Сравнительный информодинамический анализ классических решеток и бигексагональной мозаики Дюно-Каца тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Чуднова, Ольга Александровна

• Чуднова, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чуднова, Ольга Александровна

Введение и постановка задач.

Глава I Элементы математической кристаллографии. Квазикристаллы.

§1.1 Понятие о правильных точечных системах. Разбиение Вороного - Делоне.

§1.2 Геометрическое представление федоровских групп.

§1.3 Квазикристаллические симметрии.

Глава II Информодинамическая методика анализа паркетов, мозаик.

§2.1 Древесно-графовое представление решеточных систем.

Математические свойства.

§ 2.2 Теория перечисления древесных графов. Вероятностные и статистические свойства ДК. Задача перколяции.

§ 2.3 Симплициальные декомпозиции древесных графов. Фрактальность.

Глава III Информодинамика плоских параллелограмматических решеток.

§ 3.1 Информодинамика квартетных параллелограмматических решеток.

§ 3.2 Информодинамика плоской симплекс решетки.

§ 3.3 Информодинамика сотовой структуры.

Глава IV Симметрия, организация, фрактальность классических ДК в информодинамическом представлении.

§ 4.1 Сравнительный информодинамический анализ сотового и квартетного древесных графов.

§ 4.2 Обсуждение информодинамических результатов для плоского симплекс-ДК.

§ 4.4 Фрактальные информодинамические характеристики классических ДК

Глава V Информодинамика бигексагональной мозаики Дюно-Каца.

§5.1 Бигексагональная мозаика и ее ДК.

§ 5.2 Перечисляющие полиномы, их вероятностная форма для бигексагональных ДК.

§ 5.3 Информодинамика бигексагональной мозаики Дюно-Каца.

§ 5.4 Фрактальность бигексагональной мозаики Дюно-Каца.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сравнительный информодинамический анализ классических решеток и бигексагональной мозаики Дюно-Каца»

В наших работах [85, 86, 89, 101, 104, 107-112] и ряде диссертаций [32, 49, 61] был развит информодинамический метод анализа древесно-графовых систем Кейли. Первичным и основным объектом в информодинамическом методе является отображение ячеистых, решеточных систем в древесные графы. Причем, эти древесные графы Кейли (ДК) являются координационными. Вершины ДК соответствуют ячейкам, а ветви ДК описывают отношения смежности между данной ячейкой и соседними. Отношения координаций на ДК обладают определенным свойством эстафетности. Связи, ветви ДК, образовываются только с ячейками древесных координационных сфер, направлены вперед. Тем самым, ДК можно построить для любой ячейки, решетки, а сама древесно-графовая структура будет обладать полярной симметрией. Общность древесно-графового представления состоит как раз в том, что мы можем характеризовать не только ячейки, координатную компоненту, но и отношения смежности между ними, чего нет в обычных решеточных системах. В работах [101, 102, 104, 106, 108-110] и диссертациях [32, 49, 61] подробно излагается алгоритм построения ДК и обсуждаются топологические, алгебраические, геометрические и вероятностные свойства древесных графов. По нашему мнению, координационные древесные графы Кейли являются более общими, чем представление решеток в координатном пространстве.

Вполне естественно напрашивается сопровождение древесно-графого подхода грамматическими функциями. Причем алфавит может иметь несколько объектных и координационных уровней, то есть [тд х пр\, где за д обозначаются виды ячеек, а зар - типы контактов. В случае планарных решеток, контакты могут быть точечными и реберными. Объектный алфавит может иметь 3 уровня рассмотрения: атомарный, «молекулярный» и третий - словарный или фразеологический.

Например, для мозаики Пенроуза первый уровень - пара золотых треугольников, затем - пара золотых ромбов, и, наконец - пара десятиугольников, с внутренним заполнением только соответствующими золотыми ромбами. Для бигексагональной решетки первый уровень - это гекса-ромб, словарный уровень - гекса-звезда, а фразу образуют объединения двух гекса-звезд с минимальным пересечением по гекса-ромбу. Синтез соответствующих квазикристаллических покрытий легче осуществляется на высоких рангах алфавита, где будет действовать простая алгебра грамматики [32, 101-102, 110].

Древесно-графовый метод отображения ячеистых систем получил широкое развитие в теории перечисления графов. Если избран древесно-графовый подход к отображению ячеистой системы, то автоматически следует за ним теория перечисления графов. Посредством простых нормировок можно получить ВПП. Так как любое ДК в принципе имеет бесконечную этажность, то изучение этих графов проводится в рамках теории протекания, перколяции, например - распространение ВПП статистик в направлении «центрк-»периферия». И, наконец, третий уровень - функциональный, он основан на построении скалярных сверток информодинамических функционалов различного вида, в которых и изучается в окончательном виде задача собственной пер-коляции на ДК.

Разработанный нами метод был применен к самым разнообразным ячеистым и решеточным системам [32,49, 61, 80, 110]. Подробно рассмотрены квазикристаллические симметрии, особенно мозаика Пенроуза [32, 110]. Причем исследование квазикристаллической мозаики Пенроуза было проведено двумя способами: один из них основан на координационных древесных графах Кейли [102, 123], а другой - на порождающих графах, в основе которых лежит принцип подобия [32, 108]. Последняя методика решает не задачу замощения покрытия, разбиения, а морфогенетического плотного роста из затравочного фрагмента.

Чрезвычайно важным обстоятельством является выяснение параллелизма между квазикристаллической симметрией и фрактальностью. Древесные графы обоих типов автоматически фрактальны, точнее подчиняются некоторому принципу стохастического подобия, и в то же самое время являются симплициальными комплексами. Фрактальность и симплициальность могут обсуждаться как родственные понятия, хотя на это раньше не обращали внимания. Таким образом, исследование фрактальных свойств в нашей методике является вполне естественным и органичным.

В настоящей диссертации ставится и решается задача о применении древесно-графового информодинамического метода к классическим кристаллографическим решеткам. Мы рассматриваем плоские параллел(>грамматические решетки, которые и подлежат подробному информодинамическому анализу. Из квазикристаллических объектов, очевидно, надо взять наиболее близкую систему к гекса-симметрии, точнее к плоской симплекс-решетке. В R2 мы остановились на бигексагональной мозаике Дюно-Каца.

Содержательная часть отражена в главах III — V, где наряду с теоретико-вероятностными, информодинамическими характеристиками рассмотрены и фрактальные характеристики обсуждаемых решеток, ДК. Тем самым, главная задача диссертации — показать, что дает нового наш метод в приложении к известной математической кристаллографии. Однако имеется и принципиально новый аспект, ориентированный на квазикристаллическую симметрию, из которой мы выбрали наиболее минимальную квазикристаллическую мозаику. В этом аспекте полученный результат, Глава V, по информодинамическому анализу бигексагональной мозаики Дюно-Каца и ее фрактальности являются новыми.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Чуднова, Ольга Александровна

ВЫВОДЫ

I. Предложена расширенная кристаллографическая методика, способная описывать и количественно характеризовать квазикристаллические структуры. Она включает в себя несколько этапов:

1. Построение отображения квазикристаллической структуры в координационные, древесные графы Кейли. Ячейки сеток, паркетов отображены в вершины графа, а связи передают отношения соседства, смежности (только вперед). Такие ДК обладают полярной геометрией и являются перколяционными графами. Эти ДК наделены иерархической топологией.

2. Установлены, изучены математические свойства координационных ДК. ДК наделены грамматической функцией - в каждом случае построены алфавитные модули, найдена их алгебра, осуществлен синтез квазикристаллической решетки с минимальным пересечением.

3. ДК наделены ультраметрикой. Кусты являются ультрасимплексами, а все ДК симплициальным комплексом. Тем самым на ДК действует симплициальная декомпозиция. Один тип симплициальной декомпозиции предполагает разложение ДК на кусты (ультрасимплексы), а второй - на ветви (вершина + связь).

4. ДК как иерархические структуры содержат отношения «подчинения-командования», что позволяет рассматривать перколяцию подчинения и командования (направления «центр<-*периферия»). Каждый центр «разрастания коллапсирования» ДК порождает перколяционные потоки, которые, в общем случае, могут приводить к необратимыми древесными графами.

II. На ДК строятся ПП, ВПП для каждого уровня ДК и рассматривается перко-ляция статистических характеристик. Исследованы их асимптотические свойства, эргодичность.

Рассматривается перколяция на ДК «центр«-»периферия» информодинамических функционалов - энтропии, дивергенции, информационной энергии. Перколяционная зависимость информодинамических функционалов лежит в основе идентификации типа упорядоченности, организации древесных структур.

III. Синтезом мозаик, паркетов управляет принцип морфогенетического роста от центрального порождающего фрагмента, принадлежащего фразеологическому уровню алфавита. Морфогенетический рост мозаик осуществляется координационными фронтами, которые образуются фразами при минимальном пересечении по символам второго уровня алфавита.

IV. Фронтальная координация сопряжена с обобщенно - лучевой формой перколяции - стримерной. Фронты реализуются скорлупами Мандельброта (геодезический фрактал). Тем самым, ДК являются фрактальными структурами - прямой суммой фронтальной и стримерной перколяций. На ряде примеров показано, что йГг > <1Г.

V. Классические плоские решетки, хотя и являются тривиально самоподобными, но фракталами не являются. Установлены законы дальнодействия для изученных решеток. Бигексагон Дюно-Каца является фракталом <¿¿,<1.3 . Показаны минимальные преобразования симплекс-решетки, переводящие ее в бигексагональную мозаику.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В основе математической кристаллографии лежат два типа дуальных разбиений Я2 и Я3 пространств. Одно из них - разбиение Вороного, представляющее собой полиэдральную сетку, образующуюся выпуклыми, неправильными, минимальными многоугольниками (многогранниками). Такое разбиение обладает су - свойством. В физике твердого тела подобное разбиение известно как построение Вигнера - Зейтца.

Другой тип а- разбиения пространства Я2 и Я3 принадлежит Делоне и, фактически, представляет собой триангуляционную сетку. В математической кристаллографии применяются графовые методы описания сеточных систем, совместно с заданием отношений инцидентности. Получили некоторое распространение и статистические методы исследования пространственных сеток обоих типов. Последние годы возникла необходимость в расширении кристаллографии на квазикристаллические объекты.

В настоящей диссертации сформулирован метод исследования решеточных, сеточных и ячеечных систем общего вида.

Согласно постановке задачи, вышеупомянутым методом были изучены плоские параллелограмматические решетки, а также наиближайшая к ним квазикристаллическая система - бигексагональная мозаика Дюно-Каца.

I. Информодинамический метод анализа обобщенных решеточных систем состоит в следующем:

Дан алгоритм построения координационных графов Кейли по соответствующей сеточной системе. Вершины графа соответствуют ячейкам сетки, а координаты - смежностям, соседства направленным «вперед». Тем самым получим направление ДК «центр -> периферия». При этом автоматически получается ДК с обратным направлением «периферия —> центр». Исследованы математические свойства ДК. В г - направлении выполняется условие эстафетности. Координационные ДК, наделенные ультраметрикой, обладают внутриуровневой пересекаемостью, связностью и, вообще говоря, имеют случайную ветвистость. Такие ДК нами названы марковскими джунглями. К тому же они подчинены принципу симпл ициал ьности.

II. Для древесно - графового отображения систематически применяется теория перечисления графов, которой может быть придана вероятностная, статистическая форма представления. Это позволяет рассмотреть вероятностные статистические задачи перколяции ПП на ДК в направлении «центр <-> периферия». Задача перколяции на ДК может быть обобщена в теоретико-информационной форме. Для чего строятся энтропийные, дивергентные и энергетические функционалы. Их возможная инвариантность при протекании ДК или волноподобное поведение и будут служить характеристикой для идентификации типа упорядочения, организации мозаик, паркета, решеток. III. Информодинамическая методика позволила получить результат следующего трехуровневого рассмотрения.

На первом уровне обсуждаются свойства ПП, ВПП в особенности в асимптотике. На втором уровне обсуждения приводятся асимптотические оценки энтропийной и дивергентной перколяции на ДК. На третьем уровне - идентификационный характер дальнодействия, тип которого отражен в yif и ßir показателях. Общей чертой для квартетных и сотовой решеток является коллапсирование ВПП в асимптотике: limt"(xl)=x2; к?=2 i-*a> limt"(xk)=x>; к?=3

1-*а> для сотовой и квартетной решетках, соответственно.

Дивергентные и энтропийные функционалы для обоих типов решеток в асимптотике стремятся к 0, т.е. вырождаются. Последнее свойство означает, что сотовые и квартетные решетки, ДК можно причислить к детерминированным в асимптотике системам. Для квартетных ДК у1 и ßl показатели равны 1, что говорит о кулонов-ском, ньютоновском типе дальнодействия. Для сотовой структуры справедливо более сильное дальнодействие у1 и ßl= 0,833. Показатель дальнодействия в обратных потоках ~ 0,7-0,72 в обоих случаях. Усиление дальнодействия в обратном потоке есть следствие отражения от бесконечного горизонта перколяционного потока «периферия —> центр».

Симплекс - ДК в вероятностном и теоретико - информационном представлении является оптимальной структурой: lim Н^ = lim Н* = 1/2 = Нпюх^>Н{ Д )

-»СО i—>00

Геометрические свойства симплектичности тесно коррелируют с равновероятной структурой асимптотических ВПП и с максимальным значением энтропий, дивергенции на перколяции потоков по ДК. По у и ß показателям ДК симплекс - решетки: у1 V/?1 = 0.105 <yr V/?* = 0.155.

Можно сделать вывод, что симплекс-упорядочение на порядок более дальнодейст-вующее, чем квартетное. Отражение от бесконечного горизонта в этом случае ужесточить дальнодействие уже не может, но зато может его ослабить.

Нетрудно видеть, что все плоские параллелограмматические решетки тривиально подобны. Однако вследствие асимптотической вырожденности вероятностных и энтропийных характеристик сотовые и квартетные решетки не являются фракталами. Для симплекс - решетки, ДК подобный эффект не наблюдается, но: т.е. и симплекс - структуры, несмотря на свою симплициальность, также не являются фракталом.

IV. Сопоставление сотового, симплекс - ДК и бигексагонального. Структура ПП, ВПП:

1. сотовое ДК: к1 =3,2 г'=3

2. симплекс-ДК

3. бигексагональное ДК к1 =5,4,2 г1 =5 к? '= 4,3,2,1 ^ =4

Из 1-2 видно, что упорядоченность бигекса - ДК более низка, чем для симплекс -ДК и лежит между ними; в (2, 3) случаях для направлений перколяции «центр -> периферия» ПП является триплет/квартетными, но ранги 6^/5^ и 51 ¡4^ со средними асимптотическими ветвистостями:

Ь* ( AS.) = 4 > £?(бигексагон) = 22/3.

По последнему показателю отличие, Ак„ - дефект, от симплекс - 33,35%. Асимптотические ВПП, их коэффициенты:

Ш) ш также указывают на определенную асимметричность. ВПП. В обоих случаях эти асимптотики являются биномами.

По к - ветвистостям паркеты упорядочиваются: ею М < [¿л Д)=А

Информодшамические характеристики.

1. Шкала энтропийных функционалов в асимптотике:

Ob о < я.ИУ) Ш1=<"<* <«№> А ]= н^=0.5 степень квазистохастичности бигекса - ДК г]= 11.2% от симплекс - ДК. Сотовая структура предельно детерминирована.

2. энтропия мод к - ветвистости ДК mod Н^[/и (х4 к = 5,i] =2 - для симплекс - ДК mod Н„

4;2

0.888.

-= 0.666 - для бигекса - ДК;

1.333.

ЛАН~ (**))]= 44-5% от симплекс - ДК. 3. Показатели дальнодействия

А\)=0.105>у*\/р\ /¡¡\)=0.155 у^ v /3^ - показатели дальнодействия для бигексагонального ДК смещены на А(/ V /3)=0.04 (ослабление дальнодействия) в сравнении с симплекс - ДК. Соотношения у и р в потоках на обоих ДК в направлениях «центр периферия» одинаковые, что говорит о генетических корнях гекса - симметрии. 4. Фрактальность бигексагонального ДК. Оценки фрактальности по скорлупе Мандельброта и по соотношению дают ^ ~ ^ * ®се 11,1001016 параллелограмматические решетки не фрактальны, хотя тривиально самоподобны. Квазикристалличность и фрактальность коллинеарны.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чуднова, Ольга Александровна, 2004 год

1. Айзерман М.А. и др. Динамический подход к анализу структур, описываемых графами (Основы графодинамики) / Сб. науч. тр. «Исследования по теории структур» / М.: Наука, 1988. С.5-76.

2. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992. 640с.

3. Банн Ч. Кристаллы: их роль в природе и науке. / Под ред. Белова Н. В. / М.: Мир, 1970.

4. Бекстер Р. Точно решаемые модели в статистической физике. М.: Мир, 1985. 488с.

5. Беленький А. Я. Стеклообразные металлы // Природа. 1987. № 2. С.80-88.

6. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969. 240с.

7. Бонгард М.М. Проблемы узнавания. М.: Наука, 1967.318с.

8. Братковский А. М., Данилов Ю. А., Кузнецов Г. И. Квазикристаллы // ФММ. 1989. Т. 68, № 6. С. 1045-1095.

9. Вайнштейн Б.К. Современная кристаллография. T.l. М.: Наука. 1979.

10. Векилов Ю. X. Что такое квазикристаллы // Физика. 1997. № 1. С.87-91.

11. Воробьев H.H. Числа Фибоначчи. Лекции по математике. М.: Наука. 1992. 192с.

12. Галагер Р. Теория информации и надежная связь. М.: Сов. радио, 1974. 600с.

13. Галиулин Р.В. Как устроены кристаллы // Квант. 1983. №11. С.10-16.

14. Галиулин Р.В. Кристаллографическая картина мира // УФН. 2002. Т. 172. №2. С.228-233.

15. Галиулин Р.В. Правильные системы // Природа. 1991. №12. С.20-36.

16. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. T.l. М.: Наука, 1971.664с.

17. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т.2. М.: Наука, 1973. 640с.

18. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т.З. М.: Наука, 1975. 496с.

19. Гратиа Д. Квазикристаллы // УФН. 1988. Т. 156, № 2. С. 347-364.

20. Делоне Б.Н. Петербургская школа теории чисел. Л.: изд. АН СССР, 1947. С. 196-316.

21. Делоне Б.Н. Теория планигонов // Изв. АН СССР. Серия математическая. Т. 23. № 3.1959. С.365-386.

22. Долбилин Н.П. Правильные системы (Введение в математическую кристаллографию). М.: Знание, 1978. 64с.

23. Домрачев Г.А., Лазарев А.И. Приложение теории алгебраических систем для создания иерархии структур твердых тел, образующихся при равновесных и неравновесных условиях // ФТТ. 1999. Т. 41. №5. С.799-804.

24. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графы, оптимизация. М: Наука. 1981.

25. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1971. 576с.

26. Займан Дж. Модели беспорядка. М.: Мир. 1982. 591с.27. . Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991.

27. Зосимов В.В., Лямшев Л.И. Фракталы в волновых процессах // УФН. 1995. Т. 165, №4. С.361-401.

28. Зыков A.A. Основы теории графов. М.: Наука, 1987. 382с.

29. Иванова B.C., Баланкин A.C., Бунин И.Ж., Оксогоев A.A. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. 383с.

30. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624с.

31. Карыгина Ю.А. Фрактальная кристаллография квазикристаллических структур в древесно-графовом представлении на группах подобия / Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток, 2002.24с.

32. Карыгина Ю.А., Любченко Е.А., Чуднова O.A. Мозаики Пенроуза в представлении древесных графов Кейли // VI Всероссийская научная конференция студентов и молодых ученых по физике. Томск, 1999. С.125-126.

33. Карыгина Ю.А., Юдин В.В Древесно-фрактальный алгоритм топологического синтеза квазикристаллических мозаик // Материаловедение. 2001. №12.1. С. 12-16.

34. Каста Дж. Большие системы. Связность, сложность, катастрофы. М.: Мир, 1982.216с.

35. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 792 с.

36. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М.: Наука, 1989, 150 с.

37. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982. 608с.

38. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Мир, 1978. 560с.

39. Коренфельд И.П., Синай Ф.Г., Фомин C.B. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. 384с.

40. Корепин В.Е. Узоры Пенроуза и квазикристаллы // Квант. 1987. №6. С.2-6.

41. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет, 2000. 352с.

42. Кульбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука, 1967.400с.

43. Кушта Г. П. Введение в кристаллографию. Львов: Высш. школа. 1976.238с.

44. Лазарев А.И., Домрачеев ГА. Ромб и квадрат зародыши для фрактального построения двумерных квазикристаллических структур с вращательной симметрией 8-го и 4-го порядков // Кристаллография. 1994. Т.39, №5. С.811-814.

45. Лазарев А.И., Суханов А.Ю., Домрачеев Г.А. Устойчивые фрактальные формы в плоских квазикристаллических структурах с симметрии 8-го, 4-го и 1-го порядков, имеющий коэффициент самоподобия i + VJ //Кристаллография. 1995. Т.41, №5. С.793-803.

46. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 4.1, т.5. М.: Наука, 1976. 584с.

47. Левитов Л. С. Квазикристаллы // Природа. 1990. № 5. С.76-84.

48. Любченко Е.А. Древесные графы Кейли в исследовании сеточных структур ме-зодефектов кварцевых стекол / Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток, 1999. 199с.

49. Любченко Е.А., Чуднова O.A., Карыгина Ю.А. Информодинамические характеристики кристаллических решеток // Тез. докл. III региональной конф. студентов, аспирантов и молодых ученых по физике. Владивосток, 1999. С. 50-51.

50. Любченко Е.А., Чуднова O.A., Юдин В.В. Информодинамика гексагональной мозаики Дюно-Каца // Тез. докл. Второй всероссийской конференции по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектроннике. С.-Петербург. 2000. С. 142-143.

51. Мандельброт Б. Фракталы в физике / Под. ред. Пьетронеро Л., Тозатги Э. / М.: Мир, 1988.

52. Медведев H.H. Метод Вороного Делоне в исследовании структуры некристаллических систем. Новосибирск: изд. СО РАН, 2000. 214с.

53. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. 488с.

54. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н. Новгород: изд-во Нижегородского университета, 1999. 140с.

55. Нельсон Д. Р. Квазикристаллы // В мире науки. 1986. № 10. С.19-28.

56. Никулин В.В., Шафаревич И.Р. Геометрии и группы. М.: Наука. 1983.

57. Олемской А.И., Флат АЛ. Использование концепции фрактала в физике конденсированных сред // УФН. 1993. Т.63, №12. С.1-50.

58. Писаренко Т.А. Фрактальность сеточных систем мезодефектов металлических и кварцевых стекол в спектральном и древесно-графовом представлениях / Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток, 2000. 299с.

59. Писаренко Т.А., Любченко Е.А., Чуднова O.A., Карыгина Ю.А. Деревья Кейли в анализе мозаик Пенроуза // Тез. докл. III региональной конф. студентов, аспирантов и молодых ученых по физике. Владивосток, 1999. С.37-38.

60. Писаренко Т.А., Чуднова O.A., Любченко Е.А. Фрактальность мозаик Пенроуза в представлении деревьев Кейли // VI Всероссийская научная конференция студентов и молодых ученых. Томск, 1999. С. 127-128.

61. Полянский Д.А., Любченко Е.А., Чуднова O.A. Информодинамика мозаик Ка-вамуры и Дюно-Каца // ТД региональной конф. студентов, аспирантов и молодых ученых по физике. Владивосток, 2001. С.84-85.

62. Полянский Д.А., Любченко Е.А., Чуднова O.A. Фрактальность мозаик Каваму-ры и Дюно-Каца // ТД региональной конф. студентов, аспирантов и молодых ученых по физике. Владивосток, 2001. С.86-87.

63. Полянский Д.А., Чуднова O.A., Любченко Е.А., Юдин В.В. Фрактальность обобщенных решеток // Материалы XLIV Всероссийской межвуз. научно-технич. конф. «Фундам. и приклад, вопросы физики и математики» Владивосток, 2001. С.60-62.

64. Потапов A.A. Фракталы в дистанционном зондировании // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2000. №6. С.3-65.

65. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. М.: Наука, 1973.496с.

66. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. ДО.: Наука, 1980. 320с.

67. Савчук Е.Г. Статистическая кинетика суперсеточных систем металлических и кварцевых стекол в процессах структурной релаксации / Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток, 1991. 255с.

68. Самсонов Б.Б., Плохов Е.М., Филоненков А.И. Компьютерная математика. Ростов-на-Дону: изд-во Феникс, 2002. 512с.

69. Самсонов Б.Б., Плохов Е.М., Филоненков А.И., Кречет Т.В. Теория информации и кодирование. Ростов-на-Дону: изд-во Феникс, 2002.288с.

70. Стивенз П. В., Гоулдман А. И. Структура квазикристаллов // В мире науки. 1991. № 6. С.15-21.

71. Стратонович PJL Теория информации. М.: Сов. радио, 1975.424с.

72. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир. 1977. 200с.

73. Фано Р. Передача информации. Статистическая теория связи. М.: Мир, 1965.

74. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.254с.

75. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. М.: Мир, 1984. 528с.

76. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: Мир, 1984. 752с.

77. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука, 1979. 368с.

78. Харари Ф. Комбинаторные задачи перечисления графов / Сб. тр. «Прикладная комбинаторная математика» / Под ред. Беккенбаха Э. М.: Мир, 1968.1. С. 107-140.

79. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. М.: Мир, 1977.

80. Харкевич A.A. Теория информации. Опознание образов / Избранные труды. Т.З. М.: Наука, 1973. 524с.

81. Хеннан Э. Многомерные временные ряды. М.: Наука, 1974. 576с.

82. Чуднов П.С., Любченко Е.А., Чуднова O.A., Юдин В.В. Информодинамическая диагностика обобщенных решеточных систем // Сб. тез. Всеросс. конф. «Моделирование неравновесных систем-03». Красноярск. 2003. С. 189-190.

83. Чуднова O.A. Фрактальность классических решеток и бигексагональной мозаики Дюно-Каца// Материалы Всероссийской межвуз. научно-технич. конф. «Фундам. и приклад, вопросы физики и математики» Владивосток, 2003.

84. Чуднова O.A., Карыгина Ю.А., Любченко Е.А., Юдин В.В. Деревья Кейли в анализе мозаик Пенроуза // Материалы XXXXII Всероссийской межвуз. науч-но-техн. конф. «Фундам. и приклад, вопросы физики и математики» Владивосток, 1999. С.213-214.

85. Чуднова O.A., Любченко Е.А. Информодинамические характеристики кристаллических решеток // VI Всероссийская научная конференция студентов и молодых ученых. Томск, 1999. С. 192-194.

86. Чуднова O.A., Любченко Е.А., Чуднов П.С., Юдин В.В. Информодинамическое обобщение классической кристаллографии // Сб. тез. Всеросс. конф. «Моделирование неравновесных систем 03». Красноярск, 2003. С.191-192.

87. Чуднова O.A., Любченко Е.А., Юдин В.В. Информодинамические характеристики гексагональных мозаик // Материалы XLIII Всероссийской межвуз. научно-технич. конф. «Фундам. и приклад, вопросы физики и математика» Владивосток. 2000. С.138-140.

88. Чуднова O.A., Любченко Е.А., Юдин В.В. Информодинамические характеристики гексагональной мозаики Дюно-Каца // VII Всероссийская научная конференция студентов и молодых ученых. С.-Петербург, 2001. С. 114-И 6.

89. Чуднова O.A., Любченко Е.А., Юдин В.В. Информодинамический анализ пер-коляции мозаик Дюно-Каца // VIII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2001». Москва, 2001. С.196.

90. Чуднова O.A., Любченко Е.А., Юдин В.В. Мозаики Дюно-Каца в представлении древесных графов Кейли // Материалы XLIII Всероссийской межвуз. науч-но-технич. конф. «Фундам. и приклад, вопросы физики и математика» Владивосток, 2000. С.141-143.

91. Чуднова O.A., Любченко Е.А., Юдин В.В. Фрактальность квазикристаллических структур // VII Всероссийская научная конференция студентов и молодых ученых. С.-Петербург, 2001. С. 113-114.

92. Чуднова O.A., Любченко Е.А., Юдин В.В. Информодинамика гексагональных мозаик // Тез. докл. Региональной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по физике полупроводниковых, диэлектрических и магнитных материалов. Владивосток, 2000. С.49-51.

93. Шаскольская М. П. Кристаллография. М.: Высшая школа. 1984. 375с.

94. Шварц Л. Анализ. Т.1 М. Мир. 1972. 824с.

95. Шубников А.Б., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. М.: Наука. 1972. 450 с.

96. Щеголева С.А. Воздействие у-радиационных полей на сверхтонкие аморфные покрытия / Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток, 2000. 142с.

97. Эдварс Р. Функциональный анализ. М. Мир, 1967. 1072с.

98. Юдин В .В. Сверхструктурные неоднородности аморфных планарных сред типа переходной металл-металлоид, редкая земля-переходной металл / Дис. на соиск. уч. ст. д.ф.-м.н. Красноярск, 1987.300 с.

99. Юдин В.В., Карыгина Ю.А. Фрактальность квазикристаллов на примере мозаики Пенроуза // Кристаллография. 2001. Т.46, №6. С.1004-1008.

100. Юдин В.В., Любченко Е.А., Писаренко Т.А. Информодинамика сетевых структур / Уч. пособие. Владивосток: изд. ДВГУ, 2003.244с.

101. Юдин В.В., Любченко Е.А., Чуднов П.С., Чуднова O.A. Информодинамическая диагностика сетевых структур в представлении обобщенных деревьев Бете // Тез. докл. X Всероссийского семинара «Нейроинформатика и ее приложения». Красноярск, 2002. С.169-170.

102. Юдин В.В., Писаренко T.A., Любченко Е.А., Савчук Е.Г. Случайные координационные деревья Кейли для сеточных мезоструктур кварцевых и металлических стекол // Кристаллография. 1999. Т.44, №3. С.413-421.

103. Юдин В.В., Писаренко Т.А., Любченко Е.А., Чуднова O.A. Обобщенные решеточные системы как сверхперколирующие структуры // Изв. Академии Наук. Серия физическая. 2001. Т.65, №10. С.1405-1410.110.111.112.113.114.115.116.117,118119120121122123124

104. Юдин B.B., Писаренко Т. А., Любченко Е.А., Чуднова О. А., Карыгина Ю.А. Мозаика Пенроуза как древесно-графовая квазистохастическая решетка // Кристаллография. 2002. Т.47, №2. С.224-231.

105. Юдин В.В., Полянский Д.А., Любченко Е.А., Чуднова О .А. Древесно-графовое моделирование квазикристаллических структур // V Всеросс. семинар Моделирование неравновесных систем -02. Красноярск, 2002. С. 180-181.

106. Юдин В.В., Чуднова О.А., Полянский Д.А., Любченко Е.А. Фрактальные характеристики древесных графов Кейли квазикристаллической симметрии // Сб. тезисов III Междисциплинарного семинара «Фракталы и прикладная синергетика». Москва, 2003.

107. Brostow W., Dussaut J.-P., Fox L. Construction of Voronoi polyhedra // J. of Corn-put. Phys. 1978. V.29. P.81-82.

108. Deunea M., Katz A. Quasipereodic patterns // Phys. Rev. Lett. 1985, V.54. P.2688-2691.

109. Dwyer R.A. A faster divide-and-conquer algorithm for constructing Delaunay trian-gulation//Ibid. 1987. V. 2. P.137-151.

110. Henely C.L. //J.Non-crystall Sol. V.75.p.91.

111. Fihney I.L. A procedure for the construction of Voronoi polyhedra // Ibid. 1979. V.32. P.137-143.

112. Kawamura H. Statics of Two-Dimensional Amrphous Lattice // Prog, of Theor. Phys. 1983. V.70,№ 2. August.

113. Mackey A. Crystallography and Penrous patterns // Physica. 1982. V.l 14A. P.609-613.

114. Mandelbrot B.B. Fractals: Form, Chance, and Dimension. W.H. Freeman. San Francisco. 1977.

115. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. New York: Freeman, 1982.

116. Marko J.F. Cluster scaling geometry in critical spin systems // Phys. Rev. B. 1992. V.45, №9. P.5023-5026.

117. Yudin V.V., Lyubchenko E.A., Chudnova O.A Informodynamic analysis of percolation on high quasicrystal symmetries // Proc. I Asia-Pacific Conference «Fundamental problems of opto- and microelectronics», Vladivostok, September-2000. P.321-325.

118. Yudin V.V., Chudnova O.A, Polyansky D.A., Chudnov P.S., Lyubchenko E.A. Qusi-cristal structure fractality in wood Kylie grafs representetion // Проблемы эволюции открытых систем. Вып. 5. изд. «Эверо». Алмата. С.119-125.