Совершенствование методов моделирования течений с химическими превращениями и их реализация на графических процессорах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Евсеев, Александр Владимирович

• Евсеев, Александр Владимирович
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Евсеев, Александр Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ.

1.1. Постановка проблемы.

1.2. Обзор существующих разработок в области исследования.

1.3. Пути решения.

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ.

2.1. Расчёт в переменных "Скорость - Давление".

2.2. Расчёт в переменных "Вихрь - Функция тока".

2.3. Интегрирование динамических уравнений.

2.4. Методы решения уравнения Пуассона.

2.5. Методы решения жёстких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.6. Выводы.

ГЛАВА 3. ОПТИМИЗАЦИЯ И РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА.

3.1. Многосеточный подход с функциями перехода на основе полиномов Лагранжа.

3.2. Создание параллельных схем с использованием MPI.

3.3. Создание параллельных схем в системе CUDA. Проблемы, пути решения.

3.4. Создание параллельной схемы для нескольких устройств CUDA.

3.5. Перспективы, проблемы и подходы к созданию параллельных схем в гетерогенной среде.

3.6. Сравнение параллельных схем.

3.7. Выводы.

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ.

4.1. Моделирование плоского течения.

4.2. Моделирование распространения воздушных масс в районе над лесным пожаром.

4.3. Моделирование задачи химической кинетики по газофазному окислению метана.

4.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Совершенствование методов моделирования течений с химическими превращениями и их реализация на графических процессорах»

Применение численных методов становится всё более и более востребованным в связи с увеличивающейся трудоёмкостью проведения натурных экспериментов и сложностью получения детальной информации о течениях и химических процессах, происходящих в них, например: при исследовании химических лазеров, моделировании процессов, происходящих при пожаре, изучении распространения загрязнений.

Использование высокопроизводительных вычислительных систем принципиально изменило возможности теоретического анализа сложных процессов. Стало доступным оперативно анализировать сложные модели с большим объёмом данных. При этом точность моделирования определяется математической моделью и точностью необходимых данных, учитывающих физические условия проведения процесса. В настоящее время в большинстве исследований перед проведением натурного эксперимента проводится его математическое моделирование для определения наиболее оптимальных параметров. Этим достигается экономия сил, средств и времени. Другой несомненный плюс от использования вычислительных экспериментов заключается в возможности проведения испытаний в критических условиях или в тех областях параметров, где нельзя провести реальные эксперименты на имеющемся оборудовании.

Моделирование течений, осложнённых химическими процессами, является сложной математической и вычислительной задачей.

В большинстве случаев уравнения Навье - Стокса, описывающие поведение течения вязкой несжимаемой жидкости, аппроксимируются различными сеточными методами. Основным требованием, предъявляемым к таким методам, является обеспечение высокой точности получаемых результатов при минимально необходимых вычислительных затратах (времени, объёме памяти).

При решении уравнений Навье - Стокса требуется многократно использовать уравнение Пуассона. Оно является вычислительно сложным и составляет основную вычислительную нагрузку.

Моделирование активно реагирующей среды требует надёжного метода решения жёстких дифференциальных уравнений. В качестве такого метода может выступать метод Гира на основе формул дифференцирования назад (ФДН). Его преимуществом по сравнению с многошаговыми методами является возможность использования стратегий с переменным шагом интегрирования и простое построение параллельной схемы.

К настоящему времени существует множество работ по моделированию как обычных течений, так и осложнённых различными физико-химическими реакциями.

Основы методов моделирования были заложены в работах С.К. Годунова, H.H. Калиткина, A.A. Самарского, Р.П. Федоренко, Г.И. Марчука, Л.Г. Лойцян-ского, H.H. Яненко, Р. Хокни, Дж. Бетчелора, Г. Биркгофа, Д. Андерсона [4; 11; 12; 27; 45; 57; 75; 76; 82; 100].

Значительный вклад в моделирование турбулентных течений внесли А.Дж. Рейнольде, В.М. Ковеня, В.А. Перминов, A.M. Гришин, С.А. Лосев, А.Е. Алоян, П.Г. Фрик, С. Патанкар [2; 3; 29; 30; 50; 54; 63; 64; 69; 70; 72; 89].

Проблемы интегрирования уравнений химической кинетики описываются в работах У. Гира, Л.С. Полака, Э. Хайрера [71; 90; 91; 115-117].

В сфере научных вычислений всё большую популярность набирают вычисления с использованием графических ускорителей. Современные видеоакселераторы представляют собой массивно-параллельные процессоры с общей памятью. В отличие от центрального процессора с несколькими ядрами, один графический процессор содержит от нескольких десятков до одной тысячи ядер, которые могут проводить вычисления параллельно. Наиболее развитой на данный момент технологией является система CUD A (Compute Unified Device Architecture), предложенная компанией NVidia в 2007 году [126].

Использование кластерных систем с системой параллельного программирования MPI (Message Passing Interface) [123] и графических ускорителей для решения описанных задач приводится в работах В.Э. Витковского, H.A. Сахарных, Дж. Коуэна (J. Cohen), Я. Джао (Y. Zhao), Т. Брандвика (Т. Brandvik) [24; 77; 106; 109-111; 131; 132; 145].

Таким образом, тема диссертации является актуальной, так как она посвящена разработке в системе CUDA быстрых параллельных алгоритмов решения сеточных уравнений (Навье - Стокса, Пуассона) и химической кинетики, получаемых при решении задач моделирования течений с протекающими в них реакциями множества веществ.

Целью работы является разработка усовершенствованных методов моделирования течений, осложнённых химическими превращениями, с использованием графических процессоров, позволяющих значительно повысить скорость вычислений, эффективно использовать ресурсы гетерогенного суперкомпьютера с несколькими графическими ускорителями, а также разработка комплекса программ для решения класса таких задач.

Поставлены следующие задачи исследования:

1. Исследовать существующие способы решения уравнений Навье -Стокса, Пуассона, химической кинетики, массообмена.

2. Разработать и реализовать общий алгоритм решения задачи расчёта течения жидкости или газа, осложнённого химическими реакциями на основе методов вычислительной гидродинамики и химической кинетики.

3. Разработать методику оптимизации вычислительного процесса, позволяющую значительно сократить затраты машинного времени и повысить точность решения данной задачи за счёт использования многосеточных методов с функциями перехода на основе интерполяционных полиномов Лагранжа.

4. Разработать стратегию распараллеливания для решения поставленной задачи с учётом предложенной методики оптимизации на гетерогенном суперкомпьютере с несколькими графическими ускорителями, позволяющую значительно уменьшить время решения задачи.

5. Использовать разработанные методы для решения ряда задач: модельное плоское ламинарное движение, расчёт поведения воздушных масс в районе над лесным пожаром, окислительные превращения метана.

Для решения поставленных задач используются методы гидродинамики, химической кинетики, решения систем жёстких дифференциальных уравнений, вычислительной математики, теории распараллеливания вычислений, теории алгоритмов, теории разностных схем.

Научная новизна:

1. Разработаны новые пар'аллельные вычислительные алгоритмы методов решения уравнений Навье - Стокса и Пуассона для системы С1ЮА.

2. Разработана новая параллельная реализация метода Гира для системы США.

3. Предложен и разработан способ интерполяции многосеточного метода на основе полиномов Лагранжа для системы С1ЮА.

4. Разработано новое алгоритмическое и программное обеспечение, позволяющее моделировать течения, осложнённые химическими превращениями, с использованием суперкомпьютера с несколькими графическими ускорителями США.

В результате исследования разработан программный комплекс, позволяющий моделировать движение среды, осложнённой химическими превращениями.

Он может работать с любым количеством графических ускорителей, имеющихся в кластерной системе, оптимальным образом распределяя объём вычислений между ними, позволяет повысить скорость и точность вычислений.

Разработанные программы могут быть использованы для быстрого решения ряда практически значимых задач. Например, моделирование распространения воздушных масс при пожарах, воздействие лазерного излучения на вещество, получение новых топлив из продуктов окисления алканов. Ценность комплекса в том, что решения можно получать оперативно, в режиме реального времени для больших объёмов данных.

Предложенные параллельные схемы и алгоритмы были внедрены в процесс выполнения комплексного проекта по созданию высокотехнологичного производства "Разработка программно-технического комплекса обнаружения и прогнозирования крупномасштабных природных пожаров" (2010-218-02-139) при поддержке Министерства образования и науки РФ (ГК № 13.G25.31.0077) сотрудниками ГОУ ВПО "Ивановский институт ГПС МЧС России".

Составные части представленного программного комплекса зарегистрированы в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам [40; 41].

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: межвузовская научно-техническая конференция аспирантов и студентов "Молодые учёные - развитию текстильной и лёгкой промышленности" (ПОИСК-2009) (Иваново, 2009); IX международная конференция "Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах" (Владимир, 2009); X международная научно-практическая конференция "Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности" (Санкт-Петербург, 2010); X международная конференция "Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах" (НРС-2010) (Пермь, 2010); V международная научно-практическая конференция "Пожарная и аварийная безопасность" (Иваново, 2010); межвузовская научно-техническая конференция аспирантов и студентов "Молодые учёные - развитию текстильной и лёгкой промышленности" (ПОИСК-2011) (Иваново, 2011); семинар "Физико-химическая кинетика в газовой динамике" НИИ механики МГУ (Москва, 6 октября 2011 года).

По теме диссертации опубликовано 14 работ, среди которых 4 публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК, 6 публикаций в трудах и материалах конференций, 2 монографии и 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка цитируемой литературы из 145 наименований. Полный объем диссертации составляет 198 страниц, включая 37 рисунков, 5 таблиц и 2 приложения. Каждая глава разбита на параграфы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Евсеев, Александр Владимирович

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Подробно исследовано уравнение Пуассона и различные методы его численного решения. Произведено сравнение методов друг с другом. Рассмотрены параллельные варианты на предмет быстроты и точности в системах MPI и CUDA. (Получено свидетельство о государственной регистрации программы.)

2. Разработаны и реализованы усовершенствованные алгоритмы решения задачи гидродинамики в переменных "Скорость - Давление" и "Вихрь -Функция тока". Предложены как двумерные, так и трёхмерные варианты.

3. Предложена методика оптимизации вычислительного процесса с использованием многосеточного подхода с функциями перехода между сетками на основе интерполяционных полиномов Лагранжа.

4. Подробно исследован метод Гира и предложена его параллельная реализация в системе CUDA, которая позволяет проводить моделирование десятков тысяч химических реакций с высокой скоростью. Достигаемое ускорение составляет более 5 раз по сравнению с традиционными системами.

5. Построен программный комплекс для решения гидродинамических задач с физико-химическими превращениями, сочетающий в себе решение уравнений Навье - Стокса, Пуассона, диффузии, химической кинетики в системе параллельного программирования CUDA. (Получено свидетельство о государственной регистрации программы.)

6. Показано применение разработанных алгоритмов для изучения течений, сопровождающихся большим количеством химических реакций. Доказана возможность применения ускоренных алгоритмов на графических ускорителях. Достигаемое ускорение по сравнению с обычными системами составляет более 20 раз. Это позволяет быстрее получать новые результаты, рассматривать больше различных вариантов, условий протекания процессов. Кроме того, становится возможным получение результатов в режиме реального времени.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Евсеев, Александр Владимирович, 2011 год

1. Алоян, А.Е. Моделирование динамики и кинетики газовых примесей и аэрозолей в атмосфере / А.Е. Алоян. М.: Наука, 2008.

2. Алоян, А.Е. Моделирование динамики аэрозолей при лесных пожарах / А.Е. Алоян // Известия РАН: Физика атмосферы и океана. 2009. - Т.45. -№ 1. - С. 62-75.

3. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен : пер. с англ., в 2-х томах. / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. М.: Мир, 1990.

4. Аргучинцев, В. К. Моделирование мезомасштабных гидротермодинамических процессов и переноса антропогенных примесей в атмосфере и гидросфере региона оз. Байкал / В.К. Аргучинцев, A.B. Аргучинцева. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2007.

5. Арутюнов, B.C., Басевич В.Я., Веденеев В.И. Романович Л.Б. // Кинетика и катализ.-М.: Наука, 1996. Т.37. - № 1.-С.20-27.

6. Арутюнов, B.C. Окислительные превращения метана / B.C. Арутюнов, О.В. Крылов. -М.: Наука, 1998.

7. Бабич, В.М. Линейные уравнения математической физики / В.М. Бабич, М.Б. Капилевич, С.Г. Михлин. М.: Наука, 1964.

8. Балаев, Э.Ф. Численные методы и параллельные вычисления для задач механики жидкости, газа и плазмы / Э.Ф.Балаев, Н.В.Нуждин, В.В.Пекунов, С.Г.Сидоров, Л.П.Чернышева, И.Ф.Ясинский, Ф.Н.Ясинский. Иваново: ИГЭУ, 2003.

9. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004.

10. Бетчелор, Дж. Введение в динамику жидкости пер. с англ. / Дж. Бетче-лор. -М.: Мир, 1973.

11. Биркгоф, Г. Гидродинамика пер. с англ. / Г. Биркгоф. М.: Издательство иностранной литературы, 1963.

12. Блохин, A.M. Об одном варианте метода прямых для уравнения Пуассона / A.M. Блохин, A.C. Ибрагимова, Н.Ю. Красников // Вычислительные технологии. Вып. №2(12)/2007. - С. 33-42.

13. Боресков, A.B. Основы работы с технологией CUDA / A.B. Боресков, A.A. Харламов. М.: ДМК Пресс, 2010.

14. Букатов, A.A. Программирование многопроцессорных вычислительных систем / A.A. Букатов, В.Н. Дацюк, А.И. Жегуло. Ростов-на-Дону: Издательство ООО "ЦВВР", 2003.

15. Василевский, Ю.В. Краткий курс по многосеточных методам и методам декомпозиции области : учеб. пособие / Ю.В. Василевский, М.А. Ольшанский. М.: МАКС ПРЕСС, 2007.

16. Василевский, Ю.В. Практикум по современным вычислительным технологиям и основам математического моделирования : учеб. пособие / Ю.В. Василевский, И.В. Капырин. М.: МАКС ПРЕСС, 2009.

17. Веденеев В.И., Гольденберг М.Я., Горбань Н.И., Тейтельбойм М.А. // Кинетика и катализ. Т.29. - № 1.-М.: Наука, 1988. - С.7-13.

18. Веденеев В.И., Гольденберг М.Я., Горбань Н.И., Тейтельбойм М.А. // Кинетика и катализ. Т.29. - № 1.-М.: Наука, 1988. - С.14-20.

19. Веденеев В.И., Гольденберг М.Я., Горбань Н.И., Тейтельбойм М.А. // Кинетика и катализ. Т.29. - № 6.-М.: Наука, 1988. - С.1291-1296.

20. Веденеев В.И., Гольденберг М.Я., Горбань Н.И., Тейтельбойм М.А. // Кинетика и катализ. Т.29. - № 6. - М.: Наука, 1988. - С.1297-1304.

21. Воеводин, В.В. Параллельные вычисления / В.В. Воеводин, Вл.В. Воеводин. -М.: БХВ-Санкт-Петербург, 2002.

22. Ворожцов, Е.В. Разностные методы решения задач механики сплошных сред : учеб. пособие / Е.В. Ворожцов. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998.

23. Годунов, С.К. Разностные схемы. Введение в теорию / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. М.: Наука, 1977. - 2-е изд.

24. Гришин, А. М. Математическое моделирование лесных пожаров и новые способы борьбы с ними / A.M. Гришин. Новосибирск: Наука, 1992.

25. Евсеев, A.B. Методы решения уравнения Пуассона / A.B. Евсеев, Ф.Н. Ясинский / ИГТА. Иваново, 2009. - 108 с.

26. Евсеев, A.B. О моделировании течения воздушных масс, осложнённых физико-химическими процессами, при большом числе реагирующих веществ с использованием графических ускорителей / A.B. Евсеев // Вестник ИГЭУ. -2011.-Вып. З.-С. 40-43.

27. Евсеев, A.B. Система моделирования распространения воздушных масс в районе над лесным пожаром "ForestFireDynamics" / A.B. Евсеев // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011616155 от 5.08.2011.

28. Евсеев, A.B. Система численного параллельного решения уравнения Пуассона в системах MPI и CUDA "ParallelPoissonSolvers" / A.B. Евсеев // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011617028 от 9.09.2011.

29. Евстигнеев, Н.М. Интегрирование уравнения Пуассона с использованием графического процессора технологии CUDA / Н.М. Евстигнеев // Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 2009. - Т. 10. -С. 268-274.

30. Елизарова, Т.Г. Математические модели и численные методы в динамике жидкости и газа. Подходы, основанные на системах квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений : лекции / Т.Г. Елизарова. -М.: Физический факультет МГУ, 2005.

31. Калиткин, H.H. Численные методы I H.H. Калиткин. М.: Наука, 1978.

32. Карпов, В.Е. Методы решения задач физико-химической гидродинамики и построение на их основе параллельных алгоритмов / В.Е. Карпов, А.И. Лобанов // Математическое моделирование. -2006. Вып. №11(18). -С. 95-103.

33. Катаева, Л.Ю. О методе Тира численного моделирования динамических систем, описываемых жёсткими обыкновенными дифференциальными уравнениями / Л.Ю. Катаева, В.Б. Карпухин // Наука и техника транспорта. 2008. - Вып. №1. - С.57-66.

34. Каханер, Д. Численные методы и математическое обеспечение пер. с англ. / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. М.: Мир, 1998.

35. Ковеня, В.М. Модификации алгоритмов расщепления для решения уравнений газовой динамики и Навье Стокса / В.М. Ковеня, А.Ю. Слюняев // Вычислительные технологии. - 2007. - Вып. №3(12). - С. 71-86.

36. Ковеня, В.М. Об одном алгоритме решения уравнений Навье Стокса вязкой несжимаемой жидкости / В.М. Ковеня // Вычислительные технологии. - 2006. - Вып. №2(11). - С. 35-45.

37. Кочин, Н.Е. Теоретическая гидромеханика : в 2-х томах / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. М.: Госуд. изд-во физико-математической литературы, 1963.

38. Левин, В.Г. Физико-химическая гидродинамика / В.Г. Левин. М.: Госуд. изд-во физико-математической литературы, 1959. - 2-е изд.

39. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. М.: Дрофа, 2003. - 7-е изд.

40. Лосев, С. А. Газодинамические лазеры / С.А. Лосев. М.: Наука, 1977.

41. Малый, И.А. Математическое моделирование горения и взрыва. 4.1. Метод Гира. Химическая кинетика. Течения, сопровождающиеся горением : монография / И.А. Малый, Ф.Н. Ясинский, О.В. Потемкина, С.Г. Сидоров, A.B. Евсеев, И.Ф. Ясинский. Иваново, 2011.

42. Мартыненко, С.И. Универсальная многосеточная технология для численного решения систем дифференциальных уравнений в частных производных / С.И. Мартыненко // Вычислительные методы и программирование. -М.: Изд-во МГУ, 2001. Т.2. - С. 1-11.

43. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. М.: Наука, 1977.

44. Матвеева, Н.О. Решение систем линейных алгебраических уравнений на графических процессорах с использованием технологии CUDA / Н.О. Матвеева, В.И. Горбаченко // Известия ПГПУ. Пенза, 2008. - Вып. № 8(12). -С.115-120.

45. Муратова, Г.В. Многосеточный метод для задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией / Г.В. Муратова // Математическое моделирование. 2001. - Вып. №3(13). - С. 69-76.

46. Новиков, Е.А. Неоднородный метод второго порядка для жёстких систем / Е.А. Новиков // Вычислительные технологии. 2005. - Вып. №2(10).-С. 74-86.

47. Ольшанский, М.А. Лекции и упражнения по многосеточным методам / М.А. Ольшанский. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М.В. Ломоносова, 2003.

48. Орунханов, М.К. Метод фиктивных областей для уравнений Навъе-Стокса в терминах функции тока и вихря скоростей с неоднородными граничными условиями / М.К. Орунханов, Ш. Смагулов // Вычислительные технологии. 2000. - Вып. №2(5). - С. 46-53.

49. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости пер. с англ. / С. Патанкар. М.: Энергоатомиздат, 1984.

50. Патанкар, С. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах пер. с англ. / С. Патанкар. М.: Изд-во МЭИ, 2003.

51. Пекунов, В.В. Численное моделирование распространения загрязнений. Оптимизация и автоматизация распараллеливания /В.В. Пекунов. -Ивагово: ИГЭУ, 2009.

52. Пекунов, В.В. Алгоритмы и программы для многопроцессорных суперкомпьютеров / В.В. Пекунов, С.Г. Сидоров, Л.П. Чернышева и др.. Иваново: ИГЭУ, 2007.

53. Пекунов, В.В. Компромиссная разностная схема для уравнений химической кинетики на основе схем Адамса Моултона и Рожкова /В.В. Пекунов // Вестник ИГЭУ. - Иваново, 2005. - Вып. 4. - С. 92-95.

54. Перминов, В.А. Численное решение задачи о возникновении верхового лесного пожара в трёхмерной постановке / В.А. Перминов // Вестник Томского государственного университета. 2009. - Т.6, № 1. - С.41-48.

55. Полак, Л.С. Вычислительные методы в химической кинетике / JI.C. По-лак, М.Я. Гольденберг, A.A. Левицкий. М.: Наука, 1984.

56. Рейнольде, А.Дж. Турбулентные течения в инженерных приложениях / А.Дж. Рейнольде. -М.: Энергия, 1979.

57. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика пер. с англ. / П. Роуч. М.: Мир, 1980.

58. Рынков, А.Д. Численное моделирование газодинамических процессов в камере сгорания авто мобильного устройства безопасности (airbag) / А.Д. Рычков, Н.Ю. Шокина // Вычислительные технологии. 2002. - Вып. №1(7).-С. 106-113.

59. Самарский, A.A. Введение в численные методы / A.A. Самарский. М.: Наука, 1982.

60. Самарский, A.A. Разностные методы решения задач газовой динамики учеб. пособие. / A.A. Самарский, Ю.П. Попов. М.: Наука, 1992.

61. Сахарных, H.A. Моделирование течений в акватории Белого моря: применение массивно-параллельной архитектуры GPU / H.A. Сахарных, С.Б. Березин, В.М. Пасконов // Суперкомпьютеры. 2011. - Вып. №2(6). -С. 51-55.

62. Скворцов, Л.М. Явные многошаговые методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений / Л.М. Скворцов // Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 2008. -Т.9.-С. 409-418.

63. Федоренко, Р.П. Введение в вычислительную физику учеб. пособие. / Р.П. Федоренко. Долгопрудный: И.Д. "Интеллект", 2008.

64. Физико-химические процессы в газовой динамике. Компьютеризированный справочник в 3-х томах. Т.1. Динамика физико-химических процессов в газе и плазме / Под. ред. Г.Г. Чёрного и С.А. Лосева. М.: Изд-во МГУ, 1995.

65. Физико-химические процессы в газовой динамике. Справочник. Т.2. Физико-химическая кинетика и термодинамика / Под. ред. Г.Г. Чёрного и С.А. Лосева. -М.: Научно-издательский центр механики, 2002.

66. Филатов, Е.Ю. Математическое моделирование течений жидкостей и газов учеб. пособие. / Е.Ю. Филатов, Ф.Н. Ясинский. Иваново: ИГЭУ, 2007.

67. Филатов, Е.Ю. Математическое моделирование течений, осложнённых экзотермическими химическими процессами / Е.Ю. Филатов, Н.В. Нуждин, Ф.Н. Ясинский // Вестник ИГЭУ. Иваново, 2004. - Вып. 3. - С. 150.

68. Филатов, Е.Ю. О методах оптимизации и распараллеливания задач вычислительной гидродинамики / Е.Ю. Филатов // Вестник ИГЭУ. Иваново, 2007.-Вып. З.-С. 89-92.

69. Фрик, П.Г. Турбулентность: модели и подходы. / П.Г. Фрик. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2010.

70. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи пер. с англ. / Э. Хайрер, Г. Ваннер. М.: Мир, 1999.

71. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи пер. с англ. / Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. М.: Мир, 1990.

72. Херн, Д. Компьютерная графика и стандарт OpenGL : пер. с англ. / Д. Херн, М.П. Бейкер. М.: Издательский дом "Вильяме", 2005. - 3-е изд.

73. Хокни, Р. Численное моделирование методом частиц / Р. Хокни, Дж. Иствуд. М.: Мир, 1987.

74. Чадов, С.Н. Исследование производительности численного алгоритма решения жёстких систем дифференциальных уравнений / С.Н. Чадов // Вестник ИГЭУ. Иваново, 2007. - Вып. 4. - С. 26-29.

75. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя пер. с нем. / Г. Шлихтинг. М.: Наука, 1974.

76. Яненко, H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики / H.H. Яненко. Новосибирск: Наука, 1967.

77. Ясинский, Ф.Н. Использование системы с несколькими ускорителями CUDA для решения уравнения Навье Стокса в переменных "Функция тока Вихрь" / Ф.Н. Ясинский, А.В. Евсеев // Вестник ИГЭУ. - 2010. -Вып. 4. - С. 86-89.

78. Ясинский Ф.Н. О решении уравнения Навъе Стокса в переменных "Функция тока - Вихрь" на многопроцессорной вычислительной машине с использованием системы CUDA / Ф.Н. Ясинский, А.В. Евсеев // Вестник ИГЭУ. - 2010. - Вып. 3. - С. 73-75.

79. Anderson, J. Computational fluid dynamics: the basics with applications / J. Anderson, Jr. New York: McGraw-Hill, Inc., 1995.

80. Bailey, D. Fast GPU preconditioning for fluid simulations in film production Электронный ресурс. / D. Bailey // GPU Technology Conference (GTC). -2010. Режим доступа: http://www.nvidia.com/content/GTC-2010/pdfs/2239 GTC2010.pdf

81. Benzi, M. A comparative study of sparse approximate inverse preconditioners / M. Benzi, M. Tuma // Applied Numerical Mathematics 1999. - №30. -P. 305-340.

82. Benzi, M. Preconditioning Techniques for Large Linear Systems: A Survey / M. Benzi // Journal of Computational Physics. 2002. - №182. - P. 418-477.

83. Chorin, A.J. The numerical solution of the Navier-Stokes equations for an incompressible fluid / A.J. Chorin // AEC Research and Development Report No. NYO-1480-82. New York: New York University, 1967.

84. Chung, T.J. Computational fluid dynamics / T.J. Chung. Cambridge: Cambridge University Press, 2002.

85. Cohen, J. OpenCurrent: solving PDEs on structured grids with CUDA Электронный ресурс. / J. Cohen // GPU Technology Conference (GTC). 2010. -Режим доступа: http://www.nvidia.com/contcnt/GTC-2010/pdfs/2Q22 GTC2010.pdf

86. Ferziger, J.H. Computational Methods for Fluid Dynamics. / J.H. Ferziger, M. Peric. Berlin: Springer-Verlag, 2002.

87. Frank, J.H. Reaction-rate, mixture-fraction, and temperature imaging in turbulent methane/air jet flames / J.H. Frank, S.A. Kaiser, M.B. Long // Proceedings of the Combustion Institute. 2002. - Vol. 29. - P. 2687-2694.

88. Gear, C.W. The automatic integration of stiff ordinary differential equations / C.W. Gear // Communications of the ACM. 1968. - Vol. 14, Issue 3. - P. 176179.

89. Gear, C.W. The potential for parallelism in ordinary differential equations /

90. C.W. Gear // Technical Report UIUCDCS-R-86-1246, Computer Science Department, University of Illinois. 1986.

91. Gear, C.W. The simultaneous numerical solution of differential-algebraic equations / C.W. Gear // IEEE Trans.: Circuit Theory CT-18. 1971. - P. 89-95.

92. Grishin, A.M. The radiation and conjugation heat exchange and the upset and propagation crown forest fire / A.M. Grishin, V.A. Perminov // Heat Transfer Research. 1993. - Vol. 25, №.5. - P. 679-684.

93. Jacobsen, D.A. An MPI-CUDA Implementation for Massively Parallel Incompressible Flow Computations on Multi-GPU Clusters Электронный ресурс. /

94. Lomax, H. Fundamentals of computational fluid dynamics / H. Lomax, T. Pul-liam, D. Zingg. Berlin: Springer-Verlag, 2001.

95. Mai-Duy, N. Numerical solution of Navier-Stokes equations using multiquadric radial basis function networks / N. Mai-Duy, T. Tran-Cong // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2001. - Vol. 37, Issue 1. - P. 65-86.

96. Miranker, W. L. Numerical methods for stiff equations and singular perturbation problems / W. L. Miranker, A. Miranker. New York: Springer-Verlag, 2001.

97. MPICH2 Электронный ресурс. : High-performance and Widely Portable MPI. Режим доступа: http://www.mcs. anl.gov/research/projects/mpich2/

98. Newitt D.M., Huffner A.E. // Proceedings of the Royal society of London. Series A, containing papers of a mathematical and physical character. London: Royal Society Publishing, 1932. - Vol. 134.

99. Nguyen, H. GPU gems 3 / H. Nguyen. Addison-Wesley, 2008.

100. NVIDIA GPU Computing Developer Электронный ресурс. Режим доступа: http.y/developer.nvidia.com/category/zone/cuda-zone

101. Perminov, V. Numerical Solution of Reynolds equations for Forest Fire Spread / V.A. Perminov // Lecture Notes in Computer Science. 2002. Vol. 2329. -P. 823-832.

102. Press, W. H. Numerical recipes in C: the art of scientific computing / W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery. University of Cambridge: Press Syndicate, 1997. - 2nd ed.

103. Quadrio, M. The numerical solution of the incompressible Navier-Stokes equations on a low-cost, dedicated parallel computer Электронный ресурс. / M. Quadrio, P. Luchini. 2004/ - Режим доступа: http://www.aero.polimi.it/ quadrio/papers/2004-DIA0416.pdf

104. Sakharnykh, N. A. Efficient Tridiagonal Solvers for ADI methods and Fluid Simulation Электронный ресурс. / N.A. Sakharnykh // GPU Technology Conference (GTC). 2010. - Режим доступа: http://www.nvidia.com/content/ GTC-2010/pdfs/2015 GTC2010.pdf

105. Sakharnykh, N.A. Tridiagonal solvers on the GPU and applications to fluid simulation Электронный ресурс. / N.A. Sakharnykh // GPU Technology Conference (GTC). 2009. - Режим доступа: http://www.nvidia.com/content/GTC /documents/1058 GTC09.pdf

106. Salem, S.A. On the numerical solution of the incompressible Navier-Stokes equations in primitive variables using grid generation techniques / S.A. Salem // Mathematical and Computational Applications. 2006. - Vol. 11, No. 2. -P. 127-136.

107. Sanders, J. CUDA by example: an introduction to general-purpose GPU programming/ J. Sanders, E. Kandrot. Michigan: Addison-Wesley, 2010.

108. Savcenco, V. A multirate time stepping strategy for stiff ordinary differential equations / V. Savcenco, W. Hundsdorfer, J.G. Verwer // BIT Numerical Mathematics. Springer, 2007. - Vol.47, Issue 1. - P. 137-155.

109. Selle, A. An unconditionally stable MacCormack method / A. Selle, R. Fedkiw, B. Kim, Y. Lui, J. Rossignac // Journal of Scientific Computing. New York: Springer, 2007. - Vol.35, Issue 2-3. - P. 350-371.

110. Sengupta, S. Scan Primitives for GPU Computing / S. Sengupta, M. Harris, Y. Zhang, J.D. Owens // Graphics Hardware. Aire-la-Ville: Eurographics Association, 2007.-Vol.1.-P. 97-106.

111. Stantchev, G. Using graphics processors for high-performance computation and visualization of plasma turbulence / G. Stantchev, D. Juba, W. Dorland, A. Varshney // Computing in Science and Engineering. 2009. - Vol. 11. №. 2. -P. 52-59

112. SUNDIALS Электронный ресурс. : SUite of Nonlinear and Differential/ALgebraic equation Solvers. Режим доступа: https://computation.llnl. gov/casc/sundials/main.html

113. Versteeg, H.K. An introduction to computational fluid dynamics / H.K. Versteeg, W. Malalasekera. London: Longman Scientific & Technical, 1995.

114. Wesseling, P. Principles of computational fluid dynamics / P. Wesseling. Berlin: Springer-Verlag, 2001.

115. Wilcox, D.C. Turbulence modeling for CFD / D.C. Wilcox. La Canada: DCW Industries, Inc., 2006. - 3rd Ed.

116. Zhang, Y. Fast tridiagonal solvers on the GPU / Y. Zhang, J. Cohen, J. D. Owens 11 Proceedings of the 15 th ACM SIGPLAN Symposium on Principles and Practice of Parallel Programming (PPoPP). 2010. - P. 127-136.

117. Zhao, Y. Lattice Boltzmann based PDE solver on the GPU / Y. Zhao // Visual Computer. 2008. - Vol. 24, Issue 5. - P. 323-333.к.щъ