Совместные распределения обобщенных интегрируемых возрастающих процессов и их обобщенных компенсаторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Борзых Дмитрий Алесандрович

• Борзых Дмитрий Алесандрович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Борзых Дмитрий Алесандрович

1.1 Постановка задачи

1.2 Основные результаты

1.3 Доказательства основных результатов

1.4 Вспомогательные утверждения

1.5 Конструктивная характеризация класса К

1.6 Пример применения теоремы 1,3

2 О плотности подмножества дискретных распределений

2.1 Постановка задачи

2.2 Основной результат

2.3 Доказательства свойств (у) (\ч) и утверждений 2,1 и 2,2

2.4 Вспомогательные леммы

3 Об одном свойстве совместного терминального распределения

72

3.1 Постановка задачи

3.2 Вспомогательная конструкция

3.3 Доказательство теоремы 3,1

3.4 Вспомогательные утверждения

Заключение

Литература

Основные обозначения и понятия

:= — положим по определению Е+ := [0;

I 1 при х € Л,

1 а(х) := ч — индикатор множества Л в точке х, который также

I 0 пр и х € Л

иногда будем обозначать 1{х € Л}

5а(Б) := 1 в (а) — мера Дирака, еоередоточенная в точке а марковское ядро (переходное ядро, переходная вероятность), см, стр. 5 Ш — класс распределений, см, стр. 9 ф — калибровочная функция, см, стр. 7 С? (Б) — класс непрерывных тестовых функций, см, стр

(Б) — множество борелевеких вероятностных мер, см, стр

ф

ф — калибровочная функция, см, стр

С?(Б х Б) — класс непрерывных тестовых функций, см, стр

(Б х Б) — множество борелевеких вероятностных мер, см, стр. 8 ф-слабая топология, см, стр. 8 теорема Штрассена, см, стр. 8 интегрируемый возрастающий процесс, см, стр. 9 компенсатор, см, стр

обобщенный интегрируемый возрастающий процесс, см, стр. 10 обобщенный компенсатор, см, стр. 10 Л — класс распределений, см, стр. 10 К — класс тестовых функций, см, стр. 15,

— класс распределений, см, стр. 17 Ш8;тр — класс распределений, см, стр

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Совместные распределения обобщенных интегрируемых возрастающих процессов и их обобщенных компенсаторов»

Введение

Диссертация выполнена в международной лаборатории стохастического анализа и его приложений Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ),

Актуальность темы. Важное направление стохастического анализа состоит в поиске множества совместных распределений случайных процессов и их компонент. Центральными объектами данной диссертации являются возрастающие процессы и их компенсаторы. Основная задача, которую мы решаем, связана с характеризацией множества совместных распределений, которые принимают возрастающий процесс и его компенсатор в два последовательных момента времени. Поскольку аналогичные вопросы рассматривались в отдельности для возрастающих процессов и для мартингалов (мартингалом будет разность возрастающего процесса и его компенсатора), рассмотрим кратко предысторию решения этих задач, в которой существенную роль играют интегральные порядки.

По-видимому, одной из первых работ, в которой возникли идеи стохастического упорядочения является первое издание книги Харди, Литлвуда и Пойа «Неравенства», 1934 г, (см, [29]), Их идея мажорирования векторов в пространстве Кп не была сформулирована на языке стохастических порядков, но может быть естественным образом переформулирована на этом языке посредством интерпретации вектора х = (х1,..., хп) как дискретной вероятностной меры Е?=1 п } на числовой прямой, сосредоточены ой в точках XI,... ,хп и имеющей массу 1/п в каждой из этих точек, В параграфе 2,18 этой книги Харди, Литлвуд и Пойа па множестве неотрицательных п-мерпых вещественных векторов вводят следующее отношение порядка. Говорят, что вектор х = (х1,..., хп) мажорируется вектором у = (у1,..., уп), если х^) < ^к=1 у^) для всех

к = 1,..., п и ЕП=1 х^) = ^2 П=1 У(.зЬ гДе (х(1),..., х(п)) означает переупорядочен-

ный по убыванию компонент вектор x, В параграфе 3,17 той же книги Харди, Литлвуда и Пойа получили любопытную характеризацию данного отношения порядка (ем, утверждание 108), Там утверждается, что следующие утверждения эквивалентны:

(i) вектор x мажорируется вектором у,

(ii) найдется такая дважды стохастическая матрица П, что x = Пу (здесь

xy

(iii) Ylj¡= i f (xj) — f (y?) Для всякой выпуклой функции f: R ^ R,

Подробнее с теорией мажоризации и историей развития этого направления можно ознакомиться по классической книге Маршалла и Олкина [9].

Теперь перейдем к более современным исследованиям в этом направлении. Напомним некоторые определения.

Пусть x = (x1,...,xd) и у = (у1,..., yd) — векторы го проетр анетва Rd. В пространстве Rd введем отношение частичное о порядка ^ стандартным образом, Скажем, что x ^ у, если xi — yi для всex i = 1,... ,d. При этом функцию f: Rd ^ R назовем нестрого возрастающей, если она нестрого возрастает по отношению к частичному порядку т, е, f (x) — f (у), если x ^ у,

В дальнейшем нам неоднократно понадобится определение марковского ядра (оно же — переходное ядро или переходная, вероятность). Пусть заданы два измеримых пространства (П1,Fi) и (П2,F2), Отображение Q: х F2 ^ [0; 1] называется марковским ядром из ^ в П2, если

1) для любого ш1 g функция Q(^1; •) является вероятностной мерой на (^2, F2);

2) для любого A2 g F2 функция Q( •; A2) измерима на (П1, F1),

Более подробную информацию о марковских ядрах, в том числе теорему Фу-бини для марковских ядер, можно найти, например, в [10] (гл. III, § III,2), [35] (гл. 8, § 8.3 и гл. 14, § 14.2) или [14] (гл. 2, § 2.6).

Как уже было отмечено в начале этого параграфа, изучаемая нами задача тесно связана со стохастическими порядками. Достаточно полный обзор по этой тематике содержится в фундаментальной монографии Мюллера и Штой-яна [39]. В концентрированном виде необходимую информацию о стохастических порядках можно найти, например, в книге Фёльмера и Шида [11] (см.

гл. 2, §§ 2,4, 2,6), Здесь мы остановимся только на двух стохастических порядках, которые имеют прямое отношение к нашему исследованию, — это обычный стохастический порядок и выпуклый стохастический порядок.

Итак, пусть fa1 и fa2 _ две борелевские вероятностные меры па Rd, Говорят, что мера fa2 стохастически доминирует меру fa1 в смысле обычного стохастического порядка (usual .stochastic order), пишут fa1 fa2, если для всех ограниченных борелевеких нестрого возрастающих функций f: Rd ^ R справедливо неравенство

По -видимому, стохастический порядок впервые возник в работе Манна и Уитни в 1947 г, (см, [38]) и статье Лемана в 1955 г, (см, [36]) в задачах тестирования гипотез. Свойства стохастического порядка подробно изучались в работах [32, 33, 44, 41], Были получены различные характеризации порядка Ниже мы приведем одну из современных формулировок такой характеризации. Верна следующая теорема.

Теорема 0.1. Для, двух борелевеких вероятностных мер fa1 и fa2, заданных на, Rd, следующие условия эквивалентны:

(i) fa1 ^t fa2/

(ii) существует вероятностное пространство (П, F, P) и такие случайные векторы Xi: П ^ Rd, i = 1, 2, что Law(Xj) = fai; i = 1, 2, и X1 ^ X2 P-n. h.;

(iii) существует такое марковскоe ядро Q(x; B), где x E Rd и B E B(Rd), что fa(B) = JRd Q(x; B) fa1(dx) для, всex B E B(Rd) w Q(x; {y: x ^ y}) = 1 для, любого x E Rd.

Современное доказательство этой теоремы можно найти, например, в книге Фёльмера и Шида [11] (см, гл. 2, § 2,6, теорема 2,95),

Теперь перейдем к выпуклому стохастическому порядку. Пусть fa1 и fa2 —

Rd

ские ожидания, т. е, fRd ||x|| fa(dx) < ж для i = 1, 2, где ||x|| — евклидова норма вектора x, Говорят, что мера fa стохастически доминирует меру fa в смысле выпуклого порядка (convex order), пишут fa1 fa2, если неравенство (1) выполнено для всех выпуклых функций f: Rd ^ R, для которых оба интеграла в (1) имеют смысл.

(1)

По-видимому, концепция выпуклого стохастического порядка впервые возникла в статье Блэкуэлла в 1953 г, (см, [18]) в задаче сравнения статистических экспериментов. Свойства выпуклого стохастического порядка подробно изучались в работах [23, 22, 45, 40], Ниже мы приводим одну из современных формулировок теоремы, содержащую характеризацию выпуклого стохастического порядка. Имеет место следующая теорема.

Теорема 0.2. Пусть и м2 _ две борелевские вероятностные меры на Rd, имеющие конечные математические ожидания. Тогда, следующие условия эквивалентны:

(i) Mi ^ci М2,"

(ii) существует вероятностное пространство (П, F, P) и такие случайные векторы Xi: П ^ Rd, i = 1, 2, что Law(X^) = мь i =1, 2, и E[X2|X1] = X1 P-п. н.;

(iii) существует такое марковское ядро Q(x; B), gde x G Rd и B G B(Rd), что M2(B) = fRd Q(x; B) Mi(dx) для, всех B G B(Rd) и fjrd y Q(x; dy) = x для, любого x G Rd.

Современное доказательство этой теоремы можно найти, например, в книге Фёльмера и Шида [11] (см, гл. 2, § 2,6, теорема 2,93 и следствие 2,94),

Отметим, что при доказательстве теорем 0,1 и 0,2 ключевую роль имеет теорема Штраееена [45], к формулировке которой мы переходим.

Пусть S — польское пространство. Рассмотрим произвольную непрерывную функцию ф: S ^ [1; которую в дальнейшем будем называть калибровоч-

ной функцией (gauge function). Определим класс Сф(S) непрерывных тестовых функций f: S ^ R, таких, что

Vf G Сф(S) 3c G R Vx G S |f (x)| < c ■ ф^).

Обозначим через Мф (S) множество всех борелевских вероятностных мер на S, для которых fSф^) M(dx) < то, Грубейшая топология на Мф(S), в которой все отображения

Мф(S) э м ^ / f (x) f G Сф(S),

Js

непрерывны, называется ф-шабой топологией пространства Мф (S), Несложно

видеть, что множества вида

m

/ fi dv - I fi dM

' S J S

Uf (м; fi,...,fm) := П v GM'f (S):

m

i=1

< £ f ,

где ^ е Мф (Б), е > 0 т е N и /1,..., /т е Сф (Б), образуют б азу ф-слабой топологии пространства Мф(Б), Отметим, что проетранство Мф(Б) является мет-ризуемым и сепарабельным (см, [11], следствие А,44), Подробнее о пространстве Мф(Б) и его свойствах можно прочитать, например, в [11] (§А,6, стр. 442-445),

На произведении пространств Б х Б рассмотрим калибровочную функцию

Ф(Х1,Х2) := ф(Х1) + ф(Х2)

Определим соответствующее множество непрерывных тестовых функций Сф (Б х Б) и пространство вероятноет ных мер Мф (Б х Б) снабженн ое ф-слабой топологией. Справедлива следующая знаменитая теорема.

Теорема 0.3 (Штраееен). Пусть множество Л С Мф (Б х Б) выпукло и замкнуто в ф-слабой топологии, и пусть ^ и - вероятностные меры из Мф(Б). Мера Е Л с маргинальными распределениями и существует тогда, и только тогда, когда, для, любых тестовых функций /1,/2 е Сф (Б) выполнено

/ /1 (Х1) ^1(^X1)+ / /2 (Х2) ^2 (^£2) < ЙИр / (/1 (£1) + /2(Х2^ А(^Х1, ^£2) •

.7 5 .7 5 ЛеЛ ,7 5x5

Идея доказательства теоремы Штрассена состоит в использовании теоремы Хана-Банаха в форме теоремы об отделимости множеств в локально выпуклом топологическом пространстве. Однако, для применения теоремы Хана-Банаха требуется правильная предварительная топологическая постановка задачи — в этом состоит трудная часть обоснования. Доказательство теоремы Штрассена можно найти в оригинальной статье Штрассена [45] или, например, в книге Фёльмера и Шида (см, [11], гл. 2, §2,6, теорема 2,88),

Подчеркнем, что теорема Штрассена имеет центральную роль не только в обосновании теорем 0,1 и 0,2, но и при доказательстве основного утверждения нашего диссертационного исследования — теоремы 1,3,

Замечание 0.1. Отметим, что теоремы 0,1 и 0,2 могут быть переформулированы в терминах существования ^-мерного случайного процесса с определенными свойствами, В самом деле, зафиксируем два момента времени 0 < а < Ь < ж, Пусть на К заданы две борелевские вероятноетные меры ^ и Теорема 0,1 (см, пункты (1) и (11)) дает необходимые и достаточные условия на меры и для того, чтобы существовал ^-мерный случайный процесс £ е [а; Ь], имеющий нестрого возрастающие траектории, для которого Law(Xa) = и Law(Xb) = Если же борелевские меры ^ и на К имеют конечные математические ожидания, то в теореме 0,2 (см, пункты (1) и (11)) содержатся необходимые и достаточные условия па меры ^ и для того, чтобы существовал ^-мерный мартингал £ е [а; Ь], такой, что Law(Xa) = ^ и Law(Xb) =

Описанные выше две конструкции относятся к ситуации, когда все компоненты ^-мерного процесса X имеют «одну и ту же природу». Это, в какой-то мере, более простая ситуация. Более сложная ситуация возникает, когда компоненты процесса X имеют «различную природу». Например, когда одна из компонент процесса X некоторым образом строится по другой его компоненте. Примером такой ситуации является случай, когда первая компонента двумерного процесса X — это неотрицательный субмартингал класса (Д), выходящий из нуля, а вторая компонента — это его компенсатор, т, е, предсказуемый возрастающий процесс из разложения Дуба-Мейера, Такая конструкция была рассмотрена в недавней работе 2017 г, (см, [5]), Другие конструкции такого рода содержатся, например, в классической работе К, Роджерса [43] и ряде других работ [19, 26, 15, 16, 34, 46].

Перейдем теперь непосредственно к задачам нашего исследования. Пусть задан стохастический базис (П, Т, Р, (Т4)4ек+), Согласованный случайный процесс X = называется возрастающим процессом,, если все его траектории непрерывны справа, выходят из нуля и являются нестрого возрастающими функциями. Возрастающий процесс X — (Xt)tеR+ называется интегрируемым возрастающим процессом,, если Ж^^] < то. Класс всех интегрируемых возрастающих процессов обозначается через А+,

Заметим, что всякий интегрируемый возрастающий процесс X = является субмартингалом класса (Д) (см. [6], §1.46). Следовательно, для процесса X справедливо разложение Дуба-Мейера (см. [6], §3.15), согласно которому существует единственный (с точностью до неразличимости) возрастающий интегрируемый предсказуемый процесс А с А0 = 0 такой, что процесс X — А является равномерно интегрируемым мартингалом. При этом процесс А, участвующий в этом разложении, будем называть компенсатором процесса X.

В упомянутой выше работе [5] введен класс Ш вероятностных мер, определенных на (К+, В(К+)), Он включает в себя все вероятноетные меры удовлетворяющие следующим условиям:

1) /К2+ (х + у) ^(¿х, ¿у) < то,

2) /К2+ хМ^ = 2 у М^х

3) Ус > 0 /{у<с} х^х, ¿у) < /К2 (у Л с) ^(¿х, ¿у) .

Пусть Т е [0; ж] — произвольный фиксированный момент времени, В [5] показано, что мера ^принадлежит кл ассу Ш в том и только в том случае, когда на некотором стохастическом базисе существует интегрируемый возрастающий процесс (X)гек+ с компенсатором (А4)4еК+, такой, что Law(XT, Ат) =

В нашей работе мы обобщаем постановку задачи, рассмотренную в [5]. Для этого мы вводим понятие обобщенного интегрируемого возрастающего процесса и его обобщенного компенсатора. Согласованный процесс X = (Х4)4еК+ будем называть обобщенным интегрируемым возрастающим процессом,, если он представим в виде Х4 = £0 + Х4°, £ е где £0 _ ^-измеримая интегрируемая случайная величина, а X° = (Х°)^ек+ — интегрируемый возрастающий процесс в обычном смысле. По теореме Дуба-Мейера процесс X° имеет компенсатор А° = (А°)4еК+, Тогда обобщенным компенсатором обобщенного интегрируемого возрастающего процесса X назовем случайный процесс А = (А4)4еК+ вида Аг = п0 + А°, вде п0 _ произвольпая ^-измеримая интегрируемая случайная величина. Таким образом, согласно данному определению, обобщенный компенсатор обобщенного интегрируемого возрастающего процесса определен однозначно с точностью до прибавления ^-измеримой интегрируемой случайной величины. Отметим, что всякий компенсатор интегрируемого обобщенного возрастающего процесса сам является интегрируемым обобщенным возрастающим процессом.

Зафиксируем па луче [0; ж] два момента времени а и Ь, Не ограничивая общности, можно считать, что а = 1 и Ь = 2, Рассмотрим класс вероятностных мер Л , включающий в себя все совместные распределения А := Law ([Ац] , [Аь])' гДе — обобщенный интегрируемый возрастающий

процесс, а (Аг)ге[1;2] — его обобщенный компенсатор. Мы интересуемся тем, как Л

Более конкретно, в данной работе мы решаем следующие две основные задачи, Первая из них — получить необходимые и достаточные условия того, что некоторая вероятностная мера А, заданная на В(К2 х К2), принадлежит клае-

ЛЛ можно переформулировать так: требуется найти необходимые и достаточные А

возрастающий процесс имеющий обобщенный компенеатор (А4)4е[1;2],

такой, что Law ([А^] , [Аа2]) = А.

Вторая задача ставится следующим образом. Пусть на (R2, B(R2)) заданы две вероятностные меры м1 и Мъ удовлетворяющие уеловиям f (|x| + |y|) dMi < то, i = 1, 2, Требуется получить необходимые и достаточные условия на меры М1 и м2; чтобы множество Л содержало некоторую меру А, для которой м1 и М2 являлись бы маргинальными распределеннями, т.е. A(B х R2) = M1(B) и A(R2 х B) = M2(B) для любо го B G B(R2), Иными словами, требуется выделить необходимые и достаточные условия на меры м1 и М2; чтобы существовал обобщенный интегрируемый возрастающий процесс (Xt)te[1;2], имеющий обобщенный компенсатор (At)te[1;2], такой, что Law [Ац] = М1 и Law [A^] = М2-

Изучение свойств возрастающих процессов и их компенсаторов является важным направлением стохастического анализа, В частности, это связано с тем обстоятельством, что возрастающими процессами являются квадратические характеристики мартингалов и случайные замены времени. Изучение свойств возрастающих процессов и их компенсаторов имеет не только сугубо теоретический интерес, продиктованный внутренними нуждами развития стохастического анализа (см, например, [25], [30], [37], [7]). Эти объекты также нередко возникают и в прикладных направлениях, таких как финансовая математика. Так, например, в работе [27] рассматриваются квадратично интегрируемые еемимартин-галы и исследуются отношения выпуклого порядка между их квадратической и предсказуемой квадратической вариацией, т.е. между возрастающим процессом и его компенсатором. Результаты данной работы находят применение в вопросах ценообразования опционов, в которых базисным активом является реализованная дисперсия (realized variance options). Другим примером является статья [17], связанная с моделям кредитного риска, в которой рассматривается возрастающий процесс, порожденный моментом наступления дефолта компании (или государства), и его компенсатор.

Следует отметить, что постановки задач, рассматриваемые в диссертации, на данный момент имеют во многом теоретический характер, а вопросы, связанные с конкретными приложениями полученных результатов, требуют отдельного рассмотрения. По-видимому, это может стать одним из направлений наших дальнейших исследований.

Цель исследования. Основная цель исследования — изучение свойств ввеЛ

уеловий существования меры A G Л, имеющей заданные маргинальные распре-

деления ^ и

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем,

Л

Law([Xa, А«], Аь]) в моменты £ = а и £ = Ь интегрируемых возрастающих процессов (Xt)tе[a;Ь] и их компенсаторов (А4)4е[«;Ь], которые в начальный момент времени стартуют из произвольного интегрируемого начального условия X«, А«], Нами установлены выпуклость и замкнутость множества Л в ф-слабой топологии с калибровочной функцией ф линейного роста. Получены необходимые и достаточные условия того, что некоторая вероятностная мера А, заданная на В(К2 х К2), принадлежит классу мер Л

и заданных па В(К2), получены необходимые и достаточные условия того, что множество Л содержит меру А, для которой и являются маргинальными распределениями,

2, В статье [5] был введен класс Ш терминальных распределений интегрируемых возрастающих процессов и их компенсаторов. Нами показано, что распределения с конечным носителем, лежащие в образуют плотное подмножество в множестве Ш в ф-слабой топологи с калибровочной функцией линейного роста,

3, Нами доказана теорема о том, что совместное распределение произвольного локально интегрируемого возрастающего процесса и его компенсатора в терминальный момент времени можно реализовать как совместное терминальное распределение некоторого другого локально интегрируемого возрастающего процесса и его компенсатора, но при этом компенсатор уже является непрерывным.

Методы исследования. В работе применяются методы теории вероятностей, методы общей теории случайных процессов и, в частности, теории мартингалов, а также методы действительного и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть полезны в теории случайных процессов, стохастическом анализе, а также в задачах финансовой математики.

Апробация работы. Результаты, относящиеся к диссертации, излагались на следующих конференциях и научных семинарах:

1, «Пятая Международная конференция по стохастическим методам (МКСМ-5)», Москва, 2020, Доклад: «Locally integrable increasing processes with continuous compensators» («Локально интегрируемые возрастающие процессы с непрерывными компенсаторами»);

2, Международная научная конференция «Осенний коллоквиум ЛСА 2020», Москва, 2020, Доклад: «Locally integrable increasing processes with continuous compensators» («Локально интегрируемые возрастающие процессы с непрерывными компенсаторами»);

3, Международная научная конференция «Осенний коллоквиум ЛСА 2021», Москва, 2021, Доклад: «On the denseness of the subset of discrete distributions in a certain set of two-dimensional distributions» («О плотности подмножества дискретных распределений в некотором множестве двумерных распределений»);

4, Научный семинар ЦЭМИ «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании» под руководством к,ф,-м,н. В, И, Аркина, к,ф,-м,н, Т. А, Белкиной, д,ф,-м,н, Э, Л, Пре-смана. Доклад: «Совместные распределения возрастающих процессов и их компенсаторов», Москва, 2021,

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [2, 21, 20], Все статьи опубликованы в журналах, индексируемых в библиографической и реферативной базе «Scopus»:

1) работа [2] опубликована без соавторов в журнале «Теория вероятностей и ее применения» (Q3);

2) статья [21] опубликована в соавторстве с научным руководителем в журнале «Modern Stoehasties: Theory and Applications» (Q2-Q3);

3) работа [20] опубликована без соавторов в журнале «Theory of Stochastic Processes» (Q4),

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 95 страницах и состоит из оглавления, списка обозначений, введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 47 наименований.

Содержание работы.

Глава 1 содержит основные результаты диссертации. Прежде всего, это теоремы 1,1 и 1,3, В теореме 1,1 получены необходимые и достаточные условия того, что некоторая вероятностная мера А, заданная на В(К2 хК2), принадлежит

Л

Теорема 1.1. Вероятностная мера, А, определенная, на, В(К2 х К2), при-Л

следующим условиям:

[ (|*11 + М + Ы + М) А ([£] , []) < ж; для, любого В е В (К2) справедливо равенство

/ (Х2 - Х1) ■ 1{[ У1 ]еБ} А ([ £ ] , [ &2 ]) =

= / (у2 - У1) ■ 1{[51 ]еБ}А ([%], [ЗУ2]);

для, любого В е В (К2) и всех с > 0 имеет место неравенство

[ (Х2 - Х1) ■ 1{у2-у1<е} ■ 1{[ у1 ]еБ} А ([ % ] , [ ЗУ2 ]) < < / [(У2 - У1) А с] ■ 1{[У1 ]еБ} А ([ ЗУ1 ] , [ ЗУ2 ]).

Л

А

бы существовал обобщенный интегрируемый возрастающий процесс ^^¿е^], имеющий обобщенный компенсатор (Аг)ге[1;2], такой, что Law ([А^] , [Аь]) = А-Теперь перейдем к теореме 1,3, Пусть па (К2, В (К2)) заданы две вероятностные меры и удовлетворяющие уеловиям /(|я| + |у|) ^^ < ж я = 1, 2. Теорема 1,3 содержит необходимые и достаточные условия того, что множество Л содержит некоторую меру А, для которой и являются маргинальными распределениями. Для того чтобы дать точную формулировку теоремы 1,3 определим следующий класс тестовых функций.

Определение 1.1. Введем класс К полунепрерывных сверху тестовых функций : К2 ^ К, которые удовлетворяют следующим двум условиям:

1) У^ бК Зс е К Уж, у е К <^(ж, у) < с ■ -0(ж, у), где ^(ж, у) := 1 + |ж| + |у|;

2) для любых ж, у е К и любой вероятностной меры ^ е Ш имеет место

Теорема 1.3. Пусть на (R2, B(R2)) заданы, две вероятностные меры fai и fa2, удовлетворяющие условиям f (|x| + |y|) dfai < то, i =1, 2. Тогда, следующие условия эквивалентны:

(a) на, некотором, стохастическом, базисе найдется такой обобщенный интегрируемый возрастающий процесс X = (Xt)te[i;2] с обобщенным компенсатором A = (At)te[i;2], что Law = fai w Law = fa2 >

(b) существует мера Л е Л маргинальные распределения, которой есть fa и fa, т.е. Л(В х R2) = fai(B) и Л(Е2 х B) = fa2 (B) для любо го B е B(R2);

(c) f р(х, y) dfai < / p(x,y) dfa2 для, любой тестовой функции р е K,

Следует отметить, что поскольку оба процесса (Xt)te[i;2| и (At)te[i;2] из теоремы 1,3 имеют нестрого возрастающие траектории, в силу первой части замечания 0,1, класс тестовых функций K должен содержать все ограниченные борелевекие функции f: R2 ^ R, такие, что f (xi,yi) < f (x2,y2), если xi < x2 и yi < y2. Более того, учитывая, что Xt — At, t е [1; 2], является мартингалом, согласно второй части замечания 0,1, класс K содержит все функции g: R2 ^ R вида g(x,y) = h(x — y), вде h: R ^ R — выпуклая функция. Таким образом, мы приходим к тому, что класс K содержит конус C, порожденный всеми указанными выше функциями f и g, При этом, оказывается, что существует функция р (ем, пример го параграфа 1,6 главы 1), которая при надлежит классу K, но не принадлежит конусу C. Значит, класс тестовых функций K шире, тем конус C. Это замечание поясняет нетривиальность решаемой в диссертации задачи.

Несмотря на то, что определение 1,1 содержит весьма неконструктивное описание класса тестовых функций K, оно оказалось очень удобным при доказательстве теоремы 1,3, Тем не менее, пользоваться этим определением при

проверке конкретных функций на принадлежность классу К достаточно затруднительно, Поэтому хотелось бы иметь описание класса К с более легко проверяемыми характеризующими условиями. Следующая теорема дает такое описание.

Теорема 1.4. Пусть полунепрерывная сверху функция р: Е2 ^ М удовлетворяет, условию 1) из определения, класса, К. Тогда, следующие условия равносильны:

(!) функция р удовлетворяет условию 2) из определения, класса, К;

(11) для, любых точек € Е, любого действительного числа к > 0 м произвольного действительного числа Л > к выполнено неравенство р(х,у + к) - р(х,у) + р(х + + к) - р(х,у + к)

0 - к + Л '

(Ш) для, любых точек € Е, любого действительно г о числа к > 0, и произвольных х > 0 р > 0, таких, ч,то р = 1 и хр = к, выполнено неравенство

п

р(х,у) - РР(х + х,У + к)-^=1

Иными словами, в определении класса К условие 2) можно заменить на любое из условий (и) или (ш) из теоремы 1,4, Отметим, что условие (и) означает, что сумма тангенсов углов в соответствующих прямоугольных треугольниках должна быть неотрицательна, В частности, из условия (и) при Л = к следует, что функция р растет «по диагоналям», т.е. для любых € Ми любого действительного к > 0 справедливо неравенетво р(х,у) — р(х + к,у + к).

Главы 2 и 3 содержат вспомогательные утверждения, необходимые для обоснования основных результатов диссертации. Вместе с тем, следует отметить, что некоторые из этих вспомогательных утверждений имеют самостоятельную ценность.

Глава 2 содержит очень важное в техническом плане утверждение — теорему 2,1, которая необходима при доказательстве основной теоремы 1,3,

Прежде, чем привести точную формулировку теоремы 2,1 дадим некоторые определения, В множестве мер Ш выделим подмножество просты,х мер WSimp

и подмножество дискретных мер Ш^с- Скажем, что м е Ш8;тр (соответственно М е Ша;8С), если м е Ш, мер а м имеет вид

М(^ж, ¿у) = > Рз ■ 3гж ] (¿ж, ¿у),

3 —

а множество 7 — конечно (множество 7 не более чем счетно), где р3- > 0, Рз = 1 а ^ж | (¿ж, ¿у) — мера Дирака, сосредоточенная в точке ] е К2. На множестве Б = К2 зададим калибровочную функцию ф(ж, у) = 1 + |ж| + |у| и рассмотрим пространство мер Мф(К2), определение которого приведено выше перед формулировкой теоремы Штраееена, Мы установили следующий факт.

Теорема 2.1. (а) Для, любой вероятностной меры м е Ш найдется последовательность дискретных вероятностных мер С Ша;8С, которая сходится к мере м в ф-слабой топологии пространства Мф(К2), т. е. для любой тестовой функции / е Сф(К2) имеет место

/ /¿Мп ^ /¿м при п ^ то, ./к2 ./К2

(Ь) Для, любой вероятностной меры м е Ш найдется последовательность простых вероятностных мер (мп)^=1 С Ш8;тр, которая сходится к мере м в ф-слабой топологии пространства Мф(К2),

Поясним, почему теорема 2,1 не является тривиальной. Из дальнейших рассмотрений, приведенных в доказательстве теоремы 2,1, видно, что случай, когда соотношение 3) (из определения класса Ш) выполнено как равенство не для с > 0

для всех с > 0. Однако дискретизация мер из Ш, для которых в 3) имеет место равенство для всех с > 0, может вывести из класса Ш, Более того, легко видеть непосредственно, что в классе мер из Ш, для которых в 3) имеет место равенство для всех с > 0, не может быть дискретных мер за исключением меры 3(о,о)-Например, пусть V = 1. Тогда из равенства в 3) для всех с > 0 следует, что Ш

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Борзых Дмитрий Алесандрович, 2022 год

Литература

[1] Богачев В, И,, Смолянов О, Г., Действительный и функциональный анализ: университетский курс. М,-Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований (2020),

[2] Борзых Д, А. Совместные распределения обобщенных интегрируемых возрастающих процессов и их обобщенных компенсаторов. Теория вероятностей и ее применения. (2022) (в печати),

[3] Гущин А, А, О возможных соотношениях между возрастающим процессом и его компенсатором в неинтегрируемом случае, УМН 73 (5) (2018),

[4] Гущин А, А, Совместное распределение маке-непрерывного локального субмартингала и его максимума. Теория, вероятностей и ее применения. 65 (4), 693-709 (2020).

[5] Гущин A.A. Совместное распределение терминальных значений неотрицательного субмартингала и его компенсатора. Теория вероятностей и ее применения. 62 (2), 267-291 (2017).

[6] Жакод Ж., Ширяев А. Н. Предельные теорем,ы, для, случайных процессов, т. 1. М,, Физматлит (1994),

[7] Кабанов Ю. М, Липцер Р. III.. Ширяев А. Н. Слабая и сильная сходимость распределений считающих процессов. Теория, вероятностей и ее применения. 28 (2), 288-319 (1983).

[8] Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория, м,а,ртинга,л,ов. М,, Наука (1986).

[9] Маршалл А,, Олкин И, Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М., Мир (1983).

[10] Невё Ж, Математические основы теории вероятностей. М.. Мир (1969),

[11] Фёльмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время. М., МЦНМО (2008).

[12] Ширяев А. Н. Вероятность: В 2-х кн., Кн. 1., М., МЦНМО (2007).

[13] Aliprantis C.D., Border К. С. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Springer Verlag (2006).

[14] Ash E. В., Doléans-Dade С. A. Probability & Measure Theory. Academic Press (1999).

[15] Azema J., Yor M. Une solution simple au problème de Skorokhod, Séminaire des Probabilités, v. XIII (Univ. Strasbourg, Strasbourg, 1977/1978), Lecture Notes in Math. 721, Springer, Berlin, 90-115 (1979).

[16] Azema J,, Yor. M. Le problème de Skorokhod: compléments à "Une solution simple au problème de Skorokhod". Séminaire des Probabilités, v. XIII (Univ. Strasbourg, Strasbourg, 1977/1978), Lecture Notes in Math. 721, Springer, Berlin, 625-633 (1979).

[17] Bedini M.L., Buckdahn E., Engelbert H.-J. On the compensator of the default process in an information-based model. Probability, Uncertainty and Quantitative Risk. 2 (2017).

[18] Blaekwell D. Equivalent comparisons of experiments. Ann. Math. Statist. 24, 265-272 (1953).

[19] Blaekwell D,, Dubins L. E. A converse to the dominated convergence theorem. Illinois J. Math. 7, 508-514 (1963).

[20] Borzvkh D. A. On a property of joint terminal distributions of locally integrable increasing processes and their compensators. Theory of Stochastic Processes. 23(39):2, 7-20 (2018).

[21] Borzvkh D.A., Gushchin A. A. On the denseness of the subset of discrete distributions in a certain set of two-dimensional distributions. Modern Stochastics: Theory and Applications. 9 (3), (2022).

[22] Cartier P., Fell J, M, G,, Meyer P-A, Comparaison des mesures portées par un ensemble eonvexe compact. Bulletin de la Société Mathématique de France, T. 92, 435-445 (1964).

[23] Choquet G, Les cônes convexes faiblement complets dans l'analyse. In: Proc, Internat, Congr, Mathematicians (Stockholm 1962) 317-330, Inst, Mittag-Leffler 1963,

[24] Cox A, M, G,, Kinsley S, M, Discretisation and duality of optimal Skorokhod embedding problems. Stochastic Processes and their Applications. 129 (7), 2376-2405 (2019).

[25] Dellaeherie C, Un exemple de la théorie générale des processus. In: Séminaire de Probabilités, IV, Lecture Notes in Math,, vol, 124, pp. 60-70, Springer (1970),

[26] Dubins L.E., Gilat D, On the distribution of maxima of martingales, Proc. Amer. Math, Soc. 68 (3), 337-338 (1978).

[27] Griessler C., Keller-Ressel M. Convex order of discrete, continuous, and predictable quadratic variation and Applications to Options on Variance. SIAM J. Financial Math, 5, 1-19 (2014).

[28] Gushchin A. A. Single jump filtrations and local martingales. Modern Stochastics: Theory and Applications. 7 (2), 135-156 (2020).

[29] Hardy G. H., Littlewood J.E., Polva G. Inequalities. Cambridge, Cambridge University Press (1934).

[30] Jacod J. Multivariate point processes: predictable projection, Radon-Nikodym derivatives, representation of martingales. Z. Wahrseheinliehkeitstheor, Verw, Geb. 31, 235-253 (1975).

[31] Jacod J. Calcul stochastique et problèmes de martingales, Lecture Notes in Math., 714, Springer, Berlin, 1979, x+539 pp.

[32] Kamae T., Krengel U,, O'Brien G. L. Stochastic Inequalities on Partially Ordered Spaces. Ann. Probab. 5 (6), 899-912 (1977).

[33] Kellerer H. G. Duality theorems for marginal problems. Z. Wahrsch. Verw. Gehiete 67, 399-432 (1984).

[34] Kertz R. P., Rosier U, Martingales with given maxima and terminal distributions. Israel J. Math, 69 (2), 173-192 (1990).

[35] Klenke A. Probability Theory: A Comprehensive Course. Springer (2014).

[36] Lehmann E. L. Ordered Families of Distributions. Ann. Math. Statist. 26 (3), 399-419 (1955).

[37] Lenglart E,, Lépingle D,, Pratelli M. "Présentation unifiée de certaines inégalités de la théorie des martingales", Séminaire des probabilités, v, XIV (Paris, 1978/1979), Lecture Notes in Math., 784, Springer, Berlin, 1980, 26-48.

[38] Mann H. B,, Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. Ann. Math. Statist. 18, 50-60 (1947).

[39] Müller A., Stovan D. Comparison Methods for Stochastic Models and Risks. Wiley (2002).

[40] Müller A., Rüschendorf L. On the optimal stopping values induced by general dependence structures. J. Appl. Probab. 38, 672-684 (2001).

[41] Ramachandran D,, Rüschendorf L. A general duality theorem for marginal problems. Probab. Theory Related Fields 101, 311-319 (1995).

[42] Resnick S. I. Heavy-Tail Phenomena: Probabilistic and Statistical Modeling. New York, Springer (2007).

[43] Rogers L.C.G. The joint law of the maximum and terminal value of a martingale. Probab. Theory Related Fields 95 (4), 451-466 (1993).

[44] Skala H. J. The existence of probability measures with given marginals. Ann. Probab. 21, 136-142 (1993).

[45] Strassen V. The existence of probability measures with given marginals. Ann. Math, Statist. 36, 423-439 (1965).

[46] Vallois P. Sur la loi du maximum et du temps local d'une martingale continue uniformément intégrable, Proc. London Math. Soc. (3) 69 (2), 399-427 (1994).

[47] Yeh J. Martingales and Stochastic analysis. Singapore, World Scientific (1995).