Системы массового обслуживания с конечным объемом накопителя и ограниченным средним временем нахождения требований в очереди тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Нгуен Тхань Банг

• Нгуен Тхань Банг
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Тхань Банг

Введение

Глава 1.Вероятностные характеристики системы массовогообслуживания с очередью конечной длины и ограниченным средним временем нахождения требований в очереди

1.1. Вероятностные характеристики одноканальной СМО

1.2. Вероятностные характеристики многоканальной СМО

1.3. Вероятность ожидания начала обслуживания в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем нахождения требований в очереди и очередью конечной длины

Глава 2. Основные числовые характеристикисистемы массового обслуживания с конечным объёмом накопителя и ограниченным средним временем нахождения требований в очереди

2.1.Среднее число занятых каналов (коэффициент загрузки)

2.2. Среднее число требований, находящихся в ожидании находящихсяпод обслуживанием обслуживания (средняя длина очереди)

2.3. Среднее число требований, находящихся в системе массового обслуживания в целом (и в очереди, и под обслуживанием)

Глава 3. Среднее время нахождения требований в очередив ожидании обслуживания и в системе в целом

3.1. Функция распределения времени нахождения требованийв очереди на обслуживание

3.2. Среднее времянахождения требований в очереди в ожидании начала обслуживания

3.3. Среднее времянахождения требований в системе массового обслуживания в целом

Глава 4. Имитационное моделирование нестационарных режимов функционирования систем массового обслуживания с конечным объёмом накопителя и ограниченным средним временем нахождения требований в очереди на обслуживание

4.1. Имитационная модель многоканальной СМО с конечным объёмом накопителя и ограниченным средним временем нахождения требований в очередина обслуживание

4.2. Исследование нестационарных режимов функционирования систем массового обслуживания с конечным объёмом накопителя и ограниченным средним временем нахождения требований в очереди

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Системы массового обслуживания с конечным объемом накопителя и ограниченным средним временем нахождения требований в очереди»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Как известно, в теории массового обслуживания особенный интерес вызывают системы массового обслуживания (СМО) с того или иного рода ограничениями на характеристики и параметры системы. Дело в данном случае заключается в том, что системы с различными ограничениями весьма часто востребованы при решении самого разного рода прикладных задач в самых различных, порой весьма далеко отстоящих друг от друга предметных областях. В частности, к таким предметным областям можно отнести как традиционно связанную с теорией массового обслуживания логистику, так и такие инновационные области современных исследований, как, например, теория телетрафика, теория телекоммуникаций и многие другие.

Следует подчеркнуть, что с точки зрения возможных приложений среди систем с ограничениями наибольший интерес представляют не просто системы с теми или иными ограничениями, накладываемыми на характеристики системы, а комбинированные системы массового обслуживания, в которых содержится не одно, а несколько ограничений различного рода. При этом центральной характеристикой для большинства типов систем массового обслуживания (QueueingSys-tems) является очередь, состоящая из заявок, ожидающих начала обслуживания. Соответственно значительный интерес представляют системы с ограничениями на различные параметры и характеристики очереди к обслуживающему устройству. К таковым ограничениям в первую очередь относятся как ограничения, накладываемые на среднее время пребывания заявки в очереди в ожидании начала обслуживания, так и ограничения, накладываемы на предельный объём накопителя (предельную величину очереди к обслуживающему устройству). В настоящей работе рассматривается комбинированная система массового обслуживания, в которой находящиеся в очереди заявки являются так называемыми «нетерпеливыми»

заявками, которые, подождав некоторое время, могут покидать очередь и уходить из системы необслуженными, но при этом предельная длина очереди не может превышать некоторой наперёд заданной величины N. Модели такого типа до сих пор являются одним из наименее изученным классов систем массового обслуживания среди всех типов СМО[1-5].

Вследствие вышеизложенного задача построения замкнутой и внутренне непротиворечивой математической модели системы массового обслуживания с «нетерпеливыми» заявками и очередью конечной длины является актуальной.

Степень разработанности темы. С точки зрения математики основная задача изучения такого рода систем с «нетерпеливыми» заявками заключается в следующем. Даже для наиболее удобных для исследования моделей марковского типа, в ходе расчётов появляются суммы бесконечного или конечного числа слагаемых, не сводящиеся, однако, к суммам соответствующих геометрических прогрессий. Таким образом, в данном случае для решения такого рода задач приходится прибегать к приближённым численным схемам, в которых каждая числовая характеристика задачи рассчитывается отдельно от других при помощи суммирования первых нескольких слагаемых соответствующего конечного или бесконечного ряда. При этом невозможно, конечно, получить замкнутое аналитическое решение задачи, хотя можно, пусть и достаточно грубо, оценить основные характеристики системы массового обслуживания данного типа. Для ряда прикладных задач этого вполне хватает, но при этом, как правило, не удаётся более детально изучить процессы, протекающие в системах такого рода. В современных условиях отсутствие замкнутого аналитического решения, в рамках которого все основные числовые характеристики системы рассчитывались бы с требуемой точностью и были бы при этом связаны друг с другом, является значительным пробелом в теории массового обслуживания, понимаемой как прикладная область исследований.

В работах [6, 7] было впервые предложено использовать для суммирования рядов, неподдающихся до этого современным методам анализа, так называемую функцию Г. Миттаг-Леффлера первого порядка, хорошо известную специалистам

в области теории функции комплексного переменного и интегральных преобразований^^]. При этом была впервые осуществлена полная математическая формализация, соответствующим образом поставленной задачи, включая вычисление первых и вторых моментов соответствующих числовых характеристик системы. В указанных работах, однако, сдержится решение задачи с ограничением на среднее время лишь в том случае, когда очередь в системе массового обслуживания может быть произвольной длины. Между тем, как было сказано выше, с точки зрения возможных приложений, более интересной представляется определённым образом расширенная постановка задачи.

Именно, в данном диссертационном исследовании рассматривается система массового обслуживания, для которой фиксировано максимальное число требований, ожидающих начала обслуживания; то есть предполагается, что в очереди одновременно могут находиться не более N заявок и что любое поступившее сверх этого числа требование получает отказ и немедленно покидает систему без обслуживания. Таким образом, в систему допускаются только те требования, которые застают в ней строго меньше, чем N + 1 заявок. При этом все заявки являются так называемыми «нетерпеливыми» заявками, то есть могут покидать очередь, не дожидаясь начала обслуживания. На языке теории массового обслуживания такого рода системы следует называть системами массового обслуживания с конечным объёмом накопителя (очередью конечной длины) и ограниченным средним временем нахождения заявки в очереди на обслуживание.

Ясно, что рассматриваемая СМО является наиболее общей по отношению к изученной в работах [1,2], поскольку при N сводится к указанной системе.

Заметим, что задачи такого рода весьма часто встречаются на практике в задачах логистики, в связи с чем, данная постановка задачи представляется весьма актуальной. Особенное значение имеет при этом возможность изучения поведения вторых моментов соответствующих величин, характеризующих СМО данного типа, изучение которых позволяет сделать ряд весьма интересных и значимых для практики выводов о режимах функционирования систем такого рода.

В связи последним замечанием следует отметить существенное обстоятельство, заключающееся в том, что моменты второго порядка к настоящему времени почти не изучены и не представлены, как в опубликованных к настоящему времени классических работах [1-5, 10-24], так и в более современных исследовани-ях[25-68], за исключением сравнительно давно опубликованной небольшой монографии [69], в которой содержится выражение для второго момента числа требований, находящихся в очереди в ожидании начала обслуживания, применительно к классической модели M/M/m.

Цель данной работы заключается в разработке аналитической и имитационной моделей для изучения свойств и характеристик систем массового обслуживания с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди на обслуживание.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Построение и анализматематической модели системы массового обслуживания с ограниченным средним временем нахождения требованийв очереди на обслуживание в том случае, когда предельный объём накопителя ограничен некоторой наперёд заданной фиксированной величиной . N.

2. Построение имитационной модели системы массового обслуживания указанного типа для изучения функционирования систем такого рода на нестационарных участках траекторий их основных числовых характеристик.

Научная новизна исследований, представленных в диссертационной работе, заключается в следующем:

1. Предложена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с пуассоновскими входным и выходным потоками заявок, имеющей конечный объём накопителя и ограниченное среднее временем нахождения требованийв очереди в ожидании начала обслуживания. Основным отличием от изученных ранее моделей систем такого рода является требование, заключающееся в том, что в данную систему могут быть допущены только те за-

явки, которые застанут в ней не более, чем N требований, находящихся в очереди на обслуживание.

2. Получены аналитические выражения для первых и вторых моментов основных дискретных и непрерывных величин, характеризующих системы с ограничениями рассматриваемого типа. К таким величинам относятся количество занятых каналов обслуживания в обслуживающем многоканальном устройстве, количество заявок, находящихся в очереди в ожидании начала обслуживания, время нахождения одного требования в очереди, а также полное число заявок в системе и полное время пребывания требований в системе в целом (как в очереди, так и под обслуживанием).

3. Построена имитационная структурная модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с конечным объёмом накопителя и ограниченным средним временем ожидания требований в очереди на обслуживание для исследования поведении систем такого рода на нестационарных участках траекторий их основных числовых характеристик.

4. Разработан комплекс программ в инструментальной среде имитационного моделирования GPSSWorld и проведён цикл численных экспериментов, направленных на изучение нестационарных режимов функционирования рассматриваемых систем массового обслуживания и поведения их основных характеристик во времени.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанная модель и полученные в диссертационной работе формулы для вычисления вероятностных и числовых характеристик СМО, предназначены для разработки и решения многочисленных задач в различных предметных областях, имеющих отношение к оптимальному управлению системами массового обслуживания с ограничениями, наложенными как на предельный объём накопителя, так и на среднее время пребывания заявок в очереди на обслуживание. Подобные математические модели позволяют по известным значениям интенсивности входного потока заявок рассчитать различные параметры, характеризующие производительность системы, а

также в каждом конкретном случае исследовать их поведение при изменении нагрузки на систему со стороны входного потока.

Результаты диссертационной работы были использованы в качестве методического инструментария в деятельности ПАО «Промсвязьбанк» для наилучшей организации обслуживания клиентов в сети отделений банка, а также для улучшения организации обслуживания покупателей в сети магазинов и точек розничной торговли продуктами питания индивидуального предпринимателя Галеевой Т.Н. Построенная в диссертационной работе математическая модель, описывающая системы массового обслуживания с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания заявок в очереди на обслуживание, имеет прямое отношение к деятельности организаций подобного рода, поскольку небольшие пункты обслуживания, как правило, имеют ограниченную свободная площадь. Одновременно с этим существенное значение имеет уход части потенциальных клиентов/покупателей из очереди вследствие затянувшегося, по их мнению, ожидания начала обслуживания. В соответствии с результатами, представленными в диссертационной работе, был предпринят ряд конкретных мер, которые привели к значительному увеличению пропускной способности пунктов обслуживания при пиковом возрастании потока заявок, что позволило стабилизировать прибыль и укрепить финансовое положение указанных организаций.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе применяются методология и методы теории массового обслуживания, теории вероятностей, теории марковских случайных процессов, математической теории телетрафика.

Положения, выносимые на защиту.

1. Основные вероятностные характеристики рассматриваемой СМО, в том числе вероятности стационарных состояний системы, вероятность её полного простоя и вероятность ожидания заявкой начала обслуживания.

2. Аналитические выражения для первых и вторых моментов основных дискретных и непрерывных величин, характеризующих системы с очередями рассматриваемого типа.

3. Имитационная модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с конечным объёмом накопителя и ограниченным средним временем нахождения требованийв очереди в ожидании начала обслуживания.

4. Комплекс программ, созданный в инструментальной среде имитационного моделирования GPSSWorld, и результаты имитационного моделирования нестационарных режимов функционирования для изучения поведения основных характеристик рассматриваемых типов СМО во времени.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов, полученных в диссертации, следует из применяемых строгих математических методов теории массового обслуживания, теории вероятностей, теории марковских случайных процессов и математической теории телетрафика, строгостью проведения математических выкладок и преобразований, а также сравнением с результатами имитационного моделирования соответствующих процессов.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

1. XXX Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-30», Санкт-Петербург, 2017;

2. Международная научно-практическая конференция «Тенденции развития логистики и управления цепями поставок», Казань, 2017;

3. Международная научно-практическая конференция «Проблемы взаимодействия науки и общества», Волгоград, 2018;

4. Международная научно-практическая конференция «Новая наука: история становления, современное состояние, перспективы развития», Казань, 2018;

5. Международная научно-практическая конференция «Единство идентичность науки: проблемы и пути решения», Волгоград, 2018

6. XV Международная научно-практическая конференция «Фундаментальные и прикладные научные исследования: актуальные вопросы, достижения и инновации», Пенза, 2018.

Диссертационная работа написана по результатам, опубликованным в цикле работ [70-81], выполненных при решающем участии автора.

ГЛАВА 1 ВЕРОЯТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЧЕРЕДЬЮ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ И ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ НАХОЖДЕНИЯ ТРЕБОВАНИЙВ ОЧЕРЕДИ

1. В настоящее время значительный интерес представляет исследование таких систем массового обслуживания (СМО), для которых общее время пребывания одной заявки в очереди на обслуживание ограничено некоторым случайным временем t со средним значением / . С такого рода системами массового обслуживания приходится иметь дело достаточно часто. В монографиях [6,7] и примыкающей к ним работе [82] была подробно изучена система массового обслуживания с ограниченным средним временем ожидания заявок в очереди. Математической основой при этом является введение в рассмотрение функции Г. Миттаг-Леффлера первого порядка Е^; т) [8,9], определяемой формулой

где Г - гамма-функция, позволяющей значительно упростить большинство промежуточных расчётов. Поведение этой величины в зависимости от параметров 7 и X изображено на рис. 1, 2. Полученная на этой основе единая, внутренне связанная, система сравнительно компактных формул позволила адекватно описать все основные характеристики стационарных режимов такого рода одноканальной СМО - вероятность простоя системы р0, коэффициента загрузки т и среднюю

1.1. Вероятностные характеристики одноканальной СМО

длину очереди I, а также вычислить соответствующие этим характеристикам временные величины.

z

Рис. 1. Поведение функции Г. Миттаг-Леффлера первого порядка

Предположим, что мы имеем одноканальную СМО с однородным бесконечным простейшим потоком заявок и очередью неограниченной длины. Пусть интенсивность потока заявок равна 1, а интенсивность обслуживания, то есть среднее число заявок, которые обслуживает прибор в единицу времени, есть т. Поток обслуживания тоже будем считать простейшим (с интенсивностью т).

Предположим далее, что общее время пребывания одной заявки в очереди на обслуживание ограничено теперь некоторым случайным временем / со средним значением / . Тем самым, на каждую заявку, находящуюся в системе, действует поток уходов с интенсивностью

1

V = з .

г

X

Рис. 2. Поведение функции Г. Миттаг-Леффлера первого порядка

Ясно, что если этот поток носит простейший характер, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Именно в такой постановке данная задача была рассмотрена в цикле работ [6, 7, 82] (рис.3). Рассмотрим теперь несколько другой вариант поставленной выше задачи.

Именно, рассмотрим теперь одноканальную систему массового обслуживания, для которой фиксировано максимальное число требований, ожидающих обслуживания; в частности, предположим, что в очереди одновременно могут находиться

не более N заявок и что любое поступившее сверх этого числа требование получает отказ и немедленно покидает систему без обслуживания.Поступление новых требований происходит по закону Пуассона, времена их обслуживания распределены экспоненциально со средней интенсивностью обслуживания | заявок в единицу времени. При этом, однако, в систему допускаются только те требования, которые застают в ней строго меньше заявок, чем N +1. Ясно, что при N ® да

такая система массового обслуживания сводится к системе, изученной в работах [6, 7]. Заметим, что задачи такого рода весьма частовстречаются на практике в задачах логистики и поэтому данная постановка задачи представляется весьма актуальной. Граф системы массового обслуживания такого рода изображён на рис. 4. Проведём математическую формализацию поставленной задачи.

Как видно из графа, представленного на рис. 1, перед нами классическая вероятностная схема процесса гибели и размножения, точно так же, как и в работах [6, 7]. Применяя полученные там общие выражения для вероятностей предельных (стационарных) состояний в этой схеме, получим

1 12 I3

р1 __ р0; Р 2 \ Р 0; р3 \7 ~ \ Р 0;

т т(т+п)(|т+2 V)

_ 14

Р4 т(т+п)(т+2п)(|+3п)

_

Р"+1 |(т+п)(|+ 2 п)-(ц+ N п)Р0,

и так далее, или в обозначениях

р2 р3 Р1 _РРо; Р2 _ 1+рРо; Р3 _(1 + р)(1+2р)Ро;

Р 4

Р

(1 + р)(1 + 2 р)(1 + 3 р)

Ро

pN+1

Р

N+1

(1 + р)(1 + 2 р)- (1 + N р)

Р о.

В этих соотношениях р - приведённая интенсивность потока заявок (требований), поступающих в систему, которая показывает, сколько требований в среднем поступило в систему массового обслуживания за среднее время обслуживания системой одной заявки. Параметр Р представляет собой своего рода приведённую интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из очереди, то есть показывает, какое в среднем количество заявок покидает очередь необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки.

В итоге имеем следующие формулы для рк:

Рк =

Р

к

(1 + Р)(1 + 2 р)...[1 + (к-1)р]

Ро.

(111)

Значение показателя к при этом находится в диапазоне от 1 до N +1.

Запись последних формул для Рк можно упростить следующим образом.

Разделим числитель и знаменатель соотношения(1.1.1) на Рк 1. Тогда, очевидно, получим

/ /\к-1 ж р/ч

Р =р и рш_Р =

Рк =Р^ \f~r~/ \ ТТ" Л Р0 =

У +111 У + 2 ]•••[ V + к-1

р

ш

р

V/

р

ш

_Р

/

и

Ж 1 / л

„к-1 г( 1Р + 1

а к-1 V Р

-л-Ро _Ра "у——ЧРо

г( У + к

ш к-1 V

1Р+'

Р

ш

г

/

_а

.к

и

г1 13+к

ро при 1< к < N + 1, (1.1.2)

где (а)к _ а (а + 1)(а + 2) ... (а + к -1); (а)о _ 1 - символ Л. Похгаммера[83,

84]. Величина а_р /Р_1/п, очевидно, показывает, какое среднее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой» заявки. В этом случае из условия нормировки

да

е р _1

/ _ о

и формул (1.1.2), очевидно, имеем

а

_ Ро +Р Ро +Р^— Ро +Р

>Р+1

а

+11( 1/ + 2

Р ши/р

Ро +

а

+ Р/17 VI/—VI/ ^^ Ро +

У+1|( У+21 ( У+3

р ^/р

Р

•+Р-

а

N

1 / V 1 / N / 1 /

У +1|| ^ + 2 |( у + 3

Р 1 ^ши/р

Р

Ур+*

Ро _

1+Р

1+

а

а'

/

V/

р

/

+

а

3

а

N

1/+11 уп+1

ш1

V/

р

ш 2

/ , Л 1р+1

3

Г 1 / Л 1р+1

V

о

и тогда

¿1 =

N

1+р£Г1

к = 0 [ 7

а

к

\

+ 1

ш к

Ро

откуда следует

Ро =

N

1+р£п

к = о

а

к

\

+ 1

ш к

-1

(1.1.3)

Рассмотрим более внимательно конечную сумму

N

2 2 =

к=о [ /

а

к

+ 1

ш к

в формуле (1.1.3). Ясно, что в отличие от соответствующего соотношения модели [6, 7], в котором сумма бесконечного числа слагаемых в знаменателе подобной формулы сводится к функции Г. Миттаг-Леффлера первого порядка Е1 т), в данном случае мы имеем сумму конечного числа аналогичных слагаемых, не сводящуюся к сумме бесконечного ряда. Будем поэтому действовать следующим образом.

Введём в рассмотрение неполную функцию Г. Миттаг-Леффлера первого порядка Е^ X), определив её следующей зависимостью:

N

Е? и

z

к

к=о

г(х+к)

(114)

Поведение функции Е^ X,) для характерного случая N = 5 изображено на рис. 5, 6.

4.5

4"

3.5

, 1, 3) Е1_^, 2, 3) 3 Е1_^, 3, 3) Е1_^, 4, 3) Е1_^, 5, 3) 2

1.5

о.5

о о.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

z

Рис. 5.Поведение неполной функции Г. Миттаг-Леффлера первого порядка для случая N = 3

В этом случае, замечая, что по определению

(а )

Г(а + к)

к ="Т(0Г:

где Г - гамма-функция, очевидно, имеем

N

5 2=г[/р+ое

а

к

/

г[ уп+1 + к

к=о ч/р

\

ш

или

Ж л/ Ц ыЖ 1/ ц 5 2 = г[ 1р +11 Е{г [а; 1р + 1 ]

^ р ш V /р ш

(1.1.5)

1

Тогда получим

Рис. 6. Поведение неполной функции Г. Миттаг-Леффлера первого порядка для случая N _ 3

Ро _

1 + р Г| +11Е? (а; 1р + 1

V/ р ш V / р

-1

(116)

Попробуем теперь несколько упростить последнее выражение. Из формулы (1.1.4), очевидно, имеем следующую цепочку формул:

N

Е» (г; £ +

г

к

N+1

е

к-1

. о Г(Х + 1 + к) Г(Х + к) Г(Х + к)

к_о к_1 к_1

N+1

1 е

г

к

1

г

N

е

к _о

г

к

ъ

N + 1

Г(х+к) Г(х+N+1) Г(х)

откуда с учётом известного рекуррентного соотношения (например, [77]) Г(^ + !)_£ Г(^) следует

ЕN (z; Х+1)=1

z

N

е

к=о

z

к

z

N + 1

Г(Х + к) (х+№)Г(Х+м) г(х)

так что

Е-N (z; х+1)=1

z

ЕN (* X)

г(Х)

z

N+1

г(Х)

(х + N )г(Х + N)

(1.1.7)

или

^ (z; х)=г(х)

1

z

N+1

г(Х)

(х + N )г(х + N)

+ zElN Х +1) (1.1.8)

- рекуррентная формула для Е^ (z; X). В пределе N второе слагаемое в квадратных скобках стремиться к нулю и эти формулы переходят в известные соотношения [8, 9]

Е (z; Х +1)=1

z

и

Е (г; Х)=г1Х) + zЕ1 (z; Х +1).

В данном случае, X = ^р, z = а = ур , и тогда, очевидно, имеем

Е

N

а;

У + 1

Р

Р р

Е

N

а

■■ну

г

/

а

N+1

г

/

V/

г 1 / Ц Ж 1 / Л

1/р+№ К 1р+№

1

1

1

В этом случае из соотношения (1.1.5) с учётом известного рекуррентного соотношения [85, 86]Г(£ + 1)_£ Г(£) в свою очередь следует

Ж1/ Ц Гг

X2 _Г[>р +1)Е(

V/ Р ш V

#'а: V, +11_ГГ У. + 1Црх

г Н/р

Р

х <

Е

N

а

• 1/

Г

а

N+1

Г

/

V/

/ 1 / ц Ж 1 / Л

1р + ж шГ( >р + N

1 р

/

Г( 1/ IЕР

ЧлО Е1

/

а; Уп 1-1 +

а

N+1

Г

/

V/

V

Ж л/ Ц Ж 1/ Л

V >р+№ Н Ур+ы

В итоге соотношение (1.1.6) даёт следующую наиболее удобную для прикладных расчётов формулу для вероятности полного простоя системы р о:

Ро

Г( 1/ IЕР

и ц а

N+1

Г

л/ ц ж1/ Л У + N |г[ У + N

р

V/

р

ш

-1

Г

/

V/

Е

N Жа;%Ъа

N + 1

1

V

V

1р+^^ шг( Ур+^

-1

(119)

1

1

1

Поведение этой величины в зависимости от значения параметра р для характерных значений предельного объёма накопителя (предельной длины очереди) N _ 2 и N _ 5изображено соответственно на рис.7, 8.

Рис. 7. Вероятность полного простоя системы для случая N = 2

Для контроля правильности результатов, полученных в результате этих расчётов, проверим полученное соотношение в двух предельных случаях, для которых соответствующие решения известны. В первом предельном случае, когда N = о, имеем

(- «=Щ),

и тогда, очевидно, Ро = (1 + р) 1 в соответствии с известным соотношением классической и хорошо изученной одноканальной модели А. Эрланга [6, 7]. Во втором предельном случае, когда N ® да, соответственно имеем

Нш Е1

N

/

а

• 1

V

= Е

N

а

- 1/

ро(5, Р. °) о.917 Ро(5' р. 1) о.833 ро(5, Р.2) о.75

Ро(5. Р. 3) о.667

Ро(5. Р. 5) о.583

Ро(5. Р. 7) о.5

Р. 9) о.417

Ро(5. р.1о) о о.333

Ро(5. Р.3о)

Ро(5.Р.5о)

Ро(5. р. 1оо)

о.25 о.167 о.о83 о

о

23456789 1о Р

Рис. 8. Вероятность полного простоя системы для случая N _ 5

1

при этом второе слагаемое в квадратных скобках соотношения (1.1.9) стремится к нулю и тогда это соотношение, очевидно, переходит в известную формулу [6, 7]

Ро

г( /й Е1

/

а

;1

V

-1

как и следовало ожидать.

В итоге соотношение (1.1.2) для вероятностей Рк стационарных состояний

системы запишется в следующем наиболее удобном для дальнейших расчётов виде:

, к-1

Рк _Р

а

г( 1р)( V1) к-1

х

X

Е

N+1

1

V

V

1р+* )г[}/+^

а

к

( л ^

гс>р+к

Е

N

1/ ц а

а;ДЧ + —

N+1

У

1

V

1/+ж )г[ )/+^

(1.1.Ю)

Зависимости вероятностей состояний системы, определяемые соотношени-ем.(1.1.1о), для значения параметра к = 3 и N = 5представлены на рис. 9, 1о.

о.3

Рк(3, 5, р, о) Рк(3, 5, р, 1)

о.24

Рк(3, 5, р, 2) Рк(3, 5, р, 3) Рк(3, 5, р, 4)о. 18 Рк(3, 5, р, 5) Рк(3, 5, р, 6)

о.12

Рк(3, 5, р, 7) Рк(3, 5, р, 8)

рк(3, 5, р, 9)о.о6,

о

о 5 1о 15 2о 25 3о 35 4о 45 5о

р

Рис. 9. Вероятности состояний системы для случая к = 3, N = 5

Рк(3. 5. р Рк(3. 5. р Рк(3. 5. р

о.3

' 1о) о.275

■ 2о) о.25 , 3о)

Рк(3. 5. р. Рк(3. 5. р.

4о)

5о)

Рк(3. 5. р. 6о) Рк(3. 5. р Рк(3. 5. р Рк(3. 5. р Рк(3. 5. р

7о)

8о)

9о)

1оо)

о.225-

о.2-

о.175 о.15 о.125-о.1-о.о75 о.о5 о.о25 о

5о Р

1оо

Рис. 1о. Вероятности состояний системы для случая к _ 3, N _ 5

1.2. Вероятностные характеристики многоканальной СМО

Перейдём к анализу многоканальных систем массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди. Предположим теперь, что мы имеем многоканальную СМО с однородным бесконечным простейшим потоком заявок и очередью конечной длины. Как и выше, интенсивность потока заявок равна 1, а интенсивность обслуживания, то есть среднее число заявок, которые обслуживает один канал (прибор) в единицу времени, есть т.

Точно так же, как и в случае одноканальной модели, общее время пребывания одной заявки в очереди ограничено некоторым случайным временем t со

средним значением / , и при этом V = ^ • Граф состояний такого рода системы

массового обслуживания имеет вид, изображённый на рис. 11, число каналов в данном случае обозначено буквой т, предельное число заявок, находящихся в очереди, равно N.

Данный граф состояний также представляет собой схему процесса гибели и размножения. В этом случае из общих выражений [6, 7] для вероятностей предельных (стационарных) состояний системы гибели и размножения, к классу которых относится и рассматриваемая нами СМО, можно получить следующие соотношения:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Тхань Банг, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей/ Е.С. Вентцель. -М.: Наука, 1969.-576

с.

2. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложе-ния/Т.Л. Саати. -М.: Советское радио, 1971.-510 с.

3. Вентцель Е.С. Исследование операций/Е.С. Вентцель. -М.: Советское радио, 1972.-552 с.

4. Ивченко Г.И.Теория массового обслуживания/Г.И. Ивченко, В.А. Каштанов, И.Н. Коваленко.-М.: Высшая школа, 1982. - 256 с.

5. Климов Г.П. Теория массового обслуживания/Г.П. Климов. -М.: Изд-во Московского университета, 2011.-312 с.

6. Кирпичников А.П. Прикладная теория массового ния/А.П. Кирпичников.-Казань: Изд-во КГУ, 2008.-112 с.

7. Кирпичников А.П. Методы прикладной теории массового обслужива-ния/А.П. Кирпичников.-Казань: Изд-во Казанского университета, 2011. - 200 с.

8. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функ-ций/М.М. Джрбашян. -М.: Наука, 1966. - 672 с.

9. Гольдберг А.А. Распределение значений мероморфных функ-ций/А.А. Гольдберг, И.В. Островский. -М.: Наука, 1970. -592 с.

10. Кофман А. Массовое обслуживание. Теория и приложения/А. Кофман, Р. Крюон.-М.: Мир, 1965. -302 с.

11. Кокс Д.Р. Теория очередей/Д.Р. Кокс, У.Д. Смит.-М.: Мир, 1966.-218 с.

12. Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания/Дж. Ри-ордан. -М.: Связь, 1966. - 184 с.

13. Основы теории вычислительных систем/под ред.С.А.Майорова.-М.: Высшая школа, 1978. - 408 с.

14. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями /Л. Клейн-рок. -М.: Мир, 1979. - 600 с.

15. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания/Л. Клейнрок. -М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

16. Лившиц Б.С. Теория телетрафика/Б.С. Лившиц, А.П. Пшеничников, А.Д. Харкевич. -М.: Связь, 1979. - 324 с.

17. Саульев В.К. Математические модели теории массового обслужива-ния/В.К. Саульев. -М.: Статистика, 1979. - 96 с.

18. Феррари Д. Оценка производительности вычислительных ма-шин/Д. Феррари. -М.: Мир, 1981. - 576 с.

19. Кёниг Д. Методы теории массового обслуживания/Д. Кёниг, Д. Штойан.-МРадиоисвязь, 1981. - 128 с.

20. CooperR. Introduction to Queueing Theory/R. Cooper. -New York: Elsevier-North Holland, Inc., 1981. - 347p.

21. Матвеев В.Ф. Системы массового обслуживания/В.Ф. Матвеев, В.Г. Ушаков.-М.: Изд-во МГУ, 1984. - 242 с.

22. Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем/И.Н. нах. -Л.: Машиностроение, 1988. - 223 с.

23. Бочаров П.П. Теория массового обслуживания/П.П. Бочаров, А.В. Печинкин. -М.: Изд-воРУДН, 1995. - 529 с.

24. NainP. Basic Elements of Queueing Theory. Application to the Modelling of Computer Systems/P. Nain. -France: INRIA, 1998- 110 p.

25. Атенсиа И.Н. Однолинейная система массового обслуживания с многомерным пуассоновским потоком и повторными заявками / И.Н Атенсиа [и др.]// Автоматика и телемеханика. - 2000. - № 11. - С. 123-138.

26. Головко Н.И. Матричный анализ систем массового обслуживания с конечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока / Н.И. Головко, Н.А. Филинова // Автоматика и телемеханика. - 2000. - № 9.- С. 73-83.

27. Ивановский В.Б. Теория массового обслуживания/В.Б. Ивановский, В.П. Чернов. -М.: ИНФРА-М, 2000. - 158 с.

28. Фомин Г.П. Системы и модели массового обслуживания в коммерческой деятельности/Г.Ф. Фомин. -М.: Финансы и статистика, 2000. - 142 с.

29. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами/Ю.И. Рыжи-ков.-СПб.: Питер, 2001. - 384 с.

30. Дудин В.М. Расчёт характеристик однолинейной системы обслуживания с групповым марковским потоком, полумарковским обслуживанием и конечным буфером/В.М. Дудин, В.И. Клименок, Г.В. Царенков// Автоматика и телемеханика. - 2002. - № 8. -С. 87-101.

31. Тихоненко О.М. Модели массового обслуживания в информационных системах/О.М. Тихоненко. -Минск: Технопринт, 2003. - 327 с.

32. BaccelliF. Elements of Queueing Theory/F. Baccelli, P. Bremaud. -Berlin: Springer-Verlag, 2004.- 245 p.

33. НазаровА.А. Теория массового обслуживания/А.А. Назаров, А.Ф. Терпугов. -Томск: Изд-во НТЛ, 2004. - 228 с.

34. Бочаров П.П. Однолинейная система массового обслуживания конечной ёмкости с марковским потоком и обслуживанием в дискретном времени/П.П. Бочаров, Е.В. Вискова// Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 2. -С. 73-91.

35. Крылов В.В. Теория телетрафика и её приложения/В.В. Крылов, С.С. Самохвалова. -СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 288 с.

36. Южаков А.А. Прикладная теория систем массового обслуживания/А.А. Южаков.-Пермь: Изд-во ПГТУ, 2005.-121 с.

37.Карташевский В.Г.Основы теории массового обслужива-ния/В.Г. Карташевский. -М.: Радио и связь, 2006.-86 с.

38. Назаров А.А. Метод асимптотического анализа в теории массового об-служивания/А.А. Назаров, С.П. Моисеева. -Томск: Изд-во HTJI, 2006. - 109 с.

39. Кузнецов А.В.Об одной модели управляемой системы массового обслуживания / А.В. Кузнецов, А.С. Мандель, А.Б. Токмакова // Проблемы управления. - 2007. - № 5. -С. 39-43.

40. Таранцев А.А. Инженерные методы теории массового обслуживания/ А.А. Таранцев. -СПб.: Наука, 2007.- 175 с.

41. Микадзе З.И. Об одной многоканальной смешанной системе массового обслуживания с ограниченным временем ожидания / З.И. Микадзе, И.С. Микадзе, В.В. Хочолава // Автоматика и телемеханика. -2007. -№ 7. -С. 44-51.

42. Павский В.А. Теория массового обслуживания/ В.А Павский. - Кемерово: Изд-во КТИПП, 2008. - 116 с.

43. Башарин Г.П. Лекции по математической теории телетрафи-ка/Г.П. Башарин. -М.: Изд-во. РУДН, 2009. - 342 с.

44. Вольсков Д.Г. Визуализация процессов работы аэропорта на основе системы массового обслуживания и компьютеризации управления полётами/ Д.Г. Вольсков, Г.Л. Ривин // Известия Самарского научного центра РАН. -2009. -Т. 11. - № 3 (2). -С. 424-429.

45. Головко Н.И. Система массового обслуживания с конечным накопителем и скачкообразной интенсивностью входного потока/ Н.И. Головко, В.В. Катрахов, Д.Е. Рыжков // Автоматика и телемеханика. -2009. -№ 7. -С. 97110.

46. Степанова Н.В. Математическая модель торговой точки в виде системы массового обслуживания с отказами от постановки в очередь. Часть 1. Выходящий поток обслуженных требований/ Н.В. Степанова, А.Ф. Терпугов // Вестник Томского гос. ун-та, Управление, вычислительная техник аи ка. -2009. - № 1 (6). -С. 59-68.

47. Назаров А.А. Стохастическая модель демографических процессов как автономная система массового обслуживания / А.А. Назаров, М.Г. Носова // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. -Т. 16. -Вып. 6. -С. 10981099.

48. Яшков С.Ф. Предисловие к тематическому выпуску «Столетие теории очередей»/С.Ф. Яшков //Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 12. -С.3-8.

49. Yue W. Advances in Queueing Theory and Network Applications / W. Yue,Y. Takahashi,H. Takagi. -NewYork: SpringerScience+BusinessMedia, 2009. -315 p.

50. AlfaA.S. Queueing Theory for Telecommunications/A.S. Alfa. -NewYork: SpringerScience+BusinessMedia, 2010. - 238p.

51. Назаров А.А. Исследование математической модели демографических процессов в виде пятифазной системы массового обслуживания/А.А. Назаров, М.Г. Носова //Вестник Сибирского гос. аэрокосмического ун-та имени академика М.Ф. Решетнёва. - 2010. -№. 1(27). - С. 49-52.

52. Радченко Т.А. Методы анализа систем массового обслужива-ния/Т.А. Радченко[и др.].-Воронеж: Изд-во ВГУ, 2011.- 75 с.

53 Дупляков В.М. Выбор закона распределения входного потока заявок при моделировании системы массового обслуживания торгового предприятия/ В.М. Дупляков, Ю.В. Княжева//Вестник Самарского аэрокосмического ун-та имени академика С.П. Королёва. -2012. - №6(37). -С. 102-111.

54. Абаев П. Моделирование работы SIB-сервера с помощью системы массового обслуживания с гистерезисом и прогулками в дискретном времени/П.О. Абаев, Р.В. Разумчик // Т-Сотт-Телекоммуникации и Тран-спорт. -2012. - № 7. -С. 5-8.

55. Романенко В.А. Оптимизация управления технологическими процессами узлового аэропорта как системы массового обслуживания с нестационарными потоками и частичной взаимопомощью каналов/ В.А. Романенко// Управление большими системами. - М.: Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН, 2012. - Вып. 36. -, С. 209-247.

56. Степанова Н.В. Математическая модель торговой точки в виде системы массового обслуживания с отказами от постановки в очередь. Часть 2. Поток заявок, отказавшихся от обслуживания/Н.В. Степанова, А.Ф. Терпугов // Вестник Томского гос. ун-та. Управление, вычислительная техникаи информатика. -2012. - № 2 (19). -С. 51-58.

57. Абрамов П.Б. Оценка параметров систем массового обслуживания с учётом последействия в потоках обслуженных заявок/ П.Б. Абрамов, А.В. Леньшин // Успехи современной радиоэлектроники. -2013.- № 9.- С.45-48.

58. Абрамов П.Б. Существование и устойчивость решения систем дифференциальных уравнений для разомкнутых моделей систем массового обслуживания/ П.Б. Абрамов, А.В. Леньшин // Вестник Воронежского ин-та МВД России. -2013. - № 4. - С. 182-189.

59. Мокров Е.В. Модель системы облачных вычислений в виде системы массового обслуживания с несколькими очередями и групповым поступлением заявок/Е.В. Мокров, К.Е. Самуйлов // Т-Сотт-Телекоммуникации и Транспорт. -2013. - № 11. -С. 139-141.

60. Княжева Ю.И. Повышение эффективности системы массового обслуживания торгового предприятия посредством численного статистического модели-рования/Ю.В. Княжева// Вестник Новосибирского гос. ун-та.Социально-экономические науки. - 2014.-Т. 14. -Вып. 2. С. 83-100.

61. Ретивин А.Г. Гарантийная сервисная служба как системы массового об-служивания/А.Г. Ретивин, А.И. Пестряков, К.А. Павлычев// Вестник Нижегородского гос. инженерно-экономического ин-та. -2014. - № 4 (35.). -С.107-112.

62. Adan I. Queueing Systems / I. Adan, J. Resing. - Eindhoven, The Netherlands: Eindhoven University of Technology, 2015. - 182 p.

63. Bhat U.N. An Introduction to Queueing Theory. Modelling and Analysis of Application/U.N. Bhat. -Basel: Birkhauser, 2015. - 339 p.

64. Смирнов С.Н.Введение в прикладную теорию массового обслужива-ния/С.Н. Смирнов. - М.: Гелиос АРВ, 2016. - 163 с.

65. Рыков В.В. Основы теории массового обслуживания/В.В. Рыков, Д.В. Козырев. -М.: ИНФРА-М, 2016. - 223 с.

66. Моисеев А.Н.Бесконечнолинейные системы и сети массового обслужи-вания/А.Н. Моисеев, А.А. Назаров. -Томск: Изд-во ТГУ, 2017. - 236 с.

67. Сущенко С.П. Математические модели компьютерных се-тей/С.П. Сущенко. -Томск: Изд-во ТГУ, 2017. - 272 с.

68. Пагано М. Модели телетрафика / М. Пагано, В.В. Рыков, Ю. Хохлов. -М.: Инфра-М, 2019. - 178 с.

69. Голованов О.В. Моделирование сложных дискретных систем на ЭВМ третьего поколения/О.В. Голованов, С.Г Дуванов, В.Н. Смирнов. -М.: Энергия, 1978. - 160.с.

70. Кирпичников А.П. Вероятностные характеристики открытой многоканальной системы массового обслуживания с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывание в очереди/ А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи // Вестник Казанского технологического университета. -2016. -Т. 19. -№11. С. 136-139.

71.Кирпичников А.П.Вероятность отказа и вероятность ожидания начала обслуживания в системе с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди/ А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи // Вестник Казанского технологического та. - 2016. - Т. 19.-№21. С. 151-153.

72.Кирпичников А.П. Расчёт среднего числа занятых каналов системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди/ А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи // Вестник Казанского технологического университета. -2017. -Т. 20. -№2. С. 97-99.

73.Кирпичников А.П.Среднее длина очереди в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди /А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи // Вестник Казанского технологического университета. - 2017. - Т. 20. -№6. С.100-104.

74.Кирпичников А.П. Суммарное число требований, находящихся в систе-мемассовогообслуживанияс ограниченнымсредним временем пребывания заявки в очереди/ А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи // Вестник Казанского технологического университета. - 2017. - Т. 20. -№9. С. 104-107.

75. Кирпичников, А.П. Расчёт вероятностных характеристик открытых многоканальных систем массового обслуживания с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания в очереди /А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи// Сборник научных статей «Развитие совре-менной науки: теоретические и прикладные аспекты», Пермь, 2016. - С. 9-11.

76. Кирпичников, А.П. Средняя длина очереди в системе массового обслуживания с ограничениями / А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи// XXX Международная научная конференция «Математические мето-ды в технике и технологиях ММТТ-30», Санкт-Петербург, 2017. - С. 41-43.

77. Нгуен Тхань Банг. Коэффициент загрузки системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди / Нгуен Тхань Банг, А.П. Кирпичников // Международная научно-практическая конференция «Тенденции развития логистики и управления цепями поставок», Казань, 2017. - С. 205-208.

78. Нгуен Тхань Банг. Расчёт вероятности отказа и вероятности ожидания начала обслуживания в системе с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди / Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, А.П. Кирпичников // Международная научно-практическая конференция «Проблемы взаимодействия науки и общества», Волгоград, 2018. - С. 5-8.

79. Нгуен Тхань Банг. Вероятность отказа и вероятность ожидания обслуживания в системе с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди / Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, А.П. Кирпичников // Международная научно-практическая конференция «Новая наука: история становления, современное состояние, перспективы развития», Ч. 2, Казань, 2018. - С. 11-14.

80. Нгуен Тхань Банг. Расчёт среднего числа заявок в очереди в системе с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди / Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи, А.П. Кирпичников // Международная научно-практическая конференция «Единство идентичность науки: проблемы и пути решения», Волгоград, 2018. - С. 7-10.

81. Кирпичников, А.П. Расчёт средней длины очереди в системе массового обслуживания с ограничениями / А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи // XV Международная научно-практическая конференция «Фундаментальные и прикладные научные исследования: актуальные вопросы, достижения и инновации», Пенза, 2018. - С. 12-15.

82. Бусарев М.И. Функция Миттаг-Леффлера в прикладных задачах теории массового обслуживания / М.И. Бусарев, А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс // Вест-никКазанского технологического университета. - 2011. -Т. 14. - № 22. - С. 155161.

83. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции- 2-е изд., исправ. /А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 632 с.

84. Грэхем Р. Конкретная математика. Основание информатики / Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. -М.: Мир, 1998. - 704 с.

85. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции- 2-е изд., исправ. / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. -664 с.

86. Справочник по специальным функциям/под ред.М. Абрамовица и И. Стиган.-М.: Наука, ГРФМЛ, 1989.-832 с.

87. Смирнов Н..В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений / Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский. - М.: Наука, 1969. - 312 с.

88. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения / В. Феллер. - М.: Мир, 1964. - 498 с.

89. Боровков А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровков. - М.:Эдиториал УРСС, 1999. - 472 с.

90. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений /И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. -М.: Наука. ГРФМЛ, 1963. - 1100 с.

91. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы /Г.Б. Двайт. -М.: Наука, 1983. - 228 с.

92. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука / Р. Шеннон. -М.: Мир, 1978. - 420 с.

93. Советов Б.В. Моделирование систем / Б.В. Советов, С.А. Яковлев. -М.: Высшая школа, 2001.-344 с.

94.Лоу А. Имитационное моделирование / А. Лоу, В. Кельтон. -СПб.: Питер, 2004. -848 с.

95. Замятина Е.Б. Современные теории имитационного моделирования / Е.Б. Замятина. -Пермь: Изд-во ПГУ, 2007.-120 с.

96. Строгалев В. П. Имитационное моделирование / В.П. Строгалев, И.О. Толкачева. - М.: МГТУ им. Баумана, 2008. -296 с.

97. Шрайбер Т.Д.Моделирование rnGPSS/Т.Д. Шрайбер.-М.: Машиностроение, 1980. - 592 с.

98. Томашевский В.Н.Имитационное моделирование в среде GPSS/В.Н. омашевский, Е. Г. Жданова. -М.: Бестселлер, 2003. - 416с.

99. Боев В.Д. Моделирование систем, Инструментальные средства GPSS WORLD/В.Д. Боев. -СПб.: БХВ-Петербург, 2004.-368 с.

100. Кудрявцев Е.М. GPSS World, Основы имитационного моделирования различных систем/Е.М. Кудрявцев. -М.: ДМК Пресс, 2004.-320 с.

101.Бражник А.Н. Имитационное моделирование: возможности GPSS WORLD / А.Н. Бражник. - СПб.: Реноме, 2006. - 440с.

102. Алиев Т.И.Основы моделирования дискретных систем / Т.И. Алиев. -СПб.:Изд-во СПбГУ ИТМО, СПб, 2009. -363 с.

103. Девятков В.В. Имитационные исследования в среде моделирования GPSS STUDIO/ В.В. Девятков, Т.В. Девятков, М.В. Федотов. -М.: Вузовский учебник, 2018. - 282 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Публичнее акционерное общество «Промсвязьбанк»

Операционный офис аЗилантя

Приволжского филиала

Касаткина ул., 11а

Казань,Россия, 420015

Телефон: +7 {843)221-85-06

Электронная почта: [e-mail]

БИК 042202803, ОКПО 5176381 >,ОГРН 1027739019142

ИНН 7744000912, КПП 5260020-01

СПРАВКА

Дана Нгуен Тхань Банга в том, что результаты исследования диссертационной работы «Системы массового обслуживания с конечным объёмом накопителя и ограниченным средним временем нахождения требований в очереди», представленной на соискание ученой степени технических наук, используются в качестве методического инструментария в деятельности ПАО «Промсвязьбанк».

Практический интерес представляют выработанные диссертантом предложения:

- наилучшей организации обслуживания клиентов в сети отделениях банка, С помощью математической модели, представленной в диссертационной работе, с достаточной степенью точности можно описать объекты подобного рода, поскольку в данной модели учитывается как то, что при затянувшемся ожидании в очереди часть потенциальных клиентов может покинуть отделение, не дождавшись начата обслуживания, так и другое, особенно важное в данном случае, обстоятельство, заключающееся в том, что площади отделений банка, отведённые для работы с клиентами, как правило, ограничены, и не всегда вмещают всех потенциальных клиентов при чрезмерном возрастании входного потока;

-принятые в соответствии с указанными автором рекомендациями меры позволили сократить финансовые издержки, вызванные неоправданным уменьшением количества потенциальных клиентов при возрастании нагрузки со стороны входного потока.

Управляющий

Операционном офисом «Знлант» Приволжского ф-ла ПАО «Промсвязьбанк»

(должность отвбяктвеняаан работника)

Индивидуальный предприниматель Галеева Т. Н.

2019 г.

АКТ О ВНЕДРЕНИИ

Настоящим актом подтверждается, что результаты диссертационной работы аспиранта Нгуен Тхань Банга «Системы массового обслуживания с конечным объёмом накопителя и ограниченным средним временем нахождения требований в очереди» были использованы для улучшения организации обслуживания покупателей в сети магазинов и торговых точек розничной торговли продуктами питания. Построенная в диссертационной работе математическая модель, описывающая системы массового обслуживания с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания заявок в очереди на обслуживание, имеет прямое отношение к деятельности сети розничной торговли, поскольку небольшие торговые точки, как правило, имеют ограниченную свободная площадь. Одновременно с этим существенное значение имеет уход части покупателей из очереди вследствие затянувшегося, по их мнению, ожидания начала обслуживания.

В соответствии с результатами, представленными в диссертационной работе, был предпринят ряд конкретных мер, которые привели к значиетль-ному увеличению пропускной способности торговых точек при пиковом возрастании потока покупателей, что позволили стабилизировать прибыль и укрепить финансовое положение торговой сети.

Индивидуальный предприниматель

Т.Н. Галеева