Сопряженные модели роста трещины гидроразрыва и динамики жидкостей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Скопинцев Артур Маркович

• Скопинцев Артур Маркович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Скопинцев Артур Маркович

Введение

Глава 1. Сопряжение модели роста трещины EP3D с моделью

переноса проппанта

1.1 Формулировка задачи

1.2 Модель роста трещины Enhanced Pseudo-3D Model (EP3D)

1.3 Верификация EP3D модели с утечками

1.4 Транспорт проппанта

1.4.1 Численная схема для давления

1.4.2 Численная схема для уравнения переноса проппанта

1.5 Верификация модели переноса

1.6 Решение сопряженной модели

1.7 Численные результаты

Глава 2. Влияние гетерогенного распределения проппанта на

закрытие трещины и её продуктивность

2.1 Математическая постановка задачи

2.1.1 Смыкание трещины

2.1.2 Приток к скважине

2.2 Моделирование проводимости закрепленной трещины ГРП

2.3 Смыкание трещины в промежутке между упаковками проппанта

2.3.1 Решение в случае отсутствия контакта

2.3.2 Решение для случая сильного контакта

2.3.3 Общее решение, сравнение с численным решением

2.4 Проницаемость трещины при различных пульсовых закачках

2.4.1 Карта сигма-режимов

2.4.2 Сравнение финальной проводимости трещины при различных расписаниях закачки

2.5 Оценка влияния сжимаемости проппанта на проводимость закреплённой трещины гидроразрыва

2.5.1 Сжимаемость упаковки проппанта

2.5.2 Численные результаты

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сопряженные модели роста трещины гидроразрыва и динамики жидкостей»

Актуальность темы исследования

Технология гидравлического разрыва пласта (ГРП) основана на закачке жидкости в пласт под большим давлением (несколько сотен атмосфер) через скважину для создания протяженных трещин, служащих для транспорта пластовых флюидов к скважине. Для закрепления трещины после остановки закачки, ее заполняют расклинивающим агентом - проппантом (керамические шарики диаметром ок. 1 мм). Проппант заполняет трещину неравномерно, на его размещение влияют реология несущей жидкости, динамика раскрытия трещины, литологические и фильтрационные характеристики нефтесодержащего пласта. Оптимальная геометрия трещины достигается путем варьирования режимов закачки и подбора подходящих жидкостей и проппантов. При этом распределение проппанта по трещине на момент окончания закачки является основным параметром, влияющим на проводимость закрепленной трещины. Проппантная пачка внутри трещины является средой, по пустотам которой происходит поток углеводородов. Проводимость такой пачки является ограничивающим фактором и технологическим ограничением метода ГРП. Согласно многим исследованиям и испытаниям скважин, зачастую, полученные характеристики трещин существенно ниже запланированных. Данная ситуация объясняется тем, что фактическая остаточная проводимость трещины составляет лишь малую часть от максимально ожидаемой. Ситуация меняется, если заменить гомогенную по-ровую структуру пачки на гетерогенную, в которой кластеры проппанта разделены между собой пустотой: полученная эффективная проводимость такой системы будет в десятки раз превышать проводимость поровой структуры. Целью данной работы является разработка сопряжённых численных моделей, позволяющих находить оптимальную геометрию трещины и распределение проппанта в ней, при котором будет достигаться максимальная проводимость закреплённой трещины.

Степень разработанности темы исследования

Математическое моделированию распространения трещины ГРП обычно включает в себя описание потока жидкости, закона сохранения масс, соотношения упругости для равновесия породы, окружающей трещину, и критерий

распространения, который описывает эволюцию фронта трещины. Численное решение для такой задачи трудоёмко, поскольку задача нелинейна, нелокальна и имеет подвижную границу. Одной из первых разработанных моделей является модель Христиановича-Желтова-Гертсма-Де Клерка (KGD) [1], в которой трещина распространяется в предположении плоской деформации. Также существует модель радиальной трещины [2], которая применима для однородных горных пород и может быть использована в качестве начального или локального решения для более сложной модели. Модель Перкинса-Керна-Нордгрена (PKN) [3] предполагает вертикальную плоскую трещину, ограниченную по направлению высоты непроницаемыми барьерами напряжения, и в этом случае трещина распространяется горизонтально. Позже эта модель была улучшена до псевдо-трёхмерной модели (P3D) [4; 5], в которой трещина способна распространяться через барьеры напряжений. Усовершенствованная псевдо-3D модель (EP3D) была разработана в [6], в которой были устранены слабые стороны модели на фоне классического P3D подхода: трещиностойкость, вязкостная диссипация энергии при росте трещины в высоту и нелокальная упругость горной породы учитываются по всему периметру трещины. Все вышеперечисленные модели по существу одномерны и поэтому эффективны с точки зрения вычислений. Существует еще один класс моделей, которые являются многомерными, и этот класс способен фиксировать эффекты, происходящие в трещинах с меньшим количеством упрощений. Одной из таких моделей является полностью плоская 3D-модель [7], в которой трещина дискретизируется с использованием двумерной сетки. Несмотря на то, что эта модель требует больше вычислительных ресурсов, ее способность лучше описывать распространение в плоскости делает эту модель полезной в ситуациях, когда такая точность необходима. Существует другой подход к моделированию плоской трещины, так называемый Implicit Level Set Algorithm (ILSA) [8; 9], который использует точную логику вблизи кончика трещины для продвижения её фронта. Стоит отметить, что существуют еще более сложные модели, которые учитывают полностью трехмерное распространение трещин [10], распространение трещин в породах с естественными трещинами или одновременное распространение нескольких трещин ГРП, см., например, [11]. В настоящей работе, однако, основное внимание уделяется не геометрической сложности трещин, а скорее явлениям, связанным с

потоком жидкости и расклинивающим агентом внутри трещины, и поэтому для простоты мы фокусируемся на плоской геометрии.

Для закрепления трещины после остановки закачки, ее заполняют расклинивающим агентом — проппантом. Перенос частиц расклинивающего агента зависит от множества параметров, которые включают размер частиц, плотность, реологические свойства несущей жидкости и влияние различных добавок, таких как файбер-волокна, которые сильно влияют на поведение частиц при их оседании. В одних из самых ранних работ по транспорту проппанта [12] и [13] рассматривается одномерный перенос в прямой трещине (ячейке Хеле-Шоу). Более сложные модели, разработанные позже, рассматривают 2Э-транспорт, где описывается поток суспензии с использованием теории смазки, однако частицы имеют ту же скорость, что и жидкость-носитель (т.е. односкоростная модель). В таких подходах обычно имеет место полуэмпирическая зависимость вязкости суспензии от объемной концентрации частиц, т.е. моделирование происходит в предположении эффективной вязкости [14; 15]. Эффективная вязкость также может быть рассчитана на основе реологии суспензий несущей жидкости с проппантом с учетом трения [16; 17]. Модель, полученная в работе [17], не только учитывает сдвиговую миграцию частиц, но также фиксирует переход от потока Пуазейля при низких концентрациях частиц к закону Дарси при больших объемных долях частиц и, таким образом, решает проблему сингулярности эффективной вязкости при высоких концентрациях проппанта. Модель переноса проппанта, основанная на кинетическом подходе, была предложена в [18]. Более подробный обзор моделей переноса проппанта можно найти в обзорной статье [19].

Практическое моделирование гидроразрыва требует сопряжённого алгоритма для распространения трещины и переноса расклинивающего агента. В контексте сопряжения между псевдо-3Э моделью роста трещины и моделью переноса проппанта были проделаны следующие работы [20-22]. В первой работе [20] используется подход с подвижной сеткой, при котором сетка для переноса проппанта всегда соответствует геометрии трещины. Этот подход нетривиален для реализации, и, кроме того, пространственная дискретизация вдоль бокового направления должна совпадать с дискретизацией трещины. В работе [21] представлено сравнение между псевдо-3Э и полностью 3Э моделями гидроразрыва пласта, обе в сочетании с моделью переноса проппанта, основанной на [17]. Осо-

бое внимание уделяется эффектам оседания, образованию слоев проппанта и локальному закупориванию трещины проппатом, называемому бриджингом. В псевдо-ЭЭ версии переноса проппанта сделан ряд упрощений, в результате чего рассматриваются только два элемента дискретизации в вертикальном направлении, один из которых соответствует слою расклинивающего агента, а другой — несущей жидкости. В предположении, что выгодно иметь разные сетки для моделирования трещины и переноса проппанта, авторы в [22] представляют результаты численного моделирования, в котором используется относительно грубая геомеханическая сетка, но в то же время для транспортировки проппанта используется более мелкая сетка. Такой подход позволяет авторам учитывать локальные эффекты на малом масштабе при моделировании переноса, сохраняя при этом вычислительную эффективность всего алгоритма.

Руководствуясь подходом, изложенным в [22], основной целью первой главы данной работы является разработка сопряжённой модели роста трещины ГРП с переносом проппанта с акцентом на учет мелкомасштабных эффектов, связанных со сложным потоком внутри трещины. Для этого в качестве модели роста трещины берётся улучшенная псевдо-ЭЭ модель (ЕРЭЭ) [6], которая является вычислительно эффективной и в то же время довольно точной для стандартной в практике ГРП трёхслойной геометрии пласта. Первоначальная модель ЕРЭЭ не учитывала утечки жидкости в пласт, которая является важным механизмом при гидроразрыве пласта, что особенно важно для переноса проппанта. В связи с этим сперва добавляется учёт утечек в соответствии с эмпирической моделью Картера [23]. Затем происходит сопряжение геомеханической части с модулем транспортировки проппанта, который, в отличие от модели трещины, полностью двумерен. В дополнение к этому, перенос проппанта вычисляется с использованием сетки с высоким разрешением, что позволяет нам фиксировать такие эффекты, как «вязкие пальцы» или неустойчивость Сафф-мана-Тейлора, которая может возникать, когда жидкость с низкой вязкостью вытесняет жидкость с высокой вязкостью. Такие ситуации могут возникать, например, когда расписание закачки состоит из чередования пульсов суспензии с проппантом и чистой жидкости.

Рост трещины является первой стадией операции гидроразрыва пласта. После окончания расписания закачки наступает следующий этап, заключающийся в закреплении полученной трещины под действием смыкающих геоло-

гических напряжений в породе: трещина закрывается на проппант, в то время как жидкость гидроразрыва утекает в пласт. Наличие проппанта предотвращает полное закрытие трещины и создает высокопроницаемые каналы для лучшей добычи пластовой жидкости. При этом в полностью подпертых областях трещины проводимость трещины зависит от проницаемости сжатой упаковки расклинивающего агента и от оставшейся ширины трещины. Для определения проводимости упаковки проппанта с учетом соответствующих физических механизмов (таких как уплотнение, разрушение частиц, вдавливание и т.д.) используются как численное моделирование [24], так и лабораторные испытания [25]. Для оценки проводимости трещины тестируются различные сценарии, такие как увеличение прочности частиц расклинивающего агента, изменение типа расклинивающего агента, покрытие поверхности частиц, использование брейкеров геля в жидкости и т.д. Наличие сложных сетей естественных трещин также может существенно повлиять на итоговую продуктивность [26], но в данной работе такие эффекты не рассматриваются. Здесь предполагается, что проницаемость проппантной пачки и связанная с ней проводимость полностью подпертых областей трещины известны.

Ситуация кардинально меняется по мере того, как равномерное распределение проппанта внутри трещины заменяется на гетерогенное. В этой ситуации кластеры проппанта разделены незакрепленными каналами, которые потенциально могут оставаться открытыми благодаря поддержке соседних пачек проппанта. Результирующая эффективная проводимость трещины с такой канальной системой может быть намного выше, чем проводимость с эквивалентным полностью однородным распределением расклинивающего агента. Другими словами, при таком неоднородном размещении проппанта основным источником высокой проводимости является наличие пустот между упаковками проппанта. В дополнение к увеличению общей проводимости, такие структуры также способствуют лучшей очистке закреплённой зоны трещины от остатков несущей жидкости ГРП.

Эффекты неравномерного размещения расклинивающего агента были исследованы ранее. Например, в недавних исследованиях [27] и [28] обсуждается влияние дюн с проппантом, образованных на дне трещины, и зон, свободных от проппанта, над ними. Такое сложное распределение расклинивающего агента не только влияет на общую производительность трещины, но также может

привести к отсоединению подпираемой части трещины от ствола скважины. В частности, авторы в [27] оценивают геометрию трещины и вычисляют контактное напряжение для закрытой трещины с учетом образования расклинивающих дюн. Показано, что нормальная концентрация напряжений на стенках трещин вблизи вершины дюн контролируется механическими свойствами породы, высотой дюны с проппантом, а также свойствами упаковки проппанта. В работе [29] исследуется неоднородное размещение расклинивающего агента с использованием расписания закачки с чередованием жидкостей и кислот, а общая производительность оценивается для различных геометрий упаковок проппанта и протравленых кислотой стенок. Кроме того, могут существовать и другие механизмы, приводящие к неоднородному распределению проппанта. Например, шероховатость стенок трещины может приводить к повышенному взаимодействие между частицами и породой. Согласно [30], шероховатость трещины может существенно влиять на поток суспензии, и тогда требуется более высокая скорость закачки и вязкость несущей жидкости, чтобы обеспечить эффективный перенос проппанта в шероховатых трещинах. Однако влияние шероховатых стенок трещины в настоящей работе не предполагается.

Цели и задачи исследования

Мотивацией данной диссертационной работы является моделирование процесса формирования трещины ГРП для интенсификации добычи углеводородов, благодаря чему возможно более точное воспроизведение характеристик трещин при моделировании подземных операций. В связи с этим целью работы является построение сопряженной модели роста трещины и переноса проппанта, а также модели расчета остаточной проводимости закреплённой на проп-панте трещины. Также эти модели анализируются с помощью аналитических и численных методов. Можно выделить следующие задачи:

— Построение эффективной сопряженной численной модели роста трещины и неоднородного переноса жидкости с проппантом;

— Валидация моделей и численное решение полученных уравнений;

— Расчет остаточной проводимости трещины с неравномерным распределением проппанта, сомкнутой под действием сжимающих горных напряжений.

— Параметрическое исследование продуктивности закрепленной трещины, полученной различными пульсовыми расписаниями закачки.

Научная новизна

При решении задач были получены следующие новые результаты:

1. Разработанная ранее модель раскрытия трещины Enhanced Pseudo 3D дополнена механизмом учета фильтрационных утечек жидкости; разработана численная реализация модели переноса проппанта с переменной ширины и эволюции во времени площади трещины; реализовано сопряжение этих моделей.

2. Разработана упрощенная стационарная модель для определения формы закрепленной трещины гидроразрыва и расчета притока флюида к скважине по закрепленной трещине с учетом неоднородного распределения проппанта, зависимости проницаемости проппантной пачки от сжимающих напряжений и упругости берегов трещины. На основе численного моделирования показано различие в проницаемости закреплённых трещин ГРП при различных режимах закачки. Показано, что расписание, обеспечивающее гетерогенное заполнение трещины проппан-том, даёт лучшие показатели по притоку. Получение такое конфигурации в трещине возможно благодаря неустойчивостям на границе чистой жидкости ГРП и жидкости с проппантом при пульсовой закачке проппанта.

3. Приведена параметрическая зависимость результирующей проводимости трещины в зависимости от используемого расписания пульсовой закачки. Показано, что достаточно короткие пульсы и высокая эффективная вязкость жидкости/смеси дают желаемое распределение проппанта, препятствующее смыканию каналов. Проводящие свойства такой трещины дают наилучший результат по притоку.

4. Модель расчета остаточной проводимости дополнена учётом сжимаемости проппанта в зависимости от сжимающих напряжений и упругих свойств проппанта. Показано, что учёт сжимаемости даёт поправку на итоговую проводимость трещины порядка 10-15%.

Теоретическая и практическая значимость

Диссертационная работа носит практический характер. Опыт по работе по сопряжению моделей роста трещины и переноса проппанта был применён в проекте Кибер-ГРП [31] при сопряжении моделей роста трещины Planar 3D ILSA и двускоростной модели многокомпонентного переноса проппанта. Ведётся ра-

бота по экспериментальному сравнению результатов сопряжённой модели с лабораторным моделированием пульсовой закачки жидкостей разных вязкостей в слоте из трехслойных профилированных блоках оргстекла. Модель расчёта остаточной проводимости может быть встроена в коммерческий симулятор для возможности оценки влияния распределения проппанта на итоговый приток к скважине.

Методология и методы исследования

Для решения поставленных задач в диссертационной работе использовались:

— методы механики сплошных сред;

— решение матричных уравнений задачи роста трещины, реализованная в пакете МЛТЬЛБ;

— метод конечных объёмов и ТУР-схем, реализованные на языке С++;

— методы теории дифференциальных уравнений для вывода слабой постановки задач;

— метод конечных элементов, метод Ньютона и метод штрафа, реализованные в открытом программном продукте РгееРЕМ++.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы:

— В модель роста трещины ЕРЭР добавлен учет утечек в пласт. Проведена верификация с аналитическим решением (радиальная трещина) и с двумерной моделью Р1апагЭР 1ЬБЛ;

— Реализовано сопряжение модели роста трещины с моделью переноса жидкости с проппантом:

— Сопряжение Ш модели трещины и 2Р модели транспорта

— Сопряжение неявного интегрирования в ЕРЭР и явного при переносе

— Согласованность утечек в моделях

— Разработана упрощённая стационарная модель смыкания трещины на проппант и притока флюида к скважине по закреплённой трещине;

— Приведена параметрическая зависимость результирующей проводимости трещины в зависимости от используемого расписания пульсовой закачки.

— Дана оценка влияния учёта сжимаемости проппантной пачки на итоговую проводимость трещины.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается использованием устоявшихся в научном сообществе законов механики. Корректность результатов численного решения подтверждается проделанной проверкой численных алгоритмов на сходимость, в том числе с использованием аналитических решений. Основные результаты диссертационной работы прошли процедуру рецензирования и опубликованы в международных журналах [32], [33], [34]. Результаты диссертации использовались при создании зарегистрированных программ для ЭВМ. Доклады по теме работы были представлены и обсуждались

— на Всероссийской конференции с международным участием "Полярная механика". Новосибирск, 9-11 октября 2018

— на 73-й Международной молодежной научной конференции "Нефть и газ-2019". Москва, 22-25 апреля 2019

— на Всероссийской конференции и школе для молодых ученых "Математические проблемы механики сплошных сред", посвященной 100-летию со дня рождения акад. РАН Л.В.Овсянникова. Новосибирск, 13-17 мая 2019г.

— на Международной конференции "Coupled thermo-hydro-mechanical problems of fracture mechanics". Новосибирск, 1-5 июля 2019 г.

— на Всероссийской конференции с международным участием "XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики". Уфа, 19-24 августа 2019 г.

— на VI Всероссийской научной конференции "Теплофизика и физическая гидродинамика". Севастополь, 22-29 августа 2021 г.

— на Всероссийской научной конференции "Цифровые технологии в добыче углеводородов: от моделей к практике". Уфа, 5-8 октября 2021 г.

— на совместных семинарах ИГиЛ СО РАН и НТЦ Газпромнефти "Математическое моделирование ГРП" под руководством д.ф.-м.н. С.В. Головина (Новосибирск, 2019-2021);

— на семинаре "Прикладная гидродинамика" под руководством чл.-корр. РАН В.В. Пухначева и д.ф.-м.н. Е.В. Ерманюка Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2022);

— на семинаре "Краевые задачи механики сплошных сред" под руководством член.-корр. РАН П.И. Плотникова и В.Н. Старовойтова Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2022);

— на заседании секции 2 Ученого совета под председательством В.И. Терехова Института теплофизики им. С. С. Кутателадзе СО РАН (Новосибирск, 2022);

Личный вклад

Автор диссертационной работы внес принципиальный вклад в получение результатов, отражённых во всех совместных публикациях на равноправной основе: постановке задачи, выводе математической модели, разработке и верификации численного метода для ее решения, проведении численных экспериментов, обсуждении полученных результатов и их физической интерпретации, а также оформлении результатов в виде публикаций и научных докладов. Результаты, изложенные в конце второй главы диссертации, были получены автором полностью самостоятельно и опубликованы без соавторов.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 90 страниц с 26 рисунками и 9 таблицами. Список литературы содержит 65 наименований.

Краткое содержание работы

Целью данной работы является разработка сопряжённых численных моделей, позволяющих находить оптимальную геометрию трещины и распределение проппанта в ней, при котором будет достигаться максимальная проводимость закреплённой трещины. Во введении дается обзор литературы и современных результатов по теме диссертации. Для нахождения оптимального распределения проппанта по трещине при создании дизайна ГРП в первой главе диссертации проводится сопряжённое моделирование раскрытия трещины ГРП и переноса проппанта. На этой модели была проанализирована зависимость результирующей геометрии трещины и распределения проппанта внутри неё от расписания закачки. В частности показано, что пульсовые режимы закачки наиболее предпочтительны для достижения большой длины трещины, поскольку возникающая на границе низко- и высоковязких сред неустойчивость Саффмана-Тей-лора ведет к образованию каналов высокой проводимости, по которым чистая жидкость гидроразрыва легче продвигается к вершине трещины. При создании

сопряженной модели были впервые построены алгоритмы согласования двумерных (в проскости трещины) и одномерных (усредненных по высоте трещины) параметров: эффективной вязкости суспензии, фильтрационных утечек, давления в жидкости. Асимптотические зависимости, задающие характеристики продвижения фронта трещины, были также модифицированы с учетом этих параметров.

Далее во второй главе разрабатывается нелокальная стационарная модель смыкания трещины под действием сжимающих геологических напряжений и определения ее результирующей проводимости. Решена задача об определении раскрытия закрепленной трещины при гетерогенном размещении проппанта, а также вычислена проводимость такой трещины с учетом различной проводимости проппантных пачек внутри трещины и каналов между ними. Проведён параметрический анализ задачи смыкания между двумя симметричными столбами проппанта с получением безразмерного комплекса, характеризующего величин напряжений. В терминах этого комплекса анализируются численные результаты, в которых используются различные расписания закачки с целью получения оптимального результирующего притока из трещины в скважину. Проведенные тестовые расчеты выявили существенную зависимость конечной геометрии трещины от расписания закачки, что позволяет использовать полученную модель для оптимизации технологической процедуры гидроразрыва пласта.

В заключении делаются выводы о физических механизмах, влияющих на зависимость раскрытия трещины от гетерогенного переноса проппанта внутри нее, зависимости результирующей проницаемости трещины от расписания закачки проппанта, а также обсуждаются возможные технологические применения полученных результатов.

Благодарности

Автор выражает большую благодарность своему научному руководителю Головину Сергею Валерьевичу за руководство при проведении исследований, помощь в научной и организационной работе, а также Байкину Алексею Николаевичу, Валову Александру Викторовичу и Донцову Егору Владимировичу за обсуждение идей и результатов и ценные комментарии по работе.

Глава 1. Сопряжение модели роста трещины ЕР3О с моделью

переноса проппанта

Предложена сопряженная модель распространения трещины гидроразрыва пласта и переноса проппанта. Используется псевдо трехмерная модель [6] для распространения трещины. Модель течения флюида в трещине основана на законе сохранения массы в приближении теории смазки, и также учитывает утечку чистой жидкости в породу. Динамика суспензии из вязкой жидкости с проппантом описывается с использованием подхода эффективной вязкости.

1.1 Формулировка задачи

Изложим предположения, лежащие в основе математической модели, используемой для моделирования развития трещины гидроразрыва пласта, в основном, совпадающие с предположениями работы [6]. Основными механизмами, происходящими в горной породе, являются деформация породы, вызванная ростом трещины, развитие трещины под действием закачиваемой жидкости, течение вязкой жидкости внутри трещины и утечка этой жидкости в окружающую пористую породу. Для целей настоящего исследования далее предполагается, что:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Скопинцев Артур Маркович, 2023 год

Список литературы

1. Khristianovic S.A., Zheltov Y.P. Formation of vertical fractures by means of highly viscous fluids // Proc. 4th World Petroleum Congress. — Vol. 2. — 1955. — Pp. 579 - 586.

2. Sneddon Ian Naismith, Mott Nevill Francis. The distribution of stress in the neighbourhood of a crack in an elastic solid // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1946. — Vol. 187, no. 1009. — Pp. 229-260. — URL: https://royalsocietypublishing.org/doi/abs/ 10.1098/rspa.1946.0077.

3. Nordgren R.P. Propagation of vertical hydraulic fractures // Soc. Petrol. Eng. J. — 1972. — Pp. 306-314.

4. ID I.D. Palmer, Carroll H.B. Three-dimensional hydraulic fracture propagation in the presence of stress variation // Proceedings of the SPE/DOE/GRI unconventional gas recovery symposium, SPE/DOE 10849. — 1982. — Pp. 870-878.

5. Settari A., Cleary M.P. Development and testing of a pseudo-three-dimensional model of hydraulic fracture geometry (p3dh) // Proceedings of the 6th SPE symposium on reservoir simulation of the Society of Petroleum Engineers, SPE 10505. — 1986. — Pp. 185-214.

6. Dontsov E.V., Peirce A.P. An enhanced pseudo-3D model for hydraulic fracturing accounting for viscous height growth, non-local elasticity, and lateral toughness // Engineering Fracture Mechanics. — 2015. — Vol. 142. — Pp. 116-139.

7. Vandamme L., Curran J.H. A three-dimensional hydraulic fracturing simulator // Int. J. Numer. Meth. Eng. — 1989. — Vol. 28. — Pp. 909-927.

8. Peirce A., Detournay E. An Implicit Level Set Method for Modeling Hydrauli-cally Driven Fractures // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 2008. — Vol. 197. — Pp. 2858-2885.

9. Dontsov E, Peirce A. A multiscale Implicit Level Set Algorithm (ILSA) to model hydraulic fracture propagation incorporating combined viscous, tough-

ness, and leak-off asymptotics // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2017. — 01. — Vol. 313.

10. Simulating fully 3D non-planar evolution of hydraulic fractures / Sergey Cherny, Vasiliy Lapin, Denis Esipov et al. // International Journal of Fracture. — 2016.

— 07.

11. Peirce A.P., Bunger A.P. Interference Fracturing: Non-Uniform Distributions of Perforation Clusters that Promote Simultaneous Growth of Multiple Hydraulic Fractures // SPE 172500. — 2014.

12. Daneshy A. A. Numerical Solution of Sand Transport in Hydraulic Fracturing. // Society of Petroleum Engineers. SPE-5636-PA. — 1978. — Vol. 30.

13. Novotny E.J. Proppant transport // SPE paper 6813 presented at the 52nd Annual Fall Technical Conference and Exhibition of the Society of Petroleum Engineers of AIME held in Denver, Colorado, October 9-12, 1977. — 1977.

14. Pearson J.R.A. On suspension transport in a fracture: framework for a global model // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. — 1994. — Vol. 54.

— Pp. 503-513. — URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ 0377025794800391.

15. Adachi J. I., Detournay E., Peirce A. P. An Analysis of Classical Pseudo-3D Model for Hydraulic Fracture with Equilibrium Height Growth across Stress Barriers // Int. J. of Rock Mech. and Mm. Sci. — 2010. — Vol. 47. — Pp. 625-639.

16. Garagash Dmitry, Lecampion Brice. Confined flow of suspensions modeled by a frictional rheology // Journal of Fluid Mechanics. — 2014. — 09. — Vol. 759.

— Pp. 197-235.

17. Dontsov Egor, Peirce Anthony. Slurry flow, gravitational settling and a prop-pant transport model for hydraulic fractures // Journal of Fluid Mechanics. — 2014. — 12. — Vol. 760. — Pp. 567-590.

18. Eskin Dmitry, J. Miller Matthew. A model of non-Newtonian slurry flow in a fracture // Powder Technology. — 2008. — 02. — Vol. 182. — Pp. 313-322.

19. Osiptsov Andrei A. Fluid Mechanics of Hydraulic Fracturing: a Review // Journal of Petroleum Science and Engineering. — 2017. — Vol. 156. — Pp. 513-535.

— URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0920410517304928.

20. Dontsov E.V., Peirce A.P. Proppant transport in hydraulic fracturing: Crack tip screen-out in KGD and P3D models // International Journal of Solids and Structures. — 2015. — Vol. 63. — Pp. 206-218.

21. Shiozawa S., McClure M. Comparison of pseudo-3D and fully-3D simulations of proppant transport in hydraulic fractures, including gravitational settling, formation of proppant banks, tip-screen out, and fracture closure // SPE hydraulic fracturing technology conference. — 2016.

22. New Fracture Hydrodynamics and In-Situ Kinetics Model Supports Comprehensive Hydraulic Fracture Simulation / Ivan Velikanov, Vadim Isaev, Denis Ban-nikov et al. // SPE Europec featured at 80th EAGE Conference and Exhibition.

— 2018. — URL: https://doi.org/10.2118/190760-MS.

23. Carter E.D. Optimum fluid characteristics for fracture extension // Howard GC, Fast CR, editors. Drilling and production practices. — 1957. — Pp. 261-270.

24. A permeability model for the hydraulic fracture filled with proppant packs under combined effect of compaction and embedment / Dong Chen, Zhihui Ye, Zhejun Pan et al. // Journal of Petroleum Science and Engineering. — 2017.

— Vol. 149. — Pp. 428-435.

25. Generic Correlations for Proppant-Pack Conductivity / R. D. Barree, J. L. Miskimins, M. W. Conway (ret.), R.. Duenckel // SPE Production & Operations. — 2017. — 06. — Vol. 33, no. 03. — Pp. 509-521. — URL: https://doi.org/10.2118/179135-PA.

26. Hydraulic Fracture Closure in a Poroelastic Medium and Its Implications on Productivity / Puneet Seth, Ashish Kumar, Ripudaman Manchanda et al. — 2018. — 06. — Vol. All Days. — ARMA-2018-695.

27. Wang HanYi, Sharma Mukul M. Modeling of hydraulic fracture closure on prop-pants with proppant settling // Journal of Petroleum Science and Engineering.

— 2018. — Vol. 171. — Pp. 636-645. — URL: https://www.sciencedirect.com/ science/article/pii/S0920410518306429.

28. Wang J., Elsworth D. Role of proppant distribution on the evolution of hydraulic fracture conductivity // Journal of Petroleum Science and Engineering. — 2018.

— Vol. 166. — Pp. 249-262.

29. Chuprakov Dimitry, Bekerov Ilmir, Iuldasheva Aliia. Productivity of hydraulic fractures with heterogeneous proppant placement and acid etched walls // Applications in Engineering Science. — 2020. — Vol. 3. — P. 100018.

30. Effect of injection parameters on proppant transport in rough vertical fractures: An experimental analysis on visual models / Hai Huang, Tayfun Babadagli, Huazhou Andy Li et al. // Journal of Petroleum Science and Engineering. — 2019. — Vol. 180. — Pp. 380-395. — URL: https://www.sciencedirect.com/ science/article/pii/S0920410519304644.

31. CYBER FRAC - software platform for modeling, optimization and monitoring of hydraulic fracturing operations (Russian) / A. A. Erofeev, R. N. Nikitin, D. A. Mitrushkin et al. // Neftyanoe khozyaystvo - Oil Industry. — 2019. — 12. — Vol. 2019, no. 12. — Pp. 64-68. — URL: https://doi.org/10.24887/ 0028-2448-2019-12-64-68.

32. The coupling of an enhanced pseudo-3D model for hydraulic fracturing with a proppant transport model / A.M. Skopintsev, E.V. Dontsov, P.V. Kovtunenko et al. // Engineering Fracture Mechanics. — 2020. — Vol. 236. — P. 107177. — URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0013794420307608.

33. Skopintsev A M. Assessing the effect of proppant compressibility on the conductivity of heterogeneously propped hydraulic fracture // Journal of Physics: Conference Series. — 2021. — oct. — Vol. 2057, no. 1. — P. 012078. — URL: https://doi.org/10.1088/1742-6596/2057/1/012078.

34. The influence of heterogeneous proppant pack on fracture closure and productivity / A.M. Skopintsev, E.V. Dontsov, A.N. Baykin, S.V. Golovin // Journal of Petroleum Science and Engineering. — 2022. — Vol. 214. — P. 110494. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S092041052200376X.

35. Garagash D., Detournay E. The Tip Region of a Fluid-Driven Fracture in an Elastic Medium // J. Appl. Mech. — 2000. — Vol. 67. — Pp. 183-192.

36. Bunger A.P., Detournay E. Early time solution for a penny-shaped hydraulic fracture // ASCE J. Engrg. Mech. — 2007. — Vol. 133. — Pp. 175-190.

37. Detournay E., Peirce A. On the Moving Boundary Conditions for a Hydraulic Fracture // Int. J Eng. Sci. — 2014. — Vol. 84. — Pp. 147-155.

38. G.W. Govier K. Aziz. The Flow of Complex Mixtures in Pipes // Van Nostrand Reinhold Company. New York. — 1972. — P. 98.

39. L. Nicodemo L. Nicolais, Landel R.F. Shear Rate Dependent Viscosity of Suspensions in Newtonian and Non-Newtonian Liquids // Chem. Eng. Sci. — 1973.

— Vol. 29. — Pp. 729-735.

40. R.G. Keck W.L. Nehmer, Strumolo G.S. A New Method for Predicting Friction Pressures and Rheology of Proppant-Laden Fracturing Fluids // SPE Prod. Eng. — 1992. — Vol. 7(1). — Pp. 21-28.

41. Nolte K.G. Fluid Flow Considerations in Hydraulic Fracturing // Proc. SPE Eastern Regional Meeting, Charleston, SPE 18537. — 1988. — Vol. 53. — Pp. 145-56.

42. Crouch S. L., Starfield A.M., Rizzo F. J. Boundary Element Methods in Solid Mechanics // Journal of Applied Mechanics. — 1983. — Vol. 50. — P. 704.

43. Garagash D.I., Detournay E., Adachi J.I. Multiscale tip asymptotics in hydraulic fracture with leak-off // J. Fluid Mech. — 2011. — Vol. 669. — Pp. 260-297.

44. Adachi J. I., Peirce A. P. Asymptotic Analysis of an Elasticity Equation for a Finger-Like Hydraulic Fracture // Journal of Elasticity. — 2008. — Jan. — Vol. 90, no. 1. — Pp. 43-69. — URL: https://doi.org/10.1007/ s10659-007-9122-4.

45. Peirce A.P. Modeling multi-scale processes in hydraulic fracture propagation using the implicit level set algorithm // Comp. Meth. in Appl. Mech. and Eng.

— 2015. — Vol. 283. — Pp. 881-908.

46. Madyarova M. Fluid-driven Penny-shaped Fracture in Permeable Rock (Master's thesis) // University of Minnesota, Minneapolis, MN, USA. — 2003.

47. Detournay E. Mechanics of Hydraulic Fractures // Annual Review of Fluid Mechanics. — 2016. — Vol. 48, no. 1. — Pp. 311-339. — URL: https://doi.org/ 10.1146/annurev-fluid-010814-014736.

48. Dontsov E. V. An approximate solution for a penny-shaped hydraulic fracture that accounts for fracture toughness, fluid viscosity and leak-off // Royal Society Open Science. — 2016. — Vol. 3, no. 12. — P. 160737. — URL: https:// royalsocietypublishing.org/doi/abs/10.1098/rsos.160737.

49. LeVeque J. High-Resolution Conservative Algorithms for Advection in Incompressible Flow // Siam Journal on Numerical Analysis - SIAM J NUMER ANAL. — 1996. — 04. — Vol. 33.

50. Roe P L. Characteristic-Based Schemes for the Euler Equations // Annual Review of Fluid Mechanics. — 1986. — Vol. 18, no. 1. — Pp. 337-365. — URL: https://doi.org/10.1146/annurev.fl.18.010186.002005.

51. Sweby P. K. High Resolution Schemes Using Flux Limiters for Hyperbolic Conservation Laws // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1984. — Vol. 21, no. 5. — Pp. 995-1011. — URL: http://www.jstor.org/stable/2156939.

52. On the contact domain method: A comparison of penalty and Lagrange multiplier implementations / R. Weyler, J. Oliver, T. Sain, J.C. Cante // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2012. — Vol. 205-208.

— Pp. 68 - 82. — Special Issue on Advances in Computational Methods in Contact Mechanics. URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ S0045782511000120.

53. Baykin A.N., Golovin S.V. Application of the Fully Coupled Planar 3D Poroe-lastic Hydraulic Fracturing Model to the Analysis of the Permeability Contrast Impact on Fracture Propagation // Rock Mech. Rock Eng. — 2018. — Vol. 51.

— Pp. 3205-3217.

54. Louis C. A Study of Groundwater Flow in Jointed Rock and Its Influence on the Stability of Rock Masses // London, Eng: Imperial College of Science and Technology. — 1969.

55. Saffman P. G., Taylor Geoffrey. The Penetration of a Fluid into a Porous Medium or Hele-Shaw Cell Containing a More Viscous Liquid // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. — 1958. — Vol. 245, no. 1242. — Pp. 312-329. — URL: http: //www.jstor.org/stable/100420.

56. Crouch S.L., Starfield A.M. Boundary Element Methods in Solid Mechanics. — London: George Allen and Unwin, 1983.

57. Solution of crack problems, The Distributed Dislocation Technique, Solid Mechanics and its Applications / D.A. Hills, P.A. Kelly, D.N. Dai, A.M. Korsunsky. — Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 1996. — Vol. 44.

58. Perkins T.K., Kern L.R. Widths of Hydraulic Fractures // J. Pet. Tech. Trans. AIME. — 1961. — Pp. 937-949.

59. Nordgren R.P. Propagation of vertical hydraulic fractures // Soc. Petrol. Eng. J. — 1972. — Pp. 306-314.

60. Rice J.R. Mathematical analysis in the mechanics of fracture // Fracture: An Advanced Treatise / Ed. by H. Liebowitz. — New York, NY: Academic Press, 1968. — Vol. II. — Pp. 191-311.

61. Adachi J. I., Detournay E., Peirce A. P. An Analysis of Classical Pseudo-3D Model for Hydraulic Fracture with Equilibrium Height Growth across Stress Barriers // Int. J. of Rock Mech. and Min. Sci. — 2010. — Vol. 47. — Pp. 625-639.

62. Hertz H. // Journal fUr die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). — 1882. — no. 92. — P. 156-171.

63. Fung Y C, Tong Pin. Classical and Computational Solid Mechanics. — WORLD SCIENTIFIC, 2001.

64. Terzaghi K., Peck R.B., Mesri G. Soil Mechanics in Engineering Practice. — 3rd Edition, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1996.

65. Coduto D. P. Foundation design : principles and practices. — Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 2001.