Соотношения для некоторых классов специальных функций математической физики, связанные с представлениями группы SO(p,p+1) тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Прокофьева, Наталья Владимировна

• Прокофьева, Наталья Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Прокофьева, Наталья Владимировна

г> Введение.

Глава 1. Группа SO(p,p+1) , её разложения на подгруппы и представления. Специальные функции.

§ 1. Подгруппы группы G. Разложения Ивасавы, Гаусса и

Картана.

§ 2. Группы SO(p,p+1) , SO(p) , SO(p,l) и некоторые их подгруппы. Разложения групп на подгруппы.

§ 3. Представления групп.

§ 4. Специальные функции.

Глава 2 . Интегральные соотношения для специальных с* функций, связанные с переходом между параболоидом, сферой и гиперболоидом.

§ 1. Интегральные соотношения, связанные с переходом между параболой и окружностью, и представлениями группы SO(2,1). п. 1. Группа SO(2,1), подгруппы, разложения. п. 2. Контуры, базисы, билинейный функционал, представления группы SO(2,1) п.З. Матричные элементы операторов перехода от одного базиса к другому. Связь между базисами. 89 п. 4. Соотношения для функций Уиттекера, Лежандра. 93 п. 5. Интегральные соотношения для функций У иттекера и гипергеометрических, связанные с переходом между параболой и окружностью.

§2. Интегральные соотношения для специальных функций, связанные с переходом между параболоидом, сферой и гиперболоидом, и представлениями группы £0(2,2). * п. 1. Группа SO(2,2), представления, многообразия. п.2. Многообразия на конусе, системы координат и подгруппы группы SO(2,2). п.З. Базисы на многообразиях. г* п.4. Матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы SO{2,2) на подгруппы. п. 5 Интегральные соотношения для функций Макдональда, У штекера и G-функций Мейера.

Глава 3 . Связь между базисами, соответствующими редукции группы SO(p,p+1) на подгруппы.

§ 1. Группа SO(p, р+1) и её представления.

§2. Построение канонического базиса, связанного со сферой SP-1.

§3. Многообразия на конусе 0 , инвариантные относительно подгрупп в SO(p,p+l) , системы координат на них и инвариантные относительно этих под групп меры на многообразиях.

§4. Базисы на многообразиях, связанные с редукцией под групп группы SO(py р+1).

§5. Связь между базисами, соответствующими редукции группы SO(p,p+1) на подгруппы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Соотношения для некоторых классов специальных функций математической физики, связанные с представлениями группы SO(p,p+1)»

Несмотря на то, что теория специальных функций математической физики бурно развивается с середины XIX века, она не потеряла своей актуальности ив настоящее время. Для нахождения многих формул и изучения свойств специальных функций многие годы использовался классический подход — решение дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных и при отыскании собственных функций дифференциальных операторов в некоторых криволинейных системах координат. Исследования специальных функций классическим методам связаны с трудами Эйлера, Гаусса, Римана, А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, Г.Н. Яковлева, Н.Н. Лебедева, А.Ф. Никифорова и др. Такой подход не мог дать достаточно полного охвата теории специальных функций и вывода многих интегральных соотношений, имеющих прикладное значение.

В работах Э. Картана впервые показана связь специальных функций математической физики с представлением групп. Тогда получает развитие новый подход изучения таких функций - теоретико-групповой.

Дальнейшее развитие данный метод получил в работах М.А. Наймарка, И.М. Гельфанда и их последователей в области представлений групп: Ф.А. Березина, Р. Годмана, Хари-Чандра, И. Шура, и др. В ходе этих исследований была установлена связь теории представлений групп с автоморфными функциями, построена теория специальных функций над конечными полями, специальных функций в однородных областях, построены представления многих групп и т.д. В работах Ф. Петера и Г. Вейля доказана полнота системы неприводимых представлений компактной группы Ли. В работах А.А. Кирилова построены унитарные представления нильпотентных групп Ли. Близким вопросам посвящены исследования в области теории представлений групп и их приложений, Д.П. Желобенко, В. Рудина, Г. Макки, М.И. Граева, И.С. Шапиро, В.К. Рогова, Р.С. Исмагйлова, С.Г. Гиндикина и др.

Особенный интерес, в области приложения представлений некоторых групп к теории специальных функций, представляют исследования Н.Я. Ви-ленкина, А.У. Климыка и их учеников.

Появление, а особенно развитие теории специальных функций связано с использованием математических методов в других науках, то есть с прикладным аспектом.

С развитием теории представлений групп появилась возможность изучения специальных функций с единой точки зрения, получение новых интересных соотношений, а также переключение интереса на другие, мало изученные специальные функции. Так например, первоначально интерес был связан с исследованием класса эллиптических и связанных с ними функциями. А с появлением работ Ф. Клейна внимание стало переключаться к другому классу специальных функций - гипергеометрическим, введённых Гауссом (классическая теории этой функции, отражена в книге А. Кратцера и В. Франца " Высшие трансцендентные функции " ) и их различным частным и вырожденным случаям - функциям Лежандра (классическая теории этих функций, отражена в книгах Гобсона "Теория сферических и эллипсоидальных функций.", Е.Г. Уиттекера и Г.И. Ватсона "Курс современного анализа." и др.); Бесселя (данные функции подробно изучены Бесселем в 1824г, классическая теория изложена в книгах Г. Ватсона "Теория бесселевых функций." и их приложения в математической физике в книгах И.Н. Лебедева "Специальные функции и их приложения.", Я.С. Уфлянда "Интегральные преобразования в задачах теории упругости."); ортогональным многочленам Якоби и Чебышева (классическая теория в книгах Д. Джексона "Ряды Фурье и ортогональные полиномы", Г. Сеге "Ортогональные многочлены." и др.); функциям Уиттекера и многочленам Лагерра (классическая теория в книгах А. Кратцера и В. Франца " Трансцендентные функции ", Уиттекера и Г.И. Ватсона "Курс современного анализа." и др.) и т.д. Известная ещё со времён Эйлера обобщённая гипергеометрическая функция J7 в связи с развитием теории представлений групп р " приобрела большее значение. Введённая Мейером G - функция имеет особое значение, поскольку многочисленные специальные функции, возникающие в математике, либо являются её частными случаями, либо тесно связаны с ней. (Т.о. всякая формула, связанная с G - функцией, становится основной либо ключевой формулой, из которой можно получить целый ряд результатов для функций Бесселя, Лежандра, гипергеометрических и т.д., различных комбинаций этих функций и других функций, с ними связанных.)

Изучение специальных функций на основе теории представлений групп связано с трудами М.И. Граева, Н.Я. Виленкина, А.И. Нижникова, М.А. Шлейниковой, В.А. Петрова, JI.M. Клёсовой, С.В. Кольцовой, и др.

Теория представлений групп позволяет учитывать инвариантность операторов математической физики относительно некоторых групп преобразований. При этом, преобразования из данной группы переводят собственные функции оператора в собственные функции, отвечающие тому же собственному значению. Тогда элементам группы G ставится в соответствие литейное преобразование T(g) в пространстве собственных функций, удовлетворяющее свойству

T(gi]r(g2) = T(gxg2)- (1)

Такие операторные функции и называются представлениями групп. Поэтому, существует связь собственных функций инвариантных операторов с представлениями групп, относительно которых инвариантен этот оператор.

Теоретико-групповой подход приводит к естественной трактовке интегральных представлений специальных функций. Если выбрать некоторый ор-тонормированный базис { ек } в пространстве представления, то операторы представления T(g) можно задавать в матричной форме.

Матричные элементы t и (g) = (T(g) ej,ej ) (2) представления T(g) можно рассматривать, как числовые функции на группе. Многие из таких функций совпадают с классическими специальными функциями математической физики, но для многих групп оказалось, что не все матричные элементы представлений выражаются через известные специальные функции.

Так, например, при изучении псевдоортогональной группы или группы Лоренца лишь некоторые матричные элементы представления связаны с известными специальными функциями, а для остальных понадобились функции, ранее не встречавшиеся в математическом анализе. Появляющиеся таким образом новые специальные функции обладают столь же разнообразными свойствами, что и классические специальные функции( об этом можно подробнее узнать в статьях Н.Я. Виленкина "Специальные функции, связанные с представлениями класса 1 групп движений пространства постоянной кривизны"тр. Моск.мат. об-ва 1963.Т.12, А.И. Нижникова "Преобразование между базисами, связанными с представлением многомерной псевдоортогональной группы. "сб.н.тр.МГОПУ 1995 в.9. и др.

Так выявилась связь между специальными функциями и матричными элементами представлений групп. Причём, в зависимости от выбора подгрупп группы G , с ней можно связать различные специальные функции. Установление такой связи показало общий путь исследования свойств специальных функций. Например, пространство представления можно реализовать в виде некоторого функционального пространства (пространства собственных функций инвариантного оператора ), а аналог скалярного произведения в этом пространстве - в виде интеграла. Поэтому правая часть формулы (2) выражается в виде интеграла, а левая сводится к специальным функциям. Это даёт интегральное представление для специальных функций.

В некоторых случаях, операторы представления T(g) принимают вид интегральных операторов, ядра которых выражаются через специальные функции. Это приводит к интегральным соотношениям для специальных функций, в частности к континуальным аналогам теорем сложения ( работы в этой области связаны с именами И.М. Гельфанда, М.И. Граева, Н.Я. Виленкина, и др.)

Теоретико-групповой подход к специальным функциям тесно связан с гармоническим анализом функций. Гармонический анализ на группах связан с разложением функций на группах и однородных пространствах по матричным элементам представлений. Поскольку они выражаются через специальные функции, то получаются разложения в ряды и интегралы по специальным функциям. Это приводит к теоретико-групповой трактовке некоторых интегральных преобразований, встречающихся в математической физике (преобразования Ганкеля, Мелера-Фока, Лебедева), а также разложений в ряды по специальным функциям. Работы в этой области связаны с трудами И.М. Гельфанда, М.И. Граева, Н.Я. Виленкина, А.А. ЬСирилова, В.Ф. Молчанова.

Ещё один подход к выводу интегральных соотношений для специальных функций реализован в работах Н.Я. Виленкина, М.А. Шлейниковой, А. Орихари, Р Сэлли, А.И. Нижникова и др. Если рассмотреть в пространстве представления различные базисы, состоящие из собственных функций для операторов Ц/г) , соответствующих некоторым подгруппам Н группы G (максимальной компактной, нильпотентной, абелевой и т.д.). При этом, некоторые из базисов дискретные, а другие континуальные. Рассмотрев соотношение вида: где 7(g) - матрица оператора представления в одном базисе , Q(g) - в другом базисе и А - матрица перехода от одного базиса к другому. Элементы матриц перехода, а также матричные элементы матриц T(g), Q(g) выражаются через различные специальные функции. Тогда и получаются интегральные соотношения для специальных функций.

В таком направлении и проводится данное исследование. При этом рассматриваются неприводимые представления псевдоортогональной группы SO(p,q) (для частных случаев 50(2.1), 50(2.2) и SO(p.p+1) ). Подробно, представления данной группы построены и исследованы в работах И.М. Гельфанда, М.И. Граева, М.А. Наймарка, Н.Я. Виленкина, и др.

Например, рассматривая базисные функции

MMVy*^ на контУРах конуса и получив связь между ними, можно получить соотношения для специальных функций: многочленов Гегенбау-эра сШ, гипергеометрических функцийF(a,b\с;z), обобщённых гипергео

3) метрических рядов р л G - функция Мейера о™'}} ах,.,ар bu.,bq ; bx,.,bq; j функций Уиттекера Лежандра и Макдональда Kv{z). При этом, используется представление gh->T(g): Ta(g)f(Q = f (g-1^). Например, соотношение для функций Уиттекера: е'кЬ1*{сЬх)фк\г]Г\а-к+1) x(hT{) сн-2 cx^izh^y^ik-aW , (2Х)+ex|-/zXv1 )r\-k-v)W [(2а,)

А'.гм— 2

-k.Wr 2 ik или, связьшающее функции Уиттекера с гипергеометрическими:

Чао Нас rV-фГJtfW ,(^ф+Г^С^-Г1^!) п тУг k/Уг „ -waи 2 2 и 2 2.

ГКо+1) г^д^^^^/ № Г&-КЛ-1) V ' V 9 4c

4cf r^-KJ+1) k< k>m

Acf v

Данные соотношения связаны с группой 50(2,1).

Если же рассматривать группу SO( 2,2), то можно получить соотношения: гт+а 5i и V 2 2 2 о2-1

I 4 2

-К

X'

4 г u2-l

-(1-r)2 U = itf Г(-1-а+Г)

2 2 где X' > 0 , X" > к' , или

X' , <т+2 а> g '' {рГк Г -Ст2-0 г2/- (1-г)2Г2

Vv2^ о

0,2 u2-l

2 2 dr = ft a: V

M2 k'+k"-<s- -1 k'+k"-<y+1

4 ' 4 л 1 1 - -2&-3 -2ct-1

4 4'4' 4 ' 4

Д2

4 ' 4 J 1 -2cr-3 -2cr-l 4'4s 4 ' 4 где Г<0 , M<|r| , Д6""»2 х„2.+э s/ia)2+e Г(2 + o)r(-2 - a)

ЕО Им) fe^-1 а также другие соотношения.

Актуальность темы; Несмотря на обширность литературы по исследованию специальных функций, использование метода теории представлений групп даёт огромные возможности получения интегральных соотношений для различных специальных функций и их комбинаций не встречавшихся ранее.

Цель работы состоит в исследовании некоторых классов специальных функций математической физики методами теории представлений группы SO(p,q)

При реализации этой цели были решены следующие задачи:

- описаны трёхмерная группа Лоренца SO(2,l), псевдоортогональные группы 50(2,2) и SO(p,p +1) , их подгруппы и разложения;

- построены многообразия на конусе = 0, инвариантные относительно подгрупп в группах

50(2,l), 50(2,2) и SO(jp, р +1); системы координат на многообразиях и инвариантные относительно этих подгрупп меры на многообразиях;

- построены представления T{g) групп 50(2,l), 50(2,2) и SO(p, р +1);

- построены канонические базисы на многообразиях, связанные с редукциями групп

50(2,1), 50(2,2) и SO(p,p + l) на подгруппы и состоящие из собственных функций операторов T{h) , соответствующих некоторым подгруппам Н;

- матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы 50(2,l) на подгруппы, выражены через функции Уиттекера и гамма-функции;

- матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы 50(2,2) на некоторые подгруппы, выражены через функции Уиттекера, обобщённые гипергеометрические \ ФУНК" ции и бета-функции;

- матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы SO{p,p + l) на подгруппы, выражены через обобщённые гипергеометрические <*F функции и гамма-функции; з 2

- получены интегральные соотношения для функций Макдональда, У штекера, обобщённых гипергеометрических, G - функций Мейера;

- получены интегральные соотношения для специальных функций, связанные с переходом между параболоидом, сферой и гиперболоидом. Объектом исследования являются специальные функции математической физики и квазирегулярные представления группы SO(p,p +1).

Предметом исследования являются интегральные соотношения для некоторых классов специальных функций (функций Уиттекера, Макдональда, Jle-жандра, гипергеометрических, G-функций Мейера, многочленов Гегенбауэра и обобщённых гипергеометрических рядов), полученные с помощью представлений групп SO(2,l),SO(2,2) и SO(p,p + l).

Методологическую основу исследования составляют методы теории представлений групп, математической физики и математического анализа. Общая теория представлений псевдоортогональной группы SO(p, q) была разработана в [58]. Применение метода теории представлений групп к исследованию специальных функций разработано Виленкиным Н.Я., Климыком А.У., Шлейниковой М.А., Нижниковым А.И. в работах [9], [12], [60], [61], (с использованием представлений группы Лоренца). Их труды и являются модельными для данного исследования.

Научная новизна. Все приведённые в работе тождества и интегральные соотношения доя специальных функций математической физики были получены автором и являются новыми.

Практическая значимость работы. Полученные в работе интегральные соотношения, связывают различные классы специальных функций. Приложения формул для специальных функций хорошо известны (например, к задачам математической физики, астрономии, генетики, в разделах физики таких, как ядерная спектроскопия, теории упругости и теплопроводности, квантовая механика и других областях). Аналогичные приложения могут, по-видимому, иметь полученные в работе соотношения, а также могут быть использованы для получения других соотношений для специальных функций с помощью представлений групп.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на первой всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (Нижний Новгород, 2002г), на VI Конгрессе по математике (Нижний Новгород, 2004г), на научно-исследовательских конференциях в МГОПУ им. М.А.Шолохова (2000-04 гг.), обсуждались на семинарах по современным вопросам математики в МПГУ, на кафедре высшей математики МГОПУ им. М.А.Шолохова(2003-04гг.), а также на семинаре по мат. физике в Институте прикладной математики им. Келдыша (заседание №191,2004г.)

Публикации. По результатам исследований было опубликовано 12 работ, список которых приведён в конце автореферата - работы [50]-[61] из списка литературы.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Глава 1 состоит из четырёх параграфов, глава 2 из двух параграфов, а глава 3 из пяти параграфов, каждый из которых разбит на пункты. Полный объём работы состоит из 164 страниц. В списке литературы содержится 88 работ (монографий и научных статей).

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Прокофьева, Наталья Владимировна

Заключение.

Таким образом, данная работа посвящена изучению свойств специальных функций математической физики теоретико-групповыми методами.

В ходе диссертационного исследования были получены следующие результаты: построены многообразия на конусе = 0, инвариантные относительно подгрупп в группах SO(2,l), 50(2,2) и SO(p,p +1), системы координат на многообразиях и инвариантные относительно этих подгрупп меры на многообразиях; построены представления T(g) групп 50(2,1), 50(2,2) и SO(p,p +1) ; построены канонические базисы на многообразиях, связанные с редукциями групп 50(2,l), 50(2,2) и SO(p,p +1) на подгруппы и состоящие из собственных функций операторов T(h) , соответствующих некоторым подгруппам Н ; матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции группы 50(2,l) на подгруппы, вьфажены через функции Уиттекера и гамма-функции, между базисами, соответствующими редукции группы SO (2,2) на подгруппы, вьфажены через функции Уиттекера, обобщённые гипергеометрические 2^1и бета-функции, а между базисами, соответствующими редукции группы SO(p,p +1) на подгруппы, вьфажены через обобщённые гипергеометрические функции и гамма-функции; получены

•Э 2 интегральные соотношения для функций Макдональда, Уиттекера, обобщённых гипергеометрических функций, G - функций Мейера; получены интегральные соотношения для специальных функций, связанные с переходом между параболоидом, сферой и гиперболоидом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Прокофьева, Наталья Владимировна, 2004 год

1. Абрамовиц М., Стиган И. - Справочник по спец. функциям с формулами, графиками и мат. таблицами. - М.:Наука, 1979.

2. Березин А.В. — Некоторые вопросы теории группы Лоренца и её представлений: дис. на соиск. уч. ст. кан. ф-мат. наук (01.04.02.), Минск, 1983

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. - в 3-х т., М.: Наука, 1968.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, т. 1,2. - М., Наука, 1970

5. Вей ль Г. Классические группы, их инварианты и представления.-М.: Наука, 1964.

6. Вердиев И.А. — Инварианты представлений групп Лоренца и их применение в дуальной модели физики частиц.: Баку, АН Азербайджана, 1978.

7. Виленкин Н.Я. Матричные элементы неприводимых унитарных представлений группы вещественных ортогональных матриц и группы движений (я-1)-мерного евклидова пространства. - Доклады Академии наук СССР, Том 113, №1,1957.

8. Виленкин Н.Я., Балк М.Б., Петров В.А. Математический анализ: Мощность. Метрика. Интеграл. - М.:МГЗПИ-Просвещение, 1980.

9. Виленкин Н.Я. Шлейникова М.А. Интегральные соотношения для функций Уиттекера и представления трёхмерной группы Лоренца. - Ма-тем сборник. Т.81(123) №2, 1970, ст.185-191

10. Виленкин Н.Я. Гипергеометрическая функция и представления группы вещественных матриц второго порядка. - Матем сборник. Т.64(106), 1964, ст.497-520

11. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлбений групп. -М. Наука., 1991.

12. Виленкин Н.Я., Нижников А.И. Интегральны соотношения для G-функций Мейера и представления w-мерной группы Лоренца.- Изв. ВУЗов, Математика, №5(204), 1979, ст. 13-19.

13. Виленкин Н.Я., Нижников А.И. Матричные элементы перехода от базиса к базису (вцУ± - Функциональный анализ, Межвуз.сб.,вып.8, Ульяновск, 1977, ст45-48.

14. Гельфант И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармонического анальза. Оснащённые гильбертовы пространства:М.Физматгиз, 61

15. Гельфант И.М., Шапиро З.Я. Представления группы вращения трёхмерного пространства и их применения. - Успехи мат. наук., Т. VII, вып. 1 (47), 1952, ст.3-117.

16. Гельфант И.М. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. - М. Физматгиз, 1962.

17. Гельфант И.М.- Модели представлений компактных групп Ли: М. 1974

18. Гельфант И.М., Шилов Г.Е. Обобщённые функции., вып. 1: Обобщённые функции и действия над ними,- М. Гоз. изд. Физмат, лит., 1958.

19. Гельфант И.М. , Пятецкий-Шапиро И.И. Оператор Лапласа на ри-мановых поверхностях и теория представлений,- Новосибирск., 1963.

20. Гельфант И.М. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. - М. Физматгиз, 1958.

21. Гельфант И.М., Наймарк М.А. Унитарные представления классических групп. - М.-Л. Изд-во Акад.наук СССР, 1950.

22. Гельфант И.М., Граев М.И. Теория представлений и автоморфные функции. - М. Наука., 1966. (серия Обобщённые функции Вып.6.)

23. Граев М.И., Вершик A.M. Представления группы SL(2,R) где R-кольцо функций. - М., 1973.

24. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рыдов и произведений. -М., 1963.

25. Гузаиров Г.М. Соотношения для гипергеометрических функций 0Fj, tFl5 2F\ и интегральные преобразования, связанные с представлениями группы GL(2,С) .: дис. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук0101.01), М., 1997.

26. Гусар М. Унитарные представления группы Лоренца. : дис. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук (041), Дубна, 1971.

27. Дорошкевич О.А. Теоремы сложения для гипергеометрических функций, преобразование Пуассона и «Метод деревьев» : дис. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук (01.01.01) , М., 1998.

28. Дорошкевич О.А. «Метод деревьев» и соотношения между многочленами и функциями Якоби. - сб.научн.тр. «Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса.», Вып. 10, М.:МГОПИ, 1994.

29. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп .- сб.н.ст. «Математика» Новое в зарубежной науки, Перевод с англ. Зелевинского А.В., М.:Мир , 1982. Ст.214.

30. Желобенко Д.П. Гармонический апализ на полупростых комплексных группах Ли. - М. Наука., 1974.

31. Желобенко Д.П. Гармонический анализ функциц на группе Лоренца и некоторые вопросы теории линейных представлений. : дис. на соискание учен. ст. канд физ.-мат. наук, М., 1961.

32. Желобенко Д.П. Гармонический анализ функций на полупростой комплексной группе Ли и его приложения к теории линейных представлений. : дис. на соискание учен. ст. д-ра физ.-мат. наук, М., 1971.

33. Желобенко Д.П. Классификация неприводимых представлений полупростой комплексной группы Ли. - Киев.:изд. Институт теорет. физики АН УССР, 1967.

34. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. - М. Наука, 1970.

35. Желобенко Д.П, Штерн А.И. -Представления групп Ли: М. Наука, 1983.

36. Исмагилов Р.С. Линейные представления топологических групп без инвариантной меры. -дис. на соиск. уч. ст. доктора физ.-мат. наук (002) , М., 1972.

37. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. - М.: Ил, 1949.38