Специальные конструкции рядов и их применение для представления решений нелинейных уравнений математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Филимонов, Михаил Юрьевич

• Филимонов, Михаил Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Филимонов, Михаил Юрьевич

Обозначения

Введение

Глава 1. Метод специальных рядов

§ 1.1. Применение рядов при решении дифференциальных уравнений

1.1.1. Ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами для обыкновенных уравнений.

1.1.2. Ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами для уравнений с частными производными.

§ 1.2. Специальные ряды Kt по степеням универсальных базисных функций.

1.2.1. Формальное построение решения в виде специального ряда по степеням одной базисной функции.

1.2.2. Кратные специальные ряды.

1.2.3. Кратные ряды Kt для многомерных областей

§ 1.3. Специальные ряды с функциональным произволом.

1.3.1. Ряды Kt с функциональным произволом.

1.3.2. Ряды Кд с функциональным произволом для многомерных областей.

§ 1.4. Специальные ряды Kt по степеням обобщенных базисных функций.

1.4.1. Обобщенные базисные функции :.

1.4.2. Рекуррентность нахождения коэффициентов ряда

§ 1.5. Примеры применения специальных рядов Кд

1.5.1. Представление рядами Kt решений обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза.

1.5.2. Исследование сходимости рядов Kt для решения обобщенного уравнения Буссинеска

1.5.3. Исследование сходимости рядов Кх для нелинейного уравнения фильтрации.

1.5.4. Представление специальными рядами Кх решений нелинейных уравнений типа Ковалевской с неаналитическими начальными данными.

1.5.5. Применение метода специальных рядов для построения решений уравнения нестационарных околозвуковых течений газа.

§ 1.6. Результаты численного эксперимента по нестационарному околозвуковому обтеканию клина

Глава 2. Согласованные специальные ряды

§ 2.1. Применение согласованных специальных рядов Kt для представления решений нелинейных уравнений с частными производными

2.1.1. Согласованные базисные функции

2.1.2. Согласованные БФ с функциональным произволом

2.1.3. Представление согласованными рядами Kt решений нелинейных уравнений типа Ковалевской с неаналитическими начальными данными.

§2.2. Решение нелинейных уравнений с особенностями.

2.2.1. Представление согласованными рядами Kt решений нелинейных уравнений, имеющими особенности

2.2.2. Представление согласованными рядами решений стационарного уравнения потенциала скорости

§ 2.3. Глобальная сходимость согласованных рядов с функциональным произволом.

§ 2.4. Специальные ряды, согласованные с точным решением

2.4.1. Построение решения уравнение нестационарной фильтрации в виде специального ряда, согласованного с точным решением

2.4.2. Исследование сходимости специального ряда, согласованного с точным решением

Глава 3. Представление решений начально-краевых задач для нелинейных волновых уравнений с нулевыми граничными условиями

§ 3.1. Применение специальных рядов для представления начально-краевых задач для нелинейных уравнений с точным удовлетворением краевых условий.

3.1.1. Представление решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения специальными двойными рядами, согласованными с начальными условиями

3.1.2. Представление решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения согласованными рядами

3.1.3. Результаты численных расчетов по представлению согласованными рядами решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения

§ 3.2. Применение кратных специальных рядов для представления начально-краевых задач для нелинейных двумерных волновых уравнений.

Глава 4. Обоснование обобщенного метода Фурье для одного класса нелинейных уравнений

§4.1. Постановка задачи и построение решения для нелинейных волновых уравнений.

§4.2. Построение функций Ляпунова и исследование сходимости ряда (4.1.14).

§ 4.3. Обоснование метода пересчета и результаты численных расчетов

Глава 5. Применение метода специальных рядов для доказательства разрешимости начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений

§ 5.1. Постановка задачи.

§ 5.2. Доказательство разрешимости начально-краевых задач для уравнений типа обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Специальные конструкции рядов и их применение для представления решений нелинейных уравнений математической физики»

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена разработке и применению аналитического метода — метода специальных рядов — к построению решений и доказательству разрешимости начально-краевых задач для некоторого класса нелинейных уравнений математической физики более широкого, чем класс уравнений в частных производных типа Ковалевской.

Актуальность темы

Для эффективного подхода к решению проблем, возникающих в современной науке и технике, не обойтись без исследования нелинейных задач математической физики. Стремительное развитие вычислительной техники и появление быстродействующих суперкомпьютеров позволяют исследователям строить и рассматривать все более сложные многомерные модели, описывающие различные явления, которые моделируются, как правило, с помощью нелинейных уравнений (систем) в частных производных. Однако, сейчас стало понятно, что без развития аналитических методов невозможно получить полное представление о сути явления. Аналитические методы дают не только надежный инструмент для отладки и сравнения различных численных методик, но иногда и предвосхищают некоторые научные открытия, дают возможность изучить свойства моделей, обнаружить наличие тех или иных эффектов как следствие существования или несуществования объектов (решений) с требуемыми свойствами. Поэтому в настоящее время в различных странах интенсивно ведутся фундаментальные исследования, направленные на доказательство теорем существования и единственности решений нелинейных уравнений с частными производными.

Наиболее перспективным направлением получения приближенных решеиий нелинейных уравнений с частными производными является сочетание численных и аналитических методов. Численные методы особенно трудоемки в многомерном случае, поэтому актуальной задачей является развитие различных аналитических методов построения решений в замкнутой форме и методов, позволяющих находить решение с любой заданной точностью (например, в виде рядов или асимптотических разложений).

Отметим некоторые аналитические методы получения решений уравнений с частными производными. Для линейных уравнений эффективен метод разделения переменных [118], но для нелинейных уравнений в общем случае этот метод позволяет получать узкие классы решений. Хотя и для нелинейных задач с помощью данного метода, который в этом случае можно назвать "обобщенным методом разделения переменных", были получены интересные результаты, связанные с нестационарными диссипативиыми структурами (см., например, работы В.А. Галактионова, С.А. Посашкова, С.Р. Свирщевского и др. авторов [28], [29]). Для нелинейных уравнений оказываются эффективными также методы теории размерностей, приводящей к автомодельным решениям (см. работы Л.И. Седова [91], А.А. Самарского, С.П. Курдюмова, Г.Г. Елеиипа [33], [34]), групповые методы (см. монографии JI.B. Овсянникова [79], Н.Х. Ибрагимова [40], В.К. Андреева и др. [1]), работы С.В. Хабирова [196], [166] - [169], А.П. Чупахина [174], [180], С.В. Мелешко, В.В. Пухпачева [76], методы дифференциальных связей (А.Ф. Сидоров, В.П. Шапеев, Н.Н. Яненко [93]), метод вырожденного годографа (работы А.Ф. Сидорова, Н.Н. Япепко [94], [95]), метод ассоциативных колец (С.С. Титов [107]), метод поиска многосолитоииых решений (В.Е. Захаров, А.Б. Шабат [38], В.И. Карпмап [43], Р. Хирота [192]), в том числе метод L — А пар (П.Д. Лаке [200]), который, в частности, связан с теорией групп Ли-Беклуида [40]. Получаемые таким образом частные решения полезны при изучении реальных процессов, тестировании и сравнении различных численных методик. Однако, точные решения описывают, как правило, достаточно узкий класс физических процессов и при решении реальных начально-краевых задач, как правило, не обойтись найденным набором точных решений.

Отметим также некоторые аналитические методы получения приближенных решений нелинейных уравнений с частными производными в виде рядов с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами. Так для исследования различных задач гидромеханики, газовой динамики и механики также использовались различные ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами (см. работы JI.B. Овсянникова [80], [81], Л.И. Седова [92], О.С. Рыжова [89], У.Г. Пирумова [85], А.Н. Голубятиикова, С.И. Зонепко, Г.Г. Черного [30]).

Методы асимптотических разложений ( см., например, монографии М. Ван-Дайка [24] и A.M. Ильина [41]) также приводят к последовательному определению коэффициентов разложений из линейных систем уравнений (кроме, быть может, нулевого коэффициента), но требуют наличия в уравнении малого или большого параметров.

Метод, разработанный А.Д. Брюио [13] и использующий степенные разложения, позволил получить обобщения классических теорем Коши и Ко-ши-Ковалевской [14] и другие результаты о структуре решений дифференциальных систем.

Ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами использовались Ю.Е. Аниконовым для решения обратных задач для эволюционных уравнений [175].

К группе аналитических подходов относится и метод специальных рядов, получивший свое развитие после работы А.Ф. Сидорова [97]. Суть его состоит в разложении решения в ряд по степеням одной или нескольких специальным образом выбираемых функций [25], [183], называемых далее базисными. При таком выбор базисных функций формальное решение исследуемого нелинейного уравнения представимо в виде специального ряда, коэффициенты которого будут находиться рекуррентно как решения последовательности более простых уравнений.

При использовании метода специальных рядов к исследованию решений нелинейных уравнений актуальными задачами являются: построение систем новых базисных функций, позволяющих получать решения в виде специальных рядов для более широкого класса начальных условий; описание классов нелинейных уравнений в частных производных, для которых удается доказать сходимость построенных рядов; применение специальных рядов для доказательства разрешимости начально-краевых задач (подтверждение гипотезы А.Ф. Сидорова о возможности использования функционального произвола в базисных функциях для удовлетворения заданного краевого условия).

Цель работы: предложить общий подход к конструктивному построению решений для некоторого класса нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными в виде рядов по степеням новых базисных функций, учитывающих , в том числе, специфику и особенности исследуемых уравнений; указать классы нелинейных уравнений в частных производных, для которых удалось с помощью метода специальных рядов построить решения в виде рядов и доказать их сходимость; применить метод специальных рядов к исследованию начально-краевых задач для известных уравнений математической физики; обосновать применимость метода специальных рядов и обобщенного метода Фурье к решению начально-краевых задач для некоторого класса нелинейных волновых уравнений с заданными нулевыми краевыми условиями; использовать специальные ряды, содержащие функциональный произвол, для доказательства новых теорем существования начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений типа обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза.

Методика исследований

В работе используется конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными (метод А.Ф. Сидорова) — метод специальных рядов. Для обоснования этого подхода использованы методы и понятия теории дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений, общей теории рядов. При обосновании применимости обобщенного метода Фурье для решения начально-краевых задач используется аппарат функций A.M. Ляпунова, при доказательстве разрешимости начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений использованы также методы функционального анализа.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: построены специальные ряды по степеням новых базисных функций для представления решений некоторого класса нелинейных уравнений с частными производными и исследована сходимость этих рядов; показана возможность использования функционального произвола в базисных функциях для доказательства глобальной сходимости специальных рядов; построены специальные ряды для представления решений начальнокраевых задач (в том числе и в сложных двумерных областях) с точным удовлетворением нулевых краевых условий, исследована сходимость этих рядов для некоторого класса нелинейных волновых уравнений; разработан метод генерации новых классов решений нелинейных уравнений с частными производными в виде суммы известного точного решения и специального ряда по степеням базисных функций с функциональным произволом; выделен класс нелинейных гиперболических уравнений, для которых с помощью аппарата функций Ляпунова удалось обосновать применимость обобщенного метода Фурье; доказана возможность использования функционального произвола в базисных функциях для решения начально-краевых задач с заданными краевыми условиями для некоторого класса нелинейных эволюционных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Разработанные конструкции специальных рядов по степеням новых базисных функций могут быть использованы для исследования нелинейных уравнений с частными производными, с их помощью можно решать задачи Коши и начально-краевые задачи для нелинейных уравнений с частными производными, в том числе и для уравнений не типа Ковалевской. Специальные ряды могут быть использованы также и для доказательства теорем существования решений краевых задач для некоторого класса нелинейных эволюционных уравнений, вопрос о существовании решения для которых оставался открытым. В частности, тем самым был дан положительный ответ на вопрос А.Ф. Сидорова о возможном использовании произвольных функций, входящих в базисные функции, для удовлетворения заданного краевого условия.

Самостоятельный теоретический интерес применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям имеют исследования по обоснованию использования обобщенного метода Фурье для представления решений начально-краевой задачи для некоторого класса нелинейных волновых уравнений. В этом случае были исследованы последовательности систем из N нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих чисто мнимые характеристические корни. При этом для любого числа N была построена положительно определенная функция Ляпунова с производной в силу этой системы равной нулю, доказана ограниченность и почти периодичность решений такой системы.

Кроме того, практическую значимость имеют решения в виде специальных сходящихся рядов для нелинейных эволюционных уравнений типа обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза, для уравнения Линя-Рейснера-Цяня, уравнения стационарных осесимметричпых течений газа, имеющего особенность, для нелинейного уравнения фильтрации. Сходимость таких рядов доказывается, как правило, в неограниченной области. Построенные ряды имеют высокую скорость сходимости, что позволяет их использовать для тестирования численных методик, а также использовать для создания новых численно-аналитических методов. Так, например, с помощью специальных рядов был проведен расчет нестационарного околозвукового обтекания клина, описан переход от нестационарного течения газа к стационарному и аналитически было показано, что такой переход осуществляется по экспоненциальному закону.

Публикации

Основные результаты опубликованы в центральных научных изданиях, рекомендованных ВАК, [135,137,139,142-144,147,148,183,184,187], в трудах Института математики и механики УрО РАН [132,133,136], в журналах, издававшихся в Новосибирске [16,18,131,134], а также в трудах Международных конференций [140,145,146,185,186]. Из совместных работ с Н.А.Вагановой [16,18] и работы с А.Ф.Сидоровым и Л.Г.Корзуниным [183] в диссертацию включены только результаты автора.

Апробация

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

VIII Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо (1999);

Всероссийская научная конференция "Современные проблемы механики. Конференция посвященная 40-летию Института механики МГУ", Москва (1999);

Международная конференция, посвященная 150-летию С.В.Ковалевской, Санкт-Петербург (2000);

Международная конференция "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск (2000, 2002);

Всероссийская конференция "Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности", Абрау-Дюрсо (2000);

III Международная конференция по математическому моделированию, Якутск, (2001);

VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике,

Пермь, (2001);

Международная конференция "Математические модели и методы их исследования", Красноярск (2001);

Международная конференция "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", Новосибирск (2001);

VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань (2002); XIV Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященная памяти К.И.Бабенко, Дюрсо (2002);

Международные летние школы-конференции "Прикладные проблемы механики", Санкт-Петербург (2002, 2003, 2004);

Всероссийская школа - семинар "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа", (2002, 2004, 2006); Международная конференция "Забабахинские научные чтения", Сне-жинск (2003);

Всероссийская школа - конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", (2003, 2004, 2006);

Всероссийская конференция приуроченная к 85-летию академика JI.В.Овсянникова "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", Новосибирск (2004); XI Всероссийская школа-семииар "Современные проблемы математического моделирования," Абрау-Дюрсо (2005);

Региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, (2000, 2001, 2002, 2003); на научных семинарах: под руководством академика РАН JI.B. Овсянникова в Институте гидродинамики СО РАН, Новосибирск (2000); под руководством профессора Т.И. Зеленяка в Институте математики СО РАН, Новосибирск (2000); под руководством профессоров Л.А.Калякина и В.Ю.Новокшенова, Уфа

2004); под руководством чл.-корр. РАН В.М.Тешукова и профессора В.Ю.Ляпидевского в Институте гидродинамики СО РАН, Новосибирск (2005); под руководством чл.-корр. РАН Б.И.Четверушкина и профессора В.Ф.Тишкина в Институте математического моделирования РАН, Москва

2005).

Труды и тезисы докладов указанных выше конференций опубликованы в [19-23,138,140,145,149-154,156-160,186,188,189].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты. Нумерация глав, параграфов и пунктов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и номер формулы. Общий объем работы — 265 страниц. Библиография содержит 209 наименований.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Филимонов, Михаил Юрьевич

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, следующие:

1. Построены специальные ряды по степеням новых базисных функций для представления решений нелинейных уравнений и исследована сходимость этих рядов для широкого класса нелинейных уравнений (в том числе и для уравнений не типа Ковалевской);

2. Показана возможность использования функционального произвол в базисных функциях для доказательства глобальной сходимости специальных рядов;

3. Построены специальные ряды для представления решений начально-краевых задач (в том числе и в сложных двумерных областях) с точным удовлетворением нулевых краевых условий;

4. Разработан метод генерации новых классов решений нелинейных уравнений с частными производными в виде суммы известного точного решения и специального ряда по степеням базисных функций с функциональным произволом;

5. Выделен класс нелинейных гиперболических уравнений, для которых с помощью аппарата функций Ляпунова удалось обосновать применимость обобщенного метода Фурье и исследовать свойства решений ведущих систем.

6. Доказана возможность использования функционального произвола в базисных функциях для доказательства разрешимости начально-краевых задач с заданными краевыми условиями для нелинейных эволюционных уравнений (типа обобщенного уравнения КдФ), для которых вопрос разрешимости таких задач оставался открытым.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Филимонов, Михаил Юрьевич, 2007 год

1. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994, 319 с.

2. Бабич В.М. Об элементарных решениях гиперболических уравнений // ДАН СССР, 1959, т. 219, N 3, с. 478-481.

3. Бабич В.М. Фундаментальные решения гиперболических уравнений с переменными коэффициентами // Математический сборник, 1960, т. 52 (94): 2, с. 709-738.

4. Баутин С.П. Аналитические решения задачи о движении поршня // Числ. методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1973, т. 12, N 11, с. 2052-2063.

5. Баутин С. П. Характеристическая задача Коши для квазилинейной аналитической системы // Дифференциальные уравнения, 1976, т. 12, N 11, с. 2052-2063.

6. Баутин С.П. Аналитическая тепловая волна. -М.: Физматлит, 2003, 88 с.

7. Баутин С.П., Дерябин С.Л. Истечение идеального газа в вакуум // ДАН СССР, 1983, т. 273, N 4, с. 817-820.

8. Баутин С. П. Сведение некоторых задач газовой динамики к характеристической задаче Коши стандартного вида // Аналитические и численные методы исследования задач механики сплошной среды, Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987, с. 4-22.

9. Баутин С. П. Исследование области сходимости специальных рядов, решающих некоторые задачи газовой динамики // Численные методы механики сплошной среды, 1978, т. 9, N 4, с. 5-17.

10. Баутин С.П. Охлопывание одномерной полости // ПММ, 1982, т. 46, вып. 1, с. 50-59.

11. Баутин С.П., Казаков А.Л. Обобщенная задача Коши и ее приложения.-Новосибирск: Наука, 2006, 397 с.

12. Бор Г. Почти периодические фуикции.-М., 1934.

13. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравпениях.-М.: Наука, 1998, 288 с.

14. Брюно А.Д. Степенные разложения решений системы алгебраических и дифференциальных уравнений // ДАН. 2001, т. 380, N 3, с. 298-304.

15. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах.-М.: Мир, 1983, 135 с.

16. Ваганова Н.А., Филимонов М.Ю. Представление новыми конструкциями согласованных рядов решений нелинейных уравнений в частных производных // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2001, Вып. 118, с. 103-108.

17. Ваганова П.А., Филимонов М.Ю. Применение метода Фурье и специальных рядов для представления решений нелинейных волновых уравнений // Динамика сплошной среды, Новосибирск, 2002, вып. 120, с. 79-83.

18. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.-М.: Мир, 1967, 310 с.

19. Васин В.В., Сидоров А.Ф. О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика, 1983, N 7, с. 13-27.

20. Вершинин С.В., Сидоров А.Ф. О поведении решений уравнений двойных воли в окрестности области покоя // ПММ. 1974, т. 39, вып. 6, с. 1043-1050.

21. Гаврилушкин И.Б., Сидоров А.Ф. Об одном классе решений нелинейного уравнения для потенциала скоростей // ПММ, 1974, т. 38, вып. 2, с. 264-270.

22. Галактионов В.,А., Посашков С.А., Свирщевский С.Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями // Дифференц. уравнения, 1995, т. 31, N 2, с. 253-261.

23. Галактионов В.А., Посашков С.А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичной нелинейностью // Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. М., 1999, с. 190-207.

24. Голубятников А.Н., Зоненко С.И., Черный Г.Г. Новые модели и задачи теории кумуляции // Успехи механики, 2005, т. 3, N 1, с. 31-93.

25. Дзекцер Е.С. Обобщение уравнения грунтовых вод со свободной поверхностью // ДАН. 1972, т. 282, N 5, с. 10311033.

26. Дородницын А.А. Некоторые случаи осесимметричных сверхзвуковых течений газа // Сборник теоретических работ по аэродинамике. М.: Оборонгиз, 1957, с. 77-88.

27. Еленин Г.Г., Курдюмов С.П. Условия усложнения организации нелинейной дискретной среды.-М.: (Препринт АН СССР. ИПМ N 106). 80 с.

28. Еленин Г.Г., Курдюмов С.П., Самарский А.А. // Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1983, т. 23, N 2, с. 380-390.

29. Еругин II.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. -Минск: Наука и техника, 1979, 743 с.

30. Жаутыков О.А. О применении метода усреднения к решению одного уравнения в частных производных // Приближенные методы решения дифференциальных уравнений, Киев, 1964, с. 52-61.

31. Захаров В.Е. К проблеме стохастизации одномерных цепочек нелинейных осциляторов // ЖЭТФ, 1973, т. 65, с. 212-225.

32. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния // Функц. анализ и его прил., 1974, т. 8, N 3.

33. Зубов Е.Н. О решении одной краевой задачи для неустановившегося пространственного течения газа и распространении слабых ударных волн // Числ. методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1972, т. 3, N 3, с. 32-50.

34. Ибрагимов II.X. Группы преобразований в математической физике.-М.: Мир, 1983, 280 с.

35. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989, 336 с.

36. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.-М.: Наука, 1976.

37. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. Новосибирск, 1968.

38. Ковалевская С.В. К теории дифференциальных уравнений в частных производных // Научные работы, М.;Л.: Изд-во АН СССР, 1948, с. 7-50.

39. Коковихина О.В., Сидоров А.Ф. Специальные конструкции рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными // Числ. методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1984, т. 15, N 3, 1984, с. 72-84.

40. Корзунин Л.Г. Исследования многомерных базисных функций // Труды ИММ. Приближенные методы исследования нелинейных задач механики сплошной среды. Свердловск: УрО АН СССР, 1992, С. 3-15.

41. Коробейник Ю.Ф., Михайлов А.Б. Об аналитических решениях задачи Коши // Дифференц. уравнения, 1991, т. 27, N 3, с. 503-510.

42. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук, 1981, Т. 36, N 1, с. 73-126.

43. Коробейник Ю.Ф. Об аналитических решениях задачи Коши для уравнений параболического типа // Дифференц. уравнения, 1994, Т. 30, N 10, С. 1774-1781.

44. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы экспонент и задача Коши для уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами // Изв. РАН. Сер. математика, 1997, т. 61, N 3, С. 1774-1781.

45. Коробейник Ю.Ф. Метод Фурье в задаче Коши и абсолютно представляющие системы экспонент. I // Дифференц. уравнения, 1999, т. 35, N 12, с. 1669-1676.

46. Коробейник Ю.Ф. Метод Фурье в задаче Коши и абсолютно представляющие системы экспонент. II // Дифференц. уравнения, 2000, т. 36, N 2, с. 251-255.

47. Коробейник Ю. Ф. Метод Фурье в задаче Коши и абсолютно представляющие системы экспонент. III // Дифференц. уравнения, 2000, т. 36, N 3, с. 386-392.

48. Коробейник Ю.Ф. Абсолютно представляющие системы экспонент с мнимыми показателями в пространствах бесконечно дифференцируемых функций // ДАН, 2000, т. 372, N 1, с. 17-20.

49. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде // Прикладная математика и механика, 2001, т. 65, вып. 5, с. 884-894.

50. Козманоо М.Ю. Метод решения некоторых краевых задач для гиперболических систем квазилинейных уравнений первого порядка с двумя переменными // ПММ, 1975, т. 39, вып. 2, с. 253-259.

51. Козманов М.Ю. Метод решения некоторых краевых задач для систем квазилинейных уравнений первого порядка // Численные методы механики сплошной среды, 1976, Т. 7, N 2, с. 44-53.

52. Козманов М.Ю. К задаче о распаде произвольного разрыва // Численные методы механики сплошной среды, 1977, т. 8, N 2, с. 45-52.

53. Коул Дж. Методы возмущения в прикладной математике.- М.: Мир, 1972, 274 с.

54. Курант Р. Уравнения с частными производными,- М.: Мир, 1964, 830 с.

55. К.В.Курмаева К.В., Титов С.С. Обобщение аналитических решений Л.В.Овсянникова для трансзвуковых течений // Прикладная механика и техническая физика, 2005, т. 26, N 6, с. 14-25.

56. Курмаева К.В., Титов С. С. Аналитическое построение ближнего поля трансзвукового течения около тонкого тела вращения // Сибирский журнал индустриальной математики, 2005, т .8, N 3(23), с. 94-101.

57. Курмаева К.В. Задача Коши для течений газа с данными на оси симметрии // Труды 36-й региональной Молодёжной школы-конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2005, с. 151-156.

58. Лейбензон Л.С. Собрание трудов. Т.2.-М., 1953.

59. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч. М., 1956. Т.2.

60. Ляпидевский В.Ю.,Тешуков В.М. Математичсекие модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости.-Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000, 419 с.

61. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.-М.: Наука, 1952, 413 с.

62. Мамонтов Е.В. К теории нестационарных околозвуковых течений // ДАН РАН, 1968, т. 185, N 3, с. 538-540.

63. Мамонтов Е.В. Некоторые вопросы теории нестационарных околозвуковых течений // Динамика сплошной среды, 1969, вып. 1.

64. Мамонтов Е.В. Аналитические возмущения в нестационарном околозвуковом потоке // Динамика сплошной среды, 1972, вып. 1.

65. Мамонтов Е.В. К теории нестационарных околозвуковых течений газа: Диссертация канд.физ.-мат. наук.-Новосибирск, 1973.

66. Мамонтов Е.В. Об уравнении малых возмущений в нестационарном околозвуковом потоке // Нестационарные проблемы механики, 1978, с. 139-143.

67. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса.-М.: Наука, 1987.

68. Мелешко С.В., Пухначев В.В. Об одном классе частично инвариантных решений уравнений Навье-Стокса // Прикл. Мех. и техн. физика, 1999, N 2, с. 24-33.

69. Митропольский Ю.А., Моисеев В.И. Лекции по применению асимптотических методов к решению уравнений в частных производных .-Киев, 1968. 414 С.

70. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики.-М.: Наука, 1952, 413 с.

71. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1978. 339 с.

72. Овсянников Л.В. Об одном газовом течении с прямой линией перехода // ПММ, 1949, т. 13, вып. 5, С. 537-542.

73. Овсянников Л.В. Уравнения околозвукового движения газа // Вестник ЛГУ, 1952, вып. б.

74. Овсянников Л.Б. Нелинейная задача Коши в шкале банаховых пространств // ДАН РАН, 1971, т. 200, N 4, с. 789792.

75. Персидский К.П. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения в нелинейных пространствах.- Алма-Ата: Наука, Т. 2, 1976, 246 с.

76. Пирумов У. Г. Газовая динамика сопел.-М.:11аука, 1990, 364 с.

77. Понтрягин А.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1965. 331 с.

78. Рудых Г. А., Семенов Э. И. Новые точные решения неоднородного уравнения нелинейного тепломассопереноса // Труды международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск, 2000, с. 193-196.

79. Рубина Л.И. О распространении слабых разрывов для квазилинейных систем // ПММ, 1972, т. 36, вып. 3, с. 435443.

80. Рыжов О-С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля. М.:ВЦ АН СССР, 1965, 238 с.

81. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Гугина Е.М. Новый подход к обоснованию метода Фурье в смешанной задаче для одного сингулярного дифференциального уравнения в частных производных // ДАН РАН, 2002, т. 384, N 5, с. 598-600.

82. Седов Л.И. Методы теории размерности и подобия в механике.-М.: Наука, 1977, 438 с.

83. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2.-М.:Наука, 1970.

84. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложение в газовой динамике,-М.: Наука, 1984, 272 с.

85. Сидоров А.Ф. О нестационарных потенциальных движениях политропного газа с вырожденным годографом // ПММ, 1959, т. 23, N 5, с. 940-943.

86. Сидоров А.Ф., Яненко II.H. К вопросу о нестационарных плоских течениях политропного газа с прямолинейными характеристиками // ДАН АН СССР, 1958, т. 123, N 5, с. 832-834.

87. Сидоров А.Ф. Метод решения некоторых краевых задач для нелинейных уравнений гиперболического типа и распространение слабых ударных волн // ПММ, 1972, т. 36, вып. 3, с. 426-434.

88. Сидоров А.Ф. О некоторых представлениях решений квазилинейных гиперболических уравнений // Числ. методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1975, т. 6, N 4, с. 106-115.

89. Сидоров А.Ф., Хайруллина О.Б. Применение полиномов Вернштейна для приближенного решения задачи естественной конвекции в горизонтальном слое // Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск: АН СССР. УНЦ, 1985, с. 52-63.

90. Сидоров А.Ф. Избранные труды: Математика. Механика.-М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001, 576 с.

91. Сидоров А.Ф. Аналитические представления решений нелинейных параболических уравнений типа нестационарной фильтрации // ДАН РАН, 1985, т. 15, N 1, с. 47-51.

92. Тешуков В.М. Пространственная задача о распространении контактного разрыва в идеальном газе // Динамика сплошной среды, 1977, вып. 32, с. 82-94.

93. Тешуков В.М. Центрированные волны в пространственных течениях газа // Динамика сплошной среды, 1979, вып. 39, с. 102-118.

94. Тешуков В.М. Распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности // Журнал прикладной механики и технической физики, 1980, N 2, с. 126-133.

95. Тешуков В.М. О регулярном отражении ударной волны От жесткой стенки // Прикладная математика и механика, 1982, вып. 2, т. 46, с. 225-234.

96. Тешуков В.М. Пространственный аналог центрированных волн Римана и Прандтля-Майера // Журнал прикладной механики и технической физики, 1982, N 4, с. 98-106.

97. Тешуков В.М. Пространственное взаимодействие сильных разрывов в газе // Прикладная математика и механика, 1982, вып. 4, т. 50.

98. Титов С. С. Метод ассоциативных колец для решения нелинейных уравнений математической физики // Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды. Свердловск: АН. СССР. УНЦ, 1983, с. 93-96.

99. Титов С.С. Разложение решений нелинейных уравнений в двойные ряды // Дифференц. уравнения, 1978, т. 14, N 10, с. 1844-1850.

100. Титов С. С. Пространственно-периодические решения полной системы Навье-Стокса // Докл. РАН, 1999, т. 365, N 6, с. 761-763.

101. Титов С.С. Решение периодических задач Коши с помощью специальных тригонометрических рядов // Числ. методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1978, т. 9, N 2, с. 112-124.

102. Титов С. С. Аналог теоремы Ковалевской для линейных эволюционных уравнений // Сибирский математический журнал, 1999, т. 40, N 6, с. 1377-1379.

103. Титов С.С. Решение нелинейных уравнений в аналитических полиалгебрах I // Известия вузов. Математика, 2000, N 1, (452), с. 66-76.

104. Титов С.С. Решение нелинейных уравнений в аналитических полиалгебрах II // Известия вузов. Математика, 2000, N 6, (457), с. 45-52.

105. Титов С.С. Об аналитичности решений уравнения Кортевега-де Фриза, представленных рядами экспонент // Дифференциальные уравнения, 1989, т. 25, N 2, с. 343-344.

106. Титов С.С. Аналитичность линейных однопараметрических групп Ли-Беклунда // Дифференциальные уравнения, 1990, т. 26, N 4, с. 699-702.

107. Титов С. С. Решение уравнений с особенностями в аналитических шкалах банаховых пространств. Препринт / УралГАХА. Екатеринбург, 1999, 264 с.

108. Титов С. С. О решении нелинейных уравнений в частных производных в виде многочленов по одной из переменных // Числ. методы механики сплош. среды. Новосибирск, 1977, т. 8, N 1, с. 144-149.

109. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1966, 735 с.

110. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.- М.: Мир, 1977, 606 с.

111. Улам С. Нерешенные математические задачи.- М.: Мир, 1964, 168 с.

112. Фаминский А.В. Граничные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза и его обобщений // Дисс. докт. физ.-матем. наук, М.: РУДЫ, 2001.

113. Фаминский А.В. Смешанные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза // Математический сборник, 1999, т. 190, N 6, с. 127-160.

114. Фамипский А.В. О Смешанных задачах для уравнения Кортевега-де Фриза при нерегулярных граничных данных // ДАН, 1999, т. 366, N 1, с. 28-29.

115. Фаминский А.В. О нелокальной корректности смешанной задачи в полуполосе для обобщенного уравнения Кор-тевега де Фриза // Математическое моделирование, 2001, Т. 13, N 12, с. 115-125.

116. Федоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Паука, 2000, 220 с.

117. Филимонов М.Ю. О решении нелинейного волнового уравнения в случае струны с закрепленными концами // Труды ИММ. Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983, с. 97-104.

118. Филимонов М.Ю. Применение метода Фурье к исследованию нелинейных уравнений в частных производных, содержащих малый параметр // Числ. методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1984, т. 15, N 5, с. 132143.

119. Филимонов М.Ю. Об одном подходе к решению смешанной задачи Коши для нелинейного волнового уравнения с малым параметром // Труды ИММ. Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск: УПЦ АН СССР, 1985, с. 80-87.

120. Филимонов М.Ю. Представление специальными рядами решений некоторых нелинейных уравнений математической физики // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 11.05.86, N 3371-В 86, 42 с.

121. Филимонов М.Ю. Представление рядами решений нелинейных уравнений с частными производными в полуограниченных областях. Автореферат кандидатской диссертации. Свердловск: ИММ УрО РАН, 1987,

122. Филимонов М.Ю. Применение специальных рядов к исследованию нестационарных околозвуковых течений газа // Моделирование в механике, Новосибирск, 1987, т. 1, N 1, с. 117-125.

123. Филимонов М.Ю. О применение специальных рядов при решении смешанных задач для нелинейных уравнений в частных производных // Труды ИММ. Аналитические и числ. методы исследования задач механики сплошной среды. Свердловск: УрО АН СССР, 1987, с. 124-138.

124. Филимонов М.Ю. Применение обобщенных базисных функций и кратных рядов для разложения решений нелинейных уравнений // Труды ИММ. Численные и аналитические методы моделирования в механике сплошной среды. Свердловск: УрО АН СССР, 1989, с. 76-85.

125. Филимонов М.Ю. О некоторых конструкциях специальных рядов, согласованных с данным нелинейным уравнением // Моделирование в механике, Новосибирск, 1989, Т. 3 (20), N 4, с. 146-150.

126. Филимонов М.Ю. О представлении решений смешанных задач для нелинейного волнового уравнения специальными двойными рядами // Дифференциальные уравнения, 1991, т. 27, N 9, с. 1625-1632.

127. Филимонов М.Ю. Применение специальных рядов при решении смешанных задач Коши для сложных многомерных областей // Труды ИММ. Приближенные методы исследования нелинейных задач механики сплошной среды. Свердловск: УрО АН СССР, 1992, с. 66-71.

128. Филимонов М.Ю. О применении функций Ляпунова при обосновании метода Фурье для нелинейных уравнений с частными производными // Вычислительные технологии, 1993, т. 2, N 5, с. 214-216.

129. Филимонов М.Ю. Специальные ряды и их приложения // Труды VIII Всеросс. шк.-сем. "Современные проблемы математического моделирования." Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1999, с. 231-239.

130. Филимонов М.Ю. Применение специальных рядов для решения нелинейных уравнений с частными производными в неограниченных областях // Дифференц. уравнения, 2000, т. 36, N 11, с. 1538-1543.

131. Филимонов М.Ю. О представлении специальными рядами решений нелинейных уравнений типа Коши-Ковалевской с неаналитическими начальными данными // Сибирский журнал индустриальной математики, 2001, N 2, с. 198-203.

132. Филимонов М.Ю. Применение метода специальных рядов для представления решений нелинейных уравнений с частными производными // Вычислительные технологии, 2001, т. 6, Спец. выпуск, часть 2, с. 650-657.

133. Филимонов М.Ю. О представлении новыми конструкциями специальных согласованных рядов решений нелинейных уравнений с частными производными // Вычислительные технологии, 2001, т. 6, N 3, с. 103-112.

134. Филимонов М.Ю. О представлении начально-краевых задач нелинейных эволюционных уравнений специальными рядами // Труды III международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск,2002, с. 233-236.

135. Филимонов М.Ю. Использование метода специальных рядов для представления решений начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными // Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, N 8, с. 1100— 1107.

136. Филимонов М.Ю. Применение метода специальных рядов для построения новых классов решений нелинейных уравнений с частными производными // Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, N 6, с. 801-808.

137. Филимонов М.Ю. Представление стационарных течений газа специальными согласованными рядами // "Современные проблемы механики. Конференция посвященная 40-летию Института механики МГУ", Москва, 1999, с. 187-188.

138. Филимонов М.Ю. Применение метода специальных рядов для построения решений стационарных течений газа // Тезисы докладов VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Пермь: ИМСС УрО РАН, 2001, с. 579.

139. Филимонов М.Ю. О представлении новыми конструкциями специальных рядов решений нелинейных уравнений с частными производными // Забабахинские научные чтения. Международная конференция, Снежинск, 8-12 сентября 2003. Тезисы докладов, с. 231.

140. Филимонов М.Ю. Представление решений нелинейных уравнений с частными производными новыми конструкциями специальных рядов // Труды XXXI Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, 2000, с. 69-73.

141. Филимонов М.Ю. К вопросу обоснования метода Фурье для нелинейных гиперболических уравнений с малым параметром // Труды XXXIII Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, 2002, с. 178-182.

142. Филимонов М.Ю. Метод специальных рядов и его роль при исследовании нелинейных уравнений в частных производных // Труды XXXIV Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, 2003, с. 133-137.

143. Фураев В.З. О разрешимости в целом первой краевой задачи для обобщенного уравнения Буссинеска // Дифференциальные уравнения, 1983, т. 11, N 19, с. 2014-2015.

144. Хабибуллин И.Т. Начально-краевая задача для уравнения КдФ на полуоси с однородными краевыми условиями // Международная конференция "Асимптотики в дифференциальных уравнениях", Уфа, 26-30 мая, 2002, с. 237-239.

145. Хабибуллин И. Т., Шабат А.Б. Краевая задача для уравнения КдФ на полуоси // МТФ, 1997, т. 110, N 1, с. 98-113.

146. Хабибуллин И.Т Начально-краевая задача на полуоси для уравнения МКдФ // Функциональный анализ и его приложения, 2000, т. 34, N 1, с. 65-76.

147. Хабибуллин И.Т. Начально-краевая задача для уравнения КдФ на полуоси с однородными краевыми условиями // ТМФ, 2002, т. 130, N 1, с. 31-53.

148. Хабиров С.В. К анализу инвариантных подмоделей ранга три уравнений газовой динамики // Доклады РАН, 1995, т. 41, N 6, с. 764-766.

149. Хабиров С.В. Подмодель винтовых движений в газовой динамике // Прикладная математика и механика, 1996, т. 60, вып. 1, с. 53-65.

150. Хабиров С.В. Дифференциально инвариантные подмодели // Труды III международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск, 2002, с. 237-239.

151. Хабиров С.В. Винтовые движения в газовой динамике с давлением и плотностью, зависящими только от времени // Математические заметки, 1996, т. 59, вып. 1, с. 133-141.

152. Хаблов В. В. О некоторых корректных постановках граничных задач для уравнения Кортевега де Фриза // Приепринт Ин-та матем. СО АН СССР, Новосибирск, 1979.

153. Хаблов В.В. // Тр. сем. С.Л. Соболева, 1979, N 2, с. 137-148.

154. Хапаев М.М. Об исследовании устойчивости в теории нелинейных колебаний // Матем. заметки. 1968, т. 3, N 3, с. 307-319.

155. Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных.-М.; Изд-во МГУ, 1991.

156. Чупахин А.П. // Барохронные движения газа: общие свойства и подмодели типов (1,2) и (1,1), Препринт ИГиЛ N 4-98, Новосибирск, 1998, 67 С.

157. Anikonov Уы. В. Constructive approaches to multidimensional inverse problems of determining two or more coefficients of evolutionary equations //J. Inv. Ill-Posed Problems, 1999, vol. 7, N 5, p. 435-452.

158. Bashkirtseva I.A. Application of characteristic series to the solution of the Goursat problem // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 1997, vol. 12, N 3, p. 199-209.

159. Bona J., Winter R. The Korteveg-de Vries equation, posed in a quarter-plane // SIAM J. Math. Anal., 1983, v. 14, N 6, p. 1056-1106.

160. Bona J., Luo L. A generalized Korteweg-de Vries equation in a quarter-plane // Amer. Math. Soc., 1999, p. 59-65.

161. Bona J.L., Luo L. // Contemp. Math., 1999, vol. 221, p. 59-125.

162. Chupakhin A.P. Applications of Lie group analysis to hydrodynamics // Proceedings of the MOGRAN 2000 Modern group analysis for the new millennium, Ufa: State Aviation technical university, 2000, p. 42-48.

163. Classey R. Existens in the large for Du F(u) = 0 // Math. Z., 1981, vol. 78, p. 233-261.

164. Duff G.F. Mixed problems for linear system of first order equations // Canadian J. of Mathematics, 1958, vol. 10, N 1, p. 127-160.

165. Filimonov M. Yu. On the justification of the Fourier method to the solution of nonlinear partial differential equations // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1996, vol. 11, N 1, p. 27-39.

166. Filimonov M. Yu. The justification of Fourier method for describing nonlinear oscillatory motions // Proceedings of XXX Summer School "Advanced problems in mechanics" St. Peterburg (Repino), 2002, p. 207-210.

167. Filimonov M. Yu. Application of the Method of Special Series in Nonlinear Mathematical Physics // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, suppl. 1, 2004, p. 58-77.

168. Ford J., Wathers J. Computer Studies of Energy Sharing and Ergodicity for Nonlinear Oscillator Systems // J. Math. Phus., 1963, vol. 4, N 10, p. 1293-1306.

169. Helms L., Putnam C. Stability in incompressible systems // J. Math, and Nech., 1958, vol. 7, N 6, p. 901-903.

170. Hyrota R. Direct method of finding exact solutions of nonlinear evolution equations // Lect. Notes Math., 1976, vol. 515.

171. Jachson E.A. Nonlinear Coupled Oscillators. 2 Comparison of Theory with Computer Solutions // J. Math. Phus., 1963, vol. 4, N 5, p. 686-700.

172. John F. Formating of Singularities in One-Dimensional Nonlinear Wave Propagation // Communs Pure Appl. Math., 1976, Vol. 29, p. 649-681.

173. John F., Klainerman S. Almost Global Existens to Nonlinear Wave Equations in three Space Dimensions // Communs Pure Appl. Math., 1984, Vol. 37, p. 443-455.

174. Khabirov S. V. On some invariant solutions of rank 1 in gas dynamics // Proceedings of the MOGRAN 2000 Modern group analysis for the new millennium, Ufa: State Aviation technical university, 2000, p. 88-89.

175. Klainerman S., Majda A. Formating of Singularities for Wave Equations Including the Nonlinear Vibrating // Communs Pure Appl. Math., 1986, Vol. 33, p. 241-263.

176. Klainerman S. Long Time Behaiviour of Solutions to Nonlinear Wave Equations // Proc. Intern. Congres. Warzava, 1983.

177. Kowalewski S. Zur Theorie der partiellen Differential-gleichungen // J. Reine Angrew. Math., 1875, Vol. 80, p. 1-32.

178. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Communs Pure Appl. Math., 1968, vol. 21, N 5.

179. Lin C.C., Reissner E., Tsien H.S. On two-dimensional nonsteady motion of a slender body in a compressible fluid // J. Math, and Phus., 1948, vol. 27, N 3.

180. Ludwig D. Exact and asimptotic solutions of the Cauchy problem // Communs Pure & Appl. Math., 1960, vol. 13, N 3, p. 473-508.

181. Olver P.J. Hamilton and non-hamilton models for water waves // Lecture Notes in Physics. N.Y., 1984, N 195.

182. Rosenblatt A. //Bulletin Sc. Math., 1933, vol. 57, N 2, p. 105.

183. Sather J. The Existens of a Global Classical Solution of the Initial-Boundary Value Problem for Du — F(u) — 0 // Arch. Rat. Mech. & Analysis, 1966, vol. 21, N 5.

184. Sidorov A.F. Application of characteristic series to the solution of three-dimensional problems in gas dynamics // Numerical Methods in Fluid Dynamics.-M.: Mir, 1984, p. 184-205.

185. Steart F.M. Periodic solutions of a nonlinear Wave equation (abstract) // Bull. Amer. Soc., 1954, vol. 60, p. 425.

186. Titov S.S. Non-local Solutions of the Cauchy Problem in Scales of Analytic Polyalgebras // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2003, suppl. 2, p. S148-S172.

187. Vaganova N.A. Constructing New Classes of Solutions of Nonlinear Filtration Equation by Special Consistent Series // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, suppl. 2, 2003, p. S182-S184.