Спин-токовое взаимодействие в квантовой гидродинамике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Харабадзе, Давид Эдгарович

• Харабадзе, Давид Эдгарович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Харабадзе, Давид Эдгарович

1 Введение

2 Гидродинамические уравнения с учетом спин-токового взаимодействия

2.1 Операторы плотностей наблюдаемых величин.

2.2 Уравнения для плотностей наблюдаемых величин

2.3 Уравнение непрерывности.

2.4 Уравнение баланса энергии.

2.5 Связь с кинетическими уравнениями.

2.6 Некоторые свойства гамильтониана Брейта.

2.7 Вывод уравнений квантовой гидродинамики с учетом спин-токового взаимодействия

2.8 Выводы.

3 Электромагнитные, плазменные и акустические волны в системах частиц с собственным магнитным моментом

3.1 Постановка задачи.

3.2 Решение линеаризованных уравнений.

3.3 Волны вдоль внешнего магнитного поля.

3.4 Волны поперек внешнего магнитного поля

3.5 Акустические волны.

3.6 Выводы.

4 Волна с круговой поляризацией в системе заряженных ча

4.1 Постановка задачи.

4.2 Волна с круговой поляризацией в квантовой гидродинамике

4.3 Выводы.

5 Волна с круговой поляризацией в системе нейтральных частиц с собственным магнитным моментом

5.1 Постановка задачи.

5.2 Точное решение уравнений квантовой гидродинамики

5.3 Дополнительные решения.

5.4 Предельные случаи.

5.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спин-токовое взаимодействие в квантовой гидродинамике»

Актуальность. В последнее время в связи с расчетом электронных приборов встает необходимость в использовании адекватных моделей. В течение длительного времени в качестве таких моделей выступали обычные гидродинамические модели. Но классические гидродинамические модели не способны описывать процессы туннелирования (проникновения под барьером) при низких температурах. Поэтому в таких случаях пользовались модельным одночастичным уравнением Шредингера. Но в таком подходе есть недостатки: уравнение Шредингера описывает лишь Гамильтоновы системы и не может описать диссипативные силы, действующие в системе, такие как трение и электрическое сопротивление. Поэтому в последнее время для таких исследований используют метод квантовой гидродинамики, основанный на уравнении Маделунга с квантовым потенциалом Бома. Это позволяет одновременно учитывать квантовые свойства многочастичных систем в трехмерном физическом пространстве, в частности, туннелирова-ние и диссипативные свойства систем, такие как электрическое сопротивление.

Научная новизна. В работах, посвященных квантовой гидродинамике в качестве исходного уравнения выступает уравнение Шредингера для одной частицы во внешних электрическом и магнитном полях. В настоящее время получены уравнения квантовой гидродинамики для заряженных частиц без спина и со спином во внешних электрическом и магнитном полях. Кроме того, для систем многих частиц учтено кулоновское и спин-спиновое взаимодействия частиц, что привело к появлению в уравнениях квантовой гидродинамики самосогласованных электрического и магнитного полей, источниками которых являлись плотность числа частиц и плотность собственного магнитного момента. То, что источником самосогласованного магнитного поля могут быть токи частиц, получено не было. Таким образом, ранее не было учтено спин-токовое взаимодействие частиц.

Объект исследования. В работе исследуются системы многих частиц, обладающих собственным магнитным моментом. В частности, одной из таких систем может быть плотная плазма, состоящая из электрически заряженных частиц, либо поток нейтронов, обладающих собственным магнитным моментом. Но результаты работы могут быть использованы и при исследовании других систем многих частиц.

Метод исследования. В качестве метода для получения уравнений квантовой гидродинамики из уравнения Шредингера использовались аналитические вычисления с применением операторного формализма для операторов плотностей наблюдаемых величин, предложенные в работе [1]. Метод был адаптирован к применению в исследовании систем многих частиц с собственными магнитными моментами.

Цели и задачи диссертации. Основной целью диссертациии является получение уравнений квантовой гидродинамики, учитывающей взаимодействие спинов частиц с токами частиц. Это должно привести к тому, что в уравнениях для самосогласованного магнитного поля в качестве источника должен появиться ток заряженных частиц. Следующей целью диссертации было получение решений уравнений для конкретных физических систем многих частиц, обладающих магнитным моментом и исследование физических процессов в таких системах.

Достоверность научных положений. Результаты диссертации являются обоснованными и достоверными, так как они получены с помощью строгих математических методов на основе общепринятых уравнений квантовой механики в рамках хорошо зарекомендовавших себя приближений и приводят к результатам, согласующимся с классической электродинамикой сплошных сред. Решения уравнений в частных случаях согласуются с результатами других авторов.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Произведен вывод уравнений квантовой гидродинамики из уравния Шредингера для систем многих частиц с гамильтонианом, учитывающим спин-токовое взаимодействие. Получены уравнения баланса числа частиц, баланса плотности импульса частиц, баланса плотности магнитного момента частиц и уравнения для самосогласованного поля. В качестве источников для части самосогласованного магнитного поля выступает ток заряженных частиц. К уравнениям баланса плотности числа частиц и баланса плотности магнитного момента получены поправки, связанные со спин-токовым взаимодействием частиц.

2. Для систем многих частиц с собственным магнитным моментом в линейном приближении получены решения в виде волн. В рамках одного и того же формализма получены дисперсионные соотношения для оптических, плазменных и акустических волн в системе вдоль внешнего поля. Кроме того, получено выражение для моды, распространяющейся поперек магнитного поля.

3. Для системы многих частиц с собственным магнитным моментом найдено точное решение в виде волны с круговой поляризацией. Показано, что при малых амплитудах решение согласуется с решением в линейном приближении.

4. Для потоков электрически нейтральных частиц с собственным магнитным моментом найдено точное решение в виде нелинейной волны с круговой поляризацией. Показано, что при малых амплитудах решение согласуется с решением в линейном приближении. Показано, что при увеличении амплитуды зависимость показателя преломления менятся, увеличивая ширину "запрещенной зоны"для волн с правой поляризацией.

Практическая ценность результатов. Полученные уравнения могут быть использованы для более точного расчета электронных устройств. Решения уравнений дают зависимость показателя преломления системы от намагниченности, что позволяет использовать результаты для определения намагниченности при помощи оптического луча. Решения уравнений в потоках нейтральных частиц дает зависимость показателя преломления от амплитуды волны, что дает возможность использовать предложенный механизм для ограничения интенсивности проходящего излучения.

Область применения результатов. Результаты могут применяться для расчетов электронных устройст, использующих эффекты ориентации и взаимодействия спинов частиц. Кроме того, часть результатов, относящаяся к нахождению волновых решений уравнений может быть использована для создания оптических электронных компонентов.

Список публикаций. Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

1. Кузьменков Л. С., Харабадзе Д. Э. Волны в системах частиц с собственным магнитным моментом, (метод квантовой гидродинамики) //Известия вузов. Физика. —2004. —т. 47. —N4. -С. 87-93.

2. Кузьменков JI. С., Харабадзе Д. Э. Электромагнитная волна с круговой поляризацией в системах частиц с собственным магнитным моментом. //Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. —2005. —N4. —С. 19-21.

3. Харабадзе Д. Э. Учет спин-токового взаимодействия при помощи гамильтониана Брейта в гидродинамическом методе. //Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. -2005. -N6. -С. 10-13.

4. Стефанов В. В., Харабадзе Д. Э. Квантовая гидродинамика и функции распределения. //Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2002" секция "ФИЗИКА". -2002. -С. 151-153.

5. Кузьменков Л. С., Максимов С. Г., Харабадзе Д. Э. Электромагнитные, звуковые и плазменные волны в системах частиц с собственным магнитным моментом. //Сборник тезисов конференции "XII Международная конференция по спиновой электронике и гировекторной электродинамике". —2003. —С. 333-342.

6. Андреев П. А., Кузьменков Л. С., Харабадзе Д. Э. Спин-токовое взаимодействие в квантовой гидродинамике. //Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2005" секция "ФИЗИКА". -2005. -С. 88-90.

7. Кузьменков Л. СХарабадзе Д. Э. Электромагнитная волна с круговой поляризацией в системах многих частиц с собственным магнитным моментом. //Сборник тезисов конференции "Ломоносовские чтения" секция физики. —2005. —С. 101-103.

8. Кузьменков Л. С., Харабадзе Д. Э. Электромагнитная волна с круговой поляризацией в системе нейтральных частиц с собственным магнитным моментом. //Сборник тезисов конференции "XIV Международная конференция по спиновой электронике и гировекторной электродинамике", —2005. —С. 183-185.

9. Кузьменков JI. СХарабадзе Д. Э. Нелинейные волны в потоках нейтральных частиц с собственным магнитным моментом. //Сборник тезисов конференции "Ломоносовские чтения" секция физики. —2006. -С. 111-113.

Апробация результатов. Результаты докладывались на XII и XIV международных конференциях по спиновой электронике и гировекторной электродинамике, конференциях "Ломоносов-2002"и "Ломоносов-2005", на "Ломоносовских чтениях"в секции физики.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из списка обозначений и сокращений, введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 111 наименований. Общий объем текста - 103 машинописных страниц. Работа содержит 3 графика.

2-я глава посвящена выводу уравнений квантовой гидродинамики с учетом спин-токового взаимодействия. 3-я глава посвящена решению уравнений в линейном приближении для системы многих заряженных частиц с собственным магнитным моментом. 4-я глава посвящена нахождению точного решения уравнений для системы многих заряженных частиц с собственным магнитным моментом. 5-я глава посвящена нахождению точного решения уравнений для потоков многих нейтральных частиц с собственным магнитным моментом. ***

В квантовой механике для описания состояния системы необходимо задать волновую функцию в конфигурационном пространстве, то есть, зависящую от 3N координатных переменных и одной временнбй переменной. Для нахождения волновой функции в произвольный момент времени необходимо решить уравнение Шредингера. Если система состоит из нескольких невзаимодействующих частиц, уравнение Шредингера для системы сводится к совокупности уравнений Шредингера для каждой из частиц. Однако, в общем случае, необходимо находить решение дифференциального уравнения в частных производных, из-за чего при решении задач с большйм числом взаимодействующих частиц нахождение точной волновой функции представляет собой сложную задачу. Кроме того, волновая функция дает избыточную информацию о системе, хотя бы из-за того, что калибровочные пробразования волновой функции (например, умножение на произвольное комплексное число с единичным модулем) приводят к другому решению уравнения Шредингера, отвечающего тем же физически наблюдаемым величинам. В то же время, в эксперименте могут быть измерены лишь наблюдаемые величины, даваемые усреднением эрмитовых операторов наблюдаемых величин с волновой функцией. Встает задача о переформулировании уравнений квантовой механики в терминах полевых наблюдаемых величин, таких как плотность числа частиц, плотность импульса, плотность магнитного момента. Это приведет к явному выделению в уравнениях классических и квантовых слагаемых.

В связи с известной сложностью рассмотрения систем многих частиц в квантовой механике используют приближенные методы, такие как метод Томаса-Ферми [2, 3] или усовершенствованные методы функционала плотности [4, 5, 6]. Метод Томаса-Ферми широко применяется для расчета распределения плотности вещества в системах многих частиц, таких как многоэлектронные атомы, молекулы, большие ядра, модельные системы с непроницаемыми стенками, твердых тел [5, 7, 8, 9, 10]. Метод Томаса-Ферми допускает ряд усовершенствований, позволяющих учитывать различные поправки, не учитываемые в его классическом варианте [3, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14]. Исследование уравнения Томаса-Ферми соста-вяет отдельную математическую задачу [15, 16, 17, 18].

Однако метод Томаса-Ферми не позволяет рассматривать временную эволюцию систем многих частиц. В частности, вне рассмотрения оказываются волны, возбуждаемые в таких системах. Поэтому для расчета реальных физических систем часто пользуются гидродинамическим методом. Гидродинамический метод применяется при расчете поведения квантовых ям, точечных контактов [19, 20, 21].

Гидродинамический метод являтся естественным для описания пространственно-временного поведения систем многих частиц, позволяет феноменологически учитывать макроскопические характеристики веществ, такие как подвижность носителей заряда, проводимость вещества, инерционность зарядов. Но метод классической гидродинамики имеет существенные ограничения, связанные с отсутствием проявления квантово-механических эффектов при его применении. В частности, не учитывается эффект туннелирования, что не позволяет применять гидродинамический метод для расчета и моделирования современных и перспективных полупроводниковых устройств.

Для описания систем многих частиц, в частности, полупроводниковых приборов, применяется метод квантовой гидродинамики, сочетающий в себе преимущества гидродинамического и квантовомеханического описаний систем. Квантово-гидродинамический метод состоит в исследовании гидродинамических уравнений и квантовых поправок к ним, полученных непосредственно из уравнения Шредингера. В частности, такое преобразование уравнения Шредингера необходимо для исследования волн в системах многих частиц, так как волны распространяются в 3-мерном физическом пространстве, в то время как уравнение Шредингера записывается в конфигурационном пространстве.

В методе квантовой гидродинамики рассматривается временная эволюция наблюдаемых физических величин, таких как концентрация частиц (в вероятностной интерпретации — плотность вероятности обнаружения частицы), плотность тока частиц (в вероятностной интерпретации — плотность потока вероятности), плотность кинетической и потенциальной энергий, в то время как решение стационарного уравнения Шредингера дает лишь значения дискретного спектра полной энергии и набор волновых функций, по которым, безусловно, возможно восстановить концентрацию, плотность тока и энергии, но их изменение во времени не будет учтено. Нестационарное уравнение Шредингера, безусловно, даст зависимость этих величин от времени, но оно не способно описывать диссипативные процессы, а кроме того, решения нестационарного уравнения Шредингера есть не что иное как линейная комбинация решений стационарного уравнения Шредингера с множителями, зависящими от времени.

Кроме того, метод позволяет рассматривать негамильтоновы системы, в частности, включающие диссипацию энергии, например, системы с трением, излучением или проводимостью. Это может быть достигнуто путем добавления соответсвующих диссипативных слагаемых в гидродинамические уравнения на основании принципа суперпозиции для силовых полей, содержащихся в этих уравнениях. В частности, при введении проводимости в уравнения квантовой гидродинамики, в стационарном случае уравнения движения превращаются в закон Ома. Рассмотрение таких систем при помощи уравнения Шредингера невозможно.

Метод квантовой гидродинамики может рассматриваться как обобщение метода Томаса-Ферми. Поэтому к нему могут быть применены поправки, применяемые в методе Томаса-Ферми, в частности, поправка Амальди [3], имеющая значение при сравнительно небольшом числе частиц.

При гидродинамическом описании уравнений квантовой механики явно разделяются классические и квантово-механические слагаемые.

Метод может быть обобщен на системы многих частиц, находящиеся при конечной температуре. Это достигается путем дополнительного введения зависмости давления от температуры и концентрации в уравнениях квантовой гидродинамики.

Главным преимуществом квантово-гидродинамического метода перед исходным уравнением Шредингера является то, что уравнение квантового материального континуума можно использовать совместно с полной системой уравнений Максвелла, тем самым учитывая электромагнитные взаимодействия между частицами, в то время как уравнение Шредингера для заряженных частиц описывает гамильтоновы системы частиц, взаимодействующих при помощи кулоновского взаимодействия (и взаимодействие с внешним электро-магнитным полем).

В работе [22] из уравнения Шредингера для одной частицы путем подстановки ф = y/ne*s (1.1) выводится уравнение непрерывности и уравнение для потенциала скоростей идеальной жидкости: g + V(nVS) = 0, (1.2) где функция S имеет смысл потенциала поля скоростей потенциального течения жидкости. (Следует отметить, что для волновых функций, соответствующих стационарным решениям уравнения Шредингера для атома водорода с ненулевым собственным значением оператора проекции механиА ческого момента L3 поле скоростей будет образовывать замкнутые линии, окружающие прямую, проходящую через ядро, что, вообще говоря, нельзя назвать потенциальным течением, несмотря на то, что во всех точках кроме прямой, проходящей через центр выполняется условие [V х v] = 0. Это связано с тем, что пространство с "выколотой"прямой не является односвяз-ным. Это приводит к неоднозначности потенциала S. В действительности, изменение величины S при "обходе"вокруг прямой может принимать только дискретные значения, что отвечает однозначности волновой функции в квантовой механике.) Эта проблема приводит к неэквивалентности уравнения Шредингера и уравнения квантовой гидродинамики Маделунга [23]. Эта неэквивалентность не проявляется при расчете одномерных задач, так как любое подмножество прямой является односвязной областью. Однако при решении 2-мерных и 3-мерных задач эта неэквивалентность проявляется [24]. Для устранения этой неэквивалентности необходимо рассматривать неоднозначный потенциал поля скоростей с возможностью "скачка"на величину для какого-либо целого числа к. Либо, в формулировке через поле скоростей: т f dyv(y) = 2тгhk, к в Z, (1.4) что является гидродинамическим аналогом условия квантования Бора-Зоммерфельда и непосредственным следствием условия однозначности волновой функции.

В уравнении (1.3) к потенциалу U добавляется квантовый потенциал Бома [25, 26, 27], пропорциональный Н2. Простым преобразованием этот квантовый потенциал может быть записан в нескольких эквивалентых формах, одинаково применяемых в литературе [25, 28]: h2 Д^ И2 An h2 (Vn)2 h2 . , , ч h2 . . . ч2 . сЧ

----yzr- = ----+ —= -—AIn n - — (Vln(n)Y • (1.5)

2m 4m n 8m n2 Am w 8mv 4 " v ;

Однако, в некоторых работах (например, [87]) квантовый потенциал Бома рассматривается не как потенциал, а как "квантовый тензор напряжений":

Tik = (J^L. - (16)

1 Am2 \дх{дхк ndxidxk) в уравнении

Из-за того, что "квантовый тензор напряжений "стоит под знаком градиента, из него можно выделить квантовый потенциал Бома: д п2 ( д2п 1 дпдтЛ дхк 4тп2 \dxidxk п dxi дхк ) Yin ( h2 (Уп)Л п \4тп2 8т2 п J ' откуда

1 д П2 д2п 1 дпдгЛ \dxi дхк ndxidxk) пдхк4 т2

1-е) д ( h2 An h2 (Vrt)2\ дхi \4m2 n 8m2 n2 J '

Гидродинамические уравнения, получаемые для одной частицы, как видно, оказываются замкнутыми. Вайцзеккер [7] предложил использовать последний член квантового потенциала Бома как поправку к методу Томаса-Ферми в случае, если концентрация на бесконечности обращается в ноль (например, в атоме водорода): tn fjn ( h2 An ft2(Vn)2\ fJnh2(Vn)2 /iiA.

SE = dRnl ----+ т 7г~ = / dR—±—(1.10)

J \ 4m n 8m rr ) J 8m n

Также уравнения движения идеальной жидкости в методе квантовой гидродинамики могут быть записаны в виде уравнений Лагранжа [28] с функцией Лагранжа:

Метод квантовой гидродинамики применяется для рассмотрения фундаментальных физических задач. В работе [29] метод квантовой гидродинамики обобщается на случай гипотетических частиц с собственным магнитным зарядом (магнитных монополей). В работе [30] производится анализ принципа неопределенности Гейзенберга с точки зрения квантовой гидродинамики. В работе [31] производится анализ эффекта Ааронова-Бома с точки зрения квантовой гидродинамики. В работе [32] производится анализ релятивистского уравнения Кеммера для распространения фотонов и рассматривается задача о распространении света через два отверстия в непрозрачном экране и задача о прохождении и отражении света от прозрачной плоско-параллельной пластины. В работах [33, 34] рассматривается задача о движении квазичастиц, эффективная масса которых зависит от пространственных координат. Показывается, что квантовый потенциал Бома принимает вид:

В работе [35] показан переход к квазиклассическому приближению Масло-ва. В работе [36] показан переход к классическому уравнению Ньютона. В работе [37] показан один из способов перехода к функциям распределения в фазовом пространстве. В работе [38] гидродинамическая форма уравнения Дирака применяется для исследования туннелирования электрона в структурах типа "проводник-изолятор-проводник". В работе [39] исследуется поведение частиц в областях, окруженных непроницаемыми границами. В работе [40] исследуется поведение квантовомеханического ротатора. В работе [41] исследуется поведение частицы в потенциале типа "двойная яма". В работе [42] исследуется рассеяние частиц на непрозрачном барьере, а в работе [43] - на барьере Эккарта. В работе [44] рассматривается рассеяние частиц на двух экранах с двумя отверстиями и показывается расхождение результатов, предсказываемых стандартной квантовой механикой и гидродинамической ее формой. В работе [46] критикуются выводы ift^V + т0с) ф = 0

1.12)

1.13) предыдущей работы и показывается принципиальная неотличимость результатов квантовой механики и ее гидродинамической формы. В работе же [45] при повторном рассмотрении задачи о рассеянии частиц на двух экранах с двумя отверстиями показывается соответствие результатов предсказаний стандартной квантовой механики и ее гидродинамической формы. Кроме того, решается задача о рассеянии частиц на одном экране с двумя отверстиями. В работе [47] исследуются различные линии тока, возникающие в гидродинамической формулировке квантовой механики. В работе [48] показано, что при движении ансамбля классических частиц по линиям тока, средняя плотность частиц по ансамблю совпадает с квадратом волновой функции в стандартной квантовой механике. В работе [49] выводится приближенное выражение для квантового потенциала Бома, переходящее в точное для квадратичных потенциалов внешнего поля. Это приближенное выражение также позволяет сократить вычислительную сложность при численной эмуляции. В работе [50] исследуется прохождение электронов по квантовой проволоке.

В работе [51] получены уравнения квантовой гидродинамики для систем многих взаимодействующих частиц.

Метод квантовой гидродинамики может быть использован для описания классических квантовомеханических систем, таких как свободная частица [30], атом водорода [52, 53]. Метод может быть применен для исследования туннелирования электронов [54], распадающихся систем [55]. Кроме того, метод применяется для описания квантово-механических свойств холодной плазмы [56, 57], систем с большим числом ядер [58]. Но наиболее итенсивно метод используется для расчета полупроводниковых устройств [59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67]. Большое значение имеет нахождение волновых решений в квантовой гидродинамике [68].

В работе [69] при помощи метода квантовой гидродинамики в одномерном случае нелинейное уравнение Шредингера приводится к уравнению Кортевега-де Вриза, что позволяет связать солитонные решения для этих уравнений.

Так как уравнения квантовой гидродинамики являются полевыми уравнениями в частных производных, их решение существенно зависит от того, каким граничным условиям они удовлетворяют [70]. Для приближенного решения уравнений квантовой гидродинамики может быть использован метод разложения по базисам, состоящим из "гладких"функций [71, 49]. Решение уравнений квантовой гидродинамики представляет собой отдельную задачу [72, 73, 74, 75].

Необходимо отметить, что макроскопические величины экспериментально измеряются с какой-то точностью. Моделировать измерение координат и времени с низкой точностью можно, в частности, при помощи свертки величин, зависящих от координат и времени, с ядром, имеющим конечную ширину. (Это эквивалентно удалению высокочастотных составляющих из сигнала.)

Wro(x, t) = J d3xdrG(x -x,t- r)nmicro(x, т). (1.14)

Ширина ядра свертки отвечет размеру "физически бесконечно малого объема", или "физически бесконечно малого промежутка времени". Следует особо отметить, что свертка с ядром является линейной операцией, а следовательно, линейные уравнения не изменятся при применении к ним такой операции. Например, уравнения Максвелла, для полей, усредненных по физически бесконечно малому объему сохранят свою форму. То есть, уравнения Максвелла, являясь линейными, не меняются при переходе от микроскопического масштаба к макроскопическому при таком способе усреднения. Одним из частных случаев предложенной операции является "подсчет числа частиц внутри физически бесконечно малого объема", что сводится к свертке с "прямоугольным"ядром:

G(x -x,t~r) = - х + Д)0(х - х + A)8(t - г). (1.15)

Это приводит к интегрированию по конечному объему: j А Д Д nmacro(x,t) = Тд / dxi J dx2 / dxznmicro(x + x,t)- (1.16)

-Д -Д -Д

To есть, показывает плотность вероятности обнаружения частицы внутри куба с ребром 2Д.

Такой подход позволяет сократить объем информации для описания системы. В качестве величин, приближенно описывающих систему многих частиц были выбраны плотность вероятности обнаружения частицы, плотность потока вероятности и плотность энергии. Этот метод "сглажи-вания"описан в работах [76, 77, 78].

Классическая механика также допускает полевое представление в виде уравнений в частных производных в 3-мерном физическом пространстве [76, 77]. Для получения микроскопических уравнений классической механики в полевом представлении необходимо ввести функции в 3-мерном физическом пространстве, являющиеся суперпозицией ^-распределений, отвечающих точечной модели частицы: N nmicroi*, t) = £ 5 (х - Xk(t)) ■ (1.17) к=1

Переход к макроскопическому описанию представляет собой свертку с некоторым ядром. nmacro(x,t) = j d3xdTG(x-x,t-T)nmicro(x,T) = £ /drG (х - xk(r),t - т) fc —1

1.18)

Что, в частном случае, при отсутствии сглаживания во времени, то есть при G(x—x,t—r) = G(x—x)S(t—r) приводит к эффективному изменению модели частицы: N

Пщасго = Е G (X - Xk(t)) . (1.19) к=1

Поэтому рассмотрение другой модели распределения плотности частицы может быть учтено при переходе от микроскопической функции плотности к макроскопической и является избыточным.

Возможность описания классических систем при помощи полевых уравнений в частных производных позволяет одновременно рассматривать классические и квантовые системы в рамках одного аппарата.

Следует отметить, что для классических систем аналогичным способом могут быть получены кинетические уравнения, если в качестве функции распределения для системы многих точечных частиц выбрать:

X, Р, t) = Е (х - Xfc(0) S (р - PfcW). (1.20) к=1

К сожалению, в квантовой механике, в силу принципа неопределенности, невозможен прямой аналог такого "кинетического"подхода. Одним из общепринятых подходов является метод, основаннный на функции Вигнера [79, 80]. Однако функция Вигнера приводит к уравнению, которое не является калибровочно-инвариантным [81] и не дает правильной формулы для плотности кинетической энергии квантовой системы [82]. Поэтому в работе [83] предложена другая функция, описываемая оператором N г> р) = Е ^(р)прДх). (1.21) i=i

Операторы п(х) и пр(р) являются эрмитовыми, а значит, соответствуют наблюдаемым величинам. Но они не коммутируют. Это значит, что произведение ппр не будет являться эрмитовым. Таким образом, среднее значение этой функции будет давать комплексную величину с ненулевой, в общем случае, мнимой частью. Однако, выбор другой последовательности операторов приводит к комплексному сопряжению функции распределения (а полусумма, соответственно, приведет к выделению действительной части функции).

Для получения эрмитова оператора необходимо "симметризовать"или "антисимметризовать"произведение операторов. N г,р) = \ £ (nf(p)nPii(x) + прДх)пг-(р)), lN (1-22) г, р) = \ £ (ini(p)nP)i(x) - inPti(x)ni(р)). i=i

В [83] было получено уравнение для предложенной функции распределения, но в него входит и мнимая часть функции распределения, влияние которой обращается в ноль в случае классических систем. В работе [84, 85] на основе предложенных уравнений получены уравнения микроскопической квантовой гидродинамики.

Следует отметить, что как действительная так и мнимая части функции распределения [99] являются наблюдаемыми величинами, так как п(х)пр(р) + п{х)пр{р)У = (п{х)пр(р) + п{х)пр(р)), ^ in(x)np(p) - 1п(х)пр(р)У = (in(x)np(p) - in(x)np(p)).

Но эти величины не могут наблюдаться одновременно, так как соответствующие им операторы не коммутируют. Это можно считать проявлением принципа неопределенности.

В связи с возможностью создания полупроводниковых устройств, управляемых магнитным полем, особый интерес представляет исследование систем частиц с собственным магнитным моментом. Уравнения для таких систем рассматриваются в работах [86, 87, 88]. В работах [86, 88] спин вносит вклад в ток частицы:

J = ((Щ+)ф - ф+Уф) - —ф+ф + А [V х (ф+аф) 1. (1.24) 2т4 т 2тL 4 /J

Таким образом, наличие спина у частиц интерпретировалось как наличие вихрей у идеальной жидкости. В то же время, в работе [87] наличие спина частиц интерпретируется как намагниченность квантовой жидкости: что в большей мере согласуется с электродинамикой сплошных сред [89].

Но при учете наличия спина в системе многих частиц следует учитывать наличие спин-спинового взаимодействия. Это взаимодействие важно для исследования спиновых волн в твердых телах и ядрах, структуре ядер и ядерного магнитного резонанса [90, 91, 92, 93, 94]. В работах [95, 96] был приведен вывод гидродинамических уравнений для систем многих частиц с собственным магнитным моментом из уравнения Шредингера с гамильтонианом, включающим спин-спиновое взаимодействие. Корректный вывод приводил к уравнению Блоха и дополнительному слагаемому в уравнении баланса импульса ца¥Ва.

Но взаимодействие спина с током осталось за рамками рассмотрения и учитывалось по аналогии с класическим принципом суперпозиции.

Однако во многих задачах оказывается важным учет спин-токового взаимодействия. В частности, при движении нейтральных частиц возникает взаимодействие собственного магнитного момента с внешним электрическим полем. (В отличие от взаимодействия собственного магнитного момента с током заряженной частицы, что может быть учтено на основании классического принципа суперпозиции.)

В частности, при рассмотрении пучков незаряженных частиц с собственным магнитным моментом учет спин-токового взаимодействия приводит к зависимости ширины "запрещенной зоны"от амплитуды волны [97].

В классическом варианте квантовой гидродинамики, предложенном Маделунгом, уравнения баланса выводились из уравнения Шредингера для одной частицы. Это применимо лишь при рассмотрении одночастич-ных задач, таких как нахождение спектра излучения атома водорода. Воз

1.25) никает вопрос о применимости метода для многочастичных задач, в частности, для нахождения волн в системах многих частиц. Для этого необходимо исследовать многочастичное уравнение Шредингера в ЗЛ^-мерном конфигурационном пространстве.

Простым методом для анализа многочастичного уравнения Шредингера будет анализ его как уравнения для частицы в конфигурационном пространстве. То есть, вся система представляется точкой в ЗЛ^-мерном конфигурационном пространстве. В таком случае, например, кулоновское взаимодействие между частицами приводит к появлению внешнего потенциала в конфигурационном пространстве. Но в таком случае уравнения баланса также окажутся записанными в конфигурационном пространстве, что существенно затрудняет рассмотрение процессов в трехмерном физическом пространстве, такие как волны.

Поэтому полученные уравнения баланса в ЗАГ-мерном конфигурационном пространстве необходимо спроектировать на трехмерное физическое пространство. Это достигается сверткой функций в 3-мерном пространстве с суммой ^-функций:

Для систем же тождественных частиц свертка с суммой ^-функций сведется к сумме тождественных слагаемых в силу симметрии волновой функции относительно перестановок тождественных частиц. В результате рассмотрения систем многих частиц как в квантовой так и в классической механике получается классическое уравнение непрерывности. Однако в уравнение для тока из-за наличия межчастичных взаимодействий будет входить двухчастичная плотность распределения, которая, в общем случае, не сводится к одночастичным функциям. Таким образом, получается аналог цепочки Боголюбова, заканчивающийся на уравнении для iV-частичной функции

R3N к=1

1.26) распределения и уравнения для тока в ЗЛГ-мерном пространстве. Таким образом, для замыкания системы уравнений квантовой гидродинамики необходимо внести предположения о системе. В частности, одним из способов замыкания системы может быть предположение о том, что двухчастичная функция распределения является произведением одночастичных функций распределения. В действительности, двухчастичная функция не равна произведению одночастичных функций, а отличается от него на корреляционную функцию: п(х,у) = п(х)п(у) + £(х,у). (1.27)

Корреляционная функция зависит от конкретной системы. Для систем частиц со слабым взаимодействием, таких как разреженные газы, она обращается в ноль.

Уравнения квантовой гидродинамики для систем многих частиц с кулоновским взаимодействием получены в работе [99].

Многочастичное уравнение Шредингера описывает системы частиц, взаимодействующих при помощи потенциального взаимодействия во внешнем электромагнитном поле. Уравнение Паули учитывает взаимодействие спинов частиц с внешним магнитным полем, но не учитывает взаимодействия спинов этих частиц друг с другом. Ранее [95, 96] были получены уравнения квантовой гидродинамики для систем частиц со спинами, учитывающие взаимодействие спинов. В качестве гамильтониана для уравнения Шредингера бралась часть гамильтониана Брейта. Это привело к появлению в уравнениях квантовой гидродинамики самосогласованного магнитного поля, источником которого являлись магнитные моменты частиц. Но в системе многих заряженных частиц с собственным магнитным моментом самосогласованное магнитное поле может появляться не только из-за наличия магнитного момента у частиц, но так же и из-за движения этих заряженных частиц. В частности, для получения поля, создаваемого токами частиц в квантовой гидродинамике, необходимо учитывать взаимодействие спина частицы с током другой частицы (спин-токовое взаимодействие).

В главе 2 при помощи операторного формализма [1] производится вывод гидродинамических уравнений с учетом спин-токовых взаимодействий [100, 101]. Выводятся уравнения баланса плотности числа частиц, плотности потока частиц, плотности магнитного момента из уравнения Шредингера с учетом спин-токового взаимодействия. В уравнениях баланса плотности потока частиц и плотности магнитного момента возникают электромагнитные поля, частично удовлетворяющие уравнениям Максвелла. Источниками этих самосогласованных полей являются заряды и токи частиц. Кроме того, в правых частях уравнений баланса импульса и магнитного момента появляются слагаемые, описывающие взаимодействие магнитных моментов движущихся частиц с электрическим полем, создаваемым другими частицами.

В плазмоподобных средах частицы могут обладать не только электрическим зарядом, но и магнитным моментом. При рассмотрении систем многих частиц с собственными магнитными моментами в уравнениях квантовой гидродинамики необходимо учитывать взаимодействие спинов и квантовый потенциал Бома. Возникает задача о распространении волн в таких системах. При этом существует возможность в рамках одного и того же формализма исследовать электромагнитные, плазменные и акустические волны.

В главе 3 выполнен расчет дисперсионных соотношений для волн в линейной теории многих заряженных частиц с собственным магнитным моментом в постоянном внешнем магнитном поле [102,103]. Показано, что часть квантового потенциала Бома, предложенная Вайцзеккером, обращается в ноль в линейном приближении. Найдены решения вдоль и поперек магнитного поля.

В линейном приближении можно получить дисперсионные соотношения для малых отклонений полевых характеристик системы (таких как электрическое, магнитное поле, плотность магнитного момента, концентрация частиц, скорость частиц) от равновесного состояния. Однако при большой интенсивности интерес представляет точное решение, что дает возможность получить решение и для больших амплитуд возмущений в системе.

В главе 4 найдено точное решение уравнений гидродинамики для систем поляризованных заряженных частиц с собственным магнитным моментом в постоянном внешнем магнитном поле [104, 105]. Показано, что решение согласуется с результатами главы 3.

В потоке нейтронов, например, идущих из реактора, могут возникать различные волны. Так как у нейтронов имеется собственный магнитный момент, при гидродинамическом рассмотрении необходимо учитывать взаимодействие спинов нейтронов. Исследовалось влияние "спин-орбитальных"поправок к уравнению баланса импульса для систем многих нейтральных частиц, полученной при учете спин-токового взаимодействия в уравнениях квантовой гидродинамики. Выснилось, что эти поправки влияют на поведение системы при больших амплитудах волн.

В главе 5 найдено точное решение уравнений гидродинамики с учетом спин-токового взаимодействия для систем нейтральных частиц с собственным магнитным моментом во внешнем магнитном поле [97, 98]. Показано, что дисперсионное уравнение будет зависеть от амплитуды распространяющейся волны.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Харабадзе, Давид Эдгарович

5.5. Выводы

Для потоков электрически нетральных частиц с собственным магнитным моментом найдено точное решение в виде волны с круговой поляризацией. Показано, что при малых амплитудах решение согласуется с решением в линейном приближении. Показано, что при увеличении амплитуды зависимость показателя преломления менятся, увеличивая ширину запрещенной зоны"для волн с правой поляризацией. Показано, что в потоке может возникать волна, движущаяся со скоростью потока, не имеющая электрических и магнитных составляющих.

6. Заключение

В работе получены следующие результаты:

1. На основе уравнения Шредингера для систем многих частиц с собственным магнитным моментом с гамильтонианом, учитывающим спин-токовое взаимодействие частиц получены уравнения квантовой гидродинамики. Получены уравнения баланса числа частиц, баланса плотности импульса, баланса плотности магнитного момента и уравнения для самосогласованных электрического и магнитного полей. Источником для части самосогласованного магнитного поля является ток заряженных частиц. Получены поправки к уравнениям баланса плотности импульса и плотности магнитного момента, связанные со спин-токовым взаимодействием частиц.

2. Получены решения уравнений квантовой гидродинамики для систем многих частиц с собственными магнитными моментами в линейном приближении. В рамках единого формализма были получены дисперсионные соотношения для оптических, акустических и плазменных волн, распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля. Получено одно дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся поперек внешнего магнитного поля с вектором электрического поля, направленным вдоль внешнего магнитного поля. Получено дисперсионное соотношение для акустических волн, распространяющихся в данной системе в произвольном направлении относительно внешнего магнитного поля. Показано, что дисперсионное соотношение для акустической волны имеет две ветви, но в крайних случаях распространения волны вдоль внешнего магнитного поля и поперек внешнего магнитного поля, остается лишь одна ветвь. Показано, что вклад квантового потенциала Бома в линейном приближении оказывает влияние лишь на скорость звука в системе, в виде квадратичной зависимости от волнового вектора распространяющейся волны.

3. Для системы многих заряженных частиц, обладающих собственным магнитным моменом, получено точное решение в виде волны с круговой поляризацией, распространяющейся вдоль внешнего магнитного поля. Показано, что в пределе малых амплитуд оно переходит в соответствующее решение линеаризованной системы.

4. Исследовано влияние спин-токового взаимодействия на распространение волн в пучках электрически нейтральных частиц, обладающих собственным магнитным моментом. Для потоков электрически нейтральных частиц с собственным магнитным моментом найдено точное решение в виде волны с круговой поляризацией, с учетом спин-токового взаимодействия. Показано, что при малых амплитудах решение согласуется с решением в линейном приближении. Найдена зависимость дисперсионных соотношений от амплитуды распространяющейся волны. Получено увеличение "запрещенной зоны"при увеличении амплитуды волны. Показано, что в пределе малых амплитуд решение переходит в результаты линейной теории

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Харабадзе, Давид Эдгарович, 2006 год

1. Yee D. D. H. Quantum Theory of Hydrodynamic Currents //Phys.Rev. -1969. -v. 184. -N1. -P. 196-202.

2. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.:Наука. 1989.

3. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. М.:Наука. 1974.

4. Holas A., March N. Н. Comment on Kinetic energy in density-functional theory //Phys.Rev.A. -2001. -v. 64. -N1. -P. 016501.

5. Lieb E. H. Thomas-Fermi and related theories of atoms and molecules //Rev.Mod.Phys. -1981. -v. 53. -P. 603-641.

6. Miao M. S. The partitioning of Thomas-Fermi, von Weizsacker and Dirac density functionals //J.Phys.A. -2001. -v. 34. -P. 8171-8184.

7. Weizsacker C. F. Zur Theorie der Kernmassen //Z.Phys. —1935. —v. 96. -P. 431-442.

8. Cappelluti E., Delle Site L. Generalized Thomas-Fermi approach for systems under pressure //Physica A. -2002. -v. 303. -N3-4. -P.481-492.

9. Delle Site L. Equation of state of compressed matter: a simple statistical model //Physica A. -2001. -v. 293. -N1-2. -P. 71-82.

10. Sanudo J., Pacheco A. F. Electrons in a shell and the virial theorem //Physica A. -2003. -v. 328. -P. 439-448.

11. Sanudo J., Pacheco A. F. A near-nucleus correction for the finit-temperature Thomas-Fermi model //J.Phys.A. —2000. —v. 33. —P. 59135918.

12. Pfalzner S., Rose S. J. A near-nucleus correction for the finit-temperature Thomas-Fermi model //J.Phys.B. -1991. -v. 24. -P. 873-879.

13. Manoukian E. В., Bantitadawit P. Direct Derivation of the Schwinger Quantum Correction to the Thomas-Fermi Atom //Int.J.Theor.Phys. — 1998. —v. 38. —N3. -P. 897-899.

14. Киржниц Д. А. Квантовые поправки к уравнению Томаса-Ферми //ЖЭТФ. -1957. -v. 32. —N1. -С. 115-123.

15. March N. Н., Nieto L. М. Some specific solutions of generalized Emden equation, embracing Thomas-Fermi-like theories //J.Phys.A. —2001. — v. 34. —P. L341-L345.

16. He J.-H. Variational approach to the Thomas-Fermi equation //Appl.Math.Comp. -2003. -v. 143. -P. 533-535.

17. Kiessling M. K.-H. Symmetry Results for Finite-Temperature, Relativistic Thomas-Fermi Equations //Commun.Math.Phys. —2002. -v. 226. -P. 607-626.

18. Liao S. An explicit analytic solution to the Thomas-Fermi equation. //Appl.Math.Comp. -2003. -v. 144. -P. 495-506.

19. Besikci C., Tanatar В., Sen O. Hydrodynamic approach for modelling transport in quantum well device structures //J.Phys.D. —1998. —v. 31. ' -P. 2211-2218.

20. Bruus H., Flensberg K. Localized plasmons in point contacts //Semicond.Sci.Technol. -1998. -v. 13. —P. A30-A32.

21. Wu M. W., Cui H. L., Sun W., Wu S. Y. Onsager relations and hydrodynamic balance equations in 2D quantum wells //Phys.Lett.A. — 1996.-v. 223. -P. 204-210.

22. Madelung E. Quantenteorie in hydrodynamischer form //Z.Phys. —1926. -v.40.-N 2.-P. 322.

23. Wallstrom Т. C. Inequivalence between the Schrodinger equation and the Madelung hydrodynamic equations //Phys.Rev.A. —1994. —v. 49. —N3. -P. 1613-1617.

24. Barker J. R., Ferry D. K. On the validity of quantum hydrodynamics for describing antidot array devices //Semicond.Sci.Technol. —1998. —v. 13. —P. A135-A139.

25. В ohm D. A suggested interpretation of the quantum theory in terms of "hidden" variables. I //Phys.Rev. -1952. -v. 85. -P. 166.

26. Bohm D. A suggested interpretation of the quantum theory in terms of "hidden" variables. II //Phys.Rev. -1952. -v. 85. -P. 180.

27. Bohm D., Vigier J. P. Model of the causal interpretation of quantum theory in terms of a fluid with irregular fluctuations //Phys.Rev. —1954. —v. 96. -P. 208.

28. Chiueh T. Fluid Lagrangian approach to the classical-quantum transition //Phys.Rev.E. -2000. -v. 61. -N4. -P. 3823-3827.

29. Bialynicki-Birula I., Bialynicki-Birula Z. Magnetic Monopoles in the Hydrodynamic Formulation of Quantum Mechanics //Phys.Rev.D. — 1971. —v. 3. -N10. -P. 2410-2412.

30. Wilhelm H. E. Magnetic Monopoles in the Hydrodynamic Formulation of Quantum Mechanics //Phys.Rev.D. -1970. -v. 1. -N8. -P. 2278-2285.

31. Casati G. Guarneri I. Aharonov-Bohm Effect from "Hydrodynamical"Viewpoint //Phys.Rev.Lett. -1979. -v. 42. -N24. -P. 1579-1581.

32. Ghose P., Majumdar A. S., Guha S., Sau J. Bohmian trajectories for photons //Phys.Lett.A. -2001. -v. 290. -P. 205-213.

33. Санин A. Л. Уравнения Маделунга и Максвелла-Лоренца для электрона с переменой эффективной массой //Оптика и спектроскопия. -1996.-т. 80. -Р. 540-543.

34. Plastino A. R., Casas М., Plastino A. Bohmian quantum theory of motion for particles with position-dependent effective mass //Phys.Lett.A. — 2001.-v. 281.-P. 297-304.

35. De Gosson M. The quantum motion of half-densities and the derivation of Schrodinger's equation //J.Phys.A:Math.Gen. -1998. -v. 31. -P. 42394247.

36. Allori V., Diirr D., Goldstein S., Zanghi N. Seven steps towards the classical wold //J.Opt.B.:Quantum Semiclass.Opt. —2002. —v. 4. — P. S482-S488.

37. Dias N. C., Prata J. N. Bohmian trajectories and quantum phase space distributions //Phys.Lett.A. -2002. -v. 302. -P. 261-272.

38. Bowman G. E. Wave packets and Bohmian mechanics in the kicked rotator //Phys.Lett.A. -2002. -v. 298. -P. 7-17.

39. Stomphorst R. G. Transmission and reflection in a double potential well: doing it in the Bohmian way //Phys.Lett.A. -2002. -v. 292. -P. 213221.

40. Leavens C. R., Iannaccone G., McKinnon W. R. On the approach to the stationary-state-scattering limit within Bohmian mechanics //Phys.Lett.A. -1995. -v. 208. -P. 17-24.

41. Nerukh D., Frederick J. H. Multidimensional quantum dynamics with trajectories: a novel numerical implementation of Bohmian mechanics //Chem.Phys.Lett. -2000. -v. 208. -P. 17-24.

42. Golshani M., Akhavan 0. Bohmian prediction about a two double-slit experiment and its disagreement with standard quantum mechanics //J.Phys.A:Math.Gen. -2001. -v. 34. -P. 5259-5268.

43. Guay E., Marchildon L. Two-particle interference in standard and Bohmian quantum mechanics //J.Phys.A. -2003. -v. 36. -P. 5617-5624.

44. Struyve W., De Baere W., De Neve J., De Weirdt S. Comment on 'Bohmian prediction about a two double-slit experiment and its disagreement with standard quantum mechanics' //J.Phys.A. —2003. — v. 36. -P. 1525-1530.

45. Frisk H. Properties of the trajectories in Bohmian mechanics //Phys.Lett.A. -1997. -v. 227. -P. 139-142.

46. Potel G., Munoz-Alenar M., Barranco F., Vigezzi E. Stability properties of |V>|2 in Bohmian dynamics //Phys.Lett.A. -2002. -v. 299. -P. 125130.

47. Garashchuk S., Rassolov V. A. Quantum dynamics with Bohmian trajectories: energy conserving approximation to the quantum potential //Chem.Phys.Lett. -2003. -v. 376. -P. 358-363.

48. Shifren L., Akis R., Ferry D. K. Correspondence between quantum and classical motion: comparing Bohmian mechanics with a smoothed effective potential approach //Phys.Lett.A. -2000. -v. 274. -P. 75-83.

49. Кузьменков JI. С., Максимов С. Г. Квантовая гидродинамика систем частиц с кулоновским взаимодействием и квантовый потенциал Бома //ТМФ. -1999. -т. 118. —N2. -С. 287.

50. А. В. Андреев, Самосогласованные уравнения взаимодействия атома с электромагнитными полями произвольной интенсивности //Письма в ЖЭТФ. -2000. -т. 72. -вып.5, -С. 350-354.

51. Colijn С., Vrscay Е. R. Spin-dependent Bohm trajectories for hydrogen eigenstates //Phys.Lett.A. -2002. -v. 300. -P. 334-340.

52. Challinor A., Lasenby A., Somaroo S., Doran C., Gull S. Tunneling times of electrons //Phys.Lett.A. -1997. -v. 227. -P. 143-152.

53. Nogami Y., Toyama F. M., van Dijk W. Bohmian description of a decaying quantum system //Phys.Lett.A. -2000. -v. 270. -P. 279-287.

54. Кузелев M. В., Рухадзе А. А. О квантовом описании линейных кинетических свойств плазмы //УФН. -1999. -т. 169. -N 6. -С. 687-689.

55. Wong С. X. On the Shrodinger equation in fluid-dynamical form //J.Math.Phys. -1976. -v. 17. -N6. -P. 1008-1010.

56. Brezzi F., Gasser I., Markowich P. A., Schmeiser C. Thermal Equilibrium States of the Quantum Hydrodynamic Model for Semiconductors in One Dimension //Appl.Math.Lett. —1995. —v. 8. -Nl.-P. 47-52.

57. Glenn Brook R., Oppenheimer P. E., Weatherford C. A., Banicescu I., Zhu J. Thermal Equilibrium States of the Quantum Hydrodynamic Model for Semiconductors in One Dimension //Theo.Chem.Appl.Math.Lett. — 2002.-v. 592. -P. 69-77.

58. Chen Z. A Finite Element Method for the Quantum Hydrodynamic Model for Semiconductor Devices //Comp.Math.Applic. —1996. —v. 31. —N 7. — P. 17-26.

59. Gardner C. L., Ringhofer C. Numerical simulation of the smooth quantum hydrodynamic model for semiconductor devices //Comp.Meth.Appl.Mech.Eng. -2000. -v. 181. -P. 393-401.

60. Ferry D. K., Zhou J.-R. Form of the quantum potential for use in hydrodynamic equations for semiconductor device modeling //Phys.Rev.B. -1993. -v.48. -Nil. -P.7944-7950.

61. Poupaud F., Ringhofer C. Quantum Hydrodynamic Models in Semiconductor Crystals //Appl.Math.Lett. -1995. -v. 8. -N6. -P. 5559.

62. Barker J. R. A theoretical study of atomistic effects on the quantum hydrodynamics of carriers in decanano semiconductor devices using non-self-averaged Green functions //Physica E. —2003. —v. 19. —P. 62-70.

63. Liu E., Han R., Li Е., Bai P. A novel hydrodynamic model for nanoscale devices simulation //Microelectronics J. —2003. —v. 34. —P. 289-496.

64. Zhang В., Jerome J. W. On a steady-state quantum hydrodynamic model for semiconductors //Nonlinear Anal.Theor.Meth.App. —1996. —v. 26. — N4. -P. 845-856.

65. Gasser I. Traveling Wave Solutions for a Quantum Hydrodynamic Model //Appl.Math.Lett. -2001. -v. 14. -P. 279-283.

66. Fedele R., Schamel H. Solitary waves in the Madelung's fluid: Connection between the nonlinear Schrodinger equation and the Korteweg-de Vries equation //Eur.Phys.J.B. -2002. -v. 27. -P. 313-320.

67. Pinnau R. A Note on Boundary Conditions for Quantum Hydrodynamic Equations //Appl.Math.Lett. -1999. -v. 12. -P. 77-82.

68. Ни X.-G., Ho T.-S., Rabitz H. Multivariate Radial Basis Interpolation for Solving Quantum Fluid Dynamical Equations //Comp.Math.Applic. -2002.-v. 43. -P. 525-537.

69. Polavieja G. G., Child M. S. Quantum instability of the flux lines in te coherent state representation //Phys.Rev.E. —1997. —v. 55. —N2. — P.1451-1456.

70. Jiingel A., Mariani M. C., Rial D. Local existence of solutions to the transient quantum hydrodynamic equations //Chem.Phys.Lett. —2002. -v. 364. -P. 562-567.

71. Na K., Wyatt R E. Quantum hydrodynamic analysis of decoherence: quantum trajectories and stress tensor //Phys.Lett.A. —2002. —v. 306. -P. 97-103.

72. Lopreore С. L., Wyatt R. E. Quantum Wave Packet Dynamics with Tajectories //Phys.Rev.Lett. -1999. -v. 82. -N26. -P. 5190-5193.

73. Кузьменков Л. С. Полевая форма динамики и статистика систем частиц с электромагнитным взаимодействием //ТМФ. —1991. —т. 86. — N2. -С. 231-243.

74. Дрофа М. А., Кузьменков Л. С. Континуальный подход к системам многих частиц с дальнодействием. Иерархия макроскопических полей и некоторые физические следствия //ТМФ. —1996. —т. 108. — N1. — С.З.

75. Кузьменков Л. С. Макроскопическая структура электромагнитного поля в задачах электродинамики и физической кинетики. //Пленарный доклад на конференции "Проблемы фундаментальной физики" 7-12 октября 1996 г., г. Саратов.

76. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. М.: Наука. 1976.

77. Mclrvine Е. С., Overhauser A. W. New Quantum-Mechanical Representation //Phys.Rev. -1959. -v. 115. -N6. -P. 1531-1536.

78. Ахиезер A.M., Пелетминский С.В. Методы статистической физики. М.:Наука.1977.

79. Боголюбов Н. Н. Избранные труды в трех томах. Том третий. Киев.:Наукова думка, 1971.

80. Кузьменков Л. С., Максимов С. Г. О функциях распределения в квантовой механике и функциях Вигнера //ТМФ. —2002. —т. 131. —N2. -С. 231-243.

81. Стефанов В. В., Харабадзе Д. Э. Уравнения баланса квантовой гидродинамики как следствия статистической теории //ФМР. —2003. —N1. -С. 60-65.

82. Стефанов В. В., Харабадзе Д. Э. Квантовая гидродинамика и функции распределения. //Сборник тезисов конференции "JIOMOHOCOB-2002" секция "ФИЗИКА". -2002. -С. 151-153.

83. Rylov Y. A. Spin and wave function as attributes of ideal fluid //J.Math.Phys. -1999. -v. 40. -Nl. -P. 256-278.

84. Микаэляп M. А. Гидродинамическая формулировка уравнения Паули //Прикладная физика. —2003. —N 3. —С. 5-9.

85. Recami Е., Salesi G. Kinematics and hydrodynamics of spinning particles //Phys.Rev. -1998. -v.57. -Nl. -P.98-105.

86. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.:Наука.1982.

87. Overhauser A. W. Giant spin density waves //Phys.Rev.Lett. —1960. — v.4. —N9. -P. 462-465.

88. Overhauser A. W. Spin Density Waves in an Electron Gas //Phys.Rev. -1962. -v. 128. —N3. -P. 1437-1452.

89. Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г., Пелетминский С. В. Спиновые волны. М.:Наука.1967.

90. Бор О., Моттелъсон Б. Структура атомного ядра. Т.1. М.:Мир.1971.

91. Александров И. В. Теория ядерного магнитного резонанса. М.:Наука.1964.

92. Кузьменков JI. С., Максимов С. Г., Федосеев В. В. Квантовая гидродинамика систем фермионов I //ТМФ. —2001. —т. 126. —N1. —С. 136148.

93. Кузьменков Л. С., Максимов С. Г., Федосеев В. В. Квантовая гидродинамика систем фермионов II //ТМФ. —2001. —т. 126. —N2. — С.258-270.

94. Кузьменков Л. С., Харабадзе Д. Э. Нелинейные волны в потоках нейтральных частиц с собственным магнитным моментом. //Сборник тезисов конференции "Ломоносовские чтения" секция физики. —2006. -С. 111-113.

95. Кузьменков Л. С., Максимов С. Г. Квантовая гидродинамика систем частиц с кулоновским взаимодействием и квантовый потенциал Бома. //ТМФ. -1999. -т. 118, -С. 287-304.

96. Харабадзе Д. Э. Учет спин-токового взаимодействия при помощи гамильтониана Брейта в гидродинамическом методе. //Вестн. Моск. унта. Физ. Астрон. -2005. -N6. -С. 10-13.

97. Андреев П. А., Кузьменков Л. С., Харабадзе Д. Э. Спин-токовое взаимодействие в квантовой гидродинамике. //Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2005" секция "ФИЗИКА". -2005. -С. 88-90.

98. Кузьменков Л. С., Харабадзе Д. Э. Волны в системах частиц с собственным магнитным моментом, (метод квантовой гидродинамики) //Известия вузов. Физика. —2004. —т. 47. —N4. —С. 87-93.

99. Кузьменков Л. С., Харабадзе Д. Э. Электромагнитная волна с круговой поляризацией в системах частиц с собственным магнитным моментом. //Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. —2005. —N4. —С. 19-21.

100. Кузьменков Л. С., Харабадзе Д. Э. Электромагнитная волна с круговой поляризацией в системах многих частиц с собственным магнитным моментом. //Сборник тезисов конференции "Ломоносовские чтения" секция физики. —2005. —С. 101-103.

101. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая электродинамика. М.:Наука. 1989.

102. Ашкрофт, Н., Мермин Н. Физика твердого тела М.:Мир. 1979.

103. Кузьменков Л. С., Максимов С. Г., Федосеев В. В. Об уравнениях эволюции фермионных систем в континуальном представлении //Изв. вузов. Физика. -2000. -N9. -С. 8-14.

104. Кузьменков Л. С., Максимов С. Г., Федосеев В. В. Дисперсия волн в парамагнитных системах //Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. —2000. —N3. -С. 3-5.

105. Cowan В., Mullin W. J., Tehrani-Nasab S. Symmetry constraints on the spin dynamics of polarised 3#e. //Physica B. -2000. -v.284-288. -P. 176-177.

106. Ким H. E., Поляков П. А., Русаков A. E. Влияние собственного магнитного момента частиц на коллективные процессы в плотной плазме. //Сборник тезисов конференции "Фундаментальные проблемы физики". -2005. -Р. 208.

107. Р. К. Shukla, N. N. Rao, D. Anderson, M. Lisak, H. Wilhelmsson. Nonlinear circularity polarized electromagnetic waves in a warm magnetoplazma. //Phys.Fluids. -1985. -v.28. -N4. -P. 1112.