Спиновые явления в низкоразмерных структурах, помещенных в магнитное поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Шмаков, Павел Михайлович

• Шмаков, Павел Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шмаков, Павел Михайлович

Оглавление

Введение

Глава 1. Эффект Ааронова-Бома в одноканальном кольце при высоких температурах

1.1 Эффекты Ааронова-Бома и Ааронова-Кэшера в квантовых кольцах (обзор)

1.2 Постановка задачи и предварительные вычисления

1.3 8-матрица рассеяния на контактах

1.4 Суммирование амплитуд траекторий

1.5 Решение задачи на языке переходов через квазистационарные уровни в кольце

Глава 2. Эффекты Ааронова-Бома и Ааронова-Кэшера в одноканальном кольце со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием при высоких температурах

2.1 Гамильтониан системы

2.2 Матрицы поворота спина

2.3 Суммирование амплитуд траекторий в задаче со спином

2.4 Кондактанс кольца со спин-орбитальным взаимодействием

2.5 Кондактанс кольца со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием

2.6 Переходы через квазистационарные состояния в кольце со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием

Глава 3. Влияние слабого беспорядка на эффект Ааронова-Бома в квантовых кольцах при высоких температурах

3.1 Высокотемпературный эффект Ааронова-Бома в кольце с короткодействующими примесями

3.2 Исследование общей формулы

3.3 Переходы через квазистационарные состояния в кольце с короткодействующими примесями

3.4 Кондактанс кольца при одновременном присутствии короткодействующих примесей, спин-орбитального и зеемановского взаимодействия

3.5 Кондактанс кольца с плавным потенциалом при высоких температурах

Глава 4. Спиновые волны в магнитных квантовых ямах

4.1 Основные свойства разбавленных магнитных полупроводников (обзор)

4.2 Гамильтониан задачи. Приближение среднего поля

4.3 Закон дисперсии спиновых волн

4.4 Учет обменного взаимодействия между электронами проводимости

4.5 Механизмы затухания спиновых волн: рассеяние электронов и затухание Ландау

4.6 Затухание ионных возбуждений в континууме Стоунера

4.7 Отщепленные ионные моды

Глава 5. Расфазировка прецессии спинов электронов в магнитных квантовых ямах с переменной шириной

5.1 Релаксация электронного спина вследствие дельта-коррелированных флуктуаций обменного поля

5.2 Эффективное магнитное поле в квантовой яме с флуктуирующей шириной

5.3 Расфазировка прецессии электронного спина в отсутствие рассеяния

5.4 Расфазировка прецессии электронного спина при наличии рассеяния

5.5 Подведение итогов и сравнение с экспериментом

Заключение

Приложение А. Вывод соотношения, используемого при расчете кондактанса кольца при высоких температурах

Приложение Б. Вывод соотношения, связывающего коэффициент прохождения с волновыми функциями и энергиями электронов в замкнутом кольце

Приложение В. Электрон в кольце со спин-орбитальным взаиомодействием в квазиклассическом приближении

Приложение Г. К расчету кондактанса кольца со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействем

Приложение Д. К расчету кондактанса кольца с короткодействующими примесями

Приложение Е. Вывод уравнения Вигнера для электронов в неоднородном магнитном поле

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спиновые явления в низкоразмерных структурах, помещенных в магнитное поле»

Введение

В последние годы заметное место в полупроводниковой наноэлектронике занимает новая, недавно возникшая область физики твердого тела - спинтроника. Главная задача спинтроники состоит в создании нового поколения электронных приборов, таких как спиновые фильтры, спиновые полевые транзисторы, магнитные биполярные диоды [1], в которых спиновая степень свободы используется на равных правах с орбитальной. Особое внимание в настоящее время привлекает физика спиновых явлений в низкоразмерных структурах, что объясняется, в числе прочего, фундаментальным интересом к эффектам, связанным со спин-орбитальным взаимодействием, и потенциалом их использования для обработки и хранения информации [1,2].

В частности, все более активным становится изучение одномерных систем, таких как углеродные нанотрубки [3], полупроводниковые и металлические квантовые проволоки [4, 5], длинные полимерные цепи [6] и краевые состояния в режиме квантового эффекта Холла [7]. Важное место в этом ряду занимают одноканалъные квантовые кольца, интерес к которым связан, в первую очередь, с квантовыми интерференционными явлениями - осцилляциями Ааронова-Бома и Ааронова-Кэшера. Последние обусловлены спин-орбитальным взаимодействием внутри колец и открывают возможности для создания спиновых фильтров.

Создание приборов спинтроники невозможно без эффективного управления спином с помощью внешних сил, что, в свою очередь, подразумевает наличие хорошей связи спинов с внешними электрическими и магнитными полями. Обеспечить такую связь в обычных полупроводниковых системах на основе кремния или арсенида галлия трудно из-за малых значений §-фактора в этих материалах. Одно из возможных решений этой проблемы состоит в использовании

материалов, обладающих магнитными свойствами. В связи с этим все большее внимание привлекают разбавленные магнитные полупроводники (РМП) [2, 8]. РМП получают путем замещения небольшой доли катионов в полупроводниковом материале типа А3В5 или А2В6 магнитными примесями (обычно, примесями марганца). Уникальность этих материалов состоит в том, что они обладают одновременно полупроводниковыми и магнитными свойствами. С одной стороны, такие материалы могут быть интегрированы в полупроводниковые гетероструктуры. С другой стороны, сильное обменное взаимодействие между подвижными носителями заряда и электронами, локализованными на внешних оболочках магнитных ионов, приводит к непрямому взаимодействию между спинами ионов, что, в свою очередь, обуславливает ферромагнитный переход, наблюдаемый в этих материалах. Оно также приводит к "гигантскому" зеемановскому расщеплению, которое может быть порядка энергии Ферми [9, 10]. Эти и другие особенности делают РМП чрезвычайно привлекательными с точки зрения возможных приложений в области спинтроники.

Вышесказанное определяет актуальность темы диссертации.

Целью настоящего исследования является, во-первых, теоретическое изучение эффектов Ааронова-Бома и Ааронова-Кэшера в одноканальных квантовых кольцах при высоких температурах, и, во-вторых, теоретическое изучение спиновых возбуждений в двумерных разбавленных магнитных полупроводниках, помещенных в магнитное поле.

Научная новизна работы заключается в решении следующих конкретных

задач:

1. Изучить влияние спин-орбитального и зеемановского взаимодействия на эффект Ааронова-Бома в одноканальных баллистических квантовых кольцах с туннельными контактами при температурах, превышающих расстояние между энергетическими уровнями в кольце.

2. Изучить эффекты Ааронова-Бома и Ааронова-Кэшера в одноканальных квантовых кольцах с туннельными контактами и слабым беспорядком в режиме высоких температур.

3. Построить теорию неоднородных спиновых возбуждений (спиновых волн) в двумерных разбавленных магнитных полупроводниках, помещенных в магнитное поле.

4. Изучить обусловленную флуктуациями ширины квантовой ямы расфазировку прецессии спинов электронов в двумерных разбавленных магнитных полупроводниках, помещенных в магнитное поле.

Практическая значимость работы состоит в следующем. Во-первых, в ней продемонстрирована возможность применять одноканальные кольца со спин-орбитальным взаимодействием в качестве спиновых фильтров при сравнительно высоких температурах, и показано, что этому применению не препятствует слабый беспорядок в кольце. Во-вторых, в ней построена теория спиновых возбуждений в двумерных разбавленных полупроводниках, помещенных в магнитное поле, и рассмотрены механизмы их затухания, что является важным шагом на пути к практическому применению разбавленных магнитных полупроводников в спинтронике.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению узких провалов ("антирезонансов") в зависимости туннельного кондактанса одноканального кольца от пронизывающего его магнитного потока, а при наличии зеемановского взаимодействия возникнают дополнительные антирезонансы; при соответствующих значениях магнитного потока проходящие через кольцо электроны поляризуются по спину.

2. Наличие слабого беспорядка в кольце не приводит к подавлению эффектов Ааронова-Бома и Ааронова-Кэшера даже в режиме, в котором электрон многократно испытывает рассеяние за время пребывания внутри кольца.

Короткодействующие примеси приводят к уширению антирезонансов, а плавный беспорядок - к возникновению новых.

3. При изучении спиновых волн в двумерных разбавленных полупроводниках, помещенных в магнитное поле, необходимо учитывать как электрон-ионное (s-d) взаимодействие, так и обменное взаимодействие между электронами проводимости. Одновременное наличие этих взаимодействий приводит к ряду особенностей в поведении ветвей дисперсии спиновых волн (в первую очередь, к их антипересечению).

4. Неоднородность ширины квантовой ямы с магнитными примесями может приводить к сравнительно быстрой расфазировке прецессии спинов электронов проводимости, и, тем самым, к релаксации поперечной по отношению к магнитному полю компоненты полного электронного спина. При диффузионном движении электронов проводимости релаксация происходит по медленному неэкспоненциальному закону.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН, на международных симпозиумах "Nanostructures: Physics and Technology" (Минск, 2009, Санкт-Петербург, 2010, Екатеринбург, 2011) и "Spin Waves International Symposium" (Санкт-Петербург, 2011).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 8 работ, список которых приведен в заключении.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и шести приложений. Она содержит 143 страниц текста, включая 22 рисунка и 1 таблицу. Список литературы включает 89 наименований.

В первой главе на примере задачи о бесспиновых электронах в баллистическом кольце излагаются оригинальные методы расчета кондактанса одноканального кольца при высоких температурах, которые применяются далее во второй и третьей главе. Один из методов позволяет проводить строгое вычисление

сумм амплитуд траекторий, другой метод менее универсален, но апеллирует к наглядным физическим представлениям о прохождении электронов через квазистационарные уровни в кольце.

Во второй главе рассматривается кольцо со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием. Вычисляется кондактанс такого кольца, а также степень спиновой поляризации прошедших через него электронов.

Третья глава посвящена изучению влияния слабого примесного беспорядка на эффекты, описанные в первых двух главах. Рассматривается кольцо с короткодействующими примесями, а также с плавным потециалом.

В четвертой главе строится теория спиновых волн в двумерных разбавленных магнитных полупроводниках, помещенных в магнитное поле. Теория основана на использовании уравнения Вигнера для электронов проводимости совместно с уравнением ларморовской прецессии для спинов магнитных ионов. Помимо Б-ё взаимодействия, учитывается обменное взаимодействие подвижных электронов между собой. Вычисляется спектр спиновых волн и рассматриваются механизмы их затухания, отстутствующие в однородном случае.

Наконец, в пятой главе изучена обусловленная флуктуациями ширины квантовой ямы расфазировка прецессии спина электронов в двумерных разбавленных магнитных полупроводниках. Рассмотрены случаи баллистического, диффузионного и циклотронного движения электронов. Показано, что данный механизм при определенных условиях приводит к меньшему времени расфазировки, чем предсказывают предыдущие теоретические работы, и может служить объяснением результатов недавних экспериментов.

В Заключении сформулированы основные результаты работы и приведен список публикаций.

Формулы и рисунки нумеруются по главам, нумерация литературы единая для всего текста.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Шмаков, Павел Михайлович

Основные результаты диссертационной работы изложены в следующих публикациях:

Al] P. М. Shmakov, А. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, Electron spin decoherence in diluted magnetic quantum wells // Phys. Rev. В 80, 193205 (2009).

A2] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, Electron spin decoherence in semimagnetic quantum wells // Proc. Int. Symp. "Nanostructures: Physics and Technology 2009" (Minsk, Belarus, 2009), pp. 330-331.

A3] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, Spin waves in diluted magnetic quantum wells // Phys. Rev. В 83, 233204 (2011).

A4] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, Spin waves in 2D diluted magnetic semiconductors // Proc. Int. Symp. "Nanostructures: Physics and Technology 2010" (Saint-Petersburg, Russia, 2010), pp. 224-225.

А5] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, Spin waves in diluted magnetic quantum wells // Proc. Int. Symp. "Spin Waves 2011 International Symposium" (Saint-Petersburg, Russia, 2011), pp. 120-121.

A6] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, High Temperature Aharonov-Bohm-Casher interferometer // Phys. Rev. В 85, 075422 (2012).

A7] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, Aharonov-Bohm interferometer as a spin polarizer // Proc. Int. Symp. "Nanostructures: Physics and Technology 2011" (Ekaterinburg, Russia, 2011), pp. 44-45.

A8] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, Aharonov-Bohm conductance of a disordered single-channel quantum ring // arXiv: 1303.3486.

Автор выражает благодарность А. П. Дмитриеву и В. Ю. Качоровскому за плодотворную совместную работу, а также участникам Чайного семинара ФТИ им. А.Ф. Иоффе за полезные обсуждения.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

• Рассчитан кондактанс одноканального баллистического кольца со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием, пронизываемого магнитным потоком, с присоединенными к нему туннельными контактами. Рассматривался случай температур, превышающих межуровневое расстояние в кольце. Показано, что спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению антирезонансов в зависимости кондактанса от магнитного потока на пары антирезонансов. Зеемановское взаимодействие приводит к возникновению двух дополнительных антирезонансов на каждом периоде. Кроме того, показано, что при значениях магнитного поля, соответствующих антирезонансам, неполяризованный по спину входящий пучок электронов оказывается поляризованным на выходе, то есть рассматриваемая система может выполнять функции спинового фильтра.

• Изучено влияние слабого беспорядка на эффект Ааронова-Бома в одноканальном кольце с туннельными контактами при высоких температурах. Рассмотрены случаи короткодействующих примесей и плавного потенциала. Показано, что рассеяние на короткодействующих примесях приводит к уширению антирезонансов в кондактансе кольца, однако их амплитуда остается по порядку величины той же, что и в баллистическом кольце. Наличие плавного потенциала приводит к возникновению дополнительных антирезонансов. Рассмотрен также случай одновременного присутствия примесей, спин-орбитального и зеемановского взаимодействия. Показано, что в этом случае рассеяние на примесях приводит к аналогичному изменению формы антирезонансов.

• Построена теория спиновых волн в двумерных разбавленных магнитных полупроводниках, помещенных в магнитное поле. Выведен закон дисперсии спиновых волн и изучены механизмы затухания неоднородных возбуждений:

119 затухание вследствие рассеяния электронов и затухание Ландау. Помимо электрон-ионного обменного взаимодействия учтено электрон-электронное обменное взаимодействие. Показано, что наличие обоих типов взаимодействия приводит к антипересечению двух ветвей дисперсии и смене знака дисперсии на одной из ветвей при изменении внешнего магнитного поля.

• Рассмотрена обусловленная неоднородностью ширины квантовой ямы расфазировка прецессии спина электронов в двумерных разбавленных магнитных полупроводниках. Изучены зависимости поперечного спина электронов от времени при движении во флуктуирующем магнитном поле. Рассмотрены случаи баллистического, диффузионного и циклотронного движения электронов. При диффузионном движении затухание происходит по медленному неэкспоненциальному закону. Показано, что данный механизм при определенных условиях приводит к меньшему времени расфазировки, чем механизмы, предложенные ранее; оценки этого времени находятся в согласии с экспериментальными данными.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шмаков, Павел Михайлович, 2013 год

Литература

[1] I. Zutic, J. Fabian, and S. Das Sarma // Rev. Mod. Phys. 76, 323 (2004).

[2] "Semiconductor Spintronics and Quantum Computation", eds. D.D. Awschalom, D. Loss, and N. Samarth (Springer, Berlin, 2002).

[3] Carbon Nanotubes, Special Issue of Physics World (June 2000).

[4] S.V. Zaitsev-Zotov, Y.A. Kumserov, Y.A.Firsov, and P. Monceau // J. Phys. Cond. Matter 12, L303 (200); JETP Lett. 77, 135, (2003).

[5] E.Slot, M.A.Holst, H.S.J.van der Zant, and S.V. Zaitsev-Zotov // Phys. Rev. Lett. 93, 176602 (2004).

[6] A.N.Aleshin, H.J.Lee, Y.W.Park, and K.Akagi // Phys. Rev. Lett. 93, 196601 (2004).

[7] W.Kang, H.L.Shtormer, L.N.Pfeiffer, K.W.Baldwin, and K.W.West // Nature 403, 59 (2000).

[8] J. Cibert and D. Scalbert, "Diluted Magnetic Semiconductors: Basic Physics and Optical Properties", in "Spin Physics in Semiconductors", chap. 13, ed. by M.I. Dyakonov (Berlin, Springer, 2008).

[9] J.A. Gaj, R. Planel, and G. Fishman // Solid State Communication, v.29, 435 (1979).

[10] A. Lemaitre, C. Testelin, C. Rigaux, T. Wojtowicz, and G. Karczewski // Phys. Rev. B 62, 5059 (2000).

[11] Y. Aharonov, D. Bohm // Phys. Rev. B, 115, 485 (1959).

[12] R.G. Chambers // Phys. Rev. Lett. 5, 3, (1960)

[13] D. Yu. Sharvin, and Yu. V. Sharvin // JETP Lett. 34, 272 (1981)

[14] B. L. Altshuler, A. G. Aronov, B.Z. Spivak, D.Yu Sharvin, and Yu. V. Sharvin // JETP Lett. 35, 588 (1982)

[15] F.-R. Ladan, and J. Maurer // C. R. Acad. Sci. Ser. II, 297, 227 (1983)

[16] D. J. Bishop, J. C. Licini, and G. J. Dolan // Appl. Phys. Lett. 46, 1000 (1985)

[17] G. J. Dolan, J. C. Licini, and D. J. Bishop // Phys. Rev. Lett. 56, 1493 (1986)

[18] В. Pannetier, J. Chaussy, R. Rammal, and P. Gandit // Phys. Rev. Lett. 53, 718

(1984).

[19] S. Datta, M.R. Melloch, S. Bandyopadhyay, R. Noren, M. Vaziri, M. Miller, and R. Reifenberger // Phys. Rev. Lett. 55, 2344 (1985).

[20] C. P. Umbach, S. Washburn, R. B. Laibowitz, and R. A. Webb // Phys. Rev. В 30, 4048(1984)

[21] R. A. Webb, S. Washburn, C. P. Umbach, and R. B. Laibowitz // Phys. Rev. Lett. 54, 2696(1985)

[22] V. Chandrasekar, M. J. Rooks, S. Wind, and D.E. Prober // Phys. Rev. Lett. 55, 1610

(1985).

[23] S. Pedersen, A. E. Hansen, A. Kristensen, С. B. Sorensen, and P. E. Lindelof // Phys. Rev. В 61, 5457 (2000)

[24] M. Bayer, M. Korkusinski, P. Hawrylak, T. Gutbrod, M. Michel, and A. Forchel // Phys. Rev. Lett. 90, 186801 (2003)

[25] A. A. Bykov, A. K. Bakarov, L. V. Litvin, and A. I. Toropov // JETP Letters, Vol. 72, No. 4, 2000, pp. 209-212

[26] S. Russo, J.B. Oostinga, D. Wehenkel, H.B. Heersche, S. S. Sobhani, L. M. K. Vandersypen, and A. F. Morpurgo // Phys. Rev. В 77, 085413 (2008).

[27] В. Lassagne, J-P. Cleuziou, S. Nanot, W. Escoffier, R. Avriller, S. Roche, L. Forro, B. Raquet, and J.-M Broto // Phys. Rev. Lett. 98, 176802 (2007)

[28] Yiming Zhang, D. T. McClure, E. M. Levenson-Falk, and С. M. Marcus, L. N. Pfeiffer and K. W. West // Phys. Rev. В 79, 241304 (2009)

[29] M. Buttiker, Y. Imry, and M.Ya. Azbel // Phys. Rev. A 30, 1982 (1984)

[30] Y.Gefen, Y. Imry, and M.Ya. Azbel // Phys. Rev. Lett. 52, 129 (1984)

[31] Qiming Li and С. M. Soukoulis // Phys. Rev. В 33, 7318 (1986)

[32] M. Murat, Y. Gefen, and Y. Imry // Phys. Rev. В 34, 659-668 (1986)

[33] Jian-Bai Xia // Phys. Rev. В 45, 3593 (1991)

[34] B.A. Гейлер, B.B. Демидов, B.A. Маргулис // ЖТФ, 2003, том 73, вып. 6

[35] M.V. Moskalets // Low Temp. Phys. 23, 824 (1997).

[36] K.-K. Voo, C.S. Chu // Phys. Rev. В 72, 165307 (2005)

140

[37] Y.S. Joe, A.M. Satanin, G. Klimeck // Phys. Rev. В 72, 115310 (2005)

[38] V. Vargiamidis, H.M. Polatoglou // Phys. Rev. В 74, 235323 (2006).

[39] M.A. Kokoreva, V.A. Margulis, M.A. Pyataev // Physica E, Vol. 43, Iss. 9, 1610 (2011)

[40] R. Landauer // IBM J. Res. Dev. 1, 223 (1957)

[41] Б. Л. Альтшулер, А. Г. Аронов, Б. 3. Спивак // Письма в ЖЭТФ 33, 101 (1981)

[42] М. Buttiker, Y. Imry, R. Landauer, and S. Pinhas // Phys. Rev. В 31, 6207 (1985).

[43] Y. Aharonov and A. Casher // Phys. Rev. Lett. 53, 319 (1984)

[44] A. Cimmino, G. I. Opat, A. G. Klein, H. Kaiser, S. A. Werner, M. Arif, R. Clothier // Phys. Rev. Lett. 63, 380-383 (1989).

[45] Y.Meir, Y. Gefen, and O. Entin-Wohlman // Phys. Rev. Lett. 63, 798 (1989)

[46] A. Stern // Phys. Rev. Lett. 68, 1022 (1991)

[47] A. G. Aronov and Y. B. Lyanda-Geller // Phys. Rev. Lett. 70, 343 (1993)

[48] M. V. Berry // Proc. R. Soc. London А 392, 45 (1984).

[49] Т. Z. Qian and Z. B. Su // Phys. Rev. Lett. 72, 2311 (1994)

[50] J. Nitta, F. E. Meijer, and H. Takayanji // Appl. Phys. Lett. 75, 695 (1999)

[51] D. Frustaglia and K. Richter // Phys. Rev. В 69, 235310 (2004)

[52] В. Molnar, F. M. Peeters, and P. Vasilopoulos // Phys. Rev. В 69, 155335 (2004)

[53] U. Aeberhard, К. Wakabayashi, and M. Sigrist // Phys. Rev. В 72, 075328 (2005)

[54] R. Citro, F. Romeo, and M. Marinaro // Phys. Rev. В 74, 115329 (2006)

[55] А. A. Kovalev, M. F. Borunda, Т. Jungwirth, L. W. Molenkamp, and J. Sinova // Phys. Rev. В 76, 125307 (2007)

[56] F. Romeo, R. Citro, and M. Marinaro // Phys. Rev. В 78, 245309 (2008)

[57] A.M. Lobos and А. A. Aligia // Phys. Rev. Lett. 100, 016803 (2008)

[58] M. Pletyukhov and U. Zulicke // Phys.Rev.B 77, 193304 (2008)

[59] V. Moldoveanu and B. Tanatar // Phys. Rev. В 81, 035326 (2010)

[60] A. Aharony, Y. Tokura, G. Z. Cohen, O. Entin-Wohlman, and S. Katsumoto // Phys. Rev. В 84, 035323 (2011)

[61] Р. Michetti and P. Recher // Phys. Rev. В 83, 125420 (2011).

[62] Т. Bergsten, Т. Kobayashi, Y. Sekine, and J. Nitta // Phys. Rev. Lett. 97, 196803 (2006)

[63] M.Konig, A. Tschetschetkin, E.M.Hankiewicz, J. Sinova,V.Hock, V. Daumer, M. Schafer, C. R. Becker, H. Buhmann, and L. W. Molenkamp // Phys. Rev. Lett. 96, 076804 (2006)

[64] A. P. Dmitriev, I. V. Gornyi, V. Yu. Kachorovskii, D. G. Polyakov // Phys. Rev. Lett. 105, 036402 (2010)

[65] A. P. Dmitriev, I. V. Gornyi, V. Yu. Kachorovskii, D. G. Polyakov // arXiv:0911.091 lv2.

[66] Г.Б. Лесовик, И.А. Садовский // УФН 181, 1041-1096 (2011)

[67] Ю.А. Бычков, Э.И. Рашба // Письма в ЖЭТФ, 39 (2), 66-69 (1984)

[68] Erhu Zhang, Shengli Zhang, and Qi Wang // Phys. Rev. В 75, 085308 (2007)

[69] Т. Story and R. R. Gal^zka, R. B. Frankel and P. A. Wolff// Phys. Rev. Lett. 56, 777 (1986)

[70] H. Ohno, H. Munekata, T. Penney, S. von Molnar, and L. L. Chang // Phys. Rev. Lett. 68, 2664 (1992)

[71] H. Ohno, A. Shen, F. Matsukura, A. Oiwa, A. Endo, S. Katsumoto, and Y. Iye // Appl. Phys. Lett. 69, 363 (1996)

[72] A. Haury, A. Wasiela, A. Arnoult, J. Cibert, S. Tatarenko, T. Dietl, and Y. Merle d'Aubigne // Phys. Rev. Lett. 79, 511 (1997)

[73] T. Dietl, A. Haury, and Y. Merle d'Aubigne // Phys. Rev. В 55, 3347 (1997)

[74] H. Ohno // Science 281, 951 (1998).

[75] M. Linnarsson, E. Janzen, B. Monemar, M. KleverMan, and A. Thilderkvist // Phys. Rev. В 55, 6948 (1997)

[76] J. Szczytko, A. Twardowski, K. Swi^tek, M. Palczewska, M. Tanaka, T. Hayashi, K. Ando // Phys. Rev. В 60, 8304 (1999)

[77] J. A. Gaj, R. Planel, G. Fishman // Sol. Stat. Commun. 29, 435 (1979).

[78] T. Jungwirth, Jairo Sinova, J. Masek, J. Kucera, A. H. MacDonald // Rev. Mod. Phys. 78, 809 (2006)

[79] F. J. Teran, M. Potemsky, D. K. Maude, D. Plantier, А. К .Hassan, A. Sachrajda, Z. Wilamowsky, J. Jaroszynski, T. Wojtowicz and G. Karczewski // Phys. Rev. Lett. 91, 077201 (2003).

[80] M. Vladimirova, S. Croneberger, P. Barate, D. Sealbert, F. J. Teran, А. P. Dmitriev // Phys. Rev. В 78, 081305 (2008).

[81] J. Konig and А. H. Macdonald // Phys. Rev. Lett. 91, 077202 (2003).

[82] А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский, "Спиновые волны", Москва, "Наука", 1967.

[83] Ф. Платцман, П. Вольф "Волны и взаимодействия в плазме твердого тела", Москва, "Мир", 1975.

[84] В. Jusserand, F. Perez, D.R. Richards, G. Karczewski, T. Wojtowicz, C. Testelin, D. Wolverson and J. J. Davies // Phys. Rev. Lett. 91, 086802 (2003).

[85] F. Perez, Phys. Rev. В // 79, 045306 (2009).

[86] D. Frustaglia, J. König and A.H.MacDonald // Phys. Rev. В 70, 045205 (2004).

[87] Jürgen König, T. Jungwirth, and А. H. MacDonald // Phys. Rev. В 64, 184423 (2001).

[88] Mona Berciu, R. N. Bhatt // Phys. Rev. В 66, 085207 (2002).

[89] Y. G. Semenov // Phys. Rev. В 67, 115319 (2003).