Спиновые и электромагнитные возбуждения в графене тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Ахмед Абдуллахи Баппах

• Ахмед Абдуллахи Баппах
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Ахмед Абдуллахи Баппах

Глава

2.1. Введение-------------------------------------------------------------------------39

2.2. Спиновые возбуждения в графене-----------------------------------------40

2.3. Взаимодействие графена с однородным магнитным полем----------46

Глава

3.1. Введение------------------------------------------------------------------------53

3.2. Взаимодействие монослойного графена с ортогональным магнитным полем-------------------------------------------------------------------------------54

3.3. Поведение магнитного поля в центральной области------------------59

Глава

4.1. Выводы--------------------------------------------------------------------------67

4.2. Личный вклад автора---------------------------------------------------------68

ЛИТЕРАТУРА--------------------------------------------------------------------------69

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спиновые и электромагнитные возбуждения в графене»

ВВЕДЕНИЕ

Графен, однослойный графит, предоставил много возможностей для физики изучить интересные аналогии в релятивистской квантовой механике. Графит состоит из шестиугольных ячеек на углеродных листах (графен), которые наложены друг на друга, но в то время считалось, что одиночный лист не мог быть получен в изолированном виде, с тем, что с ним могли быть выполнены электрические измерения. Графен (рис.1) является одним из самых известных и обсуждаемых материалов в современном мире; в 2010 году Нобелевскую премию по физике получили два ученых, которые внесли решающий вклад в развитие этой области исследований. Эти ученые Андре К. Гейм и К. С. Новоселов, из университета Манчестера, в Великобритании. Они преуспели в производстве, изолировании, идентификации и измерении характеристик графена.

Рис. 1. Графен

"Графен прочнее и жестче, чем алмаз, но может быть растянут на четверть своей длины, как резина. Его поверхность является наибольшей для своего веса" (Андрей Гейм).

Теория графена впервые развита П. Р. Уоллесом в 1947 году. В качестве отправной точки для понимания его электронных свойств он использовал графит. Уоллес заметил, что теоретически графеновые дисперсионные

кривые содержат пару безмассовых Дираковских К-конусов. Конусы Дирака в настоящее время наблюдаются экспериментально с АРПЭС (хорошим угловым разрешением фото-эмиссионной спектроскопии). На безмассовые возбуждения типа Дирака впервые указал Гордон Уолтер Семенов, а также Давидчензо и Евгений Ж. Меле.

Семенов подчеркнул появление линий в магнитном поле на электронном уровне Ландау именно в точке Дирака (Шарапов, С. 2005 г.). Экспериментальное и теоретическое исследование графена как двумерной структуры стало чрезвычайно быстро развивающейся областью и привлекает большой интерес исследователей из-за необычайных свойств, касающихся магнетизма и высокой электропроводности. Графен состоит из атомов углерода, расположенных наподобие пчелиных сот, имеющих вид шестиугольников. Эту шестиугольную ячейку можно рассматривать как состоящую из бензольного кольца с удаленными атомами водорода (Полинг,1972). Несмотря на углеродный, т.е. совершенно немагнитный состав, этот материал имеет некоторые магнитные свойства. Подключение магнетизма к длинному списку возможностей графена осуществляется с момента его первого получения в 2004 году Геймом и Новоселовым. То, что делает уникальным графен, это не только бесщелевые состояния, но и особые хиральной природы состояния электрона, так называемая гибридизация 8р-состояний и очень тонкая атомная толщина 0.345 Нм.

Эти свойства делают графеи рекордсменом с точки зрения прочности и электропроводности. Данное исследование имело целью построение феноменологических подходов к описанию графена, инициированных работами Ю.П. Рыбакова.

Но что самое интересное, мы обнаружили, что для чисто углеродной системы графен возможно проявление магнетизма. В данной работе все исследования проводились на основе модели, получившей название "Киральная модель графена", которая является обобщением скалярной киральной модели графена на случай включения 8-спинорной полевой переменной для описания спиновых и квази-спиновых возбуждений в графене. Плотность лагранжиана модели будет построена с использованием принципа положительности энергии, а электромагнитное взаимодействия будет введено через расширение производных (калибровочный принцип), а также путем включения прямого взаимодействия Паули, чтобы учитывать наличие магнитного момента электрона.

Диссертация имеет следующую структуру. В первой главе мы рассмотрели некоторый исторический обзор свойств графена, а также материалы некоторых исследований в области теории монослоя и бислоя графена. Мы хотели бы представить некоторые основные теории магнетизма, и наши усилия будут направлены на описание спин-

магнетизма в графене. При этом буден дан обзор некоторых теоретических и экспериментальных исследований. Далее будут сформулированы некоторые принципы для построения киральной модели графена. Мы начинаем со случая простейшей конфигурации, соответствующей идеальной графеновой плоскости. Затем мы рассмотрим случай ряби на поверхности графена и, наконец, также будут изучены углеродные нанотрубки.

В Главе 2 диссертации мы хотели бы ввести спин в нашу модель, что сопровождается описанием спиновых и квази-спиновых возбуждений в графене С этой целью мы ввели Дираковские спиноры и у2 и интерпретируем их как возбуждения двух треугольных под-решеток в графене. Это в дальнейшем позволит получить правильное описание взаимодействия с электромагнитным полем

Глава 3 будет посвящена изучению поведения магнитного поля в центральной области графенового материала, с помощью метода функции Грина, чтобы получить решение в пределе слабого магнитного поля. Полученный результат будет обсуждаться далее в главе 4, подводящей итоги нашему исследованию спиновых и магнитных возбуждений в графене. Мы хотели бы представить некоторые выводы и дальнейшие применения модели.

Материал углерод

Углерод берет свое название от латинского «порожденный углем». Этот элемент уникален тем, что его электронная структура приспособлена для гибридизации, чтобы построить пакет состояний SP3, SP2 и SP и, следовательно, сформировать более известные стабильные аллотропные конфигурации, чем любой другой элемент. Наиболее распространенный из аллотропных форм углерода (рис.2) это графит, который является натуральным минералом. Карандаш содержит графит и когда он движется по бумаге, графит расщепляется на тонкие слои, что в конечном итоге на бумаге и составляв текст или рисунок, который мы пытаемся получить. Небольшая часть из этих тонких слоев будет содержать только несколько слоев или даже один слой графита, то есть графен (рия.2)

Diamond Graphene

Fullercne tC60) SWCNT

figure t Svurtire of swne represent»»* ration adatrcces

Рис 2. Структура некоторых аалотропных модификаций углерода. Источник: Bargal analytical instruments.

Если предложить синтезировать графит путем накопления графеновых листов, то это потребует бесконечного терпения. Хотя графен и является прародителем для всех различных аллотропных модификаций, он был изолирован лишь спустя 440 лет после его изобретения (Новоселов и соавт., 2004). Графит состоит из SP2 гибридизированных атомных слоев углерода, которые сложены вместе, на основе сил Ван-дер-Ваальса. Один слой атомов углерода, плотно упакованных в двухмерную гексагональную решетку, получил название графен.

Таблица 1. Материалы на углеродной основе

Material Structure Bonding

Diamond 3D crystal Involves SP3 hybridization

Graphite 3D crystal Involves SP2 hybridization

Graphene 2D Single graphite Involves SP2 hybridization

Graphene 2D polymer Involves SP3 hybridization

Монослой Графена: Графен, слой атомов углерода, упакованных в гексагональную (ячеистые) решетку, с углерод-углеродным расстоянием 0.142 нм. Это первый по-настоящему двумерный кристаллический материал, и он является представителем целого класса 2D материалов, включая, например, слои Нитрида Бора, которые были выпущены после 2004 года (Филлипс, 2004). Графен - слой графита (рис.3), один из самых известных и обсуждаемых материалов в современном мире, состоит из атомов углерода, расположенных в гексагональные структуры, которые можно рассматривать как состоящие из бензольного кольца с удаленными атомами водорода. Чистый углерод, естественно, состоит из двух разных кристаллических материалов, алмаза, в котором все связи между атомами углерода одинаковы, и графита с двумя различными типами связи между атомами . В последнем случае существует сильная ковалентная связь между шестиугольно расположенными SP2 гибридизированными атомами углерода в каждом слое и слабые Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия между самими листами (Рави.С. С., 2011), Графен является чистой (2Д) формой углерода, которая выглядит как один лист из атомов углерода. Графит является высоко анизотропным 3D кристаллом, состоящим из наложенных друг на друга слоев графена. Эти кристаллы

могут либо иметь гексагональную (аЬаЬаЬ...) или ромбоэдральную (АВСАВС...) укладки.

Рис. 3. Слева направо: слои графена (графита) и монослой графена

Графен может быть получен путем преодоления Ван-дер-Ваальсовых сил, связей между слоями графита. В общем случае углерод - элементарный строительный блок всех органических молекул и, следовательно, несет ответственность за жизнь на Земле. Физика получения графена в настоящее время уже разработана, а графен рассматривается как один из наиболее перспективных материалов в области физики конденсированных сред. Выделяет графен несколько факторов. Прежде всего, топологические свойства и киральная симметрия в графене являются фундаментальными в физике графена. А именно, графен - это не просто бесщелевой полупроводник, с дисперсионной кривой типа безмассовой дираковской частицы, но он обладает топологической, а также киральной симметрией, порождающими различные физические свойства графена. Еще одно важное наблюдение состоит в том, что подвижность электронов в графене примерно в десять раз выше, чем подвижность коммерческих кремниевых

дгарМе

дгарИепе

пластин, и электроны могут перемещаться на огромные расстояния в 300 нм или даже больше без рассеяния. Эти замечательные свойства делают графен потенциальной заменой кремния в электронике (ЕКЛЦЫ, Женю, & Ян ЦЗИНЬЛУН, 2008). Электронная подвижность графена больше, чем для любого известного материала, и исследователи разрабатывают методы создания транзисторов на графене, которые будут более быстродействующими, чем транзисторы, в настоящее время построенные на кремниевых пластинах. Слои графена, сложенные в форме графита в так называемые Берналь -укладки, характеризуются следующей атомной структурой. Если два эквивалентных атома, сидящих в графене, имеют имена А и В, то соответственно, верхний слой будет иметь Б атомы, сидящие прямо над атомами нижнего слоя, а атом верхнего слоя будет сидеть над центрами гексагонов графенового подслоя. Би-слой графена характеризуется гиперболической энергией рассеяния его массивных киральных фермионов. В присутствии магнитного поля уровни Ландау в последовательности для идеального Берналь- набора в образце графена определяются по формуле:

где m* - эффективная масса носителей тока, B - магнитное поле, e-зapяд

электрона, ^ 0,1,2,3..... Графен является уникальным собранием

носителей заряда квазирелятивистских частиц и описывается уравнением Дирака, а не уравнением Шредингера в релятивистской форме.

Основные характеристики графена:

Прежде чем была получена изолированная монослойная конфигурация атомов углерода (графен) в 2004 году, теоретически считалось, что двумерных соединений не может существовать из-за тепловой неустойчивости. После получения графена, стало ясно, что это было на самом деле возможно, но потребовалось некоторое время, чтобы выяснить, как именно это происходит. Однако позднее исследователи предположили, что это было на самом деле из-за того, что углеродные связи в графене настолько сильны, что они избавляют тепловые колебания от дестабилизации.

Проводимость в Графене:

Отсутствие запрещенной зоны в графене не дает возможности для адаптации метода расщепления, который обычно используется в полупроводниках, в графене. Формирование квази - транспортного канала в графене наблюдается экспериментально (Накада, и соавт., 1996); распространение электронов вдоль канала очень чувствительно к пограничным расстройкам в связи с отсутствием последствий разрушения переносчиков возле краев. Теплопроводность графена значительно

уменьшается, когда материал находится в контакте с субстратом или ограничен нанолентами. Согласно (Поп и соавт. 2012) такое поведение не ожидается, учитывая, что распространение фононов в атомарно тонких листах графена, скорее всего, будет очень чувствительно к поверхности возмущения.

Электронные свойства графена:

Одним из самых интересных и полезных свойств графена является нулевая полуметаллическая щель (как для дырок, так и для электронов как носителей заряда), приводящая к очень высокой электропроводности. Атом углерода имеет 6 электронов; 2 во внутренней оболочке и 4 на внешней оболочке, внешняя оболочка электронов в отдельном атоме углерода доступна для химического связывания, но в графене, каждый атом соединен с другими 3 атомами углерода на 2D плоскости, а 1 электрон свободен в третьем измерении, порождая электронную проводимость. Эти высоко мобильные электроны называются пи(п)-электронами и располагаются выше и ниже листа графена. Эти пи-орбитали перекрываются и способствуют повышению углерод-углеродных связей в графене. Электронные свойства графена определяются склеиванием валентной зоны и зоны проводимости Пи-орбиталей. В отчете Иисуса де ля Фуэнты отмечается, что что графеновые электроны очень похожи на фотоны в их мобильности из-за

отсутствия массы. Эти носители заряда могут путешествовать на субмикронные расстояния без рассеяния; - явление, известное как баллистический транспор Исследования за последние 50 лет показали, что точка Дирака в Графене означает, что электроны и дырки обладают нулевой эффективной массой. Это происходит потому, что дисперсионная кривая относительно линейна для малых энергий около 6 отдельных углов зоны Бриллюэна.

Механическая прочность графена

Еще одним важным свойством графена является его внутренняя прочность. Благодаря силе своей 0.142 Нм углеродной связи, графен является самым прочным материалом из когда-либо обнаруженных, с типичной прочностью на растяжение 130,000,000 Паскаля по сравнению с 400,000,000 для А36 конструкционной стали. Часто говорят, что один листа графена (всего в 1 атом толщиной) достаточного, чтобы покрыть целое футбольное поле, весил бы всего один грамм. Особенность графена, в частности, состоит в том, что он обладает упругими свойствами, т.е. способностью сохранять свой первоначальную форму после деформации. Он также имеет уникальные оптические свойства; способность графена поглощать довольно большой процент (2,3%) белого света также уникальна, особенно учитывая, что это слой только в 1 атом толщиной. Это также связано с вышеупомянутыми электронныеми свойствами

графена; электроны ведут себя как носители заряда с очень высокой мобильностью.

Бислои Графена:

Графит состоит из укладываемых слоев графена. Различают кристаллический графит с двумя разными базовыми укладками и пено-графит с определенным количеством беспорядка в укладке. Для иллюстрации в графеновом би-слое расстояние между слоями составляет примерно 2,4 а=0.34 нм, и укладка такая, что атомы в верхнем слое размещены над центром шестиугольника нижнего слоя (Жан-Ноэль, и соавт., 2008). Большинство уникальных свойств бислоя графена происходит от структуры решетки. Би-слой графена состоит из двух сопряженных моно-слоев графена. Существует два механизма укладки бислоя графена, в зависимости от ориентации моно-слоев:

• АА- штабелировать

• АБ Берналь- штабелировать

• Эти две возможности можно увидеть на рис.4, для нижних энергетических возбуждений в двухслойных графеновых массивах с параболической дисперсией. Свойства бислоя графена получаются в соответствии с предположением, что укладка двух слоев формы в

выше-перечисленные укладки, которые наиболее распространены в графите (Сантос, и соавт., 2007). Гамильтониан бислоя графена в поперечном магнитном поле описывается 4*4- матрицей, которая в перпендикулярном магнитном поле на Ферми-поверхности принимает вид:

Я

= (тт+ 0 )

В случае матрицы 4x4 с АА укладкой она выражается так:

Я,

(АА) _

0 о 1

0 0

& 0 0

0 0 )

Для АБ Берналь -укладки

Я

(ЛВ) _

£

0 0 0 1

0 0

0 0

0 0 0)

Рис.4 Укладка би-слоя графема, состоящая из 2 связанных монослоев графена: (a) AA укладка; (b) AB -Берналь-укладка. Каждый слой включает два эквивалентных атома A и B, с интегралами

перекрытия You Yi соответственно (Barlas, Yang, & MacDonald, 2012).

Оба гамильтониана выражаются через Фб^ Фа2> 1Рв2)Т Для K -долины

Т

(С = 1) и (Фв2,Фа2,Фв1,Фа1) Для долины K' (f = -1), где 'T' -транспонирование вектора. Здесь A1,B1 и A2,B2 соответствуют субрешеткам моно-слоев 1 и 2 соответственно.

Цели исследования:

• Несмотря на то, что графен имеет некоторые магнитные свойства, это не магнитный материал, что создает проблемы в теории графена. Таким образом, это побуждает нас осуществить настоящее исследование.

• Применение киральной модели графена позволит получить некоторые топологические решения в графене, изучить возможность скручивания и изгиба графена с использованием предложенной модели.

• Для проверки применимости "киральной модели графена" для исследования спиновых и электромагнетных характеристик в графене.

• Целью данного исследования является изучение поведения графеновой плоскости во внешнем магнитном поле, ориентированном вдоль и перпендикулярно и перпендикулярно плоскости графена, поскольку магнетизм в системе графена является крайне анизотропным.

• Данное исследование направлено на установление возможности введения парамагнитного центра в системе графена.

Методология:

Модель, принятая для анализа, а именно, "Киральная модель графена" является обобщением скалярной киральной модели графена, путем введения 8-спинорной полевой переменной для описания спиновых и квази-спиновых возбуждений в графене. Плотности лагранжиана модели будут построены с использованием принципа положительности энергии. Электромагнитное взаимодействие включается с помощью принципа калибровочной инвариантности, а также путем включения прямого взаимодействия Паули для учета магнитного момента электрона.

Киральную модель Графена можно рассматривать как строительный блок для многих из аллотропных форм углерода. Это двумерный кристалл с гексагональной структурой, состоящей из двух треугольны подрешеток. Для изолированного атома углерода имеем (15)2(25)2(2Р)2 состояния в а в случае графена наблюдается Б, Рх, Ру- гибридизация орбиталей в Бр2.

Каждый атом связан с тремя ближайшими соседями через сильную а связь, которая ориентирована в плоскости графена с соседями, разделенными расстоянием a=1.42 под углом до 120°. а -связь есть результат Бр2 гибридизации, 2рх и 2ру орбиталей трех валентных электронов.

Оставшаяся spz -связь ориентирована перпендикулярно плоскости графена (Рис.5), поэтому атомы в графене расположены в виде гексагональной решетки.

Fig.5 бгот (Б, 2006)

Три электрона каждого атома углерода в графене участвуют в формировании крепких ковалентных а-связей, а один из электронов на каждый атом отвечает за п-связь. П - электроны ответственны за электронные свойства при низких энергиях, в то время как а-электроны образуют энергетические полосы вдали от Ферми-поверхности.

Кажется естественным ввести скаляр а0 и 3- вектор а, соответствующие s- и р-состояниям 'свободного' электрона. Эти две величины могут быть объединены в унитарную матрицу и £ БИ (2), рассматриваемую как параметр порядка модели, принимаемую в приближении длинных волн.

и = а0 т0+1а.т, (1)

где т0 - удиничная 2x2 матрица и т - три матрицы Паули с Б и (2) -условием а02 + а2 = 1.

Магнетизм в графене:

Чистый графит, как известно, является одним из наиболее диамагнитных материалов, хотя магнитная восприимчивость графита и других углеродных структур чрезвычайно анизотропна. Таким образом, магнитная восприимчивость любой углеродной аллотропии, как было выяснено, очень чувствительна к энергетической структуре соответствующей группы. Это означает, что их магнитные свойства могут быть изменены при изменении энергетической структуры группы. Идеальный графен, как известно, является диамагнетиком по своей природе (Аптига, и др., 2012), однако, из-за присутствия краев и других дефектов, реальный графен, как и графит, могут обнаружить парамагнетизм или даже наличие взаимодействующих магнитных моментов. Если магнетизм происходит из-за дефектов в одной

подрешетке, возможно создание параллельных магнитных структур (ферромагнетизм). Другой источник для возникновения наведенных магнитных моментов и магнитного порядка может происходить из-за локализованных состояний на краях графена. Углеродные структуры, которые состоят из зигзагообразных краев, могут быть магнитными, потому что в локализованном электронном возбуждении зигзагообразных лент возможна поляризация, что приводит к ферромагнетизму. В целом почти все дефекты могли бы привести к возникновению магнитных моментов из-за возмущений в графеновой структуре. (Антон Комелев, 2015) (Mikhailov, 2011).

Спин:

Самая общая математическая форма спинора была обнаружена Эли Картеном в 1913. Слово "Spinor" было придумано П. Эренфестом в его работе по Квантовой Физике. Спиноры были сначала применены к квантовой физике В. Паули в 1927, когда он ввел свои матрицы вращения, которые являются набором из трех 2 X 2 матриц, которые являются эрмитовыми и унитарными. Обычно обозначаемые греческой буквй (а), они иногда обозначаются Tau (т), когда используеются в связи с симметриями, которые они порождают:

Ъ = аУ = {° о1)

(1 О Л

Матричное представление спинового оператора вращения может тогда быть записано как

1

Б =-Па;

о = ёх<гх + еуОу + егог (8)

В теории Паули собственные значения оператора ох получаются из уравнения

<гхф = ссф

где а-величина собственного значения ах в состоянии у

(9)

■ф1 0 1

и <гх = -1 0

Ф =

Поэтому оператор Паули должен быть двух- компонентной матрицей. Таким образом, самая простая у -функция Паули имеет вид

(10)

, = (^1 (х,у,г))

(11а)

или 22

= [Ф1 ^

(11Ь)

Если операторы Дирака должны включать 4 на 4 матрицы, то функция Дирака должна иметь четыре компоненты, т.е. должна иметь вид

Ф>2 Фз

(12)

Также 4-Спинорные представления записывают как:

иэ

Или мы можем записать их через 2- спиноры как дублеты

(13)

Мы, наконец, отметим, что компоненты фг, ф2 и Х\> /2.из 2-спиноров ф и х, соответственно, соответствуют различным возможным состояниям спина. Поэтому для того, чтобы лучше понять возбуждения треугольных подрешеток в графене, мы использовали Спинор Дирака для простого описания соответствующих возбуждений, которые будут изучены в главе 3.

Глава 1 1.1. Введение

Как мы уже говорили в начале нашего введения, атом углерода в графене связывается в гексагональной решетке из-за SP гибридизации связей. Следует также напомнить, что атом углерода имеет четыре валентных электрона в гибридизированных СП-состояниях: один из них, будучи "свободным" в графеновой решетке, а три оставшиеся образуют СП-связ с соседями (Рыбаков, 2012а, стр. 59-62), это служит основой концепции модели. В этой главе мы будем опираться на "Киральную модель графена" для исследования Спиновых и магнитных возбуждений в графене. Предлагаемая киральная модель графена позволяет описать структуру реальной поверхности графена.

Матрица V = а0т0 + ¿(ат) была рассмотрена в качестве параметра порядка, здесь т0, т - соответствующие матрицы Паули а0,а —скалярные и векторные поля: + а2 = 1, описывают эффект гибридизации, s-и р-свободного валентного электрона в моно-атомной углеродной плоскости.

Эта глава состоит из трех разделов:

• скалярная Киральная модель графена •

• двумерный Лист графена

• волны в графене

• углеродные нанотрубки

Предлагаемая киральная модель графена позволяет описать волновые структуры на реальной поверхности графена, иллюстрирующие Мермина-Вагнера нестабильность двумерной конфигурации. Она также содержит очень простое описание графена как доменной стенки и решений аксиального типа. Последние подтверждают наличие углеродных нанотрубок, а также взаимодействие с электромагнитным полем для описания электропроводности и магнитных свойств.

1.2. Скалярная киральная модель графена

Топологические и киральные свойства, присущие графену, имеют несколько причин, которые являются основой наших общих представлений о киральной модели с самого открытия моно-атомных слоев углерода под названием графен (Новоселов и др.,. 2004), (Гейм 2009,)]. Этот материал привлекает большой интерес исследователей из-за его необыкновенных свойств в отношении магнетизма, жесткости и высокой электрической и тепловой проводимости (Ли, и соавт,. 2008), (Баландин с соавт., 2008). Интересную связь графена была обнаружена с нанотрубками и фуллеренами (Ю, и соавт., 2010). Очень простое объяснение этих необычных свойств графена было предложено в работе (Семенова, 1984), где обсуждалась идея безмассовых Дирако-подобных возбуждений в углеродной решетке. Последняя рассматривается как

суперпозиция двух треугольных под-решеток. Некоторые феноменологическое развитие эта идея получила в работе (Рыбаков Ю.П., 2015). Как известно, атом углерода имеет четыре валентных электрона в так называемых гибридных sp2-cocтoянияx. Один из них является свободным в графене, а все остальные образуют СП-связи с соседями. Считается естественным ввести скалярное ао и 3 - векторное поля, которые соответствует s- и р-орбиталным состояниям "свободного" электрона. Объединение двух полей в унитарной матрице ие5и(2), которая рассматривается как параметр порядка в модели в длинноволновом приближении предполагает, что:

и = а0т0 + 1а • т (1.1)

где т0 является единичной матрицей 2x2 и т являются матрицами Паули, с SU (2) условием

а2 + а2 = 1 (1.2)

Удобно строить путем дифференцирования кирального поля в (1.1) левого кирального тока:

1^ = и+д^и (1.3)

где ц принимает значения 0,1,2,3 и д ^ обозначает производные по времени х0 и пространственным координатам х1, 1=1, 2, 3.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ахмед Абдуллахи Баппах, 2017 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Abanin D.A., Lee P.A. and Levitov L.S. [Journal], - [s.l.] : Phys. Rev. Lett, 2006. - Vol. 96.

2. Apalkov V. [et al.] Properties of graphene: a theoretical perspective [Journal]. - [s.l.] : Advances in Physics, 2010. - 4 : Vol. 59.

3. Rybakov Yu P.//Solid State Phenomena, v.190.2012, P.59-62.

4. Barlas Yafis, Yang Kun and MacDonald A H Quantum Hall effects in graphene-based two-dimensional electron systems [Journal]. - [s.l.] : IOP Publishing Ltd , 2012. - 5 : Vol. 23.

5. Belle Dume Unzipped Graphene [Report]. - [s.l.] : Physicsword.com, 2011.

6. Berashevich J [et al.] Properties of graphene: a theoretical perspective [Journal]. - [s.l.] : Advances in Physics, 2010. - 4 : Vol. 59.

7. C.L Kane and E.J. Male [Journal]. - [s.l.] : Phy.Rev.Lett, 2005. - 226801 : Vol. 95.

8. Castro A.H The electronic properties of graphene [Journal]. - [s.l.] : Rev.Mod , 2009. - Vol. 81.

9. Chakraborty Tapash and Vadim Apalkov Aspect of the fractional Quantum Hall Effect in Graphene [Journal]. - [s.l.] : Nano Science and technology, 2014.

10. Chao Jiang, Xue-Feng Wang and Ming-Xing Zhai Spin negative differential resistance in edge doped zigzag graphene nanoribbons [Journal]. - [s.l.] : Think Carbon, 2014. - 68.

11. Chou M-Y The role of defects and doping in 2D graphene sheets and 1D nanoribbons [Journal]. - [s.l.] : Reports on Progress in Physics, 2012. - 6 : Vol. 75.

12.D Kuzm In, I BYC HKOV and V Shavro Electromagnetic waves Absorbtion by Graphene-Magnetic semiconductor multilayerd nanostructure in external magnetic fielf: Voight Geometry [Report]. - [s.l.] : Procedings at the Europen conference physics of magnetism, 2oo14.

13.David Valenzuela [et al.] Graphene transparency in weak magnetic fields [Journal]. - [s.l.] : Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2015.

14.E McCann Asymmetry gap in the electron band structure of bilayer graphene [Journal]. - [s.l.] : Phys. Rev B, 2006. - 161403 : Vol. 74.

15.ERJUN KAN, ZHENYU LI and JINLONG YANG YANG

MAGNETISM IN GRAPHENE SYSTEMS [Journal]. - [s.l.] : NANO , 2008. - Issue 06 : Vol. 03.

16. Gao-Yong Sun and Su-Peng Kou Possible anomalous spin dynamics of the Hubbard model on a honeycomb lattice [Journal]. - [s.l.] : Journal of Physics: Condensed Matter, 2011. - 4 : Vol. 23.

17. Ghosal A, Goswami P and Chakravarty S [Journal]. - [s.l.] : Phy.Rev.B75, 2007. - 15123.

18. Guangquan Wang [et al.] Emergent spin liquids in the hubbard model on the anisotropic honeycomb lattice [Journal]. - [s.l.] : Europhysics Letters Association, 2011. - 4 : Vol. 95.

19.Hongki Min [et al.] Pseudospin magnetism in graphene [Journal]. - [s.l.] : American Physical socity , 2008. - 4 : Vol. 77.

20.Jing-Jing Chen [et al.] magnetic moments in graphene with vacancies [Journal]. - [s.l.] : Nanoscale, 2014. - 6.

21. Kikuo Harigaya Mechanism of magnetism in stacked nanographite [Journal]. - [s.l.] : arXiv.Cond-matter/00/0043, 2000. - Vol. 2.

22. Kittel C Introduction to solid state Physics [Book]. - [s.l.] : Wiley & Sons, , 2005. - Vol. I.

23. Kosevich A.M, Ivanov B.A and Kovalev A.S Nonlinear Magnetization Waves. Dynamical and Topological Solitons[Book]. - Kiev: Naukova Dumka, 1988. - Vol. I.

24. Koshino M [Journal]. - [s.l.] : Phys. Rev. B 84 125427, 2011.

25.Lado J.L, Garcia-Martinez N and Fernandez-Rossier J Edge states in graphene-like systems [Journal]. - [s.l.] : arXiv.org > cond-mat > arXiv:1502.07112, 2015.

26.Margherita Sepioni Magnetic Properties of graphene [Report]. - [s.l.] : School of Physics and Astronomy, 2012.

27.Margherita Sepioni Magnetic properties of graphene [Conference]. - [s.l.] : School of Physics and Astronomy , 2012.

28.McCann Edward and VladimirI.Fal'k0 Weak Localised and Spin-Orbit Coupling in Monolayer and Bilayer Graphene [Journal]. - [s.l.] : Spinger,

2014.

29.Melo W.S, Guerini S and Diniz E.M Graphene nanoribbons production from flat carbon nanotubes [Journal]. - [s.l.] : Journal of Applied Physics,

2015. - 18 : Vol. 118.

30.Mikhailov Sergey Physics and Application of graphene-theory [Book]. -[s.l.] : inTech, 2011.

31.Mikito Koshino and Tsuneya Ando Diamagnetism in disordered graphene [Journal] // arXiv:0705.2322 [cond-mat.mes-hall. - 2007. - p. 8.

32.Muge Acik and Yves J. Chabal Nature of Graphene Edges: A Review [Journal]. - [s.l.] : Japanese Journal of Applied Physics, 2011. - Vol. 50.

33.Nakada K [et al.] Edge state in graphene ribbons [Journal]. - [s.l.] : Phy.Rev.B54, 1996.

34.Novoselov K.S [et al.] The electronic properties of graphene [Journal]. -[s.l.] : Rev. Mod. Phys. , 2009. - 109 : Vol. 81.

35. Philip Kim Graphene and Relativistic Quantum Physics [Report]. - New york 10027, USA : Saminaire Pointcare, 2004.

36.Pisani L, J.A Chan and B Montanari Electronic Structure and magnetic properties of graphetic ribbons [Journal]. - [s.l.] : Phys.Rev, 2007. - 064418 : Vol. 75.

37. Rajput E.R R.K Material Science & Engineering [Book]. - India : S.K. Kataria, 2014. - p. 580.

38. Ren Hao [et al.] Edge Effects on the Electronic Structures of Chemically Modified Armchair Graphene Nanoribbons [Journal]. - [s.l.] : arXiv.org > cond-mat > arXiv:0711.1700, 2007. - Vol. 1.

39. Rybakov Yu P On chiral model of graphene [Journal]. - [s.l.] : Solid state phenomena, 2012. - Vol. 190.

40. Rybakov Yu P Spin Excitations in graphene [Report]. - Moscow : [s.n.], 2012.

41. Santos J. M. B. Lopes dos, N. M. R. Peres and Neto A. H. Castro

Graphene bilayer with a twist: electronic structure [Journal]. - [s.l.] : arXiv.org > cond-mat > arXiv:0704.2128, 2007.

42. Satya Prakash Electromagnetic Theory and Electrodynamics [Book]. -Meerut : KADAR NATH RAM NATH, 2015. - Vol. I.

43. Selinger J Introduction to the theory of soft matter from ideal Gases to liquid crystals [Book]. - [s.l.] : Springer, 2016.

44. T Ando [Journal]. - [s.l.] : Physica E, 2007. - Vol. 213.

45.Wakabayashi K [et al.] Peculiar localized state at zigzag graphite edge [Journal]. - [s.l.] : Phys.Soc.Jpn, 1996. - 65 : Vol. 7.

46.Weiss P.R and Slonczewski J.C Band Structure of Graphite [Book]. -[s.l.] : Phys.Rev, 1958. - Vol. 109.

47. Yasunori ARIMURA and Tsuneya ANDO Diamagnetism of Graphene with Gap in Nonuniform Magnetic Field [Journal]. - [s.l.] : Journal of the Physical Society of Japan, 2012. - 81 : Vol. 1.

48. Yuchen Ma [et al.] Magnetic properties of vacancies in graphene and [Journal]. - [s.l.] : New Journal of Physics , 2004. - 68 : Vol. 6.

49. Yuchen Ma [et al.] Nitrogen in graphite and carbon nanotubes: Magnetism and mobility [Journal]. - [s.l.] : Phys. Rev. B 72, 205416, 2005.

50.Akhukov, M. A., Katsnelson, M. I., & Fasolino, A. (2013). Structure and magnetism of disordered carbon. Journal of Physics: Condensed Matter, 25(25), 255301.

51.Boukhvalov, D. W., Katsnelson, M. I., & Lichtenstein, A. I. (2008). Hydrogen on graphene: Electronic structure, total energy, structural distortions and magnetism from first-principles calculations. Physical Review B, 77(3), 035427.

52. Chen, J.-J., Wu, H.-C., Yu, D.-P., & Liao, Z.-M. (2014). Magnetic

moments in graphene with vacancies. Nanoscale, 6(15), 8814-8821. doi:10.1039/C3NR06892G

53. Christian, T., & Hiromichi, K. (2003). Focus on Carbon Nanotubes. New Journal of Physics, 5(1).

54. Cortijo, A., Guinea, F., & Vozmediano, M. A. H. (2012). Geometrical and topological aspects of graphene and related materials. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 45(38), 383001.

55.Daniel, M., & Alexander, C. (2016). Strain-tuning of vacancy-induced magnetism in graphene nanoribbons. Journal of Physics: Condensed Matter, 28(4), 045302.

56.David, V., Saúl, H.-O., Marcelo, L., & Alfredo, R. (2015). Graphene transparency in weak magnetic fields. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 48(6), 065402.

57.Eduard, G. R. (2000). Methods for preparation of carbon nanotubes. Russian Chemical Reviews, 69(1), 35.

58.Esposito, S. (2015). Minimum light transmission in graphene in the presence of a magnetic field. Materials Research Express, 2(12), 125005.

59.Eva, Y. A., Guohong, L., & Xu, D. (2012). Electronic properties of graphene: a perspective from scanning tunneling microscopy and magnetotransport. Reports on Progress in Physics, 75(5), 056501.

60.Eva, Y. A., Guohong, L., & Xu, D. (2012). Electronic properties of graphene: a perspective from scanning tunneling microscopy and magnetotransport. Reports on Progress in Physics, 75(5), 056501.

61.Fan, X. F., Liu, L., Wu, R. Q., Peng, G. W., Fan, H. M., Feng, Y. P., . . . Shen, Z. X. (2010). The role of sp-hybridized atoms in carbon ferromagnetism: a spin-polarized density functional theory calculation. Journal of Physics: Condensed Matter, 22(4), 046001.

62.Fernández-Rossier, J., & Palacios, J. J. (2007). Magnetism in Graphene Nanoislands. Physical Review Letters, 99(17), 177204.

63.Fujita, M., Wakabayashi, K., Nakada, K., & Kusakabe, K. (1996). Peculiar Localized State at Zigzag Graphite Edge. Journal of the Physical Society of Japan, 65(7), 1920-1923. doi:10.1143/JPSJ.65.1920

64. Guangquan, W., Mark, O. G., Christian, M., & Benoît, G. (2011). Emergent spin liquids in the hubbard model on the anisotropic honeycomb lattice. EPL (Europhysics Letters), 95(4), 47013.

65.Humberto, T., Ruitao, L., Mauricio, T., & Mildred, S. D. (2012). The role of defects and doping in 2D graphene sheets and 1D nanoribbons. Reports

on Progress in Physics, 75(6), 062501.

66. Iann, C. G., Arkady, V. K., Adam, S. F., & Risto, M. N. (2010). A first-principles study on magnetic coupling between carbon adatoms on graphene. New Journal of Physics, 12(11), 113021.

67.Jafari, S. A., & Baskaran, G. (2012). Equations-of-motion method for triplet excitation operators in graphene. Journal of Physics: Condensed Matter, 24(9), 095601.

68.Jonathan, R. O., Eduardo, C.-S., & Vincent, M. (2013). Electronic structure and transport properties of N 2 AA -doped armchair and zigzag graphene nanoribbons. Nanotechnology, 24(23), 235701.

69. Kan, E., Li, Z., & Yang, J. (2008). MAGNETISM IN GRAPHENE SYSTEMS. Nano, 03(06), 433-442. doi:10.1142/S1793292008001350

70. Kumazaki, H., & S. Hirashima, D. (2009). Spin-Polarized Transport on Zigzag Graphene Nanoribbon with a Single Defect. Journal of the Physical Society of Japan, 78(9), 094701. doi:10.1143/JPSJ.78.094701

71.Lehtinen, P. O., Foster, A. S., Ma, Y., Krasheninnikov, A. V., & Nieminen, R. M. (2004). Irradiation-induced magnetism in graphite: a density functional study. Phys Rev Lett, 93(18), 187202. doi:10.1103/PhysRevLett.93.187202

72.Longo, R. C., Carrete, J., & Gallego, L. J. (2011). Magnetism of substitutional Fe impurities in graphene nanoribbons. J Chem Phys, 134(2), 024704. doi:10.1063/1.3520149

73.Mecklenburg, M., & Regan, B. C. (2011). Spin and the Honeycomb Lattice: Lessons from Graphene. Physical Review Letters, 106(11), 116803.

74.Min, H., Borghi, G., Polini, M., & MacDonald, A. H. (2008). Pseudospin magnetism in graphene. Physical Review B, 77(4), 041407.

75.Nakada, K., Fujita, M., Dresselhaus, G., & Dresselhaus, M. S. (1996). Edge state in graphene ribbons: Nanometer size effect and edge shape dependence. Physical Review B, 54(24), 17954-17961.

76. Rao, S. S., Stesmans, A., Kosynkin, D. V., Higginbotham, A., & Tour, J. M. (2011). Paramagnetic centers in graphene nanoribbons prepared from longitudinal unzipping of carbon nanotubes. New Journal of Physics, 13(11), 113004.

77. Ruffieux, P., Wang, S., Yang, B., Sánchez-Sánchez, C., Liu, J., Dienel, T., . . . Fasel, R. (2016). On-surface synthesis of graphene nanoribbons with zigzag edge topology. Nature, 531(7595), 489-492. doi:10.1038/nature17151

78. Singh, R., & Kroll, P. (2009). Magnetism in graphene due to single-atom

defects: dependence on the concentration and packing geometry of defects. J Phys Condens Matter, 21(19), 196002. doi:10.1088/0953-8984/21/19/196002

79. Son, Y.-W., Cohen, M. L., & Louie, S. G. (2006). Energy Gaps in Graphene Nanoribbons. Physical Review Letters, 97(21), 216803.

80.Volnianska, O., & Boguslawski, P. (2010). Magnetism of solids resulting from spin polarization of p orbitals. Journal of Physics: Condensed Matter, 22(7), 073202.

81.Xu, X.J., Qin, J.G. & Li, Z., 2009. Research Advances of Graphene. Progress in Chemistry.

82. Castro Neto, A.H.. et al., 2009. The electronic properties of graphene. Reviews of Modern Physics, 81(1), pp.109-162. Available at: http://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.81.109.

83. Katsnelson, M.I., 2007. Graphene: carbon in two dimensions. Materials Today, 10(1-2), pp.20-27.

84.Banhart, F., Kotakoski, J. & Krasheninnikov, A. V., 2011. Structural defects in graphene. ACS Nano, 5(1), pp.26-41.

85.Luo, J., 2013. Second-order Dirac equation of graphene electrons in an electromagnetic field and their novel spin. arXiv preprint arXiv:1303.7290, pp.1-16. Available at: http://arxiv.org/abs/1303.7290.

86.By, P., World a€™ s largest Science , Technology & Medicine Open Access book publisher A Study of the Porosity of Activated Carbons Using the Scanning Electron Microscope.

87.Ma, Y. et al., 2004. Magnetic properties of vacancies in graphene and single-walled carbon nanotubes. New Journal of Physics, 6, pp.1-15.

88.Matulis, A. & Peeters, F.M., 2009. Analogy between one-dimensional chain models and graphene. American Journal of Physics, 77(7), p.595.

89. Schonenber, C., 2000. Bandstructure of Graphene and Carbon Nanotubes : An Exercise in Condensed Matter Physics p p p p. , pp.1-16.

90.Pop, E., Varshney, V. & Roy, A.K. a. K., 2012. MRS Bull. 37, 1273 (2012) Pop/Varshney/Roy. , 1273.

91.Mudry, C., 2012. C. Mudry - Lecture 3: Effective quantum field theories and graphene. , pp.1-82. Available at: papers3://publication/uuid/882E32CC-D4BB-44DA-A2A7-B017353366FF.

92.Arimura, Y. & Ando, T., 2012. Diamagnetism of graphene with gap in nonuniform magnetic field. Journal of the Physical Society of Japan, 81(2), pp.1-8.

93.June, P., Eq, A. & Eq, A., 2016. An Introduction to Graphene Plasmonics Erratum. , pp.1-2.

94. Sundaram, R.R.S., 2011. Electrical Properties of Chemically Derived Graphene. , (March 2011).

95.Berzi, A., 2012. Relativistic Fermions in Graphene. , (December), p.128.

96.Peplow, M., 2013. Graphene: The quest for supercarbon. Nature, 503(7476), pp.327-9. Leggett, A.J., 2004

97. Kan, E., Li, Z. & Yang, J., 2008. Magnetism in graphene systems. Nano, 3(6), pp.433-442. KUZEMSKY, A.L., 2013. Unconventional and Exotic Magnetism in Carbon-Based Structures and Related Materials. International Journal of Modern Physics B, 27(11), p.1330007. Arminjon, M. & Reifler, F., 2008. Dirac equation: representation independence and tensor transformation. Brazilian Journal of Physics, 38(2), pp.248-258. Available at: http://arxiv.org/abs/0707.1829.

98.Harigaya, K., 2001. The mechanism of magnetism in stacked nanographite: theoretical study. J. Phys.: Condens. Mat., 13(6), pp.1295-1302. Available at: http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-8984/13/6/309.

99.Parvin, P. et al., 2015. Magnetic Measurements of Graphene and Defected Graphene Generated by Laser Ablation Method. , 9(1).

100. Sepioni, M. et al., 2010. Limits on intrinsic magnetism in graphene. Physical Review Letters, 105(20), pp.1-4.

101. Yamashita, T. et al., 2002. Spin transport and relaxation in superconductors. Physical Review B, 65(17), p.172509. Anon, Continuum approximation to graphene : Dirac- Weyl equation. , pp.1-5.

102. Fasolino, a, Los, J.H. & Katsnelson, M.I., 2007. Intrinsic ripples in graphene. Nature Materials, 6(11), pp.858-861.