Совершенствование методов расчета сжатых стержней на устойчивость при ползучести с учетом напряжений в плоскости поперечного сечения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Чепурненко Вячеслав Сергеевич

• Чепурненко Вячеслав Сергеевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Чепурненко Вячеслав Сергеевич

Введение

Глава 1. Особенности расчета сжатых стержней на устойчивость при ползучести с учетом начальных несовершенств

1.1 Задача А.С. Вольмира об устойчивости дюралюминиевого стержня при ползучести

1.2 Применение метода конечных элементов к задаче А. С. Вольмира

1.3 Моделирование ползучести с использованием закона в дифференциальной форме

1.4 Текущее состояние вопроса в области расчета на устойчивость стержней при ползучести

1.5 Выводы по главе

Глава 2. Устойчивость трёхслойных стержней при ползучести с учётом начальных несовершенств и деформаций сдвига

2.1 Вывод разрешающих уравнений

2.2 Методика расчета

2.3 Решение тестовых задач и анализ полученных результатов

2.4 Выводы по главе

Глава 3. Определение напряжённо-деформированного состояния коротких внецентренно-сжатых трубобетонных колонн методом конечных элементов путём сведения трёхмерной задачи к двумерной

3.1 Вывод разрешающий уравнений

3.2 Методика производимых вычислений

3.3 Анализ полученных результатов

3.4 Выводы по главе

Глава 4. Расчёт на устойчивость гибких трубобетонных колонн с учётом нелинейной ползучести

4.1 Составной балочный конечный элемент, учитывающий напряжения в плоскости сечения

4.2 Матрица жёсткости и вектор нагрузок составного конечного элемента

4.3 Методика решения задач

4.4 Решение тестовых задач

4.5 Моделирование работы трубобетонной колонны с учётом нелинейной ползучести

4.6 Апробация разработанной методики расчета на экспериментальных данных

4.7 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Программы расчета на ЭВМ

Приложение Б. Внедрение результатов диссертационной работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Совершенствование методов расчета сжатых стержней на устойчивость при ползучести с учетом напряжений в плоскости поперечного сечения»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Потеря устойчивости элементов конструкций при ползучести представляет собой опасное явление, поскольку она может возникать внезапно и задолго до исчерпания прочностного ресурса материала, поэтому совершенствование методов расчета на устойчивость при ползучести является важной задачей строительной механики.

Развитие науки и техники привносит в строительство элементы из новых композиционных материалов, в том числе и многослойные, для которых требуется уточненная формулировка задач устойчивости. При решении задач устойчивости композитных стержней во многих случаях необходимо учитывать касательные напряжения и вызванные ими деформации сдвига. Учёт поперечной силы в деформируемых элементах такого типа приводит к получению значений критических нагрузок более низких, чем без её учёта.

Необходимость учета напряжений в плоскости поперечного сечения также имеет место для трубобетонных конструкций, поскольку боковое обжатие бетона со стороны стальной обоймы приводит к повышению несущей способности трубобетонных колонн. Корректный учет данного фактора существующими методами требует больших вычислительных ресурсов.

Степень разработанности проблемы. Решению задач устойчивости сжатых стержней при ползучести посвящено значительное количество работ таких ученых, как А. С. Вольмир, Ю. Н. Работнов, С. А. Шестериков, А. Р. Ржаницын, В.И. Андреев, Е.С. Клименко, И. И. Кулинич, М. Ю. Козельская, Б. М. Языев и др. Большинством исследователей, как правило, принимается гипотеза о работе стержня в условиях одноосного напряженного состояния, т.е. учитываются только нормальные напряжения в направлении продольной оси стержня, а остальными компонентами тензора напряжений пренебрегают.

Цель работы: совершенствование моделей и алгоритмов расчета сжатых элементов с начальными несовершенствами на устойчивость при ползучести с учетом напряжений в плоскости поперечного сечения.

Задачи исследования:

- изучение особенностей расчета сжатых стержней на устойчивость при ползучести с учетом начальных несовершенств, сравнение результатов расчета в существующих программных МКЭ комплексах с альтернативными методами;

- получение разрешающих уравнений для расчета на устойчивость при ползучести сжатых стержней с учетом деформаций поперечного сдвига, и разработка алгоритма их решения;

- разработка алгоритма определения напряженно-деформированного состояния в поперечном сечении трубобетонных элементов при действии изгибающего момента и продольной силы в упрощенной двумерной постановке;

- разработка конечного элемента для расчета трубобетонных колонн на устойчивость при ползучести с учетом геометрической и физической нелинейности и его верификация.

Научная новизна работы:

- выполнена модификация численно-аналитического метода А.С. Вольмира для решения задач устойчивости при ползучести с учетом начальных несовершенств, позволяющая задавать произвольное число отрезков по длине стержня и высоте поперечного сечения;

- получены новые разрешающие уравнения, описывающие процесс потери устойчивости трехслойного стержня при ползучести с учетом сдвиговых деформаций среднего слоя;

- получены основные соотношения и разработан алгоритм определения напряжений в плоскости поперечного сечения трубобетонного элемента при действии изгибающего момента и продольной силы;

- построен новый составной конечный элемент для расчета трубобетонных конструкций в геометрически и физически нелинейной постановке, использование которого существенно эффективнее моделирования трубобетона в объемной постановке при той же точности результатов.

Теоретическая значимость работы:

- показана возможность введения длительной критической нагрузки для сжатых трехслойных стержней, при превышении которой будет иметь место потеря устойчивости с течением времени;

- выявлены несоответствия между результатами, получаемыми в МКЭ комплексах (на примере ПК АКБУБ) и другими альтернативными методами при определенных законах ползучести;

- установлено существенное влияние начальных несовершенств на величину предельной нагрузки для сжатых трубобетонных колонн.

Практическое значение работы:

- разработан пакет прикладных программ для анализа устойчивости при ползучести гибких трубобетонных колонн в геометрически и физически нелинейной постановке;

- показано, что расчет трубобетонных элементов с учетом нелинейной ползучести по сравнению с нормативным подходом занижения модуля упругости бетона позволяет выявить резервы несущей способности и принять более экономичные проектные решения.

Методы исследования. В основу исследования положены современные методы строительной механики и теории ползучести, включая метод конечных элементов и метод конечных разностей. Реализация численных методов выполнена автором в среде МАТЬАБ, также используются программные комплексы АКБУБ, ЛИРА для верификации результатов.

Основные положения, выносимые на защиту:

- модификация численно-аналитического метода А. С. Вольмира для расчета на устойчивость сжатых стержней при ползучести и уточненное решение его задачи об устойчивости дюралюминиевого стержня с учетом начальных несовершенств;

- модель деформирования сжатых трехслойных стержней при ползучести с учетом деформаций поперечного сдвига, алгоритм расчета и результаты численных экспериментов;

- разрешающие уравнения и алгоритм определения напряжений в плоскости поперечного сечения трубобетонного элемента при действии изгибающего момента и продольной силы;

- выражения для матрицы жесткости и вектора нагрузки нового составного конечного элемента для расчета трубобетонных конструкций с учетом геометрической и физической нелинейности;

- результаты верификации построенного конечного элемента и апробации расчетного алгоритма на экспериментальных данных.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- строгой математической постановкой задачи, проверкой выполнения граничных условий, дифференциальных и интегральных соотношений;

- сравнением результатов с решениями других авторов;

- апробацией разработанных моделей на известных экспериментальных данных;

- сравнением с результатами расчета в существующих программных комплексах.

Внедрение результатов работы. Разработанные автором программные продукты по расчету гибких трубобетонных колонн используются в практике проектирования института ООО «Севкавнипиагропром».

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на международных научно-практических конференциях ICMTMTE 2017 (г. Севастополь), TPACEE 2019 (г. Москва), «Строительство и архитектура: теория и практика развития отрасли» (г. Нальчик, 2021), национальной научно-практической конференции «Актуальные проблемы науки и техники» (г. Ростов-на-Дону, 2020).

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка использованной литературы и приложений. Изложена на 121 странице машинописного текста и содержит 40 рисунков и 2 таблицы. Основное содержание работы.

Во введении обоснована актуальность проблемы и выбор направления исследования, сформулированы цели и задачи, основные положения, приведена краткая аннотация всех глав работы.

В главе 1 отмечены важные особенности расчета сжатых стержней при ползучести с учетом начальных несовершенств численными и численно-аналитическими методами, а также в ПК ANSYS при помощи метода конечных элементов. Отражено современное состояние вопроса в области расчета и выделены нерешенные проблемы.

В главе 2 рассматриваются вопросы расчёта сжатых стержней в условиях ползучести с учётом сдвиговых деформаций, произведено сопоставление результатов решений при задании материалов упругими и вязкоупругими.

В главе 3 представлена разработанная методика сведения расчёта короткого внецентренно-сжатого трубобетонного стержня в упругой постановке к плоской задаче, что значительно снижает размерность матрицы жёсткости, используемой в расчёте, требуемое машинное время.

Глава 4 посвящена новому разработанному составному конечному элементу, позволяющему моделировать работу трубобетонных колонн с учётом геометрической и физической нелинейностей (в том числе решать задачи устойчивости при ползучести). Проведено комплексное тестирование конечного элемента с использованием написанного автором программного кода на языке MATLAB и ПК ANSYS, а также анализ эффективности нового КЭ в сопоставлении с классическими способами моделирования трубобетонных колонн в современных программных комплексах. Также выполнено сопоставление с существующими экспериментальными данными для гибких трубобетонных колонн.

В заключении приведены основные результаты и выводы по работе.

ГЛАВА 1. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ С УЧЕТОМ НАЧАЛЬНЫХ НЕСОВЕРШЕНСТВ

1.1 Задача А.С. Вольмира об устойчивости дюралюминиевого стержня при

ползучести

Одна из первых работ по устойчивости сжатых стержней при ползучести с учетом начальных несовершенств принадлежит проф. А. С. Вольмиру [1]. Им был рассмотрен шарнирно опертый по концам стержень с осью, изначально

искривленной согласно уравнению у0 = /0 бш

жх

I

0 < х < I, в плоскости

наименьшей жесткости и нагруженный силой Р (рис. 1.1).

Рис. 1.1 - Расчетная схема стержня А. С. Вольмиром было получено следующее дифференциальное уравнение относительно приращений прогибов за интервал времени At:

д2Ау Р +

дх

2

Е1

Ау =—(- Е Г А^!уйЛ), Е1 РГ

(1.1)

4е

где А^х - приращение деформации ползучести, А - площадь поперечного сечения.

Индекс «х» у деформации ползучести и нормального напряжения в настоящей главе далее будет опущен. Для решения данного уравнения функция приращения прогиба представлялась в виде ряда:

Av(x) = ^ Abj sinl—. (1.2)

i=1 1

£

Ja^*^^^ = ^Aßi sin-. (1.3)

A i=1 1

Правая часть уравнения (1.1) также раскладывалась в ряд Фурье по синусам: Е г . * , > ^ . • шх

Исследование А.С. Вольмиром проводилось на примере дюралюминиевого стержня длиной I = 21.4 см, /0 =0.01 см, прямоугольного поперечного сечения ( Ь = 2 см, И = 0.8 см), который подвергался воздействию центрально сжимающей силы Р = 500 кг при температуре 300 °С. При данной температуре для дуралюмина л л а5 кг

Е = 4 -10 —-, а закон ползучести представляется в виде: см

е* = 5 -10"12^3/, (1.4)

кг

где t измеряется в часах, с - в

см2

Критическое время, при котором происходит резкий рост прогиба, по результатам расчетов А.С. Вольмира составило 2.5 часа. Однако А. С. Вольмир использовал достаточно грубое разбиение стержня: всего на 6 частей по длине и 4 отрезка по высоте сечения. Число шагов по времени было также невелико, что могло существенно отразиться на точности результатов.

Для возможности сопоставления с результатами на основе других методов уточним данное решение, увеличив число шагов по времени, а также количество узлов по длине стержня и по высоте сечения.

Для удобства s в формулах (1.2) и (1.3) примем равным количеству узлов по длине стержня с ненулевыми прогибами и координатами xt. Тогда Aai найдем,

исходя из решения системы уравнений для конкретного момента времени. В матричной форме система записывается как: [ K ] (R) = (С), где

[ К ] =

7ХЛ

2жх

Б1П

Б1П

1

Б1П

ПХг,

Б1П

2жхп

. БЯХ^У БШ--

7ХС

2жхс

я7гхс

Б1П

Б1П

БИТ

/ / /

чТ7

{*} = (**! - А а,У;{С} = (с1 ••• с,)7,

здесь элементы с =- Е Г Ае* (хг, у, г)ydЛ. В приведенном выше выражении для ог:

р *

Ае (хг, у, г + А) = Ссг (а(хг., у, Г))3 А,

где Сог - константа из закона ползучести (1.4).

Интегралы в выражениях для с находим численно методом трапеций с

помощью встроенной функции trapz() пакета MATLAB для каждого из узлов с координатами хг. Приращения коэффициентов будут равны:

Щ =

Аа

7У Е1 Р12

-1

приращения напряжений равны:

А^ = ЕАе = Е (Ае0 - Ах у - Ае ),

1 Г *

где Ае = — I Ае dЛ - приращение осевой деформации нейтральной линии Л

. ., гУ . шх

стержня, Ах = -^Ао1 —— Бт

г =1

7 I2

I

приращение кривизны нейтральной линии.

Расчет нами проводился при числе отрезков по высоте сечения равном 50, число отрезков по длине стержня принималось равным 40. Количество шагов по времени - 1000. Полученный нами график роста прогиба во времени приведен на рис. 1.2.

Из данного графика видно, что критическое время наступает спустя 0.6 ... 0.65 ч после загружения, что заметно отличается от результата в монографии А.С. Вольмира по описанным выше причинам.

Рис. 1.2 - Результаты решения методом, предложенным проф. Вольмиром В работе Е. С. Клименко [2] задача решалась несколько иначе: не в приращениях, а в полных перемещениях. Было получено следующее разрешающее уравнение относительно прогиба:

д\ P

--V:

dx2 EI

Mo b h'2 ,

—О + - J eydy,

EI I -h/2

(1.5)

где М0 = Ру0 .

Решение уравнения (1.5) в работе [2] предлагается выполнять методом конечных разностей. Дифференциальное уравнение можно свести к системе линейных уравнений, имеющей вид:

[ A]'{V } = №

(16)

о

P 2 1

о

Здесь [A]= Ах2

EI Äx2 Äx2

о

1 P 2

Ax2 EI Ax2

где [А] - матрица размерности (п- 1)*(п-1);

п - число отрезков, на которые разбивается узлами длина стержня I; Ах - длина отрезка;

т

{V} = • • • уп_х ) - вектор-столбец прогибов;

h

т

= ••• bn_\) , элементы -

т

Pv0 (i • Äx) EI

2

Вычисления производятся пошагово с интервалами во времени Аt. В каждый момент вычисляются напряжения с использованием формулы:

Интегралы в (1.7) могут быть вычислены численно по формуле трапеций или Симпсона. На рис. 1.3 приведен полученный нами при помощи метода конечных разностей на основе уравнения (1.5) график роста прогиба при различном числе шагов по времени nt.

Как видно из рис. 1.3, при увеличении числа интервалов по времени наблюдается сходимость. При t > 0.6 ч происходит резкий рост стрелы прогиба, несущая способность стержня исчерпывается. Полученное при помощи метода конечных разностей критическое время хорошо согласуется с численно-аналитическим решением по методике, предложенной А.С. Вольмиром.

(1.7)

1 I ■

— - nt=1000 1 i

-nt=500 i 1

nt=200 1

1 1

1 I '3

J

- 1 —в— I -□

0.45 0.4 0.35 0.3 ¿0.25 ^ 0.2 0.15 0.1 0.05 0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

t[h]

Рис. 1.3 - Результаты, полученные при расчёте методом конечных разностей 1.2 Применение метода конечных элементов к задаче А. С. Вольмира

Метод конечных элементов (МКЭ) представляет практически безграничные возможности в вопросах расчета строительных конструкций. Решению задач устойчивости сжатых стержней и стержневых систем при ползучести с использованием МКЭ посвящено значительное количество работ, включая [3, 4, 5, 6, 7, 8] и др. В существующие программные комплексы, как правило, заложен ограниченный набор реологических моделей, однако использованный А.С. Вольмиром закон ползучести входит в число стандартных в некоторых продуктах.

Воспользуемся программным комплексом ANSYS для решения описанной ранее задачи методом конечных элементов. Сначала выполним расчет при помощи балочных элементов. Материал моделируется с использованием модифицированной модели временного упрочнения «Modified Time Hardening» [9]:

с -СIT

£ =

* С1аС2tc е С4/

С3 +1

Коэффициенты для рассматриваемой задачи равны:

С1 = 1.389 • 10"30-^-, С2 = 3, С3 = С4 = 0.

кг3 • с

Максимальный шаг по времени равен 7 с. Полученный в результате расчета график роста стрелы прогиба приведен на рис. 1.4.

Рис. 1.4 - Результаты, полученные при использовании элементов ВЕАМ188 Как видно на графике, критическое время, исходя из полученных результатов, ? >7000 с ~1.95 ч, в то время как значение критического времени при решении изложенными ранее методами находится в пределах 0.6 ... 0.7 ч, что примерно в 3 раза меньше полученного в АКБУБ.

Поведение стержня помимо балочных КЭ моделировалось также плоскими элементами РЬАЫЕ183 (рис. 1.5).

Рис. 1.5 - Деформированная модель (х5), состоящая из элементов PLANE183 Во избежание ошибок, выдаваемых программным комплексом, в окрестностях точки приложения силы и точки закрепления эффекты ползучести материала были отключены в связи с имеющимися там сингулярностями напряжений. Зависимость стрелы прогиба от времени изображена на рис. 1.6.

В данном случае потеря несущей способности происходит в период ? = 7100...7200 с. Эти значения также значительно превосходят полученные ранее методом конечных разностей.

Возьмем далее стержень с формой, более близкой к идеальной, = 0.001 см, что в 10 раз меньше ранее использовавшейся в расчетах величины. График роста прогиба, полученный на основе решения уравнения (1.5) методом конечных разностей, приведен на рис. 1.7. Резкий рост перемещений наблюдается в окрестности ? = 3150 с, что составляет 0.88 ч.

Для идеальных стержней без начальных несовершенств критическое время может быть определено по касательно-модульной теории [1]. В соответствии с данной теорией критическое время запишется в виде:

^ —

1 1 -а

—п—п-1

— 0.83 ч

п Екаа

здесь

а Р

а =

где а

2 г-2

п Ег

- Эйлерово напряжение;

I - минимальный радиус инерции сечения.

Рис. 1.6 - Результаты с использованием элементов PLANE183 Полученное по касательно-модульной теории значение критического времени для идеального стержня близко к решению на основе метода конечных разностей при малой величине начальной погиби, что свидетельствует в пользу МКР при сравнении с решением в АКБУБ.

2

I

х10~3

8

б

4

2

0 450 900 1350 1800 2250 2700 3150

t[s]

Рис. 1.7 - Результаты решения задачи методом конечных разностей при малых

Проведем далее сопоставление результатов, полученных в АКБУБ и МАТЬАБ без учета геометрической нелинейности, для заданных изначально исходных данных. Модифицируем соответствующим образом дифференциальное уравнение (1.5), убрав в нем член Ру, учитывающий дополнительный изгибающий момент от прогиба элемента:

В ANSYS для расчета без учета геометрической нелинейности следует в настройках анализа отключить опцию «Large deflections», при моделировании также будем использовать элементы BEAM188. Результаты отражены на рис. 1.8.

Как можно заметить, графики, полученные при вычислении методом конечных разностей и методом конечных элементов в программном комплексе ANSYS, накладываются друг на друга с небольшой погрешностью. В момент времени t = 7200 с разница между значениями стрелы прогиба, полученными двумя

способами, составляет А = 1.6464 • 10_6м, 8 = 1.1%.

начальных прогибах

(1.8)

х 10

*

у/У

U m « tri /Hi ттл1"пм/>л n-irifh лН

— -ANSYS

1

1.4

1.3

1.2

1.1

0.9 0.8 0.7 0.6

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

_Ш_

Рис. 1.8 - Результаты расчёта без учёта геометрической нелинейности

1.3 Моделирование ползучести с использованием закона в

дифференциальной форме

Отметим, что особенностью ранее рассматриваемой модели было то, что в законе ползучести присутствовали деформации ползучести и напряжения в явном виде, т.е. использовалась теория типа старения [10]. Произведем далее расчет для аналогичного стержня из материала, закон ползучести которого записывается в дифференциальной форме. В качестве материала примем сплав АК4-1Т, для которого закон деформирования в соответствии [11] с имеет вид:

дБ*

dt

Ba

а

n-1

где B и n - константы материала. При T = 200°С сплав имеет следующие характеристики: E = 0.6 -105 МПа; константы из закона ползучести принимают

ЛЛ __1-1 1

значения: n = 7, B = 3.7152-10- Па- • с- . Данный закон относится к теориям типа упрочнения [12], в ANSYS ему соответствует модель упрочнения «Strain Hardening model»:

Q

£cr Qcr 2Scr 36 T ^

соответственно коэффициенты будут равны C3 = C4 = 0.

Для сравнения также выполним расчет методом конечных разностей. Вычисления осуществляются пошагово. При малых приращениях времени, исходя из определения производной, справедливо выражение:

ds* As* 7

-«-= Ba ,

dt At

откуда:

As* = Ba7 At. (1.9)

Вычислительный процесс строится следующим образом: находится решение

без учета ползучести, в момент t = 0 с, s* = 0, далее, с использованием найденных напряжений, по формуле (1.9) вычисляются приращения деформаций ползучести. Затем можно вычислить деформации ползучести в момент времени t + At, воспользовавшись формулой:

As* = Ba1 At. (1.10)

Результаты расчета отражены на рис. 1.9.

При решении методом конечных разностей был взят шаг по времени, равный 0.6 с. Решение в ANSYS соответствует количеству подшагов, равному 400. Нетрудно заметить, что при использовании закона ползучести в дифференциальной форме результаты, полученные методом конечных разностей при помощи языка программирования MATLAB и методом конечных элементов в ANSYS отличаются лишь незначительно. Резкий рост стрелы прогиба в обоих случаях наблюдается после 1520 с.

Представленные результаты показывают, что в случае использования закона ползучести модифицированного временного упрочнения «Modified Time Hardening», критическое время, определенное в программном комплексе ANSYS, оказывается сильно завышенным по сравнению с решениями другими методами. В то же время для геометрически линейных задач и при задании закона ползучести в

дифференциальной форме расхождение незначительно. Этот факт следует принимать во внимание при проектировании элементов конструкций, для которых характерна высокотемпературная ползучесть.

хЮ"3

2.5

■1.5

0.5

I |

^"Finite difference method --ANSYS И

и If il -

и h

// Л л

0

250

500

750

t[s]

1000

1250

1500

Рис. 1.9 - Сравнение результатов, полученных методом конечных разностей и

методом конечных элементов в АКБУБ

1.4 Текущее состояние вопроса в области расчета на устойчивость стержней

при ползучести

Представленные в предыдущих параграфах результаты показывают необходимость развития методов, альтернативных МКЭ, для оценки достоверности решений, полученных в программных комплексах.

Приведенное в параграфе 1.1 дифференциальное уравнение (1.5), записанное для прямоугольного поперечного сечения, в работе [13] было обобщено на случай произвольного поперечного сечения, переменной по длине жесткости и произвольного закрепления стержня:

д4v „ а2 ( V } а2 (мп + м* ^

(1.11)

где М = Е ¡8 уйА.

А

Интегрирование уравнения (1.11) возможно в случае непрерывного изменения жесткости по длине. Если же функция изменения жесткости является кусочно-непрерывной, то решения уравнения (1.11) строится отдельно для каждого непрерывного участка с удовлетворением равенства прогибов и углов поворота на стыке участков. При большом числе участков более эффективными становятся численно-аналитические методы расчета, в частности энергетический метод в форме Ритца-Тимошенко [14, 15, 16, 17] и метод Бубнова-Галеркина [18, 19].

Уравнения (1.5) и (1.11) записаны для стержня из материала с вязкоупругими свойствами, т.е. при кратковременном действии нагрузки диаграмма «напряжения-деформации» принимается линейной. Для многих материалов, включая бетон и дерево, диаграмма деформирования при кратковременном нагружении является нелинейной. Совместный учет мгновенной нелинейности деформирования и ползучести для железобетона при расчетах сжатых элементов с начальными несовершенствами был выполнен И.В. Юхновым в работах [20, 21, 22]. Для деревянных стержней данная задача была решена в работе [23]. В случае шарнирно опертого по концам стержня разрешающее уравнение в приращениях прогиба имеет вид:

Здесь величины Е1, ЕА, ЕБ представляют интегральные жесткостные характеристики поперечного сечения, учитывающие изменение касательного модуля в зависимости от деформации, а величины ДМ * и ДЫ* определяют вклад деформаций ползучести в процесс выпучивания стержня.

Аналогичное по структуре уравнение было получено в работах [24, 25] для расчета железобетонных колонн с локальным предварительным напряжением арматуры на стадии работы под нагрузкой.

(1.12)

Во всех перечисленных выше публикациях принимается гипотеза о работе стержня в условиях одноосного напряженного состояния, т.е. учитываются только нормальные напряжения в направлении продольной оси стержня.

При решении задач устойчивости стержней во многих случаях необходимо учитывать касательные напряжения и вызванные ими деформации сдвига: например, при рассмотрении элементов, выполненных из анизотропных волокнистых материалов с модулем сдвига значительно меньшем модуля упругости или при расчёте трёхслойных стержней, состоящих из двух тонких металлических обшивок и лёгкого, значительно менее жёсткого заполнителя. Учёт поперечной силы в деформируемых элементах такого типа приводит к получению значений критических нагрузок более низких, чем без её учёта. В работе [26] приводится формула, полученная аналитически, для вычисления критической силы, действующей на центрально-сжатый трёхслойный стержень. В силу того, что в большинстве трехслойных конструкций с легким заполнителем в качестве среднего слоя выступает пенополиуретан, а полимерный заполнитель подвержен ползучести, фактические значения нагрузок, приводящих к потере устойчивости, будут ниже полученных в книге [26]. На решение проблемы расчета сжатых стержней на устойчивость при ползучести с учетом касательных напряжений и деформаций поперечного сдвига будет направлена глава 2 настоящей диссертации.

Необходимость учета напряжений в плоскости поперечного сечения также имеет место для трубобетонных конструкций, поскольку боковое обжатие бетона со стороны стальной обоймы приводит к повышению несущей способности трубобетонных колонн [27]. Численное моделирование работы трубобетонных колонн в существующих программных конечно-элементных комплексах требует значительных вычислительных мощностей, машинного времени. Корректный учёт влияния обоймы на напряжённо-деформированное состояние бетонного ядра возможен только при использовании объёмных конечных элементов для бетона и оболочечных для стали [28, 29]. Главы 3,4 настоящей диссертации будут посвящены решению задачи уменьшения требуемых вычислительных мощностей в расчетах трубобетонных конструкций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чепурненко Вячеслав Сергеевич, 2023 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир // М.: Физматлит, 1967. - 984 с. .

2. Клименко, Е. С. Устойчивость сжатых неоднородных стержней с учётом физической нелинейности материала : дисс. ... канд. техн. наук: 05.23.17 / Клименко Е. С. - Ростов-на-Дону: РГСУ, 2011. - 112 с. .

3. Козельская, М.Ю. Расчёт на устойчивость сжатых полимерных стержней с учётом температурных воздействий и высокоэластических деформаций / М. Ю. Козельская, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Научно-технический вестник Поволжья. — 2013. — №4. — С. 190-194.

4. Козельская, М.Ю. Расчет на устойчивость сжатых полимерных стержней с учетом физической нелинейности методом конечных элементов / М. Ю. Козельская, А. С. Чепурненко, С.Б. Языев // Интернет-журнал Науковедение. — 2013. — № 3 (16). .

5. Чепурненко, А.С. Устойчивость дюралюминиевой арки при высокотемпературной ползучести / А. С. Чепурненко, И. В. Юхнов, А. А. Аваков, Н. И. Никора // Научное обозрение. — 2014. — №10-2. — С. 406-410.

6. Аваков, А.А. Расчёт железобетонной арки с учётом ползучести бетона / А. А. Аваков, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Инженерный вестник Дона. — 2015.

— №1. — URL: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2795.

7. Маилян, Л.Р. Устойчивость железобетонной арки при ползучести / Л. Р. Маилян, Б. М. Языев, А. С. Чепурненко, А. А. Аваков // Инженерный вестник Дона.

— 2015. — №4. — URL: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2015/3378.

8. Языев, С.Б. Расчет на устойчивость деревянных арок с учетом нелинейной ползучести / С. Б. Языев, В. И. Андреев, А. С. Чепурненко // Advanced Engineering Research. - 2021. - Т. 21. - №2. - С. 114-122.

9. Madenci, E. The Finite Element Method and Applications in Engineering Using ANSYS / E. Madenci, I. Guven. - London: Springer International Publishing, 2015. -657 p.

10. Безухов, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н. И. Безухов. - М.: Высшая школа, 1968. - 512 с.

11. Клопотов, И. Д. Методика приближенного расчета чистого изгиба симметричной балки с учетом необратимых деформаций / И. Д. Клопотов, С. Ю. Низовских // Прикладная механика и техническая физика. - 2002. - Т. 43. - № 6(256). - С. 166-169.

12. Радченко, В. П. Ползучесть и релаксация напряжений в упрочненных конструкциях / В. П. Радченко, М. Н. Саушкин. М.: Машиностроение, 2005. - 227 с.

13. Никора, Н. И. Продольный изгиб стержней переменной жесткости с учетом деформаций ползучести и температурных воздействий: дисс. ... канд. техн. наук: 05.23.17 / Н. И. Никора.- Махачкала, 2016. - 120 с.

14. Чепурненко, А.С. Энергетический метод при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести / А. С. Чепурненко, В. И. Андреев, Б. М. Языев // Вестник МГСУ. — 2013. — №1. — С. 101-108.

15. Andreev, V.I. Energy method in the calculation stability of compressed polymer rods considering creep / V. I. Andreev, A. S. Chepurnenko, B. M. Yazyev // Advanced Materials Research. — 2014. — Т. 1004-1005. — С. 257-260.

16. Ларионов, Е. А. Энергетический метод оценки устойчивости сжатых железобетонных элементов / Е. А. Ларионов, В. И. Римшин, Н. Т. Василькова //Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2012. - №. 2. - С. 77-81.

17. Yazyev, S. et al. Energy method in solving the problems of stability for a viscoelastic polymer rods //MATEC Web of Conferences. - EDP Sciences, 2017. - Т. 129. - С. 05010.

18. Козельская, М.Ю. Применение метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести / М. Ю. Козельская, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Инженерный вестник Дона. — 2013. — №2. — URL: http: /ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714.

19. Yazyev, B. M. et al. The Definition of a Critical Deflection of Compressed Rods with the Creep by the Method of Bubnov-Galerkin // Materials Science Forum. -Trans Tech Publications Ltd, 2018. - Т. 931. - С. 127-132.

20. Чепурненко, А.С. Расчет внецентренно сжатого железобетонного стержня на ползучесть при различных законах деформирования / А. С. Чепурненко, И. В. Юхнов, Б. М. Языев, С. В. Литвинов // Научное обозрение. — 2014. — №8, ч3. — С. 935-940.

21. Юхнов, И. В. Напряженно-деформированное состояние внецентренно сжатых железобетонных колонн с учетом нелинейной ползучести бетона: дисс. ... канд. технических наук: 05.23.01, 05.23.17 / И. В. Юхнов. - Ростов-на-Дону, 2014.135 с.

22. Литвинов, С.В. Продольный изгиб гибкой железобетонной стойки при нелинейной ползучести / С. В. Литвинов, И. В. Юхнов, Б. М. Языев, А. С. Чепурненко // Современные проблемы науки и образования. — 2014. — №5.

23. Языев, С.Б. Расчет на устойчивость сжатых деревянных стержней при нелинейной ползучести / С.Б. Языев, В.С. Чепурненко, А.С. Чепурненко, Л.С. Сабитов // Строительная механика и расчет сооружений. - 2020. - №4. - С. 67-71.

24. Липович, А. А. Расчет внецентренно сжатых железобетонных колонн с локальным предварительным напряжением арматуры / А. А. Липович, А. С. Чепурненко // Вестник Евразийской науки. - 2022. - №3. - URL: https://esj.today/PDF/49SAVN322.pdf.

25. Chepurnenko, A. S. Reinforced Concrete Columns with Local Prestressing Rebars: A Calculation Theory and an Experimental Study / A.S. Chepurnenko, A. A. Lipovich, A. N. Beskopylny, B. Ch. Meskhi // Buildings. - 2022. - Vol. 12(8). - Article. 1152.

26. Алфутов, Н. А. Основы расчёта на устойчивость упругих систем / Н. А. Алфутов. - М.: Машиностроение, 1978. - 312 с.

27. Акаев, А.И. Перспективы возведения сейсмостойких зданий из трубобетонных конструкций / А.И. Акаев, М.Г. Магомедов, М.М. Пайзулаев //

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. - 2017. - Т. 44 (1). - С. 138-149. .

28. Grigoryan, M.N. et al. Determination of the ultimate load for centrally compressed concrete filled steel tubular columns based on the deformation theory of plasticity // IOP MSE. 2020. - Т. 913. - №. 2. - С. 022069. .

29. Кришан, А. Л. Прочность трубобетонных колонн квадратного сечения при осевом сжатии / А.Л. Кришан, А.С. Мельничук //Вестник Магнитогорского государственного технического университета им. Г.И. Носова. - 2012. - №. 3. - С. 51-54.

30. Amabili, M. Nonlinear mechanics of shells and plates in composite, soft and biological materials / M. Amabily. - New York: Cambridge University Press, 2018. -568 p.

31. Reddy, J.N. Energy Principles and Variational methods in Applied Mechanics. 2nd Edition / J. N. Reddy. - New York: John Wiley, 2002. - 608 p.

32. Wang, C. M. Exact solutions for buckling of structural members / C. M. Wang, C. Y. Wang, J. N. Reddy. - Florida: CRC Press LLC, 2004. - 224 p.

33. Гольдман, А. Я. Прочность конструкционных пластмасс / А. Я. Гольдман.

- Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1979. - 320 с.

34. Esfandiari, R. S. Numerical methods for engineers and scientists using MATLAB. 2nd edition / R. S. Esfandiari. - Florida, CRC Press LLC, 2017. - 417 p.

35. Языев, Б. М. Напряженно-деформированное состояние предварительно напряженного железобетонного цилиндра с учетом ползучести бетона / Б. М. Языев, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов, М. Ю. Козельская // Научное обозрение.

— 2014. — №11, ч.3. — С. 759-763.

36. Зотов, И. М. Расчет на устойчивость плоской формы изгиба балок прямоугольного сечения с учетом ползучести / И. М. Зотов, А. С. Чепурненко, С. Б. Языев // Вестник Дагестанского государственного технического университета. -2019. - Т. 46. - С. 169-176.

37. Никора, Н. И. Определение длительных критических нагрузок для сжатых полимерных стержней при нелинейной ползучести / Н. И. Никора, А. С.

Чепурненко, С. В. Литвинов // Инженерный вестник Дона. - 2015. - № 1-2(34). - С. 19.

38. Самуль, В. И. Основы теории упругости и пластичности / В. И. Самуль. -М.: Высшая школа, 1982. - 264 с.

39. Segerlind, L. J. Applied finite element analysis / L. J. Segerlind. - New York: John Wiley, 1976. - 422 p.

40. Reddy, J. N. An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. Second Edition / J. N. Reddy. - Oxford University Press. - 2015. - 688 p.

41. Гайджуров, П. П. Методы, алгоритмы и программы расчёта стержневых систем на устойчивость и колебания: учебное пособие / П. П. Гайджуров. -Новочеркасск: ЮРГТУ, 2010 - 230 с.

42. Тамразян, А. Г. Механика ползучести бетона: монография / А. Г. Тамразян, С. Г. Есаян. - Москва: МГСУ, 2012. - 524 с.

43. Юхнов, И.В. Напряженно-деформированное состояние короткого внецентренно сжатого железобетонного стержня при нелинейной ползучести / И. В. Юхнов, Б. М. Языев, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Научное обозрение. — 2014. — №8, ч.3. — С. 929-934.

44. СП 63.13330.2018. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения (с Изменением N 1). Введ. 20.06.2019 / АО "НИЦ "Строительство" -НИИЖБ им. А.А. Гвоздева, 2018. - 150 с.

45. СП 266.1325800.2016. Конструкции сталежелезобетонные. Правила проектирования. Введ. 01.07.2017 / АО "НИЦ "Строительство" - НИИЖБ им. А.А. Гвоздева, 2016. - 132 с.

46. Гениев, Г. А. Теория пластичности бетона и железобетона / Г. А. Гениев, В. Н. Киссюк, Г. А. Тюпин. - М.:Стройиздат, 1974. - 316 с.

47. Dmitriev, A. et al. Calibration and validation of the Menetrey-Willam constitutive model for concrete // Construction of Unique Buildings and Structures. -2020. - №. 3. - С. 1-22.

48. Арленинов, П. Д. Экспериментальное моделирование трехосного сжатия бетона при проведении испытаний на ползучесть / П. Д. Арленинов, С. Б. Крылов,

А. В. Донов // Гидроэнергетика. Гидротехника. Новые разработки и технологии. -2018. - С. 103-109.

49. Кришан, А. Л. Экспериментальные исследования прочности гибких трубобетонных колонн / А. Л. Кришан, М. М. Суровцов //Вестник Магнитогорского государственного технического университета им. ГИ Носова. - 2013. - №. 1 (41). -С. 90-92.

50. Карпенко, Н. И. Общие модели механики железобетона / Н. И. Карпенко //М.: Стройиздат, 1996. - 416 с.

51. Несветаев, Г. В. Бетоны: учебное пособие. - Изд. 2-е, доп. и перераб. -Ростов н/Д: Феникс, 2013. - 381 с. .

ПРИЛОЖЕНИЕ А. ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА НА ЭВМ

Расчет на устойчивость сжатых стержней численно-аналитическим методом

clc;

clear all

Р=500;%нагрузка, кгс l=21.4;%длина стержня, см

f=0.01;%начальное отклонение в середине пролёта, см

Е=4*10л5; w=2; h=0.8; I=w*hA3/12;%w - ширина сечения, h - высота

A1=w*h;%площадь сечения

ir=(I/A1)A0.5;%радиус инерции

lambda=l/ir; %гибкость

sigmaE=piA2*E/lambdaA2;%Эйлерово напряжение nlen=4 0;%число делений по длине стержня a=zeros(1,nlen-1); a(1)=f;

b=zeros(1,nlen-1); dx=l/nlen;

v0(:)=a(1)*sin(pi*(0:dx:l)/l);%начальная погибь crconst=5*10A(-12);%константа из закона ползучести nh=50;%число делений по высоте сечения dy=h/nh;

tmax=0.6;%конечное время расчёта nt=2 000;%число делений по времени dt=tmax/nt; time=0;

Y=[h/2:-dy:-h/2]'; X=[0:dx:l];%координаты X,Y sigma=zeros(nh+1,nlen+1);

epsiloncr=zeros(nh+1,nlen+1);%деформации ползучести depsilonfull=zeros(nh+1,nlen+1);%приращения полных деформаций epsiloncr1=zeros(nh+1,nlen+1);

depsilon0=zeros(1,nlen+1);%приращение осевой деформации оси стержня

dksi=zeros(1,nlen+1);%приращение кривизны оси стержн

db=zeros(nlen-1,1);

integral=zeros(1,nlen+1);

PE=zeros(nlen-1,1);%Эйлеровы силы

for ii=1:nlen-1

PE(ii)=iiA2*piA2*E*I/lA2;

end

b(1)=a(1)/(PE(1)/P-1); for ii=1:nlen+1

sigma(:,ii)=-P/A1*(1-Y./irA2*sin(pi*X(ii)/l)*(a(1)+b(1)));

end

V=zeros(nt+1,nlen+1);%матрица перемещений вдоль "y" для всех

моментов времени

V(1,:)=b(1)*sin(pi*X(:)/l);

K=zeros(nlen-1);

for ii=1:nlen-1

for jj=1:nlen-1

K(ii,jj)=sin(pi*jj*(ii*dx)/l);

end

end

count=2; for t=dt:dt:tmax

epsiloncr1(:,:)=crconst*(sigma(:,:)).A3*dt;

depsiloncr=epsiloncr1; epsiloncr=epsiloncr1; for jj=1:nlen+1

depsilon0(jj)=+w*dy/A1*trapz(depsiloncr(:,jj)); integral(jj)=-E/P*w*dy*trapz(depsiloncr(:,jj).*Y);

end

C=zeros(nlen-1,1); for ii=1:nlen-1 C(ii)=integral(ii+1); end

da=K\C;

for ii=1:nlen-1

db(ii)=-da(ii)/(PE(ii)/P-1);

end

dV=zeros(1,nlen+1); for ii=1:nlen+1 delta1=0; delta2=0; for jj=1:nlen-1

delta1=delta1+db(jj)*sin(jj*pi*dx*(ii-1)/l); delta2=delta2+db(jj)*jjA2*piA2/lA2*sin(jj*pi*dx*(ii-

1)/l);

end

dV(ii)=delta1; dksi(ii)=-delta2;

end

V(count,:)=V(count-1,:)+dV;

count=count+1;

for ii=1:nh+1

depsilonfull(ii,:)=depsiloncr(ii,:)+depsilon0-dksi*Y(ii);

end

dsigma=E*depsilonfull;

sigma=sigma+dsigma;

clc

time

time=time+dt;

end Vtotal=V;

result=Vtotal(:,nlen/2);

TIME=[0:dt:tmax];

plot(TIME,result')

Определение несущей способности гибких трубобетонных колонн на основе

теории Г.А. Гениева

clc

clear variables

Db = 0.108 ; %Диаметр бетонного ядра, м Lc = 2.2; %Длина колонны

Ые = 8; %Число стержневых элементов по длине

Ыр = Ые+1; %Число узлов с изгибными степенями свободы

Ье = Ье/Ые; %Длина одного составного КЭ

пи_Ь0 = 0.2; %Коэффициент Пуассона бетона

№ = 55.0; %Сопротивление бетона сжатию, МПа

Rbt = 0.2 9*КЬЛ0.6; %Сопротивление бетона растяжению, МПа

ЕЬ_0 = 10 0 0*(0.05^Ь+57)/(1 + 29/(3.8 + 0.8^Ь)); %Начальный модуль

упругости Бетона, МПа

С_0 = ЕЬ_0/(2*(1+пи_Ь0));%Начальный модуль сдвиговой деформации бетона, МПа

Те_деп = (Rb*Rbt/3)Л0.5; %Предельная интенсивность касательных напряжений,

Сатт_е_деп = 2*Те_деп/С_0;%Предельная интенсивность сдвиговых

деформаций при чистом сдвиге

^деп = 3*Те_деп*№ - Rbt)/(Rb*Rbt);

е_деп = Rb*Rbt/(3*Tе_genЛ2) - 1;

theta_е_gen = - 10л(-4);%Предельная объёмная деформация бетона при чистом сдвиге

д_0_деп = theta_c_gen/Gamm_c_genЛ2;%Модуль дилатации Еб = 2е5; %Модуль упругости стали, МПа

Еб_Ь = 1; %Модуль упругости стали на площадке текучести, МПа

пи_б = 0.3;%Коэффициент Пуассона стали

э1дта_Б^ = 345;%Предел текучести стали, МПа ts = 0.005;%Толщина обоймы, м hmax = 0.0 07; %размер сетки

Е = 0.4;%Нагрузка, МН (половина от фактической, половина сечения) ехе=5е-3;%Эксцентриситет, м М = Е*ехе;%Нагрузка, МН*м пЕ = 100;%Число шагов нагружений

limit_substeps = 50;%Предельное число подшагов dF = F/nF; dM = M/nF;

g=[4 2 2

0 0 0

0 0 0 Db/2 -Db/2 0

-Db/2 0 Db/2

0 0 0

1 1 1

0 0 0

0 0 0

Db/2 0 0

Db/2 0 0

0 0 0];

[p,e,t]=initmesh(g,'Hmax',hmax); np=size(p,2);%Количество узлов в сечении nt=size(t,2);%Количество элементов в сечении ne=size(e,2);%Количество ребер в сечении %Поиск узлов, закрепляемых по y из условия симметрии %Определение их количества и номеров Number_fixed = 0; for i = 1:np

if (p(1,i) <= 10A(-6))&&(p(1,i) >= -10л(-6)) Number_fixed = Number_fixed+1;

end

end

Y_fixed = zeros(Number_fixed, 1); count = 1; for i = 1:np

if (p(1,i) <= 10A(-6))&&(p(1,i) >= -10л(-6)) Y_fixed(count) = i; count = count+1;

end

end

Kconcr = zeros(2*np*Ne+3*Np);%Матрица жёсткости бетонных КЭ

Ktruss = zeros(2*np*Ne+3*Np);%Матрица жёсткости ферменных КЭ

U = zeros(2*np*Ne+3*Np,1); %Вектор перемещений

dP = zeros(2*np*Ne+3*Np,1); %Вектор приращения нагрузок

SIGMA_I = zeros(Ne,nt); %Интенсивность напряжений

SIGMA_X_0 = zeros(Ne,nt);

SIGMA_Y_0 = zeros(Ne,nt);

SIGMA_Z_0 = zeros(Ne,nt);

TAU_YZ_0 = zeros(Ne,nt);

dSIGMA_X = zeros(Ne,nt);

dSIGMA_Y = zeros(Ne,nt);

dSIGMA_Z = zeros(Ne,nt);

dTAU_YZ = zeros(Ne,nt);

GAM_INT_S = zeros(Ne,nt);

GAM_INT = zeros(Ne,nt);

GAM_INT_0 = zeros(Ne,nt);%На предыдущем шаге

DGAM_INT = zeros(Ne,nt); %Приращение

EPSPL_X=zeros(Ne,nt); %Деформации пластические

EPSPL_Y=zeros(Ne,nt);

EPSPL_Z=zeros(Ne,nt);

EPSPL_YZ=zeros(Ne,nt);

DEPSPL_X=zeros(Ne,nt);%Приращения пластических деформаций

DEPSPL_Y=zeros(Ne,nt);

DEPSPL_Z=zeros(Ne,nt);

DEPSPL_YZ=zeros(Ne,nt);

EPSPL_X_0=zeros(Ne,nt);%Деформации пластические на предыдущем шаге

EPSPL_Y_0=zeros(Ne,nt);

EPSPL_Z_0=zeros(Ne,nt);

EPSPL_YZ_0=zeros(Ne,nt);

EPS_X_0_b=zeros(Ne,nt);

EPS_Y_0_b=zeros(Ne,nt);

EPS_Z_0_b=zeros(Ne,nt);

EPS_YZ_0_b=zeros(Ne,nt);

EPS_X_b = zeros(Ne,nt);

EPS_Y_b = zeros(Ne,nt);

EPS_Z_b = zeros(Ne,nt);

EPS_YZ_b = zeros(Ne,nt);

DEPS_X_b = zeros(Ne,nt);

DEPS_Y_b = zeros(Ne,nt);

DEPS Zb = zeros(Ne,nt);

БЕРБ_УЕ_Ь = 2егоБ(Ые,п^; ЕРБ_Х_0_Б=2егоБ(Ые,пе); ЕРБ_У_0_Б=2егоБ(Ые,пе); ЕРЭ_2_0_Б=2егоБ(Ые,пе); ЕРБ_УЕ_0_Б=2егоБ(Ые,пе); ЕРБ_Х_Б = 2егоБ(Ые,пе); ЕРБ_У_Б = 2егоБ(Ые,пе); ЕРБ_2_Б = 2егоБ(Ые,пе); ЕРБ_УЕ_Б = 2егоБ(Ые,пе); БЕРБ_Х_Б = 2егоБ(Ые,пе); БЕРБ_У_Б = 2егоБ(Ые,пе); БЕРБ_Е_Б = 2егоБ(Ые,пе); БЕРБ_УЕ_Б = 2егоБ(Ые,пе);

БIGMA_T_Б = 2егоБ(Ые,пе);%Окружные напряжения в обойме (Ne составных КЭ,ne - число ребер в сечении) Б^МА_Х_Б = 2егоБ(Ые,пе);

Б^МА_1_б = 2егоБ(Ые,пе);%Эквивалентные напряжения для критерия Губера-Мизеса-Генки Б^МА_1_Б_0 = 2егоБ(Ые,пе) Б^МА_Т_Б_0 = 2егоБ(Ые,пе) БIGMA_X_Б_0 = 2егоБ(Ые,пе) W_MAX = 2егоБ(пЕ,1); БутБ х Е1 = [0 0 0 0

число

Ша предыдущем шаге

1 0 0 0 1 0 -3/ЬеЛ2 -2/Le 0 2/Ьел3 1/LeA2 0 PSI = [1 x хл2 xA3]*FI; dPSI = diff(PSI,x); dPSIdPSI = dPSI'*dPSI; d2PSI = diff(diff(PSI,x),x) Bbend = [-1/Le 0 0 1/Le 0 0

0 0

0 0

3/LeA2 -1/Le -2/LeA3 1/LeA2];

-d2PSI

];

AA=0; BB=Le;

Ksi = [-0.90618 -0.538469 0 0.538469 0.90618];

Weights = [0.236927 0.478629 0.568889 0.478629 0.236927];

BbendforGauss.Matr = zeros(2,6);

dPSIdPSIforGauss.Matr = zeros(6,6);

for mm = 1:5

xx = Ksi(mm)*(BB-AA)/2+(AA+BB)/2;

BbendforGauss(mm).Matr = double(subs(Bbend,x,xx)); dPSIdPSIforGauss(mm).Matr = double(subs(dPSIdPSI,x,xx));

end

dPSIdPSI_half = double(subs(dPSI'*dPSI,x,Le/2));^вспомогательно для определения напряжений

Bbend_half = double(subs(Bbend,x,Le/2));^вспомогательно для определения напряжений INT1 = [-1, 0, 0, 1, 0, 0

0, 0, 1, 0, 0, -1];%предварительно вычисленные интегралы по длине (Bbend*dx и dPSI'*dPSIdx)

INT2 = [0, 0, 0, 0, 0, 0

■6/

1/10 -Le/30 0

-1/10 !2*Le)/15];

6/(5*Le), 1/10, 0, -6/(5*Le),

1/10, (2*Le)/15, 0, -1/10,

0, 0, 0, 0,

;5*Le), -1/10, 0, 6/(5*Le),

1/10, -Le/30, 0, -1/10,

num_dF = иЕ;%число шагов загружения w = zeros(Np,1);

ccc = 1;%счётчик шагов нагружения for num = 1:num_dF

dU = zeros(2*np*Ne+3*Np,1);%вектор приращения перемещений eps = 1; substeps = 0; while eps>0.001 substeps = substeps+1; if substeps > limit_substeps break

end

Ucalc = U; % промежуточные итоговые перемещения в момент выполнения итераций на шаге нагружения

Kconcr = zeros(2*np*Ne+3*Np); % Ktruss = zeros(2*np*Ne+3*Np); % dP = zeros(2*np*Ne+3*Np,1); %

dUbend = zeros(6,1); %

элемента по изгибным степеням свободы Ubend_total = zeros(6,1); %

изгибным степеням свободы for nn = 1:Ne

N_mn = [nn; nn+1]; узла (n) стержня

for bb = 1:2 dUbend (3*bb-2:3*bb Ubend_total (3*bb-2 end

INT3 = zeros(2,2); INT4 = zeros(1,2); INT5 = 0;

INT6 = zeros(2,1); INT7 = zeros(6,6); Uplane_total = zeros(6,1 dUplane = zeros(6,1); for i=1:nt

ii(1)=t(1,i' =t(2,i

матрица жёсткости бетонных КЭ матрица жёсткости ферменных КЭ вектор приращения нагрузок вектор приращения перемещений

вектор перемещений элемента по

Номера 1-го узла

m)

и 2-го

= dU(3*N_mn(bb)-2:3*N_mn(bb)); 3*bb) = Ucalc(3*N mn(bb)-2:3*N mn(bb)

; %номер первого узла ; %номер второго узла ; %номер третьего узла

ii(2)=t ii(3)=t(3,i yi=p(1,ii(1

zi=p(2,ii yj=p(1,ii(2 zj=p(2,ii(2 yk=p(1,ii(3 zk=p(2,ii(3

zm = (zi+zj+zk)/3;%координата z центра субэлемента bi=zj-zk;

1)

bj=zk-zi; bk=zi-zj; ci=yk-yj; cj=yi-yk; ck=yj-yi;

A=0.5*det([1 yi zi 1 yj zj 1 yk zk]); Bpl=[bi 0 bj 0 bk 0 0 ci 0 cj 0 ck ci bi cj bj ck bk]/2/A; g = 1/(2*A)*[bi; ci; bj; cj; bk; ck]; sigma_i = SIGMA_I(nn,i); gam_int_s = GAM_INT_S(nn,i); gam_int = GAM_INT(nn,i); if gam_int_s == 0 Eb_sec = Eb_0; Eb_tan = Eb_0; else

if gam_int < gam_int_s

Eb_tan = Eb_0*(1-gam_int/(gam_int_s));

else

Eb_tan=0.0001*Eb_0;

end

if gam_int < 2*gam_int_s

Eb_sec = Eb_0*(1-gam_int/(2*gam_int_s));

else

Eb_sec=0.0001*Eb_0;

end end

lambda_b_sec = Eb_sec*nu_b0/((1+nu_b0)*(1-2*nu_b0));%Параметры Ламе, секущие

mu_b_sec = Eb_sec/(2*(1+nu_b0));

lambda_b_tan = Eb_tan*nu_b0/((1+nu_b0)*(1-2*nu_b0));%Параметры Ламе, касательные

mu_b_tan = Eb_tan/(2*(1+nu_b0));

Dpl_sec = [lambda_b_sec+2*mu_b_sec lambda_b_sec

0

lambda_b_sec lambda_b_sec+2*mu_b_sec

0

0 0 mu_b_sec];%Матрица упругих констант, касательная

Dpl_tan = [lambda_b_tan+2*mu_b_tan lambda_b_tan

0

lambda_b_tan lambda_b_tan+2*mu_b_tan

0

0 0 mu_b_tan]; %Матрица упругих констант, секущая

eps_x_pl = EPSPL_X(nn,i);%Пластические деформации eps_y_pl = EPSPL_Y(nn,i); eps_z_pl = EPSPL_Z(nn,i);

gamma_pl = EPSPL_YZ(nn,i);

theta_pl = eps_x_pl + eps_y_pl + eps_z_pl; deps_x_pl = DEPSPL_X(nn,i);%Приращение пластических

деформаций

deps_y_pl = DEPSPL_Y(nn,i); deps_z_pl = DEPSPL_Z(nn,i); dgamma_pl = DEPSPL_YZ(nn,i);

dtheta_pl = deps_x_pl + deps_y_pl + deps_z_pl; for hh"= 1:3

Uplane_total(2*hh-1:2*hh) = Ucalc(3*Np+2*(nn-1)*np+2*(ii(hh)-1)+1:3*Np+2*(nn-1)*np+2*(ii(hh)-1)+2);

dUplane(2*hh-1:2*hh) = dU(3*Np+2*(nn-1)*np+2*(ii(hh)-1)+1:3*Np+2*(nn-1)*np+2*(ii(hh)-1)+2); end

INT3 = INT3+(lambda_b_tan+2*mu_b_tan)*[1 zm; zm zmA2]*A; INT4 = INT4+(lambda_b_tan+2*mu_b_tan)*[1 zm]*A; INT5 =

INT5+(lambda_b_tan*theta_pl+2*mu_b_tan*eps_x_pl)*A; INT6 =

INT6+(lambda_b_tan*dtheta_pl+2*mu_b_tan*deps_x_pl)*[1; zm]*A;

INT7 = INT7+(lambda_b_tan*g'*A*Uplane_total)*INT2; K12b = INT1'*[1; zm]*lambda_b_tan*g'*A + INT2*Ubend_total*lambda_b_tan*g'*A;

K21b = Bpl'*lambda_b_tan*[1 zm;1 zm; 0 0]*A*INT1 + Bpl'*lambda_b_tan*A*[1;1;0]*Ubend_total'*INT2;

K22b = Bpl'*Dpl_tan*Bpl*A*Le;

Pplane = Bpl'*(Dpl_tan*[deps_y_pl; deps_z_pl; dgamma_pl] + lambda_b_tan*[deps_x_pl; deps_x_pl; 0])*A*Le; for jj = 1:2

for kk = 1:3

Kconcr(3*N_mn(jj)-2:3*N_mn(jj), 3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)) = ...

Kconcr(3*N_mn(jj)-2:3*N_mn(jj), 3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)) + ...

K12b(3*jj-2:3*jj, 2*kk-1:2*kk); end

end

for jj = 1:2

for kk = 1:3

Kconcr(3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk),3*N_mn(jj)-2:3*N_mn(jj)) = ...

Kconcr(3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk),3*N_mn(jj)-2:3*N_mn(jj)) + ...

K21b(2*kk-1:2*kk,3*jj-2:3*jj); end

end

for jj = 1:3

for kk = 1:3

Kconcr(3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk),3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(jj)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(jj)) =

Kconcr(3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk),3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(jj)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(jj)) +

K22b(2*kk-1:2*kk,2*jj-1:2*jj);

end

end

for kk = 1:3

dP(3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk),1) = ...

dP(3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk),1) + Pplane(2*kk-1:2*kk,1); end

end

11 = 0;

12 = 0; I3=0; I4 = 0;

for pp = 1:5

I1=I1+(BbendforGauss(pp).Matr)'*INT3*(BbendforGauss(pp).Matr)*Weight s(pp)*(BB-AA)/2;

I2=I2+(dPSIdPSIforGauss(pp).Matr*Ubend_total*INT4*BbendforGauss(pp). Matr)*Weights(pp)*(BB-AA)/2;

I3=I3+(BbendforGauss(pp).Matr)'*INT4'*Ubend_total'*dPSIdPSIforGauss( pp).Matr*Weights(pp)*(BB-AA)/2;

I4=I4+INT4*BbendforGauss(pp).Matr*Ubend_total*dPSIdPSIforGauss(pp).M atr*Weights(pp)*(BB-AA)/2; end

K11b = I1+I2+I3+I4+INT7-INT2*INT5; dPbend = INT1'*INT 6; for jj = 1:2

for kk = 1:2

Kconcr(3*N_mn(jj)-2:3*N_mn(jj),3*N_mn(kk)-2:3*N_mn(kk)) = ...

Kconcr(3*N_mn(jj)-2:3*N_mn(jj),3*N_mn(kk)-2:3*N_mn(kk)) + K11b(3*jj-2:3*jj,3*kk-2:3*kk); end

end

for jj = 1:2

dP(3*N_mn(jj)-2:3*N_mn(jj),1) = dP(3*N_mn(jj)-2:3*N_mn(jj),1) + dPbend(3*jj-2:3*jj,1); end

end

%Матрица жёсткости ферменных субэлементов for nn = 1:Ne

N_mn = [nn; nn+1];%Номера 1-го узла (m) и 2-го узла (n) стержня for bb = 1:2

dUbend (3*bb-2:3*bb) = dU(3*N_mn(bb)-2:3*N_mn(bb)); Ubend total (3*bb-2:3*bb) = Ucalc(3*N mn(bb)-2:3*N mn(bb));

end

INT3 = zeros(2,2); INT4 = zeros(1,2); Uplane_total = zeros(4,1); dUplane = zeros(4,1); INT7 = zeros(6,6); count = 0; for i=1:ne

ii=zeros(2,1);

ii(1)=e(1,i);%Номер первого узла ii(2)=e(2,i);%Номер второго узла yi=p(1,ii(1));

zi=p(2,ii(1)); yj=p(1,ii(2)); zj=p(2,ii(2));

if (yi<=10A(-6)&& yi>=-10A(-6))&&(yj<=10A(-6)&& yj>=-

10Л(-6))

continue

end

count = count+1;%счётчик числа стержневых субэлементов в

сечении

zm = (zi+zj)/2; %координата у центра субэлемента l = ((yi-yj)A2+(zi-zj)A2)A0.5; r = (yj-yi)/l; s = (zj-zi)/l;

L=zeros(2,4);%матрица направляющих косинусов

L(1,1) = r;

L(2,3) = r;

L(1,2) = s;

L(2,4) = s;

Btr = [-1/l 1/l];

for hh = 1:2

Uplane_total(2*hh-1:2*hh) = Ucalc(3*Np+2*(nn-1)*np+2*(ii(hh)-1)+1:3*Np+2*(nn-1)*np+2*(ii(hh)-1)+2);

dUplane(2*hh-1:2*hh) = dU(3*Np+2*(nn-1)*np+2*(ii(hh)-1)+1:3*Np+2*(nn-1)*np+2*(ii(hh)-1)+2); end

sigma_t_s = SIGMA_T_s(nn,i);%окружные напряжения в обойме (число составных КЭ, число ребер в сечении) sigma_x_s = SIGMA_X_s(nn,i);

sigma_i_s = SIGMA_I_s(nn,i);%эквивалентные напряжения для критерия Губера-Мизеса-Генки

if sigma_i_s < sigma_s_t

Es1_tan~=~Es/(1-nu_sA2); else

Es1_tan = Es_t/(1-nu_sA2); end

INT3 = INT3+Es1_tan*[1 zm; zm zmA2]*l*ts; INT4 = INT4+Es1_tan*[1 zm]*l*ts;

INT7 = INT7+nu_s*Es1_tan*l*ts*Btr*L*Uplane_total*INT2; K12s = INT1'*[1; zm]*nu_s*Es1_tan*l*ts*Btr*L + INT2*Ubend total*nu s*Es1 tan*l*ts*Btr*L;

K21s = L'*Btr'*nu_s*Es1_tan*[1 zm]*l*ts*INT1 + L'*Btr'*nu_s*Es1_tan*l*ts*Ubend_total'*INT2; K22s = Es1_tan*L'*Btr'*Btr*L*l*ts*Le; for jj = 1:2

for kk = 1:2

Ktruss(3*N_mn(jj)-2:3*N_mn(jj), 3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)) = ...

Ktruss(3*N_mn(jj)-2:3*N_mn(jj), 3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)) + ...

K12s(3*jj-2:3*jj, 2*kk-1:2*kk); end

end

for jj = 1:2

for kk = 1:2

Ktruss(3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk),3*N_mn(jj)-2:3*N_mn(jj)) = ...

Ktruss(3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk),3*N_mn(jj)-2:3*N_mn(jj)) + ...

K21s(2*kk-1:2*kk,3*jj-2:3*jj); end

end

for jj = 1:2

for kk = 1:2

Ktruss(3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk),3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(jj)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(jj)) =

Ktruss(3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(kk),3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(jj)-1:3*Np+2*np*(nn-1)+2*ii(jj)) +

K22s(2*kk-1:2*kk,2*jj-1:2*jj);

end

end

end

11 = 0;

12 = 0; I3=0; I4 = 0;

for pp = 1:5

I1=I1+(BbendforGauss(pp).Matr)'*INT3*(BbendforGauss(pp).Matr)*Weight s(pp)*(BB-AA)/2;