Сравнительный анализ различных представлений корреляционных функций в теории Черна-Саймонса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Слепцов, Алексей Васильевич

• Слепцов, Алексей Васильевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Слепцов, Алексей Васильевич

1.1 Содержание диссертации..........................................................6

1.2 Результаты, выносимые на защиту диссертации................................9

2 Вычисление ассоциатора Дринфельда 11

2.1 Интеграл Концевича ..............................................................12

2.2 Регуляризованное уравнение Книжника - Замолодчикова для ассоциатора 14

2.3 Решения..............................................................................16

2.4 Сравнение с известными формулами для узлов................................23

2.5 Препотенциал Дринфельда........................................................26

3 Разложение при больших N для корреляторов Черна-Саймонса 30

3.1 Пертурбативные разложения полиномов ХОМФЛИ............................31

3.2 Структура разложения т'Хофта..................................................34

3.3 Замечания ..........................................................................41

4 Обобщение корреляторов на случай суперполиномов 55

4.1 Полиномы ХОМФЛИ для торических узлов....................................55

4.2 Деформация в характеры Макдональда........................................60

4.3 Замечания ..........................................................................68

4.4 Редукции суперполиномов........................................................75

4.5 Взаимосвязь между разложениями Макдональда и Холла-Литтлвуда торических суперполиномов............................................................79

4.6 Коэффициенты Холла-Литтлвуда Ид для торических узлов..................81

4.7 Производящие функции..........................................................84

5 Заключение 89

6 Приложения 90

6.1 Приложение А. Уравнение КЗ....................................................90

6.2 Приложение Б. Характеры симметрической группы ..........................91

6.2.1 Примеры структурных констант..........................................91

6.2.2 Таблица характеров симметрической группы (рц(А) ..................93

6.3 Приложение В. Суперполиномы..................................................93

6.3.1 Неузлы......................................................................94

6.3.2 Случай (2, п), серия п = 2к фундаментальное представление .... 94

6.3.3 Случай (2, п), серия п = 2к + 1 фундаментальное представление . . 96

Глава 1 Введение

В работах [1, 2] было предложено рассмотреть трехмерную (2 + 1) квантовую теорию поля с действием Черна-Саймонса и неабелевой калибровочной группой для изучения топологических инвариантов. Идея довольно проста.

Действие Черна-Саймонса для векторного поля Ац = А^Та

= ^хе^Тг (л^Ар + ¡4ЛЛ) (1-0.1)

построено без введения метрики на Л43, поэтому естественно ожидать, что наблюдаемые не будут зависеть от метрики, а будут зависеть только от своей "топологической конфигурации". Будем полагать, что М3 = в3, а С = 5£/"(АГ), тогда Та являются генераторами алгебры 5и(Л^). След в действии берется по фундаментальному представлению, а к - это константа связи, иногда ее называют уровнем теории. В качестве наблюдаемых будем рассматривать калибровочные инварианты, а именно корреляционные функции операторов Вильсона. Оператор Вильсона в случае неабелевой теории для контура С дается следующим выражением:

И/Л(С, А) = Тг я (Рехр г £ А^х^ , (1.0.2)

где Я является неприводимым представлением рассматриваемой алгебры Ли и поэтому нумеруется диаграммой Юнга. Коррелятор петли Вильсона равен

(ИЪ(/С)> = {т>А е*{А) А), (1.0.3)

и уже не зависит от реализации контура С в в3, а зависит от топологического класса эквивалентности узла /С, и следовательно, коррелятор (И0?(/С)) определяет топологический инвариант узла.

Свое развитие эта идея нашла в работах [3], где было показано, что физические состояния теории Черна-Саймонса описывают конформные блоки двумерной конформно-инвариантной теории Весс-Зумино-Виттена. То есть было установлено соответствие между 3d калибровочной теорией и 2d конформной теорией. Используя это соответствие, Э.Виттен сумел вычислил корреляторы вильсоновских петель для группы SU(2). Для конкретного узла и конкретного представления ответ дается многочленом по переменным

q = exp(ft) A = exp(Nh), (1.0.4)

где введено обозначение, смысл которого станет ясен чуть ниже,

П=—. (1.0.5)

к

По сути, эти многочлены являются нетривиальными обобщениями характеров группы Ли G. Эти же самые многочлены были вычислены по узлу исходя из совершенно других соображений в работах [32, 33, 108, 109, 110, 111, 126, 127] и называются полиномами ХОМФЛИ для SU(N) (в частности, полиномами Джонса для SU(2)) и полиномами Кауффмана для SO(N):

{WR{lC))^nR{K), G = SU(N) (1.0.6)

Таким образом, Э.Виттен с помощью непертурбативных методов не только установил соответствие между 3d калибровочной теорией Черна-Саймонса и 2d конформной теорией, но и точно вычислил корреляторы вильсоновских петель.

Позже в работах [7] было показано, что теория перенормируема и не содержит расходимостей, т.е. конечна. Коррелятор (Wr(K)) имеет осмысленное пертурбативное разложение по константе связи

П=~. (1.0.7)

к

Это разложение оказывается исключительно плодотворным, поскольку приводит к инвариантами конечного типа (инвариантам Васильева) Впервые эти инварианты были получены в работе [4]. Их связь с полиномиальными инвариантами установлена в [5, 6]. Более того, в калибровке светового конуса из функционального интеграла (1.0.3) можно вывести универсальный инвариант Васильева [8], известный как интеграл Концевича [9]. По сути мы записываем коррелятор как ряд по инвариантам Васильева:

(И= (1.0.8)

п,т

Инварианты Васильева зависят только узла, а зависимость от группы и представления дается факторами г7Цт. Таким образом, это подход раскрывает нам структуру корреляционных функций Вильсона. Стоит отметить, что вычисление инвариантов Васильева и групповых факторов - важная научная задача, которая в общем виде не решена. Более того, даже размерность линейного пространства, натянутого на инварианты Васильева, в общем случае не известна.

Вообще пертурбативные методы исследования в этой теории играют одну из ключевых ролей. Они позволяют не только изучать структуру корреляторов, но также устанавливают связь с другими теориями. Так в работах [10, 11] показано, что для группы 577 (2) в пределе больших представлений малой константы связи коррелятор узла К равен гиперболическому объему трехмерной сферы, из которой вырезали узел /С. На сегодняшний день это утверждение для произвольного узла носит статус гипотезы, подтвержденной многочисленными примерами. Она допускает обобщение на случай группы 577 (]\Г), вопрос о вычислении поправок также интересен [12]. Таким образом, благодаря этому разложению с помощью теории Черна-Саймонса можно изучать геометрию трехмерных многообразий.

Еще одним интересным пределом является планарный предел, т.е. предел при больших N. В диссертации показано, что в этом пределе корреляторы имеют очень простую зависимость от представления Я, и их производящая функция является тау-функцией иерархии Кадомцева-Петвиашвили. Другими словами, полиномы ХОМФЛИ в пределе больших N удовлетворяют соотношениям Плюккера. Также вычислены поправки к этому пределу в произвольном порядке по теории возмущения, явно выписан ответ для п-го порядка. Показано, зависимость от представления полностью описывается характерами симметрической группы. Записанный в таком виде коррелятор имеет вид двухточечной функции Гурвица, тем самым разложение при больших N позволяет установить связь между теорией Черна-Саймонса и теорией Гурвица, которая изучает накрытие римановых поверхностей [13]. С другой стороны, в работах [87, 88] показано, что 1/А/" разложение обеспечивает дуальность между теорией Черна-Саймонса и замкнутой топологической струной и тем самым с инвариантами Громова-Виттена.

Как уже говорилось, корреляторы вильсоновских петель являются полиномами от двух переменных А и д. В 2004-2005 гг. в работах [34, 35] было предложено рассмотреть полиномы от трех переменных А, q и t, которые обобщают полиномы ХОМФЛИ и другие полиномиальные инварианты, не получаемые из теории Черна-Саймонса, такие как полиномы Хеегарда-

Флоера и Хованова-Рожанского [36]-[39]. Эти новые полиномы, называемые еуиерполиномами, являются чем-то вроде деформацией теории Черна-Саймонса аналогичной той, что приводит к появлению функций Некрасова в низкоэнергетическом пределе четырехмерной суперсимметричной теории Янга-Миллса. Многие известные свойства полиномов ХОМФЛИ обобщаются и на случай суиерполиномов. На сегодняшний день исследование суперполиномов является важной и актуальной задачей.

1.1 Содержание диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сравнительный анализ различных представлений корреляционных функций в теории Черна-Саймонса»

Во введении дана общая характеристика диссертационной работы: актуальность темы, поставленные задачи.

В главе 2 обсуждается способ вычисления корреляционных функций вильсоновских петель в теории Черна-Саймонса через интеграл Концеви-ча. Исходно интеграл Концевича представлялся в виде бесконечной суммы интегралов по данной петле Вильсона (узлу):

*'<*> = £<¡£5= /

где Ср

= ^ (га°рЫТа°рЮ- это групповые факторы, Та генераторы алгебры Ли. Взятие такого интеграла в п-том члене даже для фиксированного узла является крайне сложной задачей, не говоря уже о том, чтобы просуммировать весь ряд. Однако можно представить интеграл Концевича в виде произведения тензоров Я (сплетающий оператор) и Ф (ассоциатор Дринфельда), причем порядок произведения зависит от узла. Сплетающий оператор дается простым выражением:

Я = еА, А = Та <%> (Та)* <8> 1. (1.1.10)

Основная сложность данного подхода состоит в вычислении Ф, и в общем случае он тоже дается бесконечным степенным рядом по тензорам А = Та 0 (Та)* О 1 и В = 1 <8> Тй (8) (Та)*, который просуммировать непосредственно довольно сложно. Тем не менее исходя из того, что ассоциатор Дринфельда является решением регуляризованного уравнения Книжника-Замолодчикова

£® = 5 (1 _ *)"» А (1 - г)ш Ф - - ФА, (1.1.11)

аг г г

для него был получен непертурбативный ответ в случае фундаментального представления алгебры Это позволило вычислить интеграл Конце-

вича явно. Кроме того, в главе 2 показывается, что в таком подходе ассоциаторы Дринфельда бывают разного типа. Тип ассоциатора зависит от ориентации нитей в узле. Это приводит к немного разных уравнениям на ассоциатор и, как следствие, к разным решениям.

В главе 3 изучается разложение т'Хофта (предел больших /V) для корреляционных функций теории Черна-Саймонса. В планарном пределе этого разложения среднее значение вильсоновской петли зависит очень простым образом от представления (диаграммы Юнга):

(1.1.12)

где \Щ - размер диаграммы Юнга, - полином по А в фундаментальном

представлении для узла /С. Такое поведение, в частности, означает что в планарном пределе производящая функция корреляторов

Я(р,р*|К) = (1-1.13)

я

становится тривиальной тау-функцией иерархии Кадомцева-Петвиашвили, где 5д(р) - полиномы Шура в произвольных временах {рь}- Также в главе 3 изучаются поправки к этой формуле:

= (1.1.14)

п

В частности, изучается зависимость корреляторов от представления. Показано, что эта зависимость полностью описывается характерами симметрической группы </?я(Д):

„5КК(А)= £ па*(А)М Д), (1.1.15)

Д:|Д|+1(Д)<п-2

В главе 4 мы переходим к построению суперполиномов, которые обобщают корреляторы вильсоновских петель или, что то же самое, полиномы ХОМФЛИ. Мы ограничиваемся рассмотрением только торических узлов, которые в общем виде могут записаны как Т[т, тк + г], где числа т и тк + г задают намотки на тор. Полиномы ХОМФЛИ можно разложить в сумму характеров калибровочной группы с постоянными коэффициентами, которые принимают значения в целых числах; сумма берется по диаграммам Юнга

я

Как известно, характерами группы СЬ(ЛГ) являются полиномы Шура б'д(р) — базис в пространстве симметрических полиномов по {рк}- Основная идея построения суперполиномов — это замена полиномов Шура на полиномы Макдональда, которые зависят еще от двух дополнительных переменных:

^ = (1-1.17)

я

Однако надо еще заменить подходящим образом коэффициенты. Они определяются из начального условия. В качестве начального условия к = О используется простейший узел в соответствующей серии узлов, т.е. узел Т[ш,г]. Показано, что если такой узел удалось разложить по полиномам Макдональда, то всю серию, т.е. при произвольных к, можно восстановить вставкой оператора эволюции:

^(к+г/тМЯ'^к+г/тМЯ) ^ (1.1.18)

где - это транспонированная диаграмма, а у(0) = Х^Ф«^ ~~ !)• Также в главе 4 показано, что узел, используемый в качестве начального условия, лучше раскладывать по полиномам Холла-Литтлвуда, нежели по полиномам Макдональда (или Шура). Именно в этом случае коэффициенты разложения устроены наиболее простым образом, например, в фундаментальном представлении

= 1, (1.1.19)

тогда как будучи представленными в базисе полиномов Макдональда они превращаются в сложные рациональные функции, тот же коэффициент

7(4,3/= 9 -¿¡Ц-• (1Л'2°)

Сама по себе эта сложность несущественна - она есть следствие линейного преобразования от полиномов Холла-Литтлвуда к полиномам Макдональда. В заключении обсуждаются полученные результаты.

1.2 Результаты, выносимые на защиту диссертации

• В случае фундаментального представления алгебры д1(М) вычислен ассоциатор Дринфельда. С его помощью для простейших узлов проверено, что интеграл Концевича в точности совпадает с полиномами ХОМ-ФЛИ.

• Показано, что компоненты решения для ассоциатора совпадают с определенными компонентами \VZWN конформного блока для примарных полей.

• Используя разложение при больших Ы, описана зависимость вильсонов-ских корреляторов от представления Я для произвольной петли. Она дается характерами симметрической группы.

• Доказано, что производящая функция корреляторов Вильсона в пределе больших N имеет степенную зависимость от \Щ.

• Построены суперполиномиальные обобщения корреляторов петель Вильсона для различных семейств торических узлов через /с-эволюцию по полиномам Макдональда.

• Показано, что начальные условия для ^-эволюции имеют простое описание через полиномы Холла-Литтлвуда.

Благодарности

Я хотел бы особо поблагодарить моего научного руководителя А.Ю.Морозова за постановку интересных задач и бесчисленные разъяснения научных вопросов. Я искренне признателен ему за помощь, поддержку и внимание к моей научной работе.

Я выражаю благодарность соавторам по совместным работам П.Дунину-Барковскому, А.Миронову, А.Морозову, А.Пополитову, А.Смирнову, Г.Шабату, Ш. Шакирову и А.Штерну, а также признательность за полезные обсуждения и разъяснения научных вопросов В. Альбе, Н.Амбург, Г.Аминову,

А.Анохиной, С.Апенко, С.Артамонову, Э.Ахмедову, Ф.Бурде, Д. Васильеву, Д.Галахову, Е.Горскому, В.Диесперову, В.Долотину, И.Ждановскому, А.Забродину, Е.Зенкевичу, А.Зотову, Е.Крейнес, И.Кричеверу, С.Локтеву, А.Лосеву, В.Лосякову, А.Маршакову, Анд.Морозову, С.Натанзону, И.Полюбину, П.Пушкарю, Л.Рыбникову, Л.Чехову и С.Харчеву.

Мне приятно поблагодарить Е.Суслову за неоценимую поддержку и помощь, оказываемую в течение всей моей работы.

Глава 2

Вычисление ассоциатора Дринфельда

Как обсуждалось во введении для вычисления корреляторов вильсоновских петель в теории Черна-Саймонса используются разные калибровки. Соответственно применяются разные методы и разные техники, чтобы получить ответ. За каждым методом стоит своя структура. Конкретный метод выбирается в зависимости от того, какую именно структуру планируется изучить. Всего же известно около десяти на первый взгляд совершенно различных способов вычислить полином ХОМФЛИ. Безусловно, все они просто соответствуют различным выборам калибровки в теории Черна-Саймонса. Одной из самых продуктивных является голоморфная калибровка, и именно она приводит к интегралу Концевича. Вычисление интеграла Концевича для конкретного узла, конкретной группы и конкретного представления является непростой задачей. В этом разделе будет рассмотрен подробно один из способов вычисления интеграла Концевича. Этот способ основан на представлении интеграла Концевича как произведения ассоциаторов и И-матриц. Их порядок в этом произведении определяется видом косы данного узла. Сама по себе Я-матрица, используемая в этой конструкции, устроена очень просто, а вся сложность интеграла Концевича, по сути, зашита в ассоциаторе, который был введен В.Г. Дринфельдом в [23] при изучении алгебр Хопфа. Ассоциатор связан с асимптотическим поведением решений уравнения Книжника - Замолодчикова (КЗ). Этот факт устанавливает связь ассоциатора Дринфельда с конформными блока, которые как известно являются решениями уравнения КЗ. Конформные блоки являются локально голоморфные и антиголоморфные множителями, произведения которых складываются в корреляционные функции двумерной конформной теории поля. В свою очередь ассоциаторы Дринфельда являются множителями, произведения которых складываются в корреляционные функции трехмерной топологической квантовой теории поля. Таким образом, связь между ассоциаторами и

конформными блока устанавливает связь между двумерной конформной и трехмерной топологической теориями поля. Эта связь между теориями была открыта в работе [3] и разрабатывалась в [14, 15], однако соотношения на уровне ассоциаторов и конформных блоков обсуждается здесь впервые. Но вернемся к этому в соответствующей главе ниже.

Итак, в этой главе будет подробно разобран метод вычисления корреляторов в голоморфной калибровке (интеграл Концевича) через ассоциаторы и И-матрицы в фундаментальном представлении калибровочной группы 5£/(А/"). Полученные результаты применим к некоторому количеству простых узлов, чтобы проверить, что выражение для вильсоновой петли в двух калибровках, упомянутых выше, в действительности совпадает. Также покажем, что нечетная часть ассоциатора Дринфельда не входит в выражение для инвариантов узлов, поэтому введем симметризованную версии ассоциатора, чья структура проще: она полностью описывается одной функцией (назовем ее препотенциалом Дринфельда), которая является четной по постоянной теории.

2.1 Интеграл Концевича

Интеграл Концевича является универсальным квантовым инвариантом в том смысле, что любой квантовый инвариант (полином) может быть восстановлен из него. Интеграл дается следующим выражением:

В таком представлении мы здесь не будем его анализировать (см. [8, 20, 9, 49]). Однако известно, что имеется эквивалентное комбинаторное описание интеграла Концевича, включающее в себя ассоциатор Дринфельда. И именно эту комбинаторную конструкцию будем иметь ввиду под интегралом Концевича. Все подробности этой конструкции можно найти в [19] и [20], а здесь мы приведем лишь краткое её описание.

Идея в том, чтобы разрезать узел на некоторое количество простых переплетений, посчитать интеграл Концевича для них, а затем восстановить интеграл для целого узла из этих простых кусков. Для этого, во-первых, узел представляется планарной диаграммой, у которой все нити идут сверху вниз или снизу вверх. Во-вторых, будем разрезать узел горизонтальными линиями так, чтобы в каждом отрезанном куске было только одно нетривиальное

событие - ему сопоставляется оператор. В-третьих, все нити находятся на некотором расстоянии друг от друга. Чтобы переплести две нити, их сначала нужно подвести друг к другу. За это отвечает ассоциатор Ф рис. (2.1), а за само переплетение - сплетающая матрица Я рис. (2.1). Это единственные нетривиальные операторы в таком подходе.

Рис. 2.1: II-матрица и ассоциатор Ф

Таким образом, по планарной диаграмме узла строится комбинаторным образом интеграл Концевича. Проиллюстрируем это на примере узла, изображенного на рисунке 2.2. Ассоциаторы стоят только в двух местах: сверху

Рис. 2.2: Узел Т[2,2к+1]

и снизу, а в середине стоят Л-матрицы в количестве 2к + 1 штук. Поэтому для интеграла Концевича получаем следующий ответ:

К1{Т%2к + 1]) = 1г (Ф • Я2к+1 • Ф"1) (2.1.2)

Ниже мы вернемся к этому примеру и явно вычислим интеграл Концевича для него.

Вычислив интеграл Концевича, скажем для группы ЛГ), не представляет труда найти соответствующие полиномиальные инварианты, в данном случае ХОМФЛИ. Ненормированные ХОМФЛИ связаны с интегралом Концевича следующим образом:

где с - это количество критических точек узла /С, а Н - это хами. Хампом называется неузел с двумя максимумами [19], см. рисунок 2.3.

Рис. 2.3: Хамп

Отметим, что ненормированный ХОМФЛИ для неузла равен обратному значению интеграла Концевича для хампа:

«(О) = ^ (2Л-4>

Ниже мы это увидим, когда явно вычислим интеграл Концевича для хампа.

2.2 Регуляризованное уравнение Книжника - Замолод-чикова для ассоциатора

Ассоциаторы, появляющиеся в комбинаторной конструкции коэффициентов интеграла Концевича, связаны с так называемым уравнением КЗ. Это уравнение берет свое начало в конформной теории поля [25]. Рассмотрим четырехточечную функцию в \VZVJ модели:

= (д(0)д(1)д(г)д(оо))Цг21¥

Уравнение Книжника-Замолодчикова является тождеством Уорда для этой четырехточечной функции1:

® = (2.2.5)

аг \г 1 — 2/

где А и В имеют форму (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам):

А = Та<8> (:Та)* В = 1®Та® (Та)*

1 Отметим, что в этой главе для удобства используется другая нормировка константы К, нежели во Введении. Она отличается заменой Л —> — ^

и С(-г) это тензор ранга б того же типа, как А и В. Отметим также, что везде, где пишется произведение двух таких тензоров ранга б, подразумевается следующее:

(АВ)Ч% := (2.2.6)

Пертурбативный подход к решению этого уравнения (2.2.5) обсуждается в Приложении 6.1. Дается также решение в первых двух порядках пертур-бативного разложения. Решения уравнений Книжника-Замолодчикова на уровне ноль даются в [27]. Однако нас интересует ситуацией в целом и в регуляризованном уравнении Книжника-Замолодчикова. Кроме того нам необходимо явное выражение для ассоциатора, чтобы применить результат к теории узлов.

Это решение расходится в точках 0 и 1, поэтому делаем следующее преобразование, чтобы устранить расходимости:

С{г) = (1 - г)~пв Ф{z)zhA. (2.2.7)

Регуляризованное уравнение имеет тогда форму

(2.2.8)

Решение этого уравнения, взятое в точке г — 1 дает нам ассоциатор. В разделе 2.3 уравнение (2.2.8) решено в случае фундаментального представления

дКЮ-

Типы ассоциаторов

Действительно, чтобы построить коэффициенты интеграла Концевича комбинаторно (см. [19, 62]), нужны й-матрица и три типа ассоциаторов. Эти ассоциаторы соответствуют трем типам ориентации нитей в косе и ведут к трем слегка отличающимся формам уравнения (2.2.8). Они перечислены в следующих таблицах:

Ориентация Уравнение КЗ Преобразование

... -- ■10(1) =л,А В ч аг \ г 1 — г / <ЭД = (1 -г)нвФ(г)гЛА

Ь) -- -- (4-,!.)<*> = (1 - г)~пв Ф(г)г~ЛА

... -- <?(*) = (1 - г)~лв Ф(г)гЛА

(2.2.9)

Ориентация Уравнение ассоциатора

а) . ^ = *{1-г)-*вА{1-г)лвФ--ФА аг г г

Ь) ^ = Ф + -ФЛ йг г г

йг г г

(2.2.10)

2.3 Решения

В этом разделе решается соответствующее уравнение для каждого из трех случаев (2.2.10). Ограничим свои рассуждения случаем только фундаментального представления алгебры д1(М).

Тип а

Рассмотрим тип а из таблицы 2.2.10. В этом случае А и В приобретают следующую форму

А = Та <8> (Та)* ® 1, В = 1 ® Та <Э {ТаУ . (2.3.11)

Так как рассматривается фундаментальное представление д1(ЛГ), то

Та = дц, (Та)* = дл, (2.3.12)

где индекс а соответствует паре индексов г и каждый из которых пробегает от 1 до N, и д^ является матрицей с компонентами 0, кроме компоненты (г, которая равна 1. Затем получаются следующие соотношения на А и В2:

А2 = В2 = (А£)3 = (В А)3 = 1. (2.3.13)

В статье [21] доказано, что ассоциатор Ф дается бесконечным рядом по А и В (2.5.55). Однако существуют соотношения (2.3.13) на А и. В, следовательно, ассоциатор может быть записан как конечный полином:

Ф = Фг + ф 2А + Ф 3В + Ф4АВ + ф ъВА + Ф ъАВА, (2.3.14)

где Ф?; являются некоторыми коэффициентами и не зависят от А и В. Подставим теперь (2.3.14) в уравнение (2.2.8), тогда оно превращается в систему дифференциальных уравнений, которые могут быть представлены в форме матрицы:

где

ф2

Фз Ф4 Ф5 V Фб /

(2.3.15)

Ф =

(2.3.16)

Матрица М имеет форму:

М =

/ 0 з2 0 —се се -52 \

0 се -82 0 — СБ

0 —сз 0 С2 -с2 СЗ

се -з2 с2 0 —се -1

—СБ 0 -с2 0 С2

V -з2 С5 —се -1 с2 0 /

(2.3.17)

где

с := совЬ (йlog (1 - *)) = ^ ((1 " + (1 - *)"*) > 3 := вшЬ (Мо§ (1 - г)) = \ ((1 - - (1 - г)~п) .

(2.3.18)

(2.3.19)

23аметим, что соотношения на А и В определяют группу перестановок ¿>3. Это объясняется тем, что

у этого ассоциатора все три нити равноправны, нет выделенной.

Чтобы решить уравнение (2.3.15) можно заменить базис следующим образом:

5 =

Ф = 5Ф,

( 1 0 0 11

0 110 0 1

-л/3 -л/3 л/3 0 у/3 О

-1 -1 -12-1 2

л/3 -л/3 \/3 0 —л/3 О

-1 1 12-1-2

(2.3.20)

О \

\

Матрица М обретает форму М = 5М5

/

(2.3.21)

-1

М =

/0 0 о 0 0 о 0 0 О 0

О О

_з 2

О

о о о

2 н

О

о о о

^ (1 -г)-

\

-2П

/

ООО о

\ о о о о

(2.3.22)

Следовательно, матричное уравнение (2.3.15) превращается в следующую систему дифференциальных уравнений:

С1Фз

2 П

йг 2а ' 2

= -§ЙФ4 + ^Й(1-гГ2ЛФз>

с2Ф4

со следующими начальными условиями (Ф(0) = 1):

{ Фг(0) = — л/3, Ф4(0) = -1,

Фб(0) = л/3, [ Фб(0) = -1

(2.3.23)

Из (2.3.23) и (2.3.24) можно получить условия для производных Фг(0), используя Ф(0) = Ш(0)Ф(0) + ПМ{ 0)Ф(0):

ч/З/г2

Ф3(0) =

Ы0) = Ы0) =

1 +

т2

Узн2

-1 + 2 й' 3 Л2

(2.3.25)

-1 + 2 П

Таким образом, системы уравнений (2.3.23-2.3.25) могут быть редуцированы к системе гипергеометрических уравнений:

2 (1 - г) Ф^ + (1 + 2П - г) Ф^ + ПЧз = О,

2 (1 - г) Ф4 + (1 + 2П - (1 + №) х) Ф4 - Зй2Ф4 = О 2 (1 - 2) Ф^ + (1 - 2П - г) Ф^ + Н2Щ = О,

(2.3.26)

2 (1 - г) Ф6 + (1 - 2Н - (1 - Щ г) Фб - Зй2Ф6 = О

Получаем систему дифференциальных уравнений второго порядка. Решения этой системы, рассмотренные с начальными условиями (2.3.24, 2.3.25) эквивалентны решениям (2.3.23). Решения даются следующими гипергеометрическими функциями:

фГ = 1,

(2.3.27)

Ф2 = 0,

Фз = -\/3 2^1 (й, -М + 2П-,г), ф^ = _ (Я, Ж, 1 + 2П\ г), Ф^ = >/3 2^1 (Л,-М - 2Й; г), Фб = - 2^1 (-Н, -3Н, 1 - 2П\ г)

С помощью системы компьютерной алгебры проверено, что решения (2.3.27)

действительно удовлетворяют исходным уравнениям (2.3.23) с начальными условиями (2.3.24).

Таким образом, видим, что коэффициенты ассоциатора этого типа задаются линейными комбинациями значений гипергеометрических функций, взятых в точке 2 — 1, которые могут быть переписаны в терминах гамма функции и тригонометрических функций. Отметим, что ответ в этом случае не зависит от порядка N алгебры д1(А7"):

Фг(1

Ml

Фз(1

Ml Фб(1 Mi

= 1,

= 0,

- -у/з 2FX (ft,-ft, 1 + 2ft; 1) = - 2FX (ft, 3ft, 1 + 2ft; 1),

- Уз 2Fi (ft, -ft, 1 - 2ft; 1),

= - 2Fi (-ft, -3ft, 1 - 2ft; 1)

=> <

55(1

Фз(1 Ф4(1

Mi Mi

= 1,

= 0,

•у/3 • Г(1 + 2ft)2

r(l + ft)r(l + 3ft)' _ 1

cos(7rft)'

у/3 • Г(1 — 2ft)2

r(l-ft)r(l-3ft)' 1

COs(7Tft)

(2.3.28)

Таким образом, получены явные выражения для Ф. Чтобы получить выражение для ассоциатора, нужно взять Ф = S~ Ф, а затем использовать (2.3.14).

Тип b

Теперь коротко представим результаты для типа b из таблицы 2.2.10. В этом случае имеем:

Л = gij ®gij® 1, В = 1 <8> gtJ <8> дц Соотношения для А и В таковы

' А2 = NA,

В2 = NB,

ВАВ = Б,

ABA = А

(2.3.29)

(2.3.30)

Тогда ассоциатор принимает вид

Ф = + Ф 2А + Ф3в + Ф 4АВ + Ф 5ВА. По аналогии с предыдущим случаем пишем

Ф = 5Ф,

для

5 =

( 1 о о о 0\ 1 Ж 0 1 о 0 0-10

1

V

1 0 Я 1 о

± ± _1_ 1 /

ДГ ЛГ ЛГ2 1 /

Тогда имеем

Ф2= (й,-М - Л^; ,

= 2*1 ((^ - + № 1 + лгIг;

= 2*1 (-(^ - + ^ 1 - ^ *)

(2.3.31)

(2.3.32)

(2.3.33)

(2.3.34)

Ф <

Фх(1

Ы1 Фб(1

= 1,

Г(1 - лг^

г(1-т-п)г(1-т + пу

1 Л^п^/г)

Л^2 — 1 8т(тгЛГЧ' _Г(1 + т)2_

Г(1 + Л^-й)Г(1 +Л^ + й)' 1 Мзт(7гЙ)

АГ2 8т(тгЛ^)

Здесь также видим, что коэффициенты ассоциатора этого типа задаются линейными комбинациями значений гипергеометрических функций, взятых в точке х — 1.

Отметим, что коэффициенты ассоциатора в данном случае совпадают с определенными компонентами \VZ\V конформного блока для примарных по-

лей в фундаментальном представлении. А именно, имеем ^ ^ = ^ —

Фз с точностью до сингулярных множителей и подстановки К = —, где р! ^

к

и являются компонентами WZW конформного блока для примарных полей, взятыми из раздела 15.3.2 [25]. Два других коэффициента Ф4 и Ф5 отличаются от первых двух только заменой N —— N.

Снова для того, чтобы получить выражение для ассоциатора, необходимо —* 1 —►

взять Ф = Б Ф и затем использовать (2.3.31). Тип с

Ассоциаторы типа с позволяют нам посчитать простейшие узлы, вроде того, который изображен на Рис. 2.2. В этом случае имеем:

А = gtj 0 gji 0 1, В = 10 д^ 0 дгз Соотношения для А и В следующие:

( А2 = 1, В2 = NB, ВАВ = В,

Тогда ассоциатор принимает вид

Ф = Фг + Ф 2А + Ф 3В + Ф 4АВ + Ф 5ВА + Ф 6АВА. По аналогии с предыдущим случаем пишем

Ф^ЯФ,

для

S =

/ 1 0 0 0

-N 1 0 0

1 1 1 1

2 N 1 2 N 1 2 0 -1 0 2N 1

2(N+1) 1 2(7V+1) 2 1

\ N 1 N 1 N — 1

N-1 N-l

о о \

0 о

1 _1_

2 2 N

о 1

J_

N 1 /

1 ^

(2.3.35)

(2.3.36)

(2.3.37)

(2.3.38)

(2.3.39)

Тогда

Ф1 = 1,

ф2 ф3

Фб

-К 2 N

2^1 (Л, —(ЛГ — 1 + 2Й; г),

1

2^1 (Л, + г),

2(ЛГ+1)

N 1

/V- 1

2*1 (-Л, (ТУ - 1)Л, 1 - 2Я; г)

(2.3.40)

<

Г Ф2(1

Фз(1

= 1,

-АГ,

_1_ 4/Т(?г+^)Г(1 + ]Уй) 2ЛГ + + '

1 4йГ(а+|)Г(1-Л^)

+ Л^ - П) ' 1 4~яГ(-Я+ |)Г(1 - N71) N-1 у/ъТ{1 -ЫП-П)

В этом случае как и в предыдущих коэффициенты ассоциатора этого типа заданы линейными комбинациями значений гипергеометрических функций, взятых в точке г = 1.

2.4 Сравнение с известными формулами для узлов

В этом разделе мы применяем формулы для ассоциатора, полученные в разделе 2.3, чтобы посчитать интеграл Концевича для некоторых узлов, следуя работам [19, 28]. Вычисления сделаны в случае фундаментального представления д1(М). В этом случае интеграл Концевича, как известно, совпадает с полиномом ХОМФЛИ для данного узла, и нами используется этот факт для

проверки пригодности наших формул для ассоциатора. То есть, проверяем, что интеграл Концевича, посчитанный с помощью этих формул, полностью совпадает с известными выражениями для полинома ХОМФЛИ.

Хамп

Начнем с хампа, который является вариантом неузла. Напомним, что ассоциатор - это тензор с б индексами. Обозначим ассоциатор типа Ь как Ф&. Интеграл Концевича хампа соответствует, по определению, сворачиванию индексов Фь, соответствующему Рис. 2.3. Назовем это сворачивание взятием следа ассоциатора.

Записывая эту свертку через индексы, получаем следующее выражение:

К1(Н) = Ц НитрФь := £ (Ф(2.4.41)

Теперь разложим ассоциатор как в формуле (2.3.31):

ф6 = фг + ф 2А + Ф3В + Ф4АВ + Ф 5ВА. (2.4.42)

С помощью формулы (2.3.29) можно посчитать следы (в упомянутом выше смысле) отдельных членов (2.4.42) следующим образом:

ЬИапрА = {дцдл) = ^г (6т{) = N (2.4.43)

ЬтЯтврАВ = -^г (д^дпт9^9тп) = 1 (2.4.44)

ЬгШтрВА = -^г {д^9тп9птдл) = № (2.4.45)

Отметим, что 1гНцтР здесь означает вышеупомянутый след тензора 6 ранга, тогда как ^ означает простой след матрицы. Также подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.

Теперь подставляя фомулы (2.3.34), (2.3.33), (2.4.43)-(2.4.45) в (2.3.32), получим следующий ответ:

К1(Н) = 2Fí(-(N-l)h,-(N + l)H,l-Nh■,l)= (2.4.46)

Ш _ Ш

= АГ • - = -

ем _ е-тМП [ДГ]^ где вводится следующее определение для д-числа

[Щя = --— я = ^

ч — ч

Вспоминая формулу (2.1.4), видим, что

Н( О) = (2.4.47)

Это несомненно совпадает с известным результатом для полинома ХОМ-ФЛИ хампа (который может быть найден в [28]).

Серия [2,2к+1]

Рассмотрим торические узлы типа [2,2к+1], как показано на Рис. 2.2. Обозначим ассоциатор типа с как Фс. С помощью этого ассоциатора можно посчитать интеграл Концевича для узлов этого типа [19, 28]:

^[2,2*+!] = Е (2-4'48)

где Я в нашем определении равно

Я = ежт'А (2.4.49)

Теперь, раскладывая экспоненту в ряд, подставив формулу (2.3.37) в Фс и, учитывая соотношения (2.3.36), можно получить формулу

К1[2,2к+1\ = «1 + К2А + К3В + щАВ + къВА + АВА, (2.4.50)

где к\,... ,Кб некие определенные выражения в терминах коэффициентов Фь ..., Фб из формулы (2.3.37).

Затем, после взятия следов каждого из членов, аналогично формулам (2.4.43-2.4.45) и подставив Ф\,... ,Фб из формулы (2.3.36), получаем

лтсо8(пН(2к + 1)) 8т(7г/1) сов^ттНЮ + г ■ &[п(ттН(2к + 1)) соз(жН) вЫпНИ) . = "-ссв(пП)вш{*Ш)- (2-4"51)

Отметим, что этот ответ не нормирован на неузел, как и положено коррелятору вильсоновской петли. Введем q = ежгП и нормируем на неузел:

„3 (п2к+2 _ п-2И+2к , „-2ДГ-2А; _ -2к-2\

Щада+ц • К1(Н) = -2--Ч--1 (2.4.52)

Данное выражение согласуется с известными результатами. Например, известно, что в абелевом случае N = 1 ожидаемое значение вильсоновой петли задано где 1{К) это так называемый коэффициент зацепления узла К [18]. Коэффициент зацепления может быть вычислен как сумма ориентаций

в самопересечениях узла. В нашем случае - Рис. 2.2, узел имеет 2к + 1 пересечений с одинаковыми ориентациями, поэтому коэффициент зацепления I = 2к + 1. Это элементарное упражнение проверить, что для N — 1 наша формула (2.4.52) несомненно дает q2k+l. В первом нетривиальном случае N = 2 можно проверить, что результат (2.4.52) для любого выбора к является полиномом Лорана по q, что в точности соответствует полиному Джонса для торического узла типа [2, 2к + 1]. Для общего N ответ (2.4.52) является полиномом по А = q~N и полиномом Лорана по q. Эти полиномы вновь совпадают с известными полиномами ХОМФЛИ для узлов семейства [2, 2к+1], вычисленных, например, в [29, 28]. Будучи более нетривиальным вычислением, оно обеспечивает хорошую проверку наших формул для ассоциатора. Рассмотрим формулу (2.4.52) для случая к = 1:

К1%з] • КЦН) = <23(1 + q'A - <Г2ЛУ2). (2-4.53) Это совпадает с известным ответом

1 - Л V + Я4 (2.4.54) при замене переменных q —ь l/q, q~N —у А.

2.5 Препотенциал Дринфельда

В предыдущих разделах посчитан ассоциатор Дринфельда для случая фундаментального представления явно и проверено, что он дает правильные полиномы ХОМФЛИ для торических узлов типа [2,2к + 1]. Фактически, как будет пояснено ниже, ассоциатор Дринфельда содержит больше информации, чем использовано для инвариантов узла в следующем смысле: не все компоненты ассоциатора Дринфельда вносят вклад в ответ для инвариантов узла.

Используя пертурбативный подход к решению регуляризованного уравнения Книжника-Замолодчикова, (как в 6.1), Т. Ле и Дж. Мураками обнаружили выражение для ассоциатора как бесконечной суммы по некоммутативным операторам А и В (без каких-либо дополнительных соотношений формы (2.3.13), то есть для всех представлений) с коэффициентами в форме

значений мультикратной дзета-функции [21]:

оо % к

к-2 ш> О р>оч>о

~ |р|+1ч1=к Цр)=1(ч)=т

(~1)'г| ( П(Р<) )В^АР1-Г1В'11-81...АРт-ГтВдт-3тА^ (2.5.55)

¡(Г)=г(5)=т \г=1 Гг 5г /

где р = (р\,р2, •••,Рт) это вектор с положительными целыми компонентами. Длина вектора /(р) = га и |р| = Х^Рг- Для рияс положительными целыми р > q означает, что Рг > (¡1 и р > 0 означает, что р7; > 0 для всех г. Коэффициенты т{р\,ц\, ...рт,Чт) выражаются через мультикратные дзета-функции следующим образом:

т{риЧъ...РтЛт) = + + + 1) (2.5.56)

Р1-1 Р2-1

такое что, например, т(1,2) = £(3) и г(2,1) = С(1>2). Дзета-функции определяются как:

С(т1, Ш2,тп) = ]Г (2.5.57)

0<к1<к2<.:<кп

Операторы Ли В зависят от калибровочной группы и ее представления:

Л = П<8>1, В = 1<8>П, = (2.5.58)

Формула (2.5.55) дает точный ответ для ассоциатора Дринфельда во всех порядках Н, однако это непрактично для явных вычислений инвариантов узла. Для таких вычислений необходимо отсуммировать именно ряд (2.5.55) в присутствии некоторых соотношений между А и В заданных представлением калибровочной группы. В случае, рассмотренном здесь (фундаментальное представление д1(М)), эти соотношения заданы (2.3.13), (2.3.30) или (2.3.36) в зависимости от типа ассоциатора. Основная трудность состоит в том, что значения мультикратных дзета-функций(2.5.57) сложно вычислить (см, например, [30]) и поэтому нет шансов отсуммировать ряд (2.5.55) точно во всех порядках по Н голыми руками даже при наличии дополнительных соотношений для А и В.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Слепцов, Алексей Васильевич, 2014 год

Литература

[1] A. S. Schwarz, Letters in Mathematical Physics, Volume 2, Issue 3, 1978, pp 247-252; Communications in Mathematical Physics, Volume 67, Issue 1, 1979, pp 1-16; Baku International Topological Conference, Abstracts, Vol. 2, 1987

[2] M.F. Atiyah, New invariants of 3-and 4-dimensional manifolds, The mathematical heritage of Hermann Weyl, Proc. Symp. Pure Math. 48, 1988, 285-299

[3] E.Witten, Commun. Math. Phys. 121: 351, 1989

[4] Vassiliev V. A. (1990). Cohomology of knot spaces. Adv. in Sov. Math, 23-69

[5] M. Goussarov, A new form of the Conway-Jones polynomial of oriented links, in Topology of manifolds and varieties (O. Viro, editor), Amer. Math. Soc., Providence 1994, 167-172.

[6] Birman J.S., Lin X.S. (1993). Knot polynomials and Vassiliev's invariants. Inventiones mathematicae, 111(1), 225-270

[7] Guadagnini E., Martellini M., Mintchev M., Nuclear Physics B, 330(2), 1990, 575-607;

Guadagnini E., Martellini M., Mintchev M., Physics Letters B, 227(1), 1989, 111-117;

Cotta-Ramusino P., Guadagnini E., Martellini M., Mintchev M., Nuclear Physics B, 330(2), 1990, 557-574

[8] J.M.F. Labastida, E. Perez, Kontsevich integral for Vassiliev invariants from Chern-Simons perturbation theory in the light-cone gauge. J.Math.Phys.39:5183-5198,1998, hep-th/9710176

[9] M. Kontsevich, Advances in Soviet Math. 16, part 2, 137, 1993 [10] R.M. Kashaev, Lett. Math. Phys. 39, 1997, 269-265

H. Murakami and J. Murakami, Acta Math. 186, 2001, no. 1 85-104

T. Dimofte, S. Gukov, Contemp. Math, 541, 2011, 41-68

A. Okounkov, R. Pandharipande, The Annals of Mathematics, 163(2), 2006, 517-560

J.M.F. Labastida, A.V. Ramallo, Chern-Simons theory and conformal blocks, Phys. Let. B, Vol. 228, Iss. 2, 1989, 214-222

I.P.Ennes, A.V.Ramallo, J.M.Sanchez de Santos, P.Ramadevi, Duality in osp (lj 2) Conformal Field Theory and link invariants, Int. J. Mod. Phys. A 13, Iss. 17, 2931, 1998

P.Dunin-Barkowski, A.Sleptsov, A.Smirnov, Kontsevich integral for knots and Vassiliev invariants , arXiv:1112.5406, 2011

A.Smirnov, Notes on Chern-Simons Theory in the Temporal Gauge, hep-th/0910.5011, to appear in the Proceedings of International School of Subnuclar Shys. in Erice, Italy, 2009

A. Morozov, A. Smirnov, Chern-Simons Theory in the Temporal Gauge and Knot Invariants through the Universal Quantum R-Matrix, Nucl.Phys.B835:284-313,2010

S. Chmutov and S. Duzhin, The Kontsevich Integral, Acta Applicandae Mathematicae, Volume 66, Number 2, 155-190, 2001

S.Chmutov, S.Duzhin, J.Mostovoy, Introduction to Vassiliev knot invariants. To appear in Cambridge University Press, 2011, arXiv: 1103.5628

T.T.Q.Le, J. Murakami Kontsevich's Integral for the Kauffman Polynomial Nagoya Math. J. 142: 39-65, 1996

T.T.Q.Le, J. Murakami Kontsevich's integral for the Homfly polynomial and relations between values of multiple zeta functions Topology and its Applications, Volume 62, Issue 2, 24 March 1995, Pages 193-206

V. G. Drinfeld, On quasi-triangular quasi-Hopf algebras and a group closely connected with Gal(Q/Q), Leningrad Math. J., 2 (1991) 829-860

D. Bar-Natan, On the Vassiliev knot invariants , Topology, 34, 1995, Pages 423-472.

[25] Phillipe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Senechal, Conformal field theory, New York, NY: Springer, 1997. - 890 p.

[26] A.Morozov, Sh.Shakirov, The matrix model version of AGT conjecture and CIV-DV prepotential , JHEP 1008:066,2010, arXiv: 1004.2917

[27] A. Nakayashiki, Integral and Theta Formulae for Solutions of sIn Knizhnik-Zamolodchikov Equation at Level Zero, Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences 34(5), 439-486, 1998, arXiv: math9803086

[28] P.Dunin-Barkowski, A.Mironov, A.Morozov, A.Sleptsov, A.Smirnov, Superpolynomials for toric knots from evolution induced by cut-and-join operators, arxiv: 1106.4305

[29] X.-S.Lin and H.Zheng, On the Hecke Algebras and the Colored HOMFLY Polynomial, Trans. Amer. Math. Soc. 362 (2010) 1-18 math/0601267

[30] V.V.Zudilin, Algebraic relations for multiple zeta values Uspekhi Mat. Nauk 58:1 3m'S32 (2003)

[31] G.'t Hooft, Nuclear Physics B72, 3, 1974, 461-473

[32] P.Freyd, D.Yetter, J.Hoste, W.B.R.Lickorish, K.Millet, A.Ocneanu, Bull. AMS. 12 (1985) 239

[33] J.H.Przytycki and K.P.Traczyk, Kobe J. Math. 4 (1987) 115-139

[34] S.Gukov, A.Schwarz and C.Vafa, Lett.Math.Phys. 74 (2005) 53-74, arXiv:hep-th /0412243

[35] N.M.Dunfield, S.Gukov and J.Rasmussen, Experimental Math. 15 (2006) 129-159, math/0505662

[36] M. Khovanov, Duke Math. J. 101 (2000) 359-426

[37] D.Bar-Natan, Algebraic and Geometric Topology, 2 (2002) 337-370, math/0201043

[38] M.Khovanov and L.Rozhansky, Fund. Math. 199 (2008) 1, math.QA/0401268; Geom. Topol. 12 (2008) 1387, math.QA/0505056

[39] V.Dolotin and A.Morozov, JHEP 1301 (2013) 065, arXiv: 1208.4994; arXiv: 1209.5109

■

[40] M.Aganagic and Sh.Shakirov, arXiv: 1105.5117

[41] A.Mironov, A.Morozov and And.Morozov, arXiv:1112.5754

[42] A.Mironov, A.Morozov and And.Morozov, JHEP 03 (2012) 034, arXiv: 1112.2654

[43] H.Morton and S.Lukac, J. Knot Theory and Its Ramifications, 12 (2003) 395, math.GT/0108011

[44] E.Gorsky, A.Oblomkov and J.Rasmussen, arXiv: 1206.2226

[45] A.Mironov and A.Morozov, arXiv: 1208.2282

[46] Shengmao Zhu, arXiv.T206.5886

[47] Anton Morozov, arXiv: 1211.4596; arXiv: 1208.3544

[48] A.Anokhina, A.Mironov, A.Morozov and An.Morozov, arXiv: 1211.6375

[49] M.Alvarez, J.M.F.Labastida and E.Perez, Vassiliev Invariants for Links from Chern-Simons Perturbation Theory, Nucl.Phys. B488 (1997) 677-718, arXiv: hep-th/9607030;

[50] A.Anokhina, An.Morozov, arXiv: 1307.2216

[51] A.Mironov, A.Morozov and S.Natanzon, Theor.Math.Phys. 166 (2011) 122, arXiv:0904.4227; Journal of Geometry and Physics 62 (2012) 148-155, arXiv: 1012.0433

[52] D.E.Littlewood, The theory of group characters and matrix representations of groups, Oxford, 1958

[53] M.Hamermesh, Group theory and its application to physical problems, 1989

[54] W.Fulton, Young tableaux: with applications to representation theory and geometry, London Mathematical Society, 1997

[55] H.Ooguri and C.Vafa, Nucl.Phys. B577 (2000) 419-438, hep-th/9912123

[56] J.Labastida, M.Marino, Comm.Math.Phys. 217 (2001) 423-449, hep-th/0004196; math/010418

[57] M.Marino and C.Vafa, arXiv:hep-th/0108064

[58] Kefeng Liu and Pan Peng, arXiv:0704.1526; Math.Res.Lett. 17(3) (2010) 493-506, arXiv: 1012.2635; arXiv: 1012.2636

[59] M.Alvarez and J.M.F.Labastida, Nucl.Phys. B433 (1995) 555-596, arXiv:hep-th /9407076

[60] J.M.F.Labastida, Chern-Simons Gauge Theory: Ten Years After, AIP Conf. Proc. 484, pp. 1-40, arXiv:hep-th/9905057

[61] J.M.F.Labastida and M.Marino, Int.J.Mod.Phys.A10:1045-1089,1995, arXiv:hep-th /9402093

[62] P.Dunin-Barkowski, A.Sleptsov and A.Smirnov, arXiv: 1112.5406

[63] R.Kashaev, Mod.Phys.Lett. A39 (1997) 269-275

[64] H.Murakami and J.Murakami, Acta Math. 186 (2001) 85-104

[65] S.Gukov and H.Murakami, Lett.Math.Phys. 86 (2008) 79-98, math/0608324

[66] H.Murakami, arXiv: 1002.0126

[67] J.M.F.Labastida, M.Marino and C.Vafa, JHEP 0011 (2000) 007, hep-th/0010102

[68] A.Brini, B.Eynard and M.Marino, arXiv: 1105.2012

[69] R.Dijkgraaf, H.Fuji and M.Manabe, Nucl.Phys. B849 (2011) 166-211, arXiv: 1010.4542

[70] A.Alexandrov, A.Mironov and A.Morozov, Int.J.Mod.Phys. A19 (2004) 4127, hep-th/0310113; Theor.Math.Phys. 150 (2007) 153-164, hep-th/0605171; Physica D235 (2007) 126-167, hep-th/0608228; JHEP 12 (2009) 053, arXiv:0906.3305

[71] A.Alexandrov, A.Mironov, A.Morozov, P.Putrov, Int.J.Mod.Phys. A24 (2009) 4939-4998, arXiv:0811.2825

[72] B.Eynard,^// genus correlation functions for the hermitian 1-matrix model, JHEP 0411 (2004) 031, hep-th/0407261

[73] L.Chekhov and B.Eynard, JHEP 0603 (2006) 014, hep-th/0504116; JHEP 0612 (2006) 026, math-ph/0604014

[74] N.Orantin, Symplectic invariants, Virasoro constraints and Givental decomposition, arXiv:0808.0635

[75] I.G.Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Science Publications, 1995

[76] A.Alexandrov, A.Mironov, A.Morozov, S.Natanzon, J. Phys. A: Math. Theor. 45 (2012) 045209, arXiv: 1103.4100

[77] A.Mironov, A.Morozov and S.Natanzon, JHEP 11 (2011) 097, arXiv: 1108.0885

[78] A.Mironov, A.Morozov and A.Sleptsov, arXiv: 1304.7499

[79] H.R.Morton and P.R.Cromwell, J.Knot Theory Ramif. 5 (1996) 225-238

[80] S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov, Int. J. Mod. Phys. A10 (1995) 2015, arXiv:hep-th/9312210

[81] M. Rosso and V. F. R. Jones, J. Knot Theory Ramifications, 2 (1993) 97-112

[82] S.Stevan, Annales Henri Poincare, 11 (2010) 1201-1224, arXiv: 1003.2861

[83] R.Lawrence and L.Rozhansky, Comm.Math.Phys. 205 (1999) 287

[84] M.Marino, Comm.Math.Phys. 254 (2004) 25-49, hep-th/0207096

[85] C.Beasley and E.Witten, J.Diff.Geom. 70 (2005) 183-323, hep-th/0503126

[86] Y.Dolivet and M.Tierz, J.Math.Phys. 48 (2007) 023507, hep-th/0609167

[87] R.Gopakumar and C.Vafa, Adv.Theor.Math.Phys. 3 (1999) 1415-1443, hep-th/9811131

[88] D.-E. Diaconescu, V. Shende and C. Vafa, Comm. Math. Phys. 319, 3 (2013) 813-853

[89] P.Ramadevi and T.Sarkar, On Link Invariants and Topological String Amplitudes, Nucl.Phys. B600 (2001) 487-511, hep-th/0009188

[90] Zodinmawia and P.Ramadevi, SU(N) quantum Racah coefficients and non-torus links , Nuclear Physics B 870 1 (2013) 205-242, arXiv: 1107.3918

[91] H.Itoyama, A.Mironov, A.Morozov and And.Morozov, JHEP 2012 (2012) 131, arXiv: 1203.5978

[92] H.Itoyama, A.Mironov, A.Morozov and And.Morozov, International Journal of Modern Physics A27 (2012) 1250099, arXiv: 1204.4785

[93] M. Aganagic, T. Ekholm, L. Ng and C. Vafa, arXiv: 1304.5778

[94] D.Galakhov, A.Mironov, A.Morozov and A.Smirnov, Theor.Math.Phys. 172 (2012) 939-962, arXiv: 1104.2589

95] H.Murakami, J.Geom.Topol. 2 (2007) 249-269, math/0502428

96] S.Garoufalidis and T.T.Q.Le, math/0503641

97] P.Melvin and H.Morton, Commun.Math.Phys. 169 (1995) 501-520

98] K.Hikami and H.Murakami, arXiv:0711.2836

99] S.Gukov and P.Sulkowski, arXiv: 1108.0002

100] A.Mironov, A.Morozov and Sh.Shakirov, J.Phys. A: Math.Theor. 45 (2012) 355202, arXiv: 1203.0667

101] E.Gorsky, arXiv: 1003.0916

102] E.Witten, arXiv:1001.2933; arXiv:1101.3216; T.Dimofte, S.Gukov and L.Hollands, arXiv: 1006.0977

103] M.Aganagic, M.Marino and C.Vafa, Commun. Math. Phys. 247 (2004) 467,arXiv:hep-th/0206164

104] M. Aganagic, A. Klemm, M. Mari.no and C. Vafa, Commun. Math. Phys. 254 (2005) 425, arXiv:hep-th/0305132

105] A.Iqbal, C.Kozcaz and C.Vafa, JHEP 0910 (2009) 069, hep-th/0701156

106] H.Awata and H.Kanno, Int.J.Mod.Phys. A24 (2009) 2253-2306, arXiv:0805.0191

107] S.Gukov, A.Iqbal, C.Kozcaz and C.Vafa, arXiv:0705.1368

108] J.W.Alexander, Trans.Amer.Math.Soc. 30 (2) (1928) 275-306

109] J.H.Conway, Algebraic Properties, In: John Leech (ed.), Computational Problems in Abstract Algebra, Proc. Conf. Oxford, 1967, Pergamon Press, Oxford-New York, 329-358, 1970

110] V.F.R.Jones, Invent.Math. 72 (1983) 1 Bull.AMS 12 (1985) 103Ann.Math. 126 (1987) 335

111] L.Kauffman,Topology 26 (1987) 395

112] Yu.Terashima and M.Yamazaki, arXiv: 1103.5748

113] E.Gorsky, Journal of Singularities, 3 (2011), 48-82, arXiv:0807.0491

114] A.Morozov and Sh.Shakirov, JHEP 0904 (2009) 064, arXiv:0902.2627; Mod.Phys.Lett. A24 (2009) 2659-2666, arXiv:0906.2573

115] G.Borot, B.Eynard, M.Mulase and B.Safnuk, Journal of Geometry and Physics, 61(2), 522-540, arXiv:0906.1206

116] A.Alexandrov,Mod. Phys. Lett. A, 26, 2193 (2011), arXiv: 1009.4887

117] H.Awata and H.Kanno, arXiv:0903.5383; arXiv:0910.0083

118] S.Gukov and P.Sulkowski, arXiv: 1108.0002

119] N.Carqueville and D.Murfet, arXiv:1108.1081

120] I.Cherednik, arXiv:l 111.6195

121] Sh.Shakirov, arXiv: 1111.7035

122] A.Oblomkov, J.Rasmussen and V.Shende with an Appendix by E.Gorsky The Hilbert scheme of a plane curve singularity and the HOMFLY homology of its link, arXiv: 1201.2115

123] A.Mironov, A.Morozov, Sh.Shakirov and A.Sleptsov, arXiv: 1201.3339

124] H.Fuji, S.Gukov and P.Sulkowski (with an appendix by Hidetoshi Awata), arXiv: 1203.2182

125] H.Fuji, S.Gukov and P.Sulkowski, arXiv:1205.1515

126] E.Guadagnini, M.Martellini and M.Mintchev, In Clausthal 1989, Proceedings, Quantum groups, 307-317; Phys.Lett. B235 (1990) 275

127] N.Yu.Reshetikhin and V.G.Turaev, Comm. Math. Phys. 127 (1990) 1-26

128] A.Morozov, arXiv: 1201.4595

129] H.Braden, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Nucl.Phys., B573 (2000) 553, hepth/9906240 see also a brief review in:

130] A.Mironov, Theor.Math.Phys., 129 (2001) 1581-1585, hep-th/0104253

131] A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett., B475 (2000) 71-76, hepth/9912088; hepth/0001168

[132] H.Braden, A.Gorsky, A.Odesskii and V.Rubtsov, hep-th/0111066