Совершенствование методик релаксационной фильтрации жидкости по результатам гидродинамических исследований тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.17, кандидат наук Билалов, Марат Хамматович

• Билалов, Марат Хамматович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Билалов, Марат Хамматович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 ОБЗОР ОСНОВНЫХ МОДЕЛЕЙ ФИЛЬТРАЦИИ И ИХ ДОПУЩЕНИЙ

1.1 Основные принципы создания моделей фильтрации

1.2 Модель фильтрации В.Н. Щелкачева

1.3 Модель фильтрации Г.И. Баренблатта-Ю.П. Желтова

1.4 Модель фильтрации жидкости с начальным градиентом давления

1.5 Фильтрация жидкости в деформируемом коллекторе

1.6 Модель фильтрации A.C. Христиановича

1.7 Модель фильтрации Ю.М. Молоковича

Выводы к главе 1

2 ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЩЕГО ПОДХОДА ПРИ СОЗДАНИИ МОДЕЛЕЙ ФИЛЬТРАЦИИ И РАЗРАБОТКА БОЛЕЕ СОВЕРШЕННОЙ РЕЛАКСАЦИОННОЙ МОДЕЛИ

2.1 Взаимосвязь между реологическими уравнениями и моделями фильтрации жидкости

2.2 Предлагаемая модель фильтрации жидкости

Выводы к главе 2

3 РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЫЮЙ И ПЛОСКОРАДИАЛЫЮЙ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕДЛАГАЕМОЙ РЕЛАКСАЦИОННОЙ МОДЕЛИ

3.1 Алгоритмы решения задач плоскопараллельиой и плоскорадиальной неустановившейся фильтрации с использованием предлагаемой релаксационной модели

3.2 Интегральное преобразование Лапласа и численные методы его обращения

3.3 Оптимизация времени и точности вычисления предлагаемых алгоритмов

Выводы к главе 3

4 ИЗУЧЕНИЕ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ КЕРНА И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ СКВАЖИН

4.1 Интерпретация результатов фильтрационных исследований керна

4.2 Оценка чувствительности предлагаемой релаксационной модели к изменению параметров фильтрации и определение области её применения

4.3 Сравнение релаксационных моделей фильтрации A.C. Христиановича, Ю.М. Молоковича и предлагаемой по результатам гидродинамических исследований

скважин

Выводы к главе 4

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ПРИЛОЖЕНИЕ А Результаты интерпретации КПД скважин кыновского и пашийского горизонтов Ромашкинского месторождения НГДУ «Альметьевнефть» при использовании

различных алгоритмов вычисления функций Бесселя Kq(x) и ^(х)

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Программа интерпретации КВД (КПД) по моделям В.Н. Щелкачева,

A.C. Христиановича, Ю.М. Молоковича и предлагаемой (код Matlab)

ПРИЛОЖЕНИЕ В Результаты интерпретации КПД скважин кыновского и пашийского горизонтов Ромашкинского месторождения НГДУ «Альметьевнефть» с применением

релаксационных моделей фильтрации

ПРИЛОЖЕНИЕ Г Результаты интерпретации КВД скважин, эксплуатирующих отложения франского, турнейского и визейского ярусов с применением релаксационных моделей фильтрации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Совершенствование методик релаксационной фильтрации жидкости по результатам гидродинамических исследований»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

Эффективная разработка нефтяных месторождений невозможна без информации о параметрах фильтрации и текущем состоянии продуктивных коллекторов, отсутствие которой может привести к безвозвратной потере извлекаемых запасов.

Гидродинамические исследования (ГДИ) скважин позволяют в пределах области дренирования скважины определить фильтрационные параметры призабойной зоны и пласта, среднее пластовое давление, оптимальные и предельно допустимые забойные и пластовые давления, уточнить геологическую модель объекта и качество его вскрытия, оценить эффективность применяемых методов увеличения нефтеотдачи, обеспечить информационное сопровождение постоянно-действующих гидродинамических моделей разработки нефтяных и газовых месторождений.

При интерпретации результатов ГДИ широкое распространение получили модели, основанные на линеаризованных уравнениях фильтрации, состояния пористой среды и флюида. Однако результатами многочисленных исследований показано, что в случае проявления нелинейных процессов, как отдельно, так и в совокупности, отсутствие их учёта ведёт к ошибочным результатам.

Необходимо отметить, что актуальность применения нелинейных моделей возрастает при одновременном изучении кривых отбора (нагнетания) жидкости и восстановления (падения) давления, на которых проявляются явные между ними отличия. При этом широкое применение моделей, учитывающих нелинейные закономерности изменения параметров в уравнениях фильтрации и состояния пористой среды и флюида, ограничено необходимостью использования численных методов.

Степень разработанности темы

Известны модели, основанные на релаксационных уравнениях фильтрации, принципиальным отличием и достоинством которых является учёт релаксационных процессов, проявляющихся в режиме неустановившейся фильтрации и приводящих не к мгновенным, а к постепенным изменениям градиента давления и скорости фильтрации флюида.

Изучению вопросов релаксационной фильтрации жидкости посвящены труды

A.C. Христиановича, Ю.М. Молоковича, Г.И. Баренблатта, Ю.П. Желтова, И.И. Кочиной,

B.М. Енгова, В.М. Рыжика, П.П. Осипова, М.Н. Овчинникова, А.И. Маркова, A.A. Давлетшина, Г.Г. Кушгановой, В.II. Николаевского, В.А. Иктисанова и др.

A.C. Христианович [79] первым учёл инерционность флюида, введя время запаздывание по скорости. Введением времени задержки по давлению Г.И. Баренблатт с соавторами [4, 5, 6] учёл отставание процесса перераспределения давления в трещиновато-пористой среде в сравнении с однородной пористой средой. Вопросы аналитических приложений релаксационной фильтрации получили своё дальнейшее развитие в работах Ю.М. Молоковича и соавторами [58, 59, 60, 61, 67, 72], которые рассмотрели различные варианты учёта проявления неравновесных процессов, как в уравнениях фильтрации жидкости, так и в уравнениях состояния пористой среды и жидкости.

К сожалению, методы описания неустановившейся фильтрации вязкоупругих систем, предложенные Ю.М. Молоковичем с соавторами, в практике нефтедобычи распространения не получили. Кроме того, при описании процессов неустановившейся фильтрации вязкоупругих систем остаются малоизученными вопросы о достаточности учёта релаксационных процессов в уравнении фильтрации, лежащем в основе предложенной Ю.М. Молоковичем с соавторами модели, о физическом смысле и порядке величин времён релаксации.

Цели диссертационной работы

Изучение особенностей релаксационной фильтрации жидкости и совершенствование методик интерпретации результатов гидродинамических исследований.

Основные задачи исследовании

1. Анализ линейных и нелинейных моделей фильтрации жидкости,

2. Выделение взаимосвязей между реологическими уравнениями и моделями фильтрации жидкости,

3. Изучение релаксационных процессов фильтрации в вязкоупругих системах по результатам гидродинамических исследований,

4. Разработка более совершенной модели, отражающей основные особенности фильтрации в вязкоупругих системах.

5. Разработка алгоритмов решения для плоскопараллельной и плоскорадиальной фильтрации с использованием предлагаемой модели,

6. Сопоставление предлагаемой модели с моделями A.C. Христиановича и Ю.М. Молоковича и определение области её применения при интерпретации результатов гидродинамических исследований.

Научная новизна

Выделены и апробированы общие подходы при описании процессов релаксационной фильтрации в вязкоупругих системах на основании реологических уравнений.

Разработана и апробирована релаксационная модель, основанная на модифицированном реологическом уравнении Дж.М. Бюргерса и отражающая основные особенности фильтрации в вязкоупругих системах.

Разработаны и апробированы алгоритмы интерпретации результатов гидродинамических исследований на основе предлагаемой модели.

Теоретическая н практическая значимость работы

Показано, что предлагаемая релаксационная модель фильтрации позволяет повысить точность определения параметров фильтрации за счёт более качественного описания КИД.

В корпоративную информационную систему «АРМИТС» внедрены и используется структурными подразделениями ОАО «Татнефть» им. В.Д. Шашина методики интерпретации результатов гидродинамических исследований, основанные на разработанной релаксационной модели фильтрации.

Получено свидетельство РФ о государственной регистрации программы для ЭВМ «Программа интерпретации кривых восстановления и падения давления для вертикальных и наклонно-направленных добывающих и нагнетательных скважин V.l.l.».

Методология и методы исследования

Решение поставленных задач основывалось на анализе теоретических работ и результатов гидродинамических исследований на керне и скважин. Для решения дифференциальных уравнений применялись методы теории операционного исчисления - метод интегрального преобразования Лапласа и метод Г.П. Гавера-Дж.-Г. Стехфеста (G.P. Gaver-Jr.-H. Stehfest) для численного обратного преобразования Лапласа. Для учёта влияния скин-эффекта и послепритока жидкости был применён получивший широкое распространение в зарубежной практике метод, описанный в работах Р.Н. Хорна (R.N. Ноте), О. Эллейна (О. Allain) и соавторов. Поиск решения обратной гидродинамической задачи производился при помощи хорошо себя зарекомендовавшего алгоритма Р.П. Брента (R.P. Brent), в котором реализован метод параболической интерполяции для поиска минимума искомой функции.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработанная релаксационная модель фильтрации жидкости.

2. Методики интерпретации результатов гидродинамических исследований, основанные на предлагаемой релаксационной модели.

3. Результаты интерпретации фильтрационных исследований керна, гидродинамических исследований скважин и рекомендации по практическому применению.

Степень достоверности результатов

Результаты теоретических исследований подтверждены результатами практического применения предлагаемой модели и не противоречат общепризнанным тенденциям. Апробации результатов

Основные положения и результаты диссертации были представлены и обсуждены на:

- IX международной научно-технической конференции «Современные технологии гидродинамических исследований скважин на всех стадиях разработки месторождений» (г. Томск, 2010),

- XX юбилейной научно-технической конференции «Новая техника и технологии для геофизических исследований скважин», секция «Доклады аспирантов и молодых специалистов в рамках 22-й Международной специализированной выставки «Газ. Нефть. Технологии - 2014» (г. Уфа, 22-23 апреля 2014 г.),

- VI молодёжной международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Шаг в будущее: теоретические и прикладные исследования современной науки» (г. Санкт-Петербург, 16-17 декабря 2014 г.),

- XII молодёжной международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Наука XXI века: новый подход» (г. Санкт-Петербург, 28-29 января 2015 г.),

- VII международной конференции «Приоритеты мировой науки: эксперимент и научная дискуссия» (г. Северный Чарльстон, США, 18-19 февраля 2015 г.) (VII International scientific conference «The priorities of the world science: experiments and scientific debate», 18-19 February 2015, North Charleston, SC, USA).

Публикации

Основные положения диссертационной работы изложены в 7 печатных работах, из них 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 1 свидетельство РФ о государственной регистрации программы для ЭВМ, 4 статьи в сборниках трудов международных конференций. Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, основных результатов и выводов, условных обозначений, библиографического списка из 132 наименований и четырёх приложений. Общий объем работы составляет 136 страниц, в том числе 7 таблиц и 32 рисунка.

Автор выражает искреннюю благодарность за научное руководство и неоценимую помощь в работе над диссертацией научному руководителю д. т. н., профессору В.А. Иктисанову, д. т. н. А.В. Насыбуллину, В.Н. Петрову, к. ф.-м. н. К.М. Мусину, к. т. н. О.С. Сотникову за плодотворное и всестороннее обсуждение материалов диссертации, сотрудникам лаборатории гидродинамических исследований института «ТатНИПИнефть» Н.Х. Мусабировой, А.В. Байгушеву, И.Т. Сахипгараеву и В.Е. Архипову за помощь при проведении исследований,

а также своей жене Л.А. Галлямовой за поддержку и понимание во время работы над диссертацией.

1 ОБЗОР ОСНОВНЫХ МОДЕЛЕЙ ФИЛЬТРАЦИИ И ИХ ДОПУЩЕНИЙ

1.1 Основные принципы создания моделей фильтрации

Слово релаксация происходит от латинского relaxation, означающего ослабление, уменьшение. В широком смысле данным термином можно характеризовать процесс стабилизации термодинамического равновесия в рассматриваемой системе (объекте). При изучении процессов фильтрации в пористой среде под этим термином принято понимать неустановившееся движение жидкости, подверженное запаздыванию изменения скорости и давления при переходных процессах, т. е. в начальные периоды изменения режима работы или пуска-остановки скважины.

Рассмотрим основные принципы создания моделей фильтрации.

Все известные уравнения фильтрации основаны на предположениях и допущениях, являющихся приближениями к реальной фильтрации. Понимание этих допущений необходимо для понимания места моделей релаксационной фильтрации среди других моделей. Кроме того для полноценного изучения вопросов реальной фильтрации, выделения и понимания основных закономерностей кроме изучения вопросов релаксационной фильтрации следует учитывать другие влияющие факторы, такие как перетоки между пластами, массообменные процессы между блоками и трещинами, послеприток жидкости в скважину, свойства призабойной зоны, границы пласта, деформация порового пространства или трещин, изменение режима работы окружающих скважин и т.д. А для этого надо знать различные особенности КВД, чтобы их можно было изолировать при изучении релаксационной фильтрации.

Принято считать [70, 80], что В.II. Щелкачев [82] наиболее полно, учитывая упругие свойства и пласта и жидкости, разработал теорию упругого режима, основоположниками которой в тридцатых годах прошлого века были М. Маскет (M.Muskat) [51, 112, 113], У. Хёрст (W. Hurst) [105], К.И. Джекоб (С.Е. Jacob) [106] и др.

В отечественной практике для описания фильтрации в трещшшо-поровых коллекторах часто применяется модель Г.И. Баренблатта-Ю.П. Желтова [4, 6, 18, 69], в то время как в зарубежной практике известны упрощающие её подходы, предложенные Дж.И. Уорреном— П.Дж. Рутом (J.E. Warren-P.J. Root) [127], А.О. де Свааном (А.О. de Swaan) [95] и Г. Каземи (II. Kazemi) [109].

В деформируемых коллекторах, когда пористость и проницаемость являются функцией от давления, для описания движения жидкости предложены модели [19, 26, 27, 29, 33, 36, 57, 63, 64, 84, 130] и, в частном случае при описании движения структурированных жидкостей, таких как неныотоновские нефти и применяемые для повышения нефтеотдачи и ограничения во-

допритока полимерные растворы и гели, модель А.Х. Мирзаджанзаде с начальным градиентом давления [22, 52, 53, 54, 55].

Модели A.C. Христиановича [79] и 10.М. Молоковича [61, 67, 72], принципиальным отличием и достоинством которых является учёт проявляющихся в режиме неустановившейся фильтрации релаксационных процессов, приводящих не к мгновенным, а к постепенным изменениям градиента давления и скорости фильтрации флюида, считаются экзотическими и практически не применяются.

Все модели фильтрации, применяемые при интерпретации ГДИ, т. е. при решении задач неустановившейся фильтрации, представляют собой результат совместного решения следующих уравнений: неразрывности (или материального баланса) фильтрационного потока в изотропной среде, движения, состояния пористой среды и жидкости [6, 69, 80, 82, 83].

Уравнение неразрывности выражает закон сохранения массы и в случае линейной неустановившейся фильтрации жидкости в декартовой системе координат записывается в следующем виде:

= (1)

dt

где р — плотность жидкости; т — пористость; V(pv) = div(pv) - дивергенция массовой

скорости фильтрации pv; V = — •/+ — •/+ — • i (набла) — оператор Гамильтона —

дх ду dz

символический вектор, заменяющий символы градиента или дивергенции; pv = pvx + pv + pv, — вектор массовой скорости фильтрации; v = v, + vy +v, — вектор скорости фильтрации жидкости; vx,v ,v, - проекции вектора скорости фильтрации жидкости v на соответствующие оси декартовой системы координат х, у, z, определяемые, как правило, в соответствии с линейным законом фильтрации Дарси и учетом влияния сил тяжести на фильтрацию:

к dp к dp к (dp Л

vx=--v,=--vz =--\^- + Pg , (2)

р. dx p dy f-í\dz )

где к — проницаемость; ¡л — динамическая вязкость; g - ускорение свободного падения.

При выводе уравнения неразрывности предполагалось, что движение флюидов в пласте происходит сплошным потоком без разрывов, а в поле скоростей фильтрации отсутствуют особые точки (так называемые стоки - истоки), в которых жидкость может притекать и вытекать (в подземной гидравлике их роль выполняют нагнетательные и эксплуатационные скважины). Вне скважины это уравнение справедливо во всех точках области её дренирования при движении флюида в пласте.

Упрощение уравнений состояния жидкости и пористой среды осуществляют линеаризацией законов изменения пористой среды и плотности жидкости от давления, которые в значительном диапазоне изменения давления описываются экспоненциальными зависимостями с большой степенью точности:

т(р) = тУЛ^>"° (3)

где р - давление; рпл0 — первоначальное пластовое давление; т0 — пористость при давлении рпл0; Д, - коэффициент упругоёмкости скелета породы,

р(р) = р^-^ * А (1 + рж (р - ртЯ )), (4)

где р - плотность жидкости; рй - плотность жидкости при давлении plll0; Рж - коэффициент

упругоёмкости жидкости.

При изучении капельно-сжимаемой жидкости в упругой пористой среде уравнения (3), (4) сводятся к виду [72]

т(р)р(р) * р0 (щ +fi(p-Po)), (5)

где р = т0Рж + Д, — коэффициент упругоёмкости пласта.

Приняв неизменной проницаемость пласта при изменении давления, отсутствие химико-физического взаимодействия между поверхностью горной породы и жидкостью, пласт - поро-вый и отсутствие неньютоновских свойств жидкости из уравнений (1), (2), (3), (4) можно прийти к уравнению фильтрации по модели В.Н. Щелкачева (уравнение для модели линейной фильтрации) .

Тем не менее, исследованиями многих авторов [6, 22, 26, 27, 29, 36, 40, 54, 67, 72, 97] установлено, что рассмотренные выше предположения не соответствуют реальным условиям.

Присутствующие в нефти смолы, асфальтены и парафины придают ей вязкоупругие и нелинейно-вязкие свойства. Возникновение начального градиента давления может быть следствием химико-физического взаимодействия между обладающим большой удельной поверхностью коллектором и флюидом при фильтрации в трещиноватых и глинизированных коллекторах даже для газа и воды. С изменением эффективного напряжения могут возникать как упругие, так и необратимые деформации коллектора. Многочисленными исследования кернов установлена нелинейная зависимость изменения фильтрационных свойств коллектора при изменении давления и времени воздействия возникающих при этом напряжений. Особую остроту эта проблема приобретает при разработке месторождений с пластовым давлением, приближающимся к полному горному давлению. Наличие расширений и сужений поровых каналов, а так-

же вязкоупругие свойства нефтей ведут к проявлению вязкоупругих эффектов в пористой среде.

Поэтому целесообразно дальнейшее изучение вопросов нелинейной неустановившейся фильтрации с учетом следующих основных факторов: начальный градиент давления, зависимость проницаемости от давления и вязкоупругие эффекты, возникающие при фильтрации жидкости в упругой пористой среде.

Рассмотрим наиболее часто используемые модели фильтрации.

1.2 Модель фильтрации В.Н. Щелкачева Наиболее часто для интерпретации КИД используется теория упругого режима, в основу которой положено условие наличия упругих обратимых деформаций пласта и насыщающих его флюидов. Как уже отмечалось ранее, основоположниками теории упругого режима (без учета объемной упругости пласта) в тридцатых годах прошлого века были М. Маскет [51, 112, 113], У. Хёрст [105] и др. Теория упругого режима, учитывающая упругие свойства и пласта и жидкостей, наиболее полно разработана В.Н. Щелкачевым [82].

Совместное решение уравнений (1), (2) приводит к дифференциальному уравнению:

д{рт) к 2

дг

(6)

где V2 =

э2 ? а2

■ I +

э2 г

&2

/ - оператор Лапласа; I — время.

дх' ду

Откуда, учитывая линеаризованные уравнения состояния пористой среды (3) и жидкости (4), получаем основное дифференциальное уравнение упругого режима неустановившейся фильтрации:

др

а/

= Р,

(7)

где х = ~ коэффициент пьезопроводности.

В случае изучения плоскорадиального потока к вертикальной скважине выражение (7) можно представить в виде:

ФМ =

5/

дг

■ +

дг

дг

(8)

г дг у где г - радиус.

Начальные и граничные условия при рассмотрении пуска скважины нулевого радиуса с постоянным объемным дебитом в момент времени ( = 0 и условии неограниченного горизонтального пласта запишутся в виде:

рМ = РИ1. о РМ = Р„, о dp{r,t) pQ0 Q0

при t = О, при /" -» 00 и t > О,

= const при г —» 0 и t > О,

где h - толщина пласта; s = khj¡л — коэффициент гидропроводности.

В отечественной практике [13, 14, 62, 70], для упрощения уравнения пьезопроводности (8), которое с учетом начальных и граничных условий (9) является автомодельной осесиммет-

ричной задачей, и нахождения его решения вводят переменную £(r,t) = r/{2-J~%t^ с одновременным переходом к безразмерному давлению pD(g)-/(¿;,0о/(2ят^>П()). Это позволяет свести дифференциальное уравнение в частных производных (8) к обыкновенному дифференциальному уравнению с соответствующими условиями, полученными из (9)

'd2pD(4)

d,f Pd& = 1

+

<f \

ФМ = о,

dt

при ¿;—> oo,

(10)

= при

Решение уравнения (10) приводит к известному уравнению, получившему название основной формулы теории упругого режима фильтрации:

ApD{r,t) = -Ei(- ? ) = -Ei{-r2/4%t), (11)

где ApD(r,t) = — ~{p„, — p(r,t)) = ^^-Ap(r,t) - безразмерное приращение давления;

Qo Qo

рпп - пластовое давление (давление на контуре питания); £/(-х) = [ -—с1у

J, у

грального экспоненциала, которую можно представить в виде ряда

ИГ

-у

функция инте-

Г ti пп\

(12)

где/ «0,5772 - постоянная Эйлера.

При малых значениях суммой ряда можно пренебречь, тогда

-£/(-с(13)

При этом погрешность не превосходит 1%, если = г/(2л/^')< 0,173. Тогда изме-

нение давления можно определять по следующей формуле:

В зарубежной практике обычно используется другой подход к упрощению и нахождению решения уравнения пьезопроводности (8) [97], заключающийся в использовании интегрального преобразования Лапласа, которое позволяет перейти от функции-оригинала /(г) действительной переменной I к функции-изображению ^(м) комплексной переменной и в пространстве Лапласа, и перейти от решения обыкновенного дифференциального уравнения к решению алгебраического уравнения, а в случае нескольких независимых переменных - снизить порядок итогового дифференциального уравнения, как минимум, на единицу.

Применение преобразования Лапласа к (8) по действительной переменной t позволяет перейти к решению обыкновенного дифференциального уравнения пьезопроводности в пространстве Лапласа [97]:

(1 ( ¿¡АР^Гси)^

uAPD(rD,n) = —

drD у drD

(15)

где APD(rD,u) = L

kh

— безразмерная функция-изображение приращения

141,2 Qji

давления в пространстве Лапласа; tD = %tjr2 - безразмерное время; rD —r/rw - безразмерный радиус; — радиус скважины.

Уравнение (15) представляет собой известное модифицированное уравнение Бесселя, решение которого в общем случае имеет вид:

APD(riJ,u) = A(u)K0(rDyfTi)+B(u)l0(rp^), (16)

где /0 и К0 — модифицированные функции Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка первого и второго рода, соответственно; A(ii) и B(ii) — неизвестные функции, вид которых находится из граничных условий.

Для модели бесконечного- пласта и скважины нулевого радиуса из условия на внешней границе находим = 0, а по давлению на стенке скважины — А{и) = 1/и. Откуда, решение уравнения (15) в пространстве Лапласа запишется в виде:

APD{rD,ii) = ~K0{rDJu). (17)

ii

Для модели бесконечного пласта и скважины конечного радиуса при rD =г/г„\ =1 из условия на внешней границе находим B(ii)= 0, а по давлению на стенке скважины —

Л(и) =—г~\. В этом случае решение уравнения (15) в пространстве Лапласа запишется в ил/ и (у и )

виде:

А(18)

где Кх - модифицированная функция Бесселя мнимого аргумента второго рода первого порядка.

Нахождение аналитического решения уравнения (18) весьма затруднено, в связи с этим прибегают к ряду допущений. Самым распространенным из них является принятие допущения

о так называемом нулевом радиусе скважины или —^=«1. В этом случае УнАГДл/м)« 1, а

2

функция-оригинал будет иметь вид (11).

В работах Ю.М. Молоковича и соавторов [67, 72] приводится аналитическое решение уравнения пьезопроводности при использовании несколько иного интегрального преобразования — преобразования Лапласа-Карсона [24].

Удобство применения интегрального преобразования Лапласа-Карсона заключается в том, что изображение произведения постоянной величины А на единичную ступенчатую функцию 1(/) равно самой постоянной Ьк [л ■ 1(/)] = А, упрощающее нахождение решения ряда прикладных задач, например, в электротехнике.

В целом уравнение интегрального преобразования Лапласа-Карсона отличается от уравнения интегрального преобразования Лапласа на множитель и. Поэтому переход от преобразования Лапласа к преобразованию Лапласа-Карсона осуществляется довольно легко. Решение уравнения пьезопроводности представлено авторами [67, 72] в виде:

где Ы3ок{г,11) = 27СЕЬРк(г,г1)100 — безразмерная функция-изображение приращения давления

АРк(г,и) в пространстве Лапласа-Карсона; г = г-Щ~% - вспомогательная функция;

гк - вспомогательная функция г при г — /;,..

Необходимо отметить, что после закрытия скважины, рассмотренные выше уравнения (11), (18), (19), не учитывают влияния послепритока жидкости. Обычно, при проведении исследований добывающих скважин снимают или кривую восстановления давления (КВД), или кривую восстановления уровня (КВУ) жидкости в межтрубном пространстве, закрывая скважину на устье и создавая тем самым условия для существования притока в скважину жидкости из

пласта фактически до полного восстановления давления. Необходимость учета притока жидкости признана различными авторами.

Согласно Ю.М. Молоковичу и соавторов [61, 67, 72] учет послепритока в скважину жидкости достигается путем простой замены в уравнениях ()0 на (?0 по результатам замера

или расчёта

В мировой практике для учета скин-эффекта и послепритока жидкости получил популярность оригинальный метод, заключающийся в использовании следующего уравнения в пространстве Лапласа [97, 104]:

51 + иАРп (г[}, и)

где S — скин-эффект; CD =

bPD(rD,u) = -и

С

1 +uCn(S+uAPd (rD, и))

(20)

2 npiirl

- безразмерный коэффициент притока; С - коэффициент

притока.

Для однородного бесконечного пласта итоговое решение основного уравнения пьезопро-водности в пространстве Лапласа с учетом послепритока жидкости и скин-эффекта приобретает вид:

г ( г~\ \

&PD{rD,u) = -и

V

'"М

1 + иСт

(21)

В отечественной практике при решении задач нефтяной подземной гидродинамики при нахождении функций-оригиналов по виду функций-изображений в большинстве случаев принято использовать аналитические методы. В то время как за рубежом [97] широкое распространение получили численные методы приближенного обратного преобразования Лапласа [1, 2, 7, 23, 46, 47, 89, 91, 96, 99, 100, 107, 111, 121, 125, 131, 132]. Этот подход позволяет рассчитать зависимость p{r,t) для широкого диапазона изменения безразмерных параметров Фурье

fo = хФ"1 и F0 = 5 играющих роль безразмерного времени.

Отметим еще раз, что модель В.Н. Щелкачева выведена для линейного закона фильтрации или закона Дарси и линеаризованных законов изменения пористости и плотности жидкости при изменении давления.

1.3 Модель фильтрации Г.И. Баренблатта-Ю.П. Желтова

Согласно классификации, предложенной коллективом авторов ВНИГРИ [68], все коллекторы можно разделить на два класса: поровые и трещинные, которые, как правило, характерны карбонатным и плотным терригенным породам, обладающим низкой поровой проницаемостью [18, 26, 29, 30, 68]. Трещинные коллекторы подразделяют на два типа: чисто трещинных и смешанных. В свою очередь смешанные коллекторы, являющиеся наиболее распространённым типом, подразделяются на многочисленные подклассы: трещшшо-поровые, трещинно-каверновые, трещинно-порово-каверновые коллекторы и т. д.

При этом, согласно данным ВНИГРИ [68], в большинстве случаев трещины имеют тектоническое происхождение, развиваясь вдоль микротрещин, в качестве которых принимаются трещины с раскрытостыо менее 100 мкм, и подчиняясь строгой системе, обусловленной напряжениями, возникающими при воздействии тектонических и гравитационных сил.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Билалов, Марат Хамматович, 2015 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Андрейченко, Д.К. Эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа [Текст] / Д.К. Андрейченко // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2000. - Т. 40, № 7. -С. 1030-1044.

2. Амербаев, В.М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра [Текст] / В.М. Амербаев. - Алма-Ата, 1974. - 182 с.

3. Байгушев, A.B. Определение зависимости проницаемости от давления на установившихся режимах фильтрации [Текст] / A.B. Байгушев, В.А. Иктисанов // Нефть Татарстана. —2001. -№3-4 (5-6).-С. 17-19.

4. Баренблатт, Г.И. Об основных уравнениях фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах [Текст] / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов // Доклады академии наук СССР. — 1960.-Т. 132, №3.-С. 545-548.

5. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах [Текст] / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.И. Кочина // Прикладная математика и механика. — 1960. — Т. 24, вып. 5.

6. Баренблатт, Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах [Текст] / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. -М. : Недра, 1984.-211 с.

7. Белов, М.А. Асимптотические методы обращения интегральных преобразований [Текст] / М.А. Белов, Т.Т. Цирулис. - Рига, 1985. - 288 с.

8. Белонин, М.Д. Деформация продуктивных пород при разработке залежей нефти и газа (теория и практика) [Текст] / М.Д. Белонин, Р.Х. Муслимов, В.И. Славин // Природные резервуары углеводородов и их деформации в процессе разработки нефтяных месторождений : тез. докл. Всерос. конф. 19-23 июня 2000 г. - Казань : Изд-во КГУ, 2000. - С. 3-4.

9. Билалов, М.Х. Изучение релаксационной фильтрации жидкости на примере лабораторных исследований на керне [Текст] / М.Х. Билалов, В.А. Иктисанов // Шаг в будущее: теоретические и прикладные исследования современной науки : материалы VI молодёжной междунар. науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых учёных, 16-17 дек. 2014 г., г. Санкт-Петербург. - North Charleston : CreateSpace, 2014. - С.29-37.

10. Билалов, М.Х. К вопросу оптимизации вычислений при обработке результатов гидродинамических исследований [Текст] / М.Х. Билалов // Наука XXI века: новый подход : материалы XII молодёжной междунар. науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых учёных, 28-29 янв. 2015 г., г. Санкт-Петербург. - СПб. : Айсинг, 2015. - С. 40-44.

П.Билалов, М.Х. Оценка чувствительности предлагаемой релаксационной модели к изменению параметров фильтрации [Текст] / М.Х. Билалов // Приоритеты мировой науки: эксперимент и научная дискуссия : материалы VII междунар. науч. конф., Северный Чарльстон, Южная Каролина, США, 18-19 февр. 2015 г. - North Charleston : CreateSpace, 2015. -С. 30-36.

12. Билалов, М.Х. Результаты интерпретации ГДИ скважин релаксационными моделями [Текст] / М.Х. Билалов // Приоритеты мировой науки: эксперимент и научная дискуссия : материалы VII междунар. науч. конф., Северный Чарльстон, Южная Каролина, США, 18-19 февр. 2015 г. - North Charleston : CreateSpace, 2015. - С. 37-46.

13. Бузинов, С.Н. Гидродинамические методы исследования скважин и пластов [Текст] / С.Н. Бузинов, И.Д. Умрихин. -М. : Недра, 1973.-248 с.

14. Бузинов, С.Н. Исследование нефтяных и газовых скважин и пластов [Текст] / С.Н. Бузинов, И.Д. Умрихин. - М.: Недра, 1984. - 265 с.

15. Вялов, С.С. Реологические основы механики грунтов [Текст]: учеб. пособие для строит, вузов / С.С. Вялов. - М. : Высшая школа, 1978.-447 е., ил.

16. Гарипова, Л.И. Учет неравновесных процессов фильтрации жидкости при интерпретации результатов гидродинамических исследований : автореф. дис. ... канд. техн. наук: 25.00.17 / Л.И. Гарипова ; «ТатНИПИнефть» ОАО «Татнефть» ; науч. рук. док. техн. наук В.А. Иктисанов. — Бугульма, 2011. — 24 с.

17. Гноевой, A.B. Основы теории течений бингамовских сред / A.B. Гноевой, Д.М.Климов, В.М. Чесноков. - М. : Физматлит, 2004.-272 с.

18. Голф-Рахт, Т.Д. Основы нефтепромысловой геологии и разработки трещиноватых коллекторов [Текст] / Т.Д. Голф-Рахт ; пер. с англ. под ред. А.Г. Ковалева. — М. : Недра, 1986. — 608 с.

19. Горбунов, А.Т. Разработка аномальных нефтяных месторождений [Текст] / А.Т. Горбунов. — М. : Недра, 1981.-237 с.

20. Градшгейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений [Текст] / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. -4-е изд., перераб. -М., 1963. - 1100 с.

21. Гудок, II.C. Экспериментальное исследование влияния внешнего давления на проницаемость нефтесодержащих пород [Текст] / II.С. Гудок, М.М. Кусаков // Доклады АН СССР. — 1958.-Т. 119, №2.

22. Гурбанов, P.C. Гидродинамика вязкопластичных сред. Теория и практика добычи нефти [Текст] / P.C. Гурбанов, А.Ф. Касимов, А.Х. Мирзаджанзаде // Добыча нефти (Теория и практика) : ежегодник / ВНИИ. - М. : Недра, 1968. - С. 83-94.

23. Дёч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. С приложением таблиц, составленных Р. Гершелем [Текст] / Г. Дёч ; пер. с 3-го нем. изд. Г.А. Вольперта. - М. : Наука, 1971. -288 с.

24. Диткин, В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление [Текст] /

B.А. Диткин, А.П. Прудников. -М. : Физматлит, 1961. - 524 с.

25. Диткин, В.А. Операционное исчисление [Текст] / В.А. Диткин, А.П. Прудников. - М. : Высшая школа, 1966. — 408 с.

26. Дияшев, Р.Н. Фильтрация жидкости в деформируемых нефтяных пластах [Текст] / Р.Н. Дияшев, A.B. Костерин, Э.В. Скворцов. — Казань : Изд-во Казанского мат. о-ва, 1999. — 238 с.

27. Добрынин, В.М. Деформации и изменения физических свойств коллекторов нефти и газа [Текст] / В.М. Добрынин. - М. : Недра, 1970. - 239 с.

28. Ентов, В.М. Двумерные и нестационарные одномерные задачи движения неныотоновских жидкостей в пористой среде [Текст] / В.М. Ентов // Нефтяное хозяйство. — 1968. — № 10. —

C. 47-53.

29. Желтов, Ю.П. Деформация горных пород [Текст] / Ю.П. Желтов. - М. : Недра, 1966. - 198 с.

30. Желтов, Ю.П. Разработка нефтяных месторождений [Текст]: учебник для вузов / Ю.П. Желтов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Недра, 1998. - 365 е.: ил.

31. Зубчанинов, В.Г. Основы теории упругости и пластичности [Текст] / В.Г. Зубчанинов. - М. : Высшая школа, 1990. - 368 с.

32. Игумнов, Л.А. Элементы метода граничных интегральных уравнений в решении задач динамической пороупругости : учеб.-метод, пособие [Текст] / Л.А. Игумнов, С.Ю. Литвинчук, A.A. Белов. - Нижний Новгород : Нижегородский университет, 2010. —43 с.

33. Иктисанов, В.А. Гидродинамические исследования деформации терригенных коллекторов при изменении пластового и забойных давлений [Текст] / В.А. Иктисанов, Л.Х. Фокеева, Р.Г. Мирсаитов // Геология, геофизика и разработка нефтяных месторождений. - 1999. -№ 9. - С. 29-34.

34. Иктисанов, В.А. Анализ результатов гидродинамических исследований с учетом нелинейной деформации пласта [Текст] / В.А. Иктисанов, Р.Н. Дияшев // Природные резервуары углеводородов и их деформации в процессе разработки нефтяных месторождений : тез. докл. Всерос. конф. 19-23 июня 2000 г. - Казань : Изд-во КГУ, 2000. - С. 21-22.

35. Иктисанов, В.А. Изучение особенностей физико-химического взаимодействия жидкости с пластом-коллектором [Текст] / В.А. Иктисанов // Новые идеи поиска, разведки и разработки

нефтяных месторождении : тр. науч.-практ. конф. 7 междунар. выст. «Нефть, газ - 2000», Казань, 5-7 сент. 2000 г. : в 2 т. - Казань : Экоцентр, 2000. - Т. 2. - С. 474-480.

36. Иктисанов, В.А. Определение фильтрационных параметров пластов и реологических свойств дисперсных систем при разработке нефтяных месторождений [Текст] / В.А. Иктисанов. - М. : ОАО «ВНИИОЭНГ», 2001. - 212 с.

37. Иктисанов, В.А. Влияние конечной скорости распространения возмущений при интерпретации КВД, КПД [Текст] / В.А. Иктисанов, Л.И. Гарипова // Современные технологии гидродинамических и диагностических исследований скважин на всех стадиях разработки месторождений : материалы 8-ой науч.-техн. конф. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2009. — С. 16.

38. Иктисанов, В.А. Учет конечной скорости распространения возмущений при неустановившейся фильтрации жидкости [Текст] / В.А. Иктисанов, A.B. Байгушев, Л.И. Гарипова // Нефтяное хозяйство. — 2010. — № 2. - С. 78-80.

39. Иктисанов, В.А. Использование релаксационных моделей при интерпретации результатов гидродинамических исследований [Текст] / В.А. Иктисанов, М.Х. Билалов, Л.И. Гарипова // Нефтепромысловое дело.-2010.-№ 10 .-С. 13-16.

40. Иктисанов, В.А. Изучение особенностей релаксационной фильтрации жидкости [Текст] / В.А. Иктисанов, М.Х. Билалов // Нефтепромысловое дело. -2010. -№ 11. - С. 14-18.

41. Иктисанов, В.А. Методика расчета неустановившейся фильтрации жидкости для различных нелинейных законов [Текст] / В.А. Иктисанов, Н.Х. Мусабирова // Нефтяное хозяйство.-2011. — № 7. — С. 40-43.

42. Интерпретация длительных кривых изменения давления [Текст] / В.А. Иктисанов, Н.Х. Мусабирова, Л.И. Гарипова, A.C. Султанов // Инновационные технологии в геологии и разработке углеводородов. Перспективы создания подземных хранилищ газа в Республике Татарстан. Казанская геологическая школа и ее роль в развитии геологической науки в России : материалы конф., Казань, 9-11 сент. 2009 г. - Казань : Репер, 2009. — С. 153-156.

43. Интерпретация результатов гидродинамических исследований скважин методами регуляризации [Текст] / М.Х. Хайруллин, P.C. Хисамов, М.Н. Шамсиев, Р.Г. Фархуллин. — М. ; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» : Институт компьютерных исследований, 2006. -172 с.

44. Конторович, М.И. Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических цепях [Текст] / М.И. Конторович. - М. : Гостехиздаг, 1953.

45. Краснов, М.Л. Операционное исчисление. Устойчивость движения (Задачи и упражнения) [Текст] / М.Л. Краснов, Г.И. Макаренко. — М. : Наука, 1964.

46. Крылов, В.И. Справочная книга по численному обращению преобразования Лапласа [Текст] / В.И. Крылов, Н.С. Скобля. - Минск, 1968.-296 с.

47. Крылов, В.И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращению преобразования Лапласа [Текст] / В.И. Крылов, U.C. Скобля. - М., 1974. - 224 с.

48. Левин, В.Г. Физико-химическая гидродинамика / В.Г. Левич. - М. : Физматгиз, 1959. -700 с.

49. Лурье, А.И. Операционное исчисление и его приложении к задачам механики [Текст] / А.И. Лурье. - 2-е изд., перераб. -М. ; Л. : Гостехиздат, 1951. —431 с.

50. Манжиров, A.B. Методы решения интегральных уравнений [Текст] : справочник / A.B. Манжиров, А.Д. Полянин. -М. : Факториал, 1999. -272 с.

51. Маскег, М. Течение однородных жидкостей в пористой среде [Текст] / М. Маскет. — Москва ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2004. — 628 с.

52. Мирзаджанзаде, А.Х. О теоретической схеме явления поглощения и ухода раствора [Текст] / А.Х. Мирзаджанзаде // Доклады АН АзССР. - 1953. - Т. 9, № 4. - С. 203-205.

53. Мирзаджанзаде, А.Х. Вопросы гидродинамики вязко-пластичных и вязких жидкостей в применении к нефтедобыче [Текст] / А.Х. Мирзаджанзаде. - Баку : Азнефтеиздат, 1959. — 410 с.

54. Мирзаджанзаде, А.Х. Особенности эксплуатации месторождений аномальных нефтей [Текст] / А.Х. Мирзаджанзаде, А.Г. Ковалев, Ю.В. Зайцев. - М. : Недра, 1972. - 200 с.

55. Мирзаджанзаде, А.Х. Термо-вязко-упругость и пластичность в нефтепромысловой механике [Текст] / А.Х. Мирзаджанзаде, П.М. Огибалов, З.Г. Керимов. -М. : Недра, 1973. — 280 с.

56. Мирзаджанзаде, А.Х. Гидродинамика в бурении [Текст] / А.Х. Мирзаджанзаде, В.М. Ентов. -М. : Недра, 1985.- 196 с.

57. Многофакторная оценка деформационных процессов в коллекторах по результатам исследования керна [Текст] / Р.Н. Дияшев, K.M. Мусин, В.А. Иктисанов, Е.А. Юдинцев, В.Н. Пу-стовпт//Нефтяноехозяйство.-2001. —№ 12.— С. 55-59.

58. Молокович, Ю.М. Некоторые приближенные решения одномерных задач фильтрации упругой вязко-пластичной жидкости [Текст] / Ю.М. Молокович, Э.В. Скворцов, А.Я. Чилап // Ученые записки КГУ им. В. И. Ульянова-Ленина. — 1969. — Т. 129, кн. 2. — С. 3-24.

59. Молокович, Ю.М. Одномерная фильтрация несжимаемой вязко-пластичной жидкости [Текст] / Ю.М. Молокович // Ученые записки КГУ им. В.И. Ульянова-Ленина. - 1970. -Т. 130, кн. 1.-С. 52-64.

60. Молокович, Ю.М. Основы теории релаксационной фильтрации [Текст] / Ю.М. Молокович, П.П. Осипов. — Казань : Изд-во Казанского ун-та, 1987. - 110 с.

61. Молокович, Ю.М. Неравновесная фильтрация и ее применение в нефтепромысловой практике [Текст] / Ю.М. Молокович. - М. ; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследовании, 2006. — 214 с.

62. Николаевский, В.Н. Геомеханика и флюидодинамика [Текст] / В.Н. Николаевский. - М. : Недра, 1996.-447 с.

63. Овчинников, М.Н. Интерпретация результатов исследований пластов методом фильтрационных волн давления [Текст] / М.Н. Овчинников. - Казань : Новое знание, 2003. — 84 с.

64. Распопов, A.B. Влияние динамической деформации трещинно-порового коллектора на добычу нефти [Текст] / A.B. Распопов, A.A. Щипанов // Нефтяное хозяйство. — 2002. — № 6. — С. 97-99.

65. Рейнер, М. Десять лекций по теоретической реологии [Текст] / М. Рейнер. — М. ; Л. : ОГИЗ ; Гостехиздат, 1947 — 134 с.

66. Рейнер, М. Реология [Текст] / М. Рейнер ; пер. с англ. Н.И. Малинина. — М. : Наука, 1965. — 221 с.

67. Релаксационная фильтрация [Текст] / Ю.М. Молокович, H.H. Непримеров, В.И. Пикуза,

A.B. Штанин. — Казань : Изд-во Казанского ун-та, 1980.

68. Ромм, Е.С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород [Текст] / Е.С. Ромм. -М. : Недра, 1966.-284 с.

69. Подземная гидравлика [Текст] : учебник для вузов / К.С. Басниев, А.М Власов, И.Г1. Кочина,

B.М. Максимов. - М. : Недра, 1986. - 303 с.

70. Подземная гидромеханика [Текст] : учебник для вузов / К.С. Басниев, Н.М. Дмитриев, Р.Д. Каневская, В.М. Максимов - М. ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2005.-495 с.

71. Промысловые исследования по оценке необратимых деформаций продуктивных пластов [Текст] / Р.Н. Дияшев, В.А. Иктисанов, Н.Х. Мусабирова [и др.] // Природные резервуары углеводородов и их деформации в процессе разработки нефтяных месторождений : тез. докл. Всерос. конф. 19-23 июня 2000 г. - Казань : Изд-во КГУ, 2000. - С. 16-17.

72. Пьезометрия окрестности скважин. Теоретические основы [Текст] / Ю.М. Молокович, А.И. Марков, A.A. Давлетшин, Г.Г. Куштанова. - Казань : ДАС, 1990. — 203 с.

73. Свидетельство 2015613282, Российская Федерация. Программа интерпретации кривых восстановления и падения давления для вертикальных и наклонно-направленных добывающих и нагнетательных скважин V. 1.1. / Байгушев A.B., Иктисанов В.А., Билалов М.Х. ; заявитель и патентообладатель ОАО «Татнефть» им. В.Д. Шашипа. -№ 2015610362; заявл. 29.01.15; зарег. 11.03.15, Реестр программ для ЭВМ.

74. Справочник по специальным функциям [Текст] / под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. - М. : Наука, 1979.

75. Султанов, Б.И. О фильтрации вязко-пластических жидкостей в пористой среде [Текст] / Б.И. Султанов // Азербайджанское нефтяное хозяйство. — 1962. — № 1. — С. 25-28.

76. Уилкинсон, У.Л. Неныотоновские жидкости [Текст] : пер. с англ. / У.Л. Уилкинсон. - М. : Мир, 1964.-216 с.

77. Урьев, Н.Б. Высококонцентрированные дисперсные системы [Текст] / Н.Б. Урьев. - М. : Химия, 1980.-320 с.

78. Фазлыев, Р.Т. Площадное заводнение нефтяных месторождений [Текст] / Р.Т. Фазлыев — М. ; Ижевск : Институт компьютерных исследований : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. - 256 с.

79. Христианович, С.А. Движение грунтовых вод, не следующее закону Дарси [Текст] / С.А. Христианович // Прикладная математика и механика. - 1940. - Т. 4, вып. 1.

80. Чарный, И.А. Подземная гидрогазодинамика [Текст] / И.А. Чарный. — М. : Гостоптехиздат, 1963.-396 с.

81.Шагиев, Р.Т. Исследование скважин по КВД [Текст] / Р.Г. Шагиев. - М. : Наука, 1998. — 304 с.

82. Щелкачев, В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации [Текст] : монография : в 2 ч. - М. : Нефть и газ, 1995. - Ч. 2. - 493 с.

83. Щелкачев, В.Н. Подземная гидравлика [Текст] / В.Н. Щелкачев, Б.Б. Лапук. - М. ; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 736 с.

84. Щипанов, А.А. Асимметрия обмена флюидами в деформируемой трещиновато-пористой среде / А.А. Щипанов // Инженерно-физический журнал. - 2007. - Т. 80, № 1. - С. 35-45.

85. Эйдермап, В.Я. Основы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления [Текст] / В.Я. Эйдерман. — М. : Физматлит, 2002. -256 с.

86. Abate, J. Multi-precision Laplace transform inversion [Text] / J. Abate, P.P. Valko // Int. J. Numer. Meth. Eng.-2004; 60:979-993 (DOI: 10.1002/nme.995)

87. Antia, H. Numerical Methods for Scientists and Engineers [Text] / II. Antia - Second Edition. -Birkhauser-Verlag, 2002.

88. Baker, W.I. Flow in fissured reservoir [Text]. / W.I. Baker // Proceeding Fourth World' Petroleum Congress, Section II/E. - 1955. - P. 379-393.

89. Bellman, R.E. Numerical inversion of the Laplace transform [Text]. / R.E. Bellman, P.E. Kalaba, J.A. Lockett/ - New York, 1966. - 249 p.

90. Bingham, E.C. Fluidity and Plasticity [Text], / E.C. Bingham. - New York : McGraw-Hill, 1922.

91. Boutros, Y.Z. Numerical methods for the inversion of the Laplace transforms [Text] / Y.Z. Boutros. - Zurich, 1964. - 64 p.

92. Brent, R.P. Algorithms for Minimization without Derivatives [Text] / R.P. Brent - NJ. : Eng-lewood Cliff, Prentice-Hall, 1973. Chapters 3,4.

93. Burgers, J.M. First report on Viscosity and Plasticity [Text]. / J.M. Burgers. - Academy of Sciences of Amsterdam, 1935.

94. Burgers J.M. Selected Papers [Text] / J.M. Burgers ; edited by F.T.M. Nieuwstadt and J.A. Steketee. - Dordrecht; Boston ; London : Kluwer, 1995.

95. De Swaan, A.O. Analytic solutions for determining naturally fractured reservoir properties by well testing [Text]./A.O. de Swaan //SPEJ. - 1976.-June.-P. 117-122.

96. Dubner, H. Numerical inversion of Laplace transforms and the finite Fourier transform [Text] / H. Dubner, J. Abate // J. ACM. - 1968. - 15 (1). - P. 115-123.

97. Dynamic Flow Analysis [Electronic recourse] / O. Allain [et al.]. — KAPPA, 2007.

98. Fatt, J. Pore volume compressibilities of sandstone reservoir [Text] / J. Fatt // J. of Petr. Techn. -1958.-V. 10, № 3.

99. Gaver G.P. Jr., Observing stochastic processes and approximate transform inversions [Text] / G.P. Jr. Gaver // Operat. Res. - 1966. - P. 444-459.

100. Halsted, D.J. Zakian's technique for inverting Laplace transform [Text] / D.J. Halsted, D.E. Brown // Chem. Eng. J. - 1972 -№ 3. - P. 312-313.

101. I-Iassanzadeh, H. Comparison of Different Numerical Laplace Inversion Methods for Engineering Applications [Text]. / H. Hassanzadeh, M. Pooladi-Darvish // Applied Mathematics and Computation.-2007,- 189.-P. 1966-1981.

102. Hatschek, E. The Viscosity of Liquids [Text] / E. Hatschek. — London, 1928.

103. I-Ierschel, W.H. On the rate of shear in capillary tubes [Text] / W.H. Herschel // J. Rheology. -1930.-V. l.-P. 505-506.

104. Hörne, R.N. Modern well test analysis. A computer-aided approach [Text]. / R.N. Home. -Petroway, Inc., 2000. - 257 p.

105. Hurst, W. Unsteady flow of fluids in oil reservoirs [Text] / W. Hurst // Physics, Jan. - 1934. -V. 5, №1. — P. 20-30.

106. Jacob, C.E. On the flow of Water in an Elastic Artesian Aquifer [Text] / C.E. Jacob // Trans. Amer. Geophysical Union. - 1940. - P. 11.

107. Jelmert, T.A. The effect of distributed block length function on double porosity transitions during linear flow [Text] / T.A. Jelmert // J. Petrol. Sei. Eng. - 1995. -№ 12. - P. 277-293.

108. Jones, F.O. A laboratory study of low permeability gas sands [Text] / F.O. Jones, W.W. Owens //JPT.- 1980. -Sept.- P. 1631-1640.

109. Kazemi, II. Pressure buildup in reservoir limit testing of stratified systems [Text]. / H. Kazemi //JPT.-1970.-April.

110. Kraemer, E.O. Internal friction and the structure of «solvated» colloids [Text] / E.O. Kraemer, R.V. Williamson // J. Rheology. - 1929. - V. 1. - P. 76.

111. Lee, S.T. Vertical single-well pulse testing of a three-layer stratified reservoir [Text] / S.T. Lee, M.C.H. Chien, W.E. Culham // SPE Annual Technical Conference and Exhibition, 16-19 September, Houston, Texas, 1984, SPE 13249.

112. Muskat, M. The flow of compressible fluids through porous media and some problems in heat conduction [Text] / M. Muskat // Physics. - 1934. - V. 5, №3, March. - P. 71-94.

113. Muskat, M. The use of data on build-up of bottom hole pressures [Text]. / M. Muskat // Transaction AIME. - 1937.-№ 123.

114. Najuijeta, H.L. A theory for the pressure transient analysis in naturally fractured reservoirs [Text] / H.L. Najuijeta // SPEJ. - 1975. - October.

115. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing [Text] / W.U. Press [et al.]. - Third Edition. - Cambridge University Press, 2007.

116. Odeh, A.S. Unsteady-state behavior of naturally fractured reservoirs [Text] / A.S. Odeh // Soc. Pet. Eng. J. - 1965. - P. 60-66.

117. Ostensen, R.W. The effect of stress-dependent permeability on gas production and well testing [Text] / R.W. Ostensen // SPEFE. - 1986. - June. - P. 22-235.

118. Pollard, P. Evaluation of acid treatments from pressure build-up analysis [Text]. / P. Pollard // Trans AIME. - 1959. - V. 216. - P. 38-43.

119. Scott-Blair G.W. Introduction to Industrial rheology [Text] / G.W. Scott-Blair. - London : J. and A. Churchill Ltd., 1938.

i 20. Scott-Blair G.W. Survey of General and Applied Rheology [Text] / G.W. Scott-Blair. - London : Sir J. Pitman & Sons Ltd., 1943.

121. Schapery, R.A. Approximate methods of transform inversion for viscoelastic stress analysis [Text] / R.A. Schapery // Proc. 4th US Nat. Congr. Appl. Mech.. - 1962. - P. 1075-1085.

122. Schwedoff T. Reclierches experimentáis sur la cohesion des liquids [Text] / T. Schwedoff // J. de Phys. - 1890. - V. 9. - P. 34.

123. Shofield, R.K. The relationship between viscosity elasticity and plastic strength of a soft material as illustrated by some mechanical properties of flour dough [Text]. / R.K. Shofield , G.W. Scott-Blair // Proc. Roy. Soc. - 1932, A138.

124. Slawomirski M.R. Rheological Behavior of Oil Well Drilling Fluids [Text] / M.R. Slawomirski // Int I. Rock Mech. Sci.& Geonetric Abstr. Pergamon Press. -1975. - V. 12. - P. 115.

125. Stehfest, H. Numerical inversion of Laplace transforms algorithm 368 [Text] / H. Stehfest // Commun. ACM. - 1979. - 13 (1). - P. 47-49.

126. Warpinski, N.R. Determination of the effective-stress law for permeability and deformation of in low-permeability rock [Text] / N.R. Warpinski // SPE Tech. Paper 20572, 1990.

127. Warren, J.E. The behavior of naturally fractured reservoirs [Text] / J.E. Warren, P.J. Root // J. Soc. Pet. Eng. - 1963. - V. 3, No. 3, September. - P. 245-255.

128. White, J.L. Development of constitutive equations for polymeric melts and solutions [Text] / J.L. White, A.B. Metzner//J. Appl. Polym. Sei. - 1963. -V. 7. -P. 1867-1889.

129. Wyble, D.O. Effect of applied pressure on the conductivity, porosity and permeability on sandstones [Text] / D.O. Wyble // Trans AIME. - 1958. - V. 213. -P. 430-432.

130. Zaki Harari. Pore-Compressibility Study of Arabian Carbonate Reservoir Rocks [Text] / Zaki Harari, Shu-Teh Wang, Salih Saner // SPE Formation Evaluation. - 1995. -V. 10, №4 (Dec.). -P. 207-215.

131. Zakian, V. Numerical inversions of Laplace transforms [Text] / V. Zakian // Electron Lett. -1969.-P. 120-121.

132. Zakian, V. Properties of Imn approximants [Text] / V. Zakian // Pade Approximants and Their Applications. - London : Academic Press, 1973. - P. 141-144.