Сложная динамика неидентичных связанных систем с бифуркациями Андронова-Хопфа и удвоения периода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Паксютов, Владимир Игоревич

• Паксютов, Владимир Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Паксютов, Владимир Игоревич

Введение.

Глава 1. Сложная динамика связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга в случае неидентичности по частотной расстройке (краткий обзор и новые результаты).

1.1. Осциллятор Ван дер Поля: общие свойства, укороченные уравнения, нормировка, учет неизохронности.

1.2. Связанные осцилляторы Ван дер Поля с диссипативной связью. Полные и укороченные уравнения.

1.3. Режимы захвата фазы и фазового дрейфа на плоскости параметров частотная расстройка - параметр связи. Представление об «активной» связи.

1.4. Режим гибели колебаний.

1.5. Общее устройство плоскости управляющих параметров, обсуждение стационарных состояний и фазовых портретов.

1.6. Компьютерные эксперименты с системой связанных осцилляторов. Метод карт динамических режимов.

1.7. Устройство плоскости параметров полной дифференциальной системы

1.8. Область противофазной синхронизации на картах динамических режимов полной системы.

1.9. Влияние фазовой нелинейности и управляющих параметров осцилляторов на динамику системы. Появление режимов хаотической динамики.

1.10. Несимметричная фазовая нелинейность осцилляторов.

1.11 .Активная связь. Карта динамических режимов.

1.12. Допороговые осцилляторы. Возбуждение допороговых осцилляторов активной связью.

Выводы.

Глава 2. Сложная динамика связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля-Дуффинга в случае неидентичности по управляющим параметрам.

2.1. Плоскость параметров, управляющих бифуркацией Андронова-Хопфа. Укороченные уравнения и уравнение Адлера.

2.2. Плоскость параметров, управляющих бифуркацией Андронова-Хопфа.

Компьютерное моделирование.

2.3. Влияние фазовой нелинейности на динамику дифференциальной системы.

2.4. Устройство плоскости параметров частотная расстройка - величина связи для неидентичных подсистем. Возможность широкополосной синхронизации.

2.5. Широкополосная синхронизация в системе с фазовой нелинейностью. 86 Выводы.

Глава 3. Сложная динамика и критические явления в неидентичных по управляющим параметрам связанных системах с удвоениями периода (система Рёсслера).

3.1. Система связанных осцилляторов Рёсслера с двунаправленной связью.

3.1.1. Устройство плоскости управляющих параметров.

3.1.2. Устройство границ области синхронизации. Критические явления.

3.1.3. Мультистабильность на плоскости управляющих параметров осцилляторов.

3.2. Критические явления в системе однонаправлено связанных осцилляторов Рёсслера.

3.2.1. Система однонаправлено связанных осцилляторов Рёсслера.

3.2.2. Критические точки.

3.2.3. Бикритическая точка.

3.2.4. Перемещение критических точек на плоскости управляющих параметров при вариации параметра связи.

3.3. Система связанных осцилляторов Рёсслера и Ван дер Поля.

Выводы.

Глава 4. Сложная динамика систем связанных осцилляторов с бифуркациями удвоения периода.

4.1. Системы связанных осцилляторов Спротта.

4.2. Система связанных генераторов Кислова-Дмитриева.

4.3. Система связанных осцилляторов Анищенко-Астахова.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сложная динамика неидентичных связанных систем с бифуркациями Андронова-Хопфа и удвоения периода»

Актуальность работы

Как известно, бифуркация Андронова-Хопфа состоит в возникновении автоколебаний в результате рождения в фазовом пространстве предельного цикла при превышении некоторым, управляющим параметром соответствующего бифуркационного значения [1]. Простейшим примером системы, демонстрирующим такую бифуркацию, является система Ван дер Поля [2,3], которая в настоящее время приобрела «статус» эталонной модели теории колебаний и нелинейной динамики. Эта система описывает также и многие конкретные радиофизические системы, начиная с классического лампового генератора [1,4]. Важным развитием системы Ван дер Поля является система Ван дер Поля - Дуффинга, которая характеризуется дополнительной нелинейностью, введенной по типу осциллятора Дуффинга [5]. Эта модель учитывает возможность неизохронности малых колебаний и приводит к нормальной форме бифуркации Андронова-Хопфа [4].

Бифуркация удвоения периода возможна в автоколебательных системах с большей размерностью фазового пространства. Она состоит в том, что предельный цикл теряет устойчивость, и от него отделяется устойчивый цикл удвоенного периода [6-9]. Известно множество систем и моделей, демонстрирующих такую бифуркацию, как искусственно сконструированных (система Ресслера [10]), так и радиофизических (генераторы Пиковского-Кияшко-Рабиновича [11], Анищенко-Астахова [12], Кислова-Дмитриева [1316] и др.), а также оптических, гидродинамических, химических и др. систем. Существенное значение бифуркации удвоения периода состоит также в том, что каскад таких бифуркаций приводит к известному сценарию Фейгенбаума перехода к хаосу, который оказывается универсальным и справедливым для систем различной физической природы. Универсальность сценария и характерные для него свойства самоподобия (скейлинга) были объяснены с помощью метода ренормализационной группы в известных работах Фейгенбаума [8,17,18].

В настоящее время весьма популярны исследования динамики связанных автоколебательных систем. Данный класс задач является сложным для изучения по целому ряду причин, таких как наличие большого числа факторов, влияющих на динамику связанных осцилляторов, проблематичность и зачастую невозможность проведения аналитического исследования, сложность и длительность необходимого численного анализа, проводимого при помощи компьютера.

В данной работе акцент сделан на изучении неидентичных связанных систем с бифуркациями Андронова-Хопфа и удвоения периода. Будут рассмотрены в этом контексте связанные системы Ван дер Поля, Ван дер Поля - Дуффинга, Ресслера, так называемые системы Спротта [6,19,20] и некоторые другие.

Неидентичность взаимодействующих систем может быть введена по-разному. Этому отвечает и разная методология исследования. Так для связанных систем Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга можно выбрать равными друг другу параметры, ответственные за бифуркацию Андронова-Хопфа. Неидентичность будет состоять в наличии частотной расстройки автономных систем. В этом случае основные «атрибуты» явления синхронизации - языки Арнольда, встроенные в области квазипериодической динамики - выявляются на плоскости параметров (частотная расстройка -величина связи). Такая плоскость параметров аналогична плоскости (частота - амплитуда воздействия) для осциллятора, возбуждаемого гармоническим сигналом. Существенное отличие от этого случая для связанных осцилляторов - возможность эффекта «гибели колебаний», который состоит в исчезновении автоколебаний при достаточно большом диссипативном воздействии связи.

Система двух связанных осцилляторов Ван дер Поля в рамках такого подхода изучалась, например, Д.Г. Аронсоном с соавторами [21], А. Пиковским [22], Д.С. Коэном и Дж. С. Нэу [23,24] для случая диссипативной связи между осцилляторами, а также Н. Минорски [25], P. X. Рандом, совместно с П. Дж. Холмсом и Т. Чакраборти [26-28] для случая слабой инерционной и Р.Х. Рандом и Д.В. Сторти [29] - для сильной инерционной связи. Подобный подход использован также в работах Т. Павлидиса [30], М. Полиященко [31,32] и Д.С. Коена, Дж. С. Неу [23,24] при моделировании биологических и химических процессов с использованием системы связанных осцилляторов Ван дер Поля и др. Интерес к такой задаче не ослабевает, поскольку обнаруживаются все новые ее аспекты и новые колебательные эффекты. В этом плане можно указать, например, недавнюю обобщающую работу [33], в которой выполнено объемное исследование в рамках квазигармонического приближения, включая возможность комбинированной связи. В этой работе также обращено внимание на важность ситуации, когда взаимодействующие осцилляторы характеризуются разными по величине параметрами, управляющими бифуркациями Андронова-Хопфа в подсистемах.

В тоже время ряд вопросов до настоящего времени не нашел достаточно полного освещения. Некоторые из них требуют дополнительных, более детальных исследований. Среди них можно указать следующие. Как устроено пространство параметров дифференциальной системы связанных осцилляторов Ван дер Поля, когда квазигармоническое приближение не справедливо? Как влияет на динамику системы в этом случае нелинейность, введенная по типу осциллятора Дуффинга? Какие режимы может инициировать в допороговых осцилляторах Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга «активная» связь» (связь через отрицательное сопротивление)?

Кроме того, можно взглянуть на задачу о динамке неидентичных связанных систем Ван дер Поля с другой точки зрения. Действительно, в каждой из подсистем имеется параметр, управляющий бифуркацией Андронова-Хопфа. Если независимо регулировать два этих параметра, то мы приходим к задаче об устройстве соответствующей плоскости параметров связанной системы. При этом величина связи и расстройка собственных частот осцилляторов будут фиксированы. Являются интересными вопросы: как выглядят языки синхронизации и области квазипериодических режимов на этой плоскости параметров, и как они могут изменять свою форму при вариации величины связи и частотной расстройки? Такой подход к анализу динамики систем связанных осцилляторов также будет использован в настоящей работе.

В третьей и четвертой главах работы исследуется ряд различных связанных систем с удвоениями периода. Существует множество публикаций, посвященных различным аспектам динамики подобных систем. Так изучаются вопросы влияния величины связи на динамику в связанных симметричных системах с удвоениями периода [34-36], обсуждается наличие мультистабильности [36-41], картина бифуркаций [43-47], возможность регулярной и хаотической синхронизации [48-62], критического поведения (сценариев перехода к хаосу) [63-69] и др. При рассмотрении связанных потоковых систем с удвоениями периода необходимо учитывать также результаты работ, посвященных связанным отображениям, например, [34,35, 37,38, 43,45,51,60, 67,68,70,71 и др.].

В настоящей работе основной акцент ставится на особенностях динамики при существенно различных параметрах подсистем, отвечающих за бифуркации удвоения периода в подсистемах. При такой интерпретации в центре внимания оказывается устройство плоскости параметров, управляющих удвоениями в подсистемах. Такой подход1, фактически, продолжает методологию исследования неидентичных по значениям управляющих параметров систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга. В третьей главе устройство плоскости управляющих параметров для связанных неидентичных систем Ресслера будет исследовано с помощью метода карт динамических режимов, метода карт ляпуновских показателей, будет дан бифуркационный анализ и

1 Для связанных отображений с удвоениями периода такой подход применялся также в работе [43], в [72] - для анализа связанных, возбуждаемых гармоническим сигналом осцилляторов Дуффинга, в [44] были получены некоторые предварительные результаты для связанных систем Ресслера. представлены также некоторые примеры критических точек коразмерности два, являющиеся концевыми для фейгенбаумовских линий. Наличие таких точек позволит продемонстрировать самоподобное устройство плоскости управляющих параметров в их окрестности (свойство скейлинга). Будут изучены как взаимно, так и односторонне связанные системы.

Несмотря на «эталонный» характер системы Ресслера и большое количество работ, посвященных динамике связанных систем этого типа (например, [36,39,44,48,50,73-81]) невозможно однозначно утверждать, что результаты, полученные для двух таких неидентичных связанных систем, будут справедливы и для других систем с бифуркациями удвоения периода. Для выявления возможных общих (а также отличающихся) черт, проявляющихся в устройстве плоскости управляющих параметров, в четвертой главе настоящей работы рассмотрены пары множества (более десяти) различных связанных осцилляторов Спротта, автогенераторов Кислова-Дмитриева и Анищенко-Астахова.

Цель работы состоит в исследовании картины динамических режимов и критической динамики неидентичных по управляющим параметрам связанных автоколебательных систем (осцилляторов), демонстрирующих в автономном состоянии бифуркации Андронова-Хопфа и удвоения периода.

Научная новизна работы

1. Проведено подробное численное исследование методом карт динамических режимов устройства пространства параметров систем диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга, включающее анализ устройства областей кратной синхронизации, квазипериодического поведения и сложной хаотической динамики, в том числе при неидентичных управляющих параметрах осцилляторов.

2. Аналитически получены соотношения, описывающие устройство плоскости параметров, отвечающих за бифуркации Андронова-Хопфа, диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга. Выявлены характерные типы устройства этой плоскости в зависимости от величины расстройки собственных частот осцилляторов и константы связи. Для исходной дифференциальной системы выявлено аналогичное устройство плоскости параметров, которое, однако, дополняется своеобразной системой языков синхронизации более высокого порядка.

3. Обнаружена возможность возникновения синхронных и квазипериодических режимов динамики системы двух осцилляторов Ван дер Поля, находящихся до порога бифуркации Андронова-Хопфа, в случае «активной» связи через отрицательное сопротивление.

4. В системах связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга с неидентичными управляющими параметрами обнаружена возможность «широкополосной» синхронизации, состоящей в наличии бесконечно длинной полосы синхронизации на плоскости амплитуды связи и расстройки собственных частот, с шириной, равной разнице в значениях управляющих параметров. В рамках квазигармонического приближения дана оценка границ области широкополосной синхронизации. Для исходной дифференциальной системы при движении внутри полосы и при увеличении частотной расстройки проекция фазового портрета на плоскость переменных одного из осцилляторов мало меняет свой вид, а второго - демонстрирует последовательное увеличение числа петель у аттрактора.

5. Проведено подробное численное исследование устройства плоскости параметров, изменение которых приводит к каскаду бифуркаций удвоения периода в несвязанных подсистемах, для связанных осцилляторов Ресслера. Определено и подробно описано устройство областей синхронных и квазипериодических режимов динамики и границ этих областей, месторасположение областей хаотической динамики и мультистабильности. Обнаружено сложное устройство окрестностей точек пересечения линий бифуркаций удвоения периода и касательных бифуркаций. Отмечено, что в устройстве плоскости параметров проявляются черты, характерные как для связанных осцилляторов Ван дер Поля, так и связанных логистических отображений

6. Для связанных осцилляторов Ресслера найдены концевые точки фейгенаумовских критических линий, которые в известном «перечне» критических точек известны как точки типа С. Продемонстрировано свойство самоподобного устройства плоскости параметров в окрестности этих точек.

7. Показано, что пространство управляющих параметров связанных осцилляторов Ресслера с однонаправленной связью характеризуется наличием своего рода «двойной фейгенбаумовской», а также бикритических точек, которые также представляют собой концевые точки фейгенбаумовских линий.

8. Проведен численный анализ устройства плоскости параметров, управляющих появлением бифуркаций удвоения периода в подсистемах, для большого количества систем связанных осцилляторов, в том числе множества пар связанных осцилляторов с квадратичной нелинейностью, предложенных Дж. Спроттом, связанных автогенераторов Анищенко-Астахова и связанных осцилляторов Кислова-Дмитриева. Выделен достаточно емкий класс, к которому относится и система связанных осцилляторов Ресслера, характеризующийся общими чертами устройства плоскости управляющих параметров и модификации этой плоскости при вариации константы связи. На примере ряда связанных осцилляторов Спротта показано существование систем связанных осцилляторов не входящих в упомянутый класс.

Научно-практическая значимость работы и рекомендации по использованию

Проведенное численное исследование систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга выявило картину областей кратной синхронизации в пространстве параметров, что может быть полезно при практическом применении этих систем. «Эталонный» характер осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга позволяет ожидать аналогичного поведения в других системах связанных осцилляторов с бифуркацией Андронова-Хопфа. Можно рекомендовать поиск в радиофизическом эксперименте обнаруженных особенностей поведения (широкополосная синхронизация, синхронные и квазипериодические режимы в допороговых осцилляторах с активной связью).

Использованная в настоящей работе «методология» исследования, при которой динамика двух связанных подсистем изучается на плоскости их управляющих параметров, может быть достаточно продуктивной для понимания особенностей поведения различных типов связанных осцилляторов.

Особенности картины динамики системы связанных осцилляторов Ресслера на плоскости их управляющих параметров с большой вероятностью будут характерны для других систем связанных осцилляторов с бифуркациями удвоения периода. К таким особенностям относятся, в том числе, устройство границ области синхронизации и наличие критичности С-типа.

Возникновение в системе однонаправлено связанных осцилляторов Ресслера «двойной фейгенбаумовской» критической точки и бикритической точки, к которым сходятся терминальные точки, открывает перспективы поиска таких точек в других примерах однонаправлено связанных колебательных систем с удвоениями периода.

Результаты работы использованы в учебном процессе на факультете нелинейных процессов Саратовского госуниверситета в рамках курса

Системы со сложной динамикой» и при выполнении курсовых и дипломных работ.

Достоверность полученных результатов подтверждается воспроизводимостью всех численных расчетов, соответствием результатов, полученных методом карт динамических режимов, карт ляпуновских показателей, построением фазовых портретов и бифуркационных деревьев, а также хорошим совпадением результатов, полученных численными и аналитическими методами, а также приведенными иллюстрациями скейлинга на картах динамических режимов в окрестностях найденных критических точек.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методом карт динамических режимов выявлено устройство плоскости параметров (частотная расстройка - величина связи) диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля - Дуффинга, включая ситуации, когда не выполняются условия квазигармонического приближения. Рост параметра нелинейности, введенной по типу осциллятора Дуффинга, приводит к появлению характерных бифуркационных структур «crossroad-area». С ростом управляющего параметра возможно исчезновение одной из областей «гибели» колебаний. Активная связь (связь через отрицательное сопротивление) может инициировать в допороговых осцилляторах квазипериодические и синхронные режимы разной кратности. При наличии неидентичности по управляющему параметру наряду с традиционными языками Арнольда, синхронизация возможна также внутри очень широкой по частотной расстройке полосы, разделяющей области гибели колебаний и квазипериодических режимов.

2. Аналитически в рамках уравнения фазовой динамики выявлено устройство областей синхронизации 1:1 на плоскости управляющих параметров неидентичных подсистем в зависимости от величины расстройки и параметра фазовой нелинейности. Компьютерное исследование подтверждает эти выводы, выявляя также очень тонкие языки синхронизации более высокого порядка. 3. Для неидентичных по управляющему параметру симметрично связанных систем Рёсслера на границах области синхронизации и хаоса характерен тип критического поведения, известный как С тип критичности. Во многом аналогичное устройство демонстрируют связанные генераторы Дмитриева-Кислова и разнообразные версии систем Спротта. В случае односторонне связанных подсистем Рёсслера сосуществуют также «двойная фейгенбаумовская» точка и бикритический тип поведения. В окрестности этих критических точек плоскость параметров связанных систем Рёсслера характеризуется самоподобным устройством.

Структура и объем работы

Работа содержит 177 страниц, из них 113 страниц основного текста, 53 страницы иллюстраций и список литературы из 109 наименований на 11 страницах.

Краткое содержание работы

Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Паксютов, Владимир Игоревич

Выводы

1. Продуктивным подходом к анализу различных типов связанных систем с удвоениями периода может служить численное исследование характерных режимов динамики на плоскости параметров, управляющих бифуркациями в подсистемах.

2. Выделяется ряд дифференциальных систем, демонстрирующих некоторые общие особенности устройства плоскостей параметров, управляющих бифуркациями удвоения периода в подсистемах: области синхронизации имеют типичное устройство, при движении внутри них наблюдается переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода, область синхронизации при достаточно малых значениях константы связи разделена «островами» квазипериодической динамики. К ним относятся системы связанных осцилляторов Рёсслера, связанных осцилляторов Анищенко-Астахова, связанных генераторов Кислова-Дмитриева, некоторые из систем связанных осцилляторов Спротта.

3. Анализ достаточно большого семейства дифференциальных систем связанных осцилляторов с квадратичными нелинейностями, предложенных Дж. Спроггом, говорит о том, что не все системы оказываются принадлежащими к указанному выше классу. Некоторые из них могут содержать организованные иным образом области синхронных и квазипериодических режимов, а также области «разбегания» траекторий. Для таких систем устройство плоскости параметров может также существенно зависеть от того, по какой переменной осуществляется связь.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с поставленными задачами в настоящей работе проведено исследование динамики неидентичных по управляющим параметрам систем связанных осцилляторов с бифуркациями Андронова-Хопфа и удвоения периода. В качестве подсистем были рассмотрены классические модели нелинейной динамики (осцилляторы Ван дер Поля, Ван дер Поля - Дуффинга, Ресслера), конкретные радиофизические системы (автогенераторы Анищенко-Астахова и Кислова-Дмитриева), а также ряд сравнительно мало изучаемых систем (осцилляторы Спротта). При этом получены следующие основные результаты и выводы.

1. Метод карт динамических режимов является эффективным инструментом исследования устройства пространств параметров связанных осцилляторов. Он не требует ограничений, накладываемых на величины параметров методами приближенного анализа уравнений, и действует также в тех областях пространства параметров, где несправедливо квазигармоническое приближение. Метод карт динамических режимов выявляет систему языков кратной синхронизации и особенности их внутреннего устройства.

2. В системе диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля -Дуффинга увеличение параметров, управляющих бифуркацией Андронова-Хопфа, ведет к усложнению устройства языков кратной синхронизации, появлению структур типа «crossroad-area» и возникновению хаотической динамики.

3. Активная связь (отрицательная по величине параметра диссипативная связь) может приводить к возникновению в системах связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга, находящихся до порога бифуркации Андронова-Хопфа, различных устойчивых синхронных и квазипериодических режимов.

4. Методом анализа укороченных уравнений систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга можно определить границы области синхронизации типа 1/1 на плоскости управляющих параметров, показать влияние на устройство этой области величин параметров фазовой нелинейности и расстройки собственных частот осцилляторов.

5. Различие значений управляющих параметров связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга приводит к возникновению явления «широкополосной» синхронизации, состоящей в появлении на плоскости параметров связи и расстройки собственных частот бесконечно длинной по оси расстройки полосы синхронизации, в диапазоне ограниченном значениями управляющих параметров. С увеличением расстройки собственных частот внутри этой полосы реализуются синхронные режимы типов 1/3, 1/5 и т.д.

6. Исследование динамики системы симметрично линейно связанных осцилляторов Ресслера показало, что на плоскости параметров, управляющих бифуркациями удвоения периода колебаний в подсистемах, существуют области периодического, квазипериодического и хаотического поведения, которые также частично перекрываются, что приводит к мультистабильности. На этой плоскости помимо сценария перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода, наблюдающегося при увеличении какого-либо одного или обоих сразу управляющих параметров, возможен переход к хаосу через разрушение квазипериодического режима колебаний, который реализуется при увеличении управляющих параметров как в случае, когда эти параметры близки друг другу по величине, так и когда они сильно различны.

7. Устройство границ области синхронизации на плоскости управляющих параметров системы двунаправлено связанных осцилляторов Ресслера является достаточно тонким и содержит линии субкритической бифуркации удвоения периода, пересечения линий касательных бифуркаций и области сосуществования двух синхронных режимов динамики. На этих границах имеет место также критическое поведение системы, проявляющееся в наличии критической точки типа С.

8. Система однонаправлено связанных осцилляторов Ресслера демонстрирует сложную критическую динамику, поскольку на плоскости ее управляющих параметров присутствуют несколько критических точек различных типов.

9. В настоящей работе показано, что существует некоторый общий класс, в который входят системы двунаправлено линейно связанных осцилляторов, обладающие «типичным» устройством плоскости параметров, управляющих бифуркациями удвоения периода колебаний в подсистемах. Продемонстрировано, что к таким системам относятся связанные осцилляторы Ресслера, связанные автогенераторы Анищенко-Астахова и Кислова-Дмитриева, многие из систем связанных осцилляторов Спротта. На примере ряда систем связанных осцилляторов Спротта показано, что имеют место также системы двунаправлено линейно связанных осцилляторов с бифуркациями удвоения периода, не входящие в указанный класс.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Паксютов, Владимир Игоревич, 2007 год

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.

2. Van der Pol В. Forced oscillators in a circuit with nonlinear resistance (reception with reactive triode) // Philos. Mag., 1927, Vol.3, P. 64.

3. Appleton E.V. The automatic synchronization of triode oscillator // Proc. Camb. Philos. Soc. (Math. Phys. Sci.), 1922, Vol.21, P.231.

4. Кузнецов А.П., Кузнецов СЛ., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. Изд.2. 2005. Твердый переплет. 292 с.

5. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир. 1969. 400с.

6. Кузнецов СЛ. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. 296с.

7. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988,240 с.

8. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем. // УФН, 1983, Т. 141, №2, сс.343-374.

9. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин КМ. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм. //УМН, 1984, т.39, №3, сс.3-37.

10. Rossler О.Е. An equation for continuous chaos. I I Phys. Lett., 1976, V.A57, №5, pp.155-159.

11. Кияшко C.B., Пиковский А. С., Рабинович М.И. Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведением. // Радиотехника и электроника, 1980, Т. 25, № 2, сс.336-343.

12. Анищенко B.C., Астахов В.В. Экспериментальное исследование механизма возникновения и структуры странного аттрактора в генераторе с инерционной нелинейностью. // Радиотехника и электроника, 1983, т.28, №6, сс.1109-1115.

13. Дмитриев А.С., Кислое В.Я. Стохастические колебания в автогенераторе с инерционным запаздыванием первого порядка. // Радиотехника и электроника, 1984, т.29, №12, сс.2389-2398.

14. Дмитриев А.С., Кислое В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М., Наука, 1989,280с.

15. Дмитриев А.С., Кислое В.Я., Старков С.О. Экспериментальное исследование образования и взаимодействия странных аттракторов в кольцевом автогенераторе //ЖТФ. 1985. Т. 55, № 12. сс.2417-2419.

16. Кислое В.Я., Залогин Н.П., Мясин Е.А. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием. // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24, № 6. cc.l 118-1130.

17. Feigenbaum М. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. //J. of Stat. Phys., 1978, v.19, №1, pp.25-52.

18. Feigenbaum M. J. The universal metric properties of nonlinear transformations. // J. of Stat. Phys., v.26, №6, pp.669-706.

19. Sprott J.C. Some simple chaotic flows. // Phys. Rev. E. 1994. Vol.50, №2, pp.647-650.

20. Sprott J.C. Simplest dissipative chaotic flow. // Phys. Letters A. 1997. Vol.228, №.4-5, pp.271-274.

21. Aronson D.G., Ermentrout G.B., KopellN. Amplitude response of coupled oscillators //Physica D, 1990, Vol.41, P.403.

22. Пиковский А., Розенблюм M., Курте Ю. Синхронизация, фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. 508 с.

23. Cohen D.S., Neu J.C. Interacting oscillatory chemical reactors. Ann. N.Y. Acad. Sci. 316, Bifurcation Theory and Applications in the Scientific Disciplines (ed. O. Gurel and O.E. Rossler), 1979, P. 332-337.

24. Neu J.C. Coupled chemical oscillators // SIAM J. appl. Math, 1979, Vol. 37(2), P.307-315.

25. Minorsky N. Nonlinear oscillators. Van Nostrand, 1962.

26. Rand R.H., Holmes P.J. Bifurcation of periodic motions in two weakly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics, 1980, Vol. 15, P.387-399.

27. Chakraborty Т., Rand R.H. The transition from phase locking to drift in a system of two weakly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics, 1988, Vol. 23 (5/6), P.369-376.

28. Chakraborty T. Bifurcation analysis of two weakly coupled van der Pol oscillators. Doctoral thesis, Cornell University, 1986.

29. Storti D.W., Rand R.H. Dynamics of two strongly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics, 1982, Vol. 17(3), P.143-152.

30. Pavlidis T. Biological oscillators: The Mathematical Analysis. Academic press, 1973.

31. Poliashenko M., McKay S.R., Smith C.W. Chaos and nonisochronism in weakly coupled nonlinear oscillators. // Phys. Rev. A, 1991, Vol. 44, P. 3452.

32. Poliashenko M., McKay S.R., Smith C.W. Hysteresis of synchronous -asynchronous regimes in a system of two coupled oscillators. // Phys. Rev. A, 1991, Vol.43,P.5638.

33. Ivanchenko M.V., Osipov G.V., Shalfeev V.D., Kurths J. Synchronization of two non-scalar-coupled limit-cycle oscillators // Physica D, 2004, Vol.189, P.8-30.

34. Hogg Т., Huberman B.A. Generic behaviour of coupled oscillators // Phys. Rev. A. 1984. Vol.29, №1, P.275.

35. Sang-Yoon Kim, Hyungtae Kook. Critical behaviour in coupled nonlinear systems // Phys. Rev. A. 1992. Vol.46, №8, P.4467.

36. Reike C., Mosekilde E. Emergence of quasiperiodicity in symmetrically coupled, identical period-doubling systems. // Phys. Rev. E. 1995. Vol.52, P.1418.

37. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Oscillation types, multistability, and basins of attractors in symmetrically coupled period-doubling systems // Chaos, Solitons and Fractals. 2003. Vol.15. P.695-711.

38. Carvalho R., Fernandez В., Vilela Mendes R. From synchronization to multistability in two coupled quadratic maps // Physics Letters A. 2001. Vol.285. P.327-338.

39. Rasmussen J., Mosekilde E., Reich C. Bifurcations in two coupled Ressler systems // Mathematics and Computers in Simulation, 1996, Vol.40, P.247-270.

40. Астахов B.B., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев ЕЛ. Мультистабильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем. // Письма в ЖТФ, 1988, т. 15, №3, сс.60-64.

41. Astakhov V., ShabuninA., Stalmakhov P. Multistability, in-phase and antiphase synchronization in period-doubling systems. // Izvestiya VUZ: Applied Nonlinear Dynamics, 2002, v. 10, №3, cc.63-79.

42. Бугаевский М.Ю., Пономаренко В.И. Исследование поведения цепи Чуа. Учебно-методическое пособие. Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 1998. 29 с.

43. Кузнецов А.П., Седова Ю.В., Сатаев И.Р. Устройство пространства управляющих параметров неидентичных связанных систем с удвоениями периода // Изв. Вузов «ПНД», 2004, т. 12, №5.

44. Иванченко М.В., Осипов Г.А., Шалфеев В.Д. Иерархии регулярной и хаотической синхронизации в системе связанных осцилляторов Ресслера // Труды (шестой) научной конференции по радиофизике / Под. ред. А.В.Якимов. Н.Новгород. 2002. С.114-115.

45. Sang-Yoon Kim, Hyungtae Kook. Period doubling in coupled maps // Phys. Rev. E. 1993. Vol.48, №2. P.785.

46. Pikovsky A., Grassberger P. Symmetry breaking bifurcation for coupled chaotic oscillators. //J. Phys. A: Math. Gen., 1991, v.24, pp.4587-4597.

47. Kim S.-Y., Lim W. Mechanism for the riddling transition in coupled chaotic systems. //Phys. Rev. E, 2001, v.63, p.026217.

48. Yanchuk S., Maistrenko Yu., Mosekilde E. Loss of synchronization in coupled Rossler systems // Physica D, 2001, Vol. 154, P. 26-42.

49. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд. Саратовского ун-та, 1999.

50. Mosekilde Е., Maistrenko Y, Postnov D. Chaos synchronization. Application to living systems // World Scientific Series on Nonlinear Science. 2002. Series A., Vol.42, pp.440.

51. Meng Zhan, Zhi-gang Zheng, Gang Ни, Xi-hong Peng. Nonlocal chaotic phase synchronization // Phys. Rev. E. 2000. Vol.62, №3. pp.3552.

52. Synchronization: Theory and Application. Edited by A. Pikovsky and Y. Maistrenko. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003,258 p.

53. KunickA., Steeb W.-H. Coupled Chaotic Oscillators. // Journal of Physical Society, 1985, v.54, №4, pp. 1220-1223.

54. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova M.A. Synchronization of chaos. // Int. J. of Bif. and Chaos, 1992, v.2, №3, pp.633-644.

55. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постное Д.Э., Сафонова M.A. Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса. // Радиотехника и электроника, 1991, т.36, №2, сс.338-351.

56. Fujisaka Н., Yamada Y. Stability theory of synchronized motions in coupled oscillatory systems. // Progr. Theor. Phys., 1983, v.69, pp.3257. Rul'kov N.F., Volkovskii A.R., Rogriguez-Lozano A., Del Rio E., Velarde

57. M.G. Mutual synchronization of chaotic self-oscillators with dissipative coupling. // Int. J. of Bif. and Chaos, 1992, v.2, №3, pp.669-676.

58. Hasler M., Maistrenko Y. An introduction to the synchronization of chaotic systems: coupled skew tent maps. // IEEE Transaction on Circuits and Systems, 1997, v.44, pp.856-866.

59. Maistrenko Y, Kapitaniak T. Different types of chaos synchronization in two coupled piecewise linear maps. // Phys. Rev. E, 1996, v.54, pp.32853292.

60. Астахов В.В., Шабунин А.В., Анищенко B.C. Механизмы разрушения хаотической синхронизации в системе связанных кубических отображений. // Изв. вузов: Прикладная нелинейная динамика, 1999, т.7, №2-3, сс.3-11.

61. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов. // Изв. вузов: Радиофизика, 1988, т.31, №5, сс.627-630.

62. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н., Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах. //ЖТФ, 1990, т.60, №10, сс.19-26.

63. Sang-Yoon Kim, Hyungtae Kook. Critical behaviour in coupled nonlinear systems // Phys. Rev. A. 1992. Vol.46, №8, pp.4467.

64. Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Новый тип критического поведения связанных систем при переходе к хаосу. // ДАН СССР, 1986, т.287, №3, сс.619-622.

65. Кузнецов СП. Динамика двух однонаправлено связанных систем Фейгенбаума у порога гиперхаоса. Ренормгрупповой анализ. // Изв. вузов: Радиофизика, 1990, т.33,№7, сс.788-792.

66. Kuznetsov А.Р., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Bicritical dynamics of period-doubling systems with unidirectional coupling. // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1991, vol.1, №4, pp.839-848.

67. Kim S.Y. Bicritical behavior of period doublings in unidirectionally coupled maps. // Phys. Rev. E, 1999, vol.59, №6, pp.6585-6592.

68. Kim S.-Y., Lim W. Bicritical scaling behavior in unidirectionally coupled oscillators. // Phys. Rev. E, 2001, vol.63, №3, 036223.

69. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума. // Изв. вузов: Радиофизика, 1985, т.28, №8, с.991

70. Jian-Min Yuan, Mingwhei Tung, Da Hsuan Feng, and Lorenzo M. Narducci. Instability and irregular behaviour of coupled logistic equations. //Phys. Rev. A, 1983. Vol.28, №3, P.l662.

71. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. New types of critical dynamics for two-dimensional maps. // Phys. Lett. A, 1992, vol.162, №3, p.236-242.

72. Kozlowski J., Parlitz U., Lauterborn W. Bifurcation analysis of two periodically driven Duffing oscillators. // Phys. Rev. E, 1995. Vol.51, №3, pp.1861-1867.

73. Jianxin Wu, Qingfei Chen, Yiguang Hong. Striped attractor generation and synchronization analysis for coupled Rossler systems. I I Chaos, Solitons & Fractals. In press.

74. Changpin Li, Jianping Yan. Generalized projective synchronization of chaos: The cascade synchronization approach. // Chaos, Solitons & Fractals, 2006. Vol. 30, Issue 1, pp. 140-146.

75. Tianshou Zhou, Changpin Li. Synchronization in fractional-order differential systems. // Physica D: Nonlinear Phenomena, 2005. Vol. 212, Issues 1-2, pp. 111-125.

76. Hramov A.E., Koronovskii A.A. Time scale synchronization of chaotic oscillators. // Physica D: Nonlinear Phenomena, 2005. Vol. 206, Issues 34, pp. 252-264.

77. Belykh V.N., Osipov G. V., Kucklander N., Blasius В., Kurths J. Automatic control of phase synchronization in coupled complex oscillators. I I Physica D: Nonlinear Phenomena, 2005. Vol. 200, Issues 1-2, pp. 81-104.

78. Yongguang Yu., Suochun Zhang. The synchronization of linearly bidirectional coupled chaotic systems. // Chaos, Solitons & Fractals, 2004. Vol. 22, Issue l,pp. 189-197.

79. Ming-Chung Ho, Yao-Chen Hung, Chien-Ho Chou. Phase and anti-phase synchronization of two chaotic systems by using active control. // Phys. Lett. A, 2002. Vol. 296, Issue 1, pp. 43-48.

80. Pravitha R., Indie P., Nampoori V. P. N. Dynamical aspects of coupled Rossler systems: effects of noise. // Phys. Lett. A, 2002. Vol. 294, Issue 1, pp. 37-46.

81. Yanchuk S. and Kapitaniak T. Chaos-hyperchaos transition in coupled Rossler systems. //Phys. Lett. A, 2001. Vol. 290, Issues 3-4, pp.139-144.

82. Herrero M., Figueras M., Rius J., Pi F., Orriols G. Experimental Observation of the amplitude Death effect in two coupled nonlinear oscillators. //Phys. Rev. Lett., 2000. Vol. 84, pp.5312.

83. Bar-Eli K. On the stability of coupled chemical oscillators. // Physica D, 1985. Vol.14, pp.242-252.

84. Bar-Eli K. Coupling of chemical oscillators. // J. Phys. Chem., 1984. Vol. 88, pp. 3616-3622.

85. Ван Д., JIu Ч, Чоу Ш.-Н. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. М.: МЦНМО, 2005, 415 с.

86. Pastor I., Perez-Garcia V.M., Encinas-Sanz F., Guerra J.M. Ordered and chaotic behavior of two coupled Van-der-Pole oscillators. // Phys. Rev. E., 1993. Vol. 48, P. 171.

87. Кузнецов А.П. Наглядные образы хаоса // Соросовский образовательный журнал. 2000. Т. 6, №11, сс. 104-110.

88. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990, 312 с.

89. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984, 528 с.

90. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991, 368 с.

91. Тюрюкина Л.В. Кандидатская диссертация.

92. Безручко Б.П., Пудовочкин О.Б. Нелинейные колебания у порога хаоса в системе однонаправленно связанных нелинейных осцилляторов. // Изв. ВУЗов: Радиофизика, 1992. Т.35, № 1, сс.39-43.

93. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Chua L.O. Multi-parameter criticality in Chua's circuit at period-doubling transition to chaos. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1996, vol.6, №1, p.l 19-148.

94. Седова Ю.В. Кандидатская диссертация.

95. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

96. Кузнецов АЛ., Паксютов В.И. О динамике двух осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга с диссипативной связью. // Изв. вузов «ПНД», т.11,№6,2003, С. 48-64.

97. Кузнецов АЛ., Паксютов В.И. Особенности устройства пространства параметров двух связанных осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга // Изв. вузов «ПНД», т.13, №4, 2005, С.3-19.

98. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Динамика двух неидентичных связанных автоколебательных систем с удвоениями периода на примере осцилляторов Ресслера. // Изв. вузов «ПНД», т. 14, 2006, №2, С.3-15.

99. Кузнецов АЛ., Паксютов В.И. Устройство плоскостей управляющих параметров неидентичных связанных автоколебательных систем. // Письма ЖТФ, 32, 2006, вып.7, С.54-60.

100. Кузнецов А.П., Паксютов В.И., Роман Ю.П. Особенности синхронизации в системе связанных осцилляторов Ван дер Поля, неидентичных по управляющему параметру. // Письма в ЖТФ, 33, 2007, вып. 15, С. 15-21.

101. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Динамика систем связанных осцилляторов Спротта с неидентичными управляющими параметрами. // Изв. вузов «ПНД», №3, 2007, С.95-106.

102. Кузнецов А.П., Паксютов В.И, Роман Ю.П. Особенности синхронизации в системе неидентичных связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля Дуффинга. Широкополосная синхронизация. // Изв. вузов «ПНД», №4, 2007, С.3-15.

103. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Особенности динамика двух диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга. // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003: Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003.

104. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Особенности динамики связанных осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга. // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2004: Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004.

105. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Об особенностях динамики системы связанных осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга. // Материалы VII международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур". Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004.

106. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Сложная динамика связанных систем Ван дер Поля. // Нелинейные волны 2004: XII научная школа / Тезисы докладов. Нижний Новгород. 2004.

107. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Сложная динамика двух неидентичных связанных автоколебательных систем. // Нелинейные колебания механических систем: VII Всероссийская научная конференция / Труды. Нижний Новгород. 2005.

108. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Синхронизация в неидентичных по управляющему параметру автоколебательных системах. // Нелинейные дни в Саратове для молодых 2006: Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2006.

109. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Динамика неидентичных связанных автоколебательных систем с удвоениями периода. // Нелинейные волны 2006: XIII научная школа / Тезисы докладов. Нижний Новгород. 2006.1. БЛАГОДАРНОСТИ

110. Также хотелось бы поблагодарить всех сотрудников базовой кафедры динамических систем СГУ и лаборатории СФ-7 Саратовского филиала ИРЭ РАН за оказанные внимание, помощь и поддержку.