Синтез оптимальных по быстродействию систем управления методом малых приращений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Денисов, Алексей Игоревич

• Денисов, Алексей Игоревич
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Денисов, Алексей Игоревич

ВВЕДЕНИЕ.

1. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ МАЛЫХ ПРИРАЩЕНИЙ.

1.1. Оптимальные системы управления. Основные понятия.

1.2. Системы позиционного управления.

1.3. Применение метода малых приращений для определения точек переключения в случае неосциллирующих объектов управления (позиционное управление).

1.4. Уточнение точек переключения с помощью метода Ньютона.

1.5. Определение опорной траектории.

1.6. Применение принципа максимума для определения точек переключения в случае осциллирующих объектов управления (позиционное управление).

1.7. Применение теоремы о числе переключений для осциллирующих объектов управления.

1.8. Применение метода малых приращений для синтеза следящих систем управления.

1.9. Выводы по разделу.

2, СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.

2.1. Формирование оптимального закона управления по точкам переключения.

2.2. Формирование оптимального закона управления на основе информации только по выходной координате.

2.3. Формирование оптимального закона управления для следящих систем.

2.4. Выводы по разделу.

3. ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ С ОГРАНИЧИТЕЛЯМИ.

3.1. Математическая модель объектов с ограничителями.

3.2. Достаточные условия оптимальности по быстродействию для объектов с ограничителями в форме насыщения.

3.3. Теорема о числе переключений.

3.4. Определение оптимального по быстродействию управления методом малых приращений.

3.5. Выводы по разделу.

4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАЛЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ДЛЯ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМ.

4.1. Синтез оптимального по быстродействию позиционного пневмопривода.

4.2. Синтез оптимального по быстродействию управления для осциллирующего объекта.

4.3. Синтез оптимального по быстродействию следящего электропривода.

4.4. Синтез оптимального по быстродействию следящего электропривода с учетом нежесткости механической передачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез оптимальных по быстродействию систем управления методом малых приращений»

При проектировании систем автоматического управления часто возникает необходимость оптимизации системы по тем или иным критериям исходя из специфики решаемой задачи. Особое место среди задач оптимального управления занимают задачи синтеза управления оптимального по быстродействию. Время регулирования входит в число основных характеристик систем автоматического регулирования. Для многих технических систем уменьшение времени регулирования, то есть повышение быстродействия системы, имеет исключительно важное практическое значение. При этом спроектированные системы обладают, как правило, такими положительными качествами как высокая точность, отсутствие перерегулирования и проч.

Задача синтеза оптимальной по быстродействию системы управления заключается в формировании закона управления в виде функции вектора состояния системы. Решению задач оптимального управления посвящен важный раздел теории автоматического управления - теория оптимального управления.

Математическая теория оптимального управления возникла и сформировалась в конце 50-х годов. Ее основой является принцип максимума и связанные с ним исследования, проведенные группой советских математиков, возглавляемых Львом Семеновичем Понтрягиным [13], [14], [21-25], [61]. Принцип максимума был высказан в качестве гипотезы Л.С. Понтрягиным и был впервые обнародован на международном конгрессе математиков в Эдинбурге в 1958 году. Теория оптимального управления стала развиваться особенно интенсивно после выхода в свет в 1961 году известной работы [60] коллектива ученых, возглавляемого Л.С. Понтрягиным. В этой работе было сформулировано и доказано необходимое условие оптимальности управления, широко известное как принцип максимума Л.С. Понтрягина. Для линей5 ных систем принцип максимума был доказан Р.В. Гамкрелидзе, а для нелинейных - В.Г. Болтянским. Оба они работали под руководством Д.С. Понтря-гина.

Появление принципа максимума повлекло за собой большое число теоретических исследований в области оптимального управления. Вышли в свет многочисленные публикации на эту тему, существенно продвинувшие вперед теорию оптимального управления. Среди них следует отметить работы A.A. Павлова [56], Л.И. Розонэра [65], Л.П. Смольникова [70], В.П. Колесника, ВЛЗ. Солодовникова [41-43], H.H. Красовского [45], Ю.Г. Антомонова [5, 6], A.A. Колесникова [38, 44], В.А. Иванова [37], М. Атанса, П. Фалба [7] и другие. Были сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности, теорема о числе переключений и другие, являющиеся теоретической основой решения задач оптимального управления.

Но, несмотря на обилие теоретических работ по синтезу оптимального по быстродействию управления, если оценивать приведенные в них результаты с практической точки зрения, то их, к сожалению, следует признать весьма скромными. Это объясняется серьезными затруднениями теоретического и технического порядка, которые возникают при построении и последующей реализации оптимального закона управления. Эти трудности обусловлены, прежде всего, высоким порядком дифференциальных уравнений, описывающих движение объекта и нелинейностью реальных технических объектов. Задачей настоящей работы является преодоление указанных трудностей. Рассмотрим их более подробно.

Первая и наиболее серьезная из указанных трудностей связана с тем, что при увеличении порядка математической модели системы управления объем вычислений, необходимых для решения задачи синтеза оптимальной системы, стремительно нарастает. Известный американский ученый, крупный специалист в области оптимального управления Ричард Беллман [8] на6 звал это явление «проклятием размерности». Поэтому в литературе, посвященной синтезу оптимальных по быстродействию систем автоматического управления (см. например, работы [3], [4], [19], [35], [36], [38], [55], [80]), как правило рассматриваются примеры синтеза систем невысокого (второго -третьего) порядка, в то время как реальные технические системы обычно имеют более высокий порядок.

Определенные успехи в решении проблемы порядка дифференциальных уравнений движения достигнуты в работах В.В. Солодовникова и В.П. Колесника [41-43]. Но применение предложенного в этих работах метода синтеза ограничено специфическим требованием, предъявляемым к структуре объекта управления. На практике .объекты с требуемой структурой встречаются не так уж часто. Например, ни гидравлические, ни газовые, ни электрические привода не обладают необходимой структурой. Кроме того, построенный в соответствии с [42, 43] закон управления обеспечивает оптимальную (или близкую к оптимальной) длительность переходных процессов лишь для некоторой области начальных условий.

Некоторыми возможностями по синтезу оптимальных по быстродействию систем автоматического управления высокого порядка обладает метод прогнозирования [67], но его практическое применение сдерживается высокими требованиями, которые он предъявляет к быстродействию цифрового управляющего устройства.

Развитие теории оптимального управления совпало по времени с прогрессом вычислительной техники. Значительное увеличение возможностей ЭВМ, их широкое и повсеместное внедрение в научно-исследовательскую и инженерную практику способствовало разработке приближенных численных методов решения задач автоматического управления вообще и оптимального управления в частности. 7

Следует отметить, что точное решение задачи имеет скорее чисто научный нежели прикладной интерес. Так как поведение реального объекта всегда, хоть и незначительно, отличается от математической модели. Поэтому приближенное решение задачи, выполненное с необходимой точностью, вполне удовлетворяет практические нужды.

Существует множество приближенных методов решения задач оптимального управления (см., например, работы [9], [16], [35], [39], [46-49], [50], [54], [58], [59], [62], [63], [71]). Но большинство из них представляют собой не методы синтеза оптимального управления в общем смысле, а методы определения оптимального программного управления, т.е. позволяют найти оптимальную траекторию для одной начальной точки.

Дадим краткий обзор численных методов решения задач оптимального управления.

История численных методов берет свое начало с Леонарда Эйлера, который предложил заменить искомую непрерывную функцию сеточной, а функционал - соответствующей разностной аппроксимацией. При этом ученым преследовались главным образом чисто теоретические нежели практические цели, так как проведение требуемого для решения задач объема вычислений в то время было абсолютно нереально. Появление ЭВМ в известной степени ослабило проблему о числе операций.

Первые методы численного решения задач оптимального управления были методами градиентного поиска в функциональном пространстве. Вначале они разрабатывались применительно к достаточно простым задачам, и для таких случаев действительно оправдывают себя. Дальнейшее развитие этих методов - метод штрафных функций [77], [59], который позволяет учитывать ограничения различного рода. Эти методы являются достаточно универсальными, но при практической их реализации появляются трудности 8 обусловленные медленной сходимостью, ненадежностью и грубостью результатов.

Из всего многообразия работ, посвященных построению приближенных методов решения задач оптимального управления, как отмечается в [77], можно выделить три главных направления. Первое направление связано с попытками решить систему уравнений, образующих принцип максимума. Второе направление связано с построением минимизирующей последовательности траекторий. Третье направление связано с построением минимизирующей последовательности управлений.

После доказательства принципа максимума, было приложено много усилий по построению достаточно простых и надежных способов решения системы уравнений, образующих его. Все они как правило требуют больших вычислительных затрат.

Интересный метод решения довольно общей задачи оптимального управления был предложен американскими математиками Нейштадтом и Итоном [11], [77]. Однако, сходимость метода была доказана при очень существенном предположении о строгой выпуклости области достижимости, что сильно ограничивает область применимости метода, причем нарушение строгой выпуклости не только лишает силы доказательство сходимости, но и ликвидирует саму сходимость. Кроме того, сходимость метода даже в случае выпуклой области сходимости довольно медленная, а цена одного шага решения достаточно высока. Поэтому в целом метод очень трудоемкий.

Ко второму из направлений, о которых говорилось выше, относится метод приближенного решения вариационных задач, разработанный H.H. Моисеевым и его сотрудниками, являющийся по существу методом спуска в фазовом пространстве. В монографии [53] подробно отражена история развития методов приближенного решения задач оптимального управления группой ВЦ АН СССР под руководством H.H. Моисеева. К сожалению, полный и 9 теоретически обоснованный алгоритм H.H. Моисеева практически не реализуем для прикладных задач на современных ЭВМ, однако содержащиеся в нем идеи породили упрощенные модификации [46], [47]. Последние уже реализуемы и применялись на практике, но вопросы их обоснования встречают серьезные препятствия по существу дела.

Типичным методом построения минимизирующей последовательности управлений является метод последовательной линеаризации [77]. Он предназначен для решения весьма общего класса задач. В вычислительный алгоритм метода входит некоторое число параметров, значения которых очень существенны для эффективности метода. К сожалению, значения этих параметров различны для разных задач и даже для разных этапов решения одной и той же задачи, так что использовать опыт решения предыдущих задач не так просто.

Перечисленные выше методы приближенного решения задач оптимального управления предназначены для отыскания оптимальной траектории, переводящей систему из заданной начальной точки в конечную, т.е. для определения оптимального программного управления. Поэтому они не позволяют определить закон управления в виде функции вектора состояния системы, т.е. решить задачу синтеза и построить поверхность переключения, Эти методы достаточно трудоемки сами по себе, поэтому применять их для определения оптимального управления для некоторого множества начальных точек и расчета таким образом некоторой части поверхности переключения очень затруднительно.

Чтобы решить задачу синтеза оптимального по быстродействию управления и сформировать закон управления в виде функции вектора состояния, необходимо воспользоваться методом, позволяющим построить в фазовом пространстве системы поверхность переключения.

10

Одним из таких методов является изложенный в [74] метод, использующий принцип «попятного движения» Фельдбаума. Он позволяет рассчитать поверхность переключения и задать ее в виде таблицы. Данный метод относительно прост для понимания, но не позволяет справиться с «проклятием размерности», т.к. объем необходимых вычислений при увеличении порядка объекта управления возрастает экспоненциально.

Исходя из вышеизложенного видно, что разработка надежного численного метода синтеза оптимальных по быстродействию систем, который бы обладал достаточной универсальностью, точностью и - главное - позволял рассчитать поверхность переключения для объекта высокого порядка, не сталкиваясь при этом с «проклятием размерности», является весьма актуальной задачей. В настоящей диссертации предлагается ее решение, причем рассматривается не только случай, когда объект управления удовлетворяет условиям теоремы о числе переключений [60] (т.е. когда соответствующий характеристический многочлен имеет вещественные корни), как в большинстве работ, но и случай, когда указанные условия не выполняются. Изложению разработанного метода синтеза оптимального управления, названного автором методом малых приращений, для линейных объектов посвящены работы автора [28-32], [79] и раздел 1 диссертации. При разработке указанного метода автор исходил из того факта, что область начальных условий реальных технических систем ограничена. Поэтому нет необходимости рассчитывать всю поверхность переключения, а достаточно рассчитать лишь ее часть. Это позволило сильно упростить решение задачи.

С достаточно серьезными трудностями приходится сталкиваться и на этапе реализации оптимальной системы. Это связано с тем, что после соответствующих расчетов поверхность переключения (или ее часть, как будет рассматриваться ниже), как правило, задается в виде некоторого дискретного набора чисел. Это предполагает либо получение соответствующих аппрок

11 симирующих зависимостей, либо табличное задание поверхности переключения в виде большого массива чисел, который необходимо хранить в памяти управляющего устройства, и применение соответствующей интерполяции, выполняемой постоянно в ходе процесса управления. Поэтому разработка способа реализации оптимальных систем также является актуальной задачей. Вопросы, связанные с реализацией оптимального закона управления излагаются во второй главе работы.

На практике часто встречаются системы, содержащие различного рода нелинейности. К наиболее важным из них относятся нелинейности, порожденные ограничителями. Примером указанных ограничителей могут служить механические упоры, схемы отсечки тока, зоны насыщения и т.п. Ограничители можно встретить практически в любой технической системе. Фазовый вектор объекта, содержащего ограничители, оказывается ограниченным и не может выйти за пределы некоторой определенной области фазового пространства при любом выборе управления.

Объект, содержащий ограничители, представляет собой нелинейную систему специфического вида. Движение такого объекта описывается дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями, причем разрывными могут быть и его фазовые траектории.

С точки зрения теории оптимального управления объекты, содержащие ограничители, имеют много общего с задачами оптимального управления при ограничениях на фазовые координаты системы. Эти задачи достаточно хорошо изучены (см. [1], [2], [26], [27], [33], [34], [40], [75], [76]).

Условия оптимальности для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями были получены в [60], [12], [18], [72], [73] и некоторых других работах. Однако, формальное распространение результатов этих работ на объекты с ограничителями оказывается невозможным. Дело в том, что для объектов с ограничителями при получении необходимых условий оп

12 тимальности, как и в случае ограничения фазовых координат, часто необходимо сравнить оптимальную траекторию, соответствующую движению на ограничителе, с близкими траекториями, принадлежащими открытому ядру допустимой области. Это сравнение сильно усложняется тем обстоятельством, что движение на ограничителе и свободное движение описываются разными дифференциальными уравнениями.

Вообще, следует отметить, что объекты с ограничителями в теории оптимального управления рассматривались крайне незначительно. Развитию теории синтеза оптимального по быстродействию управления для объектов с ограничителями посвящены работы [20], [51], [52], [68], [69], [78] выполненные под руководством Н.В. Фалдина. В них были сформулированы соответствующие условия оптимальности, приведены примеры синтеза оптимального по быстродействию управления для некоторых объектов с ограничителями.

В настоящей диссертации, также выполненной под научным руководством профессора Н.В. Фалдина, эти идеи получили свое развитие. В главе 3 получены достаточные условия оптимальности по быстродействию для объектов с ограничителями в форме насыщения и соответствующая теорема о числе переключений. Кроме того, разработан способ синтеза оптимального по быстродействию управления для таких объектов с помощью метода малых приращений.

В главе 4 приводятся результаты проведенных исследований по синтезу оптимального по быстродействию управления для различных объектов с помощью разработанного метода, а также приводятся данные по экспериментальному исследованию оптимального по быстродействию электропривода.

Следует отметить, что, к сожалению, теория оптимального управления, бурно развивавшаяся в 60 - 70-е годы, в последние десятилетия прогрессирует слабо. В то время как современная микропроцессорная техника стреми

13 тельно наращивает свою мощность, открывая тем самым широкие возможности для разработки и внедрения в практическое использование оптимальных систем, в теории оптимального управления наблюдается застой. В последние годы немного работ, посвященных этой области теории автоматического управления, выходят в свет. Настоящая работа направлена на развитие методов синтеза оптимальных по быстродействию систем.

Общая характеристика работы. Предметом исследования являются задачи синтеза оптимальных по быстродействию автоматических систем управления.

Целью исследования является разработка методов синтеза оптимальных по быстродействию систем автоматического управления и решение на их основе конкретных задач.

Методы исследования. Для получения основных теоретических результатов были использованы методы математической теории оптимального управления, методы теории дифференциальных уравнений, методы линейной и нелинейной теории автоматического регулирования. При рассмотрении конкретных систем широко использовалось цифровое моделирование.

Основные научные положения, защищаемые в диссертации. На защиту выносятся:

• метод малых приращений для синтеза оптимальных по быстродействию систем позиционного управления объектами высокого порядка (для случаев как неосциллирующего, так и осциллирующего объектов управления);

• метод малых приращений для синтеза оптимальных по быстродействию следящих систем управления;

• достаточные условия оптимальности для объектов с ограничителями типа «насыщение» и теорема о числе переключений для таких объектов;

14

• метод малых приращений для синтеза оптимальных по быстродействию систем для объектов с ограничителями типа «насыщение».

• способы формирования оптимального по быстродействию законов управления.

Достоверность научных положений подтверждена математическими доказательствами, практическим использованием разработанного метода синтеза для различных объектов управления, результатами моделирования на ЦВМ, экспериментальными исследованиями.

Научная новизна работы состоит в разработке метода синтеза оптимального по быстродействию управления, получившего название «метод малых приращений», который позволяет проводить синтез оптимальных систем для различных объектов, как неосциллирующих, так и осциллирующих. Данный метод дает возможность преодолеть одну из наиболее серьезных проблем возникающих при решении задач синтеза оптимальных систем -проблему обусловленную высоким порядком объекта управления. Также в работе получены достаточные условия оптимальности по быстродействию для объектов с ограничителями в форме насыщения, сформулирована и доказана теорема о числе переключений для таких объектов. Основываясь на этих теоремах, метод малых приращений был распространен на объекты с ограничителями в форме насыщения.

Практическая ценность работы состоит в том, предложенный метод синтеза открывает широкие возможности для проектирования оптимальных по быстродействию систем управления реальными техническими объектами, так как он позволяет преодолеть одно из самых серьезных затруднений, порожденное высоким порядком математических моделей объектов управления. Именно это затруднение являлось основным препятствием для широкого использования оптимальных по быстродействию систем управления на практике. Данный метод позволяет решать соответствующие задачи для объ

15 ектов различных классов, в том числе осциллирующих объектов (т.е. для случая невыполнения теоремы о числе переключений) и объектов с ограничителями в форме насыщения.

Результаты НИР внедрены на ГУП КБ приборостроения (г. Тула) и используются в разработке алгоритмов управления электроприводами.

Работа выполнена в рамках гранда государственного комитета РФ по высшему образованию на 1996-97 гг. по фундаментальным исследованиям в области автоматики и телемеханики, вычислительной техники, информатики, кибернетики, метрологии и связи: «Синтез оптимальных по быстродействию замкнутых систем автоматического управления».

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Денисов, Алексей Игоревич

Основные результаты, полученные в работе, сводятся к следующему.

1. Предложен метод, названный методом малых приращений, который позволяет синтезировать оптимальные по быстродействию системы позиционного управления произвольного порядка. При этом синтез оптимального управления сводится к построению в фазовом пространстве, как правило, (п-1) линии переключения (одномерных многообразий). Расчет точек, в которых осуществляется переключение управления, выполняется путем решения некоторой системы линейных алгебраических уравнений. Для объектов, удовлетворяющих теореме о числе переключений, эта система уравнений имеет порядок, совпадающий с порядком объекта управления. Для осциллирующих объектов (в том случае, когда приходится обращаться к принципу максимума Понтрягина) эта система имеет несколько более высокий порядок.

2. Предложенный для систем позиционного управления метод синтеза распространен на оптимальные по быстродействию следящие системы, что также позволяет для данного класса систем преодолеть затруднение, обусловленное высоким порядком математической модели объекта управления. Синтез оптимального управления при этом сводится к построению в фазовом пространстве (при любом порядке объекта управления) точек переключения, которые образуют (п-1) двумерных многообразий.

129

3. Предложен способ формирования оптимального по быстродействию закона управления, как для систем позиционного управления, так и для следящих систем. Этот способ основан на использовании некоторой плоскости переключения, параметры которой изменяются в соответствии с изменениями входного сигнала.

4. Для систем позиционного управления предложен способ формирования оптимального закона управления, который не требует измерения или наблюдения вектора состояния системы, что в ряде случаев ведет к существенному упрощению закона управления.

5. Показано, что, хотя теореме о числе переключений, строго говоря, не удовлетворяют большинство реальных технических объектов управления, при синтезе оптимального управления, как правило, число переключений соответствует этой теореме. Для обоснования возможности формального использования теоремы о числе переключений в ситуации, когда она, строго говоря, не выполняется, предполагается использовать обращение к оптимальной магистрали. Если для системы позиционного управления оптимальная магистраль имеет число переключений, соответствующее теореме о числе переключений, то это означает, что данная теорема «справедлива» и для любой оптимальной траектории.

6. Многие технические объекты содержат различного рода ограничители. Для объектов управления, содержащих ограничители в форме насыщения (этим термином называются ограничители, которые не приводят к разрыву фазовых траекторий системы), получены достаточные условия оптимальности по быстродействию, которые гарантируют абсолютный минимум соответствующего функционала, и доказана теорема о единственности оптимальной по быстродействию траектории. Эти условия имеют сравнительно простой вид и их можно успешно использовать для определения оптимального управления и оптимальной траектории.

130

7. Для объектов с ограничителями в форме насыщения, основываясь на полученных в работе достаточных условиях оптимальности, доказана теорема о числе переключений. Как и в случае линейных объектов управления, эта теорема существенным образом упрощает синтез оптимального по быстродействию управления.

8. Синтез оптимального управления с помощью метода малых приращений путем введения некоторого эквивалентного управления, которое отличается от реально действующего на объект управления, распространен на объекты с ограничителями в форме насыщения. При этом процедура синтеза претерпевает незначительные изменения.

9. Применение разработанного метода синтеза иллюстрируется рассмотрением ряда конкретных примеров, как модельных, так и соответствующих реальным техническим объектам. Эти примеры показывают высокую эффективность предложенного метода.

10. Разработана методика синтеза оптимальных по быстродействию электроприводов на основе двигателей постоянного тока. Эта методика рассмотрена в двух вариантах: учитывающем нежесткость механической передачи и в предположении об абсолютной жесткости механической передачи. Было выполнено экспериментальное исследование, которое позволяет сделать вывод о реализуемости разработанных методик синтеза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая диссертационная работа направлена на развитие методов синтеза оптимальных по быстродействию систем управления. Основное внимание было сосредоточено на разработке метода, который позволил бы преодолеть хорошо известное в теории оптимального управления затруднение, обусловленное высоким порядком математической модели объекта управления, и образно названное Р. Беллманом «проклятием размерности».

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Денисов, Алексей Игоревич, 1999 год

1. Алекперов В.П., Бор-Раменский А.Е., Фалдин Н.В. Оптимальные быстродействия в случае инерционного руля. // Оптимальные системы. Статистические методы: Труды / III Всесоюзное совещание по автоматическому управлению. М. 1967. С. 169-175.

2. Алекперов В.П., Фалдин Н.В. Синтез оптимальной системы при наличии ограничений по фазовой координате. // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1965, №5. С. 143-148.

3. Алексаков Г.Н. Практика проектирования нелинейных систем управления методом фазовой плоскости. М.: Энергия, 1973. 143 с.

4. Александровский Н.М. Элементы теории оптимальных систем автоматического управления. М.: Энергия, 1969. 127 с.

5. Антомонов Ю.Г. Автоматическое управление с применением вычислительных машин. Л.: Судпромгиз, 1962. 339с.

6. Антомонов Ю.Г. Синтез оптимальных систем. Киев: Наукова думка, 1972.-316 с.

7. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.- 764 с.

8. Беллман Р., Калба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. 118с.

9. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. 428 с.

10. Ю.Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.

11. П.Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1968.-408 с.132

12. Болтянский В.Г\ Задачи оптимизации со сменой фазового пространства и с переменной областью управления. // Динамика неоднородных систем. М., 1983. С. 78-86.

13. З.Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин JI.C. К теории оптимальных процессов. // ДАН СССР, 1956, т.110, № 1. С. 7-10.

14. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин Л.С. Теория оптимальных процессов. Принцип максимума. // Изв. АН СССР, серия матем., 1960, т. 24, № 1. -С. 3-42.

15. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.-544 с.

16. Ватель И.А., Кононенко А.Ф. Об одной численной схеме решения задач оптимального управления. // ЖВМ и МФ, 1970, т. 10, № 1. С. 37-67.

17. Величенко В.В. Оптимальное управление составными системами. // ДАН СССР, 1967, т. 176, №4. С. 754-756.

18. Волин Ю.М., Островский Г.М. Принцип максимума для разрывных систем и его применение к задачам с фазовыми ограничениями. // Известия вузов. Радиофизика. 1969, №11. С. 1609-162 L

19. Володин Л.В., Фалдин Н.В. Синтез оптимальной по быстродействию системы автоматического регулирования третьего порядка с запаздыванием. // Вопросы оптимизации и автоматизации конструкторских работ: Тр. Тул-ПИ. Тула, 1970. С. 24-30.

20. Володин Л.В., Макаров H.H., Фалдин Н.В. Один метод повышения точности следящего пневмопривода. // Динамика и точность функционирования тепломеханических систем. / ТулПИ, Тула, 1973. Вып. 3. - С. 166-175.

21. Гамкрелидзе Р.В. К общей теории оптимальных процессов. // ДАН СССР, 1958, т. 123, № 2. С. 223-226.

22. Гамкрелидзе Р.В. К теории оптимальных процессов в линейных системах. // ДАН СССР, 1957, т. 116, № 1. С. 9-11.133

23. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах. // Изв. АН СССР, серия матем., 1958, т. 22, № 4. -С. 449-474.

24. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазовых координатах. // ДАН СССР, 1959, т. 125, № 3. С. 475-478.

25. Гамкрелидзе Р.В, Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах. // Изв. АН СССР, 1960, т. 24, № 3. С. 315356.

26. Денисов А.И., Фалдин Н.В. Оптимизация по быстродействию систем позиционного управления. // Управление в технических системах: материалы второй международной научно-технической конференции. Ковров: КГТА, 1998. С. 223-225.

27. Денисов А.И., Фалдин Н.В. Синтез оптимальных по быстродействию позиционных систем управления. Случай выполнения теоремы о числе переключений. // Известия Тульского государственного университета. Серия134

28. Вычислительная техника. Автоматика. Управление.» Том 1. Вып. 3. Управление. Тула, 1999. С. 3-10.

29. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений. //ЖВМ и МФ, 1965, т.5, № 3. С. 395-453.

30. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Необходимые условия слабого экстремума в задачах оптимального управления со смешанными ограничениями типа неравенств. // ЖВМ и МФ, 1968, т. 8, № 4. С. 725-779.

31. Дубовицкий А.Я., Рубцов В.А. Линейные быстродействия. // ЖВМ и МФ, 1968, т. 8, № 5. С. 937.

32. Дунаев В.И. Квазиоптимальные по быстродействию системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1970. 63 с.

33. Иванов В.А., Фалдин Н.В, Теория оптимальных систем автоматического управления, М.: Наука, 1981,-336 с.

34. Клюев A.A., Колесников A.A. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоиздат, 1982. 238 с.

35. Клюев A.C., Карпов B.C. Синтез быстродействующих регуляторов для объектов с запаздыванием. M«: Наука, 1990. 256 с.135

36. Козлов В.И, Синтез системы управления оптимальной по быстродействию. // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1976, №3. С. 181190.

37. Колесник В.П. Метод синтеза оптимальных по быстродействию нелинейных систем высокого порядка с ограничениями и в условиях неопределенностей. Дис. д-ра техн. Наук 05.13.02. М., 1982. 383 с.

38. Колесников A.A. О синтезе оптимального по быстродействию управления нелинейными объектами одного класса, // Изв. Вузов. Электромеханика. 1978. -№3.- С. 310-320.

39. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования. // Автоматика и телемеханика, 1957, № 11. С. 960-970.

40. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. // ЖВМ и MB, 1962, т.2, №6. -С. 1132-1138.

41. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления. // ЖВМ и МФ, 1972, т. 12, № 1.-С. 14-34.

42. Леончук М.П. О численном решении задач оптимальных процессов с распределенными параметрами. // ЖВМ и МФ, 1964, 4, № 6, С, 1112-1116.136

43. Леончук М.П. и др. О численном решении одной задачи оптимального управления ядерными реакторами. // ЖВМ и МФ, 1965, т. 5, № 3. С. 558560.

44. Мазуров В.М., Карпов B.C. Расчет и проектирование дискретных оптимальных регуляторов. Тула, ТЛИ, 1979. 80 с.

45. Макаров H.H., Фалдин Н.В, Оптимальное по времени управление объектом третьего порядка с насыщением. // Динамика систем: Оптимизация и адаптация: Межвузовский сборник статей. / ГГУ. Горький, 1979. С. 136151,

46. Макаров H.H., Фалдин Н.В. Оптимальное управление системами с ограничителями. // «Оптимальное управление в механических системах». Тезисы докладов III Всесоюзной конференции. Киев, 1979, т. IL С. 69-70.

47. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.-324 с.

48. Моисеев H.H. Численные методы теории оптимального управления, использующие вариации в пространстве состояний. // Кибернетика, 1966, т. 5, № 3, С. 1-23.

49. Мороз А.И. Синтез оптимального по времени управления для линейных систем третьего порядка. // Автоматика и телемеханика. 1969. №5 с. 5-17,№7-с. 18-19,№9-5-15.

50. Павлов A.A. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. М.: Наука, 1966. 390 с.5 7.Писку нов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1. М.: Наука, 1970,456 с.

51. Поляк Б.Т. О некоторых способах ускорения сходимости итерационных методов. // ЖВМ и МФ, 1964, т. 4, № 5. С. 791-803.

52. Поляк Б.Т., Третьяков Н.В. Метод штрафных оценок для задач на условный экстремум. // ЖВМ и МФ5 1973, т. 13, № 1. С 34-46.137

53. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392 с.

54. Понтрягин JI.C. Оптимальные процессы регулирования. // Успехи матем. наук, 1959, т. 14, вып. 1. С. 3-20.

55. Пшеничный Б.Н. Численные методы расчета оптимального по быстродействию управления для линейных систем. // ЖВМ и МФ, 1964, т. 4, № h С. 52-60.

56. Пшеничный Б.Н., Соболенко J1.A. Ускоренный метод решения задачи линейного быстродействия. // ЖВМ и МФ, 1968, т. 8, № 6. С. 1345- 1351.

57. Рабинович Л.В., Петров Б.И., Терсков В.Г., Сушков С.А., Панкратьев Л.Д. Проектирование следящих систем. М.: Машиностроение, 1969. 500 с.

58. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. Автоматика и телемеханика, 1959, №№ 10-12. С. 13201334, 1441- 1458, 1561-1578.

59. Самойленко A.M., Кривошея С.А., Перестюк H.A. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. М.: Высшая школа, 1989, 383 с.

60. Синтез квазиоптимального управления механизмом вращения шагающего экскаватора-драглайна методом прогнозирования. / Ф.Б. Гулько, В.П. Морозов, Ж.А. Новосельцева и др. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. -№ 1. С. 59-66.

61. Синтез следящего гидропривода, близкого к оптимальному по быстродействию. / Н.В. Фалдин, H.H. Макаров, С.А. Руднев и др. // Системы управления, следящие приводы и их элементы (материалы семинара) /' ЦНИИинф. М., 1984. С. 76.138

62. Смолышков Jl.П. Синтез квазиоптимальных систем автоматического управления. Л.: Энергия, 1967. 167 с.

63. Тихонов А.Н., Галкин В.Я., Заикин П.Н. О прямых методах решения задач оптимального управления. // ЖВМ и МФ, 1957, т. 7, № 2. С. 416- 424.

64. Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации процессов управления в системах с ограниченными координатами. // ПММ, 1962, вып. 3. С. 431-443.

65. Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации процессов управления для уравнений с разрывными правыми частями. // ПММ, 1962, вып. 2. С. 233-246.

66. Фалдин Н.В. Синтез оптимальных по быстродействию замкнутых систем управления. Тула, ТПИ, 1990. 100 с.

67. Фалдин Н.В. Оптимальное по быстродействию инерционное управление линейным объектом. // Известия вузов. Электромеханика. 1981, №12. -С. 1351-1356.

68. Фалдин Н.В. Оптимальное по времени управление объектом при ограниченных фазовых координатах. // «Техническая кибернетика». Тезисы докладов межвузовской научно-технической конференции. М., 1969. С. 50.

69. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.

70. Фельдбаум A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1963. 552 с.

71. Denisov A.I. The Synthesis of Time-Optimal Systems of Positional Control. // Preprints 6th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). St. Petersburg, 1998. P. 28-32.

72. Разработан метод формирования оптимального по быстродействию закона управления с помощью аппроксимации поверхности переключения плоскостями. Исходной информацией для этого метода являются полученные ранее координаты точек поверхности переключения.

73. Выполнен синтез оптимального по быстродействию следящего электропривода постоянного тока. Проведены экспериментальные исследования, подтверждающие теоретические расчеты.