Сравнительное исследование алгоритмов максимального быстродействия с учетом особенностей реальных систем регулирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.06, кандидат технических наук Кочаровский, Дмитрий Николаевич

• Кочаровский, Дмитрий Николаевич
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кочаровский, Дмитрий Николаевич

Аннотация.

Введение.

Глава 1. Методы, применяемые для решения задач оптимального управления.

Выводы.

Глава 2. Разработка алгоритмов максимального быстродействия.

2.1. Постановка задачи построения оптимальной по быстродействию системы регулирования.

2.2. Учёт ограничения на скорость исполнительного механизма при синтезе системы регулирования.

2.3. Учёт возмущающих воздействий.

2.4. Выбор переменных состояний.

2.5. Учёт запаздывания объекта в системах максимального быстродействия.

2.6. Синтез алгоритма максимального быстродействия для эквивалентного объекта второго порядка с запаздыванием.

2.7. Синтез алгоритма максимального быстродействия для эквивалентного объекта третьего порядка и объекта с экстремумом с запаздываниями.

Выводы.

Глава 3. Описание программного комплекса для моделирования систем регулирования.

3.1. Описания программы моделирования системы с алгоритмом максимального быстродействия МВ(-).

3.2. Описания программы моделирования системы с типовым регулятором Р1РГО(-).

3.3 Вспомогательные программы ПКМСР.

Глава 4. Моделирование систем максимального быстродействия для объектов с запаздыванием.

4.1 Проверка правильности решения и эффективности работы алгоритма максимального быстродействия в замкнутом контуре регулирования.

4.1.1 Проверка алгоритмов в свободном движении системы.

4.1.2 Проверка работоспособности алгоритмов при ступенчатых воздействиях.

4.1.3 Проверка работоспособности алгоритмов при регулировании объекта с запаздыванием.

4.2. Исследование работы алгоритма максимального быстродействия в системе с объектом с экстремальной переходной характеристикой.

4.2.1 Проверка правильности алгоритма.

4.2.2 Исследование эффективности системы с запаздыванием и физическими переменными состояния.

4.3 Анализ возможности упрощения моделей, используемых в алгоритме максимального быстродействия.

4.3.1 Исследование системы регулирования с упрощенной моделью оценивания.

4.3.2 Исследование системы регулирования при несовпадении моделей синтеза и объекта управления.

4.4 Исследование алгоритма при действии на объект случайных возмущений.

Выводы.

Глава 5. Сравнение эффективности алгоритмов максимального быстродействия и типовых линейных алгоритмов.

5.1 Объект и структурная схема системы регулирования.

5.2 Сравнение эффективности оптимальных по времени и типовых регуляторов.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сравнительное исследование алгоритмов максимального быстродействия с учетом особенностей реальных систем регулирования»

В последние время нарастает тенденция по повышению эффективности старых и возникновению новых, более совершенных технологических процессов. Такая ситуация послужила мощным толчком к развитию современных средств передачи и обработки информации. Стремление управлять при минимальном участии человека всеми режимами работы оборудования, начиная от пусковых и заканчивая нештатными, выдвигает повышенные требования как к техническим средствам управления, так и к реализованным в них алгоритмам управления. С самого начала внедрения цифровых устройств в управление технологическими процессами (50-е годы прошлого века) предложено множество новых алгоритмов регулирования в дополнение к классическим. В число предложенных алгоритмов входят: компенсационные, апериодические (конечное время регулирования, линейные), модельные (корни), фаззи и т.п. Особую группу образуют оптимальные алгоритмы, минимизирующие некоторый критерий качества. Наибольшее распространение в зарубежной теории и практике управления получили квадратичные оптимальные алгоритмы типа MPC. Однако алгоритмы такого типа чрезмерно сложны, требуют неординарной математической подготовки персонала, не всегда обеспечивают устойчивые решения и характеризуются наличием статических ошибок. Вместе с тем, по мнению многих отечественных и зарубежных авторов, минимальное значение дисперсии регулируемой величины дают алгоритмы максимального быстродействия, а не алгоритмы с квадратичным критерием.

В зарубежной научной литературе максимальное по быстродействию управление известно под названиями Time Optimal Control, Minimum-time Control или Bang-bang Control. Первое упоминание о подобном принципе управления относят к работе Хейзена [35] 1934 года. В патенте Долла 1943 г.

29] получено решение минимального по времени управления для линейного объекта второго порядка при ограничении на амплитуду управления.

Впервые доказательство проблемы Долла было получено Бушау [25] и в близкой по идеологии к принципу максимума Понтрягина работе Хейзена [35]. Однако, по мнению ученых мира, действительно полное и строгое доказательство необходимых условий оптимальности дано лишь в работах научной группы Понтрягина (1956 г.).

Начиная с 1960 г. наблюдается интенсивный поток публикаций, связанных с различными численными методами решения задачи максимального быстродействия, достаточно полно отраженных в обзорах Пайевонского [54], и Атанса [20]. Публикаций, содержащих аналитические методы синтеза для систем выше второго порядка, не обнаружено.

Среди многообразных численных методов синтеза можно выделить два основных направления. Первое направление состоит в получении на стадии проектирования множества точек поверхности переключения с последующей ее аппроксимацией в форме, пригодной для практической реализации в алгоритме регулятора [19, 21, 30, 31, 32, 33, 42, 58, 60]. Множество точек гиперповерхности переключения получается в результате итерационных расчетов системы дифференциальных уравнений необходимых условий минимума времени управления для различных начальных значений переменных состояния. Расчеты подтвердили ранее доказанную Фельдбаумом А. [15] теорему о количестве переключений, а также выявили проблемы практической реализации численных алгоритмов в случае объектов высокого порядка. В результате успешными были признаны лишь аппроксимации поверхностей переключения для третьего и четвертого порядков объекта с вещественными корнями [32, 33]. И, тем не менее, несмотря на многочисленные разработки сложных алгоритмов, наибольшее внимание зарубежных исследователей и практиков по-прежнему привлекают алгоритмы второго порядка [21, 26, 49, 53, 60].

Второе направление в разработке численных алгоритмов представлено работами Ли [44] и Смита [59]. В противоположность вычислению поверхности переключения авторы предложили вычислять моменты переключений в темпе с реальным процессом управления. При таком подходе также необходимо организовать итерационную процедуру вычисления системы уравнений необходимых условий оптимальности. Хотя объем вычислений в данном случае существенно меньше (расчет выполняется только для одного вектора начальных значений переменных состояния), но эти вычисления необходимо выполнять в темпе с процессом, что, как отмечают авторы, выдвигает жесткие требования к быстродействию используемых технических средств управления. В целях сокращения объема расчетов предлагается преобразовать переменные состояния к каноническому виду.

Заметное количество публикаций связано с приложениями принципа максимума Понтрягина и теории оптимального по времени управления. В обзоре [61] приведена выборка из 27-ми приложений к задачам управления в экономике и бизнесе. Задачам быстродействующего и экономичного управления энергосистем посвящены работы [27, 34, 51]. Оптимальные управления посадкой лунохода, подвижными объектами, полетом снарядов и т.п. рассмотрены в [6, 8, 22, 25, 45, 52, 55—57].

Актуальность работы

Современные достижения в теории управления и стремительно развивающаяся инструментальная база позволяют при рассмотрении традиционных прикладных задач управления динамическими объектами предложить новые подходы и решения этих задач с учётом существенных особенностей реального объекта, таких как наличие запаздывания, возмущающих воздействий и ограниченность контролируемых параметров. В силу этого, актуальность диссертационной работы складывается из двух составляющих: необходимость синтеза оптимальных алгоритмов управления и проведения всесторонних исследований по целесообразности замены типовых алгоритмов регулирования на оптимальные алгоритмы.

Целью диссертационной работы является:

• создание теоретических и методологических основ построения алгоритмов максимального быстродействия с учётом особенностей реальных теплоэнергетических объектов;

• проведение всесторонних исследований в доказательство работоспособности и высокой эффективности оптимальных по времени алгоритмов в замкнутом контуре регулирования при наличии запаздывания в объекте, ограничения на скорость исполнительного механизма и возмущающих воздействий детерминированного и случайного характера.

Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:

• на основании накопленного отечественного и зарубежного опыта и дальнейшего развития научных основ создать методологию построения алгоритмов максимального быстродействия для относительно более сложных динамических систем;

• создать приближенную к реальным условиям имитационную модель замкнутой системы с различными алгоритмами управления;

• провести всесторонние исследование замкнутых систем с различными регуляторами в целях выявления достоинств и недостатков алгоритмов максимального быстродействии по сравнению с типовыми алгоритмами.

Научная новизна полученных автором результатов

1. Получен алгоритм максимального быстродействия для динамической системы третьего порядка общего вида с полиномом второй степени в числителе, учитывающий особенности реальных объектов.

2. Предложены новые «физические» переменные состояния, максимально использующие имеющуюся информацию о состоянии объекта.

3. Разработаны алгоритмы с физическими переменными состояния, основанные на приведении эквивалентного возмущения ко входу объекта.

4. Создана имитационная модель замкнутой системы с различными алгоритмами управления, с возможностью выбора характера и точек приложения возмущающего воздействия, его спектральных свойств, вида алгоритма регулирования и различных моделей объекта, используемых в составе алгоритма максимального быстродействия.

5. Проведено всесторонние исследование замкнутых систем с различными регуляторами и выявлены достоинства и недостатки алгоритмов максимального быстродействия по сравнению с типовыми.

6. Доказана работоспособность и высокая эффективность замкнутых систем максимального быстродействия при наличии чистого запаздывания в объекте и случайных возмущающих воздействий.

7. Установлено, что предложенные физические переменные состояния в ряде случаев оказываются эффективнее общепринятых (нормальных) переменных состояния.

8. Доказано существенное повышение точности регулирования при переходе от типовых к оптимальным по времени регуляторам.

Практическая значимость работы

Практическая значимость полученных автором результатов заключается, прежде всего, в возможности применения разработанных алгоритмов в действующих системах автоматического регулирования с гидравлическими, пневматическими и электрическими частотно-регулируемыми приводами;

Полученные результаты по точности работы систем максимального быстродействия позволяют сделать вывод о целесообразности вложения средств, направленных на совершенствование существующих систем регулирования.

Использование результатов работы в учебном процессе будет способствовать повышению качества подготовки специалистов по автоматизации промышленных объектов.

Достоверность и обоснованность результатов работы обусловлена строгостью применения математического аппарата, совпадением частных случаев разработанных оптимальных по времени алгоритмов с результатами других авторов, близостью полученных значений показателей точности для различных переменных состояния.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на международных научно-технических конференциях Соп1:го1-2003 и СоЩго1-2005 (МЭИ, г. Москва), на одиннадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов в секции «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (МЭИ, г. Москва, 2005 г.). Материалы, связанные с анализом типовых и оптимальных алгоритмов вошли в учебное пособие Аракеляна Э.К., Пикиной Г.А. «Оптимизация и оптимальное управление», М.: Издательский дом МЭИ, 2008 г. кафедры АСУ ТП МЭИ.

Публикации

Основное содержание выполненных исследований, теоретических и методологических разработок изложено в 8 публикациях, в том числе, 5 журнальных статьях, 3 тезисах и докладах на конференциях. 4 публикации размещены в реферируемых журналах, входящих в перечень ВАК.

1. Пикина Г.А., Кочаровский Д.Н. Синтез максимального по быстродействию алгоритма регулирования вторичного перегрева котла ТГМП-344 // Вестник МЭИ, № 3, М.: Изд-во МЭИ, 2003.

2. Пикина Г.А., Кочаровский Д.Н. Синтез системы максимального быстродействия для объектов с экстремальной переходной характеристикой // Труды Международной научной конференции Control 2003. М.: Изд-во МЭИ, 2003.

3. Пикина Г.А., Кочаровский Д.Н. К вопросу о выборе переменных состояния в системах максимального быстродействия // Сборник тезисов и докладов. М.: Изд-во МЭИ, 2003.

4. Пикина Г.А., Кочаровский Д.Н. Синтез алгоритма максимального быстродействия для регулирования температуры перегретого пара котла ТГМП-344 // Вестник МЭИ, № 4. М.: Изд-во МЭИ, 2004.

5. Кочаровский Д.Н. К вопросу о выборе переменных состояния в системах максимального быстродействия // Сборник тезисов и докладов одиннадцатой ежегодной международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "РАДИОЭЛЕКТРОНИКА, ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭНЕРГЕТИКА" (МЭИ, г. Москва, 2005 г.). М.: Изд-во МЭИ, 2005.

6. Пикина Г.А., Кочаровский Д.Н. Исследование системы с прогностическим алгоритмом максимального быстродействия // Теплоэнергетика, № 10, 2006.

7. Пикина Г.А., Кочаровский Д.Н. Сравнение эффективности прогностического алгоритма максимального быстродействия и ПИД алгоритма в замкнутой системе автоматического регулирования // Теплоэнергетика, № 1, 2007.

8. Кочаровский Д.Н., Карандаев В.В. Об одном способе повышения качества реальных автоматических систем с типовыми регуляторами // Электронный журнал «Новое в российской электроэнергетике», № 7, 2009.

Заключение диссертации по теме «Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)», Кочаровский, Дмитрий Николаевич

Выводы:

1. Выполненные исследования подтверждают возможность применения прогностических алгоритмов максимального быстродействия в замкнутом контуре регулирования объектов с запаздыванием, подверженных действию случайных или ступенчатых возмущений.

2. Даже простейшие алгоритмы оптимального по времени регулятора и прогностической функции дают не только меньшее время переходного процесса по сравнению с ПИД регулятором, но и существенно меньшее значение дисперсии (СКО).

3. Оптимальные алгоритмы обеспечивают невысокую чувствительность АСР к вариации параметров объекта.

4. Эффективность оптимальной по времени системы с физическими переменными состояния, безусловно, высока. Однако, она обладает тем существенным недостатком, что требует усложнения алгоритма для численной оценки эквивалентного возмущающего воздействия на выходе объекта с последующим приведением его к входу. С этой точки зрения переменные состояния нормальной формы обладают некоторым преимуществом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В диссертации аналитическим методом получены алгоритмы максимального быстродействия для управления одномерными эквивалентными объектами третьего порядка с чистым запаздыванием, в том числе и с экстремальной переходной характеристикой. Синтез алгоритмов производился с учётом особенностей действующих систем регулирования, таких как постоянная скорость исполнительного механизма, а также различный характер возмущающих воздействий, приложенных как к выходу, так и к входу объектов управления.

2. Получен оптимальный по времени алгоритм с новым типом переменных состояния — физическими переменными. Показано, что такие переменные состояния обладают рядом преимуществ по сравнению с общепринятыми переменными нормальной формы.

3. Разработан комплекс программ моделирования системы регулирования (ГЖМСР), позволяющий провести всесторонние исследования работы алгоритма максимального быстродействия.

4. В результате работы ГЖМСР осуществлена проверка правильности полученных оптимальных алгоритмов.

5. Рассмотрена работа алгоритма в вынужденном движении при измеримых ступенчатых воздействиях, приложенных к выходу или входу объекта управления. Получены удовлетворительные результаты работы алгоритма с физическими переменными состояния при вычисляемом детерминированном воздействии. Подробно проанализировано качество работы алгоритма с различными моделями приведения.

6. Установлена возможность работы регулятора максимального быстродействия в системах с запаздыванием. Исследуется влияние эффективности прогноза переменных состояния для компенсации запаздывания.

7. Продемонстрирована возможность работы алгоритма в системе с объектом, имеющим экстремальную переходную характеристику с запаздыванием. Исследована работа регулятора с каноническими, физическими и нормальными переменными состояния. Показано, что работа алгоритма максимального быстродействия может сопровождаться существенным перерегулированием, в значительной степени зависящим от параметров такого объекта.

8. Проанализировано влияние упрощения моделей оценивания приведения и синтеза на качество процессов регулирования при детерминированных воздействиях. В результате моделирования ряда систем регулирования показано оправданность использования упрощенных моделей оптимальных регуляторов.

9.Подробно рассмотрено влияние интервала усреднения и алгоритма прогнозирования на качество регулирования. Оценивается влияние ширины зоны нечувствительности на критерии надёжности системы регулирования.

10. Подробно исследуется эффективность работы оптимальных регуляторов в замкнутом контуре регулирования объектов с запаздыванием, подверженных действию случайных или ступенчатых возмущений.

11. Показано, что даже простейшие алгоритмы оптимального по времени регулятора и прогностической функции дают не только меньшее время переходного процесса по сравнению с ПИД регулятором, но и существенно меньшее значение дисперсии (СКО).

12. Основываясь на результатах моделирования ограниченного числа систем регулирования установлено, что оптимальные алгоритмы обеспечивают невысокую чувствительность АСР к вариации параметров объекта.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кочаровский, Дмитрий Николаевич, 2010 год

1. Аракелян Э.К., Пикина Г.А., Оптимизация и оптимальное управление. // Под общ. ред. Т.Е. Щедеркиной. М.: МЭИ, 2003.

2. Аттетков A.B., Галкин C.B., Зарубин B.C., Методы оптимизации. // Под общ. ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко, М:. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.

3. Болтянский В.Г., Математические методы оптимального управления. // Под общ. ред. Н.Х. Розова. М.: Наука, 1969.

4. Верховский A.B., К выбору алгоритма прогнозирования в системах максимального быстродействия. // Сб. тезисов и докладов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», т.З, М.: МЭИ, 2000.

5. Деменков Н.П. Алгоритмы нечеткого управления в задачах энергосбережения. // Промышленные АСУ и контроллеры, №10 2002.

6. Казанцева И.В. Синтез оптимальной по быстродействию системы управления объектом второго порядка с запаздыванием. // В. сб. н/тр МЭИ 1993.

7. Киселев Ю.Н., Быстросходящиеся алгоритмы решения линейной задачи быстродействия. // Кибернетика, 1990.

8. Киселев 10.Н., Орлов М.В. Численные алгоритмы линейных быстродействий.//Журн. вычисл. математики и мат. физики, N 12, 1991.

9. Новосельцев В.Н. Об оптимальном управлении при наличии запаздывания. // Автоматика и телемеханика. 1964. Т. 25, № 11. С. 1545-1548. "

10. Пикина Г.А. Математические методы оптимизации и оптимального управления. // Учебное пособие по курсу «Методы оптимизации в АСУ», -М.: МЭИ, 2000.

11. Ротач В.Я., Теория Автоматического управления теплоэнергетическими процессами. //М.: Энергоатомиздат, 1985.

12. Спиди К., Браун Р., Гудвин Дж., Теория управления. // М.: Мир, 1973.

13. Суллер П.JI., Романов А.Ф. Экспериментальные динамические характеристики прямоточ-ного котла сверхкритического давления. // Теплоэнергетика, 1974, № 4. С. 56-61.

14. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. М.: -Машиностроение, 1972, с.с.339-496.

15. Фельдбаум А.А., Основы теории оптимальных автоматических систем. // Под общ. ред. В.Н. Новосельцев, B.C. Рутман. М.: Наука, 1966.

16. Янчогло Е.И., Синтез максимального по быстродействию алгоритма управления для линейной системы третьего порядка. // Теплоэнергетика №3 2000.

17. Янчогло Е.И., Синтез максимального по быстродействию алгоритма управления для линейной системы третьего порядка. // Теплоэнергетика №3, 2002.

18. Янчогло Е.И., Синтез максимального по быстродействию алгоритма управления для линейной системы третьего порядка. // Сб. тезисов докладов Радиоэлектроника, электротехника и энергетика, т.З, М.: МЭИ, 2003.

19. Athans M., Falb P.L. Optimal Control. // NY: McGraw-Hill, 1966.

20. Ananthanarayanan K.S., Third-Order Theory and Bang-Bang Control of Voice Coil Actuators. // IEEE Trans. Magnetics, 18(3): 888-892, May 1982.

21. Bogner I., Kazda L.F. An Investigation of the Switching Criteria for HigherOrder Servomechanisms. // AIEE Transactions, 73, part II, 1954, pp. 118-127.

22. Bushaw D.W., Differential Equations with a Discontinuous Forcing Term. // Report No. 469, Experimental Towing Tank, Stevens Institute of Technology, Hoboken, N.J., Jan. 1953.

23. Bushaw D. W., Optimal Discontinuous Forcing Terms. // Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations, Vol. 4, Princeton Univ., Princeton, N.J., 1958.

24. Chang S. S. L. Synthesis of Optimum Control Systems. // McGraw-Hill, New York, 1961.

25. Dahlin E. B. and D. W. C. Shen. Application of the Maximum Principle for Bounded State Space to the Hydro-Steam Dispatch Priblems. Preprint Volume, Joint Automatic Control Conference, June 1965.

26. Darcy V.J., Hannen R.A. An Application of an Analog Computer to Solve the Two-Point Boundary-Value Problem for a Fourth-Order Optimal Control Problem. // IEEE Transactions on Automatic Control, AC-12, Feb. 1967.

27. Doll H. G. U.S. Patent No. 2463362, 1943.

28. Eaton J.H. An Iterative Solution to Time-Optimal Control. // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 5, Oct. 1962.

29. Flügge-Lotz I. Discontinuous Automatic Control. // Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1953.

30. Flügge-Lotz I., H. A. Titus. The Optimum Response of Full Third-Order Systems with Contactor Control. // Transactions of the ASME, series D (Journal of Basic Engineering), 85, Sept. 1963.

31. Frederick D.K., G.F. Franklin. Design of Piecewise-Linear Switching Functions for Relay Control Systems. // Joint Automatic Control Conference, Aug. 1966.

32. Hano I., Y. Tamura and S. Narita. "An Application of the Maximum Principle to the Most Economical Operation of Power Systems." IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, PAS-85 May 1966.

33. Hazen H.L. Theory of servomechanisms // Journal of the Franklin Institute, 1934.218.

34. Hostenes M. R. General problem in the Calculus of Variations with Applications to Paths of Least Time. // Report RM-100, RAND Corporation, Santa Monica, Calif., 1950.

35. Il'in A.M., Danilin A.R. Asymptotic of the Solution of the Optimal-Time Control Problem under Perturbed Initial Data. (Russian). // Izvestiya.Akad.Nauk RAN, Technicheskaya kibernetica, no. 2, 1994.

36. Kalman R.E. The Theory of Optimal* Control and the Calculus of Variations. Chapter 16 of "Mathematical Optimisation Techniques", R. Bellman (Editor). Univ. of California Press, Berkeley, Calif., 1963.

37. Koziorov L.M., Kupervasser Yu. I. Optimal Control for a Second-Order

38. System with Constraints on the Phase Coordinates and Control. // Engineeringi

39. Cybernetics, May-June 1966.

40. Krasovskii N.N. Optimal processes in systems with time lag // Automat, and Remote Control. Theory.- London etc., 1964,- P.327-332.

41. LaSalle J. P. "Time Optimal Control Systems." Proceedings of the National Academy of Sciences, 45, April 1959.

42. LaSalle J.P. Time Optimal Control Systems. // Contributions to the Theory of Non-linear Oscillations, V. 5, S. Lefschetz (Editor). Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1960.

43. Lee E.B. Mathematical Aspects of the Synthesis of Linear, Minimum Response-Time Controllers. // IRE Transactions on Automatic Control, AC-5, Sept. 1960.

44. A.P. Leonov. Towards the Problem of Synthesis of High Speed QuasiOptimal Digital Control by Moving the Object to the Position. Protvino, 1999

45. Neustadt L.W. Synthesizing Time Optimal Control Systems. // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1, Dec. 1960, pp. 484-493.

46. LaSalle J. P. Time Optimal Control Systems. // Proceedings of the National Academy of Sciences, 45, April 1959.

47. Lee E. B. Mathematical Aspects of the Synthesis of Linear, Minimum Response-Time Controllers.// IRE Transactions on Automatic Control Conference, June 1967.

48. McCausland I. Introduction to Optimal Control. // Wiley, New York, 1969.

49. McDonald D. Non-linear Techniques for Improving Servo Performance. // Proceedings of the National Electronics Conference, 6, 1950.the Most Economical Operation of Power Systems." Electrical Engineering in Japan, 85, Nov. 1965.

50. Neustadt L. W. Synthesizing Time Optimal Control Systems. // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1, Dec. 1960.

51. O'Donnel J. J. Bounds on Limit Cyvles in Two-Dimensional Bang-Bang Control Systems with an Almost Time-Optimal Switching Curve. // IEEE Transactions on Automatic Control, AC-9, Oct. 1946.

52. Paiewonsky B. Time Optimal Control of Linear Systems with Bounded Controls. // International Symposium on Non-linear Differential Equations and Non-linear Mechanics. Academic Press, New York, 1963.

53. Pao L.Y., Franklin G.F., A Comparative Study of Proximate Time-Optimal Controllers for Type-2 Third-Order Servomechanisms. // ASME Advances in Information Storage Systems, Vol. 4, pp. 317-328, 1992.

54. Pao L.Y., Franklin G.F., Proximate Time-Optimal Control of Third-Order Servomechanisms, // IEEE Trans. Automatic Control, 38(4): 560-580, April 1993.

55. Pierre D.A. Optimization Theory with Applications. // N.Y.: Dover Publications, Inc., 1986.

56. Pontryagin L.S., V.G. Boltyanskii, R.V. Gamkrelidze, E.F. Mischenko. The Mathematical Theory of Optimal Processes. // Wiley, New York, 1962.

57. Smith F.B., Time-Optimal Control of Higher-Order Systems. // IRE Transactions on Automatic Control, AC-6, Feb. 1961.

58. Stout T. M. Switching Errors in an Optimum Relay Servomechanism.// Proceedings of the National Electronics Conference, 9, 1953.

59. Tracz G. S. "A Selected Bibliography on the Application of Optimal Control Theory to Economic and Business Systems, Management Science, and Operations Research." Operations Research, 16, Jan.-Feb. 1968.

60. Ицкович Э.Л. Статистические методы при автоматизации производства. М.: Энергия, 1964.