Спектральные свойства математических моделей на базе метрических графов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Смолкина Мария Олеговна

• Смолкина Мария Олеговна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Смолкина Мария Олеговна

Оглавление

Введение

Глава 1 Краткий обзор имеющихся результатов

1.1 Теория метрических графов

1.2 Спектральная задача для метрических графов

1.3 Квантовый граф как инструмент изучения физических систем

1.4 Квантовые наносистемы

1.4.1 Квантовые кольца

1.4.2 Незатухающий ток и спин-орбитальное взаимодействие

1.4.3 Баллистический электронный транспорт в наносистемах

Глава 2 Спектральные свойства гамильтониана квантового графа с 5-соединением в вершинах

2.1 Построение модели квантового графа

2.2 Теорема типа Молчанова

2.3 Случай «симметричных колец», достаточное условие дискретности спектра

2.4 Выводы

Глава 3 Свойства спин-зависимых транспортных явлений в цепочке из двух колец со спин-орбитальным взаимодействием типа Рашбы

3.1 Построение модели

3.2 Численное моделирование

3.3 Спин-орбитальное взаимодействие типа Дресселгауза

3.4 Выводы

Глава 4 Свойства баллистического электронного транспорта в системе двух ортогональных колец, находящейся в магнитном поле

4.1 Построение модели

4.2 Численное моделирование

4.3 Случай двух сцепленных в одной точке колец

4.4 Выводы

Глава 5 Модель дискретного графа с цепочкой из колец Холштейна-Хаббарда со спин-орбитальным взаимодействием типа Рашбы

5.1 Построение модели

5.2 Незатухающий ток и энергия основного состояния

5.3 Численное моделирование

5.4 Выводы

Глава 6 Модель графа для механики вязкой жидкости

6.1 Построение модели

6.2 Граф течений жидкости

6.2.1 Неосциллирующее решение

6.2.2 Функция Грина

6.2.3 Неравенство типа Харнака

6.2.4 Граничные условия Неймана

6.3 Выводы

Заключение

Список рисунков

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные свойства математических моделей на базе метрических графов»

Введение

Актуальность. Данное исследование направлено на построение ряда математических моделей метрических графов, как абстрактных, так и вложенных в трехмерное пространство, изучение спектра их гамильтонианов, и на изучение баллистического электронного транспорта в наносистемах, для которых применимы разработанные модели.

Понятие графа широко используется в современной науке [48, 64, 78, 110]. Метрический граф - это более развитая конструкция, в которой ребра являются не только обозначением отношения между вершинами, но и объектом, в котором происходят реальные процессы. Поскольку эта модель является низкоразмерной системой, она имеет очевидные преимущества и во многих случаях явно разрешима [114, 115]. Модель активно исследуется с 80-х годов и позволила получить много значимых результатов. Описание современных моделей можно найти в следующих работах [21, 47, 82]. В случае, когда квантовый гамильтониан определен как оператор на ребрах графа, модель называется квантовым графом. В связи с активным развитием нанотехнологий, существует необходимость создания качественных решаемых моделей, которые будут предоставлять сведения о создаваемом объекте, в том числе, информацию о спектральных свойствах, а также свойствах баллистического электронного транспорта. Математическая модель - это математическое представление изучаемого объекта, которое сохраняет качественные характеристики, а также позволяет упростить создание реального объекта с заданными свойствами. Модель квантового графа интересна новыми возможностями в области нанотехнологий в связи с тем, что их современное развитие позволяет создавать квазиодномерные системы (например, квантовые провода) искусственно.

Объектом диссертационного исследования являются спектральные и транспортные свойства наноструктур: квантовых колец, цепочек колец, системы узких связанных каналов. Предмет исследования - математические модели, сформулированные на основе теории графов и описывающие обозначенные наноструктуры.

Цель диссертационного исследования - описание спектральных свойств квантового графа с 5 -соединением в вершинах, баллистических электронных транспортных свойств квантовых наноструктур, состоящих из квантовых колец или цепочек колец, а также спектральных свойств графа течений жидкости.

Для достижения этой цели в диссертации были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Построена математическая модель квантового графа с 5 -соединением в вершинах. Построено решение спектральной задачи, изучены свойства решения, сформулирована и доказана теорема типа Молчанова как необходимое и достаточное условие дискретности спектра.

2. Построена математическая модель цепочки из двух колец со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы. Для данной модели было построено решение спектральной задачи и изучены свойства спин-зависимого переноса электронов, в частности спин-фильтрация и спин-поляризация в присутствии спин-орбитального взаимодействия Рашбы и магнитного потока. Помимо этого численно была изучена зависимость спиновой поляризации от различных параметров системы, таких как магнитный поток, постоянная Рашбы, радиус колец, углы между проводами и точкой сцепления колец. Также было найдено подходящее значение постоянной Рашбы, когда система двух связанных квантовых колец может работать как инвертор электронного спина.

3. Построена математическая модель двух ортогональных квантовых колец (одно кольцо находится в плоскости XOY, а другое в плоскости ZOY, и имеют общий центр в точке (0; 0; 0)), пронизываемых магнитным потоком. Для данной модели было построено

решение спектральной задачи и изучены свойства электронного транспорта. Также было проведено численное моделирование с различными наборами параметров системы и установлены такие ситуации, в которых построенная модель ведет себя как переключатель между каналами.

4. Построена математическая модель цепочки из двух колец со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы с использованием дискретного графа и модели Холштейна-Хаббарда. Найдены аналитические выражения для описания незатухающего тока, а также энергии основного состояния. Для изучения свойств незатухающего тока и энергии основного состояния было проведено численное моделирование, в ходе которого была выявлена зависимость незатухающего тока от следующих параметров системы: магнитного потока, величины постоянной спин-орбитального взаимодействия Рашбы, температуры системы, величины химического потенциала.

5. Построена математическая модель графа течений жидкости. Для данной модели построено решение спектральной задачи, а также изучены основные свойства неосциллируещего решения, функции Грина, и получено неравенство типа Харнака.

Теоретическая и практическая значимость работы. Итогом работы в рамках

диссертации стали результаты, которые затрагивают фундаментальные вопросы теории графов,

квантовых графов, квантовых наноструктур, имеющих в своей структуре квантовые кольца,

активно обсуждаемые в связи с ускоренным современным развитием нанотехнологий. Полученные результаты расширяют возможности по анализу и проектированию систем из областей спинтроники, различных приложений в микроэлектронике и нанофлюидике.

Методы исследования. Методы, которые были использованы в ходе работы, являются синтезом общих методов (теория линейных операторов, классические численные методы) и специальных методов (теория квантовых графов, квантовая теория рассеяния). Для решения систем алгебраических уравнений, проведения численного исследования и моделирования, был использован математический пакет МЛТЬЛВ, а также встроенные в него библиотеки функций и графические подпрограммы.

Научная новизна. Рассмотренные в работе спектральные задачи для указанных графов, при наличии магнитного поля в описываемой системе, ранее никем не рассматривались. Создание класса таких математических моделей открывает новые возможности в математическом моделировании наносистем. Как показывает результат исследований в области квантовых структур: колец, цепочек колец, - такие модели могут выполнять роль спин-инвертора, что является очень востребованным устройством в спинтронике. В связи с тем, что модели с одиночным квантовым кольцом не являются достаточно эффективными и надежными для описания и изучения реальных физических задач, возникает необходимость перехода к модели квантового графа, который содержит два квантовых кольца.

В рамках исследования были получены следующие новые теоретические и практические результаты:

• Построены:

о математическая модель квантового графа с 5 -соединением в вершинах, о модель цепочки из двух колец со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы, о модель системы из двух ортогональных квантовых колец, пронизываемых магнитным потоком,

о модель дискретного графа с цепочкой из колец Холштейна-Хаббарда со спин-

орбитальным взаимодействием Рашбы, о модель графа течений жидкости.

• Для перечисленных моделей построено решение спектральной задачи, изучены свойства решения.

• Сформулирована и доказана теорема типа Молчанова как необходимое и достаточное условие дискретности спектра в модели квантового графа с 5 -соединением в вершинах.

• Найдено значение постоянной Рашбы, когда система из двух связанных квантовых колец может работать как инвертор электронного спина.

• Найден набор оптимальных значений параметров системы (углов, радиусов, энергии, волнового числа и величины магнитной индукции), при которых система из двух ортогональных квантовых колец устройство ведет себя как переключатель между каналами.

• Описаны свойства незатухающего тока и энергии основного состояния в модели дискретного графа, состоящего из цепочки из двух колец типа Холштейна-Хаббарда со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы.

• Получено неравенство типа Харнака для неосциллирующего решения в модели графа течений жидкости.

Степень достоверности результатов, достигнутых в рамках работы над диссертацией, обеспечена детальным доказательством всех положений, а также общепринятыми математическими методами. Полученные результаты были соотнесены с результатами исследований спектральных и баллистических транспортных свойств наносистем и квантовых структур в работах других авторов, в тех случаях, когда это соответствие возможно провести.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационного исследования были представлены на 18 научных конференциях, из них 15 международных и 2 всероссийские: ФизикА.СПб (ФТИ им. А.Ф. Иоффе, Санкт-Петербург, Россия, 24.10.2017 - 26.10.2017, 22.10.2019 - 24.10.2019, 19.10.2020 - 23.10.2020), International School and Conference on Optoelectronics, Photonics, Engineering and Nanostructures "Saint-Petersburg OPEN" (St. Petersburg Academic University, Saint Petersburg, Russia, 6.04.2015 -8.04.2015, 26.04.2020 - 20.04.2020, 25.05.2021 - 28.05.2021), Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems, "Pierre Duclos Workshop" (ITMO University, Saint Petersburg, Russia, 23.09.2014 - 26.09.2014, 26.09.2017

- 27.09.2017, 19.09.2019 - 20.09.2019, 14.09.2020 - 16.09.2020), International Conference "Mathematical Results in Quantum Physics" (QMath14. Aarhus University, Aarhus, Denmark, 12.08.2019 - 16.08.2019), Conference «Mathematical Results in Quantum Mechanics» (QMath12, Berlin, Germany, 10.09.2013 - 13.09.2013), IWOTA (International Workshop on Operator Theory and It's Application. Indian Institute of Science, India, Bangalore, 16.12.2013 -20.12.2013, 22.07.2019

- 26.07.2019), Всероссийский конгресс молодых ученых (Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, 08.04.2014 - 11.04.2014, 14.04.2021 - 17.04.2021), International Conference Days on Diffraction (Saint Petersburg, Russia19.06.2017 - 23.06.2017), Научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО (Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия, 01.02.2021 -04.02.2021).

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 9 научных работ в рецензируемых журналах, входящих в базы данных Web of Science, Scopus и перечень ВАК:

1. Smolkina, M.O. Scattering, Spectrum and Resonance States Completeness for a Quantum Graph with Rashba Hamiltonian / I.V. Blinova, I.Y. Popov, M.O. Smolkina // Operator Theory: Advances and Applications. - 2021. - Vol. 282. - P. 51-62

2. Smolkina, M.O. The spin-filtering properties in two coupled Rashba quantum rings / M.O. Smolkina, I.Y. Popov, I.V. Blinova // Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - Vol. 1695. -№ 1. - P. 012174

3. Smolkina, M.O. The spin-filtering properties in two coupled Rashba quantum rings / M.O. Smolkina, I.Y. Popov, I.V. Blinova // Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - Vol. 1697. -№ 1. - P. 012198

4. Smolkina, M.O. Persistent current in a chain of two Holstein-Hubbard rings in the presence of Rashba spin-orbit interaction / A. Chatterjee, M.O. Smolkina, I.Y. Popov // Наносистемы: Физика, химия, математика = Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2019. - Vol. 10.

- № 1. - P. 50-62

5. Smolkina, M.O. On the metric graph model for flows in tubular nanostructures / M.O. Smolkina, I.Y. Popov, I.V. Blinova, E. Milakis // Наносистемы: Физика, химия, математика = Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2019. - Vol. 10. - № 1. - P. 6-11

6. Smolkina, M.O. The effect of Rashba spin-orbit interaction on persistent current in a chain of two Holstein-Hubbard rings / M.O. Smolkina, I.Y. Popov, A. Chatterjee // Journal of Physics: Conference Series. - 2019. - Vol. 1400. - № 7. - P. 077011

7. Kovaleva, M.O. Harnack's Inequality for Stokes Graph / M.O. Kovaleva, I.Y. Popov // Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen. - 2016. - Vol. 35. - № 4. - P. 383-396

8. Smolkina, M.O. On the spectrum discreteness of the quantum graph Hamiltonian with delta-coupling / M.O. Smolkina, I.Y. Popov // Journal of Physics: Conference Series. - 2015. - Vol. 643.

- P.012099

9. Kovaleva, M.O. On Molchanov's condition for the spectrum discreteness of a quantum graph hamiltonian with delta-coupling / M.O. Kovaleva, I.Y. Popov // Reports on Mathematical Physics.

- 2015. - Vol. 76. - № 2. - P. 171-178

Участие в научно-исследовательских проектах. Диссертационное исследование подготовлено при поддержке научно-исследовательских проектов:

1. «Построение и анализ свойств модели дискретного графа с цепочкой колец Холштейна-Хаббарда со спин-орбитальным взаимодействием типа Рашбы», грант Комитета по науке и высшей школе Санкт-Петербурга, 2017 г.

2. Проект номер 19-31-90164 «Построение и анализ модели квантового графа с цепочкой колец со спин-орбитальным взаимодействием типа Рашбы», грант «Аспиранты» РФФИ, 2019-2021 гг.

3. Проект номер 16-11-10330 «Собственные функции, резонансы и задача рассеяния для модельных гамильтонианов наносистем», грант РНФ, 2016-2020 гг.

4. «Транспортные свойства спин-поляризованных электронов в цепочке колец со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы», грант Комитета по науке и высшей школе Санкт-Петербурга, 2020 г.

Положения, выносимые на защиту:

1. Спектр гамильтониана квантового графа с 5 -соединением в вершинах, содержащего конечное число бесконечных ребер и бесконечные цепочки, является дискретным, если выполняется следующее условие:

Пусть потенциал ограничен снизу. Если зафиксировать некоторую начальную точку, и для всех путей фиксированной длины, исходящих из нее, интеграл от потенциала стремится к бесконечности, когда расстояние между начальной точкой выбранного пути и некоторой фиксированной вершиной, стремится к бесконечности.

2. Управление спин-поляризованным транспортом в системе, состоящей из двух одномерных связанных квантовых колец с двумя квантовыми проводами (один входящий, один исходящий) возможно и зависит от параметров построенной модели, таких как магнитный поток, постоянная Рашбы, радиус колец, углы между проводами и точкой сцепления колец. Система двух связанных квантовых колец может работать как инвертор электронного спина, когда углы между кольцами и соответствующими проводами равны ж, радиусы колец равны 1, а константы Рашбы в левом и правом кольцах равны 1.

3. Система двух ортогональных колец с тремя квантовыми проводами (один входящий, два исходящих), находящаяся в магнитном поле, может выполнять роль квантового устройства -переключателя между двумя каналами. А именно, существует набор оптимальных значений параметров системы (углов, радиусов, энергии, волнового числа и величины магнитной индукции), при которых значение одного из двух коэффициентов прохождения электронов приближается к 1, а второго к 0, то есть волна проходит в одном конкретном выходном проводе.

4. Величина незатухающего тока в модели дискретного графа цепочки из двух колец типа Холштейна-Хаббарда обладает следующими свойствами:

• при добавлении спин-орбитального взаимодействия Рашбы в систему, увеличивается величина незатухающего тока,

• существует такое значение спин-орбитальной постоянной Рашбы, при достижении которой, происходит изменение фазы незатухающего тока,

• присутствие электрон-электронного и электрон-фононного взаимодействий в системе уменьшает величину незатухающего тока,

• при увеличении температуры системы, уменьшается величина незатухающего тока,

• при увеличении значения химического потенциала, уменьшается величина незатухающего тока.

5. В модели течения вязкой жидкости в сети узких каналов соотношение максимальной скорости потока к минимальной скорости потока ограничено константой, которая зависит только от гамильтониана и структуры графа.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 113 страницах, состоит из введения, 6 глав, заключения, содержит 46 рисунков. Список литературы содержит 151 наименование.

Во Введении были рассмотрены и обоснованы вопросы актуальности, теоретической и практической значимости диссертационного исследования, сформулирована цель диссертации, обозначены предмет и объект исследования, перечислены основные методы исследования, а также указана новизна научных методов, которые были использованы в ходе работы. Помимо этого, была оценена степень достоверности полученных результатов и перечислены основные формы апробации научных результатов, а именно: перечислены научные конференции, публикации, а также проекты по теме диссертационного исследования. Также, во введении описана структура диссертации.

В первой главе «Краткий обзор имеющихся результатов» приведена общая информация об известных математических моделях и экспериментальных работах, связанных с объектом диссертационного исследования.

Как обозначено во введении, предметом исследования являются математические модели, сформулированные на основе метрических графов, поэтому в разделе 1.1 рассмотрены работы Г. Берколайко, П. Кучмента, которые являются детальным введением в теорию метрических графов. В данных работах подробно представлены основные понятия из теории графов, методы работы с ними, а также задачи, связанные со спектральным анализом графов. В разделе 1.2 подробнее рассмотрены работы, которые связаны со спектральной задачей для метрических графов.

Так как объектом исследования являются спектральные и баллистические электронные транспортные свойства наноструктур (квантовых колец, цепочек колец, системы узких связанных каналов), в разделе 1.3 уделено внимание работам, в которых в которых впервые

были упомянуты эти системы. Немаловажными свойствами наносистем являются незатухающий ток и электронный баллистический транспорт, и это также является объектом исследования, поэтому в разделе 1.4 рассмотрены работы П. Фолди, А. Наими, А. Чаттерджи и др., и описаны основные научные результаты в данной области.

Вторая глава «Спектральные свойства гамильтониана квантового графа с 5-соединением в вершинах» посвящена вопросу построения модели квантового графа с 5 -соединением в вершинах и изучению спектральных свойства гамильтониана.

В разделе 2.1 пошагово описано построение модели квантового графа. В разделе 2.2 для построенной модели графа формулируется основной результат главы, а именно: теорема, аналогичная теореме С. Молчанова для потенциала на вещественной оси (полуоси), а также приводится ее подробное доказательство.

Теорема типа Молчанова

Пусть q (х) ограничен снизу, то есть существует такая константа с > 0, что для каждого х : q (х) > -с, и, также, удовлетворяет условиям на Г :

Пусть выбрано некоторое ч > 0. Можно предположить, что все пути Ьа на Г имеют длины ч (|Ьа| = ч), где а начальная точка пути Ьа. Также пусть q (х) - такая функция, что (для

где у0 - некоторая фиксированная вершина Г .

Тогда для любого фиксированного Я существует множество Д, таких, что любое

В разделе 2.3 рассмотрен частный случай построенной модели и сформулировано достаточное условие дискретности спектра гамильтониана.

Третья глава «Свойства спин-зависимых транспортных явлений в цепочке из двух колец со спин-орбитальным взаимодействием типа Рашбы» посвящена построению модели квантового графа, состоящего из 2 ребер бесконечной длины (входящий и исходящий провода) и 4 ребер конечной длины, которые образуют два кольца, и изучению свойств спин-зависимого электронного баллистического транспорта, в частности спиновой фильтрации и спиновой поляризации электронов.

В разделе 3.1 пошагово описано построение модели квантового графа.

любого ч )

Нш

(1)

решение и (х) задачи на Г .

имеет конечное число нулей

Применение квантовой теории волноводов позволило получить соответствующие выражения для конечных ребер графа:

Ур (') = X X </*Ф (ф, (ф = X X ф ('), (2)

Р=1,21=1,2

p=1,2 j=1,2

Wu (») = х X ape'*»»Ч»)^ (») = X X »»Ч»),

(3)

p=1,21=1,2 p=1,21=1,2 где L и R обозначают левое и правое кольца соответственно, up и low обозначают верхние и нижние дуги колец, aj и bj - неизвестные коэффициенты, которые необходимо определить.

Также были получены выражения для волновых функций электронов во входящем и исходящем проводах:

WW (xj) =

h

\

V )

(

^ikxj

л

ГЬП + rLlt VГЬП + rLii )

e-kxi ,wn (xn ) =

f t +t Л

VtLn + tLii )

(4)

Так как волновая функция должна быть непрерывной и плотность спинового тока должна сохраняться в местах соединения колец с проводами и в точке связи, для вершин графа сформулированы следующие условия:

у» = У2(у) = ... = у (V), (5)

X (-1)е] .. (V) = 0, (6)

где суммирование осуществляется по всем ребрам е., смежным с вершиной V, [е ] = 0 для

исходящего ребра и [ e Л = 1 для входящего ребра,

D =

'д /

--i

д»

а Ф —г„ -

ЛЛ

V

V '

Ф

(7)

0))

где гг =

г 0 e»

е» 0

С математической точки зрения, условия (5-7) обеспечивают

самосопряженность оператора на графе. В физической литературе эти условия известны как граничные условия Гриффита.

В разделе 3.2 представлено численное исследование разработанной модели для заданных значений параметров системы. Применение граничных условий Гриффита и метода исключения Гаусса позволило получить все неизвестные коэффициенты

ац, Щ, ^коо'гьа& для левого и правого колец. Коэффициент прохождения электронов

I |2

для исходящего провода был определен как Тоо, = . В завершение данной главы изучена зависимость баллистического электронного транспорта и спиновой поляризации от различных

параметров системы, таких как магнитный поток, константа взаимодействия Рашбы, радиус колец, углы между проводами и точкой соединения колец.

В четвертой главе «Свойства баллистического электронного транспорта в системе двух ортогональных колец, находящейся в магнитном поле» построена и изучена модель, состоящая из двух ортогональных колец, которая позволяет управлять баллистическим электронным транспортом, в том числе, посредством изменения величины магнитного потока.

В разделе 4.1 проводится построение модели квантового графа. Для описания баллистического электронного транспорта рассмотрен квантовый граф, состоящий из 3 ребер бесконечной длины (входящих и исходящих квантовых проводов) и 6 ребер конечной длины.

Для функций входящих и исходящих проводов, обозначенных как у/1 (х1), ц/п (хп), у/ш (хш ) , были получены следующие выражения:

¥ (XI) = вкх' + в-"*', ¥д (ХП ) = си)вгкх", ¥ш (хш ) = С15в'кх'". (8)

Для функций на ребрах колец:

¥ло (ф) = С2втф + Сзв-тф, ¥лсхоу (ф) = С4втф + С5в-тф, ¥лв (ф) = С6втф + св-,

(9)

¥аС20т (Ф) = С8в'ШФ+ С^^вС (Ф) = СивШФ+ С^^С» (ф) = С1зв'кКФ+ С^в-,

где АО, АВ, ВС, СБ - ребра между точками соединения, АСхоТ , АСгот - ребра между точками соединения на плоскости ХОТ(ХОТ) .

Для вершин графа получены магнитные условия Кирхгофа:

в((ф)¥е (фв) = ¥е, (фв )в(-1)^фв'(фв)

' 2 (-1)[в]д¥в (фв )внт (фв) = 0, (10)

в

где [в] = 0 для исходящего ребра и [в] = 1 для входящего. Используя магнитные условия

Кирхгофа (10) и выражения для проводов (8), ребер (9), а также используя метод Гаусса, для фиксированных значений параметров системы были получены все неизвестные коэффициенты С1з С2,...С15. Коэффициент отражения вычисляется как Я = С1 • С1*, коэффициент

прохождения электронов ' ^ '' как Т1= С10 • С10*, ' ^ Ш как Т2 = С15 • С15*.

В разделе 4.2 представлено численное исследование зависимости баллистического электронного транспорта от различных параметров системы, таких как магнитный поток, радиус колец, углы между проводами. Тестирование предложенной модели с различными наборами параметров, позволило найти зависимости между параметрами системы и коэффициентами электронного транспорта. В частности, описанный подход позволяет установить такие ситуации, в которых предлагаемое квантовое устройство ведет себя как переключатель между двумя каналами.

В разделе 4.3 представлен один из возможных вариантов применения сформулированной в разделе 4.1 модели, а именно: рассмотрена непрерывная модель из двух сцепленных в одной точке колец - аналог дискретной модели молекулы дифенила, то есть относительно оси Y зафиксировано одно кольцо, а второе вращается вокруг оси Y. Также в данном разделе рассмотрен случай, когда оба кольца компланарны, и полученные результаты соотнесены с результатами из третьей главы.

В пятой главе «Модель дискретного графа с цепочкой из колец Холштейна-Хаббарда со спин-орбитальным взаимодействием типа Рашбы» построена и изучена модель, которая является дискретизаций непрерывной модели, описанной в главе 2, а именно, разбиением квантового графа на некоторое фиксированное число вершин, аналогично модели Холштейна-Хаббарда.

В разделе 5.1 подробно описано построение модели. Гамильтониан системы является суммой электронного гамильтониана Hel, фононного гамильтониана Hp, гамильтонианов

электрон-фононного взаимодействия Hep и спин-орбитального взаимодействия типа Рашбы

Hso и будет выглядеть следующим образом:

И = Hel + Hp + Hep + Hso . (11)

В разделе 5.2 проведен ряд математических преобразований для гамильтониана системы и получены выражения для незатухающего тока и энергии основного состояния. Чтобы исключить степени свободы фононов, было проведено преобразование Ланг-Фирсова. Затем, с помощью унитарного преобразования и диагонализации методом Хартри-Фока эффективного Гамильтониана электрона была исключена спин-зависимость. После алгебраических преобразований методом Кабиба и Коллена, получено выражение для энергии основного состояния:

Egs =12N) + 12ÑE'f(E') + + K°, f{E') = ^+1]-1. (12)

Для незатухающего тока и веса Друде были получены следующие выражения:

Ipc 2п

1 (dEos

дФ

(13)

N д 2 E

DW = oS Ф = Ф (14)

W 4п2 дФ2 , и, (14)

где Ф и - это локальный минимум EoS , и может принимать значения либо 0, либо (зависит

от четности числа электронов на кольце).

В разделе 5.3 представлено численное исследование свойств незатухающего тока в цепочке колец Холштейна-Хаббарда со спин-орбитальным взаимодействием типа Рашбы для фиксированных значений параметров системы и показано, что при добавлении спин-орбитального взаимодействия Рашбы в систему увеличивается величина незатухающего тока; существует такое значение спин-орбитальной постоянной Рашбы, при достижении которой происходит изменение фазы незатухающего тока; присутствие электрон-электронного и электрон-фононного взаимодействий в системе уменьшает величину незатухающего тока; при увеличении температуры системы, уменьшается величина незатухающего тока; при увеличении значения химического потенциала, уменьшается величина незатухающего тока.

В шестой главе «Модель графа для механики вязкой жидкости» рассмотрена новая область применения моделей, описанных в предыдущих главах, а именно: течения вязкой жидкости, сконцентрированные вдоль сети (в системе узких связанных каналов).

В разделе 6.1 представлено построение модели. В разделе 6.2 подробно представлен граф течений жидкости. Для описания потока, сконцентрированного вдоль сети, рассмотрен соответствующий метрический граф с оператором Шредингера на ребрах:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Смолкина Мария Олеговна, 2021 год

Список литературы

1. Елецкий, А. В. Фуллерены и структуры углерода / А. В. Елецкий, Б. М. Смирнов //Успехи физических наук. — 1995. — Т. 165, N 9. — C. 977-1009.

2. Покорный, Ю. В. Некоторые вопросы качественной теории Штурма-Лиувилля на пространственной сети / Ю. В. Покорный, В. Л. Прядиев // Успехи математических наук.

- 2004. - № 59. - С.115-150.

3. Смолкина, М.О. Построение и анализ свойств модели дискретного графа с цепочкой из колец Холштейна - Хаббарда со спин-орбитальным взаимодействием типа Рашбы / М.О. Смолкина // Сборник работ аспирантов Университета ИТМО, победителей конкурса грантов Правительства Санкт-Петербурга. — 2018. — С. 208-215

4. Ковалева, М.О. Об условии дискретности спектра гамильтониана квантового графа с 5 -соединением в вершинах / М.О. Ковалева // Труды студенческого центра прикладных математических исследований. — 2014. — С. 34-37

5. Харрис, П. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века / П. Харрис — Москва : Техносфера, 2003. — 336 с.

6. Abou-Hamad, E. Hydrogenation of C60 in Peapods: Physical Chemistry in Nano Vessels / E. Abou-Hamad, Yo. Kim, A. V. Talyzin, Ch. Goze-Bac, D. E. Luzzi, A. Rubio, T. Wagberg // J. Phys. Chem. C. — 2009. — Vol. 113. — P. 8583-8587.

7. Aharonov, Y. Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory / Y. Aharonov and D. Bohm // Physical Review. - 1959. - Vol. 115. - P. 485.

8. Ahlbrandt, C.D. Necessary and sufficient conditions for the discreteness of the spectrum of certain singular differential operators / C.D. Ahlbrandt, D.B. Hinton, R.T. Lewis // Canad. J. Math. - 1981. - Vol. 33. P. 229-246.

9. Ahmed, M. Transport of Power through Networks of Cables Using Quantum Graph Theory / M. Ahmed, G. Gradoni, S. Creagh, C. Smartt, S. Greedy, G. Tanner // International Symposium on Electromagnetic Compatibility—EMC EUROPE, IEEE, 2019), IEEE. - 2019.

- P. 820.

10. Al'tshuler, B. L. The Aaronov-Bohm effect in disordered conductors / B. L. Al'tshuler, A. G. Aronov and B. F. Spivak // JETP Letters . - 1981. - Vol. 33. - P. 94.

11. Awschalom, D. D. Semiconductor spintronics and quantum computation / D. D. Awschalom, D. Loss and N. Samarth // Springer Science & Business Media. - 2013. - Vol. 4. - P. 17.

12. Band, R. Dynamics of nodal points and the nodal count on a family of quantum graphs / R. Band, G. Berkolaiko and U. Smilansky // Ann. Henri Poincare. - 2012. - Vol. 13. - P. 145.

13. Band, R. The number of nodal domains on quantum graphs as a stability index of graph partitions / R. Band, G. Berkolaiko, H. Raz and U. Smilansky // Commun. Math. Phys. - 2012. - Vol. 311. - P. 815.

14. Bandy opadhyay, S. Introduction to Spintronics / S. Bandyopadhyay and M. Cahay. - CRC Press; 1st edition, 2008. - N p. 536.

15. Bellucci, S. Crossover from the ballistic to the resonant tunneling transport for an ideal one-dimensional quantum ring with spin-orbit interaction / S. Bellucci and P. Onorato, Phys. Rev. B. - 2008. - Vol. 78. - P. 235312.

16. Belonenko, M. B. Soliton-induced flow in carbon nanotube / Belonenko M. B., Chivilikhin S. A., V. V. Gusarov, I. Yu. Popov, O. A. Rodygina // Europhys. Lett. - 2013. - Vol. 101 (6). - P. 66001.

17. Bergsten, T. Experimental Demonstration of the Time Reversal Aharonov-Casher Effect / T. Bergsten, T. Kobayashi, Y. Sekine// Physical Review Letters. - 2006. - Vol. 97. - P. 196803.

18. Berkolaiko, G. An elementary introduction to quantum graphs / G. Berkolaiko // Geometric and Computational Spectral Theory. - 2017. - P. 41 - 72.

19. Berkolaiko, G. Dependence of the spectrum of a quantum graph on vertex conditions and edge lengths [Electronic resource] / G. Berkolaiko, P. Kuchment // arXiv.org. - 2011. - Access mode: https://arxiv.org/abs/1008.0369

20. Berkolaiko, G. Introduction to Quantum Graphs/ G.Berkolaiko and P.Kuchment // Math. Surveys and Monographs, Providence, RI: Amer. Math. Soc. - 2008. - Vol. 186.

21. Berkolaiko, G., Kuchment, P. Introduction to Quantum Graphs / G. Berkolaiko, P. Kuchment // Mathematical Surveys and Monographs. - 2013. - Vol. 186. - P. 207.

22. Bethe, H. Zur Theorie der Metalle / H. Bethe, Z. Phys. - 1931. - Vol. 71. - P. 205.

23. Bruning, J. On Schrodinger operators with discrete spectrum / J. Bruning // J. Funct. Anal. -1989. - Vol. 85 (1). - P. 117-150.

24. Buttiker, M. Josephson behavior in small normal one-dimensional rings / M. Buttiker, Y. Imry, R. Landauer // Phys. Lett. A. - 1983. - Vol. 96. - P. 365.

25. Buttiker, M. Small normal-metal loop coupled to an electron reservoir / M. Buttiker, // Phys. Rev. B. - 1985. - Vol. 32. - P. 1846.

26. Cabib, D. Charge order and antiferromagnetic order in the Hubbard model with nearest-neighbor Coulomb interaction: Weak coupling / D. Cabib and E. Callen // Phys. Rev. B. -1975. - Vol. 12. - P. 5249.

27. Castelano, L. K. Control of the persistent currents in two interacting quantum rings through the Coulomb interaction and interring tunneling / L. K. Castelano, G. Q Hai, B. Partoens and F. M. Peeters // Phys. Rev. B. - 2008. - Vol. 78. - P. 195315.

28. Chadrasekhar, V. Magnetic response of a single, isolated gold loop / V. Chadrasekhar // Phys. Rev. Lett. - 1991. - Vol. 67. - P. 3578.

29. Chatterjee, A. Persistent current in a chain of two Holstein-Hubbard rings in the presence of Rashba spin-orbit interaction. / A. Chatterjee, I.Y. Popov, M.O. Smolkina // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2019. - Vol. 10 (1). - P. 50-62.

30. Cheung, H.-F. Persistent currents in small one-dimensional metal rings / H.-F. Cheung, Y. Gefen, E. K. Riedel and W.-H. Shih // Phys. Rev. B. - 1988. - Vol. 37. - P. 6050.

31. Citro, R. Zero-conductance resonances and spin filtering effects in ring conductors subject to Rashba coupling / R. Citro, F. Romeo, M. Marinaro // Phys. Rev. B. - 2006. - Vol. 74 (11). -P. 115329-115339.

32. Colin de Verdi ere, Y.. Magnetic interpretation of the nodal defect on graphs / Y. Colin de Verdiere // Analysis & PDE. - 2013. - Vol. 6. - P. 1235.

33. Curgus, B. Discreteness of the spectrum of second-order differential operators and associated embedding theorems / Curgus B., Read T.T. // J. Differential Equations. - 2002. - Vol. 184 (2). - P. 628 -648.

34. Das, A. N. A study of the polaronic band width and the small-to-large-polaron transition in a many-polaron system / A. N Das and S. Sil // J. Phys.: Condens. Matter. - 1993. - Vol. 5. - P. 8265.

35. Das, B. Zero-field spin splitting in a two-dimensional electron gas / B. Das, S. Datta and R. Reifenberger Silva // Physical Review B. - 1990. - Vol. 41. - P. 8278.

36. Deblock, R. Diamagnetic Orbital Response of Mesoscopic Silver Rings / R. Deblock, R. Bel, B. Reulet, H. Bouchiat and D. Mailly, Phys. Rev. Lett. - 2002. - Vol. 89. - P. 206803.

37. Dehghan, E. Logical spin-filtering in a triangular network of quantum nanorings with a Rashba spin-orbit interaction / E. Dehghan, D.S. Khoshnoud, A. Naeimi / Physica B Condensed Matter. - 2018. - Vol. 529. - P. 21-26.

38. Dick, K. A. Synthesis of branched 'nanotrees' by controlled seeding of multiple branching events / K.A. Dick, K. Deppert, M.W. Larsson, T. Mártensson, W. Seifert, L.R. Wallenberg, L. Samuelson // Nature Materials. - 2004. - Vol. 3. - P. 380 - 384.

39. Dresselhaus, M. S. Carbon nanotubes: synthesis, structure, properties, and applications / M. S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, P. Avouris. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2001. - N p. 448.

40. Duclos, P. On the spectrum of a bent chain graph / P. Duclos, P. Exner, and O. Turek, // J. Phys. A: Math. Theor. - 2008. - Vol. 41. - P. 415206.

41. Eckhardt, J. One-dimensional Schrodinger operators with 8' -interactions on Cantor-type sets / J. Eckhardt, A. Kostenko, M. Malamud and G. Teschl. // J. Differential Equations. - 2014. -Vol. 257. - P. 415.

42. Enciso, A. Eigenfunctions with prescribed nodal sets / A. Enciso and D. Peralta-Salas. // arXiv ID: 1404.103

43. Entin-Wohlman, O. Effects of external radiation on biased Aharonov-Bohm rings / O. Entin-Wohlman, Y. Imry, A. Aharony // Phys. Rev. B. - 2004. - Vol. 70. - P. 075301.

44. Enyashin, A. N. Nanotubular composites: modeling of capillary filling of nanotubes of disulfide of molybdenum by molecules of TiCl4 / A. N. Enyashin, A. L. Ivanovskii // Nanosystems: Phys. Chem. Math. — 2010. — Vol. 1 — No 1. — P. 63-71.

45. Eremin, D.A. Wave dynamics on time-depending graph with Aharonov-Bohm ring / Eremin, D.A., Grishanov, E.N., Nikiforov, D.S., Popov, I.Y. // Nanosys-tems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2018. - Vol. 9 (4). - P. 457-463.

46. Eslami, L. Quantum nano ring composed of quantum dots as a source of pure persistent spin or charge current / L. Eslami, E. Faizabadi, S. Ahmadi // Phys. Lett. A. - 2016. - Vol. 380 (45). -P. 3854-3860.

47. Exner, P. Analysis on graph and its applications/ P. Exner., P. Keating, P. Kuchment, T. Sunada, A. Teplyaev. - AMS, Providence, 2008. - N p. 705.

48. Exner, P. Spectra of magnetic chain graphs: coupling constant perturbations / P. Exner, S.S. Manko // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2015. - Vol. 48 (12). - P. 125302.

49. Exner, P. Solvable models in quantum mechanics/ S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden. - Springer Science & Business Media, 2012. - N p. 452.

50. Exner, P.Analysis on Graphs and Its Applications / P.Exner, J. P. Keating, P. Kuchment., T.Sunada and A.Teplyaev (eds.). - Proc. Symp. Pure Math., Providence, RI: Amer. Math. Soc, 2008. - N p. 705.

51. Foldi, P. Quantum rings as electron spin beam splitters / P. Foldi // Phys. Rev.,B. - 2006. -Vol. 73 (15). - P. 155325-155329.

52. Ford, C. J. B. Gated, asymmetric rings as tunable electron interferometers / C. J. B. Ford, A. B. Fowler, J. M. Hong et al. // Surface Science. - 1990. - Vol. 229. - P. 307 - 311.

53. Gerya, T. Introduction to Numerical Geodynamic Modelling / T. Gerya. - Cambridge: Cambridge University Press, 2010. - N p. 345.

54. Geyler, V.A. Quantum interference rectifier / Geyler, V.A., Popov, I.Yu. // Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. - 2001. - Vol. 9 (4). - P. 631-634.

55. Giacomelli, G. Optical networks as complex lasers / G. Giacomelli, S. Lepri, C. Trono // Physical Review A. - 2019. - Vol. 99. - P. 023841.

56. Giamarchi, T. Persistent currents in a one-dimensional ring for a disordered Hubbard model / T. Giamarchi and B. S Shastry // Phys. Rev. B. - 1995. - Vol. 5. - P. 10915.

57. Gnutzmann, S. Quantum graphs: Applications to quantum chaos and universal spectral statistics / S. Gnutzmann, U. Smilansky // Advances in Physics. - 2006. - Vol. 55. - P. 527.

58. Golub, G.H. Matrix Computations / G.H. Golub, C.F. Van Loan // The Johns Hopkins University Press. - 1996.

59. Grundler, D. Large Rashba Splitting in InAs Quantum Wells due to Electron Wave Function Penetration into the Barrier Layers / D. Grundler // Physical Review Letters. - 2000. - Vol. 84. - P. 6074.

60. Haldane, F.D.M. Luttinger's Theorem and Bosonization of the Fermi Surface / F.D.M. Haldane // Proceedings of the International School of Physics 'Enrico Fermi' Course CXXI: "Perspectives in Many-Particle Physics". - 1994. - P. 5-30.

61. Heo, K. Large-Scale Assembly of Silicon Nanowire Network-Based Devices Using Conventional Microfabrication Facilities / K. Heo, E. Cho, J.E. Yang, M.H. Kim, M. Lee, B.Y. Lee, S.G. Kwon, M.S. Lee, M.H. Jo, H.J. Choi, T. Hyeon, S. Hong // Nano Letter. - 2008. - Vol. 8. - P. 4523 - 4527.

62. Hinton, D.B. Molchanov's discrete spectra criterion for a weighted operator / Hinton, D.B. // Canad. Math. Bull. - 1979. - Vol. 22. - P. 425-431.

63. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands / J. Hubbard // Proc. R. Soc. London A. - 1963. - Vol. 276. - P. 238.

64. Hul, O. Experimental simulation of quantum graphs by microwave networks / O. Hul, S. Bauch, P. Pakonski,N. Savytskyy,K., Zyczkowski, L. Sirko // Physical Review E. - 2004. -Vol. 69. - P. 056205.

65. Ihn, T. Quantum Mechanics in Quantum Rings / T. Ihn, A. Fuhrer, M. Sigrist et al. // Advances in Solid State Physics. - 2003. - Vol. 43. - P. 139.

66. Ismail, K. Observation of ballistic conductance and Aharonov-Bohm oscillations in Si/SiGe heterostructures / K. Ismail, S. Washburn and K. Y. Lee, Applied Physics Letters. - 1994. -Vol. 65. - P. 3114.

67. Ismail-Zadeh, A. Computational methods in Geodynamics / A. Ismail-Zadeh, P.Tackley. -Cambridge: Cambridge University Press, 2010. - N p. - 313.

68. Kaiman, O. Magnetoconductance of rectangular arrays of quantum rings / O. Kalman, Foldi, P., Benedict, M. G., Peeters, F.M. // Phys. Rev. B. - 2008. - Vol. 78 (12). - P. 125306.

69. Koga, T. Experimental realization of a ballistic spin interferometer based on the Rashba effect using a nanolithographically defined square loop array / T. Koga, Y. Sekine and J. Nitta // Physical Review B. - 2006. - Vol. 74. - P. 041302(R).

70. Kohn, W. Theory of the Insulating State / W. Kohn // Phys. Rev. - 1964. - Vol. 133. - P. A171.

71. Kolomeisky, E.B. Phase diagram and correlation exponents for interacting fermions in one dimension / E.B. Kolomeisky and J.P. Straley // Rev. Mod. Phys. - 1996. - Vol. - 68. - P. 175.

72. Kondo, H. Transport properties of a biphenyl-based molecular junction system the electrode metal dependence / Kondo, H., Nara, J., Kino, H. Ohno, N. // J. Phys.: Condens. Matter. -2009. - Vol. 21. - P. 064220.

73. Konig, M. Direct Observation of the Aharonov-Casher Phase / M. Konig, A. Tschetschetkin, E. M. Hankiewicz et al. // Physical Review Letters. - 2006. - Vol. 96. - P. 076804.

74. Kottos, T. Periodic Orbit Theory and Spectral Statistics for Quantum Graphs / T. Kottos, U. Smilansky // Annals of Physics. - 1999. - Vol. 274. - P. 76 - 124.

75. Kovaleva, M.O. Harnack's Inequality for Stokes Graph / M.O. Kovaleva, I.Y. Popov // Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen. - 2016. - Vol. 35. - № 4. - P. 383-396

76. Kovaleva, M.O. On Molchanov's condition for the spectrum discreteness of a quantum graph hamiltonian with delta-coupling / / M.O. Kovaleva, I.Y. Popov // Reports on Mathematical Physics. - 2015. - Vol. 76. - № 2. - P. 171-178

77. Kuchment, P. Quantum graphs: I. Some basic structures / P. Kuchment // Waves Random Media. - 2004. - Vol. 14. - P. 107 - 128.

78. Kwong, M.K. Discreteness conditions for the spectrum of ordinary differential operators / Kwong M.K., Zettl A. // J. Differential Equations. - 1981. - Vol. 40. - P. 53-70.

79. Lang , I. Kinetic Theory of Semiconductors with Low Mobility / I. Lang and Y.A. Firsov // Sov. Phys. JETP. - 1963. - Vol. 16. - P. 1301.

80. Lawniczak, M. Non-Weyl Microwave Graphs / M. Lawniczak, J. Lipovsky, L. Sirko // Physical Review Letters. - 2019. - Vol. 122. - P. 140503.

81. Lepri, S. Complex Active Optical Networks as a New Laser Concept / S. Lepri, C. Trono, G. Giacomelli // Physical Review Letters. - 2017. - Vol. 118. - P. 123901.

82. Levitan, B. M. Sturm-Liouville and Dirac operators / B. M. Levitan and I. S. Sargsyan. -Nauka, Moscow, 1988. - N p. 350.

83. Lieb, E.H. Absence of Mott Transition in an Exact Solution of the Short-Range, One-Band Model in One Dimension / E.H. Lieb and FY. Wu // Phys. Rev. Lett. - 1968. - Vol. 20. - P. 1445.

84. Lipovsky, J. Quantum Graphs And Their Resonance Properties / J. Lipovsky // Acta Physica Slovaca. - 2016. - Vol. 66. - No. 4. - P. 265-363.

85. Lorke, A. Many-particle ground states and excitations in nanometer-size quantum structures / A. Lorke, R.J. Luyken // Physica B. - 1998. - Vol. - 256. - P. 424.

86. Luo, J. Effects of inversion asymmetry on electron energy band structures in GaSb/InAs/GaSb quantum wells / J. Luo, H. Munekata, F. F. Fang et al. Silva // Physical Review B. - 1990. -Vol. 41. - P. 7685.

87. Maiti, S. K. Magnetic response in mesoscopic Hubbard rings: A mean field study / S. K. Maiti // Solid State Commun. - 2010. - Vol. 150. - P. 2212.

88. Maiti, S. K. Magneto-transport in a mesoscopic ring with Rashba and Dresselhaus spin-orbit interactions / S. K. Maiti, Moumita Dey, S. Sil, A. Chakrabarti and S. N. Karmakar // Europhys. Lett. - 2011. - Vol. 95. - P. 57008.

89. Marquardt, F. Aharonov-Bohm ring with fluctuating flux / F. Marquardt, C. Bruder // Phys. Rev. B. - 2002. - Vol. 65. - P. 25315.

90. Medina, F. G. Electronic and Thermal Properties of Biphenyl Molecules / F. G. Medina, Ojeda, J. H., Duque, C. A., Laroze, D. // Superlattices and Microstructures. - 2015. - Vol. 87. - P. 8996.

91. Molavi, M. Spin-polarization and spin-flip in a triple quantum-dot ring by using tunable lateral bias voltage and Rashba spin-orbit interaction / M. Molavi, E. Faizabadi // Magn. Mag n. Mater. - 2017. - Vol. 428. - P. 488-492.

92. Molchanov, A.M.. On conditions of spectrum discreteness for self-adjoint differential operators of second order / A.M.Molchanov. // Proc. Moscow Math. Soc. - 1953. - Vol. 2. - P. 169-199.

93. Molchanov, S. Scattering solutions in networks of thin fibers: small diameter asymptotics / Molchanov S. and Vainberg B. // Comm. Math.Phys. - 2007. - Vol. 273. - P. 533-559.

94. Monisha, P.J. Persistent current in a correlated quantum ring with electron-phonon interaction in the presence of Rashba interaction and Aharonov-Bohm flux / Monisha, P.J., Sankar, I.V., Sil, S., Chatterjee, A. // Scientific Reports. - 2016. - Vol. 6. - P. 20056.

95. Naeimi , A. Spin transport properties in a double quantum ring with Rashba spin-orbit interaction / A. Naeimi , L. Eslami, M. Esmaeilzadeh, M.R. Abolhassani // Appl. Phys. - 2013. -Vol. 113. - P. 014303.

96. Naeimi, A. A wide range of energy spin-filtering in a Rashba quantum ring using S-matrix method / A. Naeimi, M. Esmaeilzadeh // Appl. Phys.- 2013. - Vol. 113 (4). - P. 044316044322.

97. Nitta, J. Gate Control of Spin-Orbit Interaction in an Inverted In0.53Ga0.47As/In0.52Al0.48As Heterostructure / J. Nitta, T. Akazaki, H. Takayanagi et al . // Physical Review Letters. - 1997. - Vol. 78. - P. 1335.

98. Nitta, J. Interference of Aharonov-Bohm ring structures affected by spin-orbit interaction / J. Nitta, T. Koga and H. Takayanagi // Physica E. - 2002. - Vol. 12. - P. 753.

99. Nitta, J. Semiconductor Spintronics / J. Nitta // NTT Technical Review. - 2004. - Vol. 2. - P. 31.

100. Nitta, J. Spin-interference device / J. Nitta, F. E. Meijer and H. Takayanagi // Applied Physics Letters. - 1999. Vol. 75. - P. 695.

101. Nitta, J. Time reversal Aharonov-Casher effect using Rashba spin-orbit interaction / J. Nitta and T. Bergsten // New J. Phys. - 2007. - Vol. - 9. P. 341

102. Oinarov, R. A criterion for a general Sturm-Liouville operator to have a discrete spectrum / R. Oinarov, M. Otelbaev // Differential Equations. - 1988. - Vol. 24. - P. 402-408.

103. Panasenko, G. P. Asymptotic analysis of a periodic flow in a thin channel with visco-elastic wall / G. P. Panasenko and R. Stavre // J. Math. Pures Appl. - 2006. - Vol. 85. - P. 558-579.

104. Panasenko, G. P. Asymptotic expansion of the solution of Navier-Stokes equation in tube structure and partial asymptotic decomposition of the domain / G. P. Panasenko // Applicable Analysis. - 2000. - Vol. 76 (3). - P. 363- 381.

105. Parashar, S. Electron transport in asymmetric biphenyl molecular junctions: effects of conformation and molecule-electrode distance / S. Parashar, P. Srivastava, M. Pattanaik, S.K. Jain // Eur. Phys. J. B. - 2014. - Vol. 87. - P. 220.

106. Pauling, L. J. The Diamagnetic Anisotropy of Aromatic Molecules / L. J. Pauling // Chem. Phys. - 1936. - Vol. 4. -P. 673.

107. Pavlov, B.S. Possible construction of quantum multiplexer / B.S. Pavlov, I.Yu. Popov, V.A. Geyler, O.S. Pershenko // Europhys. Lett. - 2000. - Vol. 52 (2). - P. 196-202.

108. Pedersen, S. Observation of quantum asymmetry in an Aharonov-Bohm ring / S. Pedersen, A. E. Hansen, A. Kristensen et al. // Physical Review B. - 2000. - Vol. 61. - P. 5457.

109. Peshkin, M. The Aharonov-Bohm Effect / M. Peshkin and A. Tonomura. - Lecture Notes in Physics, 1989. - N p. 340.

110. Popov, I. Yu. Model of fluid flow in nanotube: classical and quantum features / I. Yu. Popov, S. A. Chivilikhin and V. V. Gusarov // J. Phys.: Conf. Ser. - 2010. - Vol. 248. - P. 012006/1-8.

111. Popov, I.Y. On the electron transmission control by a direction of magnetic field [Electronic resource]/ I.Y. Popov, I.V. Blinova, E.A. Shamionova, M.O. Smolkina //- 2021. - Access mode: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jnm.2918. - P. 1-11.

112. Popov, I. Yu. On the existence of point spectrum for branching strips quantum graph / I. Yu. Popov, A. N. Skorynina, I. V. Blinova // Journal of Mathematical Physics. - 2014. Vol. - 55. -P. 033504.

113. Popov, I. Yu. Regular potential approximation for delta-perturbation supported by curve of the Laplace-Beltrami operator on the sphere / I. Yu. Popov, D. A. Eremin and D. A. Ivanov // Z. Anal. Anwen. - 2012. - Vol. 31 (2). - P. 125-137.

114. Popov, I. Yu. Stokes graph / I. Yu. Popov / International Conference "Mathematical Results in Quantum Mechanics", Berlin, Germany. Book of Abstracts. - 2013. - Vol. 47.

115. Post, O. Branching quantum waveguides with Dirichlet boundary conditions: the decoupling case / O. Post // J. Phys. A: Math. Gen. - 2005. - Vol. 8. - P. 4917-4931.

116. Post, O. Spectral analysis of metric graphs and related spaces [Electronic resource] / O. Post // arXiv.org. - 2007. - Access mode: http://de.arxiv.org/abs/0712.1507v2

117. Post, O. Spectral Analysis on Graph-like Spaces / O. Post. - Springer, Berlin, 2010. - N p. 431.

118. Premper, J. Spin-orbit splitting in an anisotropic two-dimensional electron gas / J. Premper, M. Trautmann, J. Henk and P. Bruno // Phys. Rev. B. - 2007. - Vol. 76. - P. 073310.

119. Prinz, G. Magnetoelectronics / G. Prinz // Science. - 1998. - Vol. - 282. - P. 1660.

120. Rashba, E. I. SPIN-ORBIT COUPLING IN CONDENSED MATTER PHYSICS / E. I. Rashba // Sov. Phys. Solid State. - 1960. - Vol. 2. - P. 1109.

121. Rech, J. Electronic transport in inhomogeneous quantum wires / J. Rech, K. A. Matveev // J. Phys: Condens. Matter. - 2008. - Vol. 20. - P. 164211.

122. Schulz, H.J. Fermi liquids and non-Fermi liquids / H.J. Schulz. - Elsevier, Amsterdam, 1995. -N p. 59.

123. Secomb, T. W. Models for slow blood flow in narrow tubes: effect of aggregation and sedimentation on flow resistance / Secomb, T. W. and El-Kareh A. V. // Biorheology. - 1995. -Vol. 32. - P. 169-169.

124. Sharan, M. A two-phase model for flow of blood in narrow tubes with increased effective viscosity near the wall / M. Sharan and A. S. Popel // Biorheology. - 2001. - Vol. 38. - P. 415428.

125. Sharvin, D. Y. Magnetic-flux quantization in a cylindrical film of a normal metal / D. Y. Sharvin and Y. V. Sharvin// JETP Letters . - 1981. - Vol. 34. - P. 272.

126. Silva, E. A. Conduction-subband anisotropic spin splitting in III-V semiconductor heterojunctions / E. A. de Andrada e Silva // Physical Review B. - 1992. - Vol. 46. - P. 1921(R).

127. Smolkina, M.O. Persistent current in a chain of two Holstein-Hubbard rings in the presence of Rashba spin-orbit interaction / A. Chatterjee, M.O. Smolkina, I.Y. Popov // Наносистемы: Физика, химия, математика = Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2019. - Vol. 10. - № 1. - P. 50-62

128. Smolkina, M.O. On the metric graph model for flows in tubular nanostructures / M.O. Smolkina, I.Y. Popov, I.V. Blinova, E. Milakis // Наносистемы: Физика, химия, математика = Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2019. - Vol. 10. - № 1. - P. 6-11

129. Smolkina, M.O. Scattering, Spectrum and Resonance States Completeness for a Quantum Graph with Rashba Hamiltonian / I.V. Blinova, I.Y. Popov, M.O. Smolkina // Operator Theory: Advances and Applications. - 2021. - Vol. 282. - P. 51-62

130. Smolkina, M.O. The spin-filtering properties in two coupled Rashba quantum rings / M.O. Smolkina, I.Y. Popov, I.V. Blinova // Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - Vol. 1695. - № 1. - P. 012174

131. Smolkina, M.O. The effect of Rashba spin-orbit interaction on persistent current in a chain of two Holstein-Hubbard rings / M.O. Smolkina, I.Y. Popov, A. Chatterjee // Journal of Physics: Conference Series. - 2019. - Vol. 1400. - № 7. - P. 077011

132. Smolkina, M.O. The spin-filtering properties in two coupled Rashba quantum rings / M.O. Smolkina, I.Y. Popov, I.V. Blinova // Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - Vol. 1697. - № 1. - P. 012198

133. Smolkina, M.O. On the spectrum discreteness of the quantum graph Hamiltonian with delta-coupling / M.O. Smolkina, I.Y. Popov // Journal of Physics: Conference Series. - 2015. - Vol. 643. - P. 012099

134. Solyom, J. Two-site entropy and quantum phase transitions in low-dimensional models / J. Solyom, O. Legeza // Physical review letters. - 2006. - Vol. 96. - P. 116401.

135. Srivastava, V. P. A theoretical model for blood flow in small vessels / V. P. Srivastava // Int. J. Applications and Appl. Math. - 2007. - Vol. 2 (1). - P. 51-65.

136. Stewart, W. Probability, Markov Chains, Queues, and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling / W. Stewart. - Princeton University Press, 2009. - N p. 776.

137. Stone, A. D. Periodicity of the Aharonov-Bohm effect in normal-metal rings / A. D. Stone and Y. Imry // Physical Review Letters. - 1986. - Vol. 56. - P. 189.

138. Takada, Y. Possibility of a metallic phase in the charge-density-wave-spin-density-wave crossover region in the one-dimensional Hubbard-Holstein model at half filling / Y. Takada and A. Chatterjee // Phys. Rev. B. - 2003. - Vol. 67. - P. 081102(R).

139. Tarucha, S. Shell Filling and Spin Effects in a Few Electron Quantum Dot / S. Tarucha, D.G. Austing, T. Honda, R.J. van der Haage, and L. Kouwenhoven // Phys. Rev. Lett. - 1996. - Vol. 77. - P. 3613.

140. Timp, G. Observation of the Aharonov-Bohm effect for 0)T > 1 / G. Timp, A. M. Chang, J. E. Cunningham et al. // Physical Review Letters. - 1987. - Vol. 58. - P. 2824.

141. Umbach, C. P. Direct observation of ensemble averaging of the Aharonov-Bohm effect in normal-metal loops / C. P. Umbach, C. V. Haesendonck, R. B. Laibowitz et al. // Physical Review Letters. - 1986. Vol. 56. - P. 386.

142. Venetianer, P. Feljünk-e a genmanipulalt elelmiszerektol? / P. Venetianer // Termeszet Vilaga. - 2005. - Vol. 136. - P. 434-437.

143. Viefers, S. Quantum rings for beginners: energy spectra and persistent currents / S. Viefers, P. Koskinen, P. Singha Deo and M. Manninen // Physica E. - 2004. - Vol. 21. - P. 1-35.

144. Voda, A. Micro, Nanosystems and Systems on Chips: Modeling, Control, and Estimation / A. Voda. - New York, John Wiley & Sons, 2013. - N p. 308.

145. Voit, J. One-dimensional Fermi liquids / J. Voit // Rep. Prog. Phys. - 1994. - Vol. 57. - P. 977.

146. Wang C. Electrochromic nanocrystal quantum dots / C. Wang, M. Shim, P. GuyotSionnest // Science. - 2001. - Vol. 291 (5512). - P. 2390-2392.

147. Warner, J. H. Graphen: Fundamentals and emergent applications / J. H. Warner, F. Schaffel, A. Bachmatiuk, M. H. Rummeli — New York: Cambridge University Press, 2012. — 366 p.

148. Webb, R. A. Observation of h/e Aharonov-Bohm Oscillations in Normal-Metal Rings / R. A. Webb, S. Washburn, C. P. Umbach et al. // Physical Review Letters. - 1985. - Vol. 54. - P. 2696.

149. Wolf, S. A. Spintronics: A Spin-Based Electronics Vision for the Future / S. A. Wolf, D. D. Awschalom, R. A. Buhrman et al. // Science. - 2001. - Vol. 294. - P. 1488 - 1495.

150. Yang Y. Plasmon Absorption of Au-in-CoAl2O4 Linear Nanopeapod Chains / Y. Yang, L. Li, W. Li // J. Phys. Chem. C. - 2013. - Vol. 117. - No 27. - P. 14142-14148.

151. Zutic, I. Spintronics: Fundamentals and applications / I. Zutic, J. Fabian and S. D. Sarma // Reviews on Modern Physics. - 2004. - Vol. 76. - P. 323.