Смешанные вариационные неравенства в условиях порядковой монотонности и их приложения к моделям равновесия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Мазуркевич, Елена Олеговна

• Мазуркевич, Елена Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мазуркевич, Елена Олеговна

Введение

1 Смешанные вариационные неравенства в условиях порядковой монотонности

1 1 Основные определения и вспомогательные резулыагы.

1 2 Существование и единсгвенноаь решений смешанных вариационных неравенств

1 3 Методы списка но D-ишервальной функции

1 4 Ра {делимые смешанные вариационные неравенс 1ва

2 Модели конкурентного равновесия с негладкими функциями

2 1 Модели равновесия 1ипа Вальраса в условиях смешанной конкуренции 4G

211 Пен гановка задачи . . . 4G

212 Резулыаш существования и едина ценности решения . 48 2 13 Метод регуляризации для модели равновесия в виде смешанно

I о вариационного неравенства

2 14 Метод рсчуляризации для модели равновесия в виде вариационною неравенства

2 2 Модель равновесия с мультиилика1ивн0й функцией спроса

2 2 1 Пос гановка задачи . . . 61 2 2 2 Резулыаш существования и единавенности решения 63 2 2 3 Маод регуляризации д ш модели равновесия с мультипликативной функцией поле шости.

2 3 Модель олшополистического равновесия.

2 3 1 Постановка -задачи.

2 3 2 Результаты сущеавования и единственное!и решения

2 3.5 Меюд рсчуляри мции для общей модели олиюполис гичсского равновесия

2 3 4 Метод рсчуляризации для модели олигоиолис 1ического равновесия в виде вариационною неравенства

3 Алгоритмы решения задач равновесия

3 1 Решение модельных задач равновесия по

Вальрасу с просчеишей функцией полезности

3 2 Решение модельных задач равновесия по Вальрасу с мулыипликативной функцией иоле5но(1и

3 3 Решение модельных и прикладных задач стпополисшческот равновесия

3 3 1 Решение модельных задач олиюиолистическо!о равновесия.

3 3 2 Решение прикладных задач олиюиолистическо!о равновесия . 90 3 4 Решение тестовых ?адач

Основные результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Смешанные вариационные неравенства в условиях порядковой монотонности и их приложения к моделям равновесия»

Вариационные неравенства являются одним из наиболее удобных иныруменюв д 1я формулирования и исследования различных задач равновесия В частности, они ноли) 1ЯЮ1 получить результаты сущес 1вования и единственное ih решения и нос гро-игь шерапшше численные меюды для нахождения равновесных ючек Теоретическое ж следование вариационных неравенсш как самосюян'льною класса задач начинается с pa6oi Г. Фикеры [98] и Г. Сымпаккьи [145] в свяш с приложениями в магема1ичес кой физике, и в дальнейшем это направление развивалось многими и шестыми учеными, ыкими как К Байокки и А Канело [14], ФЕ Враудер [89], X Бре зис [88], Г. Дюво и Ж -Л. Лионе [29].

С ра звитием теории вариационных неравенс ib были выявлены их глубокие свя ш с задачами дополнительности, седловой точки и игровою равновесия, что открыло принципиально новые обласш приложении в экономике, в системах транспорта и с вя Л!, в с оциальных науках Значиммьный вклад в эту облас и, внесли К Дж Эрро\, Ж Дсбре |85], [86], Э Мулен [51], X Никаидо [55], [130], Г Розен [142], С Карамар-дян [109], И.Ш Панг [96], [133], ЭР. Смольяков [72[, С Дафермос [93], П Харкер [101 [ - [100], А Нагурней [129] и дру1ие При эюм расширение области приложений выявило необходимость рассмотрения задач с мноннначными отображениями, либо с недифференцируемыми функциями

Задача решения вариационной) неравенства заключаем я в том, чюбы найти племен! х* G К такой, что где К - непустое выпуклое множество в вещественном евклидовом ирос мнетве Rn, Q К П(/?") некоторое мноюзначное отображение

Если оюбражение Q - однозначное, то задача (1) может быть записана более пропо- найти элемент х* 6 К такой, что

Э<7* е Q{x*), (q\x - х*) >0 V/G К,

1)

Q{x*),x-j*} > 0 Ух eh'.

2)

F( in К ecib выпуклый кон\с, io па задача эквивалента задаче дополниiejib-н(к ги

ГеК, Q{x')e к', (x',Q(.r*)> = 0,

1де К' = {с/ G Rn | >0 Vj; G A'} - есть сопряженный конус для К.

Oiuemu, чю наиболее разработнным является класс задач с монотонными по-пчщиа 1ьными отображениями, с осиветствующий выпуклой недифференцируемой оптимизации, во мпоюм благодаря вкла,1у В.Ф Демьянова [26] - [28], И.И Еремина [30], ИЗ Шора [79], [80], Ж Моро [126], Р.Т Рокафеллара [70], [141], БТ Поляка [61], В Н Пшеничного [68], ]69], А М Рубинова [27], [28], [52], В Л. Левина [45], ЕГ Гоп.штейна [24], [25], Е А Нурминскою [56], [57], К. Лемарешаля [107], [120], Ф Вулфа [147| и др\1их авторов Значительное продвижение в облает решения монотонных вариационных неравенс1в связано с развитием меюда рсчуляризации, пред юженною А Н Тихоновым [75], [76] Большой вклад в по направление внесли работы А Б Бакушипскою [15], Ф П Васильева [18], [19], В В Васина [20], Л Д Попова [65] - [67], М Ю. Кок\рина [16], [33] и дрмих

В диссертационной рабой1 расс мафиваюня смешанные вариационные неравен-с iua, коюрые составляют нромежу ючный класс по ошошению к однозначным и мною личным вариационным неравенствам, поскольку включаюi нелинейное отображение и недифференцируемую функцию Они были введены К Лескарретом [122] и Ф Браудером [89]

Смешанное вариационное неравенство определяемся как следующая задача найти точку Г € К ыкую, что

С,(х*),х - х*) + f{x) - f(x*) >0 Ухе К, (3)

1де С! К -> /?" - некем орое отображение, / К -> Я - выпуклая, но необязательно дифференцируемая функция Мионнначное вариационное неравенство (1) при Q{x) = G(r) + df(x) эквиваленте) (3) Здесь и д.Ш'е Of обозначаем субдифференциал функции / Задача (3) сводится к обычному вариационному неравенству (2), если / = 0 и к задаче выпуклой недифференцируемой оптимизации: rniri -» f{x), если С = 0 Установлено значшельное число приложении смешанных вариационных неравенств в ма1ема1ической физике, нюрии игр, задачах равновесия потоков в системах транспорта и связи; например, [9, 12, 14, 29, 43, 55, 61, 74, 81, 115, 117]. В конце 19 века Л Вальрас предложил модель экономического равновесия как решения ениемы нелинейных уравнений Для cipoioio обоснования существования решения щжны были меюды нелинейною анализа, npoipocc коюрых последовал за докашельспзом юоремы Брауэра На основе эюи теоремы Джон фон Нейман заложил основы теории игр А Вальд, К Дж Эрроу и Ж. Дебре [85], Л В Маккен зи |124], Д Гейл [102], X. Никайдо [130], [Ш] в 50-х юдах прошлого века завершили нос Iроения Л Вальраеа и доказали существование экономического равновесия К нас юящем\ времени экономика является }же достаточно традиционным и обширным по 1см приложений для различных вариационных неравенс из Дош пзительно, вопросы равновесия, баланса спрос а и предложения янляюня одними из центральных в экономике и большинство экономико-математических моделей, nociроенных дчя исследования этих проблем, формулируются в виде вариационных неравенств, см , например, [9, 55, 58, 62, 91, 97, 105, 123] Также мноше задачи использования ко I к'кIивных ресурсов являются областями приложений вариационных неравенс in, см , например, |132]

В общем случае поиск решения задачи (3) ироде ывляег значительные трудности из-за тою, чю оюбражение G не являеюя 1радионтом некоторой функции, функция / hoi мдкая, и множое то К имоеч достаточно общий вид Основное внимание при ранниии юории смешанных вариационных неравенств оделялось задачам с монотонным (строю, сильно) основным оюбражониом Меюды решения смешанных вариационных иеравонпв при mohoiohhocih оюбраження G, использующие различные схемы рас щоииония, продышались в работах П-Л. Лионса и В Морсье [121], Д Габон |101], Р В[>ука [90]. А В Лапина [43], [44], [118], [119], А С Ашипина [1] -[8], II Цеша [137] - [139), [144], И В Коннова [31] - [36], [111], [112), И В Бадриева и О А Задворнова [11], [12] и дру1их авторов Однако для мнем их прикладных задач, в особенности в экономике и теории шр, основное отображение не удовлсчворясч, как правило, условиям поюнциальности и монотонности, а лишь более слабым условиям порядковой монотонности, например, [9, 10, 41, 55, 59, 60, 63, 8G, 115, 117] Более к» о, Д1Я МН01ИХ задач экономическою и ш ровен о равновесия не удаегся гарантировать невырожденность отображения, чю с мви1 значиюльные грудное!и как при получении резулыаюв сущее iнования и единственности решений, ык и при разра-6oiKo численных мечодов Поэтому развитие теории и меюдов общих смешанных вариационных неравенств в условиях порядковой моноюнности и возможной вырожденное ги является актуальным как с юоретической, так и с прикладной ючок зрения.

Один из подходов к решению обычною вариационною неравенства (2) cocicmi в преобразовании его к задаче оптимизации в отношении некоторой искус сi венной инициальной (или, иначе, оценочной) функции. Дж -М Пенг в [134] предложил оценочное) санкцию, которая позволяеч преобразовать вариационное неравенство (2), одержащее непрерывно дифференцируемое и сильно монотонное ошбражение, в задач> миними зации дифференцир}емой функции без ограничений В работе [148], 1де был предложен соотвек 1вующий алюриш решения во шикающей всиомснаюлыюи задачи, такие функции были названы D-интервальными (D-gap functions) Кроме тою, -на функция была применена к задачам дополнительности с Р-отображениями в [108] В рабою [36] И В. Концов предложил класс £)-инюрвальных функций для монотонных «мешанных вариационных поранена и, на основе ко юрою исходная задача (водится к задаче минимизации оценочной функции без ограничений Показано, чю на функция сохранноI дифферонцируемость основною отображения G В [111] эю1 подход был pa(iipo( iранен для задач вида (3) ( о( ионным Р-оюбражением, i е в\(ловиях порядковой монотонности

Как отмечало( ь, во мнсних приложениях рас ( мафиваемои задачи оюбражоние G час ю имесч гип Р0, ie, оно может быть вырожденным Свойство Р0 основного оюбражения не обеспечивает сходимость известных итеративных методов поиска решения, для этой цели требуююя стрснио Р свойава. Для достижения cipoiHX Р с воис IB (к новною отображения можно использовать различные меюды р(чуляри за-ции и получить требуемые свойства для возмущенного вариационного неравенства Клас( ический метод регуляризации Тихонова-Браудэра был недавно исследован для однозначных задач дополнительности с основным отображением типа Ра в работах [95], [%[, [140] В смличие от обычною монотонною случая оказалось, чю иоследо-ваюи.ноаь решении возмущенных задач можем бьпь hooiраничонной (с м , [95| и [96, раздет 12 2]) Нопому вошикасм проб юма доааючных условий oi раиичонно-(1и пой последовательности

В работе для достижения стрсл их Р свойств и сходимости мы применим иной подход на основе парамсмрическою условия коэрцитивноеги, предложенного в [37] '-)ioi нодхо I, но!во1Я(м 1Ю1)чип, (ходименчь д 1я задач конку рентою равновесия различных типов при ос не тонных условиях. В рсчулыаю решение них задач ( многозначными отображениями и негладкими функциями можно наити с помощью комбинирования с быстро сходящимися итеративными методами, например, такими как 1радион1ныйо меюд и метод сопряженных градиентов

Основная цель работы состоит в получении результатов (уществования и едиш iвенное ih решения для смешанных вариационных неравенств в условиях порядковой моноюннос ш и вырожденности основного отображения, разработке и исследовании численных меюдов решении тких задач, и в применении полученных результатов для достаточно широких классов задач теории экономическою равновесия, коюрые могут быть сформулированы в виде рассматриваемых смешанных вариационных неравенс lis

Научная новизна. Все резулыаш работы являются новыми и состоят в получении результаюв существования и единственности решения смешанных вариационных неравенав в условиях порядковой монотонное!и, нелинеиносги и вырожденно-с Iи основною оюбражения, возникающих при исследовании задач экономическою равновесия, а также в построении и исследовании быстро сходящихся меюдов решения таких задач

Достоверность полученных результатов обеспечивается строями дока ш ел ь-С1вами сформулированных упзерждении Достоверность численных расчетов под-1иерждаеня хорошим совпадением результатов вычислений с известными решениями тестовых задач

Научное и практическое значение работы. Работа носит, в основном, ieo-решческий характер. Полученные резулыаш внося! вклад в разви1ие численных методов решения вариационных неравенав Рассмспрены дос ыючно широкие классы приложении основной задачи в математической экономике, предложены методы решения Разработанные алгоритмы применимы для численною решения задач экономичен кою равновесия различных пшов, включающих негладкие функции Предложенные подходы, мечоды и алюршмы Moiyi бьпь использованы при решении и других прикладных задач, во шикающих, в час шос i и, в математической физике и 1еории шр

Структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, ipex иыв и списка литературы

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Мазуркевич, Елена Олеговна

Основные результаты

Основными результатами диссертационной рабопл являются следующие

1 Теоремы существования и единственности решений для смешанных вариационных неравенств в условиях вырожденности и порядковой монотонное ih основною оюбражения и теоремы о сходимости методов спуска по £>-интервальиой функции для решения таких смешанных вариационных неравенств

2 Теоремы сущес нювания и единс юенности решения для разложимых смешанных вариационных неравенств в условиях вырожденности и обобщенной порядковой монотонности.

3 Теоремы существования и единственности для смешанных моделей экономическою равновесия типа Вальраса, содержащих многозначные отображения

4 Теоремы существования и единственное ти для модели равновесия в условиях несовершенной конкуренции (олигополии) с негладкими функциями шрат

5 Теоремы о сходимос ги метода регуляризации для модели экономическою равновесия типа Вальраса в виде (смешанного) вариационного неравенства с вырожденным и норядково моноюнным отображением и для модели несовершенной конкуренции (олигополии) с негладкими функциями затрат

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мазуркевич, Елена Олеговна, 2007 год

1. и маi методы 1977 Т 13, Л'° 3 С 500 505

2. Ашипин А С Методы решения (штем тдач выпуклого программирования / А С Ашипин // Ж. вычисл Mai и маг физ 1987 Т 27, .V 3. С 308-376

3. Ашипин А С Непрерывные и итеративные процессы с операторами проектирования и типа проектирования / АС. Ашипин // М/ Вонр киберне1ики 1989 Вып 154. С 5-43

4. Ашипин А С Обратная задача оптимизации постановка задачи и подходы к ее решению /АС Антипин j j Обратные задачи математического программировании М ВЦ РАН 1992 С 6-56

5. Антипин А.С. Градиентные и проксимальные управляемые процессы / А С Ан-гипин // М • Вопр кибернетики 1992 Вып 178. С. 32-67

6. Ашипин \ С О сходимости и оценках скорости сходимости проксимальны г методов к неподвижным точкам экстремальны г отображении / А С Ашипин // Ж вычисл маг и мат физ 1995. Т 35, .V» 5 С. 688 704.

7. Ашипин А С Итеративные методы прогнозного типа для вычисления неподвижных точек экстремальных отобраэ/сений / А.С Ангипин//Изв вузов Математика 1995 JY0 И С 17-27

8. Ашииин А С Вычисление неподвижных точек экстремальных отображений при помощи методов градиентного типа / А.С. Ашипин //Ж вычисл мат и мат физ 1997. Т. 37, .V» 1. С. 42 53

9. Ашманов С.А. Введение в математическую жономику / С А. Ашманов М На\ ка, 1984 296 с.

10. Беленькии 13 3 Итеративные методы в теории игр и программировании / В 3 Беленькии, В Л Вотконский, С.А Иванков и др М . Наука, 1974 240 с

11. Бадриев И Б Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами /И Б Бадриев, О А За-дворнов Известия ВУЗов Маюмагика, 2003 Л" 0 С. 20-28

12. Бадриев И Б Итерационные методы решения вариационных неравенств в гильбертовых пространствах / И.Б Бадриев, О А. Задворнов Казань- Изд-во Казане к ун-та, 2003 132 с

13. Бадриев И Б. Методы двойственности в прикладныг задачах / И Б Бадриев, М М. Карчевский. Казань- Изд-во Казанск. ун-ia, 1987. 147 с

14. Баиокки К Вариационные и квазиварисщионные неравенства Приложения к задачам со свободной границей пер с ашл / К Байокки, А. Каиело М : Наука, 1988 118 с

15. Бамшинский А Б Итеративные методы решения некорректных задач / А Б Бакушиискии, А В Гончарский М Наука, 1989 128 с

16. Бак\шинский А.Б. Итерационные методы решения некорректных оператор-пьи уравнений с гладкими операторами / А Б Бакушинс кий, М К). Кокурин Изд-во. Едиюриал УРСС 2002 г 192 с

17. Бсрщашкии ЯМ Теория и методы решения задач дополнительности / Я М Берщанский, М В. Мееров // Автомат и телемех 1983 JV0 6 С. 5 31.

18. ВасишевФП Методы решения экстремальных задач / ФП Васильев М Наука, 1981. 100 с

19. Васильев Ф П Численные методы решения экстремальных задач / Ф П. Васильев М : Наука, 1988 552 с

20. Васин В В Некорректные задачи с априорной информацией / В В Васин, АЛ Ап>ев Екатеринбур1 Наука, 1993 203 с

21. Волоцкая (Мазуркевич) Е О Решение смешанных вариационных неравенств па основе безусловной минимизации / Е.О Волоцкая (Мазуркевич) // Труды респ. нау чно-иракт. конф . Инюллекгуальные системы и информационные технологи Казань- Отечество, 2001. С. 194

22. Воробьев Н Н Основы теории игр Вес коалиционные игры / Н Н. Воробьев М Наука, 1984 496 с

23. Ги.1ьд(»нбранд В Ядро и равновесие в большой жономике / В Гильденбранд М Наука 1986 200 с

24. Гозышейн ЕГ (род) Методы оптимизации в экономике-математики с ком моделировании / 12 Г Голыитейн М Наука 1991. 148 с.

25. Голыйюйн ЕГ Модисфицированные функции Лаграиэка / ЕГ Голыитейн, II В Тропиков М Наука, 1989 400 с

26. Демьянов ВФ Недиеффере нцируе мая еттимимишция / ВФ Демьянов, Л В Васильев М. Наука, 1981 384 с

27. Демьянов В Ф. Приближенные методы решения экстремалг>ных задач j ВФ Демьянов, Л М Рубинов JI Ленингр. ун-i. 1968 180 с

28. Демьянов В Ф. Основы негладкого анализа и ква шдифферс нциальпое исчисление / В Ф. Демьянов, А М Рубинов М Наука 1990 432 с

29. Дюво Г Неравенства в механике и е/шшке пер с франц / Г Дюво, Ж -Л Лионе М Наука, 1980 384с.

30. Еремин НИ Нестационарные проце с с ы матемагпиче ского программирования /ПИ Еремин, В Д. Мазуров М Наука 1979 288 с

31. Карлин С Математические методы в те ории игр, программировании и экономике / С Карлин М Мир, 1964 838 с

32. Киндерлерер Д Введение в вариационные неравенства и их приложения пор с англ. / Д. Киндерлерер, Г Стамгиккья М. Мир, 1983 256 с

33. Кокурин М 10 Об асимптотическом поведении периодических решений параболических уравнений со слабо нелинейным возмущением / М Ю Кокурин // Маюматические замени 1995 Т 57 Вы» 3 С 369 376

34. Коннов ИВ Методы не дифефе ре пцируемой оптимизации / И.В. Конной Казань И зд-во KdidHCKoro университета, 1993 100 с

35. Коннов ИВ Методы решения коне чноме рпых вариационных неравенств / ИВ Коннов Казань Пзд-во "ДАС", 1998 101 с

36. Koiiiioi! II В Об одном клаке D-интервальных (функций для смешанных вариационны! неравенств / ИВ Конной / / Изв ВУЗов Математика 1999 Т 13, .V 12 С 00 61

37. Коннов И В Применение D-интервальных функций к задачам экономического равновесия / ИВ Коннов, ЕО Мазуркевич // Тезисы докладов XIII международной конференции Проблемы теоретической кибернетики. Москва И зд-во Ml У 2002 С 94

38. Коннов И В Об одной модели равновесия в условиях олигополии /ИВ Коннов, Е О. Мазуркевич // Математическое программирование и приложения. Екатеринбург 21-28 февраля 2003 г Те з докл Информ бюллетень АМП Екатеринбург 2003 Вып 10 С 153

39. Коннов II В Модель равновесия в условиях олигополии с несколькими те аналогиями /ИВ Коннов, Е О. Мазуркевич // Исследования по информатике ИПИ All РТ. Казань Отечество. 2003 Вып. 5 С 57-70.

40. Коннов ИВ Модель равновесия с функцией спроса типа Кобба-Дугласл / II В Коннов, Е О Мазуркевич // Исследования но информатике ИПИ АН РТ Казань Отечество 2003 Вып 6 С 57 70

41. Коннов И В Метод регуляризации для смешанных вариационных неравенств / ИВ. Коннов, Е О Мазуркевич // Исследования по информатике ИПИ АН РТ Казань- Отечество 2005 Вы» 9 С 55 71.

42. Лапин А В Введение в теорию вариационны с неравенств / А В Лапин Казань Пзд-во Казанск ун-та, 1981 125 с

43. Лапин А В Сеточные аппроксимации вариационных неравенств / АВ Лапин Казань И зд-во Казанск yn-ia, 1984. 96 с

44. Левин В Л. Выпуклый сталиi в пространствах и/меримых функций и его применение в математике и экономике / В Л. Левин М : Наука 1985 352 с.

45. Левин М И Математические модели экономического взаимодействия / М II Левин, В Л. Макаров, А М Рубинов М Физматлиг, 1993. 376 с

46. Лоюв А.В Введение в экономико-математическое моделирование /АВ Лотом М Наука, 1984 392 с

47. Мазуркевич Е О. Применение D-интервальных функций к одной задаче равновесия / ЕО Мазуркевич // Материалы Четвертого Всероссиискою семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". Казань Изд-во Казан-< кою мат ем. общ-ва 2002 С. 77-79.

48. Мазуркевич К О Методрегуляри тции для модели равновесия с (функцией спроса типа Кобба-Дугласа / Е.О. Мазуркевич // Исследования по информатике ИНН АН РТ Казань. Отечество 2004. Выи. 8. С 97-108

49. Мазуркевич ЕО Метод регуляризации для (мешанных вариационных неравенств / ЕО Мазуркевич // Материалы Шее юго Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". Казань- КГУ. 2005 С. 167

50. Мазуркевич ЕО Метод регуляризации для задач олигополистиче t кого равновесия , ЕО Мазуркевич // II зв вузов Математика 2006. .V 12 С 69 74

51. Макаров В Л Математическая теория жономической динамики и равновесия /ВЛ Макаров, А.М Рубинов М Наука, 1973 336 с

52. Моисеев II II (ред) Современное состояние теории исследования операций / НИ Моисеев М.: Наука, 1979 464 с.

53. Мулен Э Теория игр с примерами из математической экономики / Э. Мулен М . Мир, 1985 200 с.

54. Никайдо X Выпуклые структуры и математическая жономика пер с англ. ; X Никаидо М • Мир, 1972 520 с

55. Нурмитккии Е А Численные методы решения стохастичесшх и детерминированных минимаксных задач / Е А Нурминский. Киев. Паукова думка, 1979 161 с

56. Нурмишкии Е А Числешше методы выпуклой оптимизации / Е А. Нурмин-(кии М : Наука, 1991. 167 с.

57. Обен Ж-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения пер с франц / Ж.-П. Обен М ■ Мир, 1988 264 с

58. Опойцев В И Нелинейная с ис те мостатика / В И. Опоицов М'Наука, 198G 248 (

59. Оргета Дж Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений со многими неизезестными пер. с англ. / Дж Opioia, В Рейнболдт. М. Мир, 1975 560 с.

60. Ilanaiиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения 1 П Панатио-топулоо М Мир 1989 191с

61. Полгеровим В.М. Экономическое равновесие и хошйетвенный механизм / ВМ Полюронич М Наука 1990 256 с

62. По норовим ВМ Отображения, обладающие ееюйегпеюм валовой заменимости, в теории штомического равновесия / В М Псшерович, В А Снивак // Современные проблемы математики. М. ВИНИТИ, 1982 Т19 С 111-154

63. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию / Б. Т. Поляк М • Наука, 1983 384 с

64. Попов Л Д Модис/ткация метода Эрроу-Гурвица поиска седловых тпоче к / Л Д Попов // Матем заметки. 1980 Т 28, .V» 5 С 777-784

65. Попов Л Д О применении метода прсн кции для нахождения аппромаксиаци-ониых корней монотонных отобрази с иий / Л Д Попов // Изв ВУЗов Математика 1995 .V 12 С 74-80

66. Попов ЛД О с J с мах формирования ведущей последовательное ти в регуля-ри местном жстраградиентном методе решения вариационны г неравенств / Л Д Попов // Изв ВУЗов Математика. 2004. Лр° 1 С 70-79

67. Пшеничный Б. II. Численные методы в экстремалг>ных задачах / Б. Н Пшеничный, Ю М Данилин М • Наука 1975. 320 о.

68. Пшеничный Б. II. Выпуклый анализ и экстремальные задачи / Б Н Пшеничный М • Наука 1980 320 с.

69. Рокафоллар РТ Выпуклый анализ / РТ Рокафеллар М . Мир 1973 470 с

70. Сира ичдинон Т К Динамиче ское моделирование жономических объе ктов / Т К Сиранчдинов Казань Фэн, 1990 223 о

71. Смо п.яков Э Р Равновесные модели при не с оетас)ающих интересах учас тпиков /ЭР Смольяков. М • Наука, 1986 244 с

72. Су харей А Г Курс методов оптими шции / А Г Сухарев, А 13 Тимохов, В В Федоров М . Наука, 1986 382 с7.1 Тимохов А В Математические модели экономического воспроизводства / А В Тимохов М.- Изд-во МГУ, 1982 127 с

73. Тихонов А Н О регуляри ищии не корректно посгпавленньи задач /АН Тихонов // ДАН СССР 1963 Т. 153, N 1. С 49 52.

74. Тихонов АН. Методы решения некорректных задач / АН Тихонов, В.Я Арсении. М. Наука, 1979 288 с

75. Урясьев С П Адаптивные алгоритмы стпохастиче ской оптими шции и теории игр /СП Урясьев М Наука, 1990 181 с

76. Фазылов В Р Отыскание минимакса с шданной точностью / В Р Фазылов // Ж вычисл матем и матем фи j. 1994 Т 34 N 5. С. 793-799

77. Шор Н 3 Новые направле иия в развитии методов негладкой оптимиищии i Н 3 Шор,, Кибернетика 1977 .V» 6 С 87-91

78. Шор Н 3 Методы миними ищии недиф)ференцируемьи (функций и их приложения / Н. 3. Шор Киев- Наукова думка, 1979 200 с

79. Экланд И Выпуклый анализ и вариационные проблемы пер с аны. / И Эк-ланд, Р Гемам М Мир, 1979 400 с

80. A Cournot oligopolists approach to electricity market / E Allevi, MI Bertoccln, A Gnudi, M. Iimorta, M T. Vebpncci // Qiiaderni DMSIA, Italy University of Bergamo 2005 No 10 13 pp

81. Paititionable mixed veuiational inequalities / E Allevi, A Gnudi, I V. Konnov, E О Ma/nrke\ к h // Qiiaderni DMSIA, Italy University of Bergamo 2003 No 7 13 pp

82. Arrow К J The existence of an equilibrium for competitive economy / К J. Arrow, G. Debreu // Econornetrica 1954 V. 22, No 3 P. 265-290

83. Arrow К J General competitive analysis / KJ Arrow, F.H Hahn//Mathematical Economics Texts. California Holden-Day 1971 452 pp.

84. Ainhinuty G Variational principles for variational inequalities / G Auchmnty 11 Numer Funct. Anal and Optim 1989. V 10, No 9-10 P. 863-871

85. Вгель H Analyse fone tione lie et applications / H Brezis. Paris Masson, 1983. Tne

86. Browder F E On the unification of the calculus of variations and the theory of monotone nonlinear operators in Banach spaces / E E Browder Proc Nat Acad Sci USA 1966 V 56 P. 419-425

87. Brnek R On weak convergence of em ergodic itereitiem for the solution of variational inequalities fen monotone operators in Hilbert space / R Bruck // Л. Math Anal and Appl 1977 V 61, No 1 P 159-164

88. CobbGW A theory of production / G W. Cobb, P. H Douglas//Airier Econ Rev. 1928 March Suppl P 139-165

89. Cottle R \V. The linear complementarity problem / R \V Cottle, J-S Pang, R E Stone Academic Press, 1992

90. Dafermos S Trajjie equilibria and variational inequalities j S Dafermos // Transportation Science 1980. V 11 No 1. P. 42-54.

91. Ea\es ВС Finite solution e>f pure trade markets with Cobb-Douqlas utilities / В С Eaves //Mathem Programming Study. 1985 V 23 P 226-239

92. Eacchinei F. Beyond morwtonicity m reejulemzation methods fe>r nemlinear complementarity problems / F. Facchinei, C. Kanzow. // SIAM J. Control and Optuniz 1999 V 37, No 4. P. 1150-1161

93. Facchinei F Finite-dirmnsioneil variational inequalities and complementarity problems / F Facchinei, .1 -S Pang Berlin Springer Verlag, 2003 (two volumes)

94. Terns M С Engineerinq and economic applications of complementarity problems j MC Ferris, J-S Pang//SIAM Review 1997 V 39 P. 669 713

95. Fichera G. Pi obit mi e lastostatici con vinsoh umlaterah. il probltma eh Siejnorino con ambiyue tondiziom al contorno / G Fichera. // Atti Acc Naz Lmcei Merri Ser. 1964 V 8, No. 7. P. 91-140.

96. Fiedler M. On matrices with nonpositive off-diagonal elements and pruuipal minors ; \I Fiedler and V Ptak // Czechoslovak Math Journal 1962. V. 12 P 382 400

97. Fukuslimia M Equivalent differenhabk optimization problems and dt scent methods for asymmetm variational inequality problems / M Fukushima // Math Programming 1992 V 53, No 1 P. 99 110.

98. Gabay D. Application of the method of multipliers to variational inequalities / D Gabay /' Augmented Lagrangian Methods Appl Nurner Solution of Boundary Value Problems Amsterdam North-Holland 1983 P 299-331.

99. Gale D The law of supply and demand / D Gale, // Math Seand 1955. V. 3 P 155-169

100. Gnppo I, A ejlobally convejejent version of the Polah-Rilne re conjuejatc cjradient method / I Gnppo, S Liuidi//Math Progr 1997. V 78, No 3 P. 375-391

101. Harker PT. A vcmational inequality approach for the determination of oligopolistic market equilibrium / PT Harker // Math. Progr 1984 V 30, No 1 P 105 111

102. Harker PT Finite-dimensional variational inequality and nonlinear complementarity problems a survey of theory, algorithms and applications / PT Harker, J-S Pang // Math Progr 1990 V 48. P. 161-220

103. Barker PT Newton's method for the nonlinear complementarity problem• a B-differentiablt equation approach / PT. Harker, В Xiao // Math Progr 1990 V. 48 P 339 .357

104. Hiriart-Urruty J -B Convex analysis and minimization algorithms / J -B. Iliriart-Urruty, С Leinarechal. V. 1 2 Berlin Springer 1993

105. Kanzow С Theoretical and numerical investigation of the D-ejap function for box constrained variational inequalities / С Kanzow, M Fukushima // Math. Progr 1998 V. 83, No 1 P. 55-87

106. Kararnardian S An existence theorem for the complementarity problem / S Kararnardian // J Opt. Theory Appl. 1976. V 19 P. 227-232.

107. Kolstad CD Necessary and sufficient conditions for uniqueness of a Cournot equilibrium / С D. Kolstad, L Mathiesen // Rev. Econ Studies 1987 V 54 P 681-690

108. Koiinov I V Properties of gap functions for mixed variational inequalities / I V Konnov // Siberian Л Numerical Math 2000 V. 3, No 3. P. 259-270

109. Konnov I V Combined relaxation methods for variational inequalities ' I Y. Konnov Berlin Springer Yerlag, 2001 182 pp

110. Konnov I V Mixed variational inequalities and economic equilibrium problems / IV Konnov, EO. Volotskaya (Mazurkevu h) // J of Appl Math 2002 V 2, No 6 P 289-314

111. Konnov IV On a regularization method for variational inecpialities with P0 mappings / I.V Konnov, EO Ma/nrkevich, M. All // J Appl Math. Comput Sci 2005 V 15, No 1 P 101-110

112. Lapin A. Iterative solution for two classes of me с h variational inequalities Preprint / A Lapin. Onlu, Finland: University of Oulu, 1999

113. Lapin A Geometric convergence of iterative methods for a problem with M-rnatricc s and diagonal multivalued operators / A Lapin//Comp Methods Appl Math 2002 V. 2, No 1 P. 26-40.

114. Lemarechal C. An algorithm for minimizing convex functions / / G Lemarechal / Inform Process 74 Amsterdam. 1974. P. 552-556.

115. Lions P.L Splitting algorithm for the sum of two nonlinear operators / PL Lions, В Mercier // SIAM J. Numer. Analys 1979. V. 16, No 6 P. 964-979

116. Lest arret С Cas d'addition des applications monotones rnaximales dan un espace d( Hilbert j С Lesearret//С R Acad Sci , Paris 19G5 V 261 P 1160-1163.

117. Marine AS On the formulation and solution of economic equilibrium models j A S Manne // Math Progr Stud 1985 V 23 P. 1-22

118. McKenzie L W. On equilibrium in Graham's model of world traele and other competitive systems / L W McKenzie // Econometrica 1954. V 22, No 2 P 146 161.

119. More ,1 On P- and S-funeturns and related elasses of n-ilunensicmal nonlinear mappings / I More, W Rheinboldt // Linear Algebra and AppI 1973 V 6, No 1 P 45-68

120. Moreau J J Proximite et dualite dans un espace Hilbe rtien / J - J Morean / / Bull Soc Math France 1965 V 93, No 2 P 273-299

121. Mukai H Readily implementable conjugate qraehent methods / 11. Mukai I j Math Progr 1979 V 17 P 298 319

122. Murphy ГН A mathematical pr oqr arnminq approach for determining oligopolistic market equilibrium / F H Murphy, H D Sherali, Л L Soyster // Math Progr 1982 V 21 P 92-106

123. Wigurney A Network economics a variational inequality approach / A Nagurney Kluwer Academic Publ, Dordrecht, 1999. 436 pp

124. Nikaido H On the classical multilateral exchange problem j H Nikaido Metroecon 1956 V 8, No. 2 P 135-145

125. Nikaido H A supplementary note to Nikaido (1956) / H. Nikaido // Metroecon. 1957 V 9, No 2

126. Okugiuhi К The theory of oligopoly with multi-product firms / K. Okugudn, F Szidarovsky Berlin. Springer Verlag, 1990. 268 pp

127. Pang J.-S. Asymmetric variational inequality problems over product sets applications and iterative methods / J S Pang//Math Programming 1985. V. 31, No 2 P 206-219

128. Peng J-M Equivalence of variational inequality problems to unconstrained minimization / J.-M. Peng // Math.Progr 1997 V 78, No 3 P. 347-355

129. Patriksson M Merit functions and descent algorithms for a class of variational inequality problems / M Patriksson // Optimization 1997 V 41, No. 1 P. 37 55

130. Patriksson M Nonlinear programming and variational inequality problems a unified appioaeh / M Patriksson // Applied Optimization V 23 Kluwer Ac adeiine Publ , Dordrecht, 1999 334 pp

131. Ъеrig P. Further applications of a splitting algorithm to decomposition in variational ineepiahtie s and e emvt x programming / P. Tseng // Math Programming 1990 V 48, No 2 P 249-263

132. Tseng P Applications of a splitting algorithm to decomposition in convex programming and variational ineepiahties / P. Tseng // SIAM J. on Control and Optimiz 1991 V 29, No 1-P 119-138

133. Tseng P On linear convergence of iterative methods for the variational ineepiality problem /Р Tseng //J of Coinput. and Applied Mathematics 1995 V 60, No 1-2 P 237 252

134. Qi H.D. Tikhonov regularization for variational inequality problems / H D Qi // J Optimiz Theory and Appl 1999. V. 102 P. 193-201.

135. Rockafellar RT The theory of subgradients eind its applications to problems of optimization / R T. Rockafellar Berlin Helderinann-Verlag, 1981. 107 pp.

136. Rosen J В Existence and unupieness of equilibrium points for concave n-peison games / J В Rosen//Ее onoinotric a 1965 V 33, No 3 P 520-534

137. Saigal R Extensions of the generalized complementarity problem j R Saigal I1 Mathem of Oper Reseach. 1976 V. 1. P 260-266

138. Solodov M V. Modified projeeturn-type methods for monotone variational inequalities / M.V. Solodov, P. Tseng // SIAM J Control and Optimiz. 1996. V. 34 P. 1814-1830

139. Stampauhia G Formes bilineaires coercitives sur le ensembles cemvexes / G Stdinpa< chia // Compt. Rend. Acad. Sci. Pans. 1964 V. 258, No 18 P. 44134416

140. Yolotskaja (Mazurkevich) EO On a class of economic equilibrium problems i E (). Volotskaya (Mazurkevich) // Труды матем центра им. НИ. Лобачевско-ю Казан магем. об-во Казань Изд-во "ДАС", 2001. Т. 13 С 241-257

141. Wolfe Ph A method of conjugate subqradicnts for minimizing non-differentiabk functions / Ph Wolfe//Math. Progr. Study 1975 V 3 P 145-173

142. Yamashita N Unconstrained optimization formulations of variational inequality problems , N. Yamashita, К Taji, M Fukushima // .J of Optnniz Theory and Appl. 1997. V. 92, No 3 P. 439-45(3