Спиновые эффекты в электрон-протонном и нуклон-антинуклонном взаимодействии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Сальников, Сергей Георгиевич

• Сальников, Сергей Георгиевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Сальников, Сергей Георгиевич

Содержание

Введение

Глава 1. Кинетика поляризации в нерелятивистском

рассеянии

1.1. Кинетические уравнение

1.2. Рассеяние клстицы со спином = 1/2

1.2.1. Случай 32 = 0

1.2.2. Случай 52 = 1/2

1.2.3. Случай слабой зависимости амплитуды рассеяния от спинов

Глава 2. Поляризационные эффекты в нерелятивистском ер рассеянии

2.1. Вычисление коэффициентов кинетического уравнения

2.2. Кинетика поляризации в ер рассеянии

Глава 3. Поляризационные эффекты в нуклон-анти-

нуклонном рассеянии

3.1. Кинетическое уравнение с учётом выбывания частиц

3.2. Кинетическое уравнение в случае рр рассеяния

3.3. Вычисление амплитуды рр рассеяния с помощью непмегенско-

го потенциала

3.4. Кинетика поляризации в pel рассеянии

Заключение

Приложение А. Неймегенский потенциал

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спиновые эффекты в электрон-протонном и нуклон-антинуклонном взаимодействии»

Введение

В последнее время активно обсуждаются эксперименты с поляризованными частицами. Например, большое значение имеют эксперименты по рассеянию поляризованных антипротонов на поляризованных протонах, для чего была создана коллаборация PAX [1]. Такие эксперименты позволят измерить некоторые наблюдаемые, недоступные для измерений другими способами [2]. К примеру, в процессе Дрелла-Яна (рр —> рр + 1+1~) можно измерять такую важную партийную функцию, как поперечность валентных кварков в протоне, а в процессе аннигиляции (рр е+е~) можно измерить амплитуды и относительную фазу электрического и магнитного формфакто-ров протона во временииодобной области. Для реализации запланированной физической программы необходимо научиться получать пучки поляризованных антипротонов. В качестве основного способа поляризации антипротонов рассматривается спиновая фильтрация на поляризованной мишени. Метод спиновой фильтрации был впервые предложен в работе [3] и заключается в том, что при рассеянии на поляризованной мишени скорости выбывания из пучка частиц с различными направлениями спина отличаются, таким образом, пучок приобретает поляризацию. Этот метод был успешно опробован в эксперименте FILTEX на протонах с энергией 23МэВ [4] и позже в накопителе COSY на протонах с энергией 49МэВ [5]. Было показано, что за несколько часов можно получить поляризацию протонного пучка на уровне 5%. Возможность применения метода спиновой фильтрации к поляризации антипротонов предлагается проверить на AD-ring в CERN [б], а проведение запланированной программы исследований предполагается на базе накопителя HESR ускорительного комплекса FAIR [7].

Теоретическое описание кинетики поляризации при рассеянии, как пра-

вило, проводят следующим образом. Если пучок изначально был неполярп-зован, то конечная поляризация выражается через два аксиальных вектора: Ст и V (£т ■ V), где Ст — поляризация мпшеии, а V — скорость пучка. Ограничиваясь рассмотрением эволюции поляризации в случае, когда поляризация мишени параллельна либо перпендикулярна оси пучка, мы видим, что поляризация пучка всегда параллельна поляризации мишени. При такой постановке задачи рассмотрение кинетики поляризации существенно упрощается, так как можно ввести ось квантования, направленную по поляризации мишени, и рассматривать изменение числа частиц с определённой проекцией спина на данную ось.

В работе [8], где рассматривалось взаимодействие протонов с поляризованной водородной мишенью, было написано уравнение, связывающее скорость изменения поляризации с поляризационным сечением, выражающимся через зависящую от спина часть сечения рассеяния. Рассматривалось три вклада в поляризационное сечение: выбывание протонов из пучка, рассеяние на поляризованных электронах и эффекты при рассеянии на малые углы. Однако, в дальнейшем было показано [9], что последние два эффекта в этой работе были учтены неправильно, и на самом деле их вклад в поляризационное сечение пренебрежимо мал.

Более детальное рассмотрение кинетики поляризации было проведено в работе [9] путём рассмотрения эволюции функций распределения. Авторы показали, что уравнения эволюции для чисел частиц с определённой проекцией спина можно записать через и — вероятности переворота спина частиц, остающихся в пучке, и — вероятности выбывания из пучка частиц с проекцией спина ±1/2. Частицы выбывают из пучка в случае, если они рассеиваются на достаточно большой угол. Максимальный угол, при рассеянии на который частицы остаются в пучке, называется уг-

лом аксептанса п в реальных накопителях составляет порядка Юмрад. В случае нерелятивистского рр (рр) рассеяния основной вклад в сечение выбывания из пучка даёт кулоновское рассеяние, независящее от спинов, поэтому

Вероятности переворота спина в этом случае малы из-за малости угла аксептанса <С — поэтому вкладом

и в уравнения можно пренебречь. При этом система уравнений сводится к уравнению для поляршацпи из работы [8], а поляризационное сечение выражается через сечения выбывания из пучка: о — (сг°и1; — <7°и(-)/2. В работе [9] также показано, что фильтрация на электронах не даёт заметного вклада в эволюцию поляризации, так как протоны рассеиваются только на малые углы. Таким образом, основным эффектом, приводящим к поляризации пучка при рассеянии на мишени, является фильтрация на поляризованных ядрах.

Описанные выше уравнения подходят для описания экспериментов, в которых поляризации частиц параллельны друг другу и параллельны или перпендикулярны оси пучков. Однако, если направления поляризаций произвольны, то возможно вращение поляризации, которое не может быть описано этими уравнениями. Эффекты, связанные с поворотом поляризации представляют определённый интерес, например, при изучении рассеяния поляризованных нейтронов в среде [10]. Обобщение кинетических уравнений на случай, когда направления поляризаций и скорости произвольны, представляет собой нетривиальную задачу, так как в этом случае необходимо рассматривать эволюцию матрицы плотности. Ранее уже были предложены разные способы вывода кинетического уравнения общего вида, однако они довольно сложны. Кроме того, не был проведён детальный анализ решений кинетического уравнения.

Впервые уравнение эволюции дня спшювой матрицы плотности р было

получено в работе [11] путём решения квантового уравнения Лиувилля. Формальное решение этого уравнения было записано в виде р' = БрЗ+, где р' — матрица плотности после рассеяния, а 5 — 5-матрица. Выражая 5-матрицу через амплитуду рассеяния, авторы получили уравнение эволюции, которое было применено для описания сдвига частоты при спинно-обменной оптической накачке. В работе также было замечено, что полученное уравнение описывает поворот спина электронов в результате рассеяния. Это кинетическое уравнение было позже использовано в работах [12, 13] для изучения эволюции спина протонов при прохождении через поляризованную среду. Кроме того, была рассмотрена эволюция спина дейтрона [14, 15] при прохождении через вещество. Особое внимание уделялось возможности определения действительной части амплитуды упругого рассеяния вперёд путём измерения угла поворота поляризации при прохождении частицы через среду.

Другой способ получения кинетического уравнения был предложен в работе [16]. Авторы написали гейзенберговское уравнение движения для матрицы плотности с использованием гамильтониана Ферми, выражающегося через амплитуду упругого рассеяния вперёд. Полученное таким образом кинетическое уравнение соответствует случаю, когда все рассеянные частицы выбывают из пучка. В этой же работе было написано обобщение данного уравнения с учётом рассеяния частиц внутри пучка. Кинетическое уравнение было решено в случае, когда поляризации пучка и мишени параллельны. В этом случае были воспроизведены результаты работ [8, 9].

На защиту выносятся следующие положения.

Получение кинетического уравнения для величин, построенных из операторов спинов. Предложен новый способ, существенно упрощающий получение уравнений эволюции. Детально проанализированы уравнения, оппсы-

вающие эволюцию поляризации спинорной частицы при рассеянии на бесспиновой и спинорной частицах, получены общие решения. Получено обобщение уравнения с учётом выбывания частиц из пучка.

Аналитическое вычисление коэффициентов кинетического уравнения для поляризации в случае ер рассеяния. Взаимодействие электрона с протоном описывается с помощью гамильтониана Брейта.

Исследование эволюции поляризации антипротонного пучка при рассеянии на поляризованной водородной и дейтериевой мишенях. Амплитуда рр рассеяния вычислена с помощью неймегенского нуклон-антинуклонного потенциала, а для описания рассеяния на дейтроне использовалось приближение Глаубера — Ситенко. Получены предсказания для степени поляризации антипротонов в этих процессах.

Глава 1

Кинетика поляризации в нерелятивистском

рассеянии

1.1. Кинетическое уравнение

Рассмотрим эволюцию некоторого оператора О в процессе рассеяния двух частиц со спинами и 62- Это может быть произвольный оператор, зависящий от спинов рассеивающихся частиц, так что [О. г] = 0 и [0,р] = О, где г — относительная координата, р — соответствующий импульс, [а, Ь] — коммутатор операторов а и 6. Мы считаем относительную скорость частиц достаточно малой, чтобы было применимо нерелятивистское описание, и пока пренебрегаем потерей частиц при рассеянии. Обобщение полученного уравнения на случай, когда выбывание частиц важно, будет рассмотрено в Главе 3. Оператор в гейзенберговском представлении Он = егтОе~гШ подчиняется уравнению движения

^Он = 1[Н,<Эн], (1)

где Н — гамильтониан системы (Н = с = 1). Усредним это уравнение по по волновым функциям задачи рассеяния, имеющим при г —У оо асимптотику

/ Ист \

Ыг) - ^м (¿к г + е—Р{п.. По)) Х1Х2 : (2)

где к — начальный импульс, N — плотность числа частиц, .Р — амплитуда упругого рассеяния, являющаяся оператором в спиновом пространстве, по = к/к — единичный вектор в направлении к. п = г/г — единичный вектор в направлении г, — спиновые волновые функции соответствующих

частиц. После усреднения (1) мы получаем следующее уравнение:

^ I с1гф+(г)Онфк{г) = 1 I ¿гф1{г)[Н.Он]щ(г). (3)

Хотя волновые функции (2) являются собственными функциям гамильтониана (Нфк — Ефк), правая часть уравнения не равна нулю из-за того, что гамильтониан не является эрмитовым по отношению к ненормируемым волновым функциям. Для того, чтобы можно было воспользоваться эрмитово-стью гамильтониана, мы умножим волновую функцию на быстро убывающий множитель:

фк{г)^е~Хгфк(г): (4)

а параметр Л устремим к нулю в конце вычислений. Выражение (3) можно преобразовать, воспользовавшись тем, что фк — собственные функции гамильтониана:

^ (О) = г I (1гф+(г) { [е~х\ Н] Оне'Хг + е~ХгОн [е"Аг, Н] } фк(т), (5)

где (О) = / с1гф£(г)Онфк(г) — среднее значение оператора О. Коммутатор [е~~л'\ Н] пропорционален малому параметру Л, и только вклад больших расстояний г ~ 1/А в интеграл может компенсировать эту малость. Благодаря этому при вычислении коммутатора в гамильтониане можно оставить только кинетический член:

г\

[е-Хг.Н]

г?

' 2М

((р-п)е-Хг + е-Хг(п-р)), (6)

2 М

где М — приведённая масса, сталкивающихся частиц. Кроме того, волновую функцию под интегралом можно заменить её асимптотикой. Оставляя под интегралом только слагаемые, наиболее медленно убывающие с расстоянием, мы получаем

£

dt.

(О) = AwVSp jp(i) J dr e~~2Xr

2 {n0-n)O + ~F+OF

\p+Qgik-r-ikr (-[ i i ^ сл r?„ikr-ik-r

r 4 r

(1 + (no • n)) + -OFeihr~ik T (1 + (n0 • n))

(7)

где v — k/M — относительная скорость частиц, Sp — операция взятия следа матрицы, pit) — спиновая матрица плотности системы. Видно, что интеграл по углам от первого слагаемого равен нулю. Воспользовавшись асимптотическим выражением для плоской волны

Лк г г->оо,

2тг гкг

eikr5 (п - п0) - е~гкг5 (п + п0)) :

—гкг.

(8)

где 6(х) — ¿»-функция Дирака, можно взять интеграл по углам от двух других слагаемых, после чего легко вычисляется интеграл по радиусу. В результате мы получим уравнение, описывающее эволюцию среднего значения оператора О в процессе рассеяния:

dttn F+OF -

2тгг

~F

(9)

где dfln — элвхмент телесного угла, соответствующий вектору п, F(0) — значение оператора Р, вычисленное при п =

Если мы возьмём О — 1, то получим из (9) соотношение унитарности:

Sp p(t)

dnnF+F-^(F+(0)-F(0))

= 0.

(10)

Уравнения (9) и (10) верны для произвольных спинов и если частицы не выбывают в процессе рассеяния. Описанный здесь вывод кинетического уравнения был предложен автором в работе [17]. Само же уравнение (9) можно вывести из кинетического уравнения для матрицы плотности, полученного ранее в работе [11].

1.2. Рассеяние частицы со спином S\ = 1/2

Получив общий вид уравнения эволюции, напишем кинетическое уравнение для поляризации частицы со спином 1/2. Для этого мы подставим О = сг\ в уравнение (9), а матрицу плотности системы запишем в виде pit) = pi(t) ■ р2'-

2ттг

к

jtCi = vNSp^Pl(t)P2

J dnn F+aiF-

a i - <T ]

(И)

Здесь cri — матрицы Паули, действующие на спиновые переменные первой частицы, pi и Р2 — матрицы плотности первой и второй частиц, соответственно. Мы считаем поляризацию второй частицы фиксированной, поскольку при проведении экспериментов обычно интересуются эволюцией поляризации только одной частицы. Если же необходимо рассматривать эволюции поляризаций обеих частиц, то нужно написать для второй частицы уравнение, аналогичное (11), и решать систему уравнений. Соотношение унитарности (10) в нашем случае даёт

"2тгг

Sp Sp

Р2 J dïln F+F = Sp p2ai J dQn F+F

к

— Sp

~p2 (f+(0) - F(0)) P20-1 (V(O)-F(O))

2iri

~кГ

(12)

Используя эти соотношения, уравнение (11) можно привести к виду jtCi=vNSp^pi(t)-p2 J dnn([F+,cri\F + F+ [<x1;F])

+ lp2[Ci(t)xcri} (F+(0) + F(0))\.

(13)

Общий вид амплитуды рассеяния для частицы со спином 1/2 можно записать следующим образом:

F = Fq + cri ■ Fi.

(14)

где функции Ро и уже не зависят от спина первой частицы. Тогда кинетическое уравнение примет вид

~(г = уМ ЭР21р21 сШп • О) + ■ СО - 2 ■ 2^) Сх

¿о^х - Л^о) х Сх"

+ г

2г

X .Р]

2тт

Т

■Р2

^+(0) + ^1(0)) X Сх

(15)

где Эрг обозначает след по спиновым переменным второй частицы.

1.2.1. Случай 62 = 0

Наиболее простым случаем является рассеяние частицы со спином 1/2 на бесспиновой частице. Тогда р2 = 1, а амплитуда рассеяния имеет вид

Я = /о + /х сгх ■ ^ , Ро = /о, -Рх = /х^

(16)

где ^ = [п х по], а функции /о и /1 зависят от ж = (и ■ по). Соотношение унитарности (10) в этом случае сводятся к оптической теореме:

¿а

п

1/о|2 + |/х|

V

47г

т

1ш /о(0) •

(17)

Уравнение эволюции для поляризации (15) принимает вид

с1

(И

Сх = -Ш [Сх + (Сх ■ По) По] ,

ш = I с1Пп 1У2\Ь\2 .

(18)

Решение этого уравнения легко найти для произвольной начальной поляризации Сх(0):

Сх(0 = [Сх(о) - По (Сх(0) • по)] е-"* + п0 (Сх(0) • п0) е"2ьЛ . (19)

Видно, что в процессе деполяризации происходит не только уменьшение поляризации частицы, но н её поворот, если начальная поляризация не параллельна и не перпендикулярна скорости.

1.2.2. Случай ¿2 = 1/2

Теперь рассмотрим наиболее важный случай: рассеяние двух частиц со спином 1/2. В этом случае амплитуда рассеяния имеет вид

^ = /о + (/КП + /2^2) • I/ + Г3а\4 , = /о + /2 <Т2 • I/ , ^ = Л г/ + Г-' сг{ .

(20)

Здесь сг2 — матрицы Паули, действующие на спиновые переменные второй частицы, функции /0,1,2 зависят от х = (п • по), а тензор построен из векторов По и п. Используя общий вид амплитуды (см., например, [18]), можно показать, что тензор Тгз должен быть симметричным. Спиновая матрица плотности второй частицы может быть записана стандартным образом:

Р2 = 7} (! + С2 ■ сг2)

(21)

где £2 ~~ независящий от времени вектор поляризации второй частицы. Кинетическое уравнение (15) в результате принимает вид

А ...

<И

я = д^сг + [Сх х +я1,

|/!|2 - Л*') + Ие (т*а*тэа) - ТаЬ*ТаЬ5^

Г = уЫ < 2 / сЮп 1т

• 47Г ■ 1 /г^Й + /2/1 (*> • Сг) + Т ИеГ°(0)С! > ■

(22)

При выводе этого уравнения были использованы соотношения

с1Ппх(п ■ п0)Т^ик = 0,

с/Оп еаЬс 1т (Г°*Т'Ь) =0

1т (Т™*ГЬ) =0,

(23)

верные для произвольной функции х(х)- Для получения этих соотношений был использован общий вид тензора Ти для Р- и Т-инвариантной амплитуды (см. [18]):

Т* = + п£ + и + (п^ + /5 , (24)

ГДе /з,4,5 ~~ произвольные функции от х — (п ■ щ). В случае рассеяния двух частиц со спином 1/2 соотношение унитарности (10) сводятся к двум нетривиальным соотношениям:

47г ~к

47Г •■ Г

— 1тГу(0)= / ёПп

1т/0(0) = I <1Пп [|/0|2 + (|Л|2 + |/2|2) !У2 + ТаЫТаЬ

2 Не (Я/О ^ + 2Яе (Г'70) - ^асезМТаЬ*Ты

(25)

Тензор и вектора Т и £7 можно представить в виде

= + В1 пг0п30 ,

р = Л2С2 + В2 (по ■ С2) По , 0 = С2 + В3 (по ■ С2) по ,

(26)

где А{ и Вг — некоторые числа. Эти числа определяются следующими формулами:

Ах = -уN / (Ю,п

таЫтаЬ + п^Тш*Т1а + |Д| V

2,.2

Бх = -уЫ / б/о

71

граЬ*граЬ _ +

2..2

,42 = иЛГ < / 1т

2тг

+ —Ие к

таа( о) -

52 = <! / 1т

+ —Ие к

Зп^Г'^О) - Таа(0)

Л3 = 2г;7У J В3 = [ (тп

п^Ее (Т^'Тао') - п1пЪТа*Т*

таа*тЪЪ _ таЫтаЪ _ ^ ^^аа*^ + 3г^ра*Т5а

Можно видеть, что коэффициенты (27) удовлетворяют неравенствам

< 0, Ах + Вх < 0

(27)

(28)

независимо от вида амплитуды. Это, как будет показано в дальнейшем, гарантирует отсутствие экспоненциально растущих решений уравнения (22).

Теперь перейдём к рассмотрению решений уравнения (22). Наиболее просто это уравнение решается в случае £2 = 0. Тогда Т = 0 = 0 и кинетическое уравнение принимает простой вид:

= Ах£х + Вх (С1 ■ п0) п0 .

(29)

Решение этого уравнения при произвольных начальных условиях 6(0) имеет вид

Ш = [6(0) - по (6(0) • по)] + П0 (Сх(О) ■ по) , (30)

так что в процессе деполяризации параллельная и перпендикулярная к по компоненты £1 уменьшаются с разной скоростью, и поляризация поворачивается. Теперь пусть £2 ^ 0, но [£2 х по] = 0 (£2 параллелен щ). В этом случае решение уравнения (22) имеет следующий вид:

Сх(£) - еА* { сов(шЛ) [п0 х [Сх(0) х п0]] + вт(шг) [^(0) х и0]}

+

e(Л1+JB1)í _ 1

А3 + В3 Аг+В,

С2 + н0 (Сх(0) ■ по) е

(^1+50«

ш = {Л2 + В2) с2

(31)

Из формулы (31) видно, что поляризация частицы будет вращаться в плоскости, перпендикулярной £2 с частотой ш, одновременно эволюционируя в направлении £2- Можно также написать явное решение уравнения (22) для случая Сг 0, но (£2 • По) = 0 (С2 перпендикулярен По):

Ш = е

П | 2

+ [Сх(0) х СЛ+в^/^со5(Ш)[С2Х[а(?0)ХС2]]

^ (п\ ^ (0(0) • [С2 х П0]) '

(0(0) • По) По - ---- [Сг X По]

^>2

/"2

+

^(С1(0)-С2)

С|

+ (е** - 1) ф ^ ; Лг

С2,

(32)

Если О(0) = 0) то поляризация направлена по £2, иначе эволюция будет сопровождаться вращением поляризации, затухающим со временем.

В общем случае, когда [Сг х по] ^Ои (Сг ■ п0) Ф 0, удобно разложить поляризацию С1СО п0 трём ортогональным векторам следующим образом:

С1СО = ос (Сг • п0) п0 + /3 (Сг ■ п0) [п0 х С2] + 7 [п0 х [п0 х Сг]] , (33)

где а, (3 и 7 — некоторые функции времени. Уравнение эволюции (22) теперь

сводится к системе из трёх уравнений:

da

— = (Ai + B^a- Л2[С2 х n0]¿P + A3 + B3,

d£

~dt c¿7 ~dt

= A2a + Ацв + (A2 + B2) 7 : = - [A2 + B2)(C2- no)2 ¡3 + Aa-Az.

(34)

Эту систему можно переписать в матричном виде, введя обозначения

т

(\

а

/

U

\

Р

\У

Аг + Вг

А2 О

(Аъ V

V

/

О

-Аз

А2 [С2 х п0]2 0 \

Ai А2 + В2

(А2 + В2) «2 • п0)2 Ai )

В результате мы получаем матричное уравнение

d

(35)

dt

Ф(ь) = иф(г) +1.

(36)

Формальное решение этого уравнения можно записать в виде

ф$) = ет[ф(0) + и-1£]-и-1£.

(37)

Явная запись решения имеет довольно громоздкий вид, поэтому мы не приводим её здесь. Собственные значения матрицы I/ равны Аг- = Ах — Вгде и — решения характеристического уравнения

¿3 + t2 + (ci + с2) í + с2 = 0,

А2

С1 = Щ [Са х п0]2 ,

С2 = -- (С2 • По)

(38)

Учитывая, что Ci > 0 и с2 > 0, можно показать, что действительная часть всех решений уравнения (38) ограничена диапазоном —1 < Reí/ < 0. Таким

образом, действительная часть А^ всегда находится между А\ и А\ + В\. Учтя также неравенства (28), мы видим, что КеЛг- < 0. Это гарантирует затухание колебаний и сходимость всех решений (37) к конечному значению

оо) -

(39)

Вычислив обратную матрицу, мы получаем для коэффициентов разложения (33) следующие значения при £ —» оо:

1

а = —

IV

(А2 + В2)2 (А3 + В3) (С2 • п0)2 + Л2Л3 (А2 + В2) [С2 х п0]2

+ а2 (а3 + в3)

1

0 = — Аг (А2Вз - А3В2) - ВгА3 (Л2 + В2)

1

7

И"

А2 (А2 + В2) (А3 + В3) (С2 ■ По)2 + А\АЪ [С2 х По]2

ТУ = (А: + Вг) (А2 + В2)2 (С2 • п0)2 + АгА2 х п0]2 + А2 (Аг + Вг). (40)

1.2.3. Случай слабой зависимости амплитуды рассеяния от

спинов

Рассмотрим теперь важный случай рассеяния двух частиц со спином 1/2, в котором конечный ответ для эволюции поляризации имеет достаточно простой вид. Явная запись решения (37) кинетического уравнения существенно упрощается, если амплитуда рассеяния (20) слабо зависит от спинов, то есть /1, /0. Эти условия выполняются, по крайней мере, в случае, когда между рассеивающимися частицами присутствует только электромагнитное взаимодействие. Тогда /о определяется кулоновским потенциалом, а зависимость амплитуды рассеяния от спинов связана с релятивистскими поправками, которые малы. Из формул (27) видно, что в коэффициенты

/

Аз и Вз входят квадраты малых амплитуд /х и Тг-7', тогда как коэффициенты А2 и В2 содержат произведения малых амплитуд на большую амплитуду /о. Таким образом, в случае слабой зависимости амплитуды рассеяния от спинов выполняется сильное неравенство А2. В2~Э> А\, В\, А%. В3, что несколько упрощает вычисления.

С учётом того, что коэффициенты характеристического уравнения (38) с\ » 1 и с2 1, его решения будут

с2

¿1 -

с1 + с2

1 с1 . ,-

¿2 = -7т-;--гл/с1 + с2

2 С\ + с2

1 С!

¿з = -х—;— + Ъу/С1 + С2 . (41)

2 С1 + с2

Соответственно, для собственных чисел матрицы и (35) мы получаем

(А2 + В2)2 (С2 • по)2

А1 = А1 + ВГ

а;2

Вг А\ [С2 х п0] 2 ш

2

Л2 = Ах + —--5--Ь ш ,

, Вг А\ [С2 х п0]2 . Аз = А1 + ---о--гш ,

2 от

и = (Л2 + Д>Г (С2 • поГ + ^ [Сг х п0Г . (42)

Можно также вычислить собственные векторы матрицы II, соответствующие собственным значениям (42), так что IIХг = ЛгЛ'г-:

Хл =

( а2 + в^

\

х2 =

( ъА2 [Сз X no]2 Х

и

г (Л2 + В2) (С2 • п0)''

/

О

-а2

Х3 =

/

( —iA2 [Са х п0]2 ^

и

\-i (А2 + Во) (С2 • nof)

(43)

Зная собственные значения и собственные векторы, легко написать общее решение уравнения (36):

ф(1) = САе^ + С2Х2ех* + С3Х3ех* - ,

(44)

где С i, С2 и С3 — произвольные числа. Записав решение через тригонометрические функции, мы получаем следующие выражения для коэффициентов разложения (33):

a(t) = (А2 + В2) (CieAlí -d)+A2 [Сз х п0]2 (С3 eos (ut) - С2 sin (ut)) eReA2Í, /?(£) = oj (C2 eos (ut) + C3 sin (ut)) eReAzí,

j(t) = A2{d- CieAlí) + (A2 + B2) «2 • n0)2 (C3 eos (ut) - C2 sin (tut)) eReA2Í,

d

(A2 + B2) (A3 + B3) (C2 • n0)2 + A2A3 [C2 x n0f

(45)

(Л + Вг) (А2 + В2)2 (С2 ■ п0)2 + АгА2 [С2 х п0]2 " Выразив константы интегрирования через начальную поляризацию <л(0) и подставив коэффициенты в разложение (33), мы получаем, что вектор поляризации будет эволюционировать согласно выражению

ом

_ _ReA2í

sin (сüt)

[Ci(0) x V]

и

+ cos (ut)

[V x [Ci(0) X V]]

U¿

U '

где V = А2С2 + 82(710 ■ £2) гао, а ~ Таким образом, поляризация первой частицы будет эволюционировать в направлении V, вращаясь в перпендикулярной плоскости по окружности, радиус которой уменьшается со временем. Причём, период вращения существенно меньше характерного времени затухания колебаний, так как ¡Ах! ~ ¡Ле А2| <С ш.

Глава 2

Поляризационные эффекты в нерелятивистском ер рассеянии

Данная глава посвящена рассмотрению эволюция поляризации антипротонов при рассеянии на поляризованных позитронах (можно также говорить об электрон-протонном рассеянии). Интерес к этому процессу был вызван тем, что вычисленное в работах [19, 20] сечение переворота спина антипротона оказалось неожиданно большим: а ~ 1013 б при относительной скорости частиц у/с = 0,0019. Известно, что в случае малых скоростей частиц у/с <С а (си — постоянная тонкой структуры) борновское приближение становится неприменимым. Ожидаемое усиление амплитуды рассеяния притягивающихся частиц по сравнению с борновской амплитудой в этом случае даётся фактором Зоммерфельда-Гамова-Сахарова (см. [21, §36])

= ' (47)

где £ = —ас/у = —3,84 в данном случае. Однако, отличие от сечения в борцовском приближении <т ~ 10~3мб, вычисленного в работе [9], многократно превосходит ожидаемое усиление. Основным слагаемым в потенциале ер взаимодействия в нерелятивистском случае является кулоновский потенциал, однако, он не зависит от спинов частиц и потому не даёт вклада в сечение переворота спина. Зависимость от спинов появляется в релятивистских поправках к закону Кулона и даётся гамильтонианом Брейта (см. [22, §83]). Есть поправки двух типов: спин-орбитальное и спин-спиновое взаимодействие. Спин-орбитальное взаимодействие приводит только к деполяризации антипротонного пучка, а спин-спиновое взаимодействие с поляризованными

позитронами даёт вклад в поляризацию. Используя брейтовский гамильтониан, мы получили аналитическое выражение для сечения переворота спина в ер рассеянии и подтвердили предположение об усилении амплитуды примерно в С(£) раз [23]. После этого был проведён эксперимент [24], результаты которого совпали с нашими вычислениями. Расчёты [19, 20] также были перепроверены [25, 26], и значительное расхождение результатов было устранено. Таким образом, стало окончательно понятно, что поляризация антипротонов путём рассеяния на поляризованных позитронах за разумное время невозможна. В работе [23] эволюция поляризации в позитрон-антипротонном рассеянии была рассмотрена в предположении, что поляризация позитронов параллельна или перпендикулярна оси пучков. В данной диссертации представлено полное описание кинетики поляризации в этом процессе при произвольных начальных условиях, основанное на полученном кинетическом уравнении (22). Этот пример позволяет рассмотреть некоторые особенности кинетического уравнения в случае, когда зависящая от спинов часть амплитуды рассеяния много меньше, чем независящая от спинов часть.

2.1. Вычисление коэффициентов кинетического

уравнения

Мы рассматриваем постановку задачи, соответствующую предложенному эксперименту по поляризации антипротонов при рассеянии на поляризованных позитронах [20]. А именно, два пучка — антипротонов и позитронов — двигаются с близкими скоростями, рассеиваясь в месте встречи. В результате рассеяния на поляризованных позитронах антипротонный пучок также поляризуется. В системе покоя антипротона процесс выглядит следующим образом: на антипротон с поляризацией СгСО? меняющейся со

временем, налетает поток медленных позитронов с импульсом к и фиксированной поляризацией £2, после рассеяния позитроны имеют импульс р. При этом выбыванием антипротонов из пучка можно пренебречь, так как энергия отдачи мала. Таким образом, антипротоны можно считать неподвижным источником поля. К такой задаче применимо кинетическое уравнение, полученное в Главе 1, необходимо только записать амплитуду рассеяния и вычислить коэффициенты кинетического уравнения (27).

Для описания взаимодействия заряженных спинорных частиц используется гамильтониан Брейта (см. [22, §83]), представляющий из себя релятивистские поправки к закону Кулона. Часть брейтовского гамильтониана, дающая основной вклад в амплитуду рассеяния в нашей задаче, выглядит следующим образом:

где Не = —а/т — кулоновский потенциал, Нв — релятивистские поправки, а — постоянная тонкой структуры (h = с — 1), ро = 2.79 — гиромагнитное отношение для протона, тр и те — массы протона и электрона соответственно, L — оператор орбитального момента электрона, сг\ и <Т2 — операторы спина протона и электрона соответственно, р — г/г. В нерелятивистском пределе поправки, зависящие от спинов, существенно меньше, чем независящий от спинов кулоновский потенциал. Таким образом, можно ожидать, что к рассматриваемой задаче будет применимо приближение слабой зависимости амплитуды рассеяния от спинов, описанное выше, и эволюция поляризации будет даваться выражением (46). Амплитуда рассеяния F представляет из себя сумму кулоновской амплитуды, для которой мы используем точное выражение, и брейтовекпх поправок, учитываемых по теории возмущений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сальников, Сергей Георгиевич, 2013 год

Литература

1. Polarized Antiproton experiments. URL: http: //collaborations. fz-juelich.de/ikp/pax (дата обращения: 5 сентября 2013 г.).

2. Lenisa P., Rathmann F. etal. Antiproton-Proton Scattering Experiments with Polarization. 2005. arXiv:hep-ex/0505054.

3. Csonka P. L. Could we build polarized proton storage rings? // Nucl. Inst. & Meth. 1968. Vol. 63, no 3. P. 247-252.

4. Rathmann F., Montag C., Fick D. etal. New method to polarize protons in a storage ring and implications to polarize antiprotons // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71, no 9. P. 1379-1382.

5. Augustyniak W., Barion L., Barsov S. etal. Polarization of a stored beam by spin-filtering // Physics Letters B. 2012. Vol. 718, no 1. P. 64-69.

6. Barschel C., Bechstedt U., Dietrich J. etal. Measurement of the Spin-Dependence of the pp Interaction at the AD-Ring. 2009. arXiv:0904.2325 [nucl-ex].

7. Facility for Antiproton and Ion Research. URL: http: //www. f air- center. eu (дата обращения: 5 сентября 2013 г.).

8. Meyer Н. О. Effect of a polarized hydrogen target on the polarization of a stored proton beam // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50, no 2. P. 1485-1490.

9. Milstein A. I., Strakhovenko V. M. Polarizing mechanisms for stored p and p beams interacting with a polarized target // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72, no 6. P. 066503.

10. Малеев С. В. Рассеяние поляризованных нейтронов в магнетиках // Успехи физических наук. 2002. Т. 172, № 6. С. 617-646.

11. Balling L. С., Hanson R. J., Pipkin F. M Frequency shifts in spin-exchange optical pumping experiments // Phys. Rev. 1964. Vol. 133, no ЗА. P. A607.

12. Baryshevsky V. G., Shekhtman A. G. Proton (neutron) spin rotation in a polarized nuclear target: Method for investigating nuclear interactions // Phys. Rev. C. 1996. Vol. 53, no 1. P. 267-276.

13. Baryshevsky V. G. "Optical" Spin Rotation Phenomenon and Spin Filtering of Antiproton (Proton, Deuteron) Beams in a Pseudomagnetic Field of a Polarized Target: the Possibility of Measuring the Real Part of the Coherent Zero-angle Scattering Amplitude. 2011. arXiv: 1101.3146 [hep-ph],

14. Baryshevsky V. G., Shyrvel A. R. Influence of Multiple Scattering on High-energy Deuteron Quasi-optical Birefringence Effect. 2011. arXiv: 1101.2408 [hep-ph],

15. Baryshevsky V. G., Bartkevich A. R. Tensor polarization of deuterons passing through matter // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics. 2012. Vol. 39, no 12. P. 125002.

16. Nikolaev N. N., Pavlov F. F. Spin filtering in storage rings. 2006. arXiv: hep-ph/0601184.

17. Milstein A. I., Salnikov S. G. Kinetics of polarization in non-relativistic scattering // Nucl. Inst. & Meth. in Phys. Res. B. 2013. http://dx.doi.Org/10.1016/j.nimb.2013.08.002.

18. Wolfenstein L., Ashkin J. Invariance Conditions on the Scattering

Amplitudes for Spin 1/2 Particles // Phys. Rev. 1952. Vol. 85, no 6. P. 947-949.

19. Arenhôvel H. Coulomb effects in polarization transfer in elastic antiproton and proton electron scattering at low energies // The European Physical Journal A. 2007. Vol. 34, no 3. P. 303-313.

20. Walcher T., Arenhôvel H., Aulenbacher К. etal. A surprising method for polarising antiprotons // The European Physical Journal A. 2007. Vol. 34, no 4. P. 447-461.

21. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. M. Квантовая механика (нерелятивистская теория). Теоретическая физика, Том III. 4 изд. М.: Наука, 1989.

22. Берестецкий В. В., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. Теоретическая физика, Том IV. 3 изд. М.: Наука, 1989.

23. Milstein А. I., Salnikov S. G., Strakhovenko V. M. Polarization effects in non-relativistic ep scattering // Nucl. Inst. & Meth. in Phys. Res. B. 2008. Vol. 266, no 15. P. 3453-3457.

24. Oellers D., Barion L., Barsov S. etal. Polarizing a stored proton beam by spin flip? // Phys. Lett. B. 2009. Vol. 674, no 4-5. P. 269-275.

25. Arenhôvel H. Coulomb effects in polarization transfer in elastic antiproton and proton electron scattering at low energies // The European Physical Journal A. 2009. Vol. 39, no 1. P. 133-135.

26. Walcher T., Arenhôvel H., Aulenbacher К. et al. A surprising method for polarising antiprotons // The European Physical Journal A. 2009. Vol. 39, no 1. P. 137-138.

27. Biedenharn L. C., McHale J. L., Thaler R. M. Quantum Calculation of Coulomb Excitation. I ,// Phys. Rev. 1955. Vol. 100, no 1. P. 376-393.

28. Milstein A. I., Strakhovenko V. M. The 0(2.1) algebra and the electron green function in a Coulomb field // Phys. Lett. A. 1982. Vol. 90, no 9. P. 447-450.

29. Pignone M., Lacombe M., Loiseau B., Vinli Mau R. Paris NN potential and recent proton-antiproton low energy data. // Phys. Rev. C. 1994. Vol. 50, no 6. P. 2710-2730.

30. El-Bennich B., Lacombe ML, Loiseau B., Vinh Mau R. Refining the inner core of the Paris NN potential // Phys. Rev. C. 1999. Vol. 59, no 4. P. 2313-2315.

31. El-Bennich B., Lacombe M., Loiseau B., Wycech S. Paris NN potential constrained by recent antiprotonic-atom data and np total cross sections // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 79, no 5. P. 054001.

32. Timmermans R., Rijken T. A., de Swart J. J. Antiproton-proton partial-wave analysis below 925 MeV/c // Phys. Rev. C. 1994. Vol. 50, no 1. P. 48-73.

33. Zhou D., Timmermans R. G. E. Energy-dependent partial-wave analysis of all antiproton-proton scattering data below 925 MeV/c // Phys. Rev. C. 2012. Vol. 86, no 4. P. 044003.

34. Hippchen T., Haidenbauer J., Holinde K., Mull V. Meson-baryon dynamics in the nucleon-antinucleon system. I. The nucleon-antinucleon interaction // Phys. Rev. C. 1991. Vol. 44, no 4. P. 1323-1336.

35. Haidenbauer J., Holinde K., Thomas A. W. Investigation of pion exchange in the NN and NN systems // Phys. Rev. C. 1992. Vol. 45, no 3. P. 952-958.

36. Mull V., Holinde K. Combined description of NN scattering and annihilation with a hadronic model // Phys. Rev. C. 1995. Vol. 51, no 5. P. 2360-2371.

37. Dmitriev V. F., Milstein A. I., Strakhovenko V. M. Spin effects in pp interaction and their possible use to polarize antiproton beams // Nucl. Inst, к Meth. in Phys. Res. B. 2008. Vol. 266, no 7. P. 1122-1126.

38. Dmitriev V. F., Milstein A. I., Salnikov S. G. Spin-dependent part of pp interaction cross section and Nijmegen potential // Phys. Lett. B. 2010. Vol. 690, no 4. P. 427-430.

39. Glauber R. J. Cross Sections in Deuterium at High Energies // Phys. Rev. 1955. Vol. 100, no 1. P. 242-248.

40. Glauber R. J. Lectures in theoretical physics / edited byW. E. Brittin, L. G. Dunham. New York: Interscience Publishers, Inc., 1959. Vol. 1. P. 315-414.

41. Ситенко А. Г. К теории ядерных реакций с участием сложных частиц // Укр. Физ. Журн. 1959. Т. 4. С. 152-174.

42. Franco V., Glauber R. J. High-Energy Deuteron Cross Sections // Phys. Rev. 1966. Vol. 142, no 4.,P. 1195-1214.

43. Kondratyuk L. A., Shmatikov M. Z., Bizzarri R. Antiproton-deuteron interaction at intermediate energies and Glauber theory // Yad. Fiz. 1981. Vol. 33. P. 795.

44. Mahalanabis J. Determination of pn scattering amplitude from glauber model analysis of elastic pd scattering at 179.3 MeV // Nuclear Physics В - Proceedings Supplements. 1989. Vol. 8. P. 268-270.

45. Dalkarov 0. D., Myhrer F. A simple model for proton-antiproton scattering at low energies // II Nuovo Cimento A. 1977. Vol. 40, no 2. P. 152-162.

46. Platonova M. N., Kukulin V. I. Description of spin-dependent observables in elastic proton-deuteron scattering on the basis of a generalized diffraction model // Physics of Atomic Nuclei. 2010. Vol. 73, no 1. P. 86-106.

47. Platonova M. N., Kukulin V. I. Refined Glauber model versus Faddeev calculations and experimental data for pd spin observables // Phys. Rev. C. 2010. Vol. 81, no 1. P. 014004.

48. Uzikov Y. N., Haidenbauer J. Forward pd elastic scattering and total spin-dependent pd cross sections at intermediate energies // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 79, no 2. P. 024617.

49. Uzikov Y. N., Haidenbauer J. Elastic pd scattering and total pd cross sections // Phys. Rev. C. 2013. Vol. 87, no 5. P. 054003.

50. Uzikov Y. N., Haidenbauer J., Prmantayeva B. A. Antiproton scattering off 3He and 4He nuclei at low and intermediate energies // Phys. Rev. C. 2011. Vol. 84, no 5. P. 054011.

51. Haidenbauer J., Uzikov Y. N. Spin dependence of the pd and j?3He interactions. 2012. arXiv:1212.2761 [nucl-th].

52. Salnikov S. G. Spin-dependent part of pd interaction cross section and Nijmegen potential // Nucl. Phys. A. 2012. Vol. 874. P. 98-107.

53. Nagels M. M., Rijken T. A., de Swart J. J. Low-energy nucleon-nucleon potential from Regge-pole theory // Phys. Rev. D. 1978. Vol. 17, no 3. P. 768-776.

54. Zhou D., Timmermans R. G. E. Polarization observables in low-energy antiproton-proton scattering // Phys. Rev. C. 2013. Vol. 87, no 5. P. 054005.

55. Wojtsekhowski B. Antiproton beam polarizer using a dense polarized target // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. Vol. 295. 2011. P. 012128.

56. Franco V., Glauber R. J. Effect of quadrupole deformation on high-energy scattering by deuterons // Phys. Rev. Lett. 1969. Vol. 22, no 8. P. 370-374.