Синтез скользящих режимов с заданными порядком и качеством при неполной информации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Гатауллина Лилия Аглямовна

• Гатауллина Лилия Аглямовна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Гатауллина Лилия Аглямовна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АЛГОРИТМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ В СИСТЕМАХ С

ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ

ВОЗМУЩЕНИЯХ

1.1. Введение

1.2. Вывод уравнений скользящего движения

1.3. Алгоритмы воспроизведения движений модельных систем с размерностью многообразия скольжения

1.4. Алгоритм приведения в скользящие режимы для линейных объектов

1.5. Выводы

ГЛАВА 2. СКОЛЬЗЯЩИЕ РЕЖИМЫ ПРИ НЕИДЕАЛЬНОСТЯХ

В ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯХ СТРУКТУР И РЕГУЛИРОВАНИЕ

ПАРАМЕТРОВ КОЛЕБАНИЙ УПРАВЛЕНИЯ

2.1. Введение

2.2. Динамика систем на скользящем режиме при запаздываниях в переключениях структур управления

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Выделение независимой разрывной подсистемы

2.2.3. Исследование влияния запаздывания в переключениях на динамику системы

2.2.4. Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости в целом нулевого решения разрывной системы

2.3. Регулирование параметров управления на скользящем режиме в системах с линейным стационарным объектом

2.3.1. Постановка задачи

2.3.2. Синтез гибридного управления с переключаемыми составляющими разрывных параметров при входе в малую окрестность многообразия скольжения

2.3.3. Синтез гибридного управления, асимптотически приводящего системы на подвижное многообразие скольжения или в достаточно малую его окрестность

2.4 Регулирование параметров управления на скользящем режиме в

системах с линейным нестационарным объектом

2.4.1. Постановка задачи

2.4.2. Синтез гибридного управления с переключаемыми составляющими разрывных параметров при входе в малую окрестность многообразия скольжения

2.4.3. Синтез гибридного управления, асимптотически приводящего системы на подвижное многообразие скольжения или в достаточно малую его окрестность

2.5. Выводы

ГЛАВА 3. МНОГОУРОВНЕВОЕ ВЕКТОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ НА СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ

ЗАДАННОГО ПОРЯДКА И КАЧЕСТВА ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ

И НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

3.1. Введение

3.2. Многоуровневое векторное разрывное управление линейными стационарными объектами

3.2.1. Постановка задачи

3.2.2. Синтез фиксированных многообразий скольжения

3.2.3. Синтез многоуровневого векторного управления

3.3. Многоуровневое гибридное управление линейными стационарными объектами

3.3.1. Постановка задачи

3.3.2. Регулирование параметров колебаний многоуровневого гибридного разрывного управления в системе с линейным стационарным объектом

3.4. Многоуровневое векторное разрывное управление линейными

нестационарными объектами

3.4.1. Постановка задачи

3.4.2. Синтез подвижных многообразий скольжения

3.4.3. Синтез многоуровневого векторного управления

3.5. Многоуровневое гибридное управление линейными нестационарными объектами

3.5.1. Постановка задачи

3.5.2. Регулирование параметров колебаний многоуровневого гибридного разрывного управления в системе с линейным нестационарным объектом

3.5.3. Алгоритмы уменьшения энергетических затрат многоуровневого гибридного управления и методы их минимизации для систем с линейными стационарными и нестационарными объектами

3.6. Выводы

ГЛАВА 4. СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И ИХ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЛЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ И

ДРУГИХ ОБЪЕКТОВ

4.1. Введение

4.2. Моделирование системы стабилизации бокового движения самолета с плоскостью скольжения, определяемой по динамической модели с размерностью равной размерности многообразия скольжения при действии неопределенных возмущений

4.3. Моделирование системы стабилизации бокового движения ЛА при применении метода многоуровневого скалярного управления

4.3.1. Применение метода многоуровневого управления для стабилизации движения при возмущениях

4.3.2. Сопоставление управлений по результатам моделирования

систем управления

4.4. Алгоритм угловой стабилизации прибора, инвариантной к моментам сопротивления, в скользящих режимах с

понижаемыми размерностями

4.4.1. Синтез плоскости и прямой скольжения в первой подсистеме для создания скользящего режима заданного качества при неопределенных возмущениях

4.4.2. Синтез плоскости и прямой скольжения во второй подсистеме для создания скользящего режима заданного качества при неопределенных возмущениях

4.4.3. Результаты численного моделирования системы стабилизации оптического прибора

4.5 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез скользящих режимов с заданными порядком и качеством при неполной информации»

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что эффективность управления, определяемая требуемым качеством переходных процессов, сравнительно простой реализацией, малыми энергетическими затратами и регулируемыми установившимися колебаниями самого управления во избежание возможных негативных воздействий на звенья системы, соответствует высокому уровню актуальности. Учет в синтезе управления неопределенных возмущений и неполной информации о состоянии также повышает актуальность. Всеми перечисленными свойствами обладают предлагаемые в работе новые скользящие режимы, в которые приводятся системы управления. Исследованы влияния на динамику системы не идеальностей в переключениях структур управления в виде нечувствительности, гистерезиса и запаздывания в переключениях структур. Предлагаются скользящие режимы: воспроизводящие желаемые модельные движения в условиях ограниченных неопределенных возмущений; имеющие понижаемые в скольжении размерности системы - многоуровневые разрывные управления, приводящие системы в скольжение с малыми размерностями вплоть до движения по прямой; режимы, на которых возникают в свою очередь другие скользящие режимы с уменьшением размерности также до прямой, но и в условиях невыполнения условий инвариантности к возмущениям. Применение предлагаемых методов актуально и в том, что во многом повышает возможности скользящих режимов и существенно расширяет области их применения. В частности, для управления авиационно-космическими летательными аппаратами и оптическими приборами.

Основные результаты по теории систем с переменной структурой (СПС) на скользящих режимах были изложены в работах С.В. Емельянова, Е.А. Барбашина, В.И. Уткина, Б.Н. Петрова, Л.С. Понтрягина, Р.В. Гамкрелидзе, а также в работах и монографиях коллективов авторов. Дальнейшее развитие теория СПС, и в особенности скользящих режимов, получила в работах В.И. Уткина, Э.М. Джафарова, С.В. Емельянова, С.К. Коровина, Г.И. Лозгачева, Л.Г. Ащепкова, А.Г. Лукьянова, С.М. Цонкова, Д.Б. Изосимова, В.В. Кашканова,

6

С.А.Красновой, В.А Уткина, А.В Уткина, В.А.Афанасьева, В.И. Гурмана, в работах Зотеева, Г.Л.. Дегтярева, Т.К. Сиразетдинова, А.С Мещанова, Е.Ю. Самышевой, Р.М. Хайруллина, выполненных в Казанском государственном техническом университете им. А.Н.Туполева, в работах зарубежных ученых J.-J.E. Slotine, J.K. Hedrick, E.A. Misawa, David К., Arie Levant, L. Fridman и многих других авторов. В последние годы исследованиям СПС на скользящих режимах было посвящено большое количество работ не только в России, но и США, Китае, Израиле и в ряде других стран.

В то же время сравнительно мало исследованы вопросы построения СПС на скользящих режимах при неопределенных возмущениях, для которых не выполняются известные условия инвариантности, вопросы регулирования параметров колебаний самого управления, а также задачи воспроизведения в скользящих режимах желаемых, оптимальных модельных движений в условиях действия неопределенных возмущений. Мало исследованными остаются также задачи приведения систем в скользящие режимы с заданной малой размерностью и требуемым высоким качеством переходных процессов в условиях невыполнения известных условий инвариантности. Таким образом, диссертационная работа посвящена актуальной теме, посвященной синтезу управления на скользящих режимах при всех перечисленных неблагоприятных для управления факторах.

В работе решаются следующие задачи:

1. Синтез управления на скользящем режиме, воспроизводящем на подвижном многообразии скольжения желаемое, оптимальное в том или ином смысле, модельное движение в условиях постоянного воздействия на объект управления неопределенных ограниченных возмущений. Синтез алгоритмов идентификации неопределенных возмущений и параметров объектов управления.

2. Исследование динамики систем на скользящем режиме с учетом зоны нечувствительности и гистерезиса в переключениях структур, динамики систем на скользящем режиме при запаздываниях в переключениях структур

управления, регулирование параметров управления на скользящем режиме в системах с линейным стационарным и нестационарным объектом.

3. Синтез многоуровневых векторных разрывных и гибридных управлений с линейными стационарными и нестационарными линейными объектами на скользящих режимах заданного порядка и качества при неопределенных возмущениях и неполной информации о состоянии.

4. Практическое применение результатов исследований в синтезе алгоритмов управления летательными аппаратами и двухосным гиростабилизатором с оптическим прибором и в численном моделировании процессов управления.

5. Анализ результатов моделирования, заключения по возможности построения управлений по предложенным алгоритмам и методикам.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 66 наименований и одиннадцати приложений.

В первой главе рассмотрены алгоритмы стабилизации в системах с линейными объектами при воздействии неопределенных возмущений. В первом разделе главы дана постановка задачи. Во втором разделе дано определение, приведен вывод уравнений скользящего движения на подвижном многообразии пересечения гиперплоскостей. В третьем разделе получен метод тождественного воспроизведения модельного движения, с пониженной размерностью и с повышенным качеством переходных процессов.

Во второй главе исследованы влияния неидеальностей и запаздывания на динамику систем, приведены алгоритмы регулирования параметров управления на скользящих режимах в системах с линейными стационарными и нестационарными объектами. В первом разделе дана постановка задачи. Во втором разделе исследуется динамика систем на скользящем режиме при запаздываниях в переключениях структур управления, приводятся необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости системы. В третьем и четвертом разделах приводится синтез гибридного управления при идентификации и компенсации неопределенностей для систем с линейным стационарным и нестационарным объектами соответственно.

В третьей главе развивается алгоритм построения многоуровневого управления линейными объектами на скользящих режимах заданного порядка и качества. В первом разделе поставлена общая задача. Во втором разделе предложены алгоритмы многоуровневого векторного управления линейными стационарными объектами и порядок синтеза фиксированных многообразий скольжения по заданным качествам переходных процессов. В четвертом разделе предложены алгоритмы многоуровневого векторного управления линейными нестационарными объектами и порядок синтеза подвижных многообразий скольжения по заданным качествам переходных процессов. В третьем и пятом разделах решена задача синтеза многоуровневого гибридного управления для линейных стационарных и нестационарных объектов соответственно, сочетающего в себе преимущества многоуровневого управления с возможностью регулирования параметров колебаний составляющих такого управления.

В четвертой главе рассмотрены несколько примеров численного моделирования разработанных алгоритмов разрывного управления к системам в скользящем режиме при постоянном действии неопределённых возмущений. В первом разделе приведено краткое описание всех примеров и основных результатов моделирования. Во втором разделе рассмотрена задача стабилизации бокового движения летательного аппарата с плоскостью скольжения, определяемой по динамической модели с размерностью равной размерности многообразия скольжения при действии неопределенных возмущений. В третьем разделе рассмотрена задача системы стабилизации бокового движения ЛА при применении метода многоуровневого скалярного управления. Для обоих глав управление сопоставлено со случаем оптимального. Показано, что алгоритмы, просчитанные во втором и третьем разделах имеют преимущества по качеству переходного процесса и энергетическими затратами на управление. В четвертом разделе приведен алгоритм угловой стабилизации прибора, инвариантной к моментам сопротивления, в скользящих режимах с понижаемыми размерностями

В приложении 1 приведен алгоритм воспроизведения в скольжении модельных систем с размерностью исходной системы. В приложении 2 приведен алгоритм построения фиксированных многообразий скольжения в системе с линейными стационарными объектами. В приложении 3 приведен метод приведения в скользящие режимы линейных стационарных объектов с малыми числом логических переключающих устройств. В приложении 4 приведен алгоритм идентификации неопределенностей. В приложении 5 приведен материал по динамике систем на скользящих режимах с учетом зоны нечувствительности и гистерезиса в переключениях структур. В приложениях 6 и 7 приведен синтез гибридного управления в применении к другим известным методам приведения систем с линейным стационарным и нестационарным объектами соответственно в скользящий режим. В приложении 10 приведен синтез управления по углу рыскания для приведения в скольжение системы стабилизации оси оптического прибора. В приложениях 8, 9, 11 приведены листинги программ численного моделирования систем управления с целью демонстрации разработанных алгоритмов.

ГЛАВА 1

АЛГОРИТМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ В СИСТЕМАХ С ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

1.1. Введение

Известно, что системы управления на скользящих режимах обеспечивают, по сравнению с непрерывными управлениями, более высокое качество переходных процессов при ограничениях на управление и координаты состояния в силу их двух основных известных преимуществ: понижение размерности уравнений движения и инвариантность к номинальным и неопределенным ограниченным возмущениям. Кроме того, понижение размерности в скольжении приводит к уменьшению значений коэффициентов усиления и самого управления в результате понижения степени параметров, характеризующих быстродействие систем и входящих в выражения управления. Уменьшение значений управления приводит, как известно, к снижению энергетических затрат на управление, в особенности при повышенных требованиях к быстродействию c увеличением значений указанных параметров.

В данной главе показан новый вывод уравнений скользящего режима (раздел 1.2) для систем с линейными объектами при подвижных многообразиях скольжения. Получаемый результат полностью согласуется с известным методом эквивалентного управления В.И. Уткина для случаев различных объектов (линейных и нелинейных) с линейным вхождением управления [63]. Представлен алгоритм построения подвижных многообразий скольжения с воспроизведением на скользящих режимах модельных, и, в том числе, оптимальных по тому или иному критерию, движений с размерностью меньшей на размерность вектора управления (раздел 1.3). Алгоритм получен для условий действия ограниченных внешних и параметрических возмущений (номинальных и неопределенных) для линейных нестационарных объектов.

В разделе 1.4 получен метод разрывного векторного управления со сравнительно малым числом логических переключающих устройств в системах

с линейными нестационарными объектами, не накладывающий дополнительных ограничений на задание гиперплоскостей переключений и обеспечивающий приведение системы управления в скользящий режим на многообразие пересечения подвижных гиперплоскостей переключений структур с малыми по сравнению с линейными управлениями энергетическими затратами.

1.2. Выводы уравнений скользящего движения

Рассматривается управляемая система дифференциальных уравнений, описывающая возмущенное движение объекта управления вместе с исполнительным механизмом:

x = (A(t) + AA(t))x + B(t) u + D(t) F(t) , (1.1)

где

t e I = (t0,tk], t^ <œ, x e Rn, u e Rm; A(t), AA(t) —nx n- матрица,

B(t ), D(t ) — n x m, n x l - матрицы, F e Rl ; AA(t ) и F (t ) -

неопределенные ограниченные параметрические и внешние возмущения. Предполагается, что матрицы AA(t) и D(t) удовлетворяют условиям инвариантности скользящего режима на многообразии

S(s = (sb...,sm)T = C(t)x = 0), t > tn e I, (1.2)

где t - момент попадания изображающей точки (и.т.) системы (1.1) на

многообразие S (1.2), а C (t ) - m x n - матрица со строками

T —

ct (t) = (cj i (t),..., Cjn (t)), j = 1, m, к внешним и параметрическим

возмущениям F (t ) и AA(t ). Придерживаясь схемы доказательства для случая постоянной матрицы C, можно показать, что условиями инвариантности являются соотношения:

AA(t) = B(t)Лa (t), D(t) = B(t)ЛD (t), (1.3)

где Л а (г) - т х п -матрица неопределенных ограниченных коэффициентов, Л в (г) - т х I - матрица известных функций времени.

Определение 1. Скользящим режимом на многообразии S (1.2) назовем такое движение х(г) в системе (1.1) с управлением и = иск , для которого

Sj (г) = е7 (г)х(г) = 0 V г > гп; г, гп е1, 7 = 1, т. (1.4)

Ограничимся предварительно случаем свободного движения, когда ¥ ) = 0 и в скользящем движении

иск = Кск (г)х , (1.5)

где Кск (г) - т х п - матрица. Рассмотрим взаимно сопряженные с (1.1), (1.5) системы (здесь и далее для упрощения записи функций обозначение времени г за исключением необходимых случаев опускается):

_ (1.6)

е 7 =-[( а + аа)г + кТк вТ

е7, 7 =1 т.

Предполагается, что выполняется обычное для СПС условие

\св\ Ф 0 Vг еI. (1.7)

Теорема 1. Скользящий режим в смысле Определения 1 с векторами е7,

определяемыми из систем (1.6), описывается системой

-1,

X = [ А - в(св)-1 (С + СА)]х.

(1.8)

Доказательство. В скользящем режиме выполняются тождества (1.4). Для этого достаточно, чтобы векторы е7 описывались взаимно сопряженными

с (1.1), (15) системами (1.6). Объединив их в одну систему и используя

матрицы С и С

Т

С =

( т\

еТ

е Т V т у

С = (е1, —, ет X

получаем систему

• Т1 Г71 ГТ7 ГТ7 ГТ7

СТ =-[(А + АА)Т + КТкВТ ]СТ ,

или в результате ее транспонирования

C = -C[( A + AA) + BKK ]. (1.9)

Выражая из данной системы матрицу Кск, при выполнении условия (1.7) получаем

Кск = -(CB)-1[C + C (A + AA)]. (1.10)

Подставляя Кск в (1.1), (1.5), получаем систему

x = [A - B(CB)-1 (C + CA)]x + [E - B(CB)-1 C]AAx где с учетом AA = B Aa (13)

[ E - B(CB)- C]AAx = [ E - B(CB)~X C]B A Ax = ,0)T

то есть

x = [A - B(CB)~l (C + CA)]x + (0,... ,0)T, что в свою очередь можно записать как

x = [ A - B(CB)(C + CA)]x, что соответствует системе (1.8). Теорема доказана.

Следствие 1.1. В системе (1.1) с выполненным условием (1.3) при выводе уравнений скользящего режима по предлагаемой методике можно полагать параметрические возмущения отсутствующими, т.е. полагать AA = 0 Vt е I.

Следствие 1.2. При C = const система скользящего режима (1.8) принимает вид

x = [ A - B(CB)-1CA]x и совпадает с системой, получаемой по методу эквивалентного управления В.И.Уткина.

Замечание 1. В Определении 1 скользящего режима и при выводе системы (1.8) условие S = 0 метода эквивалентного управления и управление u = u экв, находимое по этому условию для системы (1.1), не использовались, что позволяет считать Теорему 1 новым обоснованием метода эквивалентного управления.

Замечание 2. На случай вынужденного движения (F Ф 0) предлагаемый в Теореме 1 подход не распространяется, так как не имеется соответствующей системе (1.1) взаимно-сопряженной системы. Используя, однако, метод эквивалентного управления, можно показать, что при выполнении условия D = BA D (1.3) и для вынужденного движения скользящий режим описывается системой (1.8). Действительно, из условия s = 0 получаем u = u экв = —(CB) _1 [Cx + C (A + AA) x + CDF ] и система скользящего режима после подстановки в систему (1.1) u = uэкв принимает вид

x = [ A — B(CB) —1 (C + CA)]x + [ E — B(CB) —1C ]AAx + [ E — B(CB) —1C ]DF, откуда с учетом условия (1.3) получаем систему (1.8).

Получаем, что при выполнении условий (1.3) вывод уравнений скользящего режима можно производить не по исходной системе (1.1), а приF ф 0, AA ф 0.

Преобразуем систему скользящего режима (1.8) исключением координат. Для этого предварительно разложим вектор x и матрицу C на составляющие:

x = (x1r, x2 T)T, C = (C1, C2), (1.11)

12 12 где x ,x - (n — m)x1, mx1—столбцы, C , C - mx(n — m), mxm—матрицы

и предполагается, что

C 2

Ф 0, Vt e I.

В силу Определения 1 в скользящем режиме

х 2 =-(с2) ~1С1х1. (1.12)

2

Исключая в системе (1.8) субвектор х (1.12) из первых (п - т) уравнений, после отбрасывания последних т уравнений получаем уравнения скользящего режима в преобразованном виде:

X1 = {Л11 - А12(С2)-1С - В1(СВ)-1[С Л11 + с2л21 + С1 -

- (С1 Л12 + с2Л22 + С2)(С2)-1С1]}х1; (1.13)

х 2 =-(С 2)-1С1х1

где А1 j и В1, 1, ] = 1,2, являются блоками матриц А, В с размерами

Ац - (п - т) х (п - т), В1 - (п - т) х т .

Таким образом, в разделе 1.2 получен алгоритм вывода уравнений скользящего режима на подвижном многообразии пересечения гиперплоскостей с переменными коэффициентами, приводящий к системе скользящего режима, совпадающей с получаемой известным методом эквивалентного управления В.И. Уткина, что является дополнительным обоснованием его гипотезы о равенстве нулю на скользящем режиме производной от вектора функций переключений рассматриваемого многообразия.

1.3. Алгоритмы воспроизведения движений модельных систем с размерностью многообразия скольжения

Качество переходных процессов на скользящих режимах, также как и при обычных линейных управлениях, как правило, повышается при прочих равных условиях с понижением размерности системы. В этой связи предлагается в скольжении воспроизводить желаемое движение модельной номинальной системы не п - го порядка (как это рассмотрено в приложении 1), а пониженной размерности, равной размерности (п - т) многообразия скольжения £ (1.2), п - т > т. Для этого рассмотрим систему (1.13) скользящего режима на многообразии £ (1.2) с исключенным в силу ^ = 0 2 2 -1 1 1

субвектором х = -(С 2)-1 С\1) х1. При постоянной и равной единичной 2 2

субматрице С , С = Е, система (1.13) (с учетом нулевых индексов в номинальных субматрицах) принимает вид:

x1 = {A0ii(t) — A0i2(t)C1(t) — B0i(t)(C(t)B0(t))-1[C1(t)A0ii(t) + + A2l(t) + C 1(t) — (C1(t) A0i2(t) + A022(t ))C1 (t)]} x1,

где x

f Л fE

E(n—m)x(n—m)

x Vx J

C1(t)

x1, F(n—m)x(n—m) — единичная (n — m) x (n — m)-

J

субматрица.

В предположении об управляемости модельной номинальной системы

У1 = (A)n(t) — A012(t)C1(t))y1 — B01(t)(C(t) B0(t)) "1«м, (1.15)

19 9 1

где C(t) = (C1(t), C2), C2 = E, им = uonm = Konm(t)y , K0 n —nm x (n — m), и

задается соотношение y =

( П i E Л

i аналогичное для вектора x в

y .2

J

v(n—m)x(n —m)

C1(t)

y

V у

системе (1.14), решим задачу тождественного воспроизведения ее желаемого (оптимального) движения у1^) в системе скользящего режима (1.14).

Пусть модельные начальные условия у1 (¿о) в системе (1.15) задаются

равными начальным условиям х1^) системы (1.33). Тогда, с учетом

приведенных соотношений между векторами х, у и субвекторами х1, у1, получаем:

у1 (¿о) = х^о), у2 (¿о) = х2 (¿о) = -С1 (¿о) х1(^о), (1.16)

1 2

где субвекторы х (¿о), х (¿о) являются произвольными в пределах

1 2

допустимой области Пх, а начальные условия у (¿о),у (¿о) и начальное

значение субматрицы С1 (¿о) по ним находятся.

Потребуем тождественного выполнения равенства правых частей систем (1.14), (1.15):

(ЛопС) - Ао12(г)С\г) - Бо^)(С(0Бо(г))-1[С^)ЛоП(Г) + + Л<,21(0 + С) - (С1(^)Ло12(^) + Ло22^))С\т х1 - (1.17)

- ( Лоц(Г) - Ло12(^)С1(^)) у1 - Бо1(Г )(С (Г) Бо^))-Ч.

Тогда, с учетом равенств (1.16) решения систем будут тождественно совпадать

До = уЧО Уt е I = [^,tk], tk < ъ, (1.18)

а с учетом соотношений

E

(n - m)x(n - m)

1

1 х , y - 1

- C\t) ) ^ - C\t)

будет выполняться и тождественное равенство

x(t) = y(t) Vt g I -[tQ, tk ], tk < <*. (1.20)

Условие (1.17), вместе с условием совпадения начальных условий системы скользящего режима (1.14) и заданной модельной системы (1.15), являются, очевидно, необходимыми и достаточными условиями для тождественного совпадения решений данных двух систем. Для упрощения

нахождения соответствующей этому совпадению субматрицы C^(t) найдем достаточные условия. С этой целью упростим тождество (1.17) до вида

C\t)y1 — [(C\t)Aon(t) + A022(t))C\t)-(C\t)Aii(t) + A02i(t)) + Konm(t)] y1 (1.21) Из данных необходимых и достаточных условий следуют достаточные в виде матричной системы дифференциальных уравнений относительно переменных коэффициентов многообразия S (1.2)

C1 - -C\t)(A0U(t) - Aoi2(t)C\t)) - (A02i(t) - A022(t)C\t)) + Konm(t\ (1.22) Для того, чтобы тождественное воспроизведение началось с

начального момента времени t — to, начальное условие C (to ) для данной системы дифференциальных уравнений должно находиться из условия прохождения многообразия S(s — ( si,..., sm )T — C (t) x — 0) (1.2) через точку начального состояния x(to) исходной системы (1.1):

C (to) x(to) — C1(to) x1(to) + x 2(to) — 0, (1.23)

E

(n - m)x(n - m)

y1 (1.19)

1 2

где субвекторы х (¿о), х (¿о) являются произвольными в заданной области, х еПх с Яп, х(£) - у(^), и, следовательно, субматрица С1^) должна

'X

удовлетворять условию

C^q) y\to) + У 2(to) = 0. (1.24)

В результате получаем систему дифференциальных уравнений порядка (1 + m) х (n — m) из двух связанных подсистем для нахождения

аналитического выражения m х (n — m) - субматрицы Копт (t) (с переменными

и зависящими от субматрицы C1(t) и субвектора y1(t) параметрами kjj опт (t)) по модельной системе (1.15) с начальными условиями

y1(to) = x1(to) gQx и для численного нахождения mх(n — m)- субматрицы

C1(t) по системе (1.22) при начальных условиях C1(to) (1.24) для численного

нахождения матрицы Копт (t) управления им = иопт = Копт (t) y1:

y1 = (Ao11(t) — Ao12(t)C1(t))y1 — BQ1(t )(C (t)Bo(t))—1 Копт (t)y1, (1 25)

C1 =—C1(t)(Ao11(t) — AQ12(t )C1(t)) — (AQ21(t) — Ao22(t )C1(t)) + К опт (t). Построение модельного управления им упростится при задании в качестве модельной системы вида

y1 = (Ao^t) — AQ12(t)C1(t))y1 — BQ1(t)uM (1.26)

при условии ее управляемости и выполнения для вектора y соотношения (1.19). В этом случае тождество (1.17) преобразуется к виду

{A^t) — Aon(t )C1(t) — BQ1(t )(C (t) Bo(t))—1[C1(t) AQ11(t) + + Ao21(t) + C 1(t) — (C1(t) AQ12(t) + AQ22(t ))C1(t)]} X1 = = (AQ11(t) — Ao12(t)C1(t))y1 — Bo1(t)uM, Vt g I = [tQ,tk ], tk < или (после сокращений с учетом x(t) = y(t) в Vt g I = [íq, tk ], tk < приравнивания сомножителей при матрицах Bo1 и умножения левой и правой частей получаемого тождества на матрицу CBo ) до вида

С1 у1 - (ЛоП(1) - Л012^)С1^)у1 - (Л021^) - Л022(1)СХ(1))уХ +(фо (^опт (1.46) В результате вместо уравнений (1.25) для определения матрицы Копт ^)

и субматрицы С ^) для тождественного воспроизведения желаемого

модельного движения у1 ^) приходим к системе из двух связанных подсистем

У1 = (Лоц(^) -Ло12«)С1а))у1 - ВоШоптЦ)У\

(128)

с 1=-с1а )(Л Л011а) - Л012а )С1« )) - (Аог^) - Ло^ц )с1а))+(С (^ ($копт«),

в которых начальные условия у1^) и С1^) задаются и определяются в соответствии с равенствами (1.23) и (1.24).

Нахождение матрицы Копт в системах (1.25), (1.28) по первым

(модельным) подсистемам затруднено тем, что элементы субматрицы С^) заранее ни аналитически, ни численно не известны, а находятся только численно в процессе управления по вторым подсистемам. В этой связи известные методы синтеза управлений для систем с линейными нестационарными объектами здесь не применимы.

В случае системы (1.1) регулярной формы (в частности, в форме Фробениуса), при которой субматрица В01 = 0, воспроизведение модельных движений не осуществимо. В этом случае предлагается либо произвести неособенное преобразование координат с постоянной матрицей, либо

субматрицу С1(1) находить непосредственно по системе (1.14), которая принимает вид

X1 = (Л0П(!) - Л012^)С1(!)) х1, (1.29)

где т х (п - т) - матрица ) принимается за искомую матрицу

модельного управлении им = Копт ) х1 =-С1(:) х1.

В случае, если система (1.29) не принимает регулярную форму, управление им = Копт ) х1 =-С1(:) х1 предлагается находить как

обеспечивающее экспоненциальное уменьшение нормы субвектора х1(1) в

20

заданное число раз за требуемое время с нулевым установившимся значением х1 (да). Иначе для их применения в данной системе предварительно делается неособенное преобразование координат с постоянной матрицей, а в случае постоянных матриц Л0ц, Ло12 применяется метод модального управления.

Если исходная система (1.1) имеет форму Фробениуса (либо преобразована к такому виду) при скалярном управлении, то есть при т = 1, либо состоит из нескольких таких не связанных (в результате формирования

исходного вектора управления и) подсистем и субвекторы х1 и х2 составлены соответственно из первых координат и каждой последней координаты

подсистем, то субматрица С1^) в управлении им = Копт(1)х1 =-С1(£)х1 задается в виде суммы

С1^) = с\(г) + С2,

где С/ ^) обращает в нули все коэффициенты предпоследних строк каждой

подсистемы, а субматрица С12 формирует эти строки постоянными, с

коэффициентами, обеспечивающими заданное распределение корней характеристического уравнения по методу модального управления.

Таким образом, получен метод тождественного воспроизведения модельного движения, но уже с полным использованием преимуществ скользящего режима в уменьшении размерности системы воспроизводимого желаемого модельного движения с повышением качества переходных процессов. Для объектов регулярной формы получены методы непосредственного нахождения многообразий скольжения по заданному качеству скользящих режимов.

В приложении 2 приведен алгоритм приведения систем с линейным стационарным объектом к регулярной форме, учитывающий воздействие неопределенных параметрических и неопределенных и номинальных внешних возмущений.

1.4. Алгоритмы приведения систем управления в скользящие режимы в номинальном варианте и при неопределенных возмущениях

Из общего метода построения разрывного управления и условий существования скользящего режима и условий попадания и.т. в окрестность многообразия скольжения следуют алгоритмы управления и для линейных стационарных и нестационарных объектов. Рассмотрим этот алгоритм на примере системы с линейным нестационарным объектом при возмущениях. Для решения задачи приведения системы (1.1) на многообразие скольжения S (как показано в приложении 1), представим разрывное управление u в виде суммы согласно

u = Uq + U^a + up , (1.30)

где Uq и u^a , uf - m X1 " слагаемые управления, приводящие систему (1.1) в скользящий режим при отсутствии возмущений и соответственно преодолевающие влияние АЛ, F. Найдем производную вектора s = Cx. Группируя слагаемые в s, в соответствии с представлением (1.30), получаем

s = (Cx + CAx + CBu0) + (CAAx + CBuAA) + (CDF + CBuF). (1.31) Слагаемые uo, Uaa , uf управления u будем находить по необходимым

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гатауллина Лилия Аглямовна, 2018 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем 1//Автоматика и телемеханика. 1974. № 7. С. 33-47.

2. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем II //Автоматика и телемеханика. 1974. № 8. С.39-61.

3. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976, - 424 с.

4. Андронов А.А., Витт В.В., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Второе издание, переработанное и дополненное Н.А. Железцовым. М., Физматгиз, 1959.- 915 с

5. Афанасьев В. А., Мещанов А. С., Сиразетдинов Т. К. Методы проектирования высокоманевренных спускаемых летательных аппаратов. 1,2 // Изв. вузов. Авиационная техника. 1997, № 1,С. 26- 32, № 2, С. 9-13.

6. Ахметгалеев И.И. О стабилизации двумерного объекта с одним управляющим устройством, Материалы Первой Поволжской конференции по автоматическому управлению, Книга I, Казань, 1971, С. 64-71.

7. Бакакин А.В., Уткин В.И. Системы с переменной структурой с запаздыванием в переключающих устройствах, Сб. Системы с переменной структурой и их применения в задачах автоматизации полета, М.: Наука, 1968. С. 64-71.

8. Барабанов А.Т., Катковник В.Я., Нелепин Р.А., Хлыпало Е.И., Якубович В.А., Методы исследования систем автоматического управления, «Наука» 1975 - 448 с.

9. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 224 с.

10. Безводинская Т.А. Сабаев Е.Ф. Исследование особенностей фазового пространства САР с переменной структурой. Автоматика и телемеханика, 1973, № 7. С. 76-79.

11. Боднер В. А. Теория автоматического управления полетом. М.: Наука, 1964. - 700 с.

12. Бородин В.М., Спиридонов И.О., Файзутдинов Р.Н. Анализ динамики системы пассивной стабилизации линии визирования с четырехосным кардановым подвесом// Изв. вузов. Авиационная техника, 2016, № 4. C 38-45.

13. Бромберг П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М.: Наука, 1967.- 324 с.

14. Давлетшина Л.А. Синтез следящей системы с регулируемыми параметрами колебаний разрывного управления на скользящем режиме XIX Туполевские чтения. Международная молодежная научная конференция. 24-26 мая 2011. Материалы конференции. Том III. Казань, 2011. C.314-316.

15. Давлетшина Л.А., Мещанов А.С. Скользящий режим заданного порядка в системах Фробениуса с линейными стационарными объектами при возмущениях. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. № 2. С.148-156.

16. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: управление при неопределенности.- М.: Наука. Физматлит, 1997.-352 с.

17. Емельянов С.В.Системы автоматического управления с переменной структурой. М., Наука, 1967,-336 с.

18. Корн Г., Корн Т.. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., Наука, 1973 г., 832 с.

19. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976, 184 с.

20. Лукьянов А.Г., Уткин В.И. Методы сведения уравнений динамических сис-тем к регулярной форме. Автоматика и телемеханика, 1981, № 4, С.5-13.

21. Лунц Г.Л., Эльсгольц Д.Э. Функции комплексного переменного с элементами операционного исчисления. Гос. издательство физико-математической литературы, М.,1958.-298 с.

22. Мещанов А.С. Анализ устойчивости и синтез систем управления с нелинейными нестационарными объектами при неопределенных возмущениях. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2010, № 2, С. 110-117.

23. Мещанов А.С. Идентификация и компенсация возмущений в управлении нелинейными объектами. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2010, №,3, С. 164-173.

24. Мещанов А.С. Исследование системы переменной структуры с форсированным скользящим режимом. В кн. И.И. Ахметгалеев, Ю.В. Александров, А.С. Мещанов, Н.Н. Маливанов. Экспериментальные методы исследования нелинейных и самонастраивающихся систем автоматического управления. Учебное пособие. Казань, 1983 г. С. 23-43.

25. Мещанов А.С. Методы построения многообразий скольжения и управления спутником наблюдения с инерционными приводами при неопределенности. Авиационная техника. 2009, №3. С. 17-23.

26. Мещанов А.С. Методы построения разрывных управлений и поверхностей переключения в многомерных системах. Изв. вузов. Авиационная техника, 1981, № 2, с.39-44

27. Мещанов А.С. Об одном алгоритме управления в системах переменной структуры, Труды КАИ,1975, вып.187.с. 42 - 48

28. Мещанов А.С. О приведении в скользящий режим многомерных разрывных систем с нелинейным нестационарным объектом управления. В кн.: "Устойчивость движения", Новосибирск: Наука, 1985. с. 230 - 234.

29. Мещанов А.С. О режимах движения в системах с разрывом управления на двух гиперплоскостях, Изв. Вузов. Авиационная техника. 1976. № 2. с. 61- 67.

30. Мещанов А.С. Приведение линейных стационарных объектов на многообразия скользящего режима при неопределенностях// Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2013. № 2. С.157-163.

31. Мещанов А.С. Приведение линейных нестационарных объектов с идентификатором состояния к модельному движению при

неопределенности // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2008. №4. С.127-134.

32. Мещанов А.С. Приведение линейных нестационарных объектов с идентификатором состояния к модельному движению при неопределенности. Вестник КГТУ, 2008 г., № 4, С.127-134.

33. Мещанов А.С. Приведение на подвижное многообразие скольжения систем с линейными нестационарными объектами в общем случае входа неопределенных возмущений. - Авиакосмическое приборостроение, № 5, 2008.- С.16-20.

34. Мещанов А.С.. Регулирование колебаний на скользящих режимах для нелинейных объектов. XII Всероссийское совещание по проблема управления ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г. Труды [Электронный ресурс] М.: Институт проблем управления им.

B.А.Трапезникова РАН. 2014. С. 564-577.

35. Мещанов А.С. Режимы скольжения, переключений и линейного векторного управления с заданным качеством переходных процессов при неопределенности. Авиационная техника. 2010, № 4, С. 12-18.

36. Мещанов А.С. Синтез линейных систем с заданным качеством процессов управления по норме вектора состояния. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2009, № 4, С. 107-114.

37. Мещанов А.С. Скользящие режимы в системах с нелинейными нестационарными объектами при невыполнении инвариантности. В кн.: Аналитическая механика, устойчивость и управление: Труды XI Международной Четаевской конференции. Т. 3; Секция 3. Управление. Ч. 1. Казань, 14-16 июня, 2017 г. - Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2017. С. 105-119.

38. Мещанов А.С. Скользящие режимы с заданными размерностью и качеством в системах с линейными стационарными объектами при неопределенности. -Авиакосмическое приборостроение, № 2, 2009. -

C.22-27.

39. Мещанов А.С Синтез многообразия скольжения и управления с идентификатором состояния при неопределенности. Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева. 2008, № 3.- С. 92-97.

40. Мещанов А.С. Синтез многоуровневых векторных управлений для скользящего режима заданного порядка. Вестник КГТУ им.А.Н. Туполева. 2007, № 4, С. 47-51.

41. Мещанов А.С. Уравнения скольжения на подвижных многообразиях и синтез векторных управлений для нелинейных объектов при неопределенных возмущениях. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2008, № 2, С. 51-56.

42. Мещанов А.С. К решению задачи слежения в управлении многозвенными манипуляторами с инерционными приводами в условиях неопределенности. Изв. вузов. Авиационная техника, 1996, № 3, с. 30 -37.

43. Мещанов А.С. К синтезу многообразий скольжения в построении эффективных разрывных управлений//Вестник КГТУ, 2012, № 4, вып.2. С.259-269.

44. Мещанов А.С., Гатауллина Л.А.. Управление линейными нестационарными объектами на скользящих режимах заданной размерности при возмущениях и неполной информации. «Вестник технологического университета». Казань, КНИТУ, т.18, № 12, 2015, С. 149-154.

45. Мещанов А.С., Давлетшина Л.А. Воспроизведение модельных движений с пониженной размерностью на скользящем режиме. В кн.: Аналитическая механика, устойчивость и управление: Труды Х Международной Четаевской конференции. Т. 3; Секция 3. Управление. Ч. II. Казань, 12-16 июня, 2012 г. - Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2012. С. 147-159.

46. Мещанов А.С., Давлетшина Л.А. Динамика систем на скользящем режиме с учетом зоны нечувствительности и гистерезиса в

переключениях структур. Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики «АНТЭ-2011»: Материалы VI Международной научно-технической конференции. Т. 2. Казань, 12 - 14 октября 2011 года. Казань. С. 243-250

47. Мещанов А.С., Давлетшина Л.А. Динамика систем на скользящем режиме при запаздываниях в переключающих устройствах. Труды Третьей российской конференции с международным участием «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения». Россия, Москва, Институт проблем управления, 18-20 апреля 2012 г. СD, С. 765-776.

48. Мещанов А.С., Давлетшина Л.А. Многоуровневое векторное управление линейными стационарными объектами на скользящих режимах заданного порядка и качества при неопределенной и неполной информации. Вестник КГТУ, 2013, № 1. С.131-139.

49. Мещанов А.С., Давлетшина Л.А. Регулирование параметров установившихся колебаний на скользящем режиме в системах с линейными нестационарными объектами при неопределенных возмущениях. I. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2014, № 1. С. 109-116

50. Мещанов А.С. , Давлетшина Л.А. Синтез гибридных управлений в регулировании колебаний на скользящем режиме при неопределенных возмущениях. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2013, № 4, С.272-281.

51. Мещанов А.С., Давлетшина Л.А. Синтез гибридных управлений в регулировании колебаний на скользящем режиме при неопределенных возмущениях // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2013. № 4. С. 272-281

52. Мещанов А.С., Каратаева М.В.. Преобразования структуры управления в уменьшении его энергетических затрат и регулировании колебаний в скользящем режиме. «Вестник технологического университета». Казань, КНИТУ, т.20, № 9, 2017, С.97-103.

53. Мещанов А.С., Тухватов Н.Р.. Идентификация номинальных параметров и неопределенностей линейных объектов. Материалы конференция

«Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах» (УТЭ0СС-2012). Конференция посвящена памяти академика РАН В.М. Матросова. 9-11 октября 2012 г. , г. Санкт-Петербург: ГНЦ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2012.- С.447-450.

54. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний, М.: Наука, 1972.-471 с.

55. Павлов В.А., Понырко С.А., Хованский Ю.М. Стабилизация летательных аппаратов и автопилоты. М.: Высшая школа, 1964,- 484 с.

56. Петров Б.Н., Емельянов С.В. Системы с переменной структурой и их применение в задачах автоматизации полета.- М.: Наука, 1968. 324 с.

57. Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970. 456 с.

58. Розенвассер Е.Н. Периодические нестационарные системы управления, «Наука»,1973.-512 с.

59. Сиразетдинов Т.К. Богомолов А.И. Аналитическое проектирование сложных систем I // Изв. Вузов. Авиац. Техника. -1978. - № 2. - С. 83-91.

60. Сиразетдинов Т.К., Богомолов А.И., Дегтярев Г.Л. Аналитическое проектирование динамических систем. Учебное пособие. Казань, 1978,78 с.

61. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз,1959. - 486 с.

62. Таран В.А., Швецов В.Ф. Влияние гистерезиса на динамику систем автоматического регулирования с переменной структурой, Сб. Системы с переменной структурой и их применение в задачах автоматизации полета. Наука, 1968. С.166-171.

63. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М., Наука, 1974,- 272 с.

64. Уткин В.И., Янг К.Д. Методы построения плоскостей разрыва в многомерных системах с переменной структурой// Автоматика и телемеханика. 1978. № 10. С. 72-77.

65. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями // Математический сборник. 1960. т.51(93), № 1. С. 99-128.

66. Sinswat V., Fallside F. Eigenvalue/eigenvector assignment by state-feedback, Int.J. Control, 1977, vol. 26, № 3, p. 389-403.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Алгоритмы воспроизведения в скольжении движений модельных систем с

размерностью исходной системы

Рассматривается управляемая система дифференциальных уравнений, описывающая возмущенное движение объекта управления с исполнительным механизмом:

x = (A(t) + AA(t))x + B(t) u + D(t) F(t) , (1)

где

t g I = (t0, tk ], t^ x g Rn, u g Rm ; A(t), AA(t)— n x n — матриц,

B(t ), D(t ) — n x m, n x l - матрицы, F g Rl ; AA(t ) и F (t ) -

неопределенные ограниченные параметрические и внешние возмущения. Предполагается, что матрицы AA(t) и D(t) удовлетворяют условиям инвариантности скользящего режима на многообразии

S (s = fo,... ,sm )T = C (t ) x = 0), t > tn g I, (2)

где t - момент попадания изображающей точки (и.т.) системы (1) на

многообразие S (2), а C (t ) - m x n - матрица со строками

Ct (t) = (cj 1 (t), —, Cjn (t)), j = 1, m, к внешним и параметрическим

возмущениям F (t) и AA(t). Найдем такое многообразие S (2), скользящий режим на котором при AA ф 0, F Ф 0 воспроизводит любое движение, осуществляемое в системе (1) с некоторым управлением при AA ф 0, F ф 0. Предположим, что выполняются инвариантности являются соотношения:

AA(t) = B(t)Лa (t), D(t) = B(t)ЛD (t), (3)

где Л a (t ) - m x n -матрица неопределенных ограниченных коэффициентов, Л d (t ) - m x l - матрица известных функций времени. Имеются в виду управления, как с обратной связью, так и задаваемые в виде вектор - функций

времени. Рассмотрим сначала частный случай с обратной связью, когда управление является оптимальным в том или ином смысле и имеет вид:

и = иопт = Копт ()х, где Копт (V)- т х п - матрица известных переменных коэффициентов.

Для дальнейшего решения задачи приведения системы (1) на многообразие скольжения £ (2) представим разрывное управление и в виде суммы

и = ид + иаа + ир , (4)

где ид и и да , ир - т х1 - слагаемые управления, приводящие систему (1) в скользящий режим при отсутствии возмущений и соответственно преодолевающие влияние ДА, р.

Теорема 1. Для воспроизведения в системе (1) с неопределенными возмущениями ДА, р и некоторым разрывным управлением в скользящем режиме на многообразии £ (2) заданного оптимального движения системы (1) с и = иопт = Копт (V)х и ДА = 0, р = 0 достаточно матрицу С(V) многообразия £ (2) определять как решение системы:

С = -С (А + ВКопт ), (5)

при начальных условиях С (¿д ), удовлетворяющих соотношению:

С (¿о М'о ) = 0. (6)

Доказательство. Оптимальное воспроизводимое движение описывается системой:

X = Ах + Виопт, иопт = Коптх. (7)

Скользящее движение на многообразии £ (2) для системы (1) с некоторым разрывным управлением описывается при условии (3) системой:

х = Ах + Виск, иск = Кск х, (8)

где

Кск =-(СВ)-1(С + СА). (9)

Для воспроизведения оптимального движения (7) необходимо и достаточно, чтобы:

иопт = Коптх = Кскх (10)

или

Сх = —С (А + ВКопт) х, (11)

где х - вектор оптимального состояния системы (7) или системы (8), (9). Подставляя матрицу С, находимую из системы (11) при начальных условиях С (¿о) (6), в исходную систему (1) с разрывным управлением, приводящим систему в скользящий режим, будем получать на многообразии £ (2) движение, описываемое системой (1) с и = иопт = Коптх при АЛ = 0, Р = 0. Для выполнения условия (11) в нахождении матрицы С достаточно ограничиться решением системы (5) с начальными условиями С (¿о), определяемыми из соотношения (6). Достаточность условия (5) следует из того, что вектор х в системе (11) не произволен, а принадлежит многообразию £ (2). Теорема доказана.

Система (11) не может быть решена относительно матрицы С (?) на ПК с помощью стандартных программ и моделей, поэтому больший практический интерес представляет решение системы (5), (6). Вместе с тем возможно нахождение необходимых и достаточных условий определения матрицы С без привлечения в них координат состояния х оптимальной системы. Пусть в обозначениях (1.11 глава 1), (1.12 глава 1), принятых для преобразования

системы скользящего режима (1.8 глава 1) к виду (1.13 глава 1), матрица С

является единичной, С = Е — т х п , и равенство (1.12 глава 1) принимает вид:

х2 =—С1х1. (12)

Теорема 2. Для воспроизведения в системе (1), (3) с неопределенными возмущениями АЛ, Р и некоторым разрывным управлением в скользящем режиме на многообразии £ (2), (12) заданного оптимального движения системы (1) с управлением и = иопт = Коптх при АЛ = 0, Р = 0 необходимо и

достаточно матрицу С — (с1, Е) многообразия Я (2), (12) определять из

системы:

С1 = -[С1 (ли + в

1Копт )

+ Л21 + В2 Копт ] + [С1( Л12 + В1К опт ) +

+ Л22 + В2КОпт ]С°

(13)

где

(1 2 I 12

Копт> Копт )= Копт> Копт> Копт-т х - тХ т х т - матрЩЫ

переменных коэффициентов, при начальных условиях С1 (¿о), удовлетворяющих равенству:

С (¿о) х(^) - С1 (¿о) х1^) + х2 (¿о) = 0.

(14)

Доказательство. Докажем сначала необходимость. В Теореме 1 показано, что необходимым и достаточным условием нахождения матрицы С является равенство (11). С учетом зависимости (12) оно запишется в виде:

(Со,о)

Е

V С у

х1 --(с1, Е)(А + ВКопт )

Е

С1

V с У

х1.

(15)

Так как вектор х1 является здесь произвольным, то для выполнения соотношения (1.25) необходимо, чтобы имела место система

(С1,0)

или, с учетом

(с\о)

V С1

V С у

— I

С1, в

Е С1

V В2 у

- -(С\ Е)(л + ВКопт )

Е

С1

(16)

Л + ВК

опт

Л11 + В1Копт Л12 + B1Ki V Л21 + В2 Копт Л22 + В2 К<

2

опт

2

опт у

система (13).

Для выполнения равенства (11) условие (16), а значит, и условие -система (13), являются достаточными. Теорема доказана.

Следствие теорем 1, 2. В случае оптимального управления иопт, заданного в системе (1) в виде некоторой вектор - функции времени и - иопт (?), или времени и координат состояния и - иопт , х), матрицу С для

воспроизведения этого оптимального движения в скользящем режиме необходимо и достаточно определять либо из системы:

Cx = -(CAx + СВиопт ),

либо с учетом связи (12) при C2 = E из системы:

СУ = -[(с1 Au + A21)- (с1 A12 + A22 )c1]x1 - (с1В1 + В2 ) иопт.

Покажем, что условие |CB| ф 0 необходимое для построения разрывных управлений и вывода уравнений скользящего режима, является реализуемым. Теорема 3. Для выполнения в скользящем режиме условия |CB| ф 0

Vt е I достаточно:

1) в системе

С = -С (A + BKCK ) (17)

начальные условия C (to ) задавать удовлетворяющими равенству

C (to) *(fo) = = 0

2) матрицу B(t) входа управления находить для системы (1) согласно системе дифференциальных уравнений:

В = (A + ВКск )В, (18)

где начальные условия B (to) удовлетворяют соотношению:

|C(t0)B(t0)| = M = const ф 0 . (19)

Доказательство. В момент t = t0 в силу условий (19) разрывное управление, приводящее систему (1) в скользящий режим на £(2), существует и в силу условия C(?0)x(t0) = 0 (6) совпадает с управлением скольжения и = иск = Кскx в системе (7), (8), где матрица Кск может принимать те или иные выражения (например, Кск = Копт). Но система (18) является взаимно

• Т7 Т7 Т7 Т7 Т7

сопряженной с системой C =-(A + KCK B )C , которая следует в

Т

результате транспонирования системы (18). Следовательно, элементы С j В;

т т

произведения CB, где С j = (Q j,..., Cn j), В; = (Вц,..., Вп;) , является на

рассматриваемом промежутке I постоянными, откуда получаем выполнение условия |СВ| ^ 0 Vt е I. Теорема доказана.

Замечание 1. Если в системе (1) с разрывным управлением (4) задать матрицу С (/о) так, что условие С ) ) = 0 (5) нарушается, то до момента t = /п > /о попадания и.т. на многообразие Я (2) движение не будет заданным оптимальным. Однако если матрицу С(/) находить из условия и = ио + и да + ир = иопт, с учетом выражений

и0 = (СВ)-1 (к^ + -СЛх- Сх), (20)

где К^ ), К$ = (кБ/д/к ), /, к = 1, т, д/к - символ Кронекера,

ё =(§■ 1,..., ^ )Т, ^ = (/)х - вспомогательные функции переключения,

^/ Ь) = (¿/1 ' ¿/п ^))Г,

К/ =<

= <

К+/ (х, /) < 0 при Б/Я/ > 0,

К-/ (х, /) > 0 при Б/Я/ < 0,

К+/ (х, /) < 0 при Б /Я / > 0,

к-/ (х, /) < 0 при б /Я / < 0, / = 1, т.

(21)

—1 * —1 * и да = (СВ) и да , ир = (СВ) и р, (22)

где и да = (и да 1,..., и да т) , ир = (мрь..., ир т) , согласно которому:

Сх = -САх + к^ + + ида + и^ - СВиопт,

* *

где коэффициенты матриц к^, к$ и составляющие и да , и р претерпевают

разрывы в зависимости от состояния системы (1), (4) (или состояния системы (1) с управлением иопт), то в разрывной системе (1), (4) воспроизводится движение системы (1) с оптимальным управлением при действии возмущений. С момента / > возникновения скольжения выполняется равенство:

и — ид + и да ^ ир — иск , и матрица С(7) находится по ранее полученным системам (5), или (13), где действие возмущений ДА, Р не сказывается.

Замечание 2. Так как система скользящего режима (1.8 глава 1) и система (5) определения матрицы С являются взаимно сопряженными, то с убыванием

в скольжении нормы | ) ||, нормы Су (?) могут возрастать. Коэффициенты

*

С}-1 (7) матрицы С(7) могут выйти за ограничения Су ^(£) < С*1, имеющие

'Л

место при цифровой, и особенно аналоговой, реализации, а также при

моделировании управляющего устройства СПС. Для устранения этого явления

* *

в моменты 7 — 7 , когда Су у (£) > С* у, предлагается скачкообразно уменьшить

*

значения Су у ^) , не нарушая условия ) е £ (2). (Например, разделив

*

одновременно одну или несколько строк или все коэффициенты Су ^ (7 ) на

одно и то же достаточно большое число и не меняя тем самым ориентацию

*

гиперплоскостей б у — 0 в моменты 7 — 7 и, значит, не нарушая условия

*

) е £(2)). Так как в системе (5) определения матрицы С(7) элементы

*

матрицы Копт (7) в моменты 7 — 7 скачков не претерпевают, то в моменты

*

7 — 7 сохраняют свое значение (за счет изменения производной С) и элементы матрицы Кск —-(СБ) 1 (С + СА) — Копт ,а значит, и управление и — иск — Кск х. В реальном скольжении, когда б « 0 и и Ф иск, разрывное управление и (4) претерпевает скачкообразные изменения, так как содержит разрывную составляющую (СБ) 1 JCgg в слагаемом м0 , а слагаемые и да и ир (22) являются также разрывными. Поэтому управление и можно

н

представить как сумму низкочастотной составляющей и — иск и высокочастотной составляющей иВ, период колебаний которой определяется

при аппаратурной реализации управления и малыми неучтенными инерционностью, запаздываниями в переключающих устройствах и другими не идеальностями, а при моделировании на ПК шагом интегрирования системы

дифференциальных уравнений (1). Амплитуда колебаний и определяется текущими значениями составляющих матрицы С (7), вектора состояния х(7) и

коэффициентов в слагаемых и да , ир (1.32) управления. С уменьшением

I II в

нормы | х(£) | в процессе стабилизации амплитуда и затухает. При

в

достаточно малом периоде высокочастотных колебаний и в вектор х(7) в системе (1) практически совпадает с вектором идеального скользящего режима.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Алгоритмы построения фиксированных многообразий скольжения в системах с линейными стационарными объектами

Рассматривается управляемая система с учетом ограниченных внешних и параметрических возмущений:

х — А(г) х+Б(г )и + В(7) Р (г), (1)

где А(7) — А0 + ДА(7), Б(7) — Б0 + ДБ(7), В(7) — Во + ДВ(7), Р(7) — Ро (7) + ДР(7),

т

7 е I — (¿о, ], ^ , и — (и15..., ит) ; Ао, Бо, Во и Ро(0 - номинальные и х п, п х т, п х I — матрицы и I х 1—вектор ограниченных внешних возмущений; ДА(7), ДБ(7), ДВ(7) и ДР(7) - матрицы параметрических и вектор внешних ограниченных неопределенных возмущений. Предполагается, что выполняются условия инвариантности системы (1) к перечисленным возмущениям в скользящем режиме на фиксированном (п — т) - мерном многообразии

£— С^..^ Бт)Т — Схх — 0), (2)

где Сх - т х п — матрица постоянных коэффициентов.

Задачи: 1) определить условия инвариантности к неопределенным и номинальным возмущениям в исходной и преобразованной системах; 2) найти конкретную матрицу преобразования системы к регулярной форме; 3) рассмотреть известный и получить новый метод синтеза фиксированных многообразий скольжения при действии возмущений.

Условия инвариантности к возмущениям в исходной и преобразованной системах. Известными условиями инвариантности скользящего режима на многообразии £ (2) к неопределенным ДЛ(?)х, В(?)ДР), ДВ(7)Ро(7) и номинальным Во (7), Ро(7) возмущениям в исходной системе (1) являются:

ДА(7) — БоЯда(7), Во(7) — Бо^В0 (7), ДВ(7) — БОЯДВ (7), (3)

где Лдл ), Лдр ) и ) являются т х п, т х I и т х I - матрицами

неопределенных ограниченных коэффициентов. С выводом уравнений скользящего режима можно также показать, что условием инвариантности к обычно не принимаемому во внимание возмущению ДВ(/) является условие

ДВ(/) = В0Ядв ). (4) Утверждение. Любое не особенное преобразование координат

г = Мх, \Ы\ ф 0 V / е I = (/0,], <да, (5) в системе (1)-(4) не нарушает инвариантности скользящего режима к

неопределенным ДЛ(/), ДВ(/), ДD(t), Др) и номинальным ) возмущениям. Доказательство основано на том, что для системы (1) в координатах г (5)

г = (МЛ0М_1) г + МДЛМ -1г + МВ0и + МДВи + МБР условия инвариантности по аналогии с (3), (4) преобразуются к виду

МДЛ(1)М-1 = МВ0Лм )М-1, МБ0(/) = МВ0ЛБ ),

(6)

(7)

МДБ(/) = МВ0ЛДл ), МДВ(/) = МВ0ЛДВ ).

Преобразование системы к регулярной форме. Рассмотрим подробней какой должна быть не особенная матрица М (5), чтобы привести систему (6) к регулярной форме, в которой матрица входа управления МВ0 принимает вид

В, ^ ^

МВ0 = М

Г Т> \ ГЪ \

В

'01

V В02 )

'01

V В02 )

(8)

с нулевой (п - т) х т - субматрицей В01и неособенной субматрицей В02:

Г0 ... 0Л

В01 = В01 =

V0 ... 0)

В021 Ф 0

(9)

Раскроем условие (8), (9), представив матрицу М в блочном виде

М

М М12Л

V М 21

М

(10)

22 )

где субматрица Мц имеет размер (п — т) х (п — т) . С учетом (10) условие (8), (9) запишется в виде:

М11Бо1 + М12Бо2 — Бо1 — о(п-т)хт, М21Бо1 + М22Бо2 — Бо2, (11) где неособенная матрица Бо2 задается. Требуется найти такое решение Му,

I, у —1,2, данной системы, чтобы матрица М являлась неособенной.

Рассмотрим один из вариантов решения системы (11) в предположении, что субматрица Бо2 является неособенной: |Бо2 Ф о. Умножая оба уравнения

(11) справа на (Бо2)—1, получаем:

М12 — —М11Бо1Бо2; М22 — Бо2Бо2 — М21(7)Бо1Бо2 •

Определим выражения матрицы М и субматрицы Бо2- Для этого найдем сначала определитель матрицы М . Применим технику вычислений с блочными матрицами. В предположении |Мц| Ф о, получаем:

М — \Мц\М22 — М21МП1М12|; (12)

в предположении |М2^ Ф о -

М\ — М11 — м^М^М^^. (13)

Полагая для решения системы (10), (11), например, Ми — Е — (п — т) х (п — т); М22 — Е — т х т; М21 — о — т х (п — т), (14) получаем выражение для матрицы М

М

г -\\

Е — Бо1БС)21

Vо Е У

(15)

с определителем |М|, равным согласно любому из двух выражений (12) и (13) М — |Мц| х М2^ — 1 Ф о. Субматрица Бо2 в случае (14) должна быть равна не особенной субматрице Бо2: Бо2 — Бо2.

Отметим, что при выполнении условий инвариантности (7) в системе (6) нулевыми являются первые (п — т) строк не только в матрице ЫБ§, но и в матрицах МЛВ и МВ.

Синтез многообразия скольжения

Скользящий режим в исходной системы (1) на (п — т) —мерном

многообразии Я (2) имеет размерность его системы уравнений после исключения т координат равную (п — т).

Покажем, что т х п — матрицу С2 в преобразованной системе (6), например с матрицей М (15), найти по заданным требованиям к показателям качества процессов управления в исходной системе (1) значительно проще, чем непосредственно т х п — матрицу Сх, Сх = С2М. Действительно, применяя с учетом выполнения условий инвариантности известные методы вывода уравнений скользящего режима в исходной системе (1) на многообразии Я (2) с

12 1

матрицей Сх = (Сх, Сх ), Сх—т х (п — т), где

Сх2

Ф 0, получаем систему

х = [ Е — Во(СхВоУХСх ] Ао х, (16)

а после исключения, в силу равенства в скольжении £ = С^х1 + С2 х2 = 0, субвектора х2 = — (С2)—1^С^х1, систему скользящего режима в виде:

х1 = А1 х1, (17)

Е

1

л

(Сх2)—1С1

Е1 - единичная (п — т) х

где А1 = ((Е1,0) — Во1(СхВо)—1Сх )Ао

V (Сх) Сх

х (п — т) — матрица, о — нулевая (п — т) х т — матрица.

Находить матрицу Сх непосредственно по системе (16) или (17) затруднительно, так как искомые коэффициенты данной матрицы входят в систему (17) нелинейно - в виде дробей с их произведениями и в числителях и в знаменателях элементов вектора правой части. Поэтому в работе [26] с этой целью был впервые предложен достаточно общий (для систем в любом нормальном виде) и математически строго обоснованный метод: задается

желаемое распределение Я = (Я,..., Яп_m) собственных значений матрицы

A0 (в соответствии с леммой, согласно которой матрица [E _ Bq(CxBq)~lCx] Aq системы (16) имеет m нулевых собственных значений) и по желаемому распределению Я методами модального управления [3] находится матрица K в системе

x = Aq x + B0 Kx;

далее согласно теореме 2 [26] из матричного уравнения (Aq + BqK)t Ctx = 0 находятся элементы искомой m х п _ матрицы Cx.

Рассмотрим теперь какая система скользящего режима получается для системы регулярной формы (6). Для этого сначала запишем эту систему в виде

Z = (Ao + KA (t)) z + B (t )u + D (t) F (t), (18)

где A0 = MA0 M _, KA (t) = MKA(t )M , B (t) = M (B0 + KB(t)) = B0 + AB (t), D (t) = MD(t).

Система скользящего режима для многообразия с вектор - функцией

* (2)

£ (s = Cxx = CxM ~lz = Czz = 0), Cz = CxM-1, (19) с учетом выполнения условий инвариантности и после исключения в силу

равенства в скольжении s = C^z1 + C.z2 = 0 субвектора z2 = _(C^)_1C^z1, C. = E _ m х m, запишется, согласно условию Bqi = 0 и аналогично системе

(17), в виде

z1 = (E1, 0) Aq

,1

л

_ (Cz2) _1C21

1

z ,

E1

V (Cz ) Cz У

а с учетом Aq = ( Aq^ ), i, j = 1,2, Aq1 1 _ (n _ m) х (n _ m), и задания m х m _

? 2 субматрицы Cz как единичной, C,, = E, в виде:

z1 = Аоц.1 _ Aq12(C1zZ1). (20)

В данной системе (20) с управляемой парой (Аоц, Ао12), произведение — (С12 ) может быть принято за управление с субматрицей

коэффициентов —С^ и матрицей линейного входа в систему Ао12. Для многообразия Я (19) Я(£ = С22 = о), С2 = СхМ—1, т х (п — т) — субматрица С1 сравнительно легко может быть найдена по методу модального управления [3] (в частности, в результате применения пакета программ системы программирования Матлаб) по известному распределению п — т корней характеристического уравнения системы (20) по заданным прямым показателям качества переходных процессов в скольжении. В случае системы (20), принимающей форму Фробениуса (как частный случай регулярной

формы), или определенное число таких подсистем, нахождение субматрицы с\ сводится только к применению формул Виета по заданным корням характеристического уравнения или корням таких уравнений подсистем. По известным субматрицам с\ , С"2, и матрице М (10) не особенного преобразования г = Мх (5) находится матрица Сх многообразия скольжения Я(£ = Схх = о) (2) исходной системы (1). В общем случае субматриц с\ , с2 матрица Сх находится в виде:

Сх = С2М = (С, С2)

Шп М12Л

Vм 21 М 22 У

= (сЫЦ+С22м21, С2Ы12+С2М22), (21)

2

или, в частном случае субматрицы С2 = Е и выражения матрицы М (15), в виде конкретной матрицы:

Сх = СМ = (С\, — С\ Во1Во—2 + Е). (22)

С учетом ограничений на начальное состояние системы и сравнительно малого времени попадания изображающей точки на многообразие скольжения обеспечиваются требуемые показатели качества переходных процессов.

В результате определены условия инвариантности к возмущениям, найдена матрица преобразования системы к регулярной форме, разработан

метод синтеза фиксированных многообразий скольжения по заданному качеству переходных процессов; получен метод синтеза фиксированных многообразий скольжения по заданному качеству процессов при неопределенности.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Методы приведения в скользящий режим с малым числом логических переключающих устройств

Рассматривается система с управляемым нелинейным нестационарным объектом

х — / (х, 7, и), (1)

т т

где х — (х1,..., хп) , и — (и1,..., ит) — векторное разрывное управление,

т —

/ — (/1,..., /п) , / - функции, непрерывные по х,7,и, г — 1,п. Для каждой

составляющей и у управления и вводятся функции б у — б у (х, 7) и поверхности £у (бу (х, 7) — о) переключений ее структур, у — 1, т.

Задачи. Найти составляющие иг разрывного управления и, приводящего систему (1) в скользящий режим на (п — т) — мерном многообразии

т —

£ (б — (¿1,..., Бт ) — о) пересечения поверхностей £у (б у (х, 7) — о), у — 1, т, и

обладающего следующими свойствами эффективности при заданном качестве переходных процессов на скользящем режиме: 1) сравнительно малым числом переключаемых структур и логических переключающих устройств (ЛПУ) данных структур; 2) малым числом ограничений на задание поверхностей £ и

вспомогательных поверхностей О у (^у (х, 7) — о), у — 1, т, переключений

структур; 3) относительно малыми энергетическими затратами на управление и; 4) возможностью регулирования параметрами (амплитудой и частотой) колебаний составляющих и у данного управления и во избежание возможного

негативного влияния высоких частот на исполнительные механизмы (как отмечено С.В. Емельяновым в работе [16]), и возможной близости к резонансным частотам элементов системы управления.

Решение первых двух задач

В работе [28] получены необходимые условия существования скользящего режима и достаточные условия для попадания изображающей

т

точки (и.т.) системы (1) на многообразие скольжения Я(£ = (£1,..., £т) = о) при составляющих и у, имеющих только по две структуры при одном ЛПУ:

и у = и у + (х, £) при £ > о, и у = иу— (х, £) при < о, у = 1, т, (2)

и, следовательно, только т ЛПУ для всего векторного управления и. Отметим, что другие известные методы приведения системы (1) в скольжение, причем только в линейном варианте системы (1.68), требуют при отсутствии ограничений на задание фиксированного (п т) мерного многообразия

скольжения Я(£ = (£1,..., £т) = о) число ЛПУ равное произведению т • п, то есть во столько раз больше, чему равна размерность системы (1) [63]. Но большое число ЛПУ усложняет аналоговую реализацию управления и неоправданно загружает компьютер при цифровой реализации на скользящем режиме (в силу большого числа проверок знаков для каждой из функций

£ух1 < о, у = 1, т, I = 1, п. ). То и другое снижает эффективность управления по

сравнению с предлагаемым управлением (2). Найдем управление (2) в виде удобном для его формирования. Воспользуемся сначала теоремой 1, приведенной в работе [28] (в более подробной формулировке):

Теорема 1 [28]. Для существования в системе (1), (2) скользящего режима

т

на (п — т) — мерном многообразии Я(£ = (£1,..., £т ) = о) необходимо, чтобы в точках поверхностей Я у (£у (х, £) = о) из равенств

Т д£ у -

£ у = £ у (х, £, gу, £ у ) = (э~а<! £ у (х, £)) / (х, £, и) + = о, у = 1, т, (3)

где £у в левой части равенства некоторая задаваемая функция £ у = £ у (х, £, g у, £ у), а в правой части выражение производной £ у в силу

системы (1), следовали равенства ^у (х, 7) — о, а из них (¿у (х, 7) — о и (х, 7) — о) следовали равенства б у (х, 7, ^у, ¿у ) — о (3).

Следствие теоремы 1 [28]. Условиям теоремы 5 удовлетворяют, например, в точках поверхностей £у (б у — о) функции Б у (х, 7, , б у ) вида

Б у + — к; (х, 7 )^у (g у, х, 7) + к; (х, 7 )уу (б у, х, 7)

с функциями к~ , к~ , переключаемыми по алгоритму (1.2) главы 1, или в

gу Бу

более общем случае

Бу ± — 걧 (^ 7)^у (Бу , gу , x, 7) + (^ 7(Бу , gу , x, 7), (4)

где <^у (Бу, gj, х, 7) — о при gу (х, 7) — о; у/у (бу, gу, х, 7) — о при

б у (х, 7) — о, к± (х, 7) Ф о, и, в частности, функции вида

у gу

Б у + — к; (х, 7) g у ( х, 7 ) + К (х, 7 )б у (х, 7). (5)

В частных случаях (4), (5) получаем соответственно системы по 2т нелинейных уравнений для определения структур составляющих и у +, у — 1, т, управления и:

к; (х, 7)фу (бу, gу, х, 7) + (х, 7)уу (Бу, gу, х, 7) —

(6)

— (^ад б у (х, 7 ))Т/ (х, 7 ,(и1,..., иу ±,..., ит )Т) + Зб у / 37; к; (х, 7)gу (х, 7) + (х, 7)бу (х, 7) —

— (^ад б у (х, 7 ))Т/ (х, 7 ,(иь..., и у ±,..., ит )т) + Зб у / 37.

Предполагается, что решения систем (6) существуют в некоторой области (х, 7) сОхТ, Т — [7о, да).