Средства исследования диссипативных хаотических систем по временным рядам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Волович, Михаил Евгеньевич

• Волович, Михаил Евгеньевич
• кандидат технических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат технических наук Волович, Михаил Евгеньевич

ВВЕДЕНИЕ.

1.ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

1.1 Обзор основных научных результатов современной нелинейной теории.

1.2 Общая постановка задачи.

1.2 Основные понятия теории динамического хаоса.

1.3 Классификация динамических систем.

1.4 Аттракторы диссипативных систем.

1.5 Инвариантные множества динамических систем.

1.6 Устойчивость динамических систем.

1.7 Выводы.

2. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ОЦЕНКИ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ.

2.1 Инвариантная мера динамических систем.

2.2 Энтропия динамической системы.

2.2.1 Обобщенные энтропии Ренъи.

2.3 Размерности аттракторов динамических систем.

2.3.1 Геометрические размерности.

2.3.2 Вероятностные размерности.

2.4 Характеристические показатели Ляпунова.

2.4.1 Неподвижные точки обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.4.2 Периодические решения автономных систем ОДУ.

2.4.3 Построение сечения Пуанкаре.

2.4.4 Обобщенный подход к исследованию устойчивости.

2.4.5 Свойства показателей Ляпунова.

2.4.6 Связь показателей Ляпунова с другими характеристиками.

2.5 Выводы.

3 РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПО ОДНОМЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ.

3.1 Статистическое моделирование динамических систем.

3.2 Реконструкция по временным рядам.

3.3 Задача выбора параметров реконструкции.

3.3.1 Выбор размерности реконструкции.

3.3.2 Выбор временного интервала.

3.4 Алгоритмы поиска ближайших соседей.

3.4.1 Стандартный алгоритм.

3.4.2 Алгоритмы быстрого поиска «ближайших соседей».

3.5 Фильтрация шумов.

3.6 Методы расчета показателей Ляпунова.

3.6.1 Мультипликативная эргодическая теорема.

3.6.2 Оценка показателей Ляпунова по временному ряду.

3.7 Оценка энтропии динамической системы по временному ряду.

3.8 Оценка корреляционной размерности по временному ряду.

3.9 Методика моделирования сложных хаотических систем по временным рядам.

ЗЛО Выводы.

4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

4.1 Тестирование алгоритмов на модельных примерах.

4.2 Исследование реально существующих диссипативных динамических систем, с помощью разработанных средств.

4.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Средства исследования диссипативных хаотических систем по временным рядам»

Актуальность темы. Создание эффективных технических систем и повышение качества их функционирования, является одной из важных проблем современной техники. Для решения этой задачи необходимо исследование ее структурной и динамической сложности.

Диссертационная работа посвящена разработке средств моделирования и исследования технических объектов, представляющих собой открытые диссипативные динамические системы и демонстрирующих хаотическое поведение. Изучение хаотических систем важно для решения задач гидродинамики, радиотехники, теплоэнергетики и других областей науки и техники в связи с исследованием различных предельных режимов. Такие системы характеризуются сжатием фазового объема, которое приводит к тому, что фазовые траектории с течением времени стягиваются в фиксированную ограниченную область — странный аттрактор.

Математическое моделирование реальных диссипативных систем, проявляющих хаотическое поведение, является сложной и трудно решаемой задачей, в связи с их сложной внутренней структурой и частой невозможностью получения данных о системе в полном объеме. Одним из подходов к решению этой задачи является метод задержки. Предложенный Н. Паккардом в начале 80-х годов прошлого века, и математически обоснованный Ф. Такенсом он позволяет реконструировать аттрактор динамической системы по ее одномерной реализации. В дальнейшем, на основе метода задержки Такенса-Паккарда, были разработаны методы вычисления различных инвариантных характеристик исходной динамической системы, позволившие расширить область применения данного подхода. Развитию этого направления были посвящены труды многих ученых — А. Вольфа, Г. Г. Малинецкого, В. С. Анищенко, Т. Шрейбера, Т. Сауэра, Р. Хеггера, Н. Канца, П. Гросбергера, И. Прокасиа, М. Розенштейна и многих других.

Вместе с тем общая методика моделирования хаотических процессов на основе разработанных методов, алгоритмическое и программное обеспечение методов проработано недостаточно. В связи с этим тема диссертационной работы является актуальной и имеет широкое прикладное значение.

Целью диссертационной работы является разработка методики и программно-математических средств моделирования и исследования хаотических процессов сложных систем на основе методов нелинейной динамики.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

1. Обзор основных научных результатов современной нелинейной теории систем.

2. Формулировка задачи разработки методики и алгоритмического обеспечения моделирования сложных хаотических систем по временным рядам.

3. Разработка программно-математического обеспечения и исследование существующих алгоритмов построения моделей хаотических процессов и их характеристик. .

4. Программная реализация и тестирование алгоритмического и математического обеспечения на известных моделях хаоса; исследование области применимости методик.

5. Тестирование разработанного алгоритмического и математического обеспечения на экспериментальных данных.

6. Решение практических задач по моделированию реально существующих диссипативных хаотических систем.

В качестве объекта исследования выбраны диссипативные хаотические динамические системы на этапе асимптотического поведения, которые либо не допускают непосредственного исследования своей структуры, либо эта структура слишком сложна, но для анализа доступен производимый системой сигнал.

В работе используются методы информатики, теории сложных систем, теории динамических систем, теории хаоса и бифуркаций и современные компьютерные технологии.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработана методика исследования моделей и получения инвариантных характеристик хаотических систем по временным рядам;

- разработаны алгоритмы поиска ближайших точек в фазовом многомерном пространстве, позволяющие повысить скорость вычислений инвариантных характеристик.

- создано алгоритмическое обеспечение методики моделирования и исследования хаотических моделей структурно-сложных систем, на основе реконструкции аттракторов методом Такенса-Паккарда и модифицированных алгоритмов вычисления инвариантных характеристик по временным рядам;

Практическая ценность. Разработанные методологии, модели и программное обеспечение могут быть использованы для проектирования автоматических систем управления сложными техническими процессами и реализации подсистем прогнозирования поведения хаотических систем.

Реализация результатов работы. Разработанные методики использованы для моделирования теплоэнергетических систем промышленных предприятий Ступинского района Московской области. Программное обеспечение используется в учебном процессе кафедры управления и моделирования систем МГАПИ в рамках дисциплин «Математическое моделирование», «Моделирование систем».

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 6 i научных конференциях: III Всероссийской научно-технической конференции

Новые информационные технологии» (г. Москва, МГАПИ, 2000); Международной научно-практической конференции «Информационные технологии в науке и образовании» (г. Шахты, Ростовской обл., ЮРГУЭС, 2001); Всероссийской научно-практической конференции «Информационные модели экономики» (г. Москва, МГАПИ, 2003); V Молодежной научно-технической конференции «Наукоемкие технологии и интеллектуальные системы» (г. Москва, МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003);научном семинаре «Теории, методы и средства моделирования сложных систем» кафедры «Управления и моделирования систем» МГАПИ; IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Красноярск, ИМИ СО РАН, 2003).

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа изложена на 160 страницах машинописного текста и содержит 55 рисунков и 12 таблиц. Список литературы содержит 131 наименование.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Волович, Михаил Евгеньевич

Основные результаты и выводы

1. Проведен анализ и классификация современных методов исследования хаотических систем; обоснована необходимость построения алгоритмического обеспечения.

2. Построены алгоритмы математического моделирования основных количественных характеристик хаотических процессов на основе современных методов нелинейной динамической теории — расчет оптимальной размерности реконструкции; получения старшего показателя Ляпунова по временным рядам по методам Вольфа, Канца, Розенштейна; расчет энтропии динамической системы и корреляционной размерности. з

3. Разработаны алгоритмическое обеспечение и средства моделирования и исследования сложных хаотических систем, включающее реконструкцию аттрактора по временным рядам.

4. Модифицирован алгоритм поиска «ближнего соседа» в фазовом многомерном пространстве, позволяющие существенно повысить скорость вычислений.

5. Разработана технология исследования и реконструкции аттрактора сложных хаотических систем по временным рядам.

6. Реализовано и используется в учебном процессе программное обеспечение моделирования хаотических процессов на кафедре «Управления и моделирования систем» МГАПИ.

7. Разработаны и внедрены рабочие методики моделирования системы теплообмена на кондитерской фабрике компании «Марс» и теплового процесса охлаждения алюминиевого сплава в Ступинской металлургической компании.

8. По результатам исследований, проведенных в диссертационной работе, направленных на моделирование хаотических процессов сделан вывод о состоятельности и эффективности разработанных методик.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Волович, Михаил Евгеньевич, 2003 год

1. Abarbanel H.D.I., Analysis of Observed Chaotic Data, Springer Verlag, New-York/Berlin/Heidelberg, 1996.

2. Abarbanel H.D.I., Brown R., M.B. Kennel M.B., Lyapunov exponents in chaotic systems: their importance and their evaluation using observed data // Int. J. Mod. Phys. B, 1991, 5, pp.1347-1375.

3. Abarbanel H.D.I., Brown R., Sidorowich J.J., Tsimring L.S., The analysis of observed chaotic data in physical systems // Rev. Mod. Phys., 1993, 65(4), pp.1331-1392.

4. Adler R.C., Konheim A. C., McAndrew M.H. Topological Entropy // Trans. Am. Math. Soc, 1965, 114, 2. pp. 309-319.

5. Alecsic Z. , Estimating the embedding dimension // Physica D, 1991, 52, pp.362-368.

6. Andreev Yu.V., Dmitriev A.S., Chua L.O., Wu C.W., Associative and Random Access Memory Using One-Dimensional Maps // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1992,3,2, pp. 483-504.

7. Badii R., Politi A., Statistical description of chaotic attractors // J. Stat. Phys., 1985,40, pp.725-750.

8. Benettin G., Galgani L}, Giorgilli A., Strelcyn J.-M., Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for hamiltonian systems; a method for computing all of them. Part II: Numerical application //Meccanica, 1980, 15, pp.21-30.

9. Bingham S. Kot M., Multidimensional trees, range searching, and a correlation dimension algorithm of reduced complexity // Phys. Lett. A, 1989, 140, p.327.

10. Bollt E.M., Meiss J.D., Targeting chaotic orbits to the Moon through recurrence // Phys. Lett, 1995, A204, pp. 373-378.

11. Briggs K., An improved Method for estimating Liapunov exponents of chaotic time series // Phys. Lett. A, 1990,151, pp.27-32.

12. Broggi G., Evaluation of dimensions and entropies of chaotic systems // J. Opt. Soc. Am. B, 1988, 5, pp. 1020-1028.

13. Broomhead D.S., Huke J.P., Muldoon M.R., Linear filters and nonlinear systems//J. Roy. Stat. Soc.>«B54, 1992, pp.373-382.

14. Broomhead D.S., King G.P., Extracting qualitative dynamics from experimental data // Physica D, 1986,20, pp.217-236.

15. Brown R., Bryant P., Abarbanel H.D.I., Computing the Lyapunov spectrum of a dynamical system from an observed time series // Phys. Rev. A, 1991, 43, pp.2787-2806.

16. Bryant P., Brown R., Abarbanel H.D.I., Lyapunov exponents from observed time series // Phys. Rev. Lett., 1990 65, pp. 1523-1526.

17. Buzug Th., Pfister G., Optimal delay time and embedding dimension for delay-time coordinates by dialysis of the global static and local dynamical behavior of strange attractors // Phys. Rev. A, 1992, 45, pp.7073-7084.

18. Cao L., Practical method for determining the minimum embedding dimension of a scalar time series // Physcai D, 1997, 110, pp. 43-50.

19. Cartwright M.L., Littlewood J.E., On nonlinear differential equations of the second order. I. The equation y + k(l- y2^y + y = b'kkcos(X,t + a), klarge // J. bond. Math. Soc, 1945, 20, pp. 180-189.

20. Casdagli M., Eubank S., Farmer J.D., Gibson J., State space reconstruction in the presence of noise // PJiysica D, 1991, 51, pp.52-98.

21. Cenys A., Pyragas K., Estimation of the number of degrees of freedom from chaotic time series // Phys. Lett. A, 1988,129, pp.227-230.

22. Dammig M., Mitschke F., Estimation of Lyapunov exponents from time series: the stochastic case// Phys. Lett. A, 1993,178, pp.385-394.

23. Davies M.E., Campbell K.M., Linear recursive filters and nonlinear dynamics //Nonlinearity, 1996, 9, pp.487-499.

24. Eckmann J.-P., Kamphorst S.O., Ruelle D., Ciliberto S., Lyapunov exponents from time series, Phys. Rev. A, 1986, 34, pp.4971-4979.

25. Eckmann J.-P., Ruelle D., Ergodic theory of chaos and strange attractors, Rev. Mod. Phys., 1985, 57, pp.617-656.

26. Eckmann J.-P., Ruelle D., Fundamental limitations for estimating dimensions and Lyapunov exponents in dynamical systems // Physica D, 1992, 56, pp. 185-187.

27. Ellner S., Gallant A.R., McCaffrey D., Nychka D., Convergence rates and data requirements for Jacobian-based estimates of Lyapunov exponents from data //Phys. Lett. A, 1991,153,pp.3 57-363.

28. Feigenbaum M.J., The transition to aperiodic behavior in turbulent systems // Commun. Math. Phys., 1980, 77,1. pp. 65-86.

29. Fell J., Roschke J., Beckmann P., Deterministic chaos and the first positive Lyapunov exponent: a nonlinear analysis of the human electroencephalogram during sleep // Biol. Cybern., 1993, 69, pp. 139-146.

30. Frazer A.M., Swinney H.L., Independent coordinates in strange attractors from mutual information // Phys. Rev. A, 1986,33, pp.1134-1140.

31. Fredkin D.R., Rice J.A., Method of false nearest neigbors: a cautionary note // Phys. Rev. E, 1995, 51(4), pp. 2950-2954.

32. Gao J., Zheng Z., Direct dynamical test for deterministic chaos and optimal embedding of a chaotic time series // Phys. Rev. E, 1994,49, pp.3807-3814.

33. Gao J., Zheng Z., Local exponential divergence plot and optimal embedding of a chaotic time series // Phys. Lett. A, 1993,181, pp.153-158.

34. Gibson J.F., Farmer J.D., Casdagli M., Eubank S., An analytic approach to practical state space reconstruction // Physica D, 1992, 57, pp. 1-30.

35. Grassberger P., Generalizations of the Hausdorff dimension of fractal measures//Phys. Lett. A, 1985,107, pp.101-105.

36. Grassberger P. An optimized box-assisted algorithm for fractal dimensions // Phys. Lett. A, 1990, 148, p.63.

37. Grassberger P., Hegger R., Kantz H., Schaffrath C., Schreiber T., On noise reduction methods for chaotic data // Chaos, Vol. 3, Nr. 2, 1993, pp. 127-141.

38. Grassberger P., Hegger R., Kantz H., Schaffrath C., T. Schreiber T., On noise reduction methods for chaotic data // CHAOS, 1993, 3, pp. 127-141.

39. Grassberger P., Procaccia I., On the characterization of strange attractors // Phys. Rev. Lett., 1983, 50, pp.346-349.

40. Grassberger, P., Schreiber, T., Schaffrath C., Nonlinear time sequence analysis // Int. J. Bif. Chaos, 1991, 1(3), pp.521-547.

41. Hasler M. // Int. J. of Bifurcations and Chaos, 1998, 8,4, p. 647.

42. Holzfiiss J, Parlitz U., Lyapunov exponents from time series // Proceedings of the Conference Lyapunov Exponents, Oberwolfach 1990, eds. L. Arnold, H. Crauel, J.-P. Eckmann, in: Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag.

43. Holzfuss J., Lauterborn W., Liapunov exponents from a time series of acoustic chaos // Phys. Rev. A, 1989,39, pp.2146-2152.

44. Kantz H. A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponent of a time series // Phys. Lett. A, 1994, 185, pp.77-87.

45. Kantz H., Schreiber T., Hoffmann I., Buzug T., Pfister G., Flepp C.G., Simonet J., Badii R., Brun E., Nonlinear noise reduction: A case study on experimental data//Phys. Rev. E, 1993,48, pp. 1529-1538.

46. Kantz H., Schreiber T., Nonlinear Time Series Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

47. Kantz H.,Schreiber T., Nonlinear Time Series Analysis, Cambridge UP, Cambridge, 1997.

48. Kember G., Fowler A.C., A correlation function for choosing time delays in phase portrait reconstructions // Phys. Lett. A, 1993, 179, pp.72-80.• 131

49. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I., Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction // Phys. Rev. A, 1992, 45, pp.3403-3411.

50. Kostelich E.J., Schreiber T., Noise reduction in chaotic time-series data: A survey of common methods // Phys. Rev. E, 1993,48, pp. 1752-1763.

51. Kruel Th.M., Eiswirth M., Schneider F.W., Computation of Lyapunov spectra: Effect of interactive noise and application to a chemical oscillator // Physica D, 1993, 63, pp.117-137.

52. Kugiumtzis D., State space reconstruction parameters in the analysis of chaotic time series the role of the time window length // Physica D, 1996, 95, pp.13-28.

53. Kugiumtzis D., Correction of the correlation dimension for noisy time series // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1997.

54. Kugiumtzis D., Lillekjendlie B., Christophersen N., Chaotic time series part I: Estimation of some invariant properties in state space // Modeling, Identification and Control, 1994, 15(4), pp. 205-224.

55. Kugiumtzis D., Lillekjendlie B., Christophersen N., Chaotic time series part1.: System identification and prediction // Modeling, Identification and Control, 1994, 15(4), pp. 225-243.

56. Kurths J., Herzel H., An attractor in solar time series // Physica D, 1987, 25, pp.165-172.

57. Landa P.S., Rosenblum M.G., Time series analysis for system identification and diagnostics // Physica D, 1991, 48, pp.232-254.

58. Lauterborn W., Parlitz U., Methods of chaos physics and their application to acoustics// J. Acoust. Soc. Am., 1988, 84,pp.1975-1993.

59. Liebert W., Pawelzik K., Schuster H.G., Optimal embeddings of chaotic attractors from topological considerations //Europhys. Lett., 1991,14, pp.521-526.

60. Liebert W., Schuster H.G., Proper choice of the time delay for the analysis of chaotic time series // Phys. Lett. A, 1989,142, pp. 107-111.

61. Lorenz E.N., Deterministic Nonperiodic Flow // J. Atmos. Sci, 1963, 20, pp. 130-141. (Перевод: Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение.—В сб.: Странные аттракторы // Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова.—М.: Мир, 1981, с. 88-116.)

62. Martinerie J.M., Albano A.M., Mees A.I., Rapp P.E., Mutual information, strange attractors, and the optimal estimation of dimension // Phys. Rev. A, 1992, 45, pp.7058-7064.

63. Mayer-Kress, G., Dimensions and Entropies in Chaotic Systems -Quantification of Complex Behavior, Berlin, Springer, 1986.66.0tt E., Grebogi C., Yorke J.A., Theory of First Order Phase Transitions for

64. Chaotic Attractors of Nonlinear Dynamical Systems // Phys. Lett, 1989, A135, pp. 343-348.

65. Packard N.H., Crutchfield J.P., Farmer J.D., Shaw R.S., Geometry from a time series //Phys. Rev. Lett., 1980,45, pp.712-716.

66. Palus M., Albrecht V., Dvorak I., Information theoretic test for nonlinearity in time series // Phys. Lett. A, 1993, 175, pp.203-209.

67. Palus M., Dvorak I., Singular-value decomposition in attractor reconstruction: pitfalls and precautions // Physica D, 1992,55, pp.221-234.

68. Parlitz U., Identification of true and spurios Lyapunov exponents from time series // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1992, 2, pp.155-165.

69. Parlitz U., Lyapunov exponents from Chua's circuit // J. Circuits, Systems and Computers, 1993„3,pp.507-523.

70. Parlitz U., Nonlinear Time-Series Analysis // Nonlinear Modeling -Advanced Black-Box Techniques Eds. J.A.K. Suykens and J. Vandewalle Kluwer Academic Publishers, 1998, pp. 209-239

71. Pestov V., On the geometry of similarity search: dimensionality curse and contraction of measure // Maths and сотр. science research report, 99-02, VUW, January 1999, pp. 7. *

72. Provenzale A., Smith L.A., Vio R., Murante G., Distiguishing between low-dimensional dynamics and randomness in measured time series // Physica D,1992, 58, pp.31-49.

73. Racicot D.M., Longtin A., Interspike interval attractors from chaotically driven neuron models // Physica D, 1997,104, pp. 184-204.

74. Rapp P.E., Albano A.M., Zimmerman I.D., Jimenez-Moltano M.A., Phase-randomized surrogates can produce spurious identifications of non-random structure//Phys. Lett. A, 1994, 192, pp.27-33.

75. Rosenstein M.T., Collins J.J., de Luca C.J., A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Physica D,1993, 65, pp.117.

76. Rosenstein M.T., Collins J.T., De Luca C.J., Reconstruction expansion as a geometry-based framework for choosing proper delay times // Physica D, 1994,73, pp.82-98.

77. Rossler O.E., An equation for continuous chaos // Phys. Lett, 1976, A57, 5, pp. 397,398.

78. Rossler O.E., An equation for hyperchaos // Phys. Lett, 1979, A71, 2,3, pp. 155-159.

79. Ruelle D., Oakens F., On the nature of turbulence // Comm. Math. Phys, 1971, 20, pp. 167-192.

80. Salvino L.W., Cawley R., Smoothness implies determinism: a method to detect it in time series // Phys. Rev. Lett., 1994,73, pp. 1091-1094.

81. Sano M., Sawada Y., Measurement of the Lyapunov spectrum from a chaotic time series // Phys. Rev. Lett., 1985, 55, pp.1082-1085.

82. Sato S., Sano M., Sawada Y., Practical methods of measuring the generalized dimension and largest Lyapunov exponent in high dimensional chaotic systems // Prog. Theor. Phys., 1987,77, pp. 1-5.

83. Sauer T., Reconstruction of dynamical systems from interspike intervals // Phys. Rev. Lett., 1994,72, pp.3811-3814.

84. Sauer T., Yorke J.A., How many delay coordinates do you need? // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1993,3, pp.737-744.

85. Sauer T., Yorke Y., Casdagli M., Embedology // J. Stat. Phys., 1991, 65, pp.579-616.

86. Savit R., Green M., Timjp series and dependent variables // Physica D, 1991,50, pp.95-116.

87. Schreiber T., Constrained randomization of time series data // Phys. Rev. Lett., 1998, 80(10), pp.2105-2108.

88. Schreiber T., Schmitz A., Improved surrogate data for nonlinearity tests // Phys. Rev. Lett., 1996, 77(4), pp.635-638.

89. Sinha S., Ditto W.L., Dynamics Based Computation // Phys. Rev. Lett., 1998,81, 10, pp. 2156-2159.

90. Stark J., Broomhead D.S.,Davies M.E., Huke J., Takens embedding theorems for forced and stochastic systems, // Proceedings of the 2nd World Congress of Nonlinear Analysts, 1996, Athens, greece, July 1996.

91. Stoop R., J. Parisi, Calculation of Lyapunov exponents avoiding spurious elements // Physica D, 1991, 50, pp.89-94.

92. Stoop R., Meier P.F. , Evaluation of Lyapunov exponents and scaling functions from time series // J. Opt. Soc. Am. B, 1988, 5, pp. 1037-1045.

93. Takens F., Detecting nonlinearities in stationary time series // Int. J. of Bifurcation and Chaos,1993,3, pp.241-256.

94. Takens F., Detecting strange attractors in turbulence// Dynamical Systems and Turbulence, eds. Rand, D.A. & Young, L.-S. , 1981, Berlin, Springer, pp.366-381.

95. Theiler J., Spurious dimension from correlation algorithms applied to limited time-series data //Phys. Rev. A, 1986,34, pp.2427-2431.

96. Theiler J., Estimating fractal dimension // J. Opt. Soc. Am. A, 1990, 7, pp. 1055-1073.

97. Theiler J., Efficient algorithm for estimating the correlation dimension from a set of discrete points // Phys. Rev. A, 1987, 36, p. 4456.

98. Wayland R., Bromley D., Pickett D., Passamante A., Recognizing determinism in a time series'// Phys. Rev. Lett.,1993, 70, pp.580-582.

99. Wolf A., Swift J.B., Swinney L., Vastano J.A., Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D, 1985, 16, pp.285-317.

100. Zeng X., Eykholt R., Pielke R.A., Estimating the Lyapunov-exponent spectrum from short time series of low precision, Phys. Rev. Lett., 1991, 66, pp.3229-3232.

101. Zeng X., Pielke R.A., Eykholt R., Extracting Lyapunov exponents from short time series of low precision // Modern Phys. Lett. B, 1992, 6, pp.55-75.

102. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

103. Анищенко B.C., Павлов А.Н., Янсон Н.Б. Об одном методе восстановления неоднородных аттракторов // Письма в ЖТФ, т.22, вып.7.

104. Анищенко B.C., Павлов А.Н., Янсон Н.Б. Реконструкция динамических систем в приложении к защите информации // ЖТФ, 1998, т.68, №12.

105. Безручко Б.П., Булгакова JI.B., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания и неустойчивость в лампе обратной волны // Радиотехника и электроника, 1983, т. 28, № 6, с. 1136-1139.

106. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в динамической системе электронный поток обратная электромагнитная волна // Письма в ЖЭТФ, Т. 29, Вып. 3, с. 180-184.

107. Гинзбург H.C., Кузнецов С.П., Периодические и стохастические автомодуляционные режимы в электронных генераторах с распределенным взаимодействием.-В сб.: Релятивистская высокочастотная электроника.-Горький: ИПФ АН СССР, 1981, с. 101144.

108. Дьюдни А.К., Аффинные преобразования и фрактальные структуры // В мире науки, 1990, 7. с. 82-86.

109. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени, как метрическом инварианте автоморфизмов // ДАН СССР, 1959, т. 124, с. 754,755.

110. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики.—М.— Л.:Изд-во АН СССР, 1950.

111. Лазарев Ю.Ф. MatLab 5.x, К., Издательская группа BHV. 2000.

112. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика.-М.: Наука, 1986, с. 30.

113. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

114. Лоскутов А. Ю. Нелинейная динамика, теория динамического хаоса и синергетика (перспективы-и приложения). // Компьютера, 1998, № 47.

115. Лоскутов А.Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990.

116. Малинецкий Г.Г. Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. Эдиториал УРСС. 2000.

117. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблемы прогноза. // Вестник российской академии наук, том 71, № 3, с. 210232, 2001.

118. Ораевский А.Н., Динамика одномодовых лазеров и динамический хаос // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1996, т. 4, № 1,2.с. 3-32.

119. Ораевский А.Н., Мазеры, лазеры и странные аттракторы // Квантовая электроника, 1981, т. 8, № 1, с. 130-142.

120. Оселедец В.И., Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Тр. Моск. мат. общества, 1968, т. 19, с. 179-210.

121. Павлов А.Н., Анищенко B.C. Определение динамических характеристик хаотических колебаний при анализе "точечных процессов" // Письма в ЖТФ, 2000 г., т.26, вып. 15.

122. Павлов А.Н., Янсон Н.Б. Применение методики реконструкции математической модели к электрокардиограмме. // Изв. Вузов "ПНД", 1997, т.5, № 1.

123. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды, т. 1,2.—М.: Наука, 1971.

124. Смейл С. Обзор некоторых недавних достижений в дифференциальной топологии. Отт.: УМН, 1964, т. 19, N 1, с. 125-138.

125. Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. Л., 1937.

126. Хованов А.И., Хованова H.A., Анищенко B.C., Мак-Клинток П.В.Е. Чувствительность к начальным условиям и ляпуновский показатель квазипериодической системы // ЖТФ, 2000г. т.70, вып.5.

127. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.