Системы массового обслуживания с ненадежными и восстанавливающимися приборами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Руденко, Игорь Викторович

• Руденко, Игорь Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Руденко, Игорь Викторович

Введение

Глава 1. Двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами

1.1 Введение.

1.2 Система с независимо функционирующими приборами на фазах.

1.2.1 Описание модели.

1.2.2 Стохастическая ограниченность для систем массового обслуживания в случайной среде.

1.2.3 Эргодическая теорема для процесса А\(і).

1.2.4 Экспоненциальный случай

1.3 Система с синхронно функционирующими приборами

1.3.1 Описание модели.

1.3.2 Эргодическая теорема.

1.3.3 Предельная теорема в условиях высокой загрузки

1.3.4 Алгоритм вычисления а1 при постоянных т^ и т^

1.4 Система с приборами, функционирующими в противофазе

Глава 2. Система М|С|1 с ненадежными приборами

2.1 Введение.

2.2 Описание моделей.

2.3 Различные подходы к определению функций II(х) и Є(х)

2.3.1 Модели для оценки функции и(х).

2.3.2 Модели для оценки функции С(,7;).

2.4 Эргоднческие теоремы для систем типа М|С?|1|оо с ненадежным прибором

2.5 Предельное распределение числа требований в системе М|С|1|оо с ненадежным прибором (£ —» оо).

2.6 Высокая загрузка.

2.7 Операционные характеристики системы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Системы массового обслуживания с ненадежными и восстанавливающимися приборами»

Диссертация подготовлена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и затрагивает ряд вопросов, относящихся к теории массового обслуживания (теории очередей).

Диссертация посвящена исследованию систем массового обслуживания с ненадежными и восстанавливающимися приборами, в которых функционирование обслуживающего устройства может быть прервано поломкой, после чего в течение некоторого времени (периода восстановления) происходит его ремонт.

Основное внимание уделяется отысканию условий эргодичности систем с ненадежными приборами, а также нахождению их операционных характеристик в стационарном режиме.

Определение условий эргодичности процессов, описывающих функционирование систем, является одной из первых задач, которые приходится решать при анализе систем обслуживания. Эти условия представляют собой соотношения между параметрами модели, при которых не образуется бесконечно больших очередей. Доказательства соответствующих теорем приводят к анализу достаточно сложных случайных процессов, вообще говоря, не марковских. Если же удается построить цепь Маркова, описывающую функционирование системы, то доказательства предельных теорем основываются на результатах для марковских процессов. Одними из первых работ в данном направлении являются [19] (Kendall, 1959) и [46] (Foster, 1953). В статьях найдены достаточные условия существования стационарного распределения у цепей Маркова, связанных с очередью в системе. Монография [14] (Боровков, 1999) посвящена анализу свойств эргодичности и устойчивости широкого класса случайных процессов (цепей Маркова, стохастически рекурсивных последовательностей и рекурсивных цепей и др.). Анализ систем обслуживания часто сводится к изучению марковских процессов с помощью введения дополнительной переменной. Этот метод использован, например, в [26] (Севастьянов, 1957) для исследования систем с отказами при произвольном распределении времени обслуживания, а также в [21] (Коваленко, 1961) для систем с ограничениями. Другой метод доказательства эргодических теорем состоит в построении процессов, стохастически монотонных по времени. В этом случае из монотонности следует существование предела последовательности функции распределения. Условия, при которых этот предел задает распределение вероятностей, могут быть получены с помощью метода, предложенного в [57] (Loynes, 1962), (см., например, [1] (Афанасьева, 1965), [8] (Афанасьева, Мартынов, 1969)).

Системы обслуживания с ненадежными приборами изучаются уже давно. В статье [17] (Золотарев, 1964) исследована система М\М\п с ожиданием, приборы которой отказывают и восстанавливаются по показательному закону, причем интенсивность отказа одинакова в свободном и занятом состоянии. Система М\М\п с профилактикой и ремонтом обслуживающих приборов рассмотрена в [27] (Султанова, 1968) (все определяющие процесс случайные величины обладают экспопепцпальпым распределением). В работе [10] (Башарпн, 1965) изучены системы с ограниченной очередью п ненадежным прибором. Входящий поток представляет собой сумму конечного числа простейших потоков, каждый из которых имеет собственную интенсивность. Рассмотрены три различные дисциплины обслуживания: прямой, обратный и случайный выбор требований. Система М|М|1 со случайной, меняющейся по марковскому закону интенсивностью обслуживания исследована в [451 (Eisen, 1963). Обобщение для системы M\G\1 получено в [16] (Гнедепко, Коваленко, результат 1966 года). Система M|G|1, в которой последовательность периодов безотказной работы и периодов восстановления прибора представляет собой альтернирующий процесс восстановления, исследована в [44] (Eisen, Leibowitz, 1963). Одной из важнейших работ по системам с ненадежными приборами является статья [47] (Gaver, 1962), где для системы M|G|1 с ненадежным прибором рассматривались четыре различных типа прерывания обслуживания. Краткое описание результатов этой статьи будет приведено в главе 2.

В дальнейшем рассматривались более сложные системы. Например, н |60] (Rao S. Subba, 1965) исследована система с нетерпеливыми требованиями. Предполагается, что в случае занятости прибора требования могут с некоторой вероятностью покидать систему. Отказы происходят по показательному закону с разной интенсивностью в свободном и занятом состоянии, а время восстановления имеет произвольное распределение. В [66] (Tomko, 1964) рассматривалась система M\G\i с потерями в случае произвольного распределения времени восстановления п ресурса надежности (скорость исчерпания ресурса надежности зависит от того, занят прибор обслуживанием требования или ист).

Системы с ненадежными приборами часто являются предметом современных исследований. В качестве примера приведем статьи [43] (Djellab. 2002), [61] (Sherman, Kliaroiifeh, Abramson, 2009), где рассматривались системы с уходом требований на орбиту и повторным обслуживанием (retrial queues). Результаты могут применяться в работе с мультимедийными приложениями.

Кроме того, системы с выходящими из строя приборами в том или ином виде часто появляются при анализе транспортных систем. Примером могут послужить работы [48] (Gideon, Руке, 1999), [5, 6] (Афанасьева, Булинская, 2009, 2010), [51[ (Helbing, Jiang, Treiber, 2005). [40] (Caceres. Ferrari, Pechersky, 2007).

Важное место в диссертации занимают результаты, полученные для бесконечнокаиальиых систем тина GI\G\oo с идентичным временем обслуживания требований на периоде занятости. В заключительной главе, посвященной транспортным моделям, с помощью этих систем описывается функционирование главной дороги при изучении нерегулируемых перекрестков.

Первые результаты для систем обслуживания с бесконечным числом приборов были получены еще в середине прошлого века в работах [35] (Bartlett, 1949), [55] (Kendall, 1952), [36] (Benes, 1965), [42] (Cramer, Leadbetter, 1967). Дальнейшие исследования касались систем более общего вида, не изученных ранее характеристик, статистического анализа, а также предельных теорем в условиях высокой загрузки (см., например, [38] (Brillinger, 1974), [63] (Stadje, 1985), [39] (Brown, 1970)). Интерес к бесконечнокапальпым системам сохраняется до сих пор. Это связано как с нетрпвпальностыо и многообразием возникающих здесь математических проблем, так п с широким кругом приложении в самых различных областях. Например, при анализе коммуникационных, компьютерных [36] (Benes, 1965), [31] (Цыбаков, 2005) п транспортных систем [48] (Gideon, Руке, 1999), [6| (Афанасьева, Булипская, 2010), ветвящихся процессов с иммиграцией [58] (Pakes, Kaplan, 1974), некоторых биологических систем [55] (Kendall, 1952), финансовых моделей [33] (Albrechcr et al., 2011), надежности больших систем [7] (Афанасьева, Булипская, 2010) и др. В последнее время получен ряд результатов, касающихся распределения вероятностей периода занятости. Для системы M\GI\oo это распределение найдено в [63] (Stadje, 1985). Анализ времени пребывания выше заданного уровня процесса, определяющего число требований в М|М|оо, проведен в работах [50] (Guillemin, Simonian, 1995), [59[ (Preater, 1997). В [31] (Цыбаков, 2005) изучается система М|М|оо, в которой скорость обслуживания зависит от состояния системы. Находится распределение вероятностей периода занятости порядка N (число требований, находящихся в системе, не меньше N). Модель возникла при анализе систем со множеством каналов связи, имеющих различные скорости передач. Идеи и подходы, развитые в данной работе, могут оказаться полезными при решении ряда прикладных задач, например, при исследовании транспортных систем.

Перейдем к краткому описанию рассмотренных в диссертации задач и полученных результатов. Содержание работы

1. В первой главе изучается двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами с конечным буфером размера к между фазами. Каждая фаза представляет собой одноканальпую систему обслуживания. Рассматриваются различные варианты функционирования приборов на фазах: 1) приборы работают независимо друг от друга, времена безотказной работы и времена восстановления приборов распределены но закону Эрланга с различными параметрами, 2) приборы работают синхронно, времена безотказной работы и восстановления приборов имеют произвольное распределение, 3) приборы работают » противофазе, времена безотказной работы и времена восстановления приборов имеют одинаковое произвольное распределение. Остальные предположения, определяющие функционирование системы, простейшие.

Для всех трех вариантов на основании теорем из [2] (Афанасьева, 2005) о циклических системах обслуживания в случайной среде найдены достаточные условия эргодичности для процесса, описывающего число требований па первой фазе. Для независимо функционирующих приборов при показательно распределенных временах безотказной работы и восстановления приборов, получена асимптотика коэффициента загрузки при к —> оо. Для системы с синхронно функционирующими приборами исследовано поведение системы в условиях высокой загрузки и приведен алгоритм нахождения параметров предельного распределения при постоянных временах безотказной работы и восстановления приборов.

2. Вторая глава посвящена анализу систем типа М|С?|1 с ненадежным прибором. Времена безотказной работы п времена восстановления прибора имеют произвольное распределение. Рассматриваются четыре модели, различающиеся способом обслуживания требований и типом прерывания обслуживания при поломке прибора. В моделях М\ и М4 обслуживание требований стандартное, в моделях М2 и Мц предполагается, что имеет место эффект "проскакивания", т.е. требование, поступающее в пустую систему при работающем приборе, имеет пулевое время обслуживания. В моделях М\ и М2 предполагается, что при поломке прибора обслуживание требования прерывается, и оно незамедлительно покидает систему после восстановления прибора. В модели М3 прерванное обслуживание не продолжается и требование покидает систему в момент поломки прибора. В модели М4 в случае поломки прибора обслуживаемое требование вновь поступает па прибор после восстановления с новым временем обслуживания.

Данные предположения отличают модели М\ — М3 от ранее изученных. Модель М4 при показательном распределении времени безотказной работы прибора рассматривалась в [47] (Gaver, 19G2) н в диссертации приводится для сравнения с остальными моделями.

Для моделей Mi, М2, М3 определяются достаточные (а для модели Ml еще и необходимые) условия эргодичности.

В предположении, что время безотказной работы прибора имеет показательное распределение, для всех моделей найдены необходимые и достаточные условия эргодичности. Для М\ и Мч получено выражение для производящей функции предельного распределения числа требований в системе при t —>■ 00, находится выражение для среднего числа требований в системе в стационарном режиме. Условия высокой загрузки исследованы для моделей Mi, М2 и М3. Для модели М2 получены такие характеристики, как вероятность "проскакпванпя" и вероятность прерывания обслуживания в стационарном режиме.

3. В третьей главе приводятся приложения результатов предыдущих глав к исследованию транспортных систем.

Обсуждается возможность описания однополосной дороги с двумя последовательно установленными светофорами с помощью двухфазной системы, изученной в главе 1. Производится сравнение коэффициентов загрузки в моделях с синхронными приборами и с независимо функционирующими приборами.

Кроме того, приведены приложения результатов главы 2 к анализу регулируемых и нерегулируемых перекрестков автомобильных дорог. Найдены условия эргодичности и различные операционные характеристики систем, описывающих перекрестки.

Для нерегулируемых перекрестков неравнозначных дорог движение автомобилей по главной дороге описывается с помощью системы вида GI\G\oo с идентичным временем обслуживания на периоде занятости. Для таких систем получены условия существования предельного распределения, преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения периода занятости, а также установлен вид предельного распределения при t —> 00.

Результаты диссертации опубликованы в работах [9], [23], [24].

Обозначения и сокращения. Если не оговорено иначе, за исходное вероятностное пространство принято Т, Р), и все случайные элементы предполагаются заданными на этом пространстве. Для случаев, рассмотренных в диссертации, доказательство существования единого вероятностного пространства для нескольких случайных элементов опирается на теорему Колмогорова (см. [15] (Булипский, Ширяев, 2003)) и опускается в тексте диссертации. Функции распределения случайных величин полагаются непрерывными слева, таким образом для случайной величины £ её функция распределения равна Рс(х) = Р(£ < х).

Сумма по пустому множеству индексов полагается равной нулю, а произведение — единице.

В работе используются следующие общепринятые обозначения: — положить по определению. п.и. — почти наверное (по мере Р исходного вероятностного пространства, если не оговорено иначе).

- - сходимость по вероятное™ (по мере Р исходного вероятностного пространства, если не оговорено иначе). л — равенство распределении.

В, = (—оо,+оо) — множество действительных чисел.

Я+ = [0, +оо) — множество неотрицательных действительных чисел.

2 — {0, ±1. ±2,.} — множество целых чисел. {0,1,2,.} — множество неотрицательных целых чисел.

5}.} — символ Кронексра. сг(Л) — наименьшая сигма-алгебра, порождённая системой множеств Л. сг(£а,о: € X) — наименьшая сигма-алгебра, относительно которой измеримы все случайные элементы а Е X. В этом случае говорят, что сигма-алгебра порождена случайными элементами о; е X. сг(-^(5),0 ^ 5 ^ ¿) — сигма-алгебра, порождённая случайным процессом {Х(з),0 ^ я ^ ¿}.

В(Е) — сигма-алгебра борелевских множеств пространства Е.

Ха(х) — индикатор множества А, то есть

1, если х € А;

О, если х ^ А. х\ — целая часть числа х.

Благодарность. Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Афанасьевой Ларисе Григорьевне за постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор высоко ценит содействие и внимание, оказанное работе сотрудниками кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Руденко, Игорь Викторович, 2012 год

1. Афанасьева, Л. Г., "О существовании предельного распределения в системах массового обслуживания с ограниченным временем пребывания". Теория вероятностей и её применения, 10, 3, 570-578 (1965).

2. Афанасьева, Л. Г., "Системы массового обслуживания с циклическими управляющими процессами". Кибернетика и системный анализ, 41, 1, 54-68 (2005).

3. Афанасьева Л. Г., Баштова Е. Е. "Предельные теоремы для систем обслуживания с дважды стохастическим пуассоновским потоком (условия высокой загрузки)". Пробл. передачи ииформ., 44, 4, 72-91 (2008).

4. Афанасьева, Л. Г., Булинская, Е. В., Случайные процессы в теории массового обслуживания и управления запасами. М.: Изд-во МГУ (1980).

5. Афанасьева, Л. Г., Булинская, Е. В., "Некоторые задачи для потоков взаимодействующих частиц". Современные проблемы математики и механики, IV, 55-67 (2009).

6. Афанасьева, Л. Г., Булинская, Е. В., "Математические модели транспортных систем, основанные на теории очередей". Труды МФТИ, 4, 2, 6-21 (2010).

7. Афанасьева, Л. Г., Булинская, Е. В., "Надежность систем с регенерирующим потоком отказов элементов". Автомат, и Телемех., 7, 15-28 (2010).

8. Афанасьева, Л. Г., Мартынов, А. В., "Об эргодпческпх свойствах систем массового обслуживания с ограничением". Теория вероятностей и её применения, 14, 1, 105-114 (1969).

9. Афанасьева, Л.Г., Руденко, И.В., "Системы обслуживания С?/|С?|оо и их приложения к анализу транспортных моделей". Теория вероятностей и её применения, 57, 3, 427-452 (2012).

10. Башарин, Г. П., "Один прибор с конечной очередью и заявки нескольких видов". Теория вероятностей и её применения, 10, 2, 282-296 (1965).

11. Боровков, А. А., Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 368 с. (1972)

12. Боровков, А. А., Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 381 с. (1980)

13. Боровков, А. А., Теория вероятностей. М.: Наука, 432 с. (1986)

14. Боровков, А. А., Эргодичность и устойчивость случайных процессов. Едиториал УРСС, 440 с. (1999)

15. Булинский, А. В., Ширяев, А. Н., Теория случайных процессов. М.: ФИЗМАТЛИТ; Лаборатория Базовых Знаний, 400 с. (2003)

16. Гнеденко, Б. В., Коваленко, И. Н., Введение в теорию массового обслуживания. М.: Издательство ЛКИ, 400 с. (2011)

17. Золотарев В.М., "Распределение длины очереди и числа действующих линий в системе типа Эрланга со случайными поломками и восстановлениями линий.". Тр. Мат. ин-та. АН СССР, 71, 51-61 (1964).

18. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н., Теория массового обслуживания. М.: Высшая школа, 256 с. (1982)

19. Кендалл, Д. Г., "Стохастические процессы, встречающиеся в теории очередей, и их анализ методом вложенных цепей Маркова". Математика, 3, 6, 97-111 (1959).

20. Климов, Г. П., Стохастические системы обслуо/сивания. М.: Наука, 244 с. (1965)

21. Коваленко, И. Н., "Некоторые задачи массовго обслуживания с ограничением". Теория вероятностей и её применения, б, 2, 222-228 (1961).

22. Кокс, Д., Смит, В., Теория восстановления. Изд-во "Советское радио", 299 с. (1967)

23. Руденко, И. В., "Двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами". Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 4, 8-14 (2012).

24. Руденко, И. В., "Двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами в условиях высокой загрузки". Вести. Моск. ун-та. Сер. 1 Матем. Механ., 6, 47-50 (2012).

25. Саатп, Т. Л., Элементы теории массового обслуживания и ее прило-э/сения. Либроком, 520 с. (2010)

26. Севастьянов, Б. А., "Эргодическая теорема для марковских процессов и её приложение к телефонным линиям с отказами". Теория вероятностей и её применения, 2, 1, 106-116 (1957).

27. Султанова, Д. X., "Некоторые асимптотические задачи для системы обслуживания с профилактикой и восстановлением". УзССР Фаилар Акад. ахбороти. Физ.-магг. фанлари сер., Изв. АН УзССР., 1, 20-25 (1968).

28. Феллер, В., Введение в теорию вероятностей и её прилоэюения, т. 1. М.: Книжный Дом Либроком, 528 с. (2010)

29. Феллер, В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, т. 2. М.: Книжный Дом Либроком, 752 с. (2010)

30. Хинчин, А. Я., Работы по математической теории массового обслу-эюивания. М.: Физматгиз (1963).

31. Цыбаков, Б.С., "Периоды занятости в системе с неоднородными обслуживающими приборами или каналами". Пробл. передачи информ., 41, 105-122 (2005).

32. Afanasyeva, L. G., Bulinskaya, E. V., "Asymptotic Analysis of Traffic Lights Performance under Heavy Traffic Assumption", Methodology and Computing in Applied Probability, pp. 1-16, doi:10.1007/sll009-012-9291-x (2012).

33. Albrecher, H., Borst, S. C., Boxma, O. J., Resing, J., "Ruin Excursions, the G|G|oo Queue and Tax Payments in Renewal Risk Models", J. Appl. Prob. Spec., 48A, 3-14 (2011).

34. Asmussen, S., Applied probability and queues. J. Wiley and Sons, New York (1987).

35. Bartlett, M. S., "Some Evolutionary Stochastic Processes". J. Roy. Stat. Soc., B, 11, 211-229 (1949).

36. Benes, V. E., Mathematical Theory of Connecting Networks and Telephone Traffic. Academic Press, New York (1965).

37. Blackwell, D., "A renewal theorem". Duke Math. J., 15, 145-150 (1948).

38. Brillinger, D. R., "Cross-Spectral Analysis of Processes with Stationary Increments Including the Stationary G|G|oo Queue". Ann. Probab., 5, 2, 815-827 (1974).

39. Brown, M., "An M\G\oo estimation problem". Ann. Math. Statist., 41, 651654 (1970).

40. Caceres, F.C., Ferrari, P.A., Pechersky E. "A slow-to-start traffic model related to a M\M\1 queue". J. Stat. Mech., P07008 (2007).

41. Cinlar, E., Introduction to stochastic processes. Prentis-Hall, Englewood Cliff, New Jersey (1975).

42. Cramer, H., Leadbetter, M. R., Stationary and Related Stochastic Processes. Wiley, New York (1967).

43. Djellab, N. V., "On the M\G\1 Retrial Queue Subjected to Breakdowns". RAIRO Oper. Res., 36, 299-310 (2002).

44. Eisen, M. M., "Effects of slowdowns and failure on stochastic service systems". Technometrics, 11, 6, 922-927 (1963).

45. Eisen, M. M., Leibowitz, M. "Some remarks on server breakdown". Operut. Res., 5, 3, 385-392 (1963).

46. Foster, F. G., "On the stochastic matrices associated with certain queuing processes". Ann. Math, Statist., 24, 2, 355-360 (1953).

47. Gaver, D. P., Jr., "A Waiting Line with Interrupted Service, Including Priorities". J. Roy. Statist. Soc., 24, 73-90 (1962).

48. Gideon, R., Руке, R., "Markov Renewal Modelling of Poisson Traffic at Intersections Having Separate Turn Lanes". Semi-Markov Models and Applications, 285-310 (1999).

49. Grandell, J., Doubly Stochastic Poisson Processes. Springer-Verlag (1976).

50. Guillemin, F., Simonian, A., "Transient Characteristics of an M\M\oo Systems". Advances in Appl. Probab., 27, 862-888 (1995).

51. Helbing, D., Jiang, R., Treiber, M., "Analytical investigation of oscillations in intersecting flows of pedestrian and vehicle traffic". Phys. Rev. E, 72, 046130 (2005).

52. Iglehart, D. L., "Limitimg Diffusion Approximation for the Many Server Queue and the Repairment Problem". J. Appl. Prob., 2, 2, 429-441 (1965).

53. Iglehart, D. L., Whitt, W., "Multiple Channel Queues in Heavy Traffic, I". Advances Appl. Prob., 2, 2, 150-177 (1970).

54. Karlin, S., McGregor, J., "The classification of birth and death processes". Trans. Amer. Math. Soc., 86, 2, 366-400 (1957).

55. Kendall, D. G., "Les processus Stochastic de croissance en biologie". Ann. Inst. H. Pomcare, 13, 43-108 (1952).

56. Lindvall, Т., "The probabilistic proof of Blackwell's renewal theorem". Ann. Probab., 5, 3, 482-485 (1977).ш)

57. Loynes, R. M., "The stability of a queue with non-independent inter-arrival and service times". Proc. Cambr. Phil. Soc., 58, 3, 494-520 (1962).

58. Pakes, A. G., Kaplan, N. L., "Oil the Subcritical Bellman-Harris Process with Immigration". J. Appl. Prob., 11, 652-668 (1974).

59. Preater, J., "M|M|oo Transience Revisited". J. Appl, Prob., 34, 1061-1067 (1997).

60. Rao S. Subba, "Queueing models with balking, reneging, and interruptions". Operat. Res., 13, 4, 596-608 (1965).

61. Sherman, N., Kharoufeh, J., Abramson. M., "An M|G|1 Retrial Queue With Unreliable Server for Streaming Multimedia Applications". Probability in the Engineering and Informational Sciences, 23, 281-304 (2009).

62. Smith, W. L., "Regenerative stochastic processes". Proc. Roy. Soc., A 232, 6-31 (1955).

63. Stadje, W., "The Busy Period of the Queueing System M|G|oo". J. Appl.Prob., 3, 22, 697-704 (1985).

64. Takacs, L., Combinatorial Methods in the Theory of Stochastic Processes, NY: John Wiley and Sons, 262 p. (1967).

65. Tanner, J. C., "The Delay to Pedestrians Crossing a Road". Biometrika, 38, 383-392 (1951).

66. Tomko, J., "Однолинейная система массового обслуживания с учетом ненадежности прибора". Magyar tud- akad. Mat. kutato int. Kozl., 9, 1-2, 61-72 (1964).

67. Thorisson, H., "The coupling of regenerative processes". Adv. Appl Probability, 15, 531 -561 (1983).

68. Whitt, W., "Heavy Traffic Limit Theorems for Queues: A Survey". Lecture Notes in Economics and Math. Systems, 98, 307-350 (1974).