Синтез оптимального по времени управления перемещением перевернутого стержня тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Голуб, Сергей Петрович

• Голуб, Сергей Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Голуб, Сергей Петрович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

1.1. Вывод уравнений движения.

Глава 2. БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ

2.1. Уравнения движения.

2.2. Область существования решения при ограниченном управлении.

2.3. Оптимальный закон движения.

2.4. Синтез управления

2.4.1. Процедура выбора управления

Глава 3. ДВИЖЕНИЕ С ОГРАНИЧЕННЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

3.1. Уравнения движения.

3.2. Необходимые условия оптимальности.

3.3. Быстродействие в начало координат.

3.4. Свойства оптимального по быстродействию перемещения в начало координат

Глава 4. ЗАДАЧА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЯ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЯ НА СКОРОСТЬ ПЛАТФОРМЫ

4.1. Уравнения движения.

4.2. Движение в начало координат.

4.2.1. Случай А.

4.2.2. Случай В.

4.2.3. Случай С.

4.2.4. Структура управления.

4.3. Свойства перемещения в начало координат.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез оптимального по времени управления перемещением перевернутого стержня»

Задаче о динамическом равновесии перевернутого физического маятника посвящено много исследований, инициированных работами [45], [18], [38]. В них устойчивость равновесия маятника в верхнем положении обеспечивается за счет периодических вертикальных вибраций точки опоры. Частота этих вибраций должна быть достаточно большой, что что не всегда практически удобно реализуется. Вибрация точки опоры в горизонтальном направлении для стабилизации верхнего положения маятника мало эффективна. Для стабилизации перевернутого маятника с неподвижной точкой опоры применяются различного рода следящие системы управления, описанные, например, в [28]. Метод стабилизации перевернутого маятника посредством горизонтальных перемещений точки опоры предложен в [22].

Вместе с тем помимо стабилизации представляет практический интерес также и транспортировка точки опоры перевернутого маятника в другое пространственное положение с сохранением вертикальной ориентации маятника. Такая задача возникает, в частности, при перемещении высотного строительного крана по рельсам, при обеспечении вертикальной позы двуногого робота. В одномерном варианте эта задача решена разными методами. В [19] построен оптимальный регулятор по методу Калмана-Летова, сохраняющий вертикальное положение стержня во все время движения. В [22] представлен алгоритм управления на основе РБ-регулятора, обеспечивающего перемещение точки опоры маятника на заданное расстояние с удержанием маятника в перевернутом вертикальном положении. В [3] исследована устойчивость перевернутого маятника при циклических горизонтальных смещениях точки опоры. В некоторых работах для стабилизации перевернутого маятника используются нейронные сети. Например, в [31] решается задача о достижении маятником вертикального положения с нулевой угловой скоростью и удержания его в этом положении. В перечисленных алгоритмах в качестве обратной связи использовалась информация об угловом положении стержня относительно опоры.

В данной работе рассматривается система, которая состоит из массивного стержня, прикрепленного сферическим шарниром к подвижной платформе, то есть в точке опоры отсутствуют управляющие моменты и измерительные устройства. Управление движением должно быть достигнуто лишь за счет подходящего перемещения точки опоры стержня. Измерительную обратную связь в этом случае может обеспечить, например, система технического зрения, наблюдающая за какой-нибудь фиксированной точкой стержня. В [14] для такой системы была решена задача об оптимальном по быстродействию переводе точки опоры стержня из одного фиксированного положения в пространстве в другое ее заданное положение при условии, что в начале маневра стержень был застабилизирован в верхнем положении равновесия, а в конце маневра требуется привести стержень тоже в верхнее положение с нулевой скоростью в новом положении точки опоры, при этом стержень в процессе маневра но должен проходить через нижнее положение равновесия (аналогичная задача о транспортировке точки подвеса физического маятника без раскачки в окрестности его нижнего положения равновесия была решена в работах [39], [40] применительно к обеспечению процесса погрузки портовым крапом).

Для полученных уравнений движения поставленной модельной задачи решается задача синтеза оптимального по быстродействию управления и задача оптимального по быстродействию программного управления. Решение задачи синтеза оптимального управления состоит в нахождении оптимального управления в виде стратегии управления по принципу обратной связи, как функции текущего состояния (позиции) процесса (см. [30], [5], [20], [21]). Состояние определяется, помимо текущего момента времени, также доступными значениями текущих параметров. Таким образом, управлять системой можно апостериорно, корректируя управление на основе дополнительной информации, получаемой по ходу процесса. Решение задачи программного управления состоит в нахождении функции управления в виде функции времени, тем самым полагая, что по ходу процесса никакой информации, кроме заданной в самом начале, в систему не поступает (см. [30], [20]). То есть, оптимальное программное управление формируется по априорным сведениям о системе и уже не может быть скорректировано.

Как известно, решенных задач оптимального быстродействия сравнительно мало (см., например, [1], [27], [23], [24], [11], [32], [42], [43], [37]), поэтому представляют интерес любые модели, для которых может быть построен синтез. В исследованиях задач синтеза оптимального быстродействия немаловажную роль играет изучение структуры множеств достижимости. Так в [35], [36], [29], [33], [34] изучается структура множеств достижимости, а также предельных множеств достижимости, получающихся при стремлении времени к бесконечности, называемых множествами управляемости и связанными с ними проблем.

Данная кандидатская работа является развитием исследований, представленных в [14], [44] и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

В главе 1 вводятся основные обозначения и предположения для рассматриваемой системы, а также выписаны общие уравнения движения для поставленной модельной задачи.

Глава 2 посвящена разбору случая безынерционного движения платформы. В качестве функции управления взята скорость платформы. Находится оптимальное по быстродействию программное управление и строится синтез оптимального по быстродействию управления наискорейшего перевода точки опоры стержня на заданное расстояние при условии, что начальное положение и угловая скорость стержня произвольны, а. в конце маневра требуется привести стержень в верхнее положение равновесия с пулевой скоростью.

В §2.1 выписаны уравнения движения для рассматриваемого случая.

В §2.2 рассматривается проекция траекторий движения на фазовую плоскость. Находится область существования решения поставленной задачи.

В §2.3 аналитически решена задача нахождения оптимального по быстродействию программного управления. Получены формулы для нахождения времени движения на каждом участке постоянства управления.

В §2.4 построен синтез оптимального по быстродействию управления. Выписаны уравнения кривой переключения и поверхности переключения как функции текущего состояния системы, а также показана процедура выбора управления в текущий момент времени.

Глава 3 посвящена задаче наискорейшего перевода точки опоры стержня на заданное расстояние при условии, что в начале маневра стержень был стабилизирован в верхнем положении равновесия, а в конце маневра требуется привести стержень тоже в верхнее положение равновесия с нулевой скоростью и ускорением в новом положении точки опоры. В качестве функции управления взято ускорение платформы.

В §3.1 выписаны уравнения движения для рассматриваемого случая.

В §3.2 найдены необходимые условия оптимальности и доказано, что моментов переключения управления не более трех.

В §3.3 решается аналитически задача нахождения оптимального по быстродействию программного управления поставленной задачи. Показано, что поставленная задача имеет решение только при наличии ровно трех моментов переключения управления.

В §3.4 выписаны свойства полученного движения системы.

В главе 4 решается задача перевода точки опоры стержня на заданное расстояние с использованием комбинированного управления, когда в качестве функции управления взято ускорение платформы и считается, что скорость платформы ограничена по величине. По-прежнему принимается, что в начале маневра стержень был стабилизирован в верхнем положении равновесия, а в конце маневра требуется привести стержень тоже в верхнее положение равновесия с нулевой скоростью и ускорением в новом положении точки опоры.

В §4.1 выписаны рассматриваемые уравнения движения.

В §4.2 рассматриваются все возможные случаи решения поставленной задачи и находится аналитически программное управления поставленной задачи. Показано, что поставленная задача имеет решение только при наличии четырех участков движения с постоянным ускорением, а участков движения с постоянной скоростью в зависимости от параметров системы может быть три, один или ни одного.

В §4.3 выписаны свойства программного управления поставленной задачи. Заключение содержит основные результаты диссертации. В приложении собраны рисунки ко всем главам диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7]- [10].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Голуб, Сергей Петрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Решена задача синтеза управления скоростью основания перевернутого стержня в задаче о быстродействии перемещения точки опоры стержня на заданное расстояние из произвольного фазового состояния стержня в положение верхнего неустойчивого равновесия с нулевой скоростью. Определена область существования решения поставленной задачи. Кривая переключения и поверхность переключения получены в параметрическом виде. Указана процедура проверки попадания фазовой точки на кривую переключения и на поверхность переключения.

2. Получено программное оптимальное в смысле быстродействия управление ускорением точки опоры стержня в задаче о приведении стержня из состояния неустойчивого равновесия в некоторой начальной опорной точке в состояние неустойчивого равновесия в другой заданной точке опоры за счет соответствующего оптимального перемещения платформы без ограничения на скорость точки опоры. Найдены конечные формулы для расчета времени быстродействия, моментов переключения управления, а также выбор типа управления в зависимости от величины требуемого перемещения точки опоры,. Отмечена кососимметричность отклонения стержня от вертикали и симметричность угловой скорости стержня для оптимального решения относительно середины процесса быстродействия. Показано, что отклонение стержня от вертикали и угловая скорость находятся в ограниченных пределах и прямо пропорциональны ускорению точки опоры.

3. Найдено комбинированное программное управление в задаче о приведении стержня из состояния неустойчивого равновесия в некотором начальном положении опорной точке в состояние неустойчивого равновесия в другом заданном положении точки опоры. Ускорение точки опоры полагается кусочно-постоянным и учитывает ограничение на скорость платформы. Моменты переключения управления определяются с учетом заданных краевых условий и выбираются в минимальном возможном количестве. Показано, что для решения этой задачи необходимо четыре участка движения с постоянным ускорением. При этом в зависимости от расстояния, которое должна пройти точка опоры, может быть три, один или ни одного участка движения с постоянной скоростью. Найдены конечные формулы для расчета времени движения, моментов переключения управления, а также выбор типа управления в зависимости от времени разгона стержня от нулевой до максимальной скорости и величины требуемого перемещения точки опоры. Отмечена кососимметричность отклонения стержня от вертикали и симметричность угловой скорости стержня для оптимального решения относительно середины процесса быстродействия.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Голуб, Сергей Петрович, 2013 год

1. Акуленко Л.Д., Шматков A.M. Наискорейшее попадание на феру с нулевой скоростью // Докл. Академии наук. 2001. Т.379. К» 1. С. 28-32.

2. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С. и др. Оптимальное управление движением: Учеб. пособие. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 376 с.

3. Александров В.В., Рейес-Ромеро М., Сидоренко Г.Ю. и др. Устойчивость управляемого перевернутого маятника при постоянно действующих горизонтальных возмущениях точки опоры // МТТ. 2010. № 2. С. 41-48.

4. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1968. 764 с.

5. Беллман Р. Динамическое программирование, пер. с англ., М., 1960.

6. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.

7. Golub S.P. Synthesis of Optimal Time Control of the Invertad Rod // 7th Intrnational Symposium on Classical and Celestial Mechanics (CCMECH'2011). Book of Abstracts, Wydawnictwo Collegium Mazovia, Siedlce, 2011. P.30-32 .

8. Голуб С.П., Голубев Ю.Ф. Синтез оптимального по времени управления перемещением перевернутого стержня // Изв. РАН. ТиСУ. 2011. № 6. С. 38-51.

9. Голубев Ю.Ф. Брахистохрона с трением // Изв. РАН. ТиСУ. 2010. № 5. С. 41-52.

10. Голубев Ю.Ф. Метод Охоцимского-Понтрягина в теории управления и аналитической механике. Ч. 1. Метод Охоцимского-Понтрягина в теории управления // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2008. № 6. С. 50-56.

11. Голубев Ю.Ф. Метод Охоцимского-Понтрягина в теории управления и аналитической механике. Ч. 2. Метод Охоцимского-Понтрягина в аналитической механике // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2009. № 1. С. 38-44.

12. Голубев Ю.Ф. Оптимальное по быстродействию управление перемещением неустойчивого стержня // Изв. РАН. ТиСУ. 2008. № 5. С. 42-50.

13. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики: Учебник. 2-е изд., перераб. и дополн. -М.: Изд-во МГУ, 2000,—719 с.

14. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений. // ЖВМ и МФ, 1965. Т. 5. № 3. С. 395-453.

15. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления. 1971 г. М.: Наука, 112 стр.

16. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющеся точке подвеса // ИСЭТФ. 1951. Т. 21. Вып. 5. С. 588-597.

17. Колесников A.A., Медведев М.Ю. Современные методы синтеза систем управления: Учеб. пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003. 128 с.

18. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

19. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 520 с.

20. Мартыненко Ю.Г., Формалъский А.М. К теории управления моноциклом // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 4. С. 569-583.

21. Матюхин В.И. Управление механическими системами. М.: Физматлит, 2009. 319 с.

22. Матюхин В.И. Приведение двух тел в контакт без ударов ограниченными управлениями за конечное время // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 5. С. 840-855.

23. Милютин A.A., Дмитрук A.B., Осмоловский Н.П. Принцип максимума г? оптимальном управлении. Н.: МГУ им. М.В.Ломоносова, механико-математический факультет, М., 2004 г., 73 с.

24. Мороз А.И. Курс теории систем: Учеб. пособие для вузов по спец. "Прикл. математика". М.: Высш.шк., 1987. - 340 с.

25. Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф., Сихарулидзе Ю.Г. Алгоритмы управления космическим аппаратом при входе в атмосферу. М.: Наука, 1975. 400 с.

26. Охоцимский Д.Е., Гришин A.A., Ленский A.B. и др. О синтезе управления неустойчивым объектом. Перевернутый маятник // Изв. РАН. ТиСУ. 2002. №5. С. 14-24.

27. Панасюк А.И. Уравнения областей достижимости и их применение в задачах оптимального управления // АиТ. 1982. № 5. С. 67-68.

28. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

29. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польск. И. Д. Рудинского. М.: Горячая линия -Телеком, 2006. - 452 с.

30. Сиротин А.Н. О решении задачи синтеза управления для класса линейных 0-управляемых дискретных систем с ограничениями // АиТ. 2005. № 1. С. 49-58.

31. Сиротин А.Н., Формальский A.M. Области достижимости и управляемости линейных дискретных систем // Изв. РАН. ТиСУ. 2002. № 4. С. 5-16.

32. Тятюшкин А.И., Моржин О.В. Численное исследование множеств достижимости нелинейных управляемых дифференциальных систем // АиТ. 2011. №6. С. 160-170.

33. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974. 368 с.

34. Формалъский A.M. Об угловых точках границ областей достижимости // ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 4. С. 566-574.

35. Формалъский A.M. К задаче синтеза оптимального управления в системах второго порядка // Доклады Академии наук. 2010. Т. 430. № 6. С.747-750.

36. Челом,ей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибрации // ДАН СССР. 1956. Т. 110. № 3. С. 345-347.

37. Черноусъко Ф.Л. Оптимальное перемещение маятника // ПММ. 1975. Т. 39. Вып. 5. С. 806-816.

38. Черноусъко Ф.Л., Акуленко Л.Д, Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. 348 с.

39. Черноусъко Ф.Л., Ананъевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006. 328 с.

40. Черноусъко Ф.Л., Шматков A.M. Синтез оптимального быстродействия в одной системе третьего порядка // Доклады Академии наук. 1997. Т. 354. № 2. С. 174-177.

41. Черноусъко Ф.Л., Шматков A.M. Оптимальное по быстродействию управление в одной системе третьего порядка // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 5. С. 723-731.

42. Golubev Yu.F. A Time-Optimal Control of Steering an Unstable Rod // J. Computer and Systems Sciences Intern. 2008. V. 47. № 5. P. 709-717.

43. Stephenson A. On a New Type of Dynamical Stability // Memoirs and Proceedings of the Manchester Literary and Philosophical Society. 1908. V. 52. № 8. Pt II. P. 1-10.