Спектральные функции для изучения равновесных и кинетических свойств ядерных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, кандидат наук Даниленко Валерия Александровна

• Даниленко Валерия Александровна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Даниленко Валерия Александровна

Введение

Глава 1. Основные положения метода квантовых функций Грина в варианте, предложенном Кадановым и Беймом

1.1. Описание равновесного состояния ферми-системы в рамках формализма Каданова-Бейма

1.2. Описание неравновесного состояния ферми-системы в теории Каданова-Бейма

Глава 2. Равновесные свойства ядерной материи

2.1. Определение квазичастиц при описании свойств ядерной материи

2.2. Разложение спектральной функции по степеням ширины одночастичных энергетических уровней

2.3. Энергия связи в ядерной материи

Выводы из результатов, полученных во второй главе

Глава 3. Неравновесные свойства ядерной материи

3.1. Кинетическое уравнение Ландау-Силина при описании свойств ядерной материи

3.2. Коллективные возбуждения в ядерной материи, находящейся в

«нормальном» состоянии

Выводы из результатов, полученных в третьей главе

Глава 4. Адиабатическое приближение при описании спектра коллективных возбуждений в атомных ядрах

4.1. Адиабатическое приближение для атомных ядер

4.2. Формализм Каданова-Бейма в случае пространственно неоднородных

систем

Выводы из результатов, полученных в четвёртой главе

Заключение

Список литературы

72

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные функции для изучения равновесных и кинетических свойств ядерных систем»

Введение

Современная теория атомного ядра представляет собой довольно пёструю смесь различных принципиальных подходов и вычислительных методов, не относящихся напрямую к основным разделам теоретической физики - квантовой механики, электродинамики, статистической физики. Сами эти разделы теоретической физики развивались в двадцатом веке параллельно развитию ядерной физики, основные трудности которой оказались гораздо более серьёзными, чем те, с которыми столкнулись при исследовании молекулярных и атомных систем.

Теория ядра вначале ставила своей задачей вычисление свойств конкретных ядер, исходя из первых принципов, на основании какой-либо гипотезы о форме ядерных сил, действующих между нуклонами. Однако проведение в жизнь этой вполне естественной идеи натолкнулось на многочисленные принципиальные и технические трудности, так что в настоящее время теорию атомного ядра не удалось довести до сколько-нибудь замкнутой формы, и она по существу представляет собой собрание различных подходов и методов, эффективно работающих только в разных областях массовых чисел ядер. Однако во всех существующих подходах к современной теории ядра идеи статистической физики оказываются непременным компонентом теории.

Применение методов статистической физики к изучению свойств атомных ядер характеризуется двумя принципиальными моментами. Во-первых, число нуклонов даже в самом тяжёлом атомном ядре не превышает нескольких сотен, поэтому, строго говоря, к атомному ядру не могут применяться без специального обсуждения все результаты статистической физики, справедливые для систем с очень большим числом частиц. Поэтому часто рассматривают применение методов статистической физики к ядерной материи, т.е. к различным космическим объектам типа нейтронных звёзд, состоящих в основном из нейтронов с относительно небольшой примесью протонов и электронов. Очевидно, что методы статистической физики не могут применяться к лёгким ядрам, состоящим всего из нескольких протонов и нейтронов. В то же время сложные ядра с атомным весом порядка и большим 50 уже могут трактоваться как статистические системы, находящиеся при обычных условиях в нормальном состоянии с наименьшей энергией.

Во-вторых, до сих пор неизвестны в полном объёме ядерные силы, знание которых необходимо для последовательного применения стандартных методов статистической физики. Потенциалы взаимодействия частиц между собой, восстановленные из опытов по рассеянию частиц, имеют громоздкий

и неправдоподобный вид, а проявление у ядер релятивистских эффектов ставит под сомнение само существование потенциала, достаточно точного для описания свойств атомного ядра. С момента возникновения теории ядра стал актуальным вопрос, могут ли двухчастичные силы, полученные при изучении двухчастичного рассеяния, быть достаточными при расчётах сложных ядер, или имеются дополнительные силы, характерные для взаимодействия трёх и более нуклонов.

Впервые методы статистической физики в ядерной физике были использованы Я.И. Френкелем в 1936 году в работе «О твёрдой модели тяжёлых ядер», где он ввёл понятие температуры как статистического параметра, характеризующего возбуждённое состояние ядра [1, с. 477-479]. Понятие «температуры» ядра с тех пор прочно вошло в теоретическую ядерную физику и было вскоре широко использовано Н. Бором, Л.Д. Ландау, Г. Бете и другими в работах, посвящённых описанию различных свойств возбуждённых атомных ядер. В 1938 году Я.И. Френкелем строится последовательная статистическая теория распада тяжёлых атомных ядер на основе аналогии процесса радиоактивного распада возбуждённых атомных ядер с испарением твёрдых или жидких тел [1, с. 480-495]. Эта работа была выполнена Я.И. Френкелем ещё до появления работы В. Вейскопфа [2] на ту же тему и обзора Г. Бете [3], в котором результаты работы [2] были представлены ещё до её опубликования.

Рассматривая вопрос об устойчивости ядер, Я.И. Френкель теоретически предсказывает, что равновесной устойчивой формой ядра может быть, например, эллипсоид. Экспериментально это было обнаружено лишь в 1950 году [4] на основе анализа квадрупольных моментов ядер. Теория несферического ядра была подробно развита в работах О. Бора и Д. Уилера [5,6]. При этом оказалось, что завершающая фаза ядерной реакции не связана напрямую с фазой образования промежуточного (компаунд) ядра при взаимодействии налетающей частицы с ядром-мишенью, и развал ядра практически полностью определяется свойствами возбуждённых состояний промежуточного ядра.

Большое значение для развития ядерной физики имела созданная Я.И. Френкелем «капельная» модель ядра [7], позволившая объяснить многие его свойства и убедительно продемонстрировавшая ограниченность любых конкретных моделей ядерной материи. Идеи Я.И. Френкеля оказали сильное влияние на последующее развитие теоретической ядерной физики, определив некоторые основные его направления [8-10].

Засекречивание работ по ядерной физике накануне Второй мировой войны и концентрация усилий ведущих физиков всего мира на проблеме

создания ядерного оружия привели к тому, что работы, посвящённые развитию теории атомного ядра, появились вновь в открытой печати лишь в середине 50-х годов двадцатого века. Начался новый период развития теоретической ядерной физики, характеризующийся последовательным применением диаграммных методов, разработанных к тому времени в квантовой электродинамике. Основные результаты, связанные с рассмотрением многочастичной проблемы для ядерной материи при произвольном взаимодействии между нуклонами, были получены в работах К. Бракнера, Д. Голдстоуна и их сотрудников [11-15]. Подробное изложение теории Бракнера-Голдстоуна было приведено в обзоре [16].

Основной величиной в теории Бракнера-Голдстоуна является матрица реакции, с помощью которой вычисляется полная энергия ядерной материи и так называемая энергия связи, приходящаяся на один нуклон. Расчёты проводились в различных приближениях, когда к результату нулевого приближения последовательно прибавлялись поправки, полученные при учёте диаграмм более высокого порядка. Теория ядерной материи Бракнера-Голдстоуна была критически исследована Г. Бейкером, который нашёл в теории ряд сингулярностей и развил удовлетворительный с математической точки зрения метод для рассмотрения чисто отталкивательных сил. Более физический случай взаимодействия, когда на больших расстояниях отталкивание сменяется притяжением, рассматривался в приближении прямоугольной потенциальной ямы. Вычисления здесь оказались крайне громоздкими и до сих пор не проведены для более реалистических потенциалов.

Более простые теоретические соображения при расчёте структуры атомного ядра были использованы О. Бором и Б. Моттельсоном, получившими результаты, удовлетворительно согласующиеся с результатами расчётов по теории Бракнера [17]. Для расчётов, проводившихся в шестидесятые годы различными группами исследователей главным образом в США и Японии, характерно использование большого числа различных модельных потенциалов двухчастичного взаимодействия. Обсуждение свойств ядерной материи при различных достаточно реалистических потенциалах было проведено в [18]. Основные выводы, которые были сделаны на основе анализа работ, в которых использовались двухчастичные потенциалы, сводились к необходимости учёта многочастичных корреляций при действии двухчастичных сил и анализа необходимости введения дополнительных трёхчастичных сил при взаимодействии нуклонов [19].

Теоретическое исследование свойств бесконечной ядерной материи сопровождалось построением моделей космических объектов, таких как

пульсары и нейтронные звёзды, причём рассмотрение проводилось как с учётом спаривания нуклонов в соответствии с теорией Бардина-Купера-Шриффера, так и с использованием уравнений тяготения общей теории относительности [20,21]. Расчёты показали, что условия в плотном ядерном веществе, особенно в нейтронных звёздах, мало отличаются от тех, которые существуют в обычных ядрах. Температура нейтронных звёзд мала, как и для ядерной материи, и барионы остаются практически нерелятивистскими [19].

В теории бесконечной ядерной материи исходят из невозмущённых волновых функций нуклонов в виде плоских волн, что соответствует трансляционной симметрии системы. В конечных ядрах в рамках оболочечной модели волновые функции должны получаться как результат самосогласованного расчёта в приближении Хартри-Фока. Кроме того, в конечных ядрах может быть измерена энергия отделения нуклона из заданной оболочки, т.е. энергия связи. Это определяет большую сложность теории отдельных ядер по сравнению с теорией бесконечной ядерной материи.

Обобщение теории Бракнера на случай конечных ядер показало необходимость учёта тензорной составляющей взаимодействия, поскольку именно эта составляющая даёт наибольший вклад в насыщение ядерных сил [22]. Ряд принципиально важных моментов при расчётах энергии конечных ядер в приближении Хартри-Фока был указан в [23,24].

Все расчёты методом Бракнера-Хартри-Фока требуют самосогласования двух типов. Самосогласованность по Бракнеру сводится к тому, что энергии частиц, полученные путём суммирования диагональных элементов матрицы реакции, должны согласовываться с так называемыми начальными энергиями, используемыми при вычислении матрицы реакции. Самосогласованность по Хартри-Фоку означает, что потенциал оболочечной модели, полученный с помощью хартри-фоковских волновых функций, должен совпадать с тем потенциалом, который использовался при определении этих волновых функций. Наиболее полное изложение метода Бракнера-Хартри-Фока содержится в работе [25].

Следует особо подчеркнуть, что все расчёты структуры атомных ядер, в том числе и с помощью фейнмановской диаграммной техники, выполнялись на основе модельных потенциалов нуклон-нуклонного взаимодействия. Был предложен целый ряд таких потенциалов, подробное обсуждение которых содержится в обзоре Г. Бете [19]. Особенно следует отметить работу [26], в которой автору при расчётах в хартри-фоковском приближении удалось разделить всю пространственную область между двумя нуклонами на две части, в одной из которых взаимодействие нуклонов

в основном отталкивательное, а в другой - притягивательное. Кроме того, им был удачно предложен вид модельного потенциала для спин-орбитального взаимодействия, так что результаты работы [26] послужили своего рода эталоном для сравнения с расчётами других авторов [19]. Несколько иной подход к проблеме, приводивший к аналогичным результатам, был использован в [27].

Вместе с тем следует подчеркнуть, что суммирование фейнмановских диаграмм, строго говоря, имеет смысл, когда расчёты проводятся из первых принципов, т. е. с использованием «истинных», а не модельных потенциалов взаимодействия, в которые входят уже фактически «перенормированные» параметры. Учёт диаграмм более высокого порядка и тем более проведение суммирования диаграмм при использовании модельных потенциалов может приводить (и в ряде случаев приводило!) к тому, что некоторые эффекты взаимодействия оказывались учтёнными дважды. Кроме того, во всех перечисленных работах использовалась не самая рациональная диаграммная техника, которая позволяла рассчитывать только энергетические параметры системы, оставляя в стороне такие интересные и важные вопросы, как, например, кинетические явления в системе.

Понимание указанных выше трудностей расчёта, основанного на использовании статистических методов, стимулировало появление работ иного направления, в которых попытка связать свойства ядерной матери и конечных атомных ядер с реалистическими (пусть и модельными) потенциалами заменялась на построение феноменологической теории, формулируемой в терминах однонуклонного уравнения Шредингера [28]. В действительности «одночастичный» характер проблемы при таком подходе есть результат хорошо замаскированного использования многочастичного подхода, при котором придаётся определённый физический смысл используемым феноменологическим параметрам. В определённом смысле результаты работы [28] оказываются даже лучше, чем результаты, полученные в [26], но это было достигнуто путём использования пяти подгоночных параметров вместо двух в [26].

Описанный выше подход по существу представляет собой упрощённый вариант феноменологической теории ядерной материи, предложенной в [29] А.Б. Мигдалом в духе сформулированной к тому времени феноменологической теории квантовой ферми-жидкости Ландау-Силина [30, 31], в которой вместо исходных затравочных частиц (нуклонов в случае ядерной физики) рассматриваются квазичастицы, для которых, однако, сохраняются их прежние названия. В этой теории валентным нуклонам (квазичастицам) приписывается определённый импульс Ферми, а их

взаимодействие рассматривается как рассеяние на поверхности Ферми, для описания которого вводится несколько феноменологических параметров. Исключительный успех теории Ландау-Силина в описании физических свойств самых разных ферми-систем привёл к тому, что сама эта феноменологическая теория стала предметом пристального изучения с позиций фундаментальных положений квантовой статистической механики [32-36]. Связь феноменологической теории ферми-жидкости с теорией ядерной материи была прослежена в работе [37], где было показано, как подгоночные параметры феноменологической теории могут быть, по крайней мере в принципе, рассчитаны на основе теории ядерной материи.

С момента появления в 1962 году работы Л. Каданова и Г. Бейма [32], в которой был предложен наиболее удачный с современной точки зрения вариант использования фундаментальных положений квантовой теории поля в задачах квантовой статистической механики систем сильно взаимодействующих частиц, мог начаться по существу новый, современный этап развития теории таких систем, в частности, теории ядерной материи. Однако на практике потребовалось порядка тридцати лет для того, чтобы учёные осознали все преимущества нового варианта теории, и первые работы, основанные на использовании метода Каданова-Бейма в теоретической ядерной физике, появились только в 90-х годах.

В настоящее время метод квантовых функций Грина в варианте, предложенном Л. Кадановым и Г. Беймом [32], представляет собой единственную последовательную микроскопическую теорию, способную исчерпывающим образом описывать динамические и статистические свойства систем многих частиц как при нулевой, так и при конечной температуре. Этот метод пригоден для рассмотрения равновесных и кинетических свойств таких систем и позволил окончательно разобраться в проблеме квантового кинетического уравнения для медленно меняющихся в пространстве и во времени внешних возмущений. Основными величинами, фигурирующими в этой теории, являются так называемые корреляционные и спектральные функции, в терминах которых формулируются уравнения теории. Основу теории составляют уравнения, получившие в работах различных исследователей название уравнений Каданова-Бейма.

Одними из первых работ, посвящённых изучению свойств ядерной материи с помощью спектральных функций, являются работы Г. Кёхлера [3840], в которых автор проводит последовательное сравнение результатов своих предыдущих исследований на основе модельных потенциалов нуклонного взаимодействия в рамках теории Бракнера с результатами вычислений на основе метода функций Грина. Следует отметить также

работу [41], посвящённую развитию методики вычислений спектральных функций применительно к задачам ядерной физики. Затем последовали работы, посвящённые сравнению так называемого расширенного квазичастичного приближения с теорией Бракнера [42] и рассмотрению корреляций в многочастичных системах с помощью квантовых функций Грина [43]. В частности, в работе [42] обсуждалась проблема двойного учёта некоторых эффектов межнуклонного взаимодействия в теории Бракнера при замене в энергетических диаграммах более высокого порядка затравочных энергетических параметров на модельный потенциал с уже перенормированными параметрами, а также показаны преимущества метода функций Грина по сравнению с диаграммной техникой Голдстоуна [14]. В работе [43] показано, что двухвременные функции Грина содержат полную информацию о корреляционной энергии ядерной системы и о функции распределения нуклонов и выполнены численные расчёты. Различные приближённые решения уравнений Каданова-Бейма рассматривались в работе [44], где также сравнивались результаты численных расчётов в различных приближениях.

Несомненный успех формализма Каданова-Бейма в описании физических свойств самых различных систем привёл к тому, что, начиная с 1999 года, начали проходить регулярные междисциплинарные международные конференции по использованию этого метода под общим девизом: "Kadanoff-Baym Equations: Progress and Perspectives for Many-body Physics". Первая конференция состоялась в Ростоке (Германия), и в 2000-м году были изданы труды конференции: "Progress in Nonequilibrium Green's Functions (World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2000). Всего на конференции работало восемь секций, в которых рассматривались работы, относящиеся к разным разделам физики. В шестой секции, посвящённой теории ядерной материи, было представлено (и опубликовано) самое большое число (восемь) докладов. Кроме того, четыре доклада, в которых также рассматривались вопросы, имеющие отношение к ядерной физике, были представлены на других секциях.

Большой интерес представляет работа [45], посвящённая детальному рассмотрению проблемы численного решения уравнений Каданова-Бейма применительно к ядерной материи и сравнению предложенного подхода с расчётами других авторов, выполненными в рамках других приближений для функций Грина. Эта работа открыла широкие возможности для расчётов с помощью современных компьютеров и программных средств конкретных свойств ядерной материи на основе методов современной статистической механики. Кроме традиционных вопросов, связанных со структурой атомных

ядер, на конференции были представлены работы, посвящённые рассмотрению различных кинетических явлений в ядерной материи. Например, в работе [46] исследовалась проблема образования дейтрона при столкновениях тяжелых ионов в рамках подхода Л.Д. Фаддеева. Разработана последовательная согласованная схема расцепления уравнений многочастичной задачи, позволяющая строго решать систему уравнений для нескольких тел применительно к процессу рождения дейтрона при трёхчастичном столкновении.

Вторая конференция, посвящённая применению метода Каданова-Бейма, состоялась в 2002-м году в Дрездене (Германия). Труды конференции были изданы в 2003-м году. Число секций сократилось до пяти, но ядерная физика была представлена на четвёртой секции шестью работами, посвящёнными применению неравновесных функций Грина для рассмотрения кинетических явлений в ядерной материи, рождения частиц и кварк-глюонной плазмы. Здесь можно особо отметить работу [47], посвящённую дальнейшему математическому развитию формализма Каданова-Бейма, в которой была доказана возможность перенормировки самосогласованного суммирования диаграмм при произвольной температуре. Далее, в работе [48] рассматривалась связь между нейтрон-протонной сверхтекучестью и бозе-эйнштейновской конденсацией дейтронов в ядерной материи.

Как отмечается в Заключении к "Трудам конференции" 2002-го года, представленные на ней работы свидетельствовали о широком непрекращающемся интересе к теории неравновесных функций Грина и о всё более расширяющейся «географии» областей применения этого метода, в частности, к различным задачам ядерной физики и физики высоких энергий. Третью и последующие конференции планировалось провести в Шотландии, Нью-Йорке и других местах и издавать труды конференций в журнале "Journal of Physics: Conference Series" (Institute of Physics Publishing Ltd). В результате продолжился поток исследовательских публикаций, посвящённых как теоретическому развитию обсуждаемых методов, так и анализу конкретных явлений и сопоставлению различных методов их расчёта. Так, в работе [49], представленной на третьей конференции, проводилось подробное сравнение различных выполненных за многие годы расчётов энергии связи в ядерной материи на основе метода квазичастиц, с расчётами, выполненными с помощью метода квантовых функций Грина в рамках известных к тому времени результатов относительно спектральных функций, и намечались пути дальнейших исследований.

Как видно из приведённого краткого обзора, использование наиболее совершенных методов современной квантовой статистической механики позволяет рассматривать теоретически и в ряде случаев проводить исчерпывающие численные расчёты таких физических свойств ядерной материи, которые оставались недоступными при использовании других методов. Особенно показательна здесь возможность адекватного теоретического рассмотрения неравновесных явлений, остававшихся за пределами возможностей старых классических методов.

Ситуацию в этом вопросе можно наглядно проиллюстрировать мнением Г. Кёхлера, посвятившего теоретическим исследованиями, в частности, конкретным расчётам в области ядерной физики, боле пятидесяти лет [23, 27, 38-40, 42-45, 49]. Он начинал свою исследовательскую деятельность, основываясь на теории Бракнера и внёс существенный вклад в развитие и использование этой теории, но постепенно убеждался в неоспоримых преимуществах новых методов статистической физики. В своей более поздней работе [49] Г. Кёлер пишет: "In summary it can be conclusively stated that self consistent spectral functions should (and perhaps equally important now can) be included in any serious consideration of nuclear properties being it in ground state, excited state or in a state of non-equilibrium ". (Таким образом можно быть твердо уверенным, что самосогласованные спектральные функции должны (и, возможно, одинаково важно, что теперь могут) быть использованы в любых серьёзных исследованиях ядерных свойств в основном состоянии, в возбуждённом состоянии, или в неравновесном состоянии).

Актуальность темы диссертации определяется необходимостью развития единого подхода к расчёту равновесных и кинетических свойств ядерной материи и тяжёлых атомных ядер на основе фундаментальных положений современной квантовой теории систем многих взаимодействующих частиц. Диссертация основана на подходе, основанном на последовательном использовании метода квантовых функций Грина, представляющего собой один из наиболее перспективных и адекватных методов теоретического исследования свойств реальных физических систем.

Научная новизна работы определяется тем, что в ней впервые:

а) показана возможность в рамках микроскопического подхода к теории ферми-жидкости определять и находить выражения для энергии квазичастиц,

а не только для вариации этой энергии, как в первоначальном подходе к формулировке этой теории на феноменологическом уровне;

б) исследован вопрос о разложении спектральной функции по степеням ширины одночастичных энергетических уровней системы взаимодействующих частиц; установлена структура такого разложения для спектральной функции и получены корректные выражения в различных приближениях;

в) проведено сопоставление результатов расчётов энергии связи на нуклон в ядерной материи, выполненных на основе теории Бракнера и на основе метода квантовых функций Грина; установлено численное соответствие этих расчётов при использовании корректного приближения для спектральной функции, учитывающего в линейном приближении ширину одночастичных энергетических уровней;

г) исследован вопрос о применимости кинетического уравнения теории нормальной ферми-жидкости Ландау-Силина для исследования спектра коллективных возбуждений ядерной материи при учёте конечной ширины одночастичных энергетических уровней;

д) обоснована на качественном уровне возможность использования адиабатического приближения Борна-Оппенгеймера для описания спектров колебаний и вращений атомных ядер, несмотря на малое различие масс входящих в состав ядра протонов и нейтронов. Показано, что экспериментально наблюдаемая картина спектра коллективных возбуждений может получить правильное объяснение при учете когерентной суперпозиции одночастичного и коллективного движения нуклонов в ядре.

Достоверность научных результатов работы в рамках выбранной физической модели нуклон-нуклонного взаимодействия в атомном ядре и ядерной материи определяется тем, что проводимое рассмотрение основано на использовании одного из самых совершенных методов современной теории систем многих частиц - метода квантовых функций Грина, а проводимые математические выкладки являются корректными и обоснованными. Правильность полученных результатов обеспечивается проведением независимых контрольных расчётов и сравнением с результатами, полученными ранее другими методами, в случаях, когда такое сравнение возможно.

Объектом исследования являются равновесные и неравновесные свойства ядерной материи и тяжёлых атомных ядер.

Предметом исследования являются:

1. определение квазичастиц и их энергии в ядерной материи при микроскопическом подходе к теории, основанном на использовании метода квантовых функций Грина;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Даниленко Валерия Александровна, 2016 год

Список литературы

1. Я.И. Френкель. Собрание избранных трудов, т. 2. Научные статьи. Из-во АН СССР, М-Л.,1958.

2. V. Weisskopf, Phys. Rev., v. 52, 295 (1937).

3. H.A. Bethe, Rev. Mod. Phys., v. 8, 2; v. 9, 2 (1937).

4. J. Rainwater, Phys. Rev., v.79, 432 (1950).

5. A. Bohr. Rotational states of atomic nuclei. Kobenhavn, 1954. Русский перевод в Сб. «Проблемы современной физики», № 1, 1956.

6. D.L. Hill and J.A. Weeler, Phys. Rev., v. 89, 1102 (1954).

7. Я.И. Френкель. Статистическая физика. Из-во АН СССР, М-Л., 1948.

8. Э. Ферми. Ядерная физика. ИЛ, М.,1951.

9. А. Ахиезер, И. Померанчук. Некоторые вопросы теории ядра. ГИТТЛ, М.,1954.

10. Л.Д. Ландау, Я.А. Смородинский. Лекции по теории ядра. ГИТТЛ, М.,1956.

11. K.A. Brueckner, C.A. Levinson, and H.M. Mahmoud, Phys. Rev., v.95, 217 (1954).

12. K.A. Brueckner and C.A. Levinson, Phys. Rev.,v. 97, 1344 (1955).

13. K.A. Brueckner, Phys. Rev., v. 97, 1353 (1955).

14. J. Goldstone, Proc. Roy. Soc., v. A239, 267 (1957).

15. N.M. Hugenholtz, Physika, v.23, 481 (1957).

16. B.D. Day, Rev. Mod. Phys., v. 39, 719 (1967).

17. О. Бор, Б. Моттельсон. Структура атомного ядра. Т. 1. ИЛ, М., 1971.

18. C.W. Wong and T. Sawada, Ann. Phys., v. 72, 107 (1972).

19. Г. Бете. Теория ядерной материи. Пер. с англ., «Мир», М., 1974.

20. Дж. Браун. Единая теория ядерных моделей и сил. Атомиздат, М., 1970.

21.Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков. Теория тяготения и эволюция звёзд. «Наука», М., 1971.

22. K.A. Brueckner, J.L. Gammel, and H. Weitzner, Phys. Rev., v.110, 431 (1958).

23. H.S. Kohler, Phys. Rev., v. B137, 1145 (1965).

24. J. Nemeth, Nucl. Phys.,v. A156, 183 (1970).

25. K.T.R. Davies, R.J. Mc Carthy, Phys. Rev., v. C4, 81 (1971).

26. J.W. Negele, Phys. Rev., v. C1, 1260 (1970).

27. H.S. Kohler, Nucl. Phys., v. A162, 385 (1971).

28. H. Meldner, Phys. Rev., v. 178, 1815 (1969).

29. А.Б. Мигдал. Метод квазичастиц в теории ядра. «Наука», М., 1967.

30. P. Nozieres and D. Pines. The Theory of Quantum Liquids. Perseus Books, Cambridge, ЫА, 1966, 1990,1999.

31. Kerson Huang. Statistical Mechanics. John Wiley & Sons, N. Y., 1963, 1987, 2000, 2003, 2004.

32. L.P. Kadanoff and G. Baym. Quantum Statistical Mechanics. Benjamin, N. Y., 1962; Perseus Books, Cambridge, MA, 1989.

33. С.Б. Анохин, А.С. Кондратьев, ЖЭТФ, т. 55, 1356 (1968).

34.А.С. Кондратьев, А.Е. Кучма, ТМФ, т. 17, 241 (1973).

35. А.С. Кондратьев, А.Е. Кучма. Лекции по теории квантовых жидкостей. Из-во ЛГУ, 1989.

36. M. Arshad, A.S. Kondratyev, and I. Siddique, Phys. Rev., v. B76, 054306 (2007).

37. G.E. Brown, Rev. Mod. Phys., v. 43, 1 (1971).

38. H.S. Kohler, Nucl. Phys., v. A529, 209 (1991).

39. H.S. Kohler, Nucl. Phys., v. A537, 64 (1992).

40. H.S. Kohler, Phys. Rev., v. C46, 1687 (1992).

41. Fred de Jong and Rudi Malfliet, Phys. Rev., v. C44, 998 (1991).

42. H.S. Kohler and Rudi Malfliet, Phys. Rev., v. C48, 1034 (1993).

43. H.S. Kohler and K. Morawetz, Phys. Rev., v. C64, 024613 (2001).

44. H.S. Kohler, Phys. Rev., v. E53, 3145 (1996).

45. H.S. Kohler, N.H. Kwong, R. Binder, D. Semkat, and M. Bonitz, Proceedings of the Conference "Kadanoff-Baym Equations: Progress and Perspectives for Many-body Physics", World Scientific Publ. Co., Singapore, 464 (2000).

46. M. Beyer, C. Kuhrts, G. Ropke, and P.D. Danelewicz, ibid, 383.

47. H. van Hees and J. Knoll, Proceedings of the Conference "Progress in Nonequilibrium Green's Functions", World Scientific Publ. Co., New Jersey, 348 (2003).

48. A.A. Isaev, ibid, 375.

49. H.S. Kohler, Journal of Physics: Conference Series, v. 35, 384 (2006).

50. С.Б. Борисёнок, А.С. Кондратьев. Квантовая статистическая механика. «Физматлит», М., 2011.

51. Е.С. Titchmarsh/ Introduction to the Theory of Fourier Integrals. Clarendon, Oxford, UK, 1975.

52. M.J. Lighthill. Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1960/

53. Y.A. Brychkov and A.P. Prudnikov. Integral Transform of Generalized Functions. Gordon and Breach, New York, NY, USA, 1989.

54. А.С. Кондратьев, А.Е. Кучма. ТМФ, т. 24, 278 (1975).

55. А.К. Казанский, А.С. Кондратьев, В.М. Уздин. ЖЭТФ, т. 94, N 2, 274 (1988).

56. К.А. Гриднев, В.А. Даниленко, А.С. Кондратьев. Известия РГПУ им. А.И. Герцена. N 157, 16 (2013).

57. L. Reggiani, P Lugli, A.P. Jaouho. Phys. Rev., v. B36, 6602 (1987).

58. И.С. Градштейн и И.М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумим, рядов и произведений. «Физматлит», М., 1963.

59.И.И. Привалов. Граничные свойства аналитических функций. 2-е изд. ГИТТЛ, М.-Л., 1950.

60. А.И.Плесснер. УМН т.22, N 1, 125 (1967).

61. P. Lipavsky, V. Spieka, and B. Velicky. Phys. Rev., v. B34, 6933 (1986).

62. V. Spieka and P. Lipavsky. Phys. Rev. v., B52, 14615 (1995).

63. V.A. Danilenko, K.A. Gridnev, and A.S. Kondratyev. International Journal of Statistical Mechanics, v. 2013, ID 317491 (2013).

64. G.B. Arfken and H.J. Weber. Mathematical Methods for Physisists. Academic Press, Elsevier, 2005.

65. W. Appel. Mathematics for Physics and Physisists. Princeton University Press, Princeton and Oxford, 2007.

66. L.I. Schiff. Quantum Mechanics. Mc Graw-Hill Book Company Inc., New York-Toronto-London, 1955.

67. W.D. Kraeft, D. Kremp, W. Ebeling, and G. Ropke. Quantum Statistics of Charged Particle Systems. Springer, Berlin, Germany, 1986.

68. V. Spicka and P. Lipavsky. Phys. Rev. Lett., v. 73, 3439 (1994).

69. K. Morawetz and G. Roepke. Phys. Rev., v. E51, 4246 (1995).

70. V.A. Danilenko, K.A. Gridnev, and A.S. Kondratyev. Applied Mathematical Sciences, v. 8, no. 107, 5337 (2014).

71. W. Nazarewicz. The Nuclear Collective Motion. In: An Advanced Course in Modern Nuclear Physics. Vol.581 of the series "Lecture Notes in Physics". Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2001. p.102 - 140

72. G. Baym and C. Pethick. Landau Fermi - Liquid Theory. Concepts and Applications. G. Wiley& Sons, Inc., 1991; Wiley - VCH Verlag GmbH & Co., Weinheim, 2004.

73. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Т. IV.

74. L.N. Savushkin. Relativistic Nuclear Shell Model. Publ. Dep. of B.P.

Konstantinov St. Petersburg Nuclear Physics Institute, St. Petersburg, 2011.

75. J. Dabrowski and P. Haensel. Ann. Phys. (N.Y.), 97, 452 (1976).

76. B.L. Friman and A.K. Dhar. Phys. Lett., 85B, 1 (1979).

77. J. Speth, E. Werner, and W. Wild. Phys. Rev., C33, 127 (1977).

78. C.J. Pethick and D.G. Ravenhall. Ann. Phys. (N.Y.), 183, 131 (1988).

79. G. Brown, W. Weise, J. Speth, and G. Baym. Comments Part. Nucl.

Phys., 17, 39 (1987).

80. G. Baym and S.A. Chin. Nucl. Phys., A262, 527 (1976).

81. C.J. Pethick, G. Baym, and Monien. Nucl. Phys., A498, 313 (1989).

82. A. Bohr and B.R. Mottelson. Nuclear Structure. Vol. II. Benjamin, N.Y., 1975.

83. P. Ring and P. Schuck. The Nuclear Many - Body Problem. SpringerVerlag, Berlin, 1980.

84. A. Bohr. Phys. Rev., 81, 134 (1951).

85. D. Pansegrau, P. Reiter, D. Schwalm, H. Bauer, J. Eberth, D. Gassmann, D. Yabs, T. Hartlein, F. Kock, and H.G. Thomas. Phys. Lett., 484B, 1 (2000).

86. R. Machleidt. Adv. Nucl. Phys., 19, 189 (1989).

87. R. Machleidt. Phys. Rev., C63, 024001 (2001).

88.А.С. Кондратьев, А.Е. Кучма, Р.П. Мейланов, М.Б. Эмиров. ФММ, т. 42, вып. 5, 908 (1976).

89. Дж. Блатт, В. Вайскопф. Теоретическая ядерная физика. ИЛ, М., 1954.

90. А.С. Кондратьев. Препринт 77/1 ИФМ АН ССР (1977).

91. R.W.Robinett. Quantum Mechanics. Oxford University Press, N.Y., 1997.

92. E. Betak, P.E. Hodgson. Rep. Prog. Phys., 61, 483 (1998).

93. R.R. Chasman, J.W. Durso. Nuclear Physics, A255, 45 (1975).