Система осцилляторов, связанных единой управляющей функцией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Салобутина, Евгения Олеговна

• Салобутина, Евгения Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Салобутина, Евгения Олеговна

Введение

1 Задача оптимального управления балкой Тимошенко

1.1. Постановка задачи.

1.2. Переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

1.3. Оптимальный синтез в задаче управления гармоническим осциллятором с квадратичным критерием качества.

2 Особые экстремали второго порядка

2.1. Особая траектория. Порядок особой траектории

2.2. Особые режимы второго порядка.

2.3. Траектории с учащающимися переключениями.

2.4. Локально-оптимальный синтез, содержащий четтеринг-траектории

3 Задача минимизации среднеквадратичного отклонения двух связанных осцилляторов от положения равновесия

3.1. Постановка задачи и основной результат.

3.2. Многообразие особых экстремалей

3.3. Существование траекторий с учащающимися переключениями.

3.4. Локальная оптимальность траекторий с учащающимися переключениями.

4 Задача минимизации среднеквадратичного отклонения п связанных осцилляторов от положения равновесия

4.1. Постановка задачи и основной результат.

4.2. Многообразие особых экстремалей

4.3. Существование траекторий с учащающимися переключениями.

4.4. Локальная оптимальность траекторий с учащающимися переключениями.

4.5. Достаточные условия оптимальности особых траекторий.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Система осцилляторов, связанных единой управляющей функцией»

В теории оптимального управления динамическими системами важное • место занимает класс систем, описывающих колебательные процессы. Задачи управления колебаниями всегда привлекали внимание многих исследователей.

Вопросы, связанные с исследованием линейных и нелинейных колебательных процессов, рассматриваются в монографиях Н. Н. Красовского [19], Н. Н. Моисеева [22].

В [31] В. А. Троицким исследуются оптимальные процессы в колебательных системах и на основе полученных оптимальных решений производится оценка предельных возможностей реальных динамических систем.

Проблемам управления колебательными системами посвящена работа Ф. JI. Черноусько, JI. Д. Акуленко, Б. Н. Соколова [34], в которой предлагаются эффективные приближенные методы построения оптимальных решений, построен ряд точных решений типичных задач оптимального перемещения и разгона колебательных систем при различных ограничениях на управляющее воздействие и фазовые координаты.

Вопросы оптимального управления колебательными системами рассматриваются также в работах [1, 20, 23, 30, 35, 36].

В теории оптимального управления колебаниями, возникающими в механических системах, объектом многочисленных исследований является модель колебаний балки Эйлера-Бернулли. Эта модель описывается уравнением в частных производных четвертого порядка [16]: pPoJu + EIu)xxxx = О, где р - плотность массы балки, Е - модуль упругости Юнга, I - момент инерции, Р - площадь поперечного сечения. Здесь ось ОХ совпадает с балкой в положении покоя, w(x,t) - смещение балки в момент t в положении х в направлении, перепендикулярном оси ОХ. В этой модели предполагается выполнение гипотезы плоских сечений Бернулли: сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации; сечения, нормальные к средней линии балки до деформации, остаются к ней нормальными и после деформации.

Развитием системы Эйлера-Бернулли является теория балки Тимошенко, учитывающая инерцию вращения и деформацию сечения, возникающую при колебаниях. Согласно расчетной схеме балки, предложенной Тимошенко, плоские сечения, до деформации нормальные к ее оси, остаются плоскими и после изгиба, но перестают быть нормальными к ее изогнутой оси. Таким образом, в схеме Тимошенко положение каждого сечения деформируемой балки определяется двумя независимыми величинами: поперечным смещением и углом поворота смещения [3, 16, 28, 29, 49].

В настоящей работе рассматривается модель однородной балки Тимошенко в предположении, что левый конец балки прикреплен к диску радиуса г, а движение балки управляется угловым ускорением диска [16]: wtt(x, t)-- wxx{x, t) + - £x(x, t) = -6(t)(r + X),

7 17 1 . (вл)

Ztt{x,t) -£xx{x,t) + -t(x,t) -~wx(x,t) = -6(t), 7 7 где w(x,t) - смещение балки в направлении, перепендикулярном оси балки в положении покоя, t) - угловое смещение поперечного сечения балки в момент t в точке х, 0{t) - угол поворота диска в момент t, 7 > 0 - действительный параметр. Заданы начальные данные и>(х,0) = щ(х), wt(x,0) = w1(x), f(x,0) = £o(x), 6(з,0)=&(®)» xe[0,l],

В.2) и граничные условия w(o,*) = f(o,t) = o, wx(i,t) - £(i,t) = о, &(/,*) = 0. (В.З)

Здесь / - длина балки.

Задача управления медленно вращающейся балкой Тимошенко изучалась в работах [40, 42, 43, 44]. В [40, 42] были получены условия, при которых разрешима задача перевода балки из одного положения покоя (w(x, 0) = wt(x, 0) = £(х,0) = &(z,0) = 0, 0(0) = 0(0) = 0) в другое с заданным углом поворота диска {в(Т) = 0 0(Т) = 0) за достаточно большое время Т. Доказано, что существует не более чем счетная последовательность сингулярных значений радиуса диска, при которых балка является неуправляемой. Найден предел rj при j —> 00.

В работе [43] исследуется задача стабилизации балки. Построено управление u(t), при котором любое решение системы (В.1) при f —► 00 стремится к нулю в следующем смысле:

1 1

J wl(x, t) dx-> 0, J t) dx -> 0, (B.4) о 0 1 1

J w2t{x, t) dx^ 0, J t) dx 0, (B.5) о 0

0(0-0, ±0{t)-+ 0.

Условия (В.4), (В.5) означают, что общая энергия балки стремится к нулю. Отсюда следует, что при t —> оо

Показано, что если значение радиуса диска не является особым, то балка Тимошенко стабилизируема, описан процесс построения соответствующего управления.

В работе [44] получены условия точной управляемости и описаны множества достижимости.

В отличие от работ [40, 42, 43, 44] в настоящей диссертации исследуется задача минимизации среднеквадратичного отклонения балки Тимошенко от положения равновесия. При этом построение оптимального решения в этой задаче основывается на технике режимов с учащающимися переключениями (четтеринг-режимов).

Теория четтеринг-режимов является одной из активно развивающихся в последние годы областей оптимального управления. Первый пример задачи, для которой оптимальное управление имело бесконечное число переключений на конечном интервале времени был приведен А. Т. Фуллером на I конгрессе ИФАК в 1960 году [33]. Это явление получило впоследствии название "феномен Фуллера", а соответствующий способ управления — четтеринг (chattering).

Задача Фуллера, [33].

Решение этой задачи описывается следующим образом. Оптимальная траектория х(t) приходит в начало координат за конечное время; соответствующее оптимальное управление ii(t) имеет счетное число точек переключения с +1 на -1 и обратно.

J w2(x, t) dx-> 0, J e(x, t)dx-> 0 x = y, у = 11 x{0) = x0, y(0) = y0, |u| < 1.

При подходе к началу координат происходит накопление точек переключения управления. Точки переключения для всех начальных условий уо) G R2 лежат на кривой переключения х = —су2 sgn у, где с - некоторое конкретное алгебраическое число, 0 < с < 1/2. В точках фазовой плоскости (х, у), лежащих справа от кривой переключения, и = —1; в точках, лежащих слева, и = +1. Оптимальные траектории в фазовой плоскости имеют вид спиралей, наматывающихся на начало координат с бесконечным числом оборотов (см. рис. В.1).

Затем были найдены и другие задачи, в которых имеет место феномен Фуллера [4, 15, 12, 13, 14, 17, 39, 45, 46, 48, 50, 51]. В работе [47] И. Купка доказал, что для открытого множества гамильтоновых систем принципа максимума Понтрягина с одномерным управлением существует подмногообразие коразмерности 8, которое отвечает системам с четтеринг-режимами. Несколько позднее, в работах М. И. Зеликина и В. Ф. Борисова [15, 50] этот результат был усилен. Доказано, что коразмерность соответствующего подмногообразия равна 7.

Перейдем к изложению результатов работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав, каждая из которых разделена на параграфы. Нумерация теорем, предложений, лемм, определений и замечаний, а также ссылок на формулы сквозная в пределах каждой главы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Салобутина, Евгения Олеговна, 2007 год

1. Акуленко Л.Д., Болотник Н.Н., Каплунов А. А. Оптимизация режимов управления манипуляционными роботами // Препр. Института проблем механики АН. - 1983. - № 218.

2. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979.

3. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. — М.: Машиностроение, 1991.

4. Берщанский Я. М. Сопряжение особых и неособых участков оптимального управления // АиТ. 1979. - № 3. - С. 5 - 12.

5. Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление. — М.: Высшая школа, 2001.

6. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1969.

7. Борисов В. Ф. Структурная устойчивость синтеза оптимальных траекторий в двумерной задаче Фуллера // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. — 1987. № 4. - С. 64 -66.

8. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1988.

9. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления. — М. :Наука, 1973.

10. Зеликин М. И, Борисов В. Ф. Особые оптимальные режимы в задачах математической экономики // Совр. мат. прилож. — 2003. — И. — С. 3 161.

11. Зеликин М.И, Борисов В.Ф. Поля оптимальных траекторий, содержащие особые экстремали второго порядка и экстремали с учащающимися переключениями // ДАН СССР. 1989. - Т. 304, № 5. - С. 1050 - 1053.

12. Зеликин М. И, Борисов В. Ф. Режимы с учащающимися переключениями в задаче управления роботом // ПММ. 1988. - Т. 52, вып. 6. - С. 939 - 946.

13. Зеликин М. И, Борисов В. Ф. Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления // Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова. — 1991.- 197.-С. 85- 166.

14. Зеликин М. И, Борисов В. Ф. Синтез в задачах оптимального управления, содержащий траектории с учащающимися переключениями и особые траектории второго порядка // Мат. заметки. — 1990. — Т. 47, вып. 1. — С. 62 73.

15. Зеликин М. И, Борисов В. Ф. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений // Итоги науки и техники. Серия современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 90, Оптимальное управление 4. М.: ВИНИТИ, 2001.

16. Зеликин М. И., Манита Л. А. Оптимальные режимы с учащающимися переключениями в задаче управления балкой Тимошенко // Прикл. мат. мех. — 2006.- 70, №2.-С. 295-304.

17. Зеликин М. И. Нерегулярность оптимального управления в регулярных эстремальных задачах // Фундам. и прикл. мат. — 1995. — Т. 1, № 2. — С. 399 -408.

18. Зеликин М. И. Оптимальное управление вращением твердого тела // Доклады РАН. 1996. - Т. 346, № 3.

19. Красовский Н. Н. Теория управления движением. Линейные системы. — М.: Наука, 1968.

20. Манита Л. А. Оптимальное управление осциллятором с переменной жесткостью // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. — 1993. — № 6. С. 89 - 91.

21. Манита Л. А. Поведение экстремалей в окрестности особых режимов и негладкие функции Ляпунова в задачах оптимального управления // Фундам. прикл. мат. 1996. - 2, № 2. - С. 411 - 447.

22. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1969.

23. Петухов Л. В. Троицкий В., А. Некоторые оптимальные задачи теории продольных колебаний тержней // ПММ. — 1972. — Т. 36, вып. 5. — С. 895 -904.

24. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1976.

25. Салобутина Е. О. Режимы накопления переключений в задаче одновременного управления колебаниями двух осцилляторов // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. — 2006. — № 3. — С. 25 32.

26. Салобутина Е. О. Режимы учащающихся переключений в задаче оптимального управления колебаниями п осцилляторов // Современная математика. Фундаментальные направления. Оптимальное управление.— 2006. Т.19 - С. 171 - 178.

27. Салобутина Е. О. Режимы учащающихся переключений в задаче оптимального управления колебаниями п осцилляторов // Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. — 2006. Т2. - С. 195 - 198.

28. Тимошенко С. П. Курс теории упругости. — Киев, Наукова думка, 1972.

29. Тимошенко С. П., Янг Д. X., Уивер У. Колебания в инженерном деле.

30. Троицкий В. А. Некоторые оптимальные задачи теории колебаний // Труды ЛПИ им. М. И. Калинина. 1971. - № 318. - С. 54 - 65.

31. Троицкий В. А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. — Л.: Машиностроение, 1976.

32. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.

33. Фуллер А. Т. Оптимизация релейных систем регулирования по различным критериям качества // Труды I конгр. ИФАК (Москва, 1960). Т. 2. — М. 1961. — С. 584 605.

34. Черпоусько Ф. Л., АкуленкоЛ.Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. -М.: Наука, 1980.

35. Черноусъко Ф.Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. — М.: Наука, 1973.

36. Черноусъко Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В. Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. — М.: Наука, 1989.

37. Черноусъко Ф. Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // ПММ. — 1964. Т. 28, вып. 1. - С. 155 - 157.

38. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физикию — М.: Наука, 1985.

39. Dorling С. М., Ryan Е. P. Minimization of поп quadratic cost functional for third order saturating system // Intern. J. Control. — 1981. — V. 34, № 2. — P. 231 - 258.

40. Gugat M. Controllability of a rotating Timoshenko beam // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. — 2001. — 6, C. 333 360.

41. Kelley H. J., Kopp R. E., Moyer H. G. Singular extremals // Topics in Optimization (ed. Leitmann G.) N.Y.,1967. P. 63 103.

42. Krabs W., Sklyar G.M. On the controllability of a slowly rotating Timoshenko beam // Z. Anal. Anwend. 1999. - 18, № 2. - C. 437 - 448.

43. Krabs W., Sklyar G.M. On the stabilizability of a slowly rotating Timoshenko beam // Z. Anal. Anwend. 2000. - 19, № 1. - C. 131 - 145.

44. Krabs W., Sklyar G.M., WozniakJ. On the set of reachable states in the problem of controllability of rotating Timoshenko beams // J. Anal. Appl. — 2003. — 22, JNTe 1. C. 215 - 228.

45. Kupka I. Geometric theory of extremals. Fuller phenomenon // Proc. XXIV Conf. Decision and Control. Lauderdale (Fla.), 1985. - P. 711 - 713.

46. Кирка I. The umbiguity of the Fuller phenomenon: Frace Rep. Inst. Fourier, № 52.- Grenoble, 1986.

47. Кирка I. The umbiguity of Fuller's phenomenon. Nonlinear Controllability and Optimal Control. Monograph Textbook Pure Appl. Math., 133 (ed. by H. Sussman). — N. Y.: Dekker, 1990. P. 313 350.

48. Marchal C. Chattering arcs and chattering controls //J. Optimiz. Theory and Appl.- 1973. V. 11, № 5. - P. 441 - 468.

49. Taylor S., YanS. Boundary control of a rotationg Timoshenko beam// ANZIAM J. Ser. E. 2003 - 44, № 1. - C. 143 - 184.

50. Zelikin M. I., Borisov V. F. Theory of chattering with applications to astronautics, robotics, economics and engineering. — Boston: Birkhauser, 1994.