Спектральный анализ дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Шелковой, Александр Николаевич

• Шелковой, Александр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шелковой, Александр Николаевич

Список обозначений.

Введение.

1 Общая схема метода подобных операторов в исследовании некоторых классов возмущенных самосопряженных операторов

1.1 Метод подобных операторов и теорема о расщеплении

1.2 Блочная диагонализация по изолированному спектральному множеству.

1.3 Блочная диагонализация и равносходимость спектральных разложений.

1.4 Метод подобных операторов для дискретных самосопряженных операторов.

2 Спектральный анализ дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями

2.1 Оценки собственных значений и собственных функций одного класса дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями.

2.2 Асимптотика собственных значений и равносходимость спектральных разложений дифференциального оператора второго порядка с периодическими нелокальными краевыми условиями

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральный анализ дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями»

В диссертационной работе методом подобных операторов исследуются спектральные свойства относительно конечномерных возмущений самосопряженных дифференциальных операторов с дискретным спектром.

Рассматриваемый здесь класс операторов естественным образом возникает при исследовании некоторых классов интегральных операторов (см. [76], § 3), при сведении исследования дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями к исследованию интегро - дифференциальных операторов, определяемых обычными двухточечными краевыми условиями (см. [5], [10]). Относительно конечномерные возмущения играют важную роль в теории управления [84].Отметим, что интерес к исследованию дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями был проявлен давно (см. литературу 1-11 из статьи А.Л. Скубачевского [54], а также из статей В.В. Власова [18] и JI.C. Пулькиной [45]).

Метод подобных операторов берёт своё начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [2] и тесно связан с методом A.M. Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов [20], абстрактным вариантом замены Крылова - Боголюбова [4], [7]. Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А — В к другому, подобному ему оператору А —Во, где Во имеет несложную по отношению к А структуру.

Впервые метод подобных операторов был изложен К.О. Фридрихсом [72] для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Р. Тернером [86] для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов были получены теоремы о возможности их преобразования к диагональному оператору в базисе невозмущенного оператора.

Дальнейшее своё развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова [4] - [12] и его учеников, который стал использовать технику абстрактного гармонического анализа линейных операторов.

В данной диссертационной работе для исследования спектральных свойств операторов применяется вариант метода подобных операторов, изложенный в работах А.Г. Баскакова и E.JI. Ульяновой, позволяющий получить оценку сходимости спектральных разложений оператора с относительно конечномерным возмущением.

Прежде чем перейти к изложению основных результатов, отметим, что в диссертационной работе используется тройная нумерация теорем, лемм, следствий, замечаний, определений, формул. Причём первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа, третья - порядковый номер теоремы, леммы и т.д. в данном параграфе.

В первой главе диссертации приводятся основные понятия,определения и теоремы из метода подобных операторов (см. [7], [67]), наиболее приспособленные для исследования рассматриваемого класса дифференциальных операторов. Этот метод является основой проводимых исследований.

Пусть Н - бесконечномерное комплексное гильбертово пространство.

Определение 1.1.1. Два оператора Ai : D(Ai) СЯ-^Я, % — 1,2, называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор U 6 End Н (т.е. и~г 6 End Н, End Н - банахова алгебра линейных ограниченных операторов (эндоморфизмов), действующих в гильбертовом пространстве Я), такой, что UD^A'}) = D(A\) и выполняются равенства A\Ux — UA2 х, х G D(A2). Оператор U называется оператором преобразования подобия оператора А\ в оператор Ai.

Определение 1.1.2. Линейный оператор С : D(C) с Я 4 Я, называется подчиненным оператору А : D{A) С Я —у Я, если выполнены следующие два условия:

1) D(C) Э D(A)

2) существует константа М > 0, такая, что

С®|| <М(||Ав|| + И), VzGD(A).

Определение 1.1.3. Тройка (Я, J, Г), J : Я Я, Г : И End Н, называется допустимой для оператора А, а И - допустимым пространством возмущений, если:

1. it - банахово пространство (со своей нормой || • ||*), непрерывно вложенное в банахово пространство Са{Н) линейных операторов, подчиненных оператору А;

2. J, Г - непрерывные трансформаторы (т.е. линейные операторы, действующие в пространстве линейных операторов);

3. (ТХ)х е D(A) Ух Е. D(A) и имеет место равенство:

АТХ - (ГХ)А = X - JX, X е Я (равенство понимается как равенство элементов из it);

4. XVУ, (ГУ)Х G Я VX, У Е Я и существуют постоянные 71 > 0 и 72 > 0, такие, что ||Г|| < 71 и тах{||ХГУ||*, ||(ГУ)Х||,} < 72||Х|И|У||

5. выполнены условия: а) Im ГХ С D(A) и ATX £ End Н или б) VX 6 Я и Ve > 0 существует число ve Е р(А) (р(А) - резольвентное множество оператора А), такое, что \\XR(i/e, А)||оо < е, где

Х||оо = sup [|-Ха;||- норма оператора в End Н) R(v£,A) - резольвен-М1<1 та оператора А в точке v£.

Здесь Im ТХ - образ оператора ГХ. Непрерывность вложения банахова пространства it в Са{Н) означает, что существует постоянная Мо > О, такая, что \\В\\А < М0||В||* VB € it.

Пусть А : D(A) С Я —у Я - нормальный оператор (см., например, [3]) (частный случай нормального - самосопряженный оператор), спектр которого представим в виде а{А) = U5J, j> 1, где dj - взаимно непересекающиеся компактные множества, и существует последовательность ^ £ С, к = 1, 2,., из резольвентного множества р{А) оператора А, такая, что dist(a(A), v^) —f оо при к —> оо, и const К,, такая, что ——, , .-г- < /С: Pj, j > 1, - проектор Рисса, построенный dist(cr(A), щ) по спектральному множеству aj, Aj = APj, j = 1, 2,., Aj 6 End Я, \crj\ = sup |A|.

Xecxj

В качестве пространства возмущений Я рассматриваются операторы В : D(A) С Я —)• Я, допускающие представление Я = ВоА Во G 02 (Я) (здесь (72 (Я) - идеал операторов Гильберта - Шмидта, действующих в пространстве Я, с нормой || • Ц2), причём существуют две ненулевые последовательности {aj}^, такие, что имеет место оценка

PjBoPi\\2 < const ■ aj • i,j = 1, 2,. .

Наименьшая из констант, удовлетворяющая этому неравенству, определяет норму в U. п

Пусть п - некоторое натуральное число, положим Дп = IJ сг/с, 1

Р(ДП,А) - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству дя. п

H = sup |А|,д1 = Р(Ап,Л) = ^Л, Q2 = I-Qi. хеак .=1

Трансформаторы Jn : it U и Гп : Я —сг2(Я) определяются следующим образом:

Лг^ = QlXQi + Q2XQ2, ТпХ = Г^Х + Г^Х, где

Гп1)х= Е ЕГп(ЛпМ), rn>n+l &=1 п

Г®Х = Е Е r„(PmX0AF5b).

На операторных блоках PmXoPj~A трансформатор Гп определяется как решение уравнения

АРm¥orrik YomkAPk ~ РтХ{)Рк, удовлетворяющее условию

РтУоткРк = ^omfe) где либо {к > п + 1, т < п}, либо {к < n, т > п + 1}. Для всех остальных значений тик Тп(РтХоРкА) = 0.

Теорема 1.2.2. Пусть п - натуральное число, такое, что Лг v ы2Р1°&+0&<Хк ы2У/2.

7i(n4£Jr+1 ) <со' ч Г Г v^ Мfa 1 J Pk . . .

72(та) = max< max< > -г >; sup < > -—7-г > > < oo,

I j<n [ dist((Tj} <rk) J j>n+i [fri dist(<Tj, ak) причём выполнено условие

2max{7i(n),72(n)}+ 7i(n)+ 72W < 1, тогда оператор А — В подобен оператору А — JnX*(n), где Х*(п) G Я имеет вид:

X» = Х*и(п) + Х*2(п) + Х*21(п) + Х2*2(п), где X'-j(n) = QiX*{n)Qj, г, j = 1, 2, есть решение системы уравнений jxu = BijTXji + Ви (i = 1, i = 2) V (i = 2 ,j = 1) IXij = Fij(Xij), где оператор Fij : iUj задается формулой i^-X = BuYX - {ГХ)В„ - (TX) (BjiTX) + Bijt

Bij = QiBQj, = 1,2, - блоки оператора В G Я, являющегося возмущением оператора А, допустимое пространство возмущений Я является суммой четырёх замкнутых подпространств вида

Uij = {QiXQh ХеЯ}, = 1,2.

Оператор преобразования подобия имеет вид I + ТпХ*(п).

Теорема 1.3.4. Пусть операторы А, В £ Я таковы, что 71 (п) 0, 72 -!► 0 при п оо. Тогда, начиная с некоторого натурального по, оператор А—В подобен оператору A—JnX*(n)1 п>щ, где = Xi1(n)+ X*12{n)+X^(n)+XUn), и ||Р(ДП,А)-Р(Д„,А-В)|| О при п оо, где Лп = <т((А - ЛД») | Р(ДП, А)Я) С <т(А - В), Р(ДП, А - В) -проектор Рисса, построенный по спектральному множеству Лп оператора А-В .

Следствие 1.3.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.3.4, тогда для любого фиксированного ж из Я (J - Р(Д„, А — В))х — Р*ж||->0 при п-чоо. г>п+1

Вопросами равносходимости для различных классов операторов занимались Дж. Биркгоф [82], [83], Я.Д. Тамаркин [56], В.А. Стеклов [55], М. Стоун [85]. В настоящее время эти исследования продолжены в работах А.П. Хромова [74]-[76], B.C. Рыхлова [47], [48], В.А. Ильина [23]—[26], А.А. Шкаликова [81]. В работах В.А. Садовничего и его учеников [4.9]-[53] исследовались свойства спектра дискретных операторов, были получены формулы регуляризованных следов, в статьях [16]-[17] изучалась асимптотика собственных значений некоторых классов дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами, при этом использовались отличные от данной работы методы. В статье [33] Г.М. Кесельман получил спектральность оператора (£у)(х) = у" (х)+а(х)у(0) + Ь(х)у(1) + (Ву)(х) с областью определения D(C), задаваемой краевыми условиями

1 1 у(0) = J y(x)a0(x)dx, у (I) = J y{x)bQ(x)dx, о о где а, 6, ао, h <Е L2{0; 1), В 6 End Ь2(0; 1).

Во второй главе диссертации исследуются спектральные свойства относительно конечномерных возмущений самосопряженных дифференциальных операторов с дискретным спектром. Изучается асимптотика спектра и собственных функций операторов, представимых в виде А~ В, где невозмущенный оператор А порождается краевой задачей для обыкновенного дифференциального уравнения. Доказана сходимость спектральных разложений исследуемого класса операторов.

В §2.1 проводится исследование спектральных свойств дифференциального оператора, действующего в гильбертовом пространстве -^[О; 1], задаваемого выражением Су = —у и нелокальными краевыми условиями

1 1 2/(0) = J a0(t)y(t)dt, у{ 1) = J ai(t)y(t)cft, о о где ao(t) и ai(t) - функции из 1^2[0; 1].

Для исследования спектра оператора С рассматривается сопряженный ему оператор

C*x)(t) = -x(t) + [i(l)ai(t) - х(0)ao(t)] с краевыми условиями ж(0) = ж(1) = 0. Представляя этот оператор в виде А - В, где

Ax)(t) = —x(t) — невозмущенный оператор,

Bx){t) = ж(0)ао(£) — x(l)ai(t) — возмущение, показывается, что данный оператор для любых функций ao(t), ai(t) из L2[0; 1] принадлежит рассматриваемому классу операторов, и для собственных функций и собственных значений этого оператора получены оценки.

Теорема 2.1.1. Для любых функций ao(t) и ai(t) из гильбертова пространства ^[0; 1] для собственных значений Лп и собственных функций en(t) оператора А — В справедливы оценки: к> 1 кфп хп - А2 - + (-l)n+1<n)+ + ("1)п+10 № + (-1)&+1<) п2 — к2 к> 1 const-n-(l<n| + |<l)-72(n);

MP ( V/2

J |en(i) — V2sm-Knt\2dt J < const • n •

Ш + fenl)2

1 ln2 - k2\ \кфп / E l l где ajy1 = 2 f ao(t) sin njtdt, a™ = 2 f a\ (t) sin irjtdt - коэффициенты о о разложения функций ao(t) и ai(t) в ряд Фурье по синусам.

В §2.2 исследуется асимптотика собственных значений и равносходимость спектральных разложений дифференциального оператора второго порядка, действующего в комплексном гильбертовом пространстве Li[0; 27г], и порождаемого дифференциальным выражением

Су = -у + у и начальными краевыми условиями:

2тг у{0) = у{2тг) + f a0{t)y(t)dt, о

2тг у{0) = + J ai(t)y(t)dt. о

Здесь ao(t) и а\(t) - функции из Ьг[0;27г]. Переходом к сопряженному оператору

C*x)(t) = -x(t) + x{t) - [x(2ir)a0(t) - x(2v)ai(t)] с краевыми условиями

С(0) = х(2тг) ж(0) = х(2тг) и представляя его в виде Ах — Вх, где невозмущенный оператор А порождается дифференциальным выражением

AjOC — СО 00 j а возмущение В порождается дифференциальным выражением

Bx)(t) = x(2ir)a0(t) - z(27i>i(t), доказывается, что оператор В принадлежит классу относительно конечномерных возмущений самосопряженных операторов, и справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2.3. Пусть п - натуральное число, такое, что для любых функций ao(t) и a\(t), принадлежащих гильбертову пространству ^2[0;27г] , для величин 71 (п) и 72 (?г) выполнены условия: lim 71 (n) = 0, lim 72 (n) = 0.

00 п-> оо

Тогда для Х(Ап) - взвешенного среднего собственных значений оператора Ап = А — В - имеет место оценка: п(Ап) - (п2 + 1)+ т>1 тфп т> 1 тфп sin

1 гаа'т

Е/ -lNm+l^cos V У а0ш cos /п2 т2 tt0n т> 1 тфп

П* — ПГЬ' Е

Ш>1 тфп п2 — т2 п* — т4

72 W а; sin On а cos On а' sin In а cos In fW) где D(n) = (1 - 71W - 72M)2 - 471(71)72(71). Также справедлива оценка:

2тг

7Г 2тг *W 0 cos ntdt I cos nt1

7Г 2тг Г f* I гтг jxff) sin ntdt I sin nt

2 \ 1/2 dt) <

271 (n)

У /ОД+ 1-371 (n)-72(n)' где Pn есть проектор Рисса, построенный по спектральному множеству ап оператора А — В. 27Г ^ 27Г

Здесь = — / ao(t) cos jtdt] afjS = — f ao(t) sin jtdt] n о ^ о 27Г -J^ 27T ag1 = — f ai(t) cos jtdt; ags = — f a\(t) cos jtdt, j = 1,2,. , — коэфо ^ о фициенты Фурье функций ao СО и ai (t) по системе собственных функций оператора А.

В §2.3 исследуются свойства интегро - дифференциальных операторов с вырожденным ядром. Доказано, что интегро - дифференциальный оператор, задаваемый выражением i

Cx)(t) = -ж(i) - J K{t, s)x(s)di

K(t, s) = ^Pi{t)qi{s), ph qi 6 L2[0; 1], i=1 и краевыми условиями ж(0) = я(1) = 0, принадлежит классу относительно конечномерных возмущений самосопряженных операторов, и справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3.1. Для любых функций Pi(t), qi(s), i — 1, к, из гильбертова пространства ^[О; 1] для собственных значений Хп и собственных функций en(t) оператора С справедливы оценки: к к и V n?innsin V a-inn л к, « Z^ У in rim Чгтг:

X 2 2 1 V^ , 1 V i=1 i=1

K-КГЬ pm in i=1 const ■ n • sup j m> 1 тфп sin n2 — m2

E^ „Sin • Jrin i—1

72 W,

V2

00 пй-V2 Sin Tint+ —2^)4

У osin79S Ч.1П trv sin Ш

2-7Г2 1' n2 — m2 sin fruit

1/2 dt const • n

00 E m=l к „sin V sup Е yjSm j Jrin

V з i=l J

In2 — m2l2 V

1 1 где pf? = 2 f pi(t) sin 7Гjtdt, qf-1 — 2 f qi{s) sin irjsds - коэффициенты о о разложения функций Pi(t), Qi(s), i = в ряд Фурье по синусам.

В этом же параграфе рассматривается интегро - дифференциальный оператор, действующий в гильбертовом пространстве ^[0; 1], и порождаемый интегро - дифференциальным выражением

Л k оCy){i) = -y(t) - / £>(<)®My(s)<fe

I г=1 и нелокальными краевыми условиями у(0) = f ao(t)y(t)dt, о 1

2/(1) = f ai(t)y(t)dt, где функции a0(t), ai(t) p»(t), &(s), i = при-o надлежат 1].

Переходя к сопряженному оператору 1 ж)(*) = -a:(t) - [x{0)aQ(t) - x(l)ai(t)] - J K(t, s)®(s)ds, i=l с краевыми условиями ж(0) = ж(1) = О и представляя его виде Аж — Вх, где невозмущенный оператор Л порождается дифференциальным выражением

Ах = -х, х е D(A),

D(A) = {хе L2[0; 1]:х,хе С[0; 1],х £ Ь2[0; 1],ж(0) = ж(1) = 0}, а возмущение В представляет собой сумму двух операторов Bi и В2) которые на области определения D(A) задаются соотношениями

ВгхЩ = x(0)a0(t) - x(l)ai(t)-, L

B2x)(t) = J K(t, s)x{s)ds, 0 x £ D{A), t E [0; 1], доказано, что оператор В принадлежит к классу относительно конечномерных возмущений самосопряженных операторов, и справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3.5. Для любых функций qi(s), i = l,k, ao(t), a\{t) из гильбертова пространства L2[0; 1] для собственных значений Лп и собственных функций in(t) оператора А — В справедливы оценки:

А„ „V - т(а*; + (-1 )«+!„£) i г—1 к т>1 тфп sin , / -I \ri+l sin . 1 \ Л sin si

П4%т + alm) + 9 2^qin Pir sm im i—1

Km(at + (-l)m+1asin) + \ g ОС /(тг2 - m2) const ■ n ■ ( 7r(|agJ| + \at\) + g sup „sin en(t) ~ \/2siii7rnt+

72 w; п> оо irn(aZ + (~l)n+1<) + I E QX V Л V^ »=1 • J. У/-о-n-- sin7Гmt

7Г m= 1 тфп n2 — m2 const • n oo ra=1 тфп

Kn| + Kn|) + |sup j к i=1 sin

E^lfjSin

2 \ 1/2 dt j <

2\ 1/2

In2 — m2|2 V

В §2.4 рассматриваются те же интегро - дифференциальные операторы, что и в §2.3, но ядро K(t, s) в них принадлежит гильбертову пространству 1^2([0; 1] х [0; 1]). Доказывается, что эти операторы также принадлежат классу относительно конечномерных возмущений и справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.4.1. Для любых функций K(t,s) из гильбертова пространства Li ([0; 1] х [0; 1]) для собственных значений Лп и собственных функций en(t) оператора 1 x)(t) = -x(t) - J K(t,s)x(s)ds о с краевыми условиями ж(0) = х(1) = 0 справедливы оценки:

1 1 IJSsin I I jy-, 2^,2 | jysin| I х у^ \ тп\ гЬ

К-*» + „2т2 т> 1 тфп

Ij^sin rlmn • iA:sini rlnrol n2 — m2

КТ\ const • п • sup —• 72(^)5 j J

1 л/2 00 |Ksin| 2 41/2 en(t) - л/2 sin 7Г nt + —-z У" ' wnl0 sin7rmt / 27Г^ z—' rr — rrr m=l тфп dt < const • n

00 sup

1 \ 1/2 in2 m=l \тфп n* — m

212

1 1 где jЩ™ = 4 f f К(t,s) sin irjt sin 7Гisdtds -коэффициенты разложения функ-o о ции K(t, s) в ряд Фурье по синусам.

Теорема 2.4.5. Для любых функций K(t,s) G L2([0; 1] х [0; 1]), ao(t), ai(t) G L2[0; 1] для собственных значений \п и собственных функций en(t) оператора 1

А - B)x)(t) = ~x{t) - [x{0)ao{t) - x(l)ai(t)] - j K{t,s)x(s)ds, о

Ax = -x, x G D(A),

D(A) = {xe L2[0; l]:x,xe C[0; l],x G L2[0; 1], ж(0) = x(l) = 0}, l

Bx)(t) = x(0)ao(t) - i(l)ai(i) + J K(t, s)x(s)ds, о ж G D(A), t G [0; 1], справедливы оценки: к - ttV - тm(C + (-1)"+1<) m>l тфп sin i / 1 чп+l^sm\ I z^sin ™\аЪт + l"1) al m) + 2 nm sin

7rm(a0n + (—I)™ а1и) + 2^mn n2 - m2) const • n - 72 (n) sin

1 I*1», z j J п(£) — V2sixiimt+

V2 ^ 7Гn(aZ + (-l)"+1ofe) + IKZ . —-a-о-5-- sm ■Kmt

771=1 тфп const ■ П ■ n2 — m2 oo m=1 тфп

2 T ' dt

In2 — m2|2

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шелковой, Александр Николаевич, 2004 год

1. Агранович, М.С. Спектральные свойства задач дифракции / М.С. Агранович / Н.Н. Войтович, Б.З. Кацеленбаум, А.Н. Сивов // Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. -М., 1997. - С.289-416.

2. Арнольд, В.И. Малые знаменатели. I. Об отображении окружности на себя / В.И. Арнольд // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1961. - Т.25, вып. I. - С.21-86.

3. Ахиезер, Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. М. : Наука, 1966. - 543 с.

4. Баскаков, А.Г. Замена Крылова Боголюбова в теории нелинейных возмущений линейных операторов / А.Г. Баскаков. - Препринт №80-19. - Киев, 1981.

5. Баскаков, А.Г. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями / А.Г. Баскаков, Т.К. Кацаран // Дифференц. уравнения. 1988. - Т.24, №8. - С.1424-1433.

6. Баскаков, А.Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов / А.Г. Баскаков // Сиб. мат.журн. 1983. - Т.24, т. - С.21-39.

7. Баскаков, А.Г. Гармонический анализ линейных операторов: Учеб. пособие / А.Г. Баскаков. Воронеж : Изд-во Воронеж, ун-та, 1987. - 164 с.

8. Баскаков, А.Г. Метод подобных операторов и формулы регуляризо-ванных следов / А.Г. Баскаков // Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1984. -т. - С.3-12.

9. Баскаков, А.Г. Спектральный анализ неквазианалитических и спектральных операторов / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. -1994. -Т.58, т. С.3-32.

10. Баскаков, А.Г. Спектральный анализ относительно конечномерных возмущений спектральных операторов / А.Г. Баскаков // Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1991. - Ml. - С.3-11.

11. Баскаков, А.Г. Формулы регуляризованных следов для степеней возмущенных спектральных операторов / А.Г. Баскаков // Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1985. - №8. - С.68-71.

12. Баскаков, А.Г. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы в аналитической теории возмущений / А.Г. Баскаков // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. -Т.50, №3. - С.435-457.

13. Бирман, М.Ш. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений / М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк // Математический анализ. М., 1977. -С.5-58. - (Итоги науки и техники / ВИНИТИ ; т. 14).

14. Бугров, Я.С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного /Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Ростов-на-Дону : Феникс, 1998. -512 с.

15. Будак, Б.М. Кратные интегралы и ряды / Б.М. Будак, С.В. Фомин. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 512 с.

16. Винокуров, В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом / В.А. Винокуров, В.А. Садовничий // Дифференц. уравнения. - 1998. - Т. 34, №10. - С. 1423-1426.

17. Власов, В.В. О некоторых спектральных вопросах, возникающих в теории дифференциально-разностных операторов / В.В. Власов // Успехи матем. наук. 1998. - Т. 53, №4. - С.217-218.

18. Гохберг, И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. М. : Наука, 1965. -448 с.

19. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. М. : Наука, 1970. - 536 с.

20. Данфорд, Н. Линейные операторы : в 3-х т. / Н. Данфорд, Д.Т. Шварц. М. : Мир, 1974. - Т. 3 : Спектральные операторы. - 661

21. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды : в 2-х т. / А. Зигмунд. М. : Мир, 1965. - Т.2. - 537 с.

22. Ильин, В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений.1. / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1980. -Т. 16, №5. - С.771-794.

23. Ильин, В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений.1.. / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1980. -Т.16, №6. - С. 980-1009.

24. Ильин, В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент / В.А. Ильин // Докл. АН СССР. 1983. - Т.273, №4. -С. 789-793.

25. Ильин, В.А. О необходимом условии расносходимости с тригонометрическим рядом спектрального разложения произвольной суммируемой функции / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1985. -Т.21, №3. -С.371-379.

26. Каделбург, Э. Спектральная функция одного функционального дифференциального оператора второго порядка / Э. Каделбург, М-. Мар-тинович // Дифференц. уравнения. 1989. -Т.25, №11. - С.1882-1889.

27. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. СПб. : Лань, 2003. - 576 с.

28. Коллатц, JI. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями)/ Л. Коллатц. М. : Наука, 1968. - 504 с.

29. Канторович, JI.B. Функциональный анализ / JT.B. Канторович, Г.П. Акилов. М. : Наука, 1984. - 750 с.

30. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т.Като. М. : Мир, 1972. - 740 с.

31. Кахан, Ж.П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье / Ж.П. Кахан. М. : Мир, 1976. - 204 с.

32. Кесельман, Г.М. О спектральности возмущенного оператора Штурма-Лиувилля с нелокальными краевыми условиями / Г.М. Кесельман // Дифференц. уравнения. 1985. -Т.21, №3. - С.494-499.

33. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М. : Наука, 1989. - 623 с.

34. Крейн,С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. М. : Наука, 1967. - 464 с.

35. Маркус, А.С. О сходимости разложений по собственным векторам оператора, близкого к самосопряженному / А.С. Маркус, В.И. Мацаев // Математические исследования. Кишинёв, 1981. -№61. - С.104-129.

36. Мартинович, М. Об одной краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения / М.Мартинович // Дифференц. уравнения. 1982. - Т.18, №2. -С.239-245.

37. Мартинович, М. Дзета-функция и формулы следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением / М.Мартинович // Дифференц. уравнения. Т.18, №3. - С.537-540.

38. Маслов, В.П. Операторные методы / В.П. Маслов. М. : Наука, 1973. - 543 с.

39. Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными / С. Ми-зохата. М. : Мир, 1977. - 504 с.

40. Митрохин, С.И. О формулах следов одной краевой задачи с функционально дифференциальными уравнениями с разрывными коэффициентами / С.И. Митрохин // Дифференц. уравнения. - 1986. -Т.22, №6. - С.927-931.

41. Михлин, С.Г. Линейные уравнения в частных производных / С.Г. Михлин. М. : Высш. шк., 1977. - 431 с.

42. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Най-марк. М. : Наука, 1969. - 528 с.

43. Никольский, С.М. Курс математического анализа: в 2-х т. / С.М. Никольский. М. : Наука, 1983. -Т.2. - 448 с.

44. Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для квазилинейного гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Ма-тем. заметки. 2001. -Т.70, №1. - С.88-95.

45. Рид, М. Методы современной математической физики: в 3-х т. / М. Рид, Б. Саймон. М. : Мир, 1977. - Т.1 : Функциональный анализ. -357 с.

46. Рыхлов, B.C. Разложение по собственным и присоединенным функциям квазидифференциальных и интегральных операторов : автореф. дис. . канд. физ. мат. наук / B.C. Рыхлов. - Саратов, 1981. - 16 с.

47. Рыхлов, B.C. Теоремы равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (п — 1) ой производной / B.C. Рыхлов // Дифференц. уравнения и теория функций : межвуз. науч. сб. - Саратов, 1980. -Вып.2. - С.57-75.

48. Садовничий, В.А. О некоторых соотношениях для собственных чисел дискретных операторов в частных производных / В.А. Садовничий,B.В. Дубровский // Дифференц. уравнения. 1977. - Т.13, Ml. C.1264-1271.

49. Садовничий, В.А. Свойства спектра дискретных операторов / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика, механика. 1977. - №5. - С.37-44.

50. Садовничий, В.А. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов / В.А. Садовничий, В.А. Любишкин // Функц. анализ и его приложения. 1986. -Т.20, №3. - С.55-65.

51. Садовничий, В.А. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов / В.А. Садовничий, В.А. Любишкин, М. Мар-тинович // Докл. АН СССР. 1987. - Т.293, №5. - С.1062-1064.

52. Садовничий, В.А. Теория операторов / В.А. Садовничий. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1986. - 386с.

53. Скубачевский, A.JI. О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в 1/2(0,1) / A.J1. Скубачевский, Г.М. Стеблов // Докл. АН СССР. 1991. - Т.321, №6. - С.1158-1163.

54. Стеклов, В.А. Задача об охлаждении неоднородного твёрдого стержня / В.А. Стеклов // Сообщения Харьковского математического общества. Харьков, 1986. - С.46.

55. Тамаркин, Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды / Я.Д. Тамаркин. Петроград: б.и.], 1917. - 308 с.

56. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. М. : Наука, 1980. - 495 с.

57. Ульянова, Е. JL Конечномерные возмущения дифференциального оператора второго порядка / E.JI. Ульянова // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения V", Воронеж, 25 -29 апреля 1994 г. : тез. докл. - Воронеж, 1994. - С. 137.

58. Ульянова, E.JI. Об асимптотике спектра относительно конечномерных возмущений самосопряженных операторов / E.JI. Ульянова // КРОМШ I "Спектральные и эволюционные задачи", Киев, 1991 г. : тез. докл. - Киев, 1991. - С.14.

59. Ульянова, ЕЛ. О некоторых спектральных свойствах одного дифференциального оператора / E.JT. Ульянова // Математика. Экономика : 5 международ, конф. женщин математиков, Ростов-на-Дону, 26 мая - 1 июня 1997 г. : тез. докл. - Ростов н/Д, 1997. - С.36.

60. Ульянова, ЕЛ. О спектральных свойствах относительно конечномерных возмущений самосопряженных операторов / ЕЛ. Ульянова // Изв. ВУЗов. Сер. математика. 1997. - №10. - С.75 - 78.

61. Ульянова, ЕЛ. Оценки проекторов относительно конечномерных возмущений самосопряженных операторов / ЕЛ. Ульянова // Труды III международной конференции женщин математиков. - Воронеж, 1995. - Вып.1. - С. 170-174.

62. Ульянова, E.JI. Спектральный анализ нормальных операторов, возмущенных относительно конечномерными : дисс. . канд. физ. мат. наук / Е.Л. Ульянова. - Воронеж, 1998. - 100 с.

63. Ульянова, Е.Л. О существовании периодических решений одного интегро дифференциального уравнения / Е.Л. Ульянова, В.Н. Коро-тун // Вестн. фак. прикладной математики и механики. - Воронеж, 2000. - Вып.2. - С.176-188.

64. Ульянова, Е.Л. О сходимости спектральных разложений для одного класса интегро-дифференциальных операторов / Е.Л. Ульянова, Е.Ю. Панов // Вестн. фак. прикладной математики и механики. -Воронеж, 2000. Вып. 2. - С. 188-196.

65. Ульянова, Е.Л. О некоторых спектральных свойствах одного класса дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями / Е.Л. Ульянова, А.Н. Шелковой // Вестн. Воронеж, ун-та. Сер. Физика, математика. 2002. - №2. - С. 106-110.

66. Фридрихе, К.О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / К.О. Фридрихе. М. : Мир, 1969. - 232 с.

67. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р.С. Филлипс. М. : Мир, 1962. - 830 с.

68. Хромов, А.П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов / А.П. Хромов // Докл. АН СССР. 1973. - Т.209, №2. - С.309-311.

69. Хромов, А.П. Разложения по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными краевыми условиями / А.П. Хромов // Матем. сб. 1996. - Т.70, №3. - С.310-329.

70. Хромов, А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов / А.П. Хромов // Матем. сб. 1981. -Т.114, №3. - С.378-405.

71. Шелковой, А.Н. Оценки собственных значений и собственных функций одного дифференциального оператора с нелокальными краевыми условиями / А.Н. Шелковой // Вестн. фак. прикладной математики и механики. Воронеж, 2000. - Вып.2. - С.226-235.

72. Шкаликов, А.А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями / А.А. Шкаликов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика, механика. 1982. - №6. - С. 12-21.

73. Birkhoff, G.D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations contaning a parameter / G.D. Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. - V.G. - P. 219-231.

74. Birkhoff, G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations / G.D. Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc. 1908.- V.G. P. 337-395.

75. Lasieska, I. Finite rank, relatively bounded perturbations of semigroups generators. Part.2. Spectrum and Riesz basis assignment with applications to feedback systems / I. Lasieska, R. Triggiani // Ann. mat. pura ed appl.- 1986. V. 143. - P. 47-100.

76. Stone, M.H. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff / M.H. Stone // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. - V.28 - P.695-761.

77. Turner, R.E. Perturbations of compact spectral operators / R.E. Turner // Communications on pure and appeied mathematics. 1965. - V. 18.- P. 519-541.