Спектральный анализ вырожденных полугрупп операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Чшиев, Аслан Григорьевич

• Чшиев, Аслан Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чшиев, Аслан Григорьевич

Список обозначений

Введение

1 Некоторые сведения из теории векторных функций, теории линейных отношений и теории полугрупп операторов

§1.1 Основные понятия и используемые результаты из теории векторных функций.

§1.2 Основные понятия из теории линейных отношений.'

§1.3 Основные понятия и используемые результаты из теории полугрупп операторов.

2 Свойство замыкаемости и свойство замкнутости генераторов вырожденной полугруппы операторов

§2.1 Условия замыкаемости и условия замкнутости генераторов вырожденной полугруппы операторов.

§2.2 Примеры

3 Теорема Герхарта - Прюсса для вырожденной полугруппы операторов

§3.1 Экспоненциальная дихотомия для вырожденной полугруппы операторов

§3.2 Теорема Герхарта - Прюсса.

§3.3 Пример.

4 Свойства полугруппы операторов Сильченко класса А{^р)

§4.1 Определение и свойства полугруппы операторов Сильченко класса А(ф).

§4.2 Примеры

Список обозначений

N - множество натуральных чисел; Ъ - множество целых чисел; К - множество вещественных чисел;

М+ = (0, оо) - множество положительных вещественных чисел; С - множество комплексных чисел;

X - комплексное банахово (или гильбертово) пространство; ЕпйХ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X;

КегВ - ядро оператора В\ тВ - образ оператора В;

Б(В) - область определения оператора В;

В - замыкание оператора В\ ж|| - норма вектора х\ р(В) - резольвентное множество оператора В; Д(А, В) - резольвента оператора В; сг(В) = С \ р(В) - спектр оператора В; г (В) - спектральный радиус оператора В; I - тождественный оператор; Т - полугруппа операторов;

IV(Т) - тип полугруппы операторов Г;

Де А - действительная часть комплексного числа Л;

Сш = {Л Є С : Пе\ > го};

Т = {АєС:|А| = 1}~ единичная окружность; г - мнимая единица; 0 — пустое множество.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральный анализ вырожденных полугрупп операторов»

Пусть X — комплексное банахово пространство и ЕпсІХ — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X. В диссертации под полугруппой операторов понимается сильно непрерывная оператор-нозначная функция

Т : М+ = (0, оо) ЕпАХ, для которой

Т(£ + в) = Т(і)Т(в) при всех і, в > 0.

При исследовании столь общих полугрупп операторов традиционными являются следующие требования:

1) ядро полугруппы операторов нулевое, т. е.

КегТ ={іЄІ: Т(Ь)х = 0 для всех £ > 0} = {0};

2) образ полугруппы операторов ІтТ = У ІтТ (і) плотен в X. г>о

Однако, в приложениях к дифференциальным уравнениям с необратимым оператором при производной возникают так называемые вырожденные полугруппы операторов, т. е. полугруппы операторов, для которых КегТ ф {0}, и как правило, ІтТ ^ X. Именно исследованию вырожденных полугрупп операторов посвящена данная диссертация.

Первые существенные результаты по теории полугрупп операторов сильно непрерывных на (0, оо) были получены и систематически изложены в классической монографии [51]. Проведённые там исследования относились к нескольким классам полугрупп операторов [51, пункт 10.6], которые классифицировались согласно способу сходимости операторов полугруппы к тождественному оператору I (при t —» 0+) и выполнению одного из условий: 1

Т(т)х\\с1т < оо для любого х €Е X, (7)0 о 1

T(r)||dT<oo. (J)i о

Следующие условия обеспечивали некоторую форму сходимости операторов полугруппы к тождественному оператору I : lim C(j])x = х для любого х Е X, [CA т)->0+ lim XR(X)x = х для любого х £ X, (А)

Л—>оо где

С : (0, оо) -> EndX: п

C{rj)x = - [ T{r)xdr, х Е X]

V J о

R : Cw -> EndX, w > w(T), oo

R(X)x = - J e-XrT(r)xdr, X ex, (1) где

Cw = {Л e С : ReX > w}.

Число w(T) называется типом полугруппы операторов Т и имеет вид

W(T)=Ит даш < i—> ОО t

Полугруппа операторов Г, для которой выполняется одна из следующих пар условий: (J)o, (Ci); (/)i, (Ci); (/)о, (^4); (/)i, (А) соответственно относятся к полугруппам операторов класса (О, С{), (1, Cq), (О, А), (1, А). Полугруппы операторов классов (О, С\) и (1, С\) образуют класс (Ci) ((Ci) — полугруппы), а полугруппы операторов класса (О, Л) и (1, А) относятся к классу (А). При этом, для полугруппы операторов класса (А) интеграл в формуле (1) сам по себе лишён смысла, поэтому условию (А) придаётся следующий смысл [51]:

А)' Найдётся такое w\ > w(T), что для любого Л, удовлетворяющего условию ReX > w\ существует оператор R{Л) € EndX, обладающий свойствами:

ОО a) R(X)x = - f e-XTT(r)xdr для х € /тТ; b) sup р(А°)||<оо;

Re\>uii c) — lim XR(X)x = х для любого х 6 X.

Л—>оо

При этом, предполагается, что ImT = X.

Наконец, наиболее общий класс образуют полугруппы операторов класса (Е) [51, определение 18.4.1]. Полугруппа операторов Т относится к классу (Е), если условие (/)о выполнено на некотором плотном в X подпространстве Xq и линейные операторы R(X),ReX > w(T), определенные на Xq формулой (1), ограничены на Хо (и следовательно, допускают [49, с. 124] единственное ограниченное расширение на все пространство

Активное исследование суммируемых в окрестности нуля полугрупп операторов проводилось в Воронежской математической школе. Отмстим статьи Баскакова А.Г. [10], [11], [12], Забрейко П.П. и Зафиевского A.B. [24], [25], [26], Сильченко Ю.Т. [43], [45] и Соболевского П.Е. [48]. Кроме того, отметим статьи Мельниковой И.В., Гладченко A.B. [37], Свиридюка Г.А. [41], Фёдорова В.Е. [50] и монографию Фавини А., Яги А. [72].

В указанных статьях, при исследовании в них полугрупп операторов, существенную роль играл инфинитезимальный оператор полугруппы операторов Т :

А0 : D(Aq) СІ^Х,

T(t)x — х

D(A0) = {x Є X : существует ^lim ---}, v T(t)x - x Anx - lim -, i-» 0+ t либо замыкание Aq оператора Aq. Оператор Aq, тогда, когда он существует, называется [51, с. 316] инфинитезималъным производящим оператором или инфинитезималъным генератором полугруппы операторов Т.

Согласно [51, с. 335], если

Т(0) = I и lim^T(t)x — х для каждого х Є X, (2) то полугруппа операторов относится к классу (Со). Для полугруппы операторов класса (Со) оператор Aq имеет непустое резольвентное множество р{Ао) С С, а резольвента R(Л, Ао) инфинитезимального оператора Ао удовлетворяет известному условию Хилле - Филиппса - Иосиды - Феллера -Миядеры [51], [70]. Однако, если полугруппа операторов не принадлежит классу (Со), то область определения D(Aq) инфинитезимального оператора А0 не плотна в X, и как правило, спектр сг(Ао) оператора Aq заполняет всю комплексную плоскость С. Кроме того, инфинитезимальный оператор Ло может быть не замкнутым и даже не замыкаемым в классе операторов. Тогда замыкание Ло оператора Ло является линейным отношением, т.е. многозначным линейным оператором. Функция заданная формулой (1), не обязательно является резольвентой оператора Ло, и более того, она может не быть резольвентой никакого линейного оператора. В результате возникают сложности в использовании инфинитезимального оператора для исследования полугруппы операторов. В статье [12] для исследования полугрупп операторов в качестве их генераторов используются линейные отношения. В частности, вводится определение и приводятся примеры генераторов полугруппы операторов, изучаются их общие свойства. При этом, осуществляется пересмотр большинства результатов из [51], касающихся упомянутых выше классов полугрупп операторов (кроме полугрупп операторов класса (Со)). Таким образом, актуальность темы исследования диссертации также обусловлена важностью развития подхода, основанного на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы операторов.

Согласно [12], введём ряд определений. Через ЬЯ(Х) обозначим множество линейных отношений на пространстве X. Введем в рассмотрение следующее подпространство

Хс{Т) = {хеХ: Нт Т(г)х = х}.

Строгим инфипитезималъным оператором полугруппы операторов Т называется линейный оператор

А0: Г>(А0) СХ-+Х, 10

Я(А0) = {х Е £>(Д0: А,® Е ХС(Г)}, Аож = Аох.

Таким образом, имеет место включение Ао С Ао. Старшим генератором, полугруппы операторов Т называется отношение А £ ЬВ,(Х), состоящее из пар (х: у) Е X х X со свойствами:

1) хЕ ТшТ;

2) верны равенства:

Т{Ь)х - Т(з)ж = £ Т{т)ус1т, 0 < в <t < оо.

Генератором полугруппы операторов Т называется отношение Л из ЬЯ(Х), удовлетворяющее условиям:

1) А0 С Л С А;

2) Л перестановочно 1 с операторами Т(£),£ > 0.

Генератор Л полугруппы операторов Т называется базовым, если резольвентное множество р(Л) генератора Л содержит полуплоскость {А Е С : Не А > ги} для некоторого ш Е М. Множество генераторов полугруппы операторов Т обозначено через (2еп(Т).

Важность базового генератора обусловлена возможностью использования его резольвенты при исследовании полугруппы операторов. Отметим также, что при таком определении генератора полугруппы операторов отсутствуют какие - либо априорные предположения относительно характера поведения полугруппы операторов в окрестности нуля.

1 Отношение Л 6 ЬН(Х) перестановочно с оператором В е ЕпйХ, если (Вх, Ву) б Л для всех (ж, у) е Л.

В работе используется генератор Ас Е ЬЛ(Х) полугруппы операторов Т, который определяется равенством Ас = АП (ХС(Т) х X), т. е. генератор Ас есть сужение старшего генератора А на подпространство ХС{Т) х X. Рассмотрим задачу Коши гс(0) =х0еХ (3) для однородного дифференциального уравнения

Рх{€) = > 0, (4) с парой линейных замкнутых операторов, действующих в банаховом пространстве X, при условии, что КегЕ ф {0}. Исследование задачи Коши (3), (4) может вестись с помощью вырожденных полугрупп операторов. При этом, одним из генераторов полугруппы операторов может являться отношение

А = = {{хъх2) е £>(<3) х : вх 1 = Гх2] С X х X, так как задача (3), (4) эквивалентна задаче (3) для дифференциального включения £ > 0.

Ряд важных задач приводит к необходимости рассмотрения уравнений с неплотно заданными операторными коэффициентами, порождающими полугруппы операторов с особенностями в нуле. Часть диссертации содержит некоторый анализ полугрупп операторов с неплотным образом и сильно суммируемой особенностью в нуле. При этом применяется подход, основанный на использовании линейных отношений.

Перейдём к более подробному и аккуратному изложению содержания диссертации, состоящей из четырёх глав.

В Главе 1 приведена сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории векторных функций, теории линейных отношений и теории полугрупп операторов.

Введём в рассмотрение следующие подпространства из X :

Хг(T) = {iel: f \\T(t)x\\dt < оо},

J о

Xi{T) = {х е Хх(Т): lim - Г T{t)xdt = х}.

->0+ Г] Jо

В Главе 2 получены условия не замыкаемости (в классе операторов) и условия замкнутости некоторых генераторов полугруппы операторов Т.

Теорема 2.1. Пусть инфинитезимальный оператор Aq не замыкаем в классе операторов. Тогда 1тА0 П KerT ^ {0}.

Теорема 2.2. Пусть 1тА0 С Хг{Т) и ImA0 П КегТ ф {0}. Тогда инфинитезимальный оператор Ао не замыкаем в классе операторов.

Следствие 2.1. Пусть ImAo П КегТ = {0}. Тогда оператор А0 замыкаем.

Следствие 2.2. Следующие утверждения эквивалентны:

1) строгий инфинитезимальный оператор А0 не замыкаем в классе операторов;

2) ТтА^ П КегТ ф {0}.

Из теорем 2.1 и 2.2 следует, что для генератора А\ 6 GeniT) вида

Ах : D{A{) С. X X,

D(Ai) = {хе D(A0) : А0х е Хг(Т)},

А\х = А$х условие 1тА\ П КегТ ф {0} является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А\ был не замыкаем в классе операторов. Данный критерий справедлив для любого генератора А є Сеп(Т), удовлетворяющего условию А С А\.

В виду равенства множеств [12]

Щ = ЩЩ = 7тТ = ХС{Т) = Хі(Т), п Є М, получаем

Следствие 2.3. Пусть У есть одно из следующих подпространств

Шг: Щ, ЩЩ, ~Щт), Щт) из X, и пусть для оператора А выполняются условия: А Є Сеп(Т) и А С Ао. Если оператор А не замыкаем, то У П КегТ ф {0}.

Следствие 2.4. Пусть инфинитезимальный оператор не замыкаем. Тогда сг(А) = С.

Последнее утверждение будет справедливо, если оператор Ао заменить на любой генератор А Є С?еп(Т), удовлетворяющий условию 1тА С 1тА0. В частности, утверждение верно для генераторов Ао и А\.

Теорема 2.3. Пусть 1тА0 С Х\(Т), и пусть инфинитезимальный оператор замкнут. Тогда 1т Ао С Хі(Т).

Следствие 2.5. Пусть /тАо С Х\(Т), и пусть строгий инфинитезимальный оператор Ао замкнут. Тогда /тАо С Х\(Т).

Теорема 2.4. Пусть /тАо С Х\(Т). Тогда инфинитезимальный оператор Ао замкнут.

Следствие 2.6. Пусть ImAo с Х\(Т). Тогда строгий инфинитези-мальный оператор Aq замкнут.

Следует отметить, что при при следующем дополнительном условии:

7mT = Xi(r) в работе Забрейко П.П. и Зафиевского А. В. [24] имеются следующий критерий замыкаемости:

КегТ = {0}, и следующий критерий замкнутости:

Хг{Т) = X инфинитезимального оператора Aq. В статье A.B. Зафиевского [25] имеется следующее достаточное условие:

КегТ П ImT - {0} замыкаемости инфинитезимального оператора Aq. Также отметим, что для полугруппы операторов Т имеет место включение

ImAo С ImT.

Следствие 2.7. Пусть ХС(Т) = ХС(Т), и пусть для А е Gen(T) выполняется условие AQ Aq. Тогда оператор А замкнут.

Теорема 2.5. Пусть Х^Т) ф X. Тогда а(А0) = С. Следовательно, если Х\(Т) ф X, то сг(А) = С, для любого генератора А Е Gen(T), удовлетворяющего условию А С А0.

В главе 2 приведены два примера полугрупп операторов, соответствующих теоремам 2.2 и 2.4.

В диссертации через X), 1 < р < оо, обозначено пространство измеримых по Бохнеру и суммируемых со степенью р функций х : № —> X, для которых

Через l2{Z,X) обозначено пространство двусторонних последовательностей х : Z —> X, для которых

Через Ь1([0,1], X) обозначено пространство измеримых по Бохнеру и суммируемых функций х : [0,1] —> X, для которых

Через С([0,1], X) обозначено пространство непрерывных функций, определенных на [0,1] со значениями в пространстве X.

Через Сь(К, X) обозначено пространство ограниченных непрерывных функций, определенных на К. со значениями в пространстве X.

В 1978 году J1. Герхартом [73] и в 1984 году Я. Прюссом [88] была получена

Теорема 3.1. (Герхарт - Прюсс) Пусть X — гильбертово пространство и пусть Aq — инфинитезимальный оператор полугруппы операторов Т класса (Со)- Тогда условие

Оі Є С : М = 1} С р{Т{ 1))

3.1) равносильно одновременному выполнению следующих условий: же p(Aq) и sup \\R{iq, А0)|| = М < оо.

3.2) дєіа

Отметим, что для общего банахова пространства условие (3.2) необходимо, но не достаточно для выполнения условия (3.1).

JI. Герхарт доказал теорему для сжимающихся 2 полугрупп операторов класса (Со) в гильбертовом пространстве. Прюсс распространил результат Герхарта на полугруппы операторов класса (Со). При этом Прюсс существенно упростил и улучшил само доказательство. За основу доказательства Прюсс взял тесную связь между спектром cr(T(t)) операторов полугруппы и периодическими решениями неоднородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве x(t)=Aox(t) + f(t),te[0,l], (5) с краевыми условиями х(0) = ж(1). (6)

А именно, имеет место

Теорема. [88] Пусть X — банахово пространство и пусть Aq — ин-финитезимальный оператор полугруппы операторов Т класса (Со). Условие 1 Е р(Т( 1)) имеет место тогда и только тогда, когда для функции f Е С([0,1],Х) уравнение (5) имеет единственное слабое периодическое решение, удовлетворяющее краевым условиям (6).

Для / Е 1/1([0,1],Х) функция х Е С([0,1],-Х") называется [88] слабым решением (mild solution) уравнения (5) с начальным условием ж(0) = ЖО) если для каждого t G [0,1] выполняется равенство x{t) = T(t)x0 + [ T(t- s)f(s)ds. Jo

2Полугруш1а операторов T класса (Со) называется сжимающейся, если ||T(i)|| < 1 для любого t > 0.

Функция х для каждого t 6 [0,1] удовлетворяет дифференциальному уравнению (5) с начальным условием ж(0) = Хо в том и только в том случае, когда является непрерывно - дифференцируемой, и в этом случае функция х называется [88] точным решением (strict solution).

Условие равномерной ограниченности резольвенты инфинитезималь-ного оператора было предложено Герхартом для случая сжимающейся полугруппы операторов класса (Со) в гильбертовом пространстве. Прюсс распространил данный результат на полугруппы операторов класса (Со) в гильбертовом пространстве. Поэтому логично называть теоремы об описании спектра a(T(t)) операторов полугруппы, в которых используется условие равномерной ограниченности резольвенты инфинитезимального оператора теоремами Герхарта - Прюсса.

Полугруппа операторов Т класса (Со) называется гиперболической или допускающей экспоненциальную дихотомию, если выполняется условие т(Т(1)) П Т = 0, где Т = {АеС:|А| = 1}. Теорема 3.1 содержит необходимые и достаточные условия на резольвенту инфинитезимального оператора для того, чтобы полугруппа операторов Т класса (Со) была гиперболической [13], [70], [88]. Каждое из условий теоремы 3.1 равносильно [88] существованию и единственности слабого решения х 6 Сь(М, X) задачи сс(0) = xq для дифференциального уравнения x{t) = A0x{t) + f(t)Je СЬ(М,Х).

В статье [13] теорема 3.1 доказана путем установления равносильности каждого из условий (3.1) и (3.2) обратимости дифференциального оператора

Ь0 : £>(Ь0) С Ь2{Ж,Х) Ь2(М,Х), который определяется следующим образом. Функция х 6 Ь2(Ш, X) принадлежит области определения оператора Ь0, если существует функция / 6 Ь2(Ж,Х), удовлетворяющая для почти всех в < Ь из К. равенству х(г) = т(г - 8)х{в) -1 т(* - т)/(т)^т.

Полагается Ь$х = /. В свою очередь, обратимость оператора эквивалентна обратимости разностного оператора

В0:12{%,Х) ->12(Х,Х),

О0х)(п) = х(п) - Т(1)х(п - 1),п €

В Главе 3 проводится обобщение теоремы 3.1 на более широкий класс полугрупп операторов действующих в гильбертовом пространстве. В рассматриваемом случае полугруппа операторов Т может быть вырожденной и удовлетворяет условию

Г||Т(*)1!2^<оо. (7) о

В условии (3.2) инфинитезимальный оператор Ао заменяется на генератор Ас полугруппы операторов Т, так как генератор Ас является в этом случае базовым, а спектр сг(А0) инфинитезимального оператора Ао может заполнять всю комплексную плоскость, в связи с чем его использование невозможно. Соответствующий результат содержит

Теорема 3.2. Пусть X — гильбертово пространство и пусть полугруппа операторов Т удовлетворяет условию f1 \\T(t)\\2dt < оо. J о

Тогда условие: а{Т{ 1))ПТ = 0 (3.3) эквивалентно одновременному выполнению условий а(Ас) П Ш = 0 и sup||#(a,Ac)|| = Мх < оо, (3.4) aer где а(Т( 1)) — спектр оператора Т(1), Т = {Л G С : |Л| = 1} и <т(Ас) — спектр генератора Ас € Gen(T).

Доказательство теоремы 3.2 основано на установлении эквивалентности каждого из условий (3.3) и (3.4) непрерывной обратимости дифференциального отношения Со из декартового произведения L2(M., X) х L2(IR. X), которое строится следующим образом. Функция х е L2(IR, X) принадлежит области определения D(Cq) отношения Со, если существует функция / £ L2(R, X), удовлетворяющая для почти всех t > s из Ж. равенству x(t) = T(t - s)x(s) -I T(t - T)f(r)dr. (3.5)

J s

При этом, считается (ж, /) Е Со- Так как условие (0, /) Е Со верно для функции / 6 L2(R, X) со значениями в КегТ, то в случае когда полугруппа операторов Т является вырожденной, имеем линейное отношение Со- Заметим, что задача о непрерывной обратимости отношения Со равносильна задаче о разрешимости и единственности решения следующего дифференциального включения: x(t) е A cx(t) + f(t), t> s, x(s) =x0 E В (Ac), для генератора Ас £ Gen(T) и функции / е L2(M, X), удовлетворяющей условию (х, —/) 6 £о- В свою очередь, непрерывная обратимость дифференциального отношения Со эквивалентна обратимости разностного оператора

DQ:l2(Z,X) ->12{Z,X),

D0x)(n) = х{п) - Т(1)х(п - 1 ),n G Z.

В главе 3 приведён пример полугруппы операторов, соответствующей теореме 3.2.

10. Т. Сильченко в своей диссертации [44] привёл примеры, которые привели к необходимости введения нового класса полугрупп операторов. Изучил их свойства, построил дробные степени соответствующих производящих операторов, доказал леммы, в которых устанавливаются свойства дробных степеней, доказал теорему о возмущении полугруппы операторов. В Главе 4 дано определение полугруппы операторов Сильченко класса А((р). С применением подхода, основанного на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы операторов, установлен ряд свойств данного класса полугрупп операторов. В частности, показано существование базового генератора и приведена формула резольвенты базового генератора полугруппы операторов Сильченко класса А(ф). Дадим точное определение. Пусть Т> - некоторое линейное подпространство из X, не плотное в нём. Полугруппой операторов Сильченко класса А{ф) называется операторнозначная функция Т: (0, оо) —> EndX со следующими свойствами:

1) T{t + s) = T{t)T{s) для всех t,s> 0;

2) ImT(t) С V для всех t > 0;

3) ^Ііт Т(ї)х = х для каждого х Є Т>\

4) ||Т(£)|| < ір{ї) для каждого і > 0, где — некоторая суммируемая на [0,1] функция.

Так как для полугруппы операторов Сильченко класса А{ф) выполнено условие Х\(Т) = X, то теоремы 2.1 и 2.2, а также теоремы 2.3 и 2.4 объединяются в критерий не замыкаемости и критерий замкнутости ипфи-нитезимального оператора Ад соответственно. Кроме того, следствие 2.2 сохраняется, а следствия 2.5 и 2.6 объединяются в критерий замкнутости строгого инфинитезимального оператора Ац. Также для полугруппы операторов Сильченко класса А(<р) верны следующие теоремы.

Теорема 4.2. Пусть Т> — замкнутое подпространство в X. Тогда инфинитезимальный оператор Ао замкнут.

Теорема 4.4. Спектр <т(Д)) инфинитезимального оператора Ао полугруппы операторов Т заполняет всю комплексную плоскость.

Теорема 4.5. Полугруппа операторов Т обладает базовым генератором, причём функция является резольвентой некоторого базового генератора Л Є Єеп(Т). Кроме того, генератор Ас Є Сеп(Т) является базовым, СС р{Ас) и резольвента Я(Х, Ас) генератора Ас имеет представление

Я: Сш Еп(1Х,ш>У)(Т)

Теорема 4.6. Пусть ограниченная функция ср : [0,1] —[0, оо) такова, что ||Т(£)|| < (р(Ь) для 0 < t < 1. Тогда: 1) Ас = А; 2) генератор Ас замкнут; 3) старший генератор А является базовым.

В главе 4 приведены два примера полугрупп операторов данного класса. В примере 3 описаны генераторы Ао, Ао, Ас, А.

Результаты диссертации опубликованы в [54], [56], [57] и докладывались на Воронежских зимних математических школах 2010 [52] и 2011 [55], на 21 - й Крымской осенней математической школе - симпозиуме (КРОМШ) 2010 г. [53] и семинарах А. Г. Баскакова. Работа [56] опубликована в издании, входящем в список ВАК РФ.

Ниже перечислены основные результаты диссертации:

1. Получены необходимые условия и достаточные условия для того, чтобы инфинитезимальный оператор Ао (и также ряд других генераторов) полугруппы операторов Т был не замыкаем в классе операторов.

2. Получены необходимые условия и достаточные условия для того, чтобы инфинитезимальный оператор Ао (и также ряд других генераторов) полугруппы операторов Т был замкнутым оператором.

3. Доказан аналог теоремы Герхарта - Прюсса для вырожденных полугрупп операторов в гильбертовом пространстве.

4. Установлен ряд свойств полугруппы операторов Сильченко класса А(<р). В частности, показано существование базового генератора и приведена формула резольвенты базового генератора полугруппы операторов Сильченко класса А{ф).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чшиев, Аслан Григорьевич, 2011 год

1. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / А.Г. Баксаков,- Воронеж. ВГУ, 1987.-165 с.

2. Баскаков А.Г. Лекции по алгебре./ А.Г. Баскаков //- Воронеж: Воронежский государственный университет, 2004. 306 с.

3. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А.Г. Баскаков // Мат. заметки.- 1996.- Т.59.- №6,- С. 811-820.

4. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения.- 1997.- Т.ЗЗ.- №10,- С. 1299-1306.

5. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. сб.- 1999.- Т. 190,- №3.- С. 3-28.

6. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов / А.Г. Баскаков // Мат. заметки,- 2000,- Т.67.- №6.- С. 816-827.

7. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов /А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления.-Москва.- 2004.- Т.9.- С. 3-151.

8. Баскаков А.Г. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства / А.Г. Баскаков, И.А. Криштал //Изв. РАН. Серия матем.- 2005.- Т. 69.- №3.- С. 3-54.

9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Серия матем.- 2009,- Т.73,- №2,- С. 3-68.

10. Баскаков А.Г., Чернышов К. И. Линейные отношения, дифференциальные включения и вырожденные полугруппы / А. Г. Баскаков, К. И. Чернышов // Функц. анализ и его прил.- 2002.- Т.36,- №4,- С. 65-70.

11. Баскаков А.Г., Чернышов К. И. Спектральная теория линейных отношений и вырожденные полугруппы / А. Г. Баскаков, К. И. Чернышов // Матем. сборник- 2002,- Т.193,- №11,- С. 3-42.

12. Баскаков А.Г. Линейные отношения как генераторы полугрупп операторов / А. Г. Баскаков // Матем. заметки- 2008.- Т.84,- №2,- С. 175-192.

13. Баскаков А.Г., Синтяев Ю. Н. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений / А. Г. Баскаков, Ю. Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения- 2010.- Т.46.- №2.- С. 210219.

14. Баскаков А.Г., Воробьёв А. А., Романова М. Ю. Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова / А. Г. Баскаков, А. А. Воробьёв, M. Ю. Романова // Матемаические заметки- 2011.- Т.89.- №2.-С. 190-203.

15. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Фупкц. анализ и его прил,- 1996.- Т.ЗО.- №3.- С. 1-11.

16. Баскаков А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов // Сиб. матем. журн,- 2001.- Т.42,- №6.- С. 1231-1243.

17. Бурбаки Н. Спектральная теория / Н. Бурбаки М.: Мир, 1972 - С. 183.

18. Васильев В. В. Полугруппы операторов, косинус оператор — функции и линейные дифференциальные уравнения / В. В. Васильев, С.Г. Крейн, С.И. Пискарев // Итоги науки и техн. Сер. Мат. Анал. М.: ВИНИТИ,- 1990.- Т.28.- С. 87-202.

19. Далецкий Ю. JI., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. JI. Далецкий, М. Г. Крейн.- М.: Наука, 1970.

20. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц,- М.: ИЛ, 1962,- Т.1.- 895 с.

21. Демиденко Г.В., Успенский C.B. Уравнения и системы не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, C.B. Успенский -Новосибирск: Научная книга, 1978.

22. Егоров H.Е., Пятков С.Г., Попов C.B. Неклассические дифференциально — операторные уравнения / Н.Е. Егоров, С.Г. Пятков, C.B. Попов -Новосибирск: Наука, 2000.

23. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Серия матем,- 1976.- Т. 40.-№6.- С. 1380-1408.

24. Забрейко П.П., Зафиевский A.B. О некоторых классах полугрупп / П. П. Забрейко, A.B. Зафиевский // Докл. АН СССР.- 1969,- Т. 189,- С. 934-937.

25. Зафиевский A.B. О полугруппах с сингулярностями в нуле, суммируемыми со степенным весом /A.B. Зафиевский // Докл. АН СССР.- 1970.-Т.195.- С. 24-27.

26. Зафиевский A.B. Новые классы полугрупп /A.B. Зафиевский // Вестник Яросл. ун-та.- 1974,- Т.8.- С. 53-77.

27. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида.- М.: Мир, 1967.- 624 с.

28. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като.- М.: Мир, 1972,- 740 С.

29. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин,- М.: Наука, 1976.543 с.

30. Костин В. А. Об аналитических полугруппах и сильно непрерывных косинус функциях / В. А. Костин // Докл. АН СССР.- 1989.- Т.307.-№4,- С. 796-799.

31. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн,- М.: Мир, 1967.- 464 с.

32. Крейн С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн.- М.: Наука, 1972.

33. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев М.: Наука, 1989.- 735.

34. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстер-ник, В.И. Соболев,- М.: Наука, 1965,- 520 с.

35. Масссра Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер М.: Мир, 1970.456 с.

36. Мельникова И. В., Ануфриева У.А. Особенности и регуляризация задач Копій с дифференциальными операторами / И. В. Мельникова, У. А. Ануфриева // Современная математика. Фундаментальные наприавления.- 2006.- Т. 14.- М,- С. 3-155.

37. Мельникова И. В., Гладченко A.B. Корректность задачи Коши для включений в банаховых пространствах / И. В. Мельникова, А. В. Гладченко // Докл. РАН,- 1998,- Т.361,- №6.- С. 736-739.

38. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк,- М.: Наука, 1969,- 527 с.

39. Рицнер В. С. Теория линейных отношений / В. С. Рицнер // Деп. в. ВИНИТИ.- 1982,- №846-82.

40. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин.- М.:Мир,

41. Свиридюк Г. А. К общей теории полугрупп / Г. А. Свиридюк // Успехи матем. наук.- 1994,- Т.49.- №4,- С. 47-74.

42. Свиридюк Г. А., Фёдоров В.А. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева / Г. А. Свиридюк, В.А. Фёдоров // Сиб. матем. журнал.- 1995,- Т.36.- №5,- С. 1130-1145.

43. Сильченко Ю. Т. Полугруппы с неплотно заданным производящим оператором / Ю. Т. Сильченко // Известия высших учебных заведений. Математика.- 2005,- №7,- С. 57-62.

44. Сильченко Ю. Т. Линейные дифференциальные уравнения с неплотно заданным операторными коэффициентами и связанные с ними краевые задачи:дис. док. физ.- мат. наук / Ю. Т. Сильченко.- Воронеж, 1999.-187с.

45. Сильченко Ю. Т. Об одном классе полугрупп / Ю. Т. Сильченко // Функциональный анализ и его приложения.- 1999 Т.ЗЗ.- №4.- С. 90-93.

46. Сильченко Ю. Т. Об одном исследовании связанной системы дифференциальных уравнений / Ю. Т. Сильченко // Дифференцильиые уравнения.- 2005,- Т.41.- №6.- С. 844-850.

47. Сильченко Ю. Т., Соболевский П.Е. . / Ю. Т. Сильченко, П.Е. Соболевский // Сиб. Матем. журнал.- 1986.- Т.27.- №4.- С. 94-104.

48. Соболевский П. Е. О полугруппах роста а / А. Е. Соболевский // ДАН СССР,- 1971.- Т. 196.- №3,- С. 535-537.

49. Треногии В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин.- М.: Физ-матлит, 2002.- 488 с.

50. Фёдоров В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В. Е. Фёдоров // Алгебра и анализ.- 2000.- Т. 12,- №3,- С. 173-200.

51. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс,- М.: ИЛ, 1962.

52. Чшиев А.Г. О генераторах полугруппы операторов Сильченко / А.Г Чшиев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж:ВГУ.- 2010.- С. 157-158

53. Чшиев А.Г. Теорема Герхарда Прюсса для некоторого класса вырожденный полугрупп операторов / А.Г. Чшиев // Международная конференция КРОМШ — 2010. Сборник тезисов - Симферополь - 2010 - С. 53

54. Чшиев А.Г. О свойствах некоторых полугрупп Сильченко класса А(ф) / А.Г. Чшиев // Вестник ПММ.- Воронеж:ВГУ.- 2010 г.- С. 269-294

55. Чшиев А.Г. Условия не замыкаемости и условия замкнутости ин-финитезимальных операторов одного класса полугрупп операторов / А.Г. Чшиев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж:ВГУ.- 2011- С. 357-358

56. Чшиев А.Г. Об условиях замкнутости и условиях замыкаемости ипфи-нитезимальных операторов некоторых классов полугрупп операторов / А. Г. Чшиев // Известия вузов. Математика.- 2011.- №8.- С. 77-85.

57. Чшиев А.Г. Теорема Герхарда Прюсса для вырожденных полугрупп / А. Г. Чшиев — Воронежский государственный университет, 2011.- Препринт № 39, 34 С.

58. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат М.: Наука, 1969.- 576 с.

59. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде.- М.:Мир, 1969,- 1070 с.

60. Arendt W. Vector — valued Laplace transforms and Cauchy problems / W. Arendt, C. Batty, M. Heeber, F. Newbrander — Monographs in Mathemaics.- Basel : Birkhauser Verlag, 2001,- 523 P.

61. Arendt W. Appoximation of degenerate semigroups / W. Arendt//Taiwanese J. Math.- V. 5.- №2.- 2001,- P. 279 — 295.

62. Arens R. Operational calcules of linear relations / R. Arens // Pacific J. Math.- 1961. VII,- P.9-23

63. Baskakov A., Obuhovskii V., Zecca P. On solutions of differential inclusions in homogeneous spaces of functions / A. Baskakov, V. Obuhovskii, P. Zecca //J. Math. Anal. Appl.- 2006. V.324.- P. 1310-1323.

64. Baskakov A. Spectral analysis of operators with the two-point Bohr spectrum / A. Baskakov, I. Krishtal //J. Math. Anal. Appl.- 2005,- V38.-P.420-439.

65. Carrol R.W. Singular and Degenerate Cauchy Problems / R.W. Carrol, R.E. Showalter New York : Academic Press,1976,- 333P.

66. Chicone C. Hyperbolicity and dissipativity in Evolution equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Appl. Math.- 1995. V168.- P.95-106

67. Chicone C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Amer. Math. Soc.- 1999.- 361 p.

68. Cross R. Multivalued linear operators / R. Cross New York: M. Dekker.-1998.

69. Da Prato G., Sinestrari E. Differential operators with nondense domain / G. Da Prato, E. Sinestrari // Annali délia Scvova normale Superiore- 1987.-V.14 P.283-344.

70. Engel K.J., Nagel R. One Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.J. Engel, R. Nagel -New York: Springer Verlag.- 2000.

71. Engel K.J. One Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.J. Engel, R. Nagel // Semigroup Forum.- 2001.- V.63.- №2,- P.278-280.

72. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi New York: M. Dekker.- 1998.

73. Gearhart L. Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert spaces / L. Gearhart // Trans. Amer. Math. Soc.- 1978.- V.236.- P.385-394.

74. Gohberg I. Classes of linear operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M. Kaashoek // Birhauser, vol. I, Oper. Theory Adv. Appl., 49, Basel, Boston, Berlin, 1990.

75. Goldberg S. Unbounded linear operators. Theory and applications / S. Goldberg //McGraw-Hill, New York-Toronto, 1966.

76. Goldstein J.A. Semigroups of Operators and Applications / J.A. Goldstein // Oxford University Press.- 1985.

77. Kamenskii M., Obuhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M. Kamenskii, V. Obuhovskii, P. Zecca // de Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl.- 2001. V.7

78. Latushkin Yu. Evolution semigroups and Lyapunov theorems in Banach spaces / Y. Latushkin, S. Montogomery-Smith //J. Funkt. Anal.- 1995-V.127.- №1,- P. 173-197.

79. Latushkin Yu. Exponential Dichotomy and Mild Solutions of Nonautonomous Equations in Banach Spaces / Y. Latushkin, T. Randolph, R. Schnaubelt // Journal of Dynamics and Differential Equations.- 1998.-V.10.- №3,- P.489-510.

80. Latushkin Yu. Fredholm properties of evolution semigroups / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov // Illinois J. Math.- 2004,- v.48.- №3.-P.999-1020.

81. Latushkin Yu. Fredholm differential operators with unbounded coefficients / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov //J. Differential Equations.-2005,- V.208.- №2.- P.388-429.

82. Latushkin Yu., Montgomery — Smith S. Evolutionary semigroups and Lyapunov theorems in Banach Spaces / Yu. Latushkin, S. Montgomery — Smith // J. Funct. Anal.- 1995.- V.127.- №1.- P.173-197.

83. Megan M. Discrete admissibility and exponential dichotomy for evolution families / M. Megan, A. L. Sasu, B. Sasu // Discrete Contin. Dyn. Syst.-2003.- V.9.- №2,- P.383-397.

84. Mel'nikova I.V. Wellposedness of the Cauchy problem in a Banach space: regular and degenerate case / I.V. Mel'nikova, M.A. Al'shansky //J. Math. Sei.- 1997.- V.87 №1.- P.3732-3780.

85. Naito T., Nguen Van Minh. Evolution semigroups and spectal criteria for almost periodic evolution equations / T. Naito, Nguen Van Minh // J. Differential Equations.- 1999.- V.152.- №2,- P.358-376.

86. Nagel R. Semigroup methods for nonautonomous Cauchy problems / R. Nagel //Lecture Notes in Pure and Appl. Math.- V.168.- Dekker.- New York.- 1995,- P.301-316.

87. Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Differential Equations / A. Pazy // Appl. Math. Sei., New York: Springer Verleg.- 1983-V.44

88. Pruss J. On the spectrum of Co semigroups / J. Pruss // Trans. Amer. Math. Soc.- 1984,- V.284.- P.847-857.

89. Räbiger F. The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Räbiger, R. Schnaubelt // Semigroup Forum.- 1996.- V.52.- №1,- P.225-239.

90. Räbiger F. A spectral characterization of exponentially dichotomic and hyperbolic evolution families / F. Räbiger, R. Schnaubelt // Tübinger Berichte zur Funktionalanalysis.- 1994.- V.3.- №1.- R222-234.

91. Rau R.T. Hyperbolic evolution semigroups on vector valued function spaces / R.T. Rau // Semigroup Forum.- 1994,- V.48.- №1.- R107-118.

92. Van Minh N. Exponential stability, exponential expansiveness, and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, F. Räbiger, R. Schnaubelt // Integral Equations and Operator Theory. -1998.- V.32 №3,- P.332-353.

93. Van Minh N. Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, N. Th. Huy //J. Math. Anal. Appl.- 2001.-V.261- m.- P.28-44.

94. Yakubov S., Yakubov Ya. Differential — Operator equations / S. Yakubov, Ya Yakubov Berlin, New York: V 103 in the Chapman/Hall/CRC.- 1999.