Спектральные характеристики краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точками поворота тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Шегай, Людмила Николаевна

• Шегай, Людмила Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шегай, Людмила Николаевна

Введение.

Глава 1. Вычисление спектральных характеристик для краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точкой поворота на левом конце полуоси и с точкой поворота на бесконечности.

1.1. Дифференциальные уравнения второго порядка с точками поворота. Асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения при фиксированном значении параметра. Характер спектра краевой задачи.

1.2. Равномерные асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения. Асимптотика спектра. Равномерная оценка ядра резольвенты краевой задачи.

1.3. Равномерные асимптотические разложения (ряды) для решений дифференциального уравнения.

1.4. Построение рекуррентных формул для нахождения коэффициентов асимптотических рядов для собственных чисел.

Вычисление регуляризованных следов.

Выводы.

Глава 2. Вычисление спектральных характеристик для краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точкой поворота внутри полуоси и с точкой поворота на бесконечности.

2.1. Асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения при положительных и при отрицательных значениях аргумента. Характер спектра краевой задачи.

2.2. Асимптотика спектра. Равномерная оценка ядра резольвенты краевой задачи.

2.3. Асимптотические ряды для решений дифференциального уравнения при отрицательном значении аргумента.

2.4. Нахождение коэффициентов асимптотических рядов для собственных чисел. Вычисление регуляризованных следов.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные характеристики краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точками поворота»

Актуальность работы. При исследовании процессов, происходящих в гидродинамике, в теории колебаний, в квантовой механике, при изучении явлений дифракции получаются математические модели, которые описываются дифференциальными уравнениями второго порядка с точками поворота. Например,

1. y' + u2x2(x-lfy = 0, - математическая модель распространения волн через систему барьеров [39].

2. / +

Я-г^—. + Р7 х[2 -х)

У = о:

- математическая модель, описывающая приливные волны [1,14]. зЛ dx p(x)di dx где /?(jc) = (jc — лг0) 1 , /z(x)>0, x0 >0,

- математическая модель, возникающая при исследовании атмосферных явлений и их прогнозировании [40]. В точках поворота процесс резко меняет свой характер. Согласно классической механике, в ней движущаяся частица остановилась бы и начала двигаться в обратном направлении. При переходе через точку поворота меняется характер поведения решений уравнения. Общеизвестны такие уравнения с точками поворота как уравнения Бесселя, Матье, Вебера, порождающие специальные функции.

Дифференциальные уравнения с точками поворота изучались различными методами. Метод ВБК (Вентцеля, Бриллюэна, Крамера) изучения асимптотического поведения решений задач с точками поворота описан в [3]. Он состоит в том, что производится замена уравнения в окрестности точки поворота уравнением, решение которого находится с помощью специальных функций. Затем это решение «склеивается» с решением в остальной части промежутка.

Другой метод основан на выходе в комплексную плоскость. М.А. Евграфов, М.В. Федорюк предложили метод продолжения асимптотики решения, известной в некоторой области или на линии, на всю комплексную плоскость [4,5,6]. М.В. Федорюк находил асимптотику решений и асимптотику спектра в предположении, что коэффициенты уравнения -аналитические функции.

Широко известен метод эталонного уравнения, развитый в работах А.А. Дородницына [1] и Р. Лангера [7, 8, 9]. Они исследовали уравнение

Ly^y» + [A2q{x)+R(x)]y = О, (1) где q(x) = *ar(x), а > -2, r(x) > 0. Эталонное уравнение выбирается так, чтобы оно имело точку поворота того же типа, что и исходное уравнение и имело бы наиболее простой вид. Таким образом, эталонное уравнение содержит информацию об особой точке исходного уравнения и имеет известные решения. Р. Лангер строил первые асимптотики решений для конечных интервалов в случае простых и кратных точек поворота. Для случая простой точки поворота на конечном интервале им построены асимптотические ряды для решений. Спектр Р. Лангер не исследовал. Вопросы о спектре и асимптотике спектра для краевых задач, связанных с дифференциальным уравнением (1), на конечном отрезке рассмотрены в работе А.А. Дородницына [1]. На конечном отрезке такие краевые задачи рассматривал с помощью метода эталонных уравнений

А.А. Стакун [11] - [13], [41]. На бесконечном полуинтервале он исследовал

00 случай, когда j\jq{x) dx = <x>. Библиографию работ, посвященных уравнениям с а точками поворота можно найти в [10].

Собственные значения дифференциальных операторов и регуляризованные следы изучались в работах И.Ф. Гельфанда, Б.М. Левитана, Л.А. Дикого, Л.Д. Фаддеева, B.C. Буслаева, В.Б. Лидского, В.А. Садовничего и других авторов [15-30]. Регуляризованные следы имеют практическое значение при вычислении собственных чисел и конкретный физический смысл [29, 30]. Если R(x) - действительная функция, а > 0, то асимптотические формулы для спектра (первый член) можно получить из работ М.Г. Крейна [34] о спектральных функциях струны.

Исследование дифференциального уравнения (1) связано со сложными аналитическими вычислениями. Эта трудность может быть преодолена с помощью использования вычислительной техники при разработке и применении соответствующих алгоритмов.

Целью исследования является определение характера спектра и вычисление спектральных характеристик для краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точками поворота на полуоси. В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи: нахождение асимптотических формул для решений дифференциального уравнения; определение характера спектра исследуемых краевых задач; равномерная оценка ядра резольвенты (функции Грина) краевых задач; построение алгоритма вычисления коэффициентов асимптотического ряда для спектра; нахождение алгоритма вычисления регуляризованных следов (регуляризованных сумм) для рассматриваемых краевых задач. Эти исследования производятся в двух случаях: когда одна из точек поворота находится на конце или внутри полуоси (для точек поворота различного порядка). Во всех случаях другая точка поворота находится на бесконечности.

Научная новизна. Построен алгоритм вычисления коэффициентов асимптотического ряда для решений дифференциального уравнения и дано его теоретическое обоснование; определен характер спектра; найдены асимптотические ряды по степеням п для спектра краевых задач и построен алгоритм нахождения коэффициентов этих рядов; найдены регуляризованные следы краевых задач и построен алгоритм их вычисления; найдена равномерная оценка ядра резольвенты.

Методы исследования. Поставленные в работе задачи исследовались с помощью методов эталонного уравнения, теории интегральных уравнений с использованием свойств специальных функций, методов теории функций комплексной переменной с использованием свойств целых функций специальных классов.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе формулы и алгоритмы могут быть использованы при вычислении спектральных характеристик краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями с точками поворота, которые возникают в различных задачах науки и техники, в частности, при изучении волновых процессов в атмосфере, в теории приливных волн. Спектр и регуляризованные следы имеют конкретное физическое содержание. Регуляризованные следы имеют и прикладное значение при вычислении первых собственных чисел.

На защиту выносятся:

1. Нахождение асимптотических представлений для решений дифференциального уравнения на неограниченных интервалах и алгоритм их построения.

2. Теорема о дискретном характере спектра краевых задач.

3. Равномерная оценка ядра резольвенты (функции Грина) краевых задач.

4. Асимптотические представления для спектра краевых задач с помощью рядов по степеням п и алгоритм нахождения коэффициентов этих рядов.

5. Формулы вычисления регуляризованных следов (регуляризованных сумм) для собственных чисел краевых задач и алгоритм их вычисления.

Эти исследования производятся в двух случаях: когда одна из точек поворота находится на левом конце или внутри полуоси, а другая - на бесконечности.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре Волго-Вятского региона по дифференциальным уравнениям (Чебоксары, 1979); на научных конференциях Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова (Чебоксары, 1982, 1987, 1997, 2003, 2004); на заседании Зимней математической школы «Алгебраические структуры теории сингулярных возмущений» в Российском государственном социальном университете при участии МЭИ (Москва, 1993); на IV международной конференции «Математика. Моделирование. Экология» (Волгоград, 1996); на научных семинарах кафедры компьютерных технологий в Чувашском государственном университете им. И.Н. Ульянова (Чебоксары, 2002, 2003, 2004); на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета (Казань, 2004); на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Саратовского государственного университета (Саратов, 2004).

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 18 работ.

Структура и объем работы. Данная работа состоит из введения, двух глав, четырех приложений, заключения и списка литературы из 60 наименований. Текст изложен на 150 страницах.

В первой главе исследуется краевая задача, связанная с дифференциальным уравнением (1) с точкой поворота на левом конце полуоси. Находятся асимптотические представления для решений на полуоси. Найден алгоритм вычисления коэффициентов решений при больших и малых значениях аргумента. Асимптотические представления получаются с помощью перехода к соответствующим интегральным уравнениям.

Исследуется характеристический определитель, нули которого образуют спектр краевой задачи. Оказывается, что спектр имеет дискретный характер. При этом квадраты точек спектра являются собственными значениями краевой задачи. Произведена равномерная оценка функции Грина, или ядра резольвенты краевой задачи. При этом вся полуось разбивается на интервалы, на каждом из которых получается своя оценка. Всего рассматривается шесть различных случаев. Находится асимптотическое представление характеристического определителя и его логарифмической производной. Приведены алгоритмы нахождения коэффициентов в этих представлениях.

Найдены формулы вычисления коэффициентов асимптотического ряда для спектра и алгоритм их вычисления. Найдена формула вычисления регуляризованных следов и соответствующий алгоритм.

Во второй главе исследуется краевая задача для дифференциального уравнения (1) с точкой поворота внутри полуоси. В рассматриваемом случае точка поворота разбивает полуось на два промежутка: конечный и бесконечный. Находятся решения на каждом из этих промежутков, а затем «склеиваются».

Получена асимптотика решений дифференциального уравнения на полуоси [-1; + оо). Исследован характеристический определитель. Показано, что его нули образуют дискретное множество. Произведена оценка функции Грина, или ядра резольвенты. Вся полуось при этом разбивается на интервалы и рассматривается двенадцать различных случаев. Найдено асимптотическое представление характеристического определителя, асимптотическое представление логарифмической производной характеристического определителя. Найдены формулы вычисления коэффициентов асимптотического ряда для спектра и алгоритм их вычисления. Найдены формулы вычисления регуляризованных следов краевой задачи и соответствующий алгоритм.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Шегай, Людмила Николаевна

Выводы

Для случая, когда одна из точек поворота в рассматриваемых дифференциальных уравнениях находится внутри интервала, а другая на бесконечности, получены следующие основные результаты:

Построены асимптотические представления решений дифференциальных уравнений на неограниченных интервалах.

Доказано, что характеристический определитель краевой задачи является целой функцией; получена асимптотика характеристического определителя; показано, что спектр краевой задачи (корни характеристического определителя) образуют дискретное множество.

Найдены асимптотические представления для собственных чисел и разработан алгоритм вычисления коэффициентов асимптотических рядов для двух цепочек спектра; получена оценка ядра резольвенты краевой задачи, играющая важную роль в приложениях.

Вычислены регуляризованные следы краевой задачи произвольного порядка и разработан алгоритм их вычисления.

Заключение.

Для случая, когда одна из точек поворота в рассматриваемых дифференциальных уравнениях находится на левом конце полуоси, а другая точка поворота - на бесконечности, получены следующие основные результаты:

1. Найдены асимптотические представления для решений дифференциальных уравнений на неограниченных интервалах.

2. Решен вопрос о характере краевых условий и дана постановка соответствующих краевых задач.

3. Показано, что спектр рассматриваемых краевых задач является дискретным.

4. Получена равномерная оценка ядра резольвенты (функции Грина) краевых задач.

5. Найдены асимптотические ряды для решений дифференциальных уравнений.

6. Найдены асимптотические представления для характеристического определителя и для его логарифмической производной.

7. Получены асимптотические ряды для собственных чисел краевой задачи и эффективная методика нахождения их коэффициентов.

8. Вычислены регуляризованные следы различных порядков.

В четырех последних пунктах найдены соответствующие алгоритмы.

Для случая, когда одна из точек поворота в рассматриваемых дифференциальных уравнениях находится внутри полуоси, а другая точка поворота - на бесконечности, получены следующие основные результаты:

1. Найдены асимптотические представления для решений дифференциальных уравнений на неограниченных интервалах.

2. Показано, что спектр рассматриваемых краевых задач является дискретным.

3. Получена равномерная оценка ядра резольвенты (функции Грина) краевых задач.

4. Найдены асимптотические ряды для решений дифференциальных уравнений.

5. Найдены асимптотические представления для характеристического определителя и для его логарифмической производной.

6. Получены асимптотические ряды для собственных чисел краевой задачи и эффективная методика нахождения их коэффициентов.

7. Вычислены регуляризованные следы различных порядков.

В двух последних пунктах найдены соответствующие алгоритмы.

Полученные в работе формулы и алгоритмы могут быть использованы при вычислении спектральных характеристик краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями с точками поворота, которые возникают в различных задачах науки и техники, в частности, при изучении волновых процессов в атмосфере, в теории приливных волн. Спектр и регуляризованные следы имеют конкретное физическое содержание. Регуляризованные следы имеют и прикладное значение при вычислении первых собственных чисел.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шегай, Людмила Николаевна, 2004 год

1. Дородницын А.А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка / А.А. Дородницын // Успехи математических наук. 1952. - Т. 7. - Вып. 1. -С.3-96.

2. Horn J. Ober eine lineare Differential gleihung zweiter Ordnung mit einem willkurlichen Parameter / J. Horn // Math. Ann. 1899. - № 52. - P. 271-292.

3. Эрдейи А. Асимптотические разложения / А. Эрдейи // М.: Физматгиз, 1962.

4. Евграфов М.А., Федорюк М.В. Асимптотика решений уравнения W"{z)-P(z,X) W(z) = 0 при Я—>оо в комплексной плоскости z //Успехи математических наук. 1966. - Т. 21. - Вып. 1. - С. 3-50.

5. Федорюк М.В. Асимптотика дискретного спектра оператора

6. Я?Р(х) W(x) / М.В. Федорюк // Математический сборник. 1965.68 (110)-№ 1.-С. 68-97.

7. Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории одномерных сингулярных дифференциальных операторов / М.В. Федорюк И Труды Московского математического общества. 1966. - 15. - С. 296-395.

8. Langer R.E. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of the second order with special reference to the Stokes' phenomenon. / R.E. Langer // Bull Amer. Math. Soc. 1934. - 40. - P. 545-582.

9. Langer R.E. On the asymptotic solutions of ordinary differential equations with an application to the Bessel functions of large order. / R.E. Langer // Trans. Amer. Math. Soc. 1931.-33.-P. 23-64.

10. Langer R.E. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of the second order with special reference to a turning point. / R.E. Langer И Trans. Amer. Math. Soc. 1949. - 67. - P. 461-490.

11. ВазовВ. Асимптотические "разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Вазов. М.: Мир, 1968.

12. Стакун А.А. Некоторые тождества для собственных значений дифференциального оператора второго порядка, имеющего точку поворота / А.А. Стакун // Дифференциальные уравнения. 1974. - Т. 10. - № 10.1. С. 1819-1827.

13. Стакун А.А. О резольвенте одного сингулярного дифференциального оператора с точкой поворота / А.А. Стакун // Дифференциальные уравнения. 1984. -Т. 20. - № 12. - С. 2066-2075.

14. Стакун А А. О формулах следов для сингулярного дифференциального оператора с точкой поворота / А.А. Стакун // Дифференциальные уравнения. 1985. -Т. 21. -№ 4. - С. 636-646.

15. Сретенский JI.H. Теория приливов долгого периода/Л.Н. Сретенский //Изв. АН СССР, сер. геогр. и геоф. 1947. - Т. 11. - № 3. - С. 197-270.

16. Дикий Л.А. Новый способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля / Л.А. Дикикй // ДАН СССР. 1953. - Т. 116. - № 1. -С. 12-14.

17. Гельфанд И.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка / И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан // ДАН СССР. 1953. - Т. 88. - № 4. - С. 593-596.

18. Гедьфанд И.М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка / И.М. Гельфанд // Успехи математических наук. 1956. -Т. 11.-Вып. 1.-С. 191-199.

19. Дикий Л А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля / Л.А. Дикий // Успехи математических наук. 1958. - Т. 13. - Вып. 3. -С. 111-143.

20. Гасымов М.Г. О сумме разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма-Лиувилля / М.Г. Гасымов, Б.М. Левитан // ДАН СССР. 1963. -Т. 151. -№ 5. - С. 1014-1017.

21. Шевченко Р.Ф. О следе дифференциального оператора / Р.Ф. Шевченко // ДАН СССР. 1965. - Т.164. - № 5. - С. 62-65.

22. Лидский В.Б. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций / В.Б. Лидский, В.А. Садовничий // Функциональный анализ и его приложения. 1967. - Т. 1. - Вып. 2 - С. 52-59.

23. Лидский В.Б. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций /В.Б. Лидский, В.А. Садовничий // Математический сборник. 1968. -75 (117) - № 1. - С. 558-566.

24. Лидский В.Б. Регуляризованные суммы нулей одного класса целых функций / В .Б. Лидский, В.А. Садовничий // ДАН СССР. 1967. - Т. 176. - № 2. -С. 1082-1085.

25. Садовничий В.А. О некоторых тождествах для собственных чисел сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов. Соотношение для нулей функций Бесселя / В.А. Садовничий // Вестник Моск. университета, сер. матем., механ. 1971. - № 3. - С. 77-86.

26. Садовничий В.А. Регуляризованные суммы полуцелых степеней оператора Штурма-Лиувилля / Математические заметки. 1973. - Т. 14. - № 2. - С. 279-290.

27. Фаддеев Л.Д. О выражении следа разности двух сингулярных дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля / Л.Д. Фаддеев // ДАН СССР. 1957. - Т. 115. - № 5. - С. 878-881.

28. Буслаев B.C., Фаддеев Л.Д. О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма-Лиувилля / B.C. Буслаев, Л.Д. Фаддеев//ДАН СССР.-1960.-Т. 132.-№ 1.-С. 13-16.

29. Буслаев B.C. Рассеянные плоские волны, спектральные асимптотики и формулы следа во внешних задачах / B.C. Буслаев // ДАН СССР. 1971. - Т. 197. -№5.-С. 999-1002.

30. Захаров В.Е. и Фадеев Л.Д. Уравнение Кортевега де Фриса- вполне интегрируемая гамильтонова система / В.Е. Захаров, Л.Д. Фаддеев // Функц. анализ и его прилож. 1971. - Т. 5. - № 4. - С. 18-24.

31. Янке Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. М.: Наука, 1968.

32. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка / Э.Ч. Титчмарш. М., 1960.Т. 1.

33. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка / Э.Ч. Титчмарш. М., 1961.1. Т. 2.

34. Кац И.С. Критерий дискретности спектра сингулярной струны / И.С. Кац, М.Г. Крейн // Известия вузов. Математ. 1958. - № 2. - С. 136-153.

35. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. -М., 1969. 528 с.

36. Leung A. Distribution of eigenvalues in the presence of higher order turning points / A. Leung //Trans. Amer. Wath. Soc. 1977. - V. 229. - P. 111-135.

37. Славянов С.Ю. Асимптотика сингулярных задач Штурма-Лиувилля по большому параметру в случае близких точек перехода / С.Ю. Славянов // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5. - № 2. -С. 313-325.

38. Фадеев Л.Д. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков / Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1980.

39. Olver F.W.J. Connection formulas for second-order differential equation, having an arbitrary number of turning points of arbitrary multiplisities / F.W.J. Olver // SIAM J. Wath. Anal. 1977. - 8. - № 4. - P. 673-700.

40. Weston V.H. The Spectral Distribution for a Differential Equation associated with infrasonic Waves / V.H. Weston // Journal of Mathematical Analysis and Applications.1970.-V. 30.-P. 596-604.

41. Стакун А.А. О формулах следов для диффернциальтных операторов с точкой поворота / А.А. Стакун // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. ст. Чебоксары, 1982. - С. 92-106.

42. Стакун А.А. Вопросы разложимости по собственным функциям одного дифференциального оператора второго порядка / А.А. Стакун // Вопросы прикладной математики и механики: Сб. ст. Чебоксары, 1977. - Вып. 5. - С. 125-133.

43. Шегай Л.Н. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальным оператором второго порядка, имеющим точку поворота внутри интервала / Л.Н. Шегай//Дифференциальные и интегральные уравнения: Сб. ст.-Горький, 1980. Вып. 4. - С. 120.

44. Шегай Л.Н. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальным оператором второго порядка, имеющим точкуповорота / JI.H. Шегай // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. ст. Чебоксары, 1982. - С. 118-127.

45. Шегай J1.H. Разложение по собственным функциям, асимптотика спектра и регуляризованные следы для одного сингулярного дифференциального оператора второго порядка / JI.H. Шегай Чебоксары, 1983. - 30 с. Деп. в ВИНИТИ, № 479-83.

46. Шегай J1.H. О спектре одного сингулярного дифференциального оператора с точкой поворота / JI.H. Шегай Чебоксары, 1983. - 18 с. Деп. в ВИНИТИ, № 959-83.

47. Шегай JI.H. Оценка резольвенты несамосопряженного дифференциального оператора с точкой поворота на полуоси / JI.H. Шегай Чебоксары, 1984. - 16 с. Деп. в ВИНИТИ, № 7388-84.

48. Шегай JI.H. Регуляризованные следы одного несамосопряженного сингулярного дифференциального оператора / JI.H. Шегай Чебоксары, 1984.-11 с. Деп. в ВИНИТИ, № 7390-84.

49. Шегай JI.H. О спектральных задачах, связанных с дифференциальным уравнением с точкой поворота / JI.H. Шегай // Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький, 1987. - С. 32-37.

50. Стакун А.А., Разумейко Р.В., Шегай JI.H. О спектральных свойствах одного оператора / А.А. Стакун, Р.В. Разумейко, JI.H. Шегай//Деп. в ВИНИТИ 1992, № 2567-92. Чебоксары, 1992. - 7 с.

51. Стакун А.А., Разумейко Р.В., Шегай Л.Н. О некоторых свойствах сингулярного оператора Дирака / А.А. Стакун, Р.В. Разумейко, Л.Н. Шегай -Чебоксары, 1994. 13 с. Деп. в ВИНИТИ, № 1217-В 94.

52. Разумейко Р.В., Шегай Л.Н. О спектре и резольвенте дифференциального оператора 2-го порядка с точкой поворота на полуоси / Р.В. Разумейко, Л.Н. Шегай -Чебоксары, 1995. 12 с. Деп. в ВИНИТИ, № 6353-95.

53. Разумейко Р.В., Шегай Л.Н. О сингулярном операторе Дирака / Р.В. Разумейко, Л.Н. Шегай // Тезисы IV Международной конференции женщин-математиков. Волгоград, 1996. - С. 107.

54. Стакун А.А., Разумейко Р.В., Шегай Л.Н. О свойствах сингулярного оператора Дирака с комплекснозначным потенциалом / А.А. Стакун, Р.В. Разумейко, Л.Н. Шегай // Деп. в ВИНИТИ 1996, № 1895-В 96. Чебоксары, 1996. - 17 с.

55. Разумейко Р.В., Шегай Л.Н. Свойства одного сингулярного оператора / Р.В. Разумейко, Л.Н. Шегай // Тезисы докладов юбилейной итоговой научной конференции ЧГУ. Чебоксары, 1997. - С.15.

56. Разумейко Р.В., Шегай Л.Н. О сингулярном операторе Дирака / Р.В. Разумейко, Л.Н. Шегай // Труды IV Международной конференции женщин-математиков. Нижний Новгород, 1997. - Т.4. - Вып.2. - С. 52-57.

57. Шегай Л.Н. Об алгоритме вычисления регуляризованных следов для одной краевой задачи с точками поворота / Л.Н. Шегай // Математика в высшем образовании: Тезисы докладов XII Международной конференции. Чебоксары, 2004.-С. 152.