф. О применении одночленных групп Ли к проблеме асимптотического интегрирования уравнений механики / В.Ф. Журавлев // ПММ -1986.- т.50, вып. 3. -С. 346 -352.

30. Журавлев В.Ф. Прикладные методы в теории колебаний / В.Ф. Журавлев, ДМ. Климов М.: Наука 1988.- 326с.1. С.117-118.

31. Зотов М.Г. Аналитическое конструирование управляющих устройств в пространстве операторов / М.Г. Зотов // Автомат, и телемех. -1994,- № 8 С. 69-72.

32. Зубов В.И. Устойчивость движения / В.И.Зубов.- М.: Высшая школа, 1973272 с.

33. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение / В.И.Зубов. Л.: Изд-во Ленингр. Ун-та, 1957.-241 с.

34. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования / В.И.Зубов.- Л.: Судпромгиз, 1959. -324 с.

35. Зубов В.И. Колебания в нелинейных управляемых системах / В.И.Зубов. -Л.: Судпромгиз, 1962. -631 с.

36. Зубов В.И. Лекции по теории управления / В.И.Зубов. М.: Наука, 1975.496 с.

37. И.В. Зубов О стационарных интегралах автономных систем дифференциальных уравнений / И.В. Зубов // Устойчивость и процессы управления : Сб. тр., посвященный 75-летию со дня рождения В.И. Зубова в Зт. . СПб.: Изд. СПбГУ- 2005.-Т.1.- С. 369- 373.

38. Ильин М.М. Теория колебаний / М.М. Ильин, К.С. Колесников, Ю.С. Саратов М.: Изд.-во МГТУ им. Баумана,-2003.-272с.

39. Капланский И. Алгебры Ли и локально компактные группы / И. Капланский -М.:Мир,1974.-150 с.

40. Коробов В.И. Управляемость, устойчивость некоторых нелинейных систем/ В.И. Коробов // Дифференц. уравнения. -1973.- 9, №4 С. 614 - 619.

41. Красовский Н.Н. Теория управления движением / Н.Н. Красовский -М.Наука,1986.-364 с.

42. Кринецкий И.И. Расчет нелинейных автоматических систем/ И.И. Кринецкий.- Киев: Техника, 1968,311с.

43. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем/ П. Д. Крутько М.: Наука, 1987.-304 с.

44. Леонов Г.А. Математические проблемы теории управления. Мотивация к анализу / Г.А. Леонов — СПб.: Изд.-во С.-Петербургского университета,1999.-160с.

45. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов / A.M. Летов // Автомат, и телемех. -I960,- № 4 С.436-441.

46. Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов / А.М. Летов // Автомат, и телемех. -I960.- № 5 С.561-568.

47. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов / A.M. Летов // Автомат, и телемех. -I960.- № 6 С.661-665.

48. А.М. Летов Устойчивость нелинейных регулируемых систем / А.М. Летов. -М.: Изд-во Физ.-мат.лит., 1962.- 490 с.

49. Ли Э.Б. Основы теории оптимального управления / Ли Э.Б., Маркус Л. М.: Наука, 1972.-516 с.

50. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения / А.М. Ляпунов. -М.: Гостехиздат, 1950.- 436 с.

51. Митропольский ЮА. Интегральные многообразия в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский, О.Б. Лыкова М.: Наука, 1973-512 с.

52. Митропольский Ю.А. Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики / Ю.А. Митропольский, А.К. Лопатин. Киев: Наукова думка 1987.-272с.

53. Немыцкий В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. М.-.М.-Л.: ОГИЗ, 1947.- 448с.

54. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику / 3. Нитецки. М.: Мир,1971-304с.

55. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер.- М.: Мир,1989 637с.

56. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л.В. Овсянников М.: Наука 1978.- 400 с.

57. Палис Ж. Геометрическая теория динамических систем. / Ж. Палис, Ди Мелу.- М.: Мир,1986.- 302с.

58. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний / Я.Г. Пановко. -М.: Наука 1991,246 с.

59. Пиковский А.Синхронизация. Фундаментальное научное явление/ А.Пиковский, М. Роземблюм, Ю. Курте -М.: Техносфера, 2003.- 496с.

60. Пилюгин С.Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений/ С.Ю.Пилюгин Л.: Изд-во ЛГУ,1988-160с

61. Понтрягин JI.C. Избранные научные труды в Зт./ Л.С. Понтрягин. М: Наука, 1988-т.2-576 с.

62. Пуанкаре А. О кривых определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре. -М.: ОГИЗ, 1947.-392 .с.

63. Рыжов Е.Н. Притягивающие многообразия в системах автоматического управления / Е.Н. Рыжов // Тез. докл. второй междунар. науч.- технич. конф. Новые информационные технологии. Астрахань: Изд.-во АГТУ,1995.- С.77.

64. Рыжов Е.Н. Структурная устойчивость динамических систем, допускающих безвихревые операторы симметрий на двумерной сфере / Е.Н.Рыжов // Тез. докл. науч. -технич. конф. Астрахань: Изд.- во АГТУ, 1996. -С. 302-303.

65. Рыжов Е.Н. Геометрическое интегрирование векторных полей расщепляющими возмущениями / Е.Н. Рыжов // Сер.: Автоматика и прикладные вопросы математики и физики.Вып.З. Астрахань: АГТУ, 1997- С. 28-34.

66. Рыжов Е.Н. Нелинейный анализ моделей реакции гидросиланов / Е.Н. Рыжов, А.З. Гамзатов, Н.К. Скворцов // Сб. тр. междунар. конф. "Применение кремний-, фосфор-, сера- органических соединений". Петербургские встречи-98. СПб., 1998.- С. 194.

67. Рыжов Е.Н. Петлевые структуры в гомогенной бимолекулярной кинетике / Е.Н. Рыжов // Вестник ВолгГУ. Сер. Математика, физика. Волгоград. 1999. С.85-89.

68. Рыжов Е.Н. Качественная динамика потенциальных систем на односвязных компактах / Е.Н. Рыжов, М.Б. Белоненко // Вестник ВолгГАСА. Сер.: Естеств. Науки. Вып. 2(6). Волгоград 2002 . С. 49-52.

69. Стромберг А.Г. Физическая химия/ А.Г.Стромберг, Д.П. Семченко М.: Высшая школа, 1983-256 с.

70. Тамура И. Топология слоений / И. Тамура — М.: Мир, 1979-320 с.

71. Холодниок М. Методы анализа нелинейных динамических систем/ М. Холодниок, А. Клич, М. Кубичек М. Марек -М.: Мир, 1999.- 364 с.

72. Шамберов В.Н. Исследование динамики систем с сухим трением / Шамберов В.Н., Никитин А.Ю. // Устойчивость и процессы управления: Сб. тр., посвященный 75-летию со дня рождения В.И. Зубова в Зт. СПб.: Изд. СПбГУ-2005.-Т.З.-С. 1497-1503.

73. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. Алгебра-1./ И.Р. Шафаревич // Итоги науки и техники. Сер.: Современные проблемы математики, т.11- М.: ВИНИТИ, 1986-292 с.

74. Шутц Б. Геометрические методы математической физики/ Б. Шутц.- М.: Мир,1984- 304 с.

75. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем: Метод эллипсоидов/ Ф.Л. Черноусько. М.: Наука, 1988.-320 с.

76. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция управляемых систем/ Ф.Л. Черноусько // Успехи мат.наук. -1994.- 49, № 4. С. 79.

77. Энциклопедия Машиностроение в 40-томах / Ред. совет: К.В. Фролов (пред.) и др. Автоматическое управление. Теория / Е.А. Федосов, А.А. Красовский, Е.П. Попов и др. под общ. ред. Е.А. Федосова. М.: Машиностроение, 2000-т. 1- 4.-688с.

78. Эрроусмит Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ Д. Эрроусмит, К.Плейс . -М.: Мир ,1986.- 248 с.

79. Jakubczyk В., Sontag E.D. Controllability of nonlinear discrete-time system: a Lie algebraic approach. "SIAM J. Contr. and. Optim.", 1990,28, №1,1-33 c.

80. Яблонский Г.С Кинетические модели каталитических реакций / Г.С. Яблонский, Быков В.И., Горбань А.Н.- Новосибирск: Наука, 1983 496 с.