Соотношения для специальных функций математической физики, связанные с унимодулярными псевдоортогональными группами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Шилин, Илья Анатольевич

• Шилин, Илья Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шилин, Илья Анатольевич

Введение.

Глава 1. Представления унимодулярных псевдоортогональных групп

1. Группа БО(ру ее алгебра Ли и некоторые подгруппы.

2. Орбиты некоторых подгрупп и инвариантные меры.

3. Представление Г0 группы в пространстве Оа

Глава 2. Соотношения, соответствующие переходам между базисами

1. Соотношения, связанные с группой БО (2,1).

2. Соотношения, связанные с группой 80(2,2).

3. Соотношения, связанные с группой БО(3, 2).

4. Соотношения, связанные с произвольной псевдоортогональной группой.

Глава 3. Соотношения, индуцированные представлениями подгрупп

1. Соотношения, связанные с группой ¿>(9(2,1).

2. Соотношения, связанные с группой БО(2,2).

3. Соотношения, связанные с группой БО(3, 2).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Соотношения для специальных функций математической физики, связанные с унимодулярными псевдоортогональными группами»

Актуальность темы. Теория специальных функций возникла в конце 18-го века, когда при решении дифференциальных уравнений математической физики и вычислении интегралов появилось большое число неэлементарных функций. В настоящее время насчитывается огромное количество как самих таких функций, так и их классов. Столь же обширна и область приложения специальных функций — Ричард Аски предложил даже в связи с этим называть специальные функции «функциями, используемыми всюду» ([71]; в предисловии к [43] он дает «простое, но не инвариантное относительно времени определение: функция называется специальной, если встречается настолько часто, что ей присваивается название»).

Наряду с другими подходами к проблеме унификации знаний о специальных функциях (общей теорией ортогональных многочленов, аналитической теорией линейных дифференциальных уравнений, к которым относится уравнение Гаусса, теорией интегральных преобразований, таких, как Лапласа, Меллина, Фурье) важную роль играет теоретико-групповой подход, основу которого составляет теория представлений групп Ли.

Связь между специальными функциями и представлениями групп, обнаружившаяся в теории инвариантов и картановской теории симметрических римановых пространств, оказалась наиболее заметна в квантовой механике, поскольку для решения возникающих там дифференциальных уравнений методом разделения переменных понадобилось использовать симметрию, то есть группы преобразований, оставляющие инвариантными некоторые важные характеристики уравнений. Поскольку в некоторых частных случаях решения таких уравнений удавалось выразить через специальные функции, возникла потребность в изучении связи специальных функций и указанных групп преобразований. Таким образом, представления групп оказались связаны в первую очередь со специальными функциями математической физики. Соответственно изменилось и понимание последних: в теоретико-групповой трактовке их первостепенная роль заключается в демонстрации отношений симметрии.

Под влиянием работ И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка по исследованию неприводимых представлений некомпактных групп Ли в 1965 году вышла монография Н. Я Виленкина [12], впервые оформившая «побочный эффект метода разделения переменных» в самостоятельное научное направление. В 1968 году, когда эта книга была переиздана в США, появились две родственные ей монографии У. Миллера ([84]) и Дж. Толмена ([94]). С этого момента число работ, посвященных теоретико-групповым методам в теории специальных функций, нарастает лавинообразно. Важные результаты, относящиеся в первую очередь к самой теории представлений, получили в своих работах И. М. Гельфанд, М. А. Наймарк ([49]), Н. Я. Виленкин, 3. Я. Шапиро, М. И. Граев, Ф. А. Березки, С. Г. Гинди-кин, Д. П. Желобенко, Р. С. Исмагилов, В.-Б. К. Рогов, В. Ф. Молчанов, А. У. Климык и др. В работах Н. Я Виленкина ([12] - [23]), М. И. Граева, М. А. Шлейниковой ([23], [64]), Е. Е. Петрова, А. И. Нижникова ([20], [21], [50] - [55]), Л. М. Клесовой ([15], [16]), А. П. Павлюка ([16, 58], [62]), Г. М. Гузаирова, А. А. Руднева, О. А. Дорошкевич ([14]) теоретико-групповые методы являются лишь средством, с помощью которого получены различные соотношения, интегральные представления, рекуррентные и предельные формулы и т. д. для различных специальных функций.

К сегодняшнему дню взгляд на специальные функции математической физики как на матричные элементы представлений групп Ли является общепризнанным. И хотя в последнее время много внимания уделяется <7-аналогам специальных функций, все так же актуальным остается исследование классических специальных функций теоретико-групповыми методами. Так, решение многих задач в различных областях науки и техники часто приводит к вычислению интегралов (в том числе и многомерных) и рядов (в том числе по нескольким параметрам), содержащих специальные функции. Несмотря на обширность справочной литературы по этому вопросу, всегда остаются ряды и интегралы, не попавшие в нее. Полученные в настоящей работе результаты пополняют наши представления о специальных функциях.

Целью работы является получение новых соотношений для некоторых специальных функций математической физики. Ставятся задачи: а) получить формулы, возникающие при рассмотрении матричных элементов линейных преобразований одних базисов пространства представления унимодулярной псевдоортогональной группы в другие; б) получить формулы, возникающие при изучении матричных элементов представлений указанных групп или их подпредставлений.

Методологическую основу исследования составляют теоретико-групповые методы, методы математического анализа и линейной алгебры и теория групп и алгебр Ли.

Новыми результатами, полученными в работе, являются все теоремы о соотношениях между специальными функциями, полученные в главах 2 и 3, а также теорема о согласованности пространств представления, доказанная в главе 1. При этом из некоторых теорем, содержащихся в главах 2 и 3, легко выводятся частные случаи некоторых известных формул (например, теорема 3 и замечание к ней). Более подробно о теоремах глав 2 иЗ: а) найдены элементы матриц операторов перехода между базисами пространства представления, содержащие специальные функции. Например, элементы одной из таких матриц имеют вид (при к е N и к+1

Яе а> и=о/=о \Ч

1 + п + \ к-1 +1 х х 2^1

И-/ + 1

И-/ + 3 с.к-1 + 1;-—+ —1

2 2 (1-ы2*+3я+/)В

1-п + \ ст,&-/ +1 х (-п-1 + 1 -п-1 + 3 , ЛТ х ----стД-/ + 1;---+ с + к;-1\]; б) вычислены матричные элементы представлений и подпредставлений псевдоортогональных групп, выражающиеся через специальные функции. Например, матричные элементы одного из подпредставлений группы Лоренца при -1 < Яе ст < 0 имеют вид

I.AT1,1-*^ I | иГ+1/2|>-Г+1/2 eZ x Г 1 (-k sign X - ст) Г 1 (-к sign ц + ст +1) х хГ х(2\Х\ )W хСг^КехрН))); к sign л, а+- -к sign \i, ст+в) вычислены значения некоторых интегралов, содержащих специальные функции. Так, при -1 < Re о < -— iZ

QO j 1 {у) к 1 (-y)dy = о+-2

0 2 1 (-1) 2 л22а"3 ехр

Г а + 1 : f 3^1

--я* r

I 2 y 1 I 2 J х х I 2/'~° В

- сг, ст + — 2 1

2 'у

В 1 (-а,-а) х f а-1 , я + З ,ч

-Г(ст + 1)Г

-1 Г . з^ з. ,Y|

СТ +

V ¿-J

2^1ст + 1,-;ст + -;-1||; при Re ст > -1 и к € N о+к

00

О-к

J (1 + *sh s) 2 (1 - zsh s) 2 ехр (/ps) =

00 k-\ S (-1) /=0

3 К

G + l-ip X x 2Fl

CT +1 + ф

Lk-2l + \: ст + 3 - ф HfB ст + 1 + zp

-/Д-2/ + 1 х 2*1 г) вычислены суммы сходящихся числовых рядов, элементы которых являются значениями специальных функций. В частности, доказано, что при -2<Кест<0и/>0

5, s=Ot=-s V2 2 х Г

-1

S + t-G t-S-G

2 ' 2 тГ1 а"1 (а +1) [вт (ст +1)]-1 В

0+1(0^0+1(0 = 2 ' 2

I 2' 2

2^(1,а + 2;2;1); д) вычислены некоторые конечные суммы, элементы которых суть значения специальных функций. Показано, например, что при -1 < Ые с < 5, т>0и2п>т

2 п-т п } и = О у' = 0 1 = 0

2 п-т и у и. л кЬ

1 + (-1)2*-л,-*--Н) х х ("О7

-n-u-2l В п + -1-и-т / + и + Р х

1 1

X Е Е ИГ(/+м+1)+У+1 (а + п + 1)У (а + V + п + З)"1 х у = 0 ^ = 0 х 5Г4 а + л + у +1 а + и + у , / + м + 1 + у а + л + у + 3 ^

1,-,--1-1,-,

2 2 2 2 !

0-1+у 1 0-1+у , 7-/Я + 1 + У ст+л+у+5

2 , — + 2 ,п Н--,

2 2 2 0; е) найдены некоторые представления специальных функций. Например, если к е N. А, е И и -1 < Яе ст < 0, то

Щ з18п X, о+1/2 (2| Я |) = | X |0+1/2 Г (к X - а) х х п=о1=о

1 + П + 1

Д-/ + 1 X х 2*1 п-1 +1 су, к -1 +1;

-/ + 3 (1+.2Ш«+/)в

Г/-« + 1 су, к -1 +1 х

-п-1 +1 . , , -п-1 + 3 , Л~| х 2*1 -=--а,*-/ +1;---+ а + £;-1 М; при Ле су < О 1 ст+-2 сЬ+ бЬсова (<ЯИ + sht сова)2 ехр

- ¡X эЬ Г эт а сht + sht сова х х гтг^г

X ехр (Чка X) (сЬ ОIV к^Ъ 1 -к, а+-2

2|Х|); при-2 < Яе а < О, ^ € N11 {0}, Г е Х,\г\<з и Ы<м а+1

АГст1(2~1(-у2 +Г2)1/2) = 2а~3 (52 +*2) 2 (ехрр)"° (ехР2р + 1) х х (ехр 20 -1)"°-1 Г (-с) Г (су + 2) Г-1

5 + Г-СТ^-!

Г -5 —а

00 +00 -—-1 2

X I / (к2 - V2) 2 (ш)° а+1 (и - V) \Vts с+1 (и + V) X

00 —оо

2 ' 2

2 " 2 х 2^1 (1, - а; 2; 1 + ум 4 (ехр 2р -1) (ехр 2р +1)) йи ¿Л>.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что полученные новые соотношения раскрывают свойства специальных функций. Найденные формулы могут быть применены в вычислительных задачах как математики (например, в задачах математической физики ([4], [7], [71], [72],

92]), гармоническому анализу на группах ([73], [90]) и т. д.), так и других областей науки, что объясняет практическую значимость работы.

Структура работы. Работа состоит из введения и трех глав, разбитых на пункты. Нумерация лемм и теорем — сквозная. Завершают работу библиографический список, в котором указаны 99 работ, и список печатных работ автора по теме диссертации. Общий объем работы —132 страницы.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Шилин, Илья Анатольевич

Заключение

В настоящей работе удалось получить новые естественные соотношения для некоторых специальных функций математической физики. В частности, вычислены значения определенных интегралов, содержащих функции Бесселя (теоремы 9 и 10), функции Уиттекера (теорема 2) и гипергеометрические функции Гаусса (теорема 7), получены представления функции Макдональда в виде ряда по произведениям функции Лежандра первого рода на функцию Уиттекера второго рода (теорема 11) и в виде определенного двойного интеграла от произведения двух функций Уиттекера второго рода (теорема 19), найдено представление функции Уиттекера второго рода в виде ряда по функциям Гаусса (теорема 5), установлено соотношение для О-функции Мейера (теорема 3), подсчитаны некоторые конечные суммы, в слагаемые которых входят гипергеометрические функции Гаусса (теорема 34), гипергеометрические функции 4^з(.) (теорема 29) и 5^4(.) (теорема 30) и т. д. Полученные соотношения оказались тем проще, чем меньше число р + д. Так, самые простые соотношения (значения рядов и интегралов, содержащих одну или произведение нескольких специальных функций) оказались связанными с трехмерной группой Лоренца. Свойства некоторых рядов по двум параметрам, содержащие специальные функции, оказалось возможным получить, перейдя к группе БО(2, 2). Соотношения для других случаев уни-модулярных псевдоортогональных групп оказываются, как правило, более сложными, и упрощения получаются в том случае если искусственно ограничивать часть параметров матричных элементов или элементов группы (то есть придавать им конкретные значения, например, приравнивать к нулю).

Полученные в работе формулы могут быть использованы в вычислительных процессах, осуществляемых на ЭВМ. Так, многие из формул содержат гипергеометрическую функцию Гаусса или функцию з^(.)» н0 в последнее время появились мощные программы, вычисляющие значения этих функций (например, программы [69] и [88], составленные на языке Фортран). Кроме того, в ряде случаев с помощью теорем о понижении порядка обобщенную гипергеометрическую функцию можно выразить через з /^2 (- ■) или функцию Гаусса (одна из новых теорем содержится в статье [80]; в этой же статье помещены таблицы, позволяющие иногда свести вычисление значений функции з^2(.[ 1) к вычислению значений гамма-функции).

Материал, содержащийся в работе, может быть использован для дальнейшего исследования. Во-первых, с помощью вычисленных в работе матричных элементов линейных преобразований пространства представления, переводящих один базис в другой, и матричных элементов представлений и подпредставлений можно конструировать новые соотношения, используя в различных вариациях свойства матричных элементов. Во-вторых, даже в случае групп 2, 2) и £0(3, 2) были использованы не все из 10 переходов между базисами и вычислены матричные элементы относительно только некоторых из 5 базисов. В-третьих, в БО(ру можно выделить новые подгруппы и рассмотреть связанные с ними под-представления. В-четвертых, к уже полученным соотношениям можно применить известные формулы, выражающие одни функции через другие (например, формулы понижения порядка, о которых говорилось в предыдущем абзаце). Все это позволит получить новые интересные соотношения для специальных функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шилин, Илья Анатольевич, 2004 год

1. Барут А., Рончка Р. Теория представлений и ее приложения. - М., Мир, 1980.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. — М., Наука, 1969, Том I —1969, Том И —1970.

3. Вейлъ Г. Классические группы, их инварианты и представления. М., ИЛ, 1947.

4. Вейлъ Г. Теория групп и квантовая механика. — М., Наука, 1986.

5. Вердиев Й А. Группа 0(2, 1) и ее дуальность // Ядерная физика, 1974,20,4, 819-826.

6. Вердиев И. А. Инварианты невырожденных представлений группы псевдоортогональных матриц БО(р, 1). Баку, препринт № 60 ИФ АН Азербайджана, 1978

7. Вердиев Й А. Инварианты представлений групп Лоренца и их применения в дуальной модели физики частиц. Баку, АН Азербайджана, 1978.

8. Вердиев Й А. Инварианты представлений группы псевдоортогональных матриц БО (р, <?). Киев, препринт № 46 ИТФ АН Украины, 1977.

9. Вердиев Й А. Коэффициенты Клебша — Гордона группы Лоренца // Теоретическая и математическая физика, 1973,16, 3,360 367.о

10. Вердиев И. А. Полная система функций на однополостном гиперболоиде //Ядерная физика, 1969,10,6, 1282 1286.

11. Вердиев Й А. Реализация представлений группы БО(р, на пространстве однородных вектор-функций на конусе. Баку, препринт № 44 ИФ АН Азербайджана, 1976

12. Виленшн Н. ЯСпециальные функции и теория представлений групп. -М., Наука, 1991.

13. Виленкин Н. Я., Дорошкевич О. А. Аналоги теоремы Функа — Гекке и теоремы сложения для специальных функций // Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса (сб. научн. трудов, МГОПИ), 1993,8 (1), 33 45.

14. Виленкин Н. Я., Клесова Л. М. Непрерывные части базисов на гиперболоидах // Ядерная физика, 1980,31, 1,204 220.

15. Виленкин Н. Я., Клесова Л. М, Павлюк А. П. К теории представлений псевдоортогональной группы // Теоретико-групповые методы в физике (труды международного семинара, Звенигород, 28 30 ноября 1979 г.). - М., Наука, 1980,40 - 46.

16. Виленкин Н. Я., КлимыкА. У. Представления групп Ли и специальные функции // Итоги науки и техники (серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления»). — М., ВИНИТИ, 1990, 59,145- 263.

17. Виленкин Н. Я., КлимыкА. У. Представления группы ££,(2, К) и соотношения для специальных функций математической физики. Киев, препринт №88-4 ИТФ АН Украины, 1988.

18. Виленкин Н. Я., КлимыкА. У. Симметрии и интегральные преобразования. Киев, препринт № 88-95Р ИТФ АН Украины, 1988.

19. Виленкин Н. Я., Нижников А. И. Интегральные соотношения для в-функций Мейера и представления «-мерной группы Лоренца // Известия вузов: математика, 1979, 5 (204), 13 — 19.

20. Виленкин Н. Я., Нижников А. И. Матричные элементы перехода от базиса Ак к базису Вм ^± // Функциональный анализ (межвуз. сб. научн.тр., Ульяновск), 1977, 8,45 48.

21. Виленкин Н. Я., Павлюк А. П. Реализация на матричном конусе неунитарных представлений основной серии группы БОо (р, #). М., МГПИ им. В. И. Ленина, 1981 (депонировано в ВИНИТИ, 3467-81).

22. Виленкин Н. ЯШлейникова М. А. Интегральные соотношения для функций Уитгекера и представления трехмерной группы Лоренца // Математический сборник, 1970, 81,185-191.

23. Винберг Э. Б. Линейные представления групп. — М., Наука, 1985.

24. Волчков В. В., Волчков В. В. Новые интегральные представления для гипергеометрической функции // Украинский математический журнал, 2001,53,4,435-440.

25. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М., Добросвет, 1998.

26. Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Задачи по интегральной геометрии. М., Добросвет, 2000.

27. Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений (серия «Обобщенные функции», вып. 5). М., Физматлит, 1962.

28. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. М., Физматлит, 1958.

29. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М., Физматлит, 1962.

30. Желобенко Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли. М., Наука, 1974.

31. ЖелобенкоД. П., Штерн А. И. Представления групп Ли. М., Наука, 1983.

32. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. — М., Наука, 1970.

33. Кириллов А. А. Введение в теорию представлений и некоммутативный гармонический анализ // Итоги науки и техники (серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления»). М., ВИНИТИ, 1988,22,5 - 162.

34. Кириллов А. А. Лекции по теории представлений групп Ли. М., МГУ, 1971.

35. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1972.

36. Климык А. У. Интегральное представление матричных элементов группы БОо (р, <?) и матричные элементы представлений группы БО{р + в БО(р)х 50(?)-базисе. Киев, препринт № 122-Р ИТФ АН Украины, 1979.

37. Кузнецов Г. И., Москалюк С. С., Смирнов Ю. Ф., Шелест В. П. Графическая теория представлений ортогональных и унитарных групп и ее физические приложения. Киев, Наукова думка, 1992.

38. Лезнов А. Я. Инфинитезимальные операторы регулярного представления некомпактных групп вращения 0(ру 4). — Серпухов, ИФВЭ, 1968.

39. Лезнов А. Н., Федосеев И. А. Унитарные представления группы де-Ситтера 0(2,3). Серпухов, ИФВЭ, 1968.

40. Ленг С. ^(К). М., Мир, 1977.

41. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М., Мир, 1981.

42. Молчанов В. Ф. Гармонический анализ на однородных пространствах // Итоги науки и техники (серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления»). М., ВИНИТИ, 1990, 59, 5 — 144.

43. Молчанов В. Ф. Канонические представления на симметрических пространствах // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования. Москва, 1998.

44. Молчанов В. Ф. Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом // Математический сборник, 1970, 81,358 — 375.

45. Молчанов В. Ф. Представления псевдоунитарной группы, связанные с конусом // Функциональный анализ (межвуз. сб. научн. тр., Ульяновск), 1984,22, 55-65.

46. Молчанов В. Ф. Разделение серий для гиперболоидов // Функциональный анализ и его приложения, 1997,81,3,35 43.

47. Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. М., Физ-матгиз, 1958.

48. Наймарк М. А. Теория представлений групп. М., Наука, 1976.

49. Нижников А. И. Гипергеометрические функции и многомерная псевдоортогональная группа БО(р, <7). М., МГОПУ, 1996.

50. Нижников А. И. Интегральные соотношения для специальных функций, связанные с представлениями группы Лоренца // Функциональный анализ (межвуз. сб. научн. тр., Ульяновск), 1982, 19, 85 -89.

51. Нижников А. И. Некоторые соотношения для функций Уиттекера // Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса (сб. научн. трудов, МГОПУ), 1995,11,44 50.

52. Нижников А. И. Преобразования между базисами, соответствующими редукции группы БО(2, 2) на некоторые подгруппы // Функциональный анализ (межвуз. сб. научн. тр., Ульяновск), 1985, 24, 86 — 91.

53. Нижников А. И. Соотношения для гипергеометрических функций,связанные с переходом от базиса к базису {Яд/,у±} Ч Функциональный анализ (межвуз. сб. научн. тр., Ульяновск), 1978, 11, 111 -116.

54. Нижников А. И. Соотношения для С-функций Мейера, связанные с преобразованиями между базисами // Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур (сб. научн. тр., МГОПУ), 1998,1,74-97.

55. Николов А. В. Структура и параметризация групп 0(р, <7) и II (р, <7) // Болгарский физический журнал, 1975,2, 6, 537 545.

56. Павлюк А. П. Интегральные формулы для матричных элементов операторов представлений основной неунитарной серии группы БОо (р, #). М., МГЗПИ, 1981 (депонировано в ВИНИТИ, 3468-81).

57. Павлюк А. П. Представления ортогональных и псевдоортогональных групп и специальные функции матричного аргумента. — Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М., МГЗПИ — МГУ — МИЭМ, 1983.

58. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М., Наука, 1986.

59. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М., Наука, 1983.

60. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М., Наука, 1981.

61. Суэтин П. К. Классические ортогональные многочлены в математической физике // Интегральные преобразования и специальные функции, 1998, 1, 3, 13-16.

62. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М., ИЛ, 1964.

63. Шлейникова М. А. Матричные элементы неприводимого представления группы 50(2, 1) и обобщенная гипергеометрическая функция //

64. Гармонический анализ на группах (сб. научн. трудов, МГЗПИ), 1974, 39,219-238.

65. Askey R. Orthogonal polynomials and special functions. Philadelphia, SIAM, 1975.

66. Basu Debabrata. The Lorentz group in the oscillator realization. The group SO(2, 1) and the transformation matrices connecting the SO(2) and SO (I, 1) bases // Journal of Mathematical Physics, 1978, 19, 8,1667 1670.

67. Boyer C. P., Ardalan F. On the decomposition SO(p, l)^SO(p- 1,1) for most degenerate representations I I Journal of Mathematical Physics, 1971, 12, 12,2070-2075.

68. Folland G. B. Hermite distributions associated to the group 0(p, q) // Proceedings of American Mathematical Society, 1998,6,1751 — 1703.

69. Forrey R. C. Computing the hypergeometric function // Journal of computational physics, 1997,137, 1,79 100.

70. Gilmore R. Lie groups, Lie algebras and some of their applications. — New York, Wiley, 1974.

71. Group representations in mathematics and physics. Berlin, SpringerVerlag, 1970.

72. Hamermesh M. Group theory and its applications to physical problems. -Massachusetts, Addison-Wesley, 1962.

73. Howe R., Tan E. Ch. Non-abelian harmonic analysis. Applications of <SZ(2, R). New York, Springer, 1992.

74. Humphrays J. E. Introduction to Lie algebras and representation theory. -Berlin, Springer, 1972.

75. Kalnins E. G. Mixed basis matrix elements for the subgroup reductions of SO( 2,1) // Journal of Mathematical Physics, 1973, 14, 5,654 657.

76. Kaufman B. Special functions of Mathematical physics from the wiewpoint of Lie algebra // Journal of Mathematical Physics, 1966, 7, 5,447 457.

77. Khanna I. K., Bhagavan V. S., Singh M. N. Generating relations of the hypergeometric functions by the Lie group-theoretical method I I Mathematical physics, analysis and geometry, 2000,3,3,283 303.

78. KlimykA. U. Classical Lie groups, quantum groups and special functions. -Amsterdam, CWI Quarterly, 1992,5, 271 291.

79. Koormvinder Т. H. Jacobi functions and analysis on noncompact semisimple Lie groups // Special functions: group theoretical aspects and applications. Dordrecht, D. Reidel Publishing Company, 1984, 1 -86.

80. Lavoie J. L., Grondin F., Rathie A. K. Generalizations of Whipple's theorem on the sum of 3 F2 // Journal of computational and applied mathematics, 1996,72, 293-300.

81. Limic N., Niederle J. Reduction of the most degenerate unitary irreducible representations of SO0(m, n) when restricted to a non-compact rotation subgroup // Annales de I'nstitut Henri Poincare, 1968, 9,4,327 369.

82. Limic N., Niederle J., Raczka R. Continuous Degenerate Representations of Noncompact Rotation Groups // Journal of Mathematical Physics, 1966, 7, 11,2026-2035.

83. Limic N., Niederle J., Raczka R. Eigenfunctions Expansions Associated with the Second-Order Invariant Operator on Hyperboloids and Cones // Journal of Mathematical Physics, 1967,8,5, 1079 1091.

84. Miller W. Lie theory and special functions. New York — London, Academic Press, 1968.

85. Niederle J. Decomposition of Discrete Most Degenerate Representations of SOq (p, q) when Restricted to Representations of SOq (p, q 1) or SO0 (p - 1, q) II Journal of Mathematical Physics, 1967,8,9,1921 - 1930.

86. Oberhettinger F. Tabellen zur Fourier transformation. — Berlin, SpringerVerlag, 1957.

87. Oberhettinger F., Magnus W., etc. Formulas and theorems for the special functions of mathematical physics. Berlin., Springer-Verlag, 1966.

88. Parihar R. V. Computational method for the hypergeometric function 3 F2 (a, b, c\ d, e\ z) II Journal of Maulana Azal college of Technology, 1996,29, 87-89.

89. Raczka R, Limic N., Niederle J. Discrete Degenerate Representations of Noncompact Rotation Groups // Journal of Mathematical Physics, 1966, 7, 10,1861-1876.

90. Ruhl W. The Lorentz group and harmonic analysis. New York, Benjamin, 1970.

91. Sanchis-Lozano M. A. Simple connections between generalized hypergeometric series and dilogarithms // Journal of computational and applied mathematics, 1997, 85,325 331.

92. Symmetries in science. New York, Plenum Press, 1980.

93. Special functions. Tokyo, Springer, 1991.

94. Talman J. D. Special functions: a group theoretical approach. N. Y., Benjamin, 1968.

95. Temme N. An introduction to the classical functions of mathematical physics. -N. Y., Wiley, 1999.

96. Terras A. Harmonic analysis on symmetrical spaces and applications. Volume 1. Berlin, Springer, 1985.

97. Theory and application of special functions / Edit. R. Askey. New York, Academic Press, 1975.

98. Vilenkin N. Y., Klimyk A. U. Representations of Lie Groups and Special Functions. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers Group, Volume 1 — 1991, Volume 2 —1993, Volume 3 —1992.

99. Vilenkin N. Y., Klimyk A. U. Representations of Lie Groups and Special Functions. Recent advances. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers Group, 1995.1. Печатные работы автора

100. Аббревиатуры ГАГ и ММ обозначают соответственно сборники научных трудов МГОПУ «Гармонический анализ на группах» и «Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур».)

101. V. Шилин И. А. О некоторых формулах для функций 2F\-> jP2 и Р^ II1. ГАГ, 2003,41,85-89.

102. VI. Шилин И. А. Полярная Z2 -градуировка касательного пространства

103. TeSOQ(p,q) IIММ, 2000,3, 125 127.

104. VII. Шилин И. А. Свойства специальных функций, полученные при некоторых интегральных преобразованиях // ГАГ, 2003,41,90 99.

105. X. Шилин И. А. Соотношения для специальных функций, связанные с одной реализацией представления группы SO(3, 2) // ГАГ, 1998, 40, 170 -182.

106. XI. Шилин И. А., Прокофьева Н. В. Интегральные соотношения для функций Уиттекера при переходе между окружностью и параболой // Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса (сб. научн. трудов, МГОПУ), 1997,15, 85 91.

107. XII. Shilin /. A. On some series and integrals connected with the group SO (2, 2) // VI International Congress on Mathematical Modeling, Nizhny Novgorod, September 20 26, 2004. Abstracts. - Nizhny Novgorod, University of Nizhny Novgorod, 2004, p.