Синтез и оптимизация алогоритма коррекции фазы многомерных сигналов с ортогональным частотным разделением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат технических наук Кукушкин, Дмитрий Сергеевич

• Кукушкин, Дмитрий Сергеевич
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кукушкин, Дмитрий Сергеевич

Введение.

Глава 1. Особенности математического описания процессов в системе передачи информации на основе многомерных сигналов.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Математическая модель сигнала на выходе канала с ортогональным частотным разделением.

1.3. Математическая модель сигнала на выходе канала с ортогональным частотным и пространственным разделением.

1.3.1. Алгоритм пространственного разделения сигналов с использованием обратной матрицы канала.

1.3.2. Особенности описания сигналов с ортогональным частотным и пространственным разделением

1.4. Влияние фазового шума на статистические характеристики сигналов с ортогональным частотным разделением.

1.5. Выводы.

Глава 2. Синтез алгоритма коррекции фазы на основе многомерного фильтра Калмана.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Математическая модель сигнала на входе системы коррекции фазы.

2.3. Построение уравнения фильтрации и переход к структурной схеме системы.

2.4. Анализ статистических характеристик системы коррекции фазы на основе численного решения разностного стохастического уравнения.

2.5. Выводы.

Глава 3. Исследование статистических характеристик системы коррекции на основе аппарата марковских процессов.

-33.1. Постановка задачи.

3.2. Математическая модель многоканального фазового дискриминатора на основе предельной статистической аппроксимации.

3.2.1. Эквивалентный фазовый дискриминатор для сигналов с ортогональным частотным разделением.

3.2.2. Эквивалентный фазовый дискриминатор для сигналов с ортогональным частотным и пространственным разделением.

3.3. Математическая модель системы коррекции фазы на основе кольца ФАПЧ с эквивалентным фазовым дискриминатором.

3.3.1. Математическая модель системы коррекции фазы в форме векторного уравнения Колмогорова-Чепмена.

3.3.2. Задача о среднем времени до срыва слежения.

3.4. Исследование статистических характеристик системы коррекции фазы.

3.4.1. Анализ статистических характеристик.

3.4.2. Предельно-достижимые статистические характеристики . 102 3.6. Выводы.

Глава 4. Чувствительность синтезированного алгоритма к полиномиальному фазовому воздействию в условиях доплеровского рассеяния.

4.1 Постановка задачи.

4.2. Разработка имитационной модели системы коррекции фазы.

4.2.1. Случай сигналов с ортогональным частотным разделением сигналов.

4.2.2. Случай сигналов с ортогональным частотным и пространственным разделением.

4.3. Методика проведения исследований статистических характеристик системы коррекции фазы.

4.4. Исследование модели для различных входных воздействий.

4.4.1. Исследование чувствительности к составляющим различного порядка СПМ фазового шума.

4.4.2. Случай фазового воздействия с СПМ различного порядка в условиях допл еровского рассеяния.

4.5. Сравнительный анализ результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез и оптимизация алогоритма коррекции фазы многомерных сигналов с ортогональным частотным разделением»

Актуальность работы

Передача информации посредством сигналов с ортогональным частотным разделением (OFDM Orthogonal ^Fiequency Division Multiplexing) стала стандартом для многих современных радиосистем в связи с рядом преимуществ, к которым относятся высокая спектральная эффективность, низкий уровень межсимвольной интерференции, высокое качество в условиях частотно селективных замираний, достаточно малые вычислительные затраты • у;у/' ;»••} чД •' на реализацию алгоритмов модуляции и демодуляции [1-4]. В соответствии с существующей классификацией данный тип сигналов относится к сигналам с высокой размерностью. Сигналы с OFDM нашли применение во многих стандартах связи, таких как ADSL - проводная связь, направленная на решение проблемы последней мили/"ШБЕ;802:1 la,g-беспроводные локальные сети,

IEEE 802.16-стандарт широкополосной беспроводной связи, DVB-Tцифровое телевизионное вещание, DRM - цифровое радиовещание [3-5].

В то же время системы передачи, использующие сигналы с ортогональным частотным разделением, очень чувствительны к фазовой нестабильности несущей, вызванной нестационарностью фазовой характеристики канала, фазовыми флуктуациями опорных генераторов на передающей и приемной сторонах [6-8]. В силу особенностей сигнала действие фазового шума можно разделить на групповую фазовую ошибку (ГФО) и межканальную интерференцию (МКЙ) [7, 8]. При этом групповая ошибка приводит к одинаковому для всех частотных каналов повороту сигнальных созвездий и обусловлена низкочастотной составляющей фазового шума. Действие межканальной интерференции эквивалентно аддитивному белому гауссовому шуму (АБПИ) к вызваио высокочастотными составляющими фазового воздействия.

Следует заметить, что широкое применение систем связи на основе сигналов с ортогональным частотным разделением не снимает актуальности решения задачи коррекции фазы несущей как в существующих так и в перспективных разработках. Немаловажным является отсутствие ограничений на реализацию приемной части уже утвержденных стандартов. Можно указать условия, в которых существующие разработки цифровых радиоприемных t устройств не обеспечивают" требуемого качества. Это относится к каналам с многопозиционной модуляцией сигналов, каналам с высоким доплеровским рассеянием и быстрыми фазовыми флуктуациями [10-12].

Отметим, что в известной научной литературе проблема борьбы с фазовыми флуктуациями недостаточно, освещена. Можно указать ряд работ иностранных специалистов, среди которых интерес представляют работы немецкой научной группы в составе W. Rave, D. Petrovic, G. Fettweis, широко использующие для исследований имитационное моделирование [9, 12-14]. Компенсации фазовых флуктуаций посвящена работа иностранных специалистов V.S Abhayawardhana-»' I.J. Wassel [10], одними из первых предложивших использовать системы коррекции с обратными связями, работающие по информационным каналам. В качестве инструмента исследования авторами также использовано имитационное моделирование. Из работ отечественных специалистов можно указать на ряд статей автора диссертации, опубликованных в журнале «Электросвязь» [15, 16]. Принципиальным отличием выполненных исследований является применение аналитических методов синтеза и анализа алгоритмов коррекции фазы несущей с применением современного, аппарата марковских процессов и многомерной • фильтрации Калмана. " * * ' "

Одним из основных аппаратно реализованных способов решения проблемы коррекции фазы несущей на сегодняшний день является использование переданной служебной информации в зарезервированных для этой цели частотных каналах,1 называемых пилотными [12-14]. Метод основан на априорном знании значения фазы сигнала в этих каналах на приемной стороне, что позволяет оценить паразитные флуктуации фазы в каждом из каналов и выполнить усреднение по всем каналам с целью компенсации влияния аддитивного шума. В то же время оценка фазовых флуктуаций на основе сигналов информационных каналов более привлекательна, поскольку дает два преимущества.'Во-первых, возможно увеличение точности оценки за счет большего объема статистики. Во-вторых, общая пропускная способность системы может быть увеличена за счет отказа от использования зарезервированных каналов. Наиболее эффективный из предлагаемых подходов описан в [10] и заключается- в предварительной оценке точек сигнального созвездия в каждом частотном подканале с дальнейшим усреднением вычисленных оценок фазового рассогласования. Предлагаемая система коррекции фазы характеризуется наличием петли обратной связи с блоком усреднения сигнала по времени и позволяет повысить помехоустойчивость системы до 2-3 дБ.' Однако опйсайный подход к построению системы не поддерживается аналитическими методами, и, как следствие, его применение в указанных выше условиях не совсем обосновано. Это свойственно большинству опубликованных исследований.

Применение аналитических методов синтеза принципиально меняет подход к разработке алгоритмов коррекции фазы. Для априорно известных статистических характеристик воздействий на систему имеется возможность построить оптимальный алгоритм для выбранного критерия. Затем на основе аналитических методов описать в форме уравнений и исследовать количественные характеристики сигналов на выходе системы. Наконец, следуя общей схеме решения задачи синтеза, ответить на вопрос о чувствительности синтезированных алгоритмов к воздействиям с иными характеристиками.

Отметим, что данный подход отработан для систем связи, использующих сигналы с низкой размерность»? [17г22]. Вопрос построения оптимальных систем обработки для сигналов большой размерности, в частности сигналов с ортогональным частотным разделением, недостаточно освещен в литературе. В связи с этим задача построения оптимальной системы коррекции фазы для данного класса сигналов и исследования ее аналитическими методами представляет большой интерес.

В силу особенностей сигналов с ортогональным частотным разделением оптимальная система будет как многомерной, так и нелинейной, что осложняет применение аналитических методов анализа [15, 16]. На сегодняшний день одним из самых прогрессивных механизмов, позволяющих в достаточно полном объеме исследовать.статистическую динамику нелинейных систем, является аппарат марковских процессов. Данный аппарат позволяет получить такие важные характеристики систем, как плотность распределения вероятности координат, среднее время выхода на режим слежения, среднее время до срыва слежения. Математическая основа для него разработана в трудах Р.Л.Стратоновича, В.И. Тихонова, М.А. Миронова, Б.И. Шахтарина, В.В. Шахгильдяна. Однако, серьезной трудностью на пути применения данного аппарата для случая сигналов с ортогональным частотны разделением является большая размерность рассматриваемых сигналов.

Применение аналитических; 'методов нелинейного анализа имеет серьезные ограничения на структуру входного сигнала. Например, аппарат марковских процессов применим только для марковских сигналов. В то же время сигнал при прохождении реального канала связи искажается за счет доплеровского рассеяния, ошибок тактовой и символьной синхронизации, * . ". 'У « нелинейности характеристики приемного устройства [23-26]. Форма сигнала может быть намеренно изменена на передающей стороне с целью уменьшения пика-фактора сигнала [28-29] и улучшения частотно-временной локализации сигнала [30]. Это приводит к необходимости дополнительного изучения чувствительности полученного алгоритма коррекции фазы к различного рода искажениям сигнала методами математического моделирования, например, путем численного решения разностного стохастического уравнения с учетом результатов, полученных аналитическими методами.

Дальнейшее увеличений пропускной способности систем связи без увеличения диапазона используемых частот и мощности может быть связано с дополнительным использованием пространственной размерности [31-39]. В настоящее время большое внимание уделяется комбинации технологий пространственного разделения и метода модуляции с ортогональным частотным разделением. В целом подход к построению системы коррекции фазы для сигналов с ортогональным частотным и пространственным разделением (MIMO OFDM - multiple input, multiple output OFDM) сигналов остается тем же, однако анализ таких систем усложняется за счет появления дополнительной размерности. С точки зрения оценки фазовых флуктуаций технология пространственного разделения может дать дополнительный

•г * выигрыш за счет увеличения объема статистики.

В связи с вышеизложенным, тема диссертации, посвященная синтезу и анализу системы коррекции фазы на основе информационных частотных каналов для сигналов с ортогональным частотным и пространственным разделением в условиях комбинированных аддитивных и фазовых воздействий, является актуальной.

Цель и задачи диссертации

Целью диссертационной работы является синтез эффективных алгоритмов и устройств .коррекции фазы несущей сигналов с ортогональным частотным и пространственным разделением, позволяющих повысить помехоустойчивость цифровых систем передачи в условиях комбинированных аддитивных и фазовых воздействий с полиномиальной спектральной плотностью мощности.

Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие основные задачи:

1. Разработка математических моделей сигналов на выходе демодулятора цифровой системы передачи с ортогональным частотным и пространственным разделением в условиях фазовых воздействий с произвольными спектральными свойствами.

2. Синтез алгоритмов коррекции фазы несущей сигналов с ортогональным частотным и пространственным разделением с использованием информационных частотных каналов на основе теории оптимальной многомерной фильтрации для различных воздействий.

-103. Разработка методики статистического описания многоканального фазового дискриминатора для различных видов сигнальных созвездий и аддитивных и фазовых воздействий с различными спектральными свойствами.

4. Построение математической модели системы коррекции фазы несущей сигналов с ортогональным частотным и пространственным разделением в • ' 'г Н ■ форме векторных уравнений Колмогорова-Чепмена с учетом эквивалентного описания дискриминационной характеристики многоканального фазового дискриминатора.

5. Исследование статистических характеристик системы коррекции, включая плотности распределения вероятности ошибок коррекции и среднего времени до срыва слежения для различных случайных воздействий.

6. Анализ чувствительности синтезированных алгоритмов коррекции к воздействиям со спектральной плотностью мощности различного порядка в условиях доплеровского рассеяния. *

Общая методика исследований

Разрабатываемый в диссертации метод синтеза системы коррекции фазы основывается на теории дискретной многомерной фильтрации Калмана. Разрабатываемые методы исследования системы коррекции фазы основаны на общих положениях качественных методов теории дискретных систем, теории нелинейных стохастических разностных уравнений, на аппарате теории вероятности и, в частности, аппарате марковских процессов и цепей, на прикладной теории математической статистики, на статистической теории радиотехнических систем и устройств.

Для решения поставленных задач используются также компьютерное моделирование, численное решение стохастических разностных уравнений. Разработанные методы и алгоритмы анализа статистических характеристик системы коррекции фазы ориентированы на использование персональных компьютеров.

Научная новизна результатов

1. На основе теории дискретной многомерной фильтрации Калмана синтезирован алгоритм коррекции фазовых флуктуаций следящего типа сигналов с ортогональным частотным и пространственным разделением.

2. Предложен общий подход к описанию нелинейных свойств многоканальных систем на основе предельного статистического перехода. На его основе получена математическая модель многоканального фазового дискриминатора в виде эквивалентного одноканального с дискриминационной характеристикой, определяемой типом сигнального созвездия, статистическими свойствами аддитивной и высокочастотной фазовой помех.

3. С учетом особенностей описания фазового дискриминатора получена математическая модель, системщ коррекции фазы в форме векторного уравнения Колмогорова-Чепмена.

4. С помощью аппарата марковских процессов проведено исследование статистических характеристик фазовой ошибки на выходе системы коррекции фазы в условиях белого частотного и белого аддитивного шумов. Получены зависимости дисперсии фазовых ошибок и среднего времени до срыва слежения от различных параметров воздействий и системы, оценены предельно-достижимые характеристики.

5. Выполнен анализ чувствительности алгоритма коррекции фазы и системы связи в целом к. ¡ полиномиальному фазовому воздействию и доплеровскому рассеянию в канале связи на основе численного решения разностного стохастического уравнения.

Практическая ценность

1.В диссертации получен алгоритм коррекции фазы сигналов с ортогональным частотным и пространственным разделением на основе информационных частотных каналов. Алгоритм применим в приемниках существующих и перспективных систем связи, использующих данный тип сигналов.

-122. Разработаны методики расчета и необходимое программное обеспечение, позволяющие определять основные статистические характеристики системы коррекции в различных условиях работы системы.

3. Разработан комплект имитационных моделей систем передачи на основе сигналов с ортогональным частотным и пространственным разделением с блоком коррекции фазы .несущей. Комплект ориентирован на получение оценок различных параметров и характеристик сигналов в различных точках системы в условиях произвольных аддитивных и фазовых воздействий.

4. Полученные в диссертации результаты позволили сформулировать предложения по повышению помехоустойчивости систем связи на основе сигналов с OFDM и MIMO-OFDM в условиях сложных фазовых воздействий.

Положения, выносимые на защиту

1. Алгоритм коррекции фазы несущей сигналов с ортогональным частотным и пространственным разделением, синтезированный на основе метода Большакова-Репина (гауссовского) с использованием многомерного фильтра Калмана. Алгоритм ориентирован на использование информационных частотных каналов.

2. Математическая модель синтезированной системы коррекции фазы в форме векторного уравнения Колмогорова-Чепмена, построенная с использованием оригинального предельного перехода от многоканального к эквивалентному одноканальному фазовому дискриминатору с дискриминационной характеристикой, определяемой аддитивной и высокочастотной фазовой помехами.

3. Методика и результаты исследования и оптимизации системы коррекции фазы на основе аппарата марковских процессов, в том числе характеристик фазовой ошибки и среднего времени до срыва слежения.

4. Методика и результаты исследования чувствительности системы коррекции к фазовому воздействию с полиномиальной СПМ в условиях доплеровского рассеяния' на основе модели, построенной в среде динамического моделирования Simulink пакета Matlab.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Кукушкин, Дмитрий Сергеевич

-149 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ ■

В итоге выполненных в диссертационной работе исследований получены следующие основные результаты;

1. На основе аппарата многомерной фильтрации Калмана синтезирован алгоритм коррекции фазы для сигналов с OFDM и MIMO-OFDM, использующий информационные частотные каналы. Алгоритм реализован посредством многоканальной системы фазовой синхронизации. Синтезированный алгоритм позволил получить выигрыш по помехоустойчивости над стандартной системой коррекции фазы по пилотным частотным каналам до 3-4 дБ в зависимости от характера и уровня помех в канале.

2. Предложена математическая модель многоканального фазового дискриминатора на основе оригинального предельного перехода от совокупности фазовых дискриминаторов к одному эквивалентному, вид дискриминационной характеристики которого определяется статистическими параметрами входного сигнала и типом используемого сигнального созвездия. В случае фазовой манипуляции характеристика изменяется от пилообразной до синусоидальной в зависимости от мощности аддитивного шума с периодом, равным угловому расстоянию между двумя ближайшими точками сигнального созвездия. В случае квадратурно-амплитудной модуляции характеристика имеет более сложный вид, определяемый размером сигнального созвездия.

3. Разработана математическая модель синтезированной системы коррекции фазы в форме векторного уравнения Колмогорова-Чепмена. Модель построена для белого частотного шума с учетом перехода к эквивалентному фазовому дискриминатору. Предложена основанная на решении уравнения методика расчета среднего времени работы системы до срыва слежения.

4. На основе численного решения уравнения Колмогорова-Чепмена выполнен статистический анализ синтезированной системы коррекции фазы для фазового воздействия типа белого частотного шума. Основные результаты анализа можно свести к следующим:

- зависимость уровня фазовой ошибки и среднего времени до срыва слежения системы характеризуется наличием экстремума, положение которого зависит от уровня аддитивного шума; важным следствием этого является устойчивость системы к увеличению уровня аддитивного шума за счет уменьшения коэффициента усиления в кольце;

- посредством параметрической оптимизации системы были вычислены предельно-достижимые характеристики системы; их анализ позволил определить границу возникновения нелинейных эффектов, которая составляет от 10 до 35 дБ в зависимости от типа сигнального созвездия.

5. Построена имитационная модель системы связи на основе сигналов с OFDM и MIMO-OFDM с системой коррекции фазы на приемной стороне в среде динамического моделирования Simulink пакета Matlab. Предложен метод формирования случайных процессов, по свойствам близких к фликкер-шумам с использованием формирующего фильтра нижних частот высокого порядка.

6. На основе имитационной модели проведен анализ дисперсии фазовой ошибки системы коррекции фазы. Выполнено сравнение полученных результатов с результатами анализа марковской модели. Сравнение показало, что результаты имитационного моделирования качественно повторяют результаты анализа марковской модели для достаточно широкого диапазона входных воздействий. Отличие экспериментальной и теоретической дискриминационных характеристик фазового дискриминатора составляет менее 5%. Зависимости дисперсии ошибки от усиления в кольце отличаются менее чем на 1 дБ.

7. Выполнен анализ вероятности появления ошибки в системе связи на основе сигналов с OFDM и MIMO-OFDM с предложенной системой коррекции фазы на основе кольца ФАПЧ для различного порядка СПМ фазовых воздействий. Анализ показал, что с увеличением порядка входного воздействия выигрыш предложенной системы на основе бесфильтрового кольца ФАПЧ возрастает начиная с фазового фликкер-шума. В случае OFDM сигналов выигрыш может достигать до 2 дБ по уровню аддитивного шума, в случае сигналов с MIMO-OFDM до 3 дБ. Применение системы коррекции с дополнительным фильтром в цепи управления в данном случае нецелесообразно.

8. Проведен анализ вероятности появления ошибки в системе связи на основе сигналов с OFDM и MIMO-OFDM с предложенной системой коррекции фазы на основе кольца ФАПЧ в условиях доплеровского рассеяния и различного порядка входных воздействий. Анализ показал, что в условиях доплеровского рассеяния выигрыш предложенной системы перед системой на основе пилотных каналов увеличивается. Аналогично случаю стационарного канала с увеличением порядка СПМ энергетический выигрыш бесфильтровой системы увеличивается и для OFDM достигает 3 дБ, для MIMO-OFDM до 4 дБ.

9. Показано, что в случае доплеровского рассеяния с величиной расширения 20 . 80 Гц (для несущей 2,5 ГГц), достаточно высокого ОСШ (более 30 дБ для

- л 'У

КАМ-64 модуляции) и при уровне фазового шума 5 • 10 .5 -10 рад система коррекции фазы на основе кольца ФАПЧ с астатизмом 2-го порядка дает дополнительный энергетический выигрыш до 1,5 дБ в сравнении с бесфильтровой системой как в случае OFDM, так и MIMO-OFDM модуляции.

-152

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кукушкин, Дмитрий Сергеевич, 2007 год

1. Широкополосные беспроводные сети передачи информации/ Вишневский В.М., Ляхов А.И., Портной С.Л. и др. М.: Техносфера, 2005. - 592 с.

2. Защищенные радиосистемы цифровой передачи информации / Сердюков П.Н., Бельчиков А.В., Дронов А.Е. и др. М.: ACT, 2006. - 403 с.

3. IEEE Р802.1 la/D7.0, "Part 11: Wireless LAN Medium Access Control (MAC) and Physical Layer (PHY) specifications: High Speed Physical Layer in the 5 GHz Band"; July 1999.

4. IEEE Std IEEE 802.16-2004 (Revision of IEEE Std IEEE 802.16-2001). IEEE Standard for Local and metropolitan area networks. Part 16: Air Interface for Fixed Broadband Wireless Access Systems. IEEE, 1 October 2004.

5. European Standard, ETSI EN300 744 VI.5.1 (2004-06).

6. Armada A.G. Understanding the Effects of Phase Noise in Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) // IEEE Trans, on Broadcasting. -2001.-vol. 47, no. 2.

7. Robertson P., Kaiser S. Analysis of the effects of phase noise in OFDM systems, Proc. ICC, 1995, pp. 1652-1657.

8. Abhayawardhana V.S, Wassel I.J. Common Phase Error Correction with Feedback for OFDM in Wireless Communication, IEEE Global Communications Conference (GLOBECOM 2002), November 2002.

9. Wu S., Bar-Ness Y. "A phase noise suppression algorithm for OFDM-based WLANs," IEEE Commun. Lett., vol. 6, pp. 535-537, Dec. 2002.

10. Petrovic D., Rave W., Fettweis G. Intercarrier Interference due to Phase Noise in OFDM Estimation and Suppression, Proc. Of VTC'04 Fall, Los Angeles

11. Казаков JI.H., Кукушкин Д.С., Шабанов A.B. Применение аппарата марковских процессов для анализа системы коррекции фазы цифрового канала OFDM // Электросвязь. 2007. - №2. - С. 34-37.

12. Казаков JI.H., Кукушкин Д.С. Синтез многомерной оптимальной системы коррекции фазы в канале OFDM // Электросвязь. 2006. - №10. - С.23-26.

13. Сизов В.П. Синтез оптимальных линейных моделей фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника и электроника. 1973. - № 12. -С. 2529-2537.

14. Сизов В.П. Синтез оптимальных линейных моделей цифровых систем фазовой автоподстройки // Радиотехника и электроника. 1974. - №9. - С. 1886-1893.

15. Цифровые системы фазовой синхронизации / М.И.Жодзишский, С.Ю.Сила-Новицкий, В.А.Прасолов и др.; Под ред. М.И. Жодзишского. -М.: Сов. Радио, 1980.-208 с.

16. Цифровые радиоприемные системы: Справочник / М.И. Жодзишский, Р.Б. Мазепа, Е.П. Овсянников и др.; Под ред. М.И. Жодзишского М.: Радио и связь, 1990.-208 с.

17. Марковская теория оценивания в радиотехнике / Под ред. М.С. Ярлыкова -М.: Радиотехника, 2004. 504 с.

18. Shi Kai, Serpedin Erchin, Ciblât Philippe Decision-Directed Fine Synchronization in OFDM Systems IEEE transactions on communications, vol. 53, no. 3, march 2005. p 408-412.

19. Kang H. W., Cho Y. S., Youn D. H. "On Compensating Nonlinear Distortions of an OFDM System Using an Efficient Adaptive Predistorter", IEEE Transactions on Communications, vol. 47, no. 4, pp. 522 526, April 1999.

20. Волчков В.П. Уменьшение пикфактора OFDM методом адаптивного управления поднесущими // Научно-технический семинар "Системы синхронизации, формирования и обработки сигналов для связи и вещания". Сборник докладов. Белгород 2006. С. 52-56.

21. Cimini Leonard J., Sollenberger Nelson R. "Peak-to-Average Power Ratio Reduction of an OFDM Signal Using Partial Transmit Sequences", IEEE Communication Letters, vol. 4, no. 3, pp. 86 88, March 2000.

22. Волчков В.П. Сигнальные базисы с хорошей частотно-временной локализацией // Электросвязь. 2007. №2. С. 21-25.

23. Alamouti S. M., "A simple transmit diversity technique for wireless communications", IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 16, no. 8, Oct. 1998, pp. 1451-1458.

24. Wolniansk P. W. "V- BLAST: An Architecture for Realizing Very High Data Rates Over the Rich- Scattering Wireless Channel", Proc. ISSSE-98, Pisa, Ital y, Sept. 29, 1998.

25. Schenk T. C. W., Tao X.-J., Smulders P. F. M., Fledderus E. R., Influence and suppression of phase noise in multi-antenna OFDM, inProc. 60th IEEE VTC 2004-Fall, vol. 2, pp. 1443-1447, Sept. 2004.

26. Schenk, T.C.W., Van Zelst A., "Frequency Synchronization for MIMO OFDM Wireless LAN Systems", Proc. IEEE Vehicular Technology Conference Fail 2003 (VTC Fall 2003), Orlando (FL), 6-9 October 2003, paper 05D-03

27. Foschini G. J., "Layered space-time architecture for wireless communication in a fading environment when using multiple antennas", Bell Laboratories Technical Journal, vol. 1, no. 2, autumn 1996, pp. 41-59.

28. Хоряев A.B., Масленников P.O. Подавление перекрестных помех в MIMO-системах связи // Научная конференция по радиофизике: Сборник трудов. -Нижний Новгород, 2003. С. 199-200.

29. Феер К. Беспроводная цифровая связь / Пер. с англ. под ред. В.И. Журавлева.- М.: Радио и связь, 2000. - 520 с.

30. Скляр Б. Цифровая Связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд. 2-е, испр.; Пер. с англ.; М.: Вильяме, 2003, 1104 с.

31. Прокис Дж. Цифровая связь / Пер. с англ. под ред. Д.Д. Кловского. М.: Радио и связь. - 2000. - 798 с.

32. Рыжков А.В., Попов В.Н. Синтезаторы частот в технике радиосвязи. М.: Радио и связь, 1991.-264 с.

33. MaJames A. Crawford. Frequency Synthesizer Design Handbook. Artech House, Inc. Norwood, 1994. 435 p.

34. Шапиро Д.Н., Паин А.А. Основы теории синтеза частот. -М.: Радио и связь, 1981.-264 с.

35. Казаков Л.Н., Кукушкин Д.С. Синтез многомерной оптимальной системы коррекции фазы в канале OFDM модуляцией // Цифровая обработка сигналов и ее применение: Сборник докладов 8-ой международной конференции 29-31 марта 2006 г. М., 2006. - С. 228-231.

36. Казаков JI.H., Кукушкин Д.С., Шабанов А.В. Система коррекции фазы в канале OFDM на основе многомерного фильтра Калмана // Сборник трудов 61 научной сессии, посвященной дню радио, 14-15 мая 2006 г. М., 2006. -С.123-125.

37. Кукушкин Д.С., Шабанов А.В., Казаков JI.H. Синтез многомерного фильтра Калмана для задачи восстановления фазы в канале OFDM // Физический вестник ЯрГУ: Сборник научных трудов. Выпуск 1. -Ярославль, 2006. - С. 214-221.

38. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике: Учебное пособие. -М.: Радио и связь, 2000. 584 с.

39. Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. М.: Радио и связь, 1998. - 488 с.

40. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем: Учебное пособие. М.: Радио и связь, 1991.-608 с.

41. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. -2-е изд., перераб. и доп. -М.: Радио и связь, 1982. -624 с.

42. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации методом усреднения. М.: Радио и связь, 1999.-496 с.

43. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Советское радио, 1977 - 525 с.

44. Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. М.: Сов. радио, 1977.- 408 с.

45. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. 4.1. Случайные процессы. -М.: Наука, 1976.-494 с.

46. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи: Учебн. пос. для вузов / Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И.; Под ред. В.И. Тихонова. 2-е изд. -М.: Сов. радио, 1980. 544 с.

47. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. 3-е изд. -М.: Радио и связь, 1989.-656 с.

48. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ. Под ред. Ю.Н. Бакаева и М.В. Капранова. М.: Сов. Радио, 1978 - 600 с.

49. Системы фазовой синхронизации с элементами дискретизации / Шахгильдян В.В., Ляховкин A.A., Карякин В.Л. и др.; Под ред.

50. B.В.Шахгильдяна. М.: Радио и связь, 1989 - 320 с.

51. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. М.: ИПРЖР, 1996.-252 с.

52. Витерби А. Исследование динамики систем фазовой автоподстройки частоты в присутствии шумов с помощью уравнения Фоккера-Планка // ТИИЭР.- 1963.-Т. 51,№12.-С. 1704-1722.

53. Шахгильдян В.В., Пестряков A.B. Перспективные направления развития динамической теории дискретных систем фазовой синхронизации для устройств синтеза и стабилизации частот // Электросвязь. 1993. -№11.1. C. 38-42.

54. Пестряков A.B. Разработка и применение прикладных методов анализа дискретных систем фазовой синхронизации для устройств синтеза и стабилизации частоты: Дис. докт. техн. наук. -М., 1992. 472 с.

55. Белых В.Н., Максаков В.П. Статистическая динамика цифровой системы фазовой синхронизации первого порядка // Радиотехника и электроника. -1979. -№5.-С. 965-974.

56. Душин И.Н., Казаков Л.Н., Кукушкин Д.С. Статистические характеристики двухкольцевой цифровой СФС в условиях комбинированных воздействий. ICCSC'04. М., 2004. - 4 с.

57. Душин И.Н., Кукушкин Д.С. Нелинейные режимы цифрового синхро-фазового демодулятора на базе двухкольцевой СФС последовательного типа //7-я международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применение»: Сборник докладов. М., 2005 - С. 264-267.

58. Башмаков М.В., Казаков JI.H. Статистические характеристики дискретной СФС 2-го порядка при наличии на входе гармонической помехи // Электросвязь. -2001. № 6. - С. 25-28.

59. Аналоговые и цифровые синхронно-фазовые измерители и демодуляторы/ А.Ф. Фомин, А.И. Хорошавин, О.И. Шелухин; под. ред. А.Ф.Фомина. М.: Радио и связь, 1987. - 248 с.

60. Казаков Л.Н., Башмаков М.В. Математические модели стохастических цифровых систем фазовой синхронизации: Учеб. пос. / Яр. гос. ун-т им. П.Г. Демидова-Ярославль, 2001- 135 с.

61. Казаков Л.Н., Пономарев Н.Ю., Казаков А.Л. Цифровой синхронно-фазовый демодулятор на основе ЦСФС 3-го порядка // Цифровая обработка сигналов и ее применение: Материалы 2-ой международной конференции, Москва, 21-24 сентября. М., 1999 - 7 с.

62. Битюцкий В.И., Сердюков П.Н. Оценка времени до срыва синхронизма в импульсной системе ФАПЧ // Радиотехника. 1973. - №8. - С. 95-97.

63. Башмаков М.В., Кукушкин И.А., Душин И.Н. Анализ времени до срыва слежения в дискретной СФС 2-го порядка // Радиофизика и электроника на пороге 21 века: Сб. науч. тр. молод, учен., асп. и студ. шк.-семинара июль 2001 г. Ярославль, 2001.- С. 40-50.

64. Казаков Л.Н., Кукушкин Д.С. Марковская модель системы коррекции фазы для технологии OFDM с QAM модуляцией // Цифровая обработка сигналов и ее применение: Сборник докладов 9-ой международной конференции 28-30 марта 2007 г. М., 2007. - С. 35-38.

65. Башмаков М.В. Статистические характеристики дискретных СФС в условиях комбинированных воздействий // Дис.канд. техн. наук. М., 2001.- 190 с.

66. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984. - 320 с.

67. Руководство ЕТ81 ЕТ81 Ев 201 793 vi.1.1 (2000-10), 1997.

68. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. МАТЬАВ 5.0/5.3. Система символьной математики. М.: Нолидж, 1999. - 640 с.

69. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде МАТЬАВ: учебный курс. -СПб.: Питер, 2000.-432 с.

70. Дьяконов В., Круглов В. МАТЬАВ. Анализ, идентификация и моделирование систем: Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002. -448 с.

71. Разностные уравнения и их приложения / Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Киев: Наука, 1986.-280 с.

72. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.-336 с.

73. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. - 632 с.

74. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1977. - 832 с.

75. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1964.-498 с.