Слоения на поверхностях в дополнениях к зацеплениям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Казанцев, Александр Дмитриевич

• Казанцев, Александр Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Казанцев, Александр Дмитриевич

1 Введение

2 Постановка задачи

2.1 Основные определения.

2.2 Формулировки изучаемых вопросов.

3 Слоения на поверхностях

3.1 Книжные представления узлов и зацеплений.

3.2 Шахматные слоения, высекаемые на торах.

3.3 Препятствия к упрощению торов.

4 Упрощение торов, лежащих в дополнениях к зацеплениям

4.1 Базовый пример.

4.2 Пример тора из ЛЗЛ-разложения.

4.3 Связь построенных примеров с примерами К. Нг.

4.4 Пример с двумя компонентами.

5 Упрощение торов, лежащих в дополнениях к узлам

5.1 Частный случай: торы Нг.

5.2 Алгоритм нахождения всех торов, имеющих шахматное слоение

5.3 Упрощение торов, имеющих сложность менее 22.

5.4 Неупрощаемый тор сложности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Слоения на поверхностях в дополнениях к зацеплениям»

Математическая теория узлов возникла в 19 веке усилиями трех физиков: Дж. Максвелла, П. Тэйта и У. Томсона. Интерес к узлам был поначалу связан с чисто физическими проблемами теории электромагнетизма и изучением строения атома, позднее теория узлов стала развиваться как самостоятельная наука. В конце XIX века в работах [1] и [2] были построены первые таблицы узлов малой сложности. Позже теория развивалась благодаря работам Дж. Алексапдера, М. Дэна, Г. Зейферта, К. Рейдемейстера и многих других математиков.

На этапе зарождения теории узлов последние представлялись регулярными проекциями на плоскость, а движения Рейдемейстера рассматривались как их элементарные преобразования [3], [4]. Позже было придумано другое комбинаторное описание - с помощью так называемых кос (впервые введены Е. Артином в работах [7] и [8]) и движений Маркова [5], [6]. Проблема равенства в группе кос также была решена Б. Артином.

Одним из важнейших направлений в теории узлов является построение алгоритмов (как чисто теоретических, так и работающих на практике) для решения существующих задач. При этом алгоритмические решения некоторых проблем оказываются довольно сложными. Например, алгоритмов, определяющих эквивалентность двух узлов или тривиальность данного узла, не существовало до середины 50-х годов XX века, хотя уже в начале века появились доказательства неэквивалентности и нетривиальности конкретных узлов. Нам также не известно ни о каких попытках построения алгоритма, определяющего является ли узел сателлитным, до этого времени.

Опишем кратко некоторые существующие в теории узлов алгоритмы.

В работе [52] В. Хакеном был построен алгоритм распознавания тривиального узла при помощи нормальных поверхностей Г. Кнезера [9]. В той же работе строятся алгоритмы для вычисления рода узла, а также определения разводимости зацепления.

В [10] X. Шуберт, продолжая работу В. Хакепа, построил алгоритм для разложения неразводимого зацепления в связную сумму простых слагаемых. Существование и единственность такого разложения была доказана Шубертом ранее в [11], а на произвольные зацепления этот результат обобщил Й. Хашицуме в [12].

Идеи решения проблемы распознавания зацеплений с помощью исследования их дополнительных пространств были сформулированы В. Хакеном в работах [13], [14]. При этом в реализации этих идей значительный вклад был внесен благодаря развитию теории достаточно больших многообразий в работах Ф. Вальдхаузена [15], Йоганнсона [51], У. Джейко и П. Шалена [48], а также решению Дж. Хемионом проблемы сопряженности в группах классов отображений [16]. Проблема алгоритмической классификации неприводимых достаточно больших многообразий многократно объявлялась решенной [17], [18], [19]. Однако, как указал С. Матвеев [20], этих результатов было все еще недостаточно для завершения программы Хакена. Пробел был заделан С. Матвеевым с помощью более поздних результатов [21], [22]. Полное описание алгоритма распознавания многообразий Хакена, дающего в частном случае алгоритм распознавания зацеплений, молено найти в работе [46]. \

В силу всего вышесказанного формально вопрос о разрешимости задачи сравнения двух данных зацеплений считается решенным. Однако, алгоритм, описанный в [46], настолько сложен, что реализовать его на практике (в виде компьютерной программы) практически невозможно даже в тех случаях, когда эквивалентность или неэквивалентность данных узлов «очевидна». При этом следует упомянуть, что существует и другой подход к алгоритмической классификации многообразий Хакена, основанный на теореме Тёрстона о гиперболизации [23], [24]. Однако, подробное его описание в литературе отсутствует.

В конце 1960-х в работах Г. С. Маканина [25], и Ф. Гарсайда [26] независимо была решена проблема сопряженности в группах кос. Полученные алгоритмы требовали очень большого перебора. Гарсайд указал также и новый алгоритм для решения проблемы равенства в группе кос, но этот алгоритм также был очень медленным.

Отметим, что примерно до середины 1980-х годов сложность алгоритмов, не связанных напрямую с решением технических задач, не обсуждалась. Интерес к подобным вопросам появился в связи с широким распространением персональных компьютеров, позволивших применять построенные алгоритмы для дальнейшего исследования. В 1980-хх гг. У. Тёрстон существенно улучшил алгоритм Гарсайда для распознавания кос и получил алгоритм с полиномиальной по длине входа оценкой на время работы. Тёрстон доказал, что группы кос обладают биавтоматной структурой [27]. Впоследствии и алгоритм для распознавания классов сопряженности кос был существенно ускорен [28]-[30].

В конце 1980-х - начале 1990-х Дж. Бирман и У. Менеско стали активно развивать подход Александера-Маркова, основанный на представлении зацеплений замкнутыми косами [34]-[41]. Развитые ими методы в том числе привели к построению нового алгоритма для распознавания тривиального узла [42], который, по-видимому, уступает алгоритму Хакена в скорости, но позволяет получать данные, полезные для дальнейшего исследования.

В недавней работе И. А. Дынников [31] предложил еще один алгоритм распознавания тривиального узла, принципиальное отличие которого от ранее известных состоит в том, что он не использует дополнительные конструкции такие, как триангуляции дополнительного пространства и расслоенные диски, а работает непосредственно с диаграммами узлов, монотонно их упрощая. В работе было показано, что прямоугольную диаграмму тривиального узла можно привести к тривиальному виду при помощи элементарных движений, не повышающих сложность диаграммы (в дальнейшем мы будем говорить об этом как о монотонном упрощении прямоугольных диаграмм узлов и зацеплений). В той же работе показывается, что с помощью монотонного упрощения молено решить и задачу разложения узла или зацепления на простые неприводимые слагаемые. Под этим понимается следующее: при помощи элементарных преобразований не увеличивающих сложность, диаграмму узла/зацепления можно привести к виду, который представляет собой соответствующую композицию диаграмм простых составляющих данного узла/зацепления. Естественно возникает следующий вопрос: верно ли, что и диаграмму любого сателлитного узла можно монотонно упростить до такого вида, где структура компаньона будет явно видна? Этот вопрос является центральным для нашего исследования. В качестве иллюстрации представлен рисунок 1.1. Р I

Яд. 1

Р(д. 2

Н] ф

11

Р!д.З Г В ф? т 1

11

Похожий вопрос для случая замкнутых кос изучался в работе Бирман и Менэско [40]. Однако, как выяснилось позже, в рассуждениях авторов была ошибка (см. [41], [33]), в связи с чем геометрическое описание найденных ими серий торов нельзя было считать оконченным.

Настоящая диссертация посвящена изучению возможности монотонного упрощения прямоугольной диаграммы сателлитного узла до диаграммы, на которой сателлитпая структура становится явной. Для этого в начале даются необходимые определения и теоремы, а также излагается техника, позволяющая упрощать прямоугольные диаграммы зацеплений при помощи изучения слоений на поверхностях, лежащих в дополнениях к ним. Далее, объясняется какие результаты удается получить при помощи этой техники и какие возникают проблемы для дальнейшего упрощения. В частности, объясняется какие существуют примеры вложений торов, чья структура не поддаются выявлению на прямоугольной диаграмме. Кроме того, в работе строится алгоритм поиска комбинаторных описаний всех торов, обладающих шахматным слоением. Данный алгоритм удалось реализовать на практике в виде работающей компьютерной программы. Некоторые иллюстрации данной диссертации являются результатом работы вышеописанной программы.

Основными результатами диссертации являются:

1. Теоремы 4.1, 4.9 и 4.13, в которых строятся примеры торов, лежащих в дополнениях к соответствующим зацеплениям, неупрощаемые до вида тонких торов (границ достаточно маленьких трубчатых окрестностей узлов).

2. Теорема 5.7, в которой доказывается, что для серии примеров торов, полученной в работе К. Нг, возможно их упрощение до вида тонких торов, если они лежат в дополнении к узлу. При этом выявляется сателлитная структура на прямоугольной диаграмме соответствующего узла.

3. Теоремы 5.22, 5.23 и 5.24 утверждающие следующее:

• Любой тор сложности меньше, чем 22, лежащий в дополнении к узлу, может быть монотонно упрощен до вида тонкого тора.

• Существует пример узла сложности 11 и тора сложности 22, лежащего в дополнении к этому узлу, таких, что монотонным упрощением вложений узла и тора нельзя добиться того, чтобы тор стал тонким. Соответственно, на прямоугольной диаграмме данного узла сателлитная структура не выявляется при помощи монотонного упрощения.

4. Теорема 5.20, в которой строится контрпример к гипотезе К. Нг (см. [33]) о том, что любой тор, обладающий шахматным слоением, может быть получен из тонкого тора операцией продавливания, описанной в той же статье.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Ивану Алексеевичу Дынникову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе. Автор благодарит всех сотрудников кафедры высшей геометрии и топологии за творческую атмосферу, способствующую научной работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Казанцев, Александр Дмитриевич, 2010 год

1. Т. P. Kirkman, The enumeration, description and construction of knots of fewer than ten crossings, Trans. Roy. Soc. Edinburgh, 1885, V. 32, 281-309

2. P. G. Tait, On knots, Trans. Roy. Soc. Edinburgh, 1877, V. 28., 145-190

3. J. W. Alexander, С. B. Briggs, On types of knotted curves, Ann. of Math. 1926/27. V. 28, 562-586

4. K. Reidemeister, Knotentheorie, Berlin: Springer-Verlag, 1932. (Ergeb. Math. Grenzgeb. V. 1. No 1.)

5. J. W. Alexander, A lemma on systems of knotted curves, Proc. Natl. Acad. Sei. USA, 1923, V. 9, 93-95

6. A. A. Markoff, Uber die freie Äquivalenz der geschlossenen Zöpfe, Матем. сб. 1936, Т. 1 (43). No 1, 73-78

7. Е. Artin, Theorie der Zöpfe, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1925, V. 4, 47-72

8. E. Artin, Theory of braids, Ann. of Math. (2), 1947, V. 48, No 1, 101-126

9. H. Kneser, Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten, Jahresber. Deutsch. Math.-Verein., 1929, V. 38, 248-260

10. H. Schubert, Bestimmung der Primfactorzerlegung von Verkettungen, Math. Z., 1961, V. 76, 116-148 (Русс, пер.: X. Шуберт. Алгоритм для разложения зацеплений на простые слагаемые, Математика: Сб. перев. 1966, Т. 10, No 4, 45-78).

11. Н. Schubert, Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten, S.-B. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. KL, 1949, V. 1949, No 3, 57104

12. Y. Hashizume, On the uniqueness of the decomposition of a link, Osaka Math. J., 1958, V. 10, 283-300; 1959, V. 11, 249

13. W. Haken, Ein Verfahren zur Aufspaltung einer 3-Mannigfaltigkeit in irreduzible 3-Mannigfaltigkeiten, Math. Z., 1961, V. 76, 427-467

14. W. Haken, Uber das Homdomorphieproblem der 3-Mannigfaltigkeiten. /, Math. Z., 1962, V. 80, 89-120

15. F. Waldhausen, On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large, Ann. of Math. (2), 1968, V. 87, 56-88

16. G. Hemion, On the classification of homeomorphisms of 2-manifolds and the classification of 3-manifolds, Acta Math., 1979, V. 142, No 1-2, 123155

17. F. Waldhausen, Recent results on sufficiently large 3-manifolds, Algebraic and Geometric Topology, Part 2, Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1978, 21-38 (Proc. Sympos. Pure Math. V. 32)

18. K. Johannson, Classification problems in low-dimensional topology, Geometric and Algebraic Topology, Warsaw: PWN, 1986, 37-59 (Banach Center Publ, V. 18)

19. G. Hemion, The Classification of Knots and 3-Dimensional Spaces, New York: Clarendon Press, Oxford Univ. Press, 1992.

20. W. Thurston, On the geometry and dynamics of diffeoporphisms of surfaces, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 1988, V. 19, No 2, 417-431

21. M. Bestvina, M. Handel, Train-tracks for surface homeomorphisms, Topology, 1995, V. 34, No 1, 109-140

22. W. Thurstnon, Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 1982, V. 6, 357-379

23. M. Kapovich, Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups, Boston, MA: Birkhhauser, 2001 (Progr. Math. V. 183)

24. Г. С. Маканин, Проблема сопряжености в группе кос, Докл. АН СССР, 1968, Т. 182, No 3, 495-496

25. F. A. Garside, The braid group and other groups, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 1969, V. 20, No 78, 235-254.

26. D. B. A. Epstein, J. W. Cannon, D. F. Holt, S. V. F. Levy, M. S. Patterson, W. P. Thurston, Word Processing in Groups, Boston: Jones and Barlett, 1992

27. E. A. El-Rifai H. R. Morton, Algorithms for positive braids, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 1994, V. 45, No 180, 479-497

28. J. Birman, K. H. Ko, S. J. Lee, The infimum, supremum, and geodesic length of a braid confugacy class, Adv. Math., 2001, V. 164, No 1, 41-56

29. N. Franco, J. Gonzalez-Meneses, Conjugacy problem for braid groups and Garside groups, J. Algebra, 2003, V. 266, No 1, 112-132.

30. I. A. Dynnikov, Arc-presentations of the links. Monotonic simplification, ArXiv: math.GT/0208153v3, 16 Jul 2004

31. I. A. Dynnikov, A New Way to Represent Links. One-Dimensional Formalismand Untangling Technology, Acta Appl. Math. 69 (2001), 243283.

32. K. Y. Ng, essential tori in link complements, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, Vol. 7, No. 2 (1998) 205-216.

33. J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids. I. A finiteness theorem, Pacific Journal of Mathematics, Vol. 154, No. 1 (1992), 17-36. i

34. J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids. II. On a theorem of Bennequinn. //, Topology Appl. 40, No. 1 (1991), 71-82.

35. J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids. III. Classifying links which are closed 3-braids, Pacific Journal of Mathematics, Vol. 161, No. 1 (1993), 25-113.

36. J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids IV: Split and composite links, Invent. Math. 102 (1990), 115-139.

37. J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids V: Closed braid representatives of the unlink, Trans. AMS. 329:2 (1992), 585606.

38. J. S. Birman and W. W. Menasco, Studying Links Via Closed Braids. VI. A nonfiniteness theorem, Pacific Journal of Mathematics, Vol. 156, No. 2 (1992), 265-285.

39. J. S. Birman and W. W. Menasco, Special Positions for Essential Tori in Link Complements, Topology 33 (1994) No. 3, 525-556.

40. J. S. Birman and W. W. Menasco, Special Positions for Essential Tori in Link Complements, Errata, Topology 37 (1998) No. 1, p. 225.

41. J. Birman and M. Hirsch, A new algorithm for recognizing the unknot, Geometry and Topology 2 (1998), 175-220.

42. D. Bennequin, Entrelacements et equations de Pfaff, Asterisque 107-108 (1983), 87-161.

43. P. Cromwell, Embedding knots and links in an open book I: Basic properties, Topology and its Applications 64 (1995), 37-58.

44. P. Cromwell and I. J. Nutt, Embedding knots and links in an open book-II: bounds on arc index, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 119:2 (1996), 309-319.

45. S. V. Matveev, Algorithmic topology and classification of 3-Manifolds, Berlin: Springer-Verlag, 2003 (Algorithms Comput. Math. V. 9).

46. S. V. Matveev, Computer Recognition of Three-Manifolds, Experimental Math. 7:2, 153-161a

47. Jaco, William H.; Shalen, Peter B., Seifert fibered spaces in 3-manifolds., Mem. Amer. Math. Soc. 21 (1979), No. 220

48. Jaco, William H.; Shalen, Peter B., Seifert fibered spaces in 3-manifolds, Geometric, topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), pp. 91-99, Academic Press, New York-London, 1979

49. Johannson Klaus, Iiomotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries, Lecture Notes in Mathematics, 761. Springer, Berlin, 1979

50. W. Haken, Theorie der Normalflachen. Ein Isotopiekriterium fur der Kreisknoten, Acta Math., 105 (1961), 245-375

51. А. Е. Hatcher, A Proof of the Smale Conjecture Diff(S3) c* 0(4), Annals of Math. 117 (1983), 553-607Публикации автора по теме диссертации

52. А. Д. Казанцев, Монотонное упрощение книжных представлений некоторых зацеплений, Успехи математических наук, т. 65, No. 4 (394), 2010, 195-196

53. A. Kazantsev, The problem of detecting the satellite structure of a link by monotonic simplification, Journal of knot theory and its ramifications, Vol. 20, No. 1, 2011, 109-125