Слабая сходимость случайных ломаных, определённых суммами независимых случайных величин с замещениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Еникеева, Зульфира Аснафовна

• Еникеева, Зульфира Аснафовна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Еникеева, Зульфира Аснафовна

Введение

1. Усиленные законы больших чисел для индикаторов независимых событий

1.1. Сходимость почти наверное сумм независимых случайных величин

1.2. Равномерная сходимость почти наверное сумм независимых случайных величин, зависящих от параметра времени

1.3. Усиленные законы больших чисел, связанные с событиями теории размещения.

2. Предельные теоремы для случайных ломаных, построенных по суммам независимых случайных величин с замещениями

2.1. Сходимость случайных процессов с независимыми приращениями.

2.2. Сходимость к случайному процессу Орнштейна-Уленбека

2.3. Предельные теоремы, связанные с событиями теории размещения.

3. Слабая сходимость функций от случайных процессов.

3.1. Сходимость функционалов от случайных сумм

3.2. Оператор Вольтерра от случайных сумм

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Слабая сходимость случайных ломаных, определённых суммами независимых случайных величин с замещениями»

1. Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Исследование слабой сходимости случайных ломаных и случайных ступенчатых линий, определенных случайными величинами, в линейных метрических пространствах вещественных функций является важным направлением в теории вероятностей. В первых результатах этого направления, полученных Колмогоровым, Эрдешем, Кацем, Донскером, изучалась сходимость функционалов от последовательности сумм независимых центрированных случайных величин, имеющих конечные вторые моменты. В ([28], 1954)

A. Н. Колмогоров и Ю. В. Прохоров заметили что эти результаты являются следствием сходимости по распределению в пространстве непрерывных функций С[0,1] некоторых случайных элементов, со значениями в множестве ломаных линий к распределению определяемому винеровским процессом. В работах Ю. В. Прохорова [17],

B. М. Круглова [12], [13], Т. Микоша [30], С. Янсона и М. Вишуры [29], И. А. Ибрагимова и А. Н. Бородина [4], П. Бикеля и М. Вишуры [21], В.Бенткуса и К. Любимскаса [1], К. А. Боровкова [4], Д. М. Чибисова [18] получены обобщения теоремы А. Н. Колмогорова и Ю. В. Прохорова на суммы разнораспределенных случайных величин, на билинейные и полилинейные формы от случайных величин, на функции от сумм случайных величин.

Настоящая работа лежит в русле этого направления. В работе доказывается сходимость случайных ломаных определенных суммами независимых случайных величин, причем в этих суммах одни случайные величины случайным образом замещаются другими. Замещения определяются умножением на значения индикаторов, определенных на другом вероятностном пространстве, элементы которого рассматриваются как случайные параметры, и сходимость случайных ломаных доказывается для почти всех значений этого случайного параметра. Результаты работы являются обобщениями соответствующих теорем из статей А. Н. Чупрунова и О. В. Русакова [25]-[26] и И. Фазекаша и А. Н. Чупрунова [22]-[24], полученных для сумм одинаково распределенных случайных величин. Здесь рассматривается более общая схема серий разнораспределённых случайных величин, удовлетворяющих условию Линдеберга.

Полученные предельные теоремы применяются в некоторых моделях стохастической финансовой математики. Строятся три модели финансового рынка: рынок с постоянным числом агентов, рынок с уменьшающимся числом агентов, рынок с увеличивающимся числом агентов. Для каждой модели мы строим случайный процесс, определяющий рыночную стоимость акций. Также для каждой модели приводится аналог формулы Блэка - Шоулса справедливой цены европейского опциона покупателя.

Цель работы. Изучение слабой сходимости случайных ломаных, построенных с помощью сумм независимых случайных величин, в которых некоторые слагаемые случайным образом заменяются другими случайными величинами.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены новые усиленные законы больших чисел для сумм независимых ограниченных случайных величин с замещениями.

2. Доказана слабая сходимость случайных ломаных, построенных по суммам независимых разнораспределённых случайных величин с замещениями для почти всех значений случайного параметра замещения.

3. Исследована слабая сходимость некоторых функций от сумм независимых случайных величин. Рассмотрено приложение полученных результатов в моделях финансового рынка.

Методы исследования. Методы исследования основаны на принципе инвариантности Донскера-Прохорова.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоритический характер и могут применятся в различных областях, в которых изучаются случайные процессы.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ.

1. Еникеева 3. А. Принцип инвариантности для сумм независимых случайных величин с замещениями и модели финансового рынка. Известия Вузов. Математика. - Казань 2005 (в печати).

2. Еникеева 3. А. Сходимость случайных ломаных, определённых событиями теории размещения. Деп. в ВИНИТИ 10. 02. 2005, № 198-В2005.

3. Еникеева 3. А., Чупрунов А. Н. Сходимость случайных ломаных, определённых суммами независимых случайных величин с замещениями. Материалы конференции, посвященной 100-летию Б. М. Гагаева. - Казань 1997. - С.86-87.

4. Еникеева 3. А. О некоторых предельных теоремах. XII Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы докладов. - Казань 2000. - С.33-34.

5. Еникеева 3. А. Сходимость случайных процессов, определённых суммами независимых разнораспределённых случайных величин с замещениями к процессу Орнштейна-Уленбека. Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - в.2. - т. 11. - С 336-337.

6. Еникеева 3. А. Сходимость по распределению некоторых функционалов от сумм независимых случайных величин с замещениями. Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. - 2003. - т. 19. - С. 105-106.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы, содержащего 31 наименование. Общий объём работы составляет 106 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Еникеева, Зульфира Аснафовна, 2005 год

1. Бенткус В. Ю. / О скорости сходимости в принципе инвариантности в Банаховых пространствах / В. Ю. Бенткус, К. Любинскас // Лит. мат. сб. — 1987.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер / П. Биллингсли. М.:Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1977. - 351 с.

3. Бородин А. Н. / Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий / А. Н. Бородин, И. А. Ибрагимов // Труды математического института им. В. А. Стеклова. —1994. — Санкт-Петербург: Наука.

4. Боровков К. А. / О скорости сходимости в принципе инвариантности для гильбертова пространства / К. А. Боровков // Теория, вероятн. и ее применен. — 1984.

5. Булинский А. В. Теория случайных процессов / А. В. Булинский, А. Н. Ширяев. — М.: Физматгиз. — 2003. — 400 с.

6. Гихман И. И. Введение в теорию случайных процессов / И. И. Гихман, А. В. Скороход. — М.: Наука, 1977. — 568 с.

7. Гнеденко Б. М. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин / Б. М. Гнеденко, А. Н. Колмогоров. — М.:Гостехиздат. — 1949. — 264 с.

8. Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин / В. М. Золотарев. — М.:Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы. — 1986. — 415 с.

9. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М.: Наука, 1972. — 496 с.

10. Колчин В.Ф. Случайные размещения / В. Ф. Колчин, Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков. — М.: Наука, 1976. — 224 с.

11. Крут лов В. М. Дополнительные главы теории вероятностей / В. М. Круглов. — М.гВысшая школа. — 1984. — 264 с.

12. Круглов В. М. / К принципу инвариантности / В. М. Круглов // Теория вероятностей и её применение. — 1997. — т. 42. — в. 2. — С. 239-261.

13. Крут лов В. М. / Слабая сходимость случайных ломаных к винеровскому процессу / В. М. Круглов // Теория вероятностей и её применение. — 1985. — т. XXX. — в. 2. — С. 208-218.

14. Круглов В. М. Предельные теоремы для случаных сумм / В. М. Круглов, Ю. В. Королёв . М.:Изд-во Моск. ун-та - 1990. - 269 с.

15. Лоэв М. Теория вероятностей / М. Лоэв. — М.: ИЛ, 1962. 719 с.

16. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин / В. В. Петров. — М.: Наука. — 1987. 317 с.

17. Прохоров Ю. В. / Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей / Ю. В. Прохоров // Теория вероятностей и её применение. — 1956. — т.1. — в. 2. — С. 176-238.

18. Чибисов Д. М. / Некоторые теоремы о предельном поведении эмпирической функции распределения / Д. М. Чибисов // Труды математического института имени В.А. Стеклова. — 1964.

19. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики / А. Н. Ширяев. — М.: Фазис. — 1998. — Т.1,2.

20. Bennett G. / Probability inequalities for sums of independent random variables / G. Bennett // J. Amer. Stat. Assoc. — 1962. — Vol. 57. — pp 33-45.

21. Bickel P.J. / Convergence criterea for multiparameter stochastic processes and some applictions / P.J. Bickel, M. J. Wichura // Ann. Math. Stat. — 1971.

22. Chuprunov A. N. / Almost sure versions of some analogues of the invariance principle / A. N. Chuprunov, I. Fazekas // Publicationes mathematicae. — Debrecen 1999. — tomus 54. — fasc. 3-4. — pp 457-471.

23. Chuprunov A.N. / Convergence of random step line to Ornstein-Uhlenbeck type processes / A. N. Chuprunov, I. Fazekas // Technical Report of Debrecen University. — 1996. — No. 24.

24. Chuprunov A. N. / Functional limit theorems connected to boxes occupations by balls serieses and models of market pricing / A. N. Chuprunov, I. Fazekas. — manuscripte — Debrecen University. — 2006. — 32 p.

25. Donsker M. D. / An invariance principle for certain probability limit theorems / M. D. Donsker // Mem. Amer. Math. Soc. 1951. — №6.

26. Kolmogorov A. N. / Zufalige Functionen und Grenzverteilungsaatze / A. N. Kolmogorov, Yu. V. Prohorov // Berich uber die Tagung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematischen Statistik. — 1954.Berlin:Deutscher Verlag der Wissenschaften.

27. Janson S. / Invariance principles for stochastic area and related stochastic integrals / S. Janson, M. J. Wichura // Stochastic processes and their Applications. — 1983.

28. Mikosch T. / Functional limit theoremes for random quadratic forms / T. Mikosch // Stochastic processes and there applictions. — 1991.