Слабо-нелокальные структуры, метод Уизема и геометрия квазипериодических функций на плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Мальцев, Андрей Яковлевич

• Мальцев, Андрей Яковлевич
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Мальцев, Андрей Яковлевич

Введение.

Часть I. Слабонелокальные структуры, интегрируемые иерархии и метод Уизема.

Глава 1. Общие свойства слабо-нелокальных Гамильтоновых и Симплек-тических структур.

Глава 2. Структуры гидродинамического типа.

Глава 3. Согласованные скобки гидродинамического типа и интегрируемые иерархии.

Глава 4. Метод Уизема и усреднение слабо-нелокальных гамильтоновых структур.

Глава 5. Усреднение слабо-нелокальных симплектических структур.

Глава 6. Слабо-нелокальные 1-формы и усреднение слабо-нелокальных Лагранжианов.

Часть II. Квазипериодические функции на плоскости и транспортные явления. '

Глава 7. Теория квазипериодических функций и "модулированный"двумерный электронный газ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Слабо-нелокальные структуры, метод Уизема и геометрия квазипериодических функций на плоскости»

Данная работа включает в себя две основные части. Первая часть посвящена теории слабо-нелокальных (гамильтоновых и симплектических) структур для уравнений в частных производных, а также методу медленных модуляций (или нелинейному методу ВКБ), введенному Уиземом, В этой части рассматриваются общие свойства слабо-нелокальных гамильтоновых и симплектических структур общего вида, а также особо слабонелокальных структур гидродинамического типа. Кроме того, исследуется связь таких структур с теорией Уизема и, в частности, показывается, что слабо-нелокальные структуры общего вида переходят в структуры гидродинамического типа для уравнений медленных модуляций. В этой же части обсуждается связь слабо-нелокальных структур с теорией интегрируемых уравнений и рассматриваются бигамильтоновы системы гидродинамического типа. Во второй части работы рассматриваются квазипериодические функции на плоскости и задача Новикова об описании геометрии линий уровня таких функций. Мы здесь рассмотрим физические системы, где возникает данная проблема и опипхем эффекты, связанные с топологическими явлениями, возникающими при ее рассмотрении. Основное изложение посвящено здесь квазипериодическим модуляциям двумерного электронного газа в присутствии внешнего магнитного поля и поведению проводимости в таких системах в пределе больших длин свободного пробега ([130]). В этой ситуации приводится описание асимптотических режимов магнитопроводимости в зависимости от топологии линий уровня потенциала и, в частности, показывается, что в случае общего положения возможно введение топологических чисел, описывающих геометрию тензора проводимости. Отметим, что топологические числа, вводимые таким образом, аналогичны топологическим числам, возникающим при рассмотрении проводимости нормальных металлов со сложными Ферми-поверхностями в присутствии сильного магнитного поля и введенным ранее СП. Новиковым и автором. Дадим теперь более подробное описание рассматриваемых в частях I и II вопросов и сформулируем основные результаты, полученные в работе. Мы дадим сначала определение слабо-нелокальной гамильтоновой и симплектической структуры. Именно, мы называем слабо-нелокальной теоретико-полевую гамильтонову структуру в пространстве вектор-функций одной переменной р{х), определяемую выражением W\x), ipiy)} Y Biip, SHx г/)+ k>0 9 Y Kks 5(fc)(v?, Px, Ф y) Siif, cpy,...) k,s=l (0.1) i 1,..., n, (p(x) {(p{x),..., (pix)). Мы полагаем здесь v{x у) l/2sgn{x у) /c&s невырожденная симметрическая матрица. Функции BlJcp, срх,...), а также 8)Лр, ipxi зависят от конечного числа производных и обе суммы в выражении (0.1) также содержат конечное число слагаемых. Кроме того, мы полагаем также, что нелокальная часть (0.1) записана в "неприводимой"форме, так что вектор-функции 8()(, х, \к) линейно независимы (с постоянными коэффициентами).На выражение (0.1) накладывается требование кососимметричности (т.е. {(f{x),(f>>{y)} —{{у),{)}), Якоби а также выполнение тождества {{\х1 (у)1 ср(г)}Н{Р{у), ipiz)}, ip{x)}HW\z), {х)}, {у)} =О (в смысле обобщенных функций). Оба эти требования накладывают ограничения на функции BjJip, ipx,...), 5ч(, (fx, OJ необходимые ДЛЯ определения скобки Пуассона на пространстве функций {(р{х),..., (р(х)). Аналогично, слабонелокальная симплектическая структура на пространстве функций (р(х) определяется через коэффициенты Q,ij{xy) которые должны иметь вид Ы.У) 53a;lf(v,.,...)<H-2/) к>0 кь f (v?, х, 1{х у) qf\, у,.. k,s=l (0.2) Мы также предполагаем здесь, что функции ш1М(р,(рх,---), q\ {(р, (fx, зависят лишь от конечного числа производных и обе суммы в выражении (0.2) содержат конечное число слагаемых. От выражения (0.2) требуется теперь, чтобы оно удовлетворяло требованиям кососимметричности {Qij{x,y) —Q,ji{y,x)), а также замкнутости соответствующей 2-формы 6Qij{x,y) 6(p{z) 5Ctjkiy,z) S(p{x) SQki{z,x) iv) на пространстве функций (р{х).Нам удобнее здесь не накладывать требования невырожденности гамильтоновой и симплектической структур (0.1) и (0.2) на функциональном пространстве (р{х) и, более того, как мы увидим позднее, в этой ситуаv O ции более естественным является другое (дифференциально-геометрическое) определение невырожденности обоих выражений. Что касается граничных условий на пространстве (р{х), мы будем предполагать, что (f{x) стремятся к нулю достаточно быстро на бесконечности, или, более общо, достаточно быстро приближаются к некоторой константе с {с,..., с") при X ±00. (Как мы также увидим ниже, такое определение является более естественным, во многих примерах). Мы также предполагаем функции ip{x) бесконечно дифференцируемыми. Нетрудно видеть, что оба выражения (0.1) и (0,2) можно записать в более удобной форме wix), {у)} Y1 Ч)( А;>0 -{-esSl{cp,cp,...)i{x-y) s=l Sl{(p,ipy,...) 65 1 (0.3) Ы,У) 5]a;lf(,Vx,...)H-?/) к>0 X I У Т" 2/ е ±1 5=1 (0.4 используя канонический вид для квадратичной формы KksНам в дальнейшем будет удобно работать именно с "канонической"формой записи (0.3) и (0.4) для слабонелокальных гамильтоновых и симплектических структур. Как мы уже говорили, мы предполагаем также, что наборы {S(s)(, рх...)}) {q4 Va линейно независимы как вектор-функции. Мы также можем определить гамильтонов и симплектический операторы формулами dx fc>0 s=l (0.5) (0.6) где D -оператор интегрирования по x, определенный "кососимметрическим"образом, т.е. Мы будем называть первую сумму в обоих выражениях (0.5), (0.6) локальной частью соответствующего оператора, а вторую нелокальной. Несмотря на нелокальный вид операторов (0.5), (О.б) нас будут интересовать динамические системы на пространстве функций {х), имеющие локальную форму Q\<p,ipx,...) (0.7) Кроме того, мы будем предполагать, что потоки (0.7) имеют также "локальные"функции Гамильтона hiip,ip,,...),dx оо (0.8) отвечающие структурам (0.5), (0.6). Таким образом, мы называем динамическую систему (0.7) гамильтоновой по отношению к оператору (0.5) с гамильтонианом (0.8), если мы имеем соотношение J SH <Р1 Я{ср,(Рх,---) на пространстве функций (р{х). Аналогично, мы говорим, что система (0.7) допускает слабо-нелокальную симплектическую структуру (0.6), если имеет место тождество 5Н 6(р\х) Нетрудно видеть, что при сформулированных предположениях "локальная "функция Гамильтона (0.8) порождает в силу гамильтоновой структуры (0.5) локальный поток (0.7) в том и только в том случае, если для всех S(g) мы имеем тождества для некоторых локальных плотностей T(s){iVx, Другими словами, функционал Я, определенный формулой (0.8), должен являться законом сохранения для любого из потоков <Р1 4)fe<x,...) (0.9) определяемых гамильтоновым оператором (0.5). Аналогично, локальная система (0.7) может допускать симплектическую структуру с локальным гамильтонианом (0.8) только в том случае, v если имеют место тождества для некоторых F\(p, ср,...). Как будет показано ниже, для любой симплектической формы (0.4) функции q[-\(p,(px, должны задавать замкнутые 1-формы на пространстве функций (р{х). В том случае, если они явно (локально) представлены в виде вариационных производных функционалов Н J h\(p,(pxi 0) приведенные тождества также выражают тот факт, что функционалы Н должны являться законами сохранения для системы (0.7). Как хорошо известно из классической механики, невырожденные симплектические структуры на конечномерных многообразиях являются обратными к невырожденным гамильтоновым операторам и наоборот. Если рассматривать слабо-нелокальные гамильтоновы и симплектические структуры на пространстве (р{х), то они, вообще говоря, не связаны друг с другом таким образом в общем случае. Классы локальных систем, гамильтоновых в смысле скобки (0.3) и допускающих симплектическую структуру (0.4), таким образом, вообще говоря не совпадают друг с другом. Слабо-нелокальные гамильтоновы структуры (0.3) являются обощением локальных теоретико-полевых скобок Пуассона для уравнений в частных производных. Самыми известными примерами таких локальных скобок являются, например, скобки Гарднера Захарова Фаддева ([1, 2]) {(р{х),ср{у)} и Магри ([3]) 6{х-у) {ф),(р{у)} -5"{х-у) ф)5{х-у) для уравнения КдФ 2ipJ{x-y) (ft Q(p(px ххх Роль гамильтониана играет в первом случае функционал а во-втором функционал 1 п+оо Функционал Р является при этом функционалом импульса для скобки Гарднера Захарова Фаддева, производящим сдвиги вдоль оси х на пространстве функций р{х). Функционал N f (pdx является аннулятором скобки Гарднера Захарова Фаддева и одновременно функционалом импульса для скобки Магри. Как хорошо известно, уравнение КдФ было первой системой, проинтегрированной с помощью метода обратной задачи рассеяния ([4]). В работе ([1]) было показано, что она является интегрируемой также и в классическом "Лиувиллевом"смысле, а также построены переменные действиеугол для скобки Гарднера Захарова Фаддева. Хорошо известна также процедура Ленарда-Магри построения "высших"законов сохранения, коммутирующих потоков, а также гамильтоновых структур, используя бигамильтонов формализм для интегрируемых систем. Другой известный пример ультралокальная скобка Пуассона (см. [5]) {ф{х),ф{у)} -16{х-у) для уравнения НУШ {ф{х),ф{у)} 0 Ш),ф{у)} гфг -фхх 2к\ф\ф Роль функции Гамильтона играет функционал +00 оо {ФЖ Ф\) dx Скобка также обладает функционалом импульса +00 фхФХ оо и функционалом "числа частиц" +00 +00 N /I коммутирующим С Р И Н. ШЧх оо -оо Как хорошо известно, НУШ также является интегрируемой системой ([6]) в смысле метода обратной задачи рассеяния. Мы приведем здесь так

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Мальцев, Андрей Яковлевич

8 Заключение.

В диссертации исследованы слабо-нелокальные гамильтоновы и симплек-тические структуры и их связь с методом Уизема. Получены результаты, касающиеся нелокальных частей слабо-нелокальных гамильтоновых и симплектических структур общего вида. Исследованы слабо-нелокальные гамильтоновы и симплектические структуры гидродинамического типа. При этом получены "Лиувиллевы"и "Канонические"формы слабо-нелокальной скобки Пуассона гидродинамического типа и доказана теорема о приводимости любой "невырожденной"скобки такого вида к "Каноническому виду". Исследованы также пространства аннуляторов и "канонических функционалов", а также симплектические структуры, соответствующие таким скобкам, на пространствах петель. Получено выражение для функционала импульса слабо-нелокальной скобки гидродинамического типа. Исследованы согласованные пучки слабо-нелокальных скобок гидродинамического типа. При условиях невырождености пучка, а также специального условия невырожденности нелокальной части пучка доказано наличие коммутирующих иерархий гидродинамического типа, порождаемых аннуляторами первой скобки пучка, ее фукнционалом импульса, а также "каноническими функционалами". При тех же условиях доказана слабая нелокальность и гидродинамический вид всех "высших "гамильтоновых операторов и " отрицательных "симплектических структур. Предложены процедуры усреднения слабо-нелокальных гамильтоновых и симплектических структур, а также слабо-нелокальных Лагранжианов, дающие соответствующие структуры гидродинамического типа для систем Уизема.

Кроме того, в диссертации исследованы приложения общей задачи С.П. Новикова к теории проводимости модулированного двумерного электронного газа с большой длиной свободного пробега. Показано, что современные методики и, в частности, методика лазерного возбуждения электронных уровней позволяют строить квазипериодические модуляционные потенциалы в плоскости двумерного газа. Описано действие "группы квазипериодов "на таких потенциалах, и описана связь между геометрией открытых траекторий потенцилов, связанных преобразованием группы квазипериодов. Установлена связь геометрии открытых траекторий дрейфа (линий уровня эффективного потенциала) с транспортными явлениями в таких системах в присутствии ортогонального магнитного поля. Для топологически регулярных открытых траекторий введены экспериментально наблюдаемые устойчивые "топологические числа", являющиеся аналогом топологических чисел, введенных ранее в теории нормальных металлов. Для потенциалов, имеющих три и четыре квазипериода, описана структура соответствующих "зон устойчивости "в пространстве параметров, задающих потенциалы. Обсуждаются также случаи "хаотических"открытых траекторий. Диссертация содержит также рассмотрение гальваномагнитных явлений в металлах со сложными Ферми-поверхностями и, в частности, полную классификацию возникающих при этом асимптотических режимов поведения проводимости в пределе шв т —» оо.

Автор выражает глубокую признательность С.П. Новикову, Б.А. Дубровину, М.В. Павлову, Е.В. Ферапонтову, С.П. Цареву, О.И. Мохову, И.А. Дынникову, П.Г. Гриневичу, М.И. Каганову, В.Г. Песчанскому, И.A. Jlap-кину за многочисленные обсуждения и поддержку.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований (грант 03-01-00368).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Мальцев, Андрей Яковлевич, 2005 год

1. В.Е. Захаров, Л.Д. Фаддеев., "Уравнение Кортевега де Фриза - вполне интегрируемая гамильтонова система", Функциональный анализ и его приложения, 5:4, (1971) 18-27.

2. C.Gardner., "Korteweg-de Vries equation and generalizations", Journ. of Math Phys., Vol. 12 (1971), 1548-1551.

3. F. Magri., "A simple model of the integrable Hamiltonian equation", J. Math. Phys., v. 19 (1978), No. 5, 1156-1162.

4. C.S. Gardner, J.M. Green, M.D. Kruskal, and R.M. Miura, Phys. Rev. Lett., 19 (1967), 1095-1097.

5. Тахтаджян JI.А., Фаддеев Л.Д., Гамильтонов подход в теории соли-тонов. М.: Наука, 1986.

6. В.Е. Захаров, А.Б. Шабат., "О взаимодействии солитонов в устойчивой среде", ЖЭТФ, 64 No. 5 (1973), 1627-1639.

7. И.М. Гельфанд, И.Я. Дорфман., "Гамильтоновы операторы и бесконечномерные алгебры Ли", Функциональный анализ и его приложения, 15, (1981) 23-40.

8. И.М. Гельфанд, И.Я. Дорфман., "Гамильтоновы операторы и связанные с ними алгебраические структуры", Функциональный анализ и его приложения, 13:4, (1979) 13-30.

9. С.П. Новиков., "Периодическая задача для уравнения Кортевега -де Фриза. I", Функциональный анализ и его приложения, 8:3 (1974), 54-66.

10. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков., "Гамильтонов формализм одномерных систем гидродинамического типа и метод усреднения Боголюбова-Уизема", Доклады Акад. Наук СССР, Том. 270, No. 4 (1983), 781-785.

11. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков., "Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток. Дифференциальная геометрия и га-мильтонова теория.", Успехи Математических Наук, 44:6 (1989), 2998.

12. B.A.Dubrovin and S.P.Novikov., Hydrodynamics of soliton lattices, Sov. Sci. Rev. C, Math. Phys., 1993, V.9. part 4. P. 1-136.

13. С.П. Новиков., "Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса", Успехи Математических Наук, 37:5 (1982), 3-49.

14. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков., "О скобках Пуассона гидродинамического типа", Доклады Акад. Наук СССР, Том. 279, No. 2 (1983), 294-297.

15. С.П. Новиков., "Геометрия консервативных систем гидродинамического типа. Метод усреднения для теоретико-полевых систем. "Успехи Математических Наук, 40:4 (1985), 79-89.

16. А.А. Балинский, С.П. Новиков., "Скобки Пуассона гидродинамического типа, фробениусовы алгебры и алгебры Ли.", Доклады Акад. Наук СССР, Том. 283, No. 5 (1985), 1036-1039.

17. Е.И. Зельманов., "О классе локальных, трансляционно-инвариантных алгебр Ли", Доклады Акад. Наук СССР, Том. 292, No. 6 (1987).

18. О.И. Мохов., "О скобках Пуассона типа Дубровина-Новикова (ДН-скобки)", Функциональный анализ и его приложения, 22:4 (1988), 92-93.

19. A.A.Balinskii., Classification of the Virasoro, the Neveu-Schwarz, and the Ramond-type simple Lie superalgebras, Functional Anal, and Its Appl. 21: 4 (1987), 308-309.

20. Г.В. Потемин., "О скобках Пуассона дифференциально-геометрического типа", Докл. Акад. Наук СССР, Том. 286, No. 1, (1986), 39-42.

21. О.И. Мохов., "Локальные скобки Пуассона третьего порядка", Успехи математических наук, т. 40, вып. 5, 257-258 (1985).

22. О.И. Мохов., "Гамильтоновы дифференциальные операторы и контактная геометрия", Фукциональный анализ и его приложения, т. 21, вып. 3, 53-60 (1987).

23. O.I.Mokhov., Symplectic and Poisson structures on loop spaces of smooth manifolds, and integrable systems. Russian Math. Surveys, 53:3 (1998), 515-622.

24. B.B. Соколов., "О гамильтоновости уравнения Кричевера Новикова", Докл. Акад. Наук СССР, т. 277, вып. 1, 48-50 (1984).

25. И.М. Кричевер, С.П. Новиков., "Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения", Успехи математических наук, т. 35, вып. 6, 47-68 (1980).

26. B.Enriquez, A.Orlov, V. Rubtsov., "Higher Hamiltonian structures (the sl2 case)", Письма в ЖЭТФ, т. 58, вып. 8, 677-683 (1993).

27. A.Ya.Maltsev, S.P. Novikov. "On the local systems hamiltonian in the weakly nonlocal Poisson brackets.", Physica D, 156 (2001) 53-80.

28. С.П. Царев., "О скобках Пуассона и одномерных гамильтоновых системах гидродинамического типа", Докл. Акад. Наук СССР, Том. 282, No. 3, (1985), 534-537.

29. О.И. Мохов, Е.В. Ферапонтов., "Нелокальные гамильтоновы операторы гидродинамического типа, связанные с метриками постоянной кривизны."Успехи Математических Наук, 45:3 (1990), 191-192.

30. Е.В. Ферапонтов., "Дифференциальная геометрия нелокальных гамильтоновых операторов гидродинамического типа", Функциональный анализ и его приложения, 25 : 3 (1991), 37-49.

31. Е.В. Ферапонтов., "Ограничение по Дираку гамильтонова оператора ^Ulx на повеРхности евклидова пространства с плоской нормальной связностью", Функциональный анализ и его приложения, т. 26, вып. 4, 83-86 (1992).

32. Е.В. Ферапонтов., "Нелокальные матричные гамильтоновы операторы. Дифференциальная геометрия и приложения."Теоретическая и математическая физика, 91 : 3 (1992), 452-462.

33. E.V. Ferapontov., "Nonlocal Hamiltonian operators of hydrodynamic type: differential geometry and applications", Amer. Math. Soc. Transl., (2), 170 (1995), 33-58.

34. B.A.Dubrovin., "Integrable systems in topological field theory", Nucl. Phys., B379 (1992), 627-689.

35. B.A.Dubrovin., "Flat pencils of metrics and Frobenius manifolds", ArXiv: math.DG/9803106, In: Proceedings of 1997 Taniguchi Symposium "Integrable Systems and Algebraic Geometry", editors M.-H.Saito, Y.Shimizu and K.Ueno, 47-72. World Scientific, 1998.

36. B.A.Dubrovin., "Geometry and analytic theory of Frobenius manifolds", ArXiv: math.AG/9807034

37. B.A.Dubrovin, Y.Zhang., Normal forms of hierarchies of integrable PDEs, Frobenius manifolds and Gromov-Witten invariants., ArXiv: math.DG/0108160

38. Boris Dubrovin, Si-Qi Liu, Youjin Zhang., "On Hamiltonian perturbations of hyperbolic systems of conservation laws", ArXiv: math.DG/0410027

39. Boris Dubrovin, Youjin Zhang, Dafeng Zuo., "Extended affine Weyl groups and Frobenius manifolds II", ArXiv: math.DG/0502365

40. V.E.Zakharov., Description of the n-orthogonal curvilinear coordinate systems and Hamiltonian integrable systems of hydrodynamic type. I. Intergation of the Lame equations., Duke. Math. J, 94 (1998), no. 1., 103-139.

41. I.M.Krichever., "Algebraic-geometric11 n-orthogonal curvilinear coordinate systems and the solution of assoiciativity equations., Functional Anal, and Its Appl., 31 (1997), no. 1., 25-39.

42. O.I.Mokhov., On Integrability of the Equations for Nonsingular Pairs of Compatible Flat Metrics., ArXiv: math.DG/0005081 .

43. E.V.Ferapontov., Compatible Poisson brackets of hydrodynamic type., ArXiv: math.DG/0005221 .

44. A.Ya. Maltsev. "On the compatible weakly-nonlocal Poisson brackets of Hydrodynamic Type", International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 32:10 (2002), 587-614.

45. О.И. Мохов. "Симплектические и Пуассоновы структуры на пространствах петель гладких многообразий и интегрируемые системы", Докторская диссертация, Математический институт им. В.А. Стеклова, Москва, 1996.

46. О.И. Мохов., "Дифференциальная геометрия симплектических и пуассоновых структур на пространствах петель гладких многообразий и интегрируемые системы", Труды Математического института им. В.А. Стеклова, 217 (1997), 100-134.

47. M.V.Pavlov., Elliptic coordinates and multi-Hamiltonian structures of systems of hydrodynamic type., Russian Acad. Sci. Dokl. Math., Vol. 59 (1995), No. 3, 374-377.

48. L.V. Bogdanov and E.V. Ferapontov., A nonlocal Hamiltonian formalism for semi-Hamiltonian systems of hydrodynamic type, Theor. and Math. Phys., Vol. 116, N 1 (1998) 829-835.

49. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

50. Luke J.C., A perturbation method for nonlinear dispersive wave problems, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 292, No. 1430, 403-412 (1966).

51. A.B. Гуревич, Л.П. Питаевский., "Распад начального разрыва в уравнении Кортевега де Фриза", Письма в ЖЭТФ, 17 : 5 (1973), 268-271.

52. А.В. Гуревич, Л.П. Питаевский., "Усредненное описание волн в уравнении Кортевега- де Фриза Бюргерса", ЖЭТФ, 93 : 3 (1987), 871-880.

53. Flaschka Н., Forest M.G., McLaughlin D.W., Multiphase averaging and the inverse spectral solution of the Korteweg de Vries equation, Comm. Pure Appl. Math., - 1980.- Vol. 33, no. 6, 739-784.

54. B.B. Авилов, С.П. Новиков, "Эволюция Уитемовской зоны в теории КдФ", Доклады Акад. Наук СССР, Т. 294, No. 2 (1987), 325-329.

55. B.B. Авилов, И.М. Кричевер, С.П. Новиков., "Эволюция Уитемовской зоны в теории Кортевега де Фриса", Доклады Акад. Наук СССР, Т. 295, No. 2 (1987), 345-349.

56. И.М. Кричевер., "Метод усреднения для двумерных "интегрируемых" уравнений", Функциональный анализ и его приложения, 22:3 (1988), 37-52.

57. И.М. Кричевер., "Спектральная теория двумерных операторов и ее приложения", Успехи Математических Наук, 44:2 (1989), 121-184.

58. I.M. Krichever., "Perturbation theory in periodic problems for two-dimensional integrable systems", Sov. Sci. Rev. Section С 9 (1992).

59. С.Ю. Доброхотов, В.П. Маслов., Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ-приближениях., Современные проблемы математики. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1980. - Т. 15. - С. 3-94.

60. С.П. Новиков, А.Я. Мальцев., "Лиувиллева форма усредненных скобок Пуассона", Успехи Математических Наук, 48:1 (1993), 155-156.

61. V.L.Alekseev, M.V.Pavlov., Hamiltonian structures of the Whitham equations, in Proceedings of the conference on NLS. Chernogolovka1994).

62. А.Я. Мальцев, M.B. Павлов., "О методе усреднения Уизема", Функциональный анализ и его приложения, 95:1 (1995), 7-24.

63. M.V.Pavlov., Multi-Hamiltonian structures of the Whitham equations, Russian Acad. Sci. Doklady Math., Vol. 50 (1995) No.2, 220-223.

64. V.L.Alekseev., On non-local Hamiltonian operators of hydrodynamic type connected with Whitham's equations, Russian Math. Surveys, 50:61995), 1253-1255.

65. Мальцев А.Я., "Усреднение локальных теоретико-полевых скобок Пуассона", Успехи Математических Наук, 52:2 (1997), 177-178.

66. А.Я. Мальцев., "Наследование гамильтоновых структур в методе усреднения Уизема", Известия РАН (Серия математическая), т. 63, вып. 6, 117-146 (1999).

67. Мальцев А.Я. "Усреднение Гамильтоновых структур в дискретном варианте метода Уизема", Успехи Математических Наук, 53:1 (1998).

68. А.Я. Мальцев., "Нелокальные скобки Пуассона и метод Уизема", Успехи математических наук, т. 54, вып. 6, 167-168 (1999).

69. A.Ya.Maltsev., "The averaging of non-local Hamiltonian structures in Whitham's method", International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 30:7 (2002) 399-434.

70. А.Я. Мальцев., "Усреднение слабо-нелокальных симплектических структур", Успехи Мат. Наук, 59:2 (2004), 193-194.

71. A.Ya.Maltsev. "Weakly-nonlocal Symplectic Structures, Whitham method, and weakly-nonlocal Symplectic Structures of Hydrodynamic Type." Journ. Phys. A: Math. Gen. 38 (3) (21 January 2005), 637-682.

72. И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов., "К теории гальваномагнитных явлений в металлах", ЖЭТФ, т. 31, вып. 1 (7), 63 (1956).

73. И.М. Лифшиц, В.Г. Песчанский., "Гальваномагнитные характеристики металлов с открытыми поверхностями Ферми. I.", ЖЭТФ, т. 35, вып. 5 (11), 1251-1264 (1958).

74. И.М. Лифшиц, В.Г. Песчанский., "Гальваномагнитные характеристики металлов с открытыми поверхностями Ферми. II.", ЖЭТФ, т. 38, вып. 1, 188-193 (1960).

75. Н.Е. Алексеевский, Ю.П. Гайдуков, И.М. Лифшиц, В.Г. Песчанский., "Поверхность Ферми олова", ЖЭТФ, т. 39, вып. 5 (11), 12011214 (1960).

76. И.М. Лифшиц, М.И. Каганов., "Некоторые вопросы электронной теории металлов. I. Классическая и квантовая механика электронов в металлах."Успехи физических наук, т. 69, вып. 3, 419-458 (1959).

77. И.М. Лифшиц, М.И. Каганов., "Некоторые вопросы электронной теории металлов. II. Статистическая механика и термодинамика электронов в металлах."Успехи физических наук, т. 78, вып. 3, 411-461 (1962).

78. И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов., Электронная теория металлов, М.: Наука 1971.

79. А.А. Абрикосов. Основы теории металлов, Москва, Наука, 1987.

80. А.В. Зорич., "Проблема Новикова о полуклассическом движении электрона в однородном магнитном поле, близком к рациональному", Успехи математических наук, т. 39, вып. 5, 235-236 (1984).

81. С.П. Новиков., Труды Математического института им. В.А. Стеклова, 166 (1984), 201.

82. И.А. Дынников., "Доказательство гипотезы С.П. Новикова для случал малых возмущений рациональных магнитных полей", Успехи математических наук, 47:3 (1992), 161-162.

83. И.А. Дынников., "Задача С.П. Новикова о полуклассическом движении электрона", Успехи математических наук, т. 48, вып. 2, 179-180 (1993).

84. И.А. Дынников., "Доказательство гипотезы С.П. Новикова о полуклассическом движении электрона", Математические заметки, т. 53, вып. 5, 57-68 (1993).

85. С.П. Царев, Частное сообщение (1992-93).

86. S.P.Novikov. "Quasiperiodic structures in topology". Proc. Conference "Topological Methods in Mathematics", dedicated to the 60th birthday of J.Milnor, June 15-22, S.U.N.Y. Stony Brook, 1991. Publish of Perish, Houston, TX, pp. 223-233 (1993).

87. S.P.Novikov. Proc. Conf. of Geometry, December 15-26, 1993, Tel Aviv University (1995).

88. С.П. Новиков, А.Я. Мальцев., "Топологические квантовые характеристики, наблюдаемые при исследовании проводимости в нормальных металлах", Письма в ЖЭТФ, т. 63, вып. 10, 809-813 (1996).

89. I.A.Dynnikov. "Surfaces in 3-Torus: Geometry of plane sections."Proc.of ECM2, BuDA, 1996.

90. И.А. Дынников, А.Я. Мальцев., "Топологические характеристики электронных спектров в монокристаллах", ЖЭТФ, т. 112, вып. 1 (7), 371-378 (1997).

91. А.Я.Мальцев., "Аномальное поведение тензора электропроводности в сильных магнитных полях", ЖЭТФ, т. 112, вып. 5 (11), 1710-1726 (1997).

92. С.П. Новиков, А.Я. Мальцев., "Топологические явления в нормальных металлах", Успехи Физических Наук, т. 168, вып. 3, 249-258 (1998).

93. A.V.Zorich. Ргос. "Geometric Study of Foliations"(Tokyo, November 1993)/ ed. T.Mizutani et al. Singapore: World Scientific, 479-498 (1994).

94. И.А. Дынников., "Геометрия зон устойчивости в проблеме Новикова о полуклассическом движении электрона", Успехи математических наук, т. 54, вып. 1, 21-60 (1999).

95. С.П. Новиков., "Уровни квазипериодических функций на плоскости и гамильтоновы системы", Успехи математических наук, т. 54, вып. 3, 147-148 (1999).

96. R.D.Leo. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 2:4, 517-545 (2003).

97. A.Ya.Maltsev, S.P.Novikov, "Quasiperiodic functions and Dynamical Systems in Quantum Solid State Physics", Bulletin of Braz. Math. Society, New Series 34 (1), 171-210 (2003).

98. A.Ya.Maltsev, S.P.Novikov, "Dynamical Systems, Topology, and Conductivity in Normal Metals", Journal of Statistical Physics 115 (1-2), 31-46 (2004).

99. И.А. Дынников, С.П. Новиков., "Топология квазипериодических функций на плоскости", Успехи математических наук, т. 60, вып. 1, 3-28 (2005).

100. D.Weiss, K.v. Klitzing, K. Ploog, and G. Weimann, "Magnetoresistance Oscillation in a Two-Dimensional Electron Gas Induced by a Submi-crometer Periodic Potential", Europhys. Lett., 8 (2), 179 (1989).

101. R.R. Gerhardts, D. Weiss, K.v. Klitzing, "Novel magnetoresistance oscillations in a periodically modulated two-dimensional electron gas", Phys. Rev. Lett. 62 : 10, 1173-1180 (1989).

102. R.W. Winkler, J.P. Kotthaus, and K. Ploog, "Landau band conductivity in a two-dimensional electron system modulated by an artificial one-dimensional superlattice potential", Phys. Rev. Lett. 62 : 10, 1177-1180 (1989).

103. C. W. J. Beenakker, "Guiding-center-drift resonance in a periodically modulated two-dimensional electron gas", Phys. Rev. Lett. 62 :17, 20202023 (1989).

104. P. Vasilopoulos and F.M. Peeters, "Quantum Magnetotransport of a Periodically Modulated Two-Dimensional Electron Gas", Phys. Rev. Lett. 63 : 19, 2120-2123 (1989).

105. E.S.Alves, P.H. Beton, M. Henini, L. Eaves, P.O. Main, O.H. Hughes, G.A. Toombs, S.P. Beaumont, and C.D.W. Wilkinson, J. Phys. Condens. Matter 1, 8257 (1989).

106. K. Ismail, D.A. Antoniadis, H.I. Smith, C.T. Liu, K. Nakamura, and D.C. Tsui, "A lateral-surface-superlattice structure on GaAs/AlGaAs for far-infrared and magnetocapacitance measurements", J. Vac. Sci. Technol. В 7 : 6, 2000-2002 (1989).

107. К. Ismail, Т.Р. Smith III, W.T. Masselink, and H.I. Smith, "Magnetic flux commensurability in coupled quantum dots", Appl. Phys. Lett. 55 : 26, 2766-2768 (1989).

108. H. Fang and P.J. Stiles, "Novel magnetoresistance oscillations in a two-dimensional superlattice potential", Phys. Rev. В 41, 10 171 (1990).

109. P. Streda and A.H. MacDonald, "Magnetic breakdown and magnetoresistance oscillations in a periodically modulated two-dimensional electron gas", Phys. Rev. В 41 : 17, 11 892 11 898 (1990).

110. A. Toriumi, K. Ismail, M. Burkhardt, D.A. Antoniadis, and H.I. Smith, Phys. Rev. В 41, 12 346 (1990).

111. C.Zhang and R.R. Gerhardts, "Theory of magnetotransport in two-dimensional electron systems with unidirectional periodic modulation", Phys. Rev. В 41, 12 850 12 861 (1990).

112. F.M. Peeters and P. Vasilopoulos, "Thermomagnetic transport coefficients of a periodically modulated two-dimensional electron gas", Phys. Rev. В 42 : 9, 5899-5901 (1990).

113. R.A. Puechner, J. Ma, R. Mezenner, W.-P. Liu, A.M. Kriman, G.N. Maracas, G, Bernstein, D.K. Ferry, P. Chu, H.H. Wieder, and P. Newman, Surf. Sci. 228, 520 (1990).

114. D. Weiss, K.v. Klitzing, K. Ploog, and G. Weimann, Surf. Sci. 229, 88 (1990).

115. P.H. Beton, M.W. Dellow, P.C. Main, E.S. Alves, L. Eaves, S.P. Beaumont, and C.D.W. Wilkinson, "Magnetic breakdown of a twodimensional electron gas in a periodic potential", Phys. Rev. В 43 : 12, 9980-9983 (1991).

116. D. Weiss, in Electronic Properties of Multilayers and Low Dimensional Semiconductor Structures, sdited by J.M. Chamberlain, L. Eaves, and J.-C. Portal (Plenum, New York, 1990), p. 25.

117. R.R. Gerhardts, D. Weiss, and U. Wulf, "Magnetoresistance oscillations in a grid potential: Indication of a Hofstadter-type energy spectrum", Phys. Rev. В 43, 5192 (1991).

118. R.R. Gerhardts, "Quasiclassical calculation of magnetotransport oscillations of a two-dimensional electron gas in an anharmonic lateral su-perlattice potential", Phys. Rev. В 45 : 7, 3449-3454 (1992).

119. F.M. Peeters and P. Vasilopoulos, "Electrical and thermal properties of a two-dimensional electron gas in a one-dimensional periodic potential", Phys. Rev. В 46 : 8, 4667-4680 (1992).

120. J.H. Davies and I.A. Larkin, "Theory of potential modulation in lateral surface superlattices", Phys. Rev. В 49 : 7, 4800-4809 (1994).

121. R. Taboryski, B. Brosh, M.Y. Simmons, D.A. Ritchie, C.J.B. Ford, and M.Pepper, "Magnetothermopower oscillations in a general superlattice", Phys. Rev. В 51 : 23, 17 243 -17 246 (1995).

122. I.A. Larkin, J.H. Davies, A.R. Long, and R. Cusco, "Theory of potential modulation in lateral surface superlattices. II. Piezoelectric effect", Phys. Rev. В 56 : 23, 15 242 15 251 (1997).

123. J.H. Davies, D.E. Petticrew, and A.R. Long, "Theory of potential modulation in lateral surface superlattices. III. Two-dimensional superlattices and arbitrary surfaces", Phys. Rev. В 58 : 16, 10789-10799 (1998).

124. С. Albrecht, J.H. Smet, D. Weiss, K. v. Klitzing, R. Hennig, M. Langen-buch, M. Suhrke, U. Rossler, V. Umansky, and H. Schweizer, "Fermi-ology of Two-Dimensional Lateral Superlattices", Phys. Rev. Lett. 83 : 11, 2234-2237 (1999).

125. D.E. Grant, A.R. Long, and J.H. Davies, "Commensurability oscillations due to pinned and drifting orbits in a two-dimensional lateral surface superlattice", Phys. Rev. В 61 (19), 13127-13130 (2000).

126. J. Briming, S.Yu. Dobrokhotov, and K.V. Pankrashkin, "The Spectral Asymptotics of the Two-Dimensional Schroedinger Operator with a Strong Magnetic Field. I", Russian Journ. of Math. Phys. 9 : 1, 14 (2002).

127. I.V. Kukushkin, J.H. Smet, V.I. Falko, K. v. Klitzing, and K. Ebert, " Geometrical commensurability oscillations in the magnetoresistance of a two-dimensional electron gas under microwave irradiation", Phys. Rev. В 66, 121306-1 121306-4 (2002).

128. A. Nogaret, "Signature of phonon drag thermopower in periodically modulated structures", Phys. Rev. В 66, 125302-1 125302-7 (2002).

129. A.Ya. Maltsev, "Quasiperiodic functions theory and the superlattice potentials for a two-dimensional electron gas", Journ. of Math. Phys. 45:3, 1128-1149 (2004).