Сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов треугольной и четырехугольной формы в расчетах оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Гуреева, Наталья Анатольевна

• Гуреева, Наталья Анатольевна
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Гуреева, Наталья Анатольевна

ВВЕДЕНИЕ.

1. Краткий обзор использования метода конечных элементов в расчетах оболочек.

2. Основные соотношения теории тонких оболочек вращения.

2.1. Геометрия оболочки вращения в исходном состоянии.

2.2. Геометрия оболочки вращения в деформированном состоянии.

2.2.1. Перемещение точки срединной поверхности.

2.2.2. Перемещение точки произвольного слоя оболочки.

2.3. Деформации произвольного слоя оболочки и ее срединной поверхности.

2.4. Соотношения между напряжениями и деформациями' в пределах упругости.

3. Расчет оболочек вращения с использованием треугольных конечных элементов при различных способах аппроксимации.

3.1. Последовательность основных операций метода конечных элементов

3.2. Треугольный конечный элемент оболочки вращения.

3.2.1. Геометрия элемента.

3.2.2. Узловые неизвестные и выбор функций формы.

3.2.3. Матрица жесткости треугольного конечного элемента размером 27x27 при использовании традиционной интерполяционной процедуры.

3.2.4. Матрица жесткости треугольного конечного элемента с использованием векторной интерполяции перемещений.

3.2.5. Матрица жесткости высокоточного конечного элемента с 18 степенями свободы в узле при использовании традиционного способа интерполяции перемещений.

3.2.6. Матрица жесткой высокоточного конечного элемента при использованием четырехугольных конечны* пособах аппроксимации перемещений. энечный элемент с 36-ю степенями свободь пособе аппроксимации перемещений. нечный элемент с 36-ю степенями свободы i ции вектора перемещения внутренней точке эры узловых перемещений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов треугольной и четырехугольной формы в расчетах оболочек»

Оболочки различных конфигураций являются широко распространенными элементами инженерных конструкций различного назначения, так как благодаря своей криволинейной форме, позволяют в полной мере использовать прочностные свойства применяемого материала. В настоящее время они широко используются в строительстве, машиностроении, авиации и космонавтике. Широко применяются оболочки при создании современных летательных аппаратов, надводных и подводных морских судов, сосудов и аппаратов химических установок, и возможности, заключающиеся в практическом использовании оболочек, еще далеко не исчерпаны.

В процессе эксплуатации оболочки могут испытывать силовые воздействия от веса технологического оборудования, от давления соседних элементов конструкции, а также от температурных градиентов. Наличие вырезов различной формы, патрубков и кронштейнов приводит к тому, что в оболочках возникают локальные зоны концентрации напряжений. Причем, возникающие локальные напряжения могут достигать значительных величин и поэтому требуется тщательное исследование напряженно-деформированного состояния оболочек в целях выработки более рациональных конструктивных решений.

Получение аналитических решений для определения напряжений и деформаций в зонах их концентрации не представляется возможным. Поэтому задача дальнейшего развития теории деформирования оболочек на основе современных численных методов расчета остается одной из самых актуальных проблем строительной механики и представляет несомненный практический интерес.

В настоящее время разработана достаточно совершенная теория деформирования оболочек в линейной и нелинейной постановках, в развитие которой значительный вклад внесли отечественные ученые [1, 15, 16, 19, 22, 24, 28, 37, 65, 66, 68, 86]. Однако получение результатов на основе разрешающих уравнений разработанной теории из-за их сложности оказалось возможным лишь для некоторых частных задач [14, 17, 27, 84, 88], поэтому при решении прикладных задач разрабатывались упрощенные и приближенные методы [1,9, 25, 47, 57, 83]. С развитием электронной вычислительной техники стали разрабатываться и приобретать все большее значение численные методы расчета оболочек [2, 7, 8, 9, 12, 18, 43, 69, 70, 71, 87].

Наиболее популярным и широко распространенным численным методом расчета тонкостенных оболочек на прочность является метод конечных элементов (МКЭ) [20, 29,33, 67, 70, 71, 72, 73, 78, 81, 85, 90, 101].

Широкое распространение МКЭ объясняется возможностью использования автоматизации с помощью персональных компьютеров трудоемких процессов составления и решения систем алгебраических уравнений. Большим достоинством МКЭ является простота учета условий закрепления рассматриваемой конструкции и закона распределения внешней нагрузки [33,70,71,78]. Без принципиальных затруднений возможен учет температурных воздействий и упругопластического состояния материала [33,70,71,73, 95, 100].

Цель работы заключается в сравнительном анализе эффективности использования в расчетах изотропных тонких оболочек конечных элементов четырехугольной и треугольной формы при различных способах аппроксимации перемещений внутренних точек конечных элементов и в определениях условий эффективного использования исследуемых конечных элементов в практике инженерных расчетов.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемой литературы (121 наименование), изложена на 159 страницах ма

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Гуреева, Наталья Анатольевна

Основные результаты и выводы диссертации в следующем.

1. Выполнен сравнительный анализ эффективности использования в расчетах оболочек вращения треугольных и четырехугольных конечных элементов различными числами узловых варьируемых параметров при различных способах аппроксимации перемещений. Определено, что векторная интерполяция полей перемещений во всех элементах позволяет выполнить учет смещений как жесткого целого.

2. Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента произвольной непологой оболочки с девятью и восемнадцатью степенями свободы в узле.

3. Проведена сравнительная оценка конечно-элементных решений произвольных непологих оболочек при дискретизации конечными элементами треугольной и четырехугольной формы. Показано, что при расчете оболочек отрицательной гауссовой кривизны предпочтительнее использовать четырехугольные конечные элементы. Эффективное использование НДС такого рода оболочек с использованием треугольных оболочек возможно лишь при наличии восемнадцати степеней свободы в узле.

4. Сравнительным анализом результатов конечно-элементных решений оболочек показана инвариантность векторной аппроксимации полей перемещений и различным видам систем координат.

5. Выполнен сравнительный анализ конечно-элементных решений оболочек вращения с различными видами внешней нагрузки и конфигурацией срединной поверхности. Показано, что треугольные КЭ чувствительны к характеру внешней нагрузки. При локальных (точечных) силовых воздействиях расчеты, выполняемые с использованием треугольных КЭ, обладают существенно большей погрешностью по сравнению с конечно-элементными решениями, полученными на основе использования четырехугольных КЭ.

Министерство энергетики Российской Федерации

Инженерно-технологическое предприятие ОАО «ОРГЭНЕРГОНЕФТЬ»

САМАРСКИЙ ФИЛИАЛ о внедрении результатов диссертационной работы Гуреевой Н.А. «Сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов различных форм и способов аппроксимации при расчете оболочек».

Конечные элементы треугольной и четырехугольной формы, описанные и исследованные в диссертационной работе Гуреевой Н.А., использовались в пакетах прикладных программ в Самарском филиале ОАО «ОРГЭНЕРГОНЕФТЬ» при расчетах на прочность аппаратов химического и нефтегазового оборудования.

Экономический эффект от внедрения диссертационных разработок обеспечивается за счет повышения точности оценки напряженно-деформированного состояния конструктивных элементов нефтехимического оборудования, что позволяет гарантированно продлить срок эксплуатации

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Гуреева, Наталья Анатольевна, 2004 год

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. - 287с.

2. Александров А.В., Шапашников Н.Н. Об использовании дискретной модели при расчёте пластинок с применением цифровых автоматических машин // Труды Моск. Ин-та инж. транспорта. 1966. - Вып. 194. - с. 90-67.

3. Бате К., Вилсон Э. Численные методы анализа и метод конечных элементов. Перевод с английского. М.: Стройиздат, 1982. - 448с.

4. Бандурин Н.Г., Николаев А.П. Торунов И.К. Применение произвольного четырёхугольного конечного элемента к расчёту тонкостенных оболочек вращения // Прикладная механика. 1980,- Т. 16. - № 3. - С. 50-55.

5. Бандурин Н.Г., Николаев А.П. К расчёту сочлененных оболочек с помощью четырёхугольного конечного элемента с матрицей жёсткости 36x36 // Расчёты на прочность. М.: Машиностроение, 1981. - Вып. 21. - С. 225 - 236.

6. Бандурин Н.Г., Николаев А.П., Апраксина Т.И. Применение четырёхугольного конечного элемента с матрицей жёсткости 36 х 36 к расчёту произвольных непологих оболочек. // Пробл. прочности. — 1980. № 5. - с. 104-108.

7. Бидерман B.JI. Механика тонкостенных конструкций. — М.: Машиностроение, 1977. 488 с.

8. Богнер (К. Bogner), Фокс (R.L.Fox), Шмит (L.A. Schmit). Расчёт цилиндрической оболочки методом дискретных элементов // Ракетная техника и космонавтика. 1967. - № 4 . - С. 170-175.

9. Бурман З.И., Баязитов Ф.Ф., Лукашенко В.И. Анализ напряжённого состояния цилиндрической подкреплённой оболочки на основе использования МКЭ // В сб.: Строительная механика.- Л., 1975. С. 29-35.

10. Баслык К.П., Попов Б.Г. Треугольный шестиузловой конечный элемент с 36 степенями свободы // Ввести МТГУ. Сер. Машиностроение. 2002, № 3 С. 3-14.

11. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. - 631с.

12. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. -М.: Наука, 1976. — 607с.

13. Бакельман И.Я. Высшая геометрия. М: Просвещение, 1967. - 387 с.

14. Валишвили Н.В. Методы расчёта оболочек вращения на ЭЦВМ,-М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

15. Власов В.З. Общая теория оболочек и её приложения в технике.- М.: Гостехиздат.1949.-784 с.

16. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем .- М.: Наука, 1963.-879 с.

17. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек.- М.: Наука, 1982.- 288 с.

18. Вольмир А.С. Современные проблемы теории пластинок и оболочек в летательных аппаратах II Актуальные проблемы авиационной науки и техники.- М„ 1984.- с. 77-87.

19. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек.- Казань: Издательство Казанского ун-та, 1975.- 326 с.

20. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.- М.: Наука, 1978.- 360 с.

21. Гольдейвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек-М.: Наука, 1976.-512 с.

22. Голованов А.И., Бережной Д.В. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел.- Казань: ДАС. 2001, 300 с.

23. Григорян С.С. Прикладные проблемы механики тонкостенных конструкций: Сб. науч. ст. Ин-т мех. МГУ. М.: Изд-во МГУ. 2000, 330 с.

24. Голованов А.И. Новый конечный элемент для расчёта произвольных тонких оболочек // Строительная механика и расчёт сооружений.- 1986.- № 4.-с.21-23.

25. Горшков А.П., Колесников И.Ю. Конечные элементы на основе полного семейства неполиномиальных определяющих функций формы для произвольного числа граничных узлов // Изв. АН. МТТ. 1998.- №1. -С. 116-128.

26. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.- М.: Наука,1978.-360 с.

27. Григоренко Я.М., Кокошин С.С. К расчёту оболочечных конструкций методом конечного элемента // Прикл. мех.- 1979.- Т.15.- № 7.- с.3-10.

28. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ.- Киев: Вища школа, 1979.- 280 с.

29. Гузь А.Н., Чернышенко И.С., Чехов Вал.И. и др. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями.- Киев': Наук. Думка, 1980.- 635 с.

30. Деклу Ж. Метод конечных элементов.- М.: Мир, 1976.- 96 с.

31. Длугач М.И. Метод конечных элементов в применении к расчёту цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями // Прикл. механика. -1973.-t.il.-№ и . с.35-41.

32. Железное Л.П., Кабанов В.В. Функции перемещений конечных элементов оболочки вращения как твёрдых тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1990, № 1.- с.131- 136.

33. Зенкевич О. Применение метода конечных элементов в технике. Пер. с англ.- М.:Мир, 1975.- 541 с.

34. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Гуреева Н.А. Сравнительный анализ результатов использования векторной аппроксимации перемещений в различных системах координат // М.: Машиностроение, №3, 2004 г., с. 117-118.

35. Кабанов В.В., Железнов Л.П. Исследования устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном напряжённом состоянии методом конечных элементов // Прикл. механика.- 1978.- т. 14.- № 3. с.45-52.

36. Кан С.Н. Строительная механика оболочек.- М.: Машиностроение, 1966.- 508 с.

37. Кантон (G. Cantin), Клауф(11.\\^С1о1щЬ) Искривлённый дискретный элемент цилиндрической оболочки // Ракетная техника и космонавтика.-1968.-№ 6.- с.82-87.

38. Кирмишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И. и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций.- М. Машиностроение, 1975.376 с.

39. Киричевский В.В., Сахаров А.С., Исаханов Г.В. Реализация метода канечных элементов на ЭВМ БЭСМ- 6 в расчёте нетонких пластин и оболочек сложной геометрии // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1976.-Выпуск 28.-с.148-162.

40. Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к расчёту на прочность цилиндрических оболочек типа фюзеляжа самолёта // Вопр. прочности и долговечности элементов авиац. констр. Куйбышев, 1979.- № 25,- с. 35- 43.

41. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. -М:Машиностроение, 1966.-508 с.

42. Кей С.В., Бейсенджер З.Е. Расчёт тонких оболочек на основе метода конечных элементов // В сб.: Расчёт упругих конструкций с использованием ЭВМ.- Л., 1974.- т. 1.- с. 151- 178. (пер.с англ.).

43. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.: Наука, 1970.-720с.

44. Кхана (J. Khanna), Гули (R. F. Hooley). Сравнение и оценка матриц жёсткости // Ракетная техника и космонавтика.- 1966.-№ 2.-С.31-39.

45. Макеев Е.Г. Эффективный конечный элемент для тонких пластин и оболочек.// Автомат, проект, авиац. конструкций.-Куйбышев, 1982.-С.45-54.

46. Масленников A.M. Расчёт тонких плит МКЭ // Сборник трудов ЛИСН.- 1968.- Т.57.- с.186 -193.

47. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчёт составных оболочечных конструкций на ЭВМ М.: Машиностроение, 1981.- 111 с.

48. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек.- Л.: Судпромгиз, 1962.- 432с.

49. Николаев А.П., Бандурин Н.Г., Торунов И.К. Применение четырёхугольного конечного элемента с матрицей 48x48 для расчёта оболочек вращения // Изв. вузов Сер. Строительство и архитектура.- 1980.- № 5.- с.44-48.

50. Николаев А.П., Бандурин Н.Г., Клочков Ю.В. К расчёту осесиммет-ричных оболочек с ветвящимся меридианом методом конечных элементов // Проблемы прочности.- 1987.- № 12.- с. 66-69.

51. Николаев А.П., Бандурин Н.Г., Клочков Ю.В. Применение МКЭ к расчёту оболочек вращения с ветвящимся меридианом // Строит, механика и расчёт сооружений.- 1988.- № 3. с. 14- 17.

52. Николаев А.П., Бандурин Н.Г., Клочков Ю.В. Применение конечных элементов с векторной интерполяцией перемещений к расчёту осесимметрич-ных оболочек вращения // Прикл. механика. 1990.- т.26.- № 11.-е. 110-114.

53. Николаев А.П., Бандурин Н.Г., Клочков Ю.В. Новый эффективный способ интерполяции перемещений в конечно-элементном анализе оболочек // Строит, механика и расчёт сооружений. 1991.- № 1.- с. 62-66.

54. Николаев А.П., Клочков Ю.В., Киселёв А.П. Особенности формирования матрицы жёсткости треугольного конечного элемента размером 54х 54 // Изв. вузов. Сер. Строительство. 1998.- № 2. - с. 32-37.

55. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины.- М.: Изд-во МГУ, 1969.- 695 С.

56. Постнов В.А., Хархурин И.Я. Метод конечных элементов в расчётах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974. - 344 с.

57. Пикуль В.В. Теория и расчёт оболочек вращения.- М.: Наука, 1982. —158 с.

58. Постнов В.А. Численные методы расчёта судовых конструкций. JL: Судостроение, 1977.- 280 с.

59. Пикуль В.В. Современное состояние теории оболочек и перспективы её развития // Изв. АН МТТ.- 2000.- № 2.- с. 153-168.

60. Постнов В.А., Корнеев B.C. Использование методов конечных элементов в расчётах подкреплённых оболочек // Прикл. механика.- 1976.- т. 12.-№ 5.- с. 44- 49.

61. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин.- Рига: Зинанте, 1988.- 284 с.

62. Рикардс Р.Б., Чате А.К. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко // Мех. композит, материалов.- 1981.-№ 3.- с. 453- 460.

63. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.:Мир, 1977.-350 с.

64. Скопинский В.Н. Расчёт оболочечных конструкций с применением четырёхугольных криволинейных элементов // Изв. вузов Сер. Машиностроение.- 1983.-№5.- с. 16-21.

65. Садовский В.М. Методы решения вариационных задач механики. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 1998, 184 С.

66. Савельев JI.M. Простой четырёхугольный конечный элемент произвольной тонкой оболочки // Вопр. прочности и долговечности элементов авиационных конструкций.- Куйбышев,- 1979.- № 5.- с. 58- 63.

67. Сахаров А.С., Соловей И.А. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек // В сб.: Пространств, конструкции зданий и сооружений- М.- 1977.- Вып.З.- с. 10-15.

68. Сегерминд Л. Применение метода конечных элементов в технике.-М.: Мир, 1975.- 514 с. (перев. с англ.).

69. Серазутдинов Н.М., Губаев P.P. Построение конечно-элементных функций произвольной степени аппроксимации и их использование для расчёта оболочек // Труды 18-й Международной конференции по теории оболочек и пластин.- Саратов, 1997.- т.2.- с. 112-116.

70. Тимошенко С.П., Войновский- Кригер С. Пластинки и оболочки.- М.: Физматгиз, 1963. — 635 с.

71. Филин А.П. Элементы оболочек.- JL: Стройиздат, 1975.- 256 с.

72. Хечумов Р.А., Кепплер X., Прокофьев В.Н. Применение метода конечных элементов к расчёту конструкций,- М.: Изд-во АСВ.- 1994.-351 с.

73. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1962.-Ч.1.-374 е.- 1964.- Ч.2.-395 с.

74. Чеботаревский Ю.В., Крысько В.А. Механика оболочек и пластин в XXI веке: Межвуз. науч. сб. Саратов, гос. техн. ун-т. Саратов: Изд-во СГТУ, 194 с.

75. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения.- М.: Наука, 1968.- 455 с.

76. Шапошников Н.Н. Расчёт пластинок на изгиб по методу конечного элемента // Труды Моск. Института инженеров транспорта. 1968.- Вып. 260.-с. 134- 144.

77. Argyris J.H., Mleignek Н.Р., Buhlmeier J., Mai M.M. Finite elements in linear statics and dynamiks the natural approach // Isd- Ber 1974 . № 174. - p. 152.

78. Anderheggen E. A conforming triangular finite element plate bending solution // Int. J. Num. Meth. Eng.- 1970.- 2.- p. 477- 480.

79. Batoz J.L., Zheng C.L., Hammadi F. Formulation and evaluation of new triangular, quadrilateral, pentagonal and hexagonal discrete Kirchoff plate / shell elements // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2001. 52, № 5-6, c. 615-630.

80. Bilotta A., Casciaro R. Assumed stress formulation of high order quadrilateral elements with am improved in plane bending behavior // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 2002. 191, № 15-16, c. 1523-1540.

81. Basar Yavuz, Its Rov Mikhail. Finite element formulation of the Ogden material model with application to rubber- like shells // Numer. Meth. Eng.- 1998.42, №7.-p. 1273- 1305.

82. Boisse P., Daniel J.L., Getin J.C. A threenode shell element for nonlinear struktural analysis // Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1994.- 37.- № 14- p. 2339-2364.

83. Brebbia C.A., Hadid H.A. Analysis of plates and shells using finite elements// Pev. roum. sci techn. ser. mec. apple. 1973. - 18.- № 15.- p. 939 - 962.

84. Cantin G., Clough R.W. A curved cylindrical shell finite element // AIAA. 1968. - №6. - p. 1057 - 1062.

85. Cowper G.R., Lindberg G.M., Olson M.D. A shallow shell finite of triangular shape // Int. J. Solids Struct. 1970. - № 6. - p. 113.

86. Dave D.J. High order triangular finite element for shell analysis // Int. J. Solids and Struct. - 1975. - 11. -№10. - p. 1097 - 1110.

87. Gran C.S., Yang T.J. Doubly curved membrane shell finite element // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng.- 1979.- 105.- № 4.- p. 567-584.

88. Harbord R., Schroder R. Finite Element Methode zur Berechnung dunnwandiger Behalter// Schallenban.- 1978.- 47.- № 3.- p. 90-96.

89. Herpai В., Paczelf I. Analysis of axisymmetrically deformed shells by the finite element displacement method // Acta techn. Acad. Sci. hung.- 1977.- 85.- № 1-2.- p. 93-122.

90. Jones Rembert F. Jr. A curved finite element for general thin shell structures // Nucl. Eng. And Des.- 1978.- 48.- № 2-3.- p. 415- 425.

91. Kanok Nukulchai Worsak. A simple and efficient finite element for general shell analysis // Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1979.- 14.- № 2.- p. 179-200.

92. Kikuchi F., Ando Y. A new variational functional for the finite element method and its application to plate and shell problems // Nucl. Eng. Design.- 1972.-№25.- p.95-113.

93. Kutulowski Ryszard, Myslecki Kazimierz. Das gekrummte, iso-parametriche rind viereckige finite Element in der Analyse von Rotationsschalen // Bautechnick. -1984.- 61.- № 7.- p. 224- 247.

94. Lee Phill- Sereng, Bathe Klaus- Jiirgen. On the asymptotic behavior of shell structures and the evaluation in finite element solution // Comput. and Struct. 2002. 80, № 3*4, c.235-255.

95. Lakshmiarayanga H.V. Finite element analysis of laminated composite shell junctions // Comput. and Struct.- 1976.- 8.- № 1.- p.l 1- 15.

96. Lannoy F.G., Triangular finite elements and numerical integration// Comput. and Stsuct. 1977. - 7.p. 613 - 625.

97. Linberg G. M., Olson M.D. A high precision triangular cylindrical shell finite element// AIAA. J. - 1971. - 9. - p. 530 - 542.

98. LochnerN. Die Anwendung des Schalenelements SHEBA//Finite Elem. Statik. e.a. 1973. - p. 353 - 372.

99. Loganathan K., Chand S.C., Gollagher R.H., Abel J. F. Finite element representation and pressure stiffness in shell stability analysis// Int. Numer. Meth. Eng. 1979. - 14. - № 9. - p. - 1413 - 1420.

100. May B. Gekrummte Dreieckelement furkreiszylinder schalen //Finite elem. Static. Berlin e.a., 1973. - p. 230-241.

101. Mohan P., Kapania Rakesh K. Updatet Lagrangian formution of a flat triangular element for thin laminated Shells//AIAA Jourudl. 1998. - 36. - № 2. - p. 273-281.

102. Mohr G. A. Numerically integrated triangular element for doubly curved thin shells //Comput. and Struct /-1980.-11 № 6. - p. 565-571.

103. Moore C. J., Yand T.Y., Anderson D.C. A new 48 D.O.F. quadrilateral shell element with variable order polynomial and rational В - spline geometries with rigid body modes // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1984. - 20.- II. - p. 2121 -2141.

104. Morley L.S.D. Bending of bilinear quadrilateral shell elements // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. - 20. № 8. - p. 1373 - 1378.

105. Morley L. S. D. Ixtensional bending of a shell triangular element in quadratik parametric representation // Int. J. Solids and Struct. 1982. - 18. - № 11. -p. 919-935.

106. Nelson R.L. An algoritm for programming the element matrices of doubly curved guadrilateral shell finite elements // Int. J. Numer. Meth, Eng. 1982. -18. - № 3. - p. 421 -434.

107. Peano A. Efficient high order finite elements for shells // Mechanica. -1976. 11. - № 11.-p. 42-47.

108. Rao K, Singa, Rao G. Venkateswara, Raju J. S. A note on the cylindrical shell finite element // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1975. - 9. - № 1. - p. 245-250.

109. Rao К., Singa, Rao G. Venkateswara. Explicit formula for the stifness matrix ofa conical shell finite element // J. Aeronaut. Soc. India. 1976. - 28. - № 3. -p. 339-342.

110. Soh Ai Kah, Ling Chen. An improved discrete Kirchoff triangular element of bending, Vibration and buckling analyses //Eur. J. Mech. A. 2000.- 19,- № 5,-c. 891-910.

111. Soh Ai Kah, Cen Song, Long Yu - Qiu, Long Zhi-Fei. A new twelve DOF quadrilateral element for analysis of thick and thin plates // Eur. J. Mech. A.2001. 20,- № 2,- c. 299-326.

112. Salem Ahmed Z. I., Canann Scott A., Saigal Sunil. Mid node admissible spaces for quadratic triangular 2D finite elements with one edge curved // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2001. -50,- № 1,- c. 181-197.

113. Shaoyan Zhang, Cheung Y.K., Wanji Chen. Stability analysis of cylindrical shells Using refined nonconforming rectangular cylindrical shell elements. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2001. 50, № 12, c. 2707 2726.

114. Sabir A.B. Strain — based finite element for the analysis of cyliders with holes and normally intersecting cylinders // Nuch. Eng. And Des. 1983. - 76. - № 2. — p. 111-120.

115. Samanta Asokendi, Mikhopadhyay Madhijit. Finite element static analysis of stiffened shells // Appl. Mech. and Eng. 1998. - 3. -№ 1. - p. 55-87.

116. Samuel W. Key. The analysis of thin shells with a doubly curved arbitrary quadrilateral finite element // Computers Struct. — 1972. Vol. 2. - № 4. — p. 637- 673.

117. Stolarski H., Belytshko Т., Carpenter N. A simple triangular curved shell element//Eng. Comput. 1985. - 1. - № 3. - p. 210-218.

118. Yang T.Y., Asce A.M. High order rectangular shallow shell finite element // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1973. - 99. - № 1. - p. 157 -181.