Синтез и анализ алгоритмов навигации по измерениям магнитного поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Тхоренко Максим Юрьевич

• Тхоренко Максим Юрьевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Тхоренко Максим Юрьевич

1.4.2 Регуляризация Тихонова

1.4.3 Моделирование работы алгоритма

Выводы

2 Алгоритмы комплексирования БИНС с магнитными измерениями

2.1 Уравнения ошибок БИНС

2.2 Использование фильтра Калмана для коррекции навигационной системы по магнитным измерениям

2.3 Коррекция БИНС по магнитным измерениям

2.3.1 Комплексирование данных БИНС с измерениями модуля магнитного поля

2.3.2 Комплексирование данных БИНС с измерениями вектора магнитного поля

2.3.3 Комплексирование данных БИНС с измерениями вектора градиента магнитного поля

2.3.4 Комплексирование данных БИНС с измерениями тензора градиента магнитного поля

2.4 Особенности практической реализации предложенных алгоритмов

2.5 Сравнение различных вариантов реализации коррекции БИНС

для летательного аппарата

Выводы

3 Алгоритм работы электромагнитной системы относительного позиционирования

3.1 Алгоритм относительного позиционирования

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Вывод алгоритма

3.1.3 Алгоритм относительного позиционирования

3.1.4 Алгоритм разрешения неоднозначности

3.2 Уравнения ошибок

3.2.1 Общие замечания

3.2.2 Линеаризованные уравнения ошибок

3.2.3 Анализ уравнений ошибок

3.3 Особенности практической реализации предложенных алгоритмов

3.4 Использование описанных алгоритмов в составе аэроэлектрораз-ведочных комплексов

Выводы

4 Калибровка электромагнитной системы относительного позиционирования

4.1 Постановка задачи

4.2 Модель поля

4.3 Калибровка вблизи земли

4.4 Калибровка на большой высоте

4.5 Калибровка системы в составе аэроэлектроразведочного комплекса 88 Выводы

Заключение

Список публикаций по теме диссертации

Список литературы

Используемые сокращения

ИНС - инерциальная навигационная система

БИНС - бесплатформенная инерциальная навигационная система БИБ - бесплатформенный инерциальный измерительный блок СНС - спутниковая навигационная система ДУС - датчик(и) угловых скоростей

СКВИД - от англ. SQUID, Superconducting Quantum Interference Device

МЭМС - микроэлектромеханическая система

ЭВМ - электронно-вычислительная машина

СКО - среднеквадратическое отклонение

НИР - научно-исследовательская работа

ОКР - опытно-конструкторская работа

ООО - общество с ограниченной ответственностью

МО РФ - Министерство обороны Российской Федерации

ИПУ РАН - Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук

Используемые обозначения

Н, В,... - векторы с компонентами НГ1, В{,... а • Ь - скалярное произведение |V| - модуль вектора V : |V| = \/(у • у) Vф - градиент

^пхт - множество действительнозначных матриц п х т

Ащ - элементы матрицы А е Шпхт

АТ - транспонированная матрица

А-1 - обратная матрица

1тА - след матрицы А

|а| - для столбца а е Кпх1 : |а| = л/ата

|^||2 - V е Н : |^||2 = \](V, V), где Н - гильбертово пространство, (•, •) - скалярное произведение в этом пространстве

А* - эрмитово-сопряженный оператор

||/(ж)||то - ^-норма: ||/(ж)||то = евввирх |/(х)|

(•) - математическое ожидание случайной величины

- дисперсия случайной величины

о - о-малое: / = о(д) //д ^

О - О-большое: / = о(д) //д ^ С >

Введение

Под термином навигационная система в современной научной и технической литературе, как правило, подразумевается совокупность устройств, предназначенных для определения положения и ориентации в пространстве различных физических объектов. Важность создания таких систем на современном этапе развития человечества трудно переоценить. Действительно, без современных методов навигации стало бы абсолютно невозможным освоение космоса [1], трансконтинентальные рейсы гражданской авиации [2], создание высокоточного, «умного» оружия [3], проведение научных исследований в области астрономии, астро и геофизики и многое другое. Сегодня различные навигационные системы все шире проникают и в повседневную жизнь человека: приемники спутниковых навигационных систем в автомобилях [4], помогающие избегать дорожных заторов, сельскохозяйственные машины, автоматически обрабатывающие поля с использованием встроенных навигационных систем [5], акселерометры и магнитометры в современных смартфонах, позволяющие управлять видеоиграми с помощью поворотов и наклонов корпуса телефонного аппарата [6], и, наконец, операции на сердце и других органах, выполняемые через крошечные проколы в стенках сосудов под контролем встроенной в операционный стол небольшой навигационной системы [7]. Нельзя забывать и о мореходном деле - самой старой области применения методов навигации, с историей развития которой связано возникновение навигации по звездам и создание магнитного компаса [8].

Одним из основных современных методов навигации является т.н. инерци-альная навигация [9], [10]. Несмотря на огромные достоинства данного метода, он обладает и серьезными недостатками. Главный из них - вне зависимости от качества инерциальной навигационной системы, ошибка в определяемых координатах, скоростях объекта и углах его ориентации постоянно увеличивается со временем [11], [12], [13]. Даже высококачественные системы демонстрируют

уровень ошибки в 1-2 км уже после часа работы [14]. Разумеется, при таких характеристиках не может быть и речи о применении данных систем в приложениях, где требуется метровая или, тем более, субметровая точность счисления координат - например, в некоторых задачах геодезии и геофизики. Необходимо также упомянуть о том, что инерциальные навигационные системы высокого класса точности достаточно громоздки и чрезвычайно дорогостоящие - по данным зарубежной печати, высокоточная навигационная система для морских применений может стоить несколько сотен тысяч долларов.

В связи с указанными недостатками, в последние годы активно развивается направление создания интегрированных навигационных систем, в которых для определения положения и ориентации объекта наряду с традиционной инерциальной информацией используются также сторонние данные неинерци-альной природы [15]. Таким данными могут выступать: сигналы наземных [16] и спутниковых радионавигационных систем [17], [18], информация о рельефе и изображения подстилающей поверхности [19], [20], [21], данные об угловом положении Солнца и звезд [10] и многое другое. Однако, и эти подходы не лишены своих недостатков. Например, системы, корректируемые по радионавигационным сигналам, не могут работать или работают с большими ошибками в условиях, исключающих надежный прием радиосигналов (под землей, в железобетонных зданиях) или при наличии сильных помех (как естественного, так и искусственного происхождения); работа систем навигации по изображениям подстилающей поверхности и по звездам зависит от условий видимости. В связи с этим в течение уже довольно длительного времени развивается альтернативный подход, заключающийся в коррекции инерциальных систем по измерениям естественных физических полей Земли [22], [23], [24], [25]. Данным системам присущ ряд уникальных преимуществ: полная автономность, сложности в создании искусственных помех, потенциально высокая достижимая точность. В последние годы в ИПУ РАН выполнен ряд работ по использованию измерений различных параметров градиента геомагнитного поля в интегрированных навигационных системах для подвижных [26], [27], в том числе и подводных, объектов [28], [29].

Описанные выше системы способны работать в глобальных масштабах, например, на всей поверхности Земли или при полетах внутри Солнечной системы, в то же время в основе решения многих важных научных и техниче-

ских проблем лежит задача определения положения и ориентации некоторого подвижного объекта относительно неподвижной или подвижной системы координат - так называемая задача относительной навигации. Действительно, такие актуальные на сегодняшний день вопросы, как, например, управление мобильными роботами, пилотируемыми и беспилотными летательными аппаратами, требуют высокоточного определения координат и ориентации подвижных объектов. При решении ряда специфических задач, таких как управление группами беспилотных летательных аппаратов, осуществление стыковки в космосе, посадка пилотируемых или беспилотных летательных аппаратов на борт движущегося судна, контроль пространственного положения отдельных частей сложных механических систем, методы относительной навигации являются незаменимыми.

Существует целый ряд подходов к построению систем такого класса. Например, для решения задачи управления стыковкой космических аппаратов была разработана система относительного позиционирования, основанная на принципах радионавигации. Данная система, несмотря на успешную работу в целом ряде полетов, не лишена и некоторых недостатков. Например, при определенном пространственном положении стыкующихся космических объектов, в ней могут создаваться зоны затенения, характеризующиеся пониженным уровнем навигационного сигнала, что может приводить к неустойчивой работе системы в целом [30]. Необходимо отметить, что данный недостаток в принципе присущ всем системам относительной навигации, построенным на приеме радионавигационных сигналов. В связи с этим является актуальной разработка систем относительной навигации, использующих в своей работе иные физические принципы. Среди таких систем выделяются (благодаря своей хорошей теоретической проработанности и достаточно широкому практическому применению) электромагнитные системы относительного позиционирования, принцип работы которых основан на измерении специально созданного магнитного поля. Несомненными достоинствами таких систем является их устойчивость к помехам и высокая достижимая точность при условии проведения предварительной калибровки.

Таким образом, для решения как глобальных, так и локальных навигационных задач используются измерения различных параметров магнитного поля [31]. Для точных измерений компонент вектора индукции магнитного поля при-

меняются, как правило, феррозондовые магнитометры. Перспективным является применение компонентных магнитометров на базе СКВИД, характеризующиеся значительно более высокой точностью по сравнению с феррозондовыми аналогами. В последнее время, для приложений не требующих высокой точности измерений, широкое распространение получили магнитометры на базе МЭМС-датчиков [32]. Для высокоточных измерений модуля индукции магнитного поля используются квантовые магнитометры различных конструкций. На базе описанных сенсоров также могут быть построены измерители вектора и тензора градиента магнитного поля. В системах, измеряющих вектор градиента магнитного поля, применяются несколько квантовых магнитометров с фиксированным разносом, выходными данными являются попарные разности измерений отдельных датчиков. Для измерения тензора градиента магнитного поля используется набор векторных магнитометров, закрепленных на жесткой базе. При использовании в качестве векторных измерителей феррозондовых датчиков удается получить лишь весьма грубые оценки компонент тензора градиента, поэтому для точных измерений необходимо применять тензорные градиентометры, созданные с использованием компонентных СКВИД-датчиков. При измерениях магнитных полей, изменяющихся по гармоническому закону, с успехом применяются индукционные датчики, представляющие из себя катушки из материала с низким удельным сопротивлением; принцип работы таких датчиков основан на явлении электромагнитной индукции. Важной особенностью датчиков указанного типа является их высокая чувствительность к изменению формы и ориентации измерительных катушек, что приводит к значительным помехам при использовании данных датчиков в составе подвижных объектов [33].

Из вышесказанного следует, что с одной стороны, системы, основанные на измерениях параметров магнитного поля, востребованы для решения задач как глобальной, так и локальной, относительной навигации; с другой стороны, современная техника обладает широким арсеналом магнитометрических датчиков, способных обеспечивать высокое качество измерений даже в жестких условиях эксплуатации. В связи с этим возникает задача разработки алгоритмов глобальной и локальной навигации на основе магнитных измерений, которой и будет посвящена данная диссертация.

Отметим, что схемы и подходы, излагаемые в этой работе, даны в макси-

мально общем виде и пригодны для решения различных навигационных задач. Однако, применение их на подвижных объектах, в т.ч. подводных и летательных аппаратах, имеет ряд особенностей, в связи с чем в соответствующих разделах даются необходимые комментарии и описываются возможные модификации общих алгоритмов. Особую важность этот вопрос принимает при разработке бортовых измерителей параметров естественного магнитного поля Земли для целей коррекции инерциальных навигационных систем. Действительно, при создании интегрированных навигационных систем на базе таких измерителей особое внимание необходимо уделять подавлению помех, связанных с собственным магнитным полем подвижного объекта. В настоящее время традиционный стала методика алгоритмической компенсации влияния носителя. Основной проблемой данного подхода является тот факт, что спектры собственного поля носителя и измеряемого полезного сигнала, как правило, пересекаются, а амплитуда помехи со стороны носителя существенно превышает изменения измеряемого поля. Для преодоления указанных сложностей в авиационных применениях используется специальный калибровочный маневр: летательный аппарат поднимается на большую высоту, где влияние Земли существенно ослабляется, что позволяет с достаточной точностью оценить собственное магнитное поле аппарата-носителя. Для обработки данных, зарегистрированных в ходе калибровочного маневра, в ИПУ РАН был разработан оригинальный подход, основанных на представлении полезного сигнала в виде марковского случайного процесса [34].

Заметим также, что задача синтеза алгоритма работы низкочастотной электромагнитной системы относительного позиционирования не является новой; решения указанной задачи представлено, например, в работах [35], [36], [37]. В связи с этим хотелось бы обратить внимание на некоторые отличия подхода к решению этой задачи, содержащегося в данной работе, от существующих. Действительно, алгоритм, предлагаемый в работе [36] не способен определять все составляющие положения и ориентации подвижного объекта; данный недостаток исправлен в работе [37], однако представленный алгоритм приводит к решению весьма сложной системы уравнений и рассмотрению частных случаев. Подход, представленный в диссертационной работе, развивает идеи [37] с использованием иного математического аппарата, что позволяет упростить вычисления.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез и анализ алгоритмов навигации по измерениям магнитного поля»

Общая характеристика работы Цель работы

Целью работы является синтез и анализ алгоритмов навигации по измерениям магнитного поля для применения в составе интегрированных навигационных систем и в электромагнитных системах относительного позиционирования. Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1. проанализировать процесс измерений различных параметров магнитного поля Земли на борту подвижных объектов в целях навигации и обосновать перспективность применения магнитоградиентных данных для коррекции инерциальных навигационных систем;

2. разработать способы построения карт градиента магнитного поля на основании имеющейся информации о модуле вектора данного поля;

3. синтезировать алгоритм комплексирования измерений векторных и тензорных магнитоградиентометров с данными бесплатформенной инерци-альной навигационной системы;

4. синтезировать алгоритм относительного позиционирования для электромагнитной системы с частотным разделением каналов;

5. разработать процедуру калибровки, обеспечивающую достижение высокой точности работы вышеописанного алгоритма.

Научная новизна

1. Синтезирован новый способ получения карт параметров градиента магнитного поля Земли на основании имеющейся информации.

2. Разработан алгоритм комплексирования измерений градиента магнитного поля Земли и данных бесплатформенной инерциальной навигационной системы; показано преимущество использования магнитоградиентных измерений в задачах навигации.

3. Синтезирован новый алгоритм относительного позиционирования для низкочастотной электромагнитной системы; получены уравнения ошибок для этого алгоритма.

4. Разработана методика калибровки, позволяющая увеличить точность описанного выше алгоритма; рассмотрено применение данной методики для различных условий эксплуатации.

Соответствие шифру специальности

Настоящая работа соответствует специальности 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)» в части обработки информации по пунктам:

1. Теоретические основы и методы системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

2. Формализация и постановка задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

3. Разработка критериев и моделей описания и оценки эффективности решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

4. Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

5. Разработка специального математического и программного обеспечения систем анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

Теоретическая значимость результатов

Теоретическая значимость данной работы заключается, во-первых, в том, что с использованием методов численного моделирования показана перспективность применения магнитоградиентных измерений для коррекции показаний инерциальных навигационных систем, а также продемонстрирован метод

построения карт магнитного градиента на основании информации о модуле вектора магнитного поля Земли; во-вторых, с весьма общих позиций рассмотрена задача относительной навигации в низкочастотном магнитном поле, полученные алгоритмы решения данной задачи могут применяться как на неподвижных, так и на подвижных подводных, надводных, воздушных и космических объектах.

Практическая значимость результатов

Полученные результаты в части систем относительного позиционирования применяются ООО «Геотехнологии» при разработке буксируемых аэроэлектро-разведочных систем и при обработке результатов геофизических измерений. Результаты в области коррекции инерциальных навигационных систем по измерениям градиента магнитного поля применялись в ИПУ РАН при выполнении серии НИР и ОКР по заказам МО РФ.

Реализация и внедрение результатов исследования

Результаты работы внедрены в следующих организациях: ООО «Геотехнологии», ИПУ РАН.

Методы исследования

В работе применяются методы линейной алгебры, функционального анализа, теории функций комплексной переменной, теории вероятности и математической статистики, уравнений математической физики, общей теории управления, математической оптимизации, теории инерциальной навигации и геофизики.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Способ построения карт параметров градиента магнитного поля Земли, основанный на методе регуляризации Тихонова.

2. Алгоритм коррекции бесплатформенной инерциальной навигационной системы по данным магнитоградиентных измерений.

3. Алгоритм относительной навигации в низкочастотном магнитном поле на основе матричного подхода.

4. Процедура калибровки низкочастотных электромагнитных систем относительного позиционирования.

Степень обоснованности и достоверности полученных научных результатов

Достоверность полученных результатов обеспечивается комплексом факторов: строгостью применяемого математического аппарата, результатами численного моделирования и обработки экспериментальных данных, практическим внедрением части предложенных алгоритмов и вычислительных процедур.

Апробация

Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях:

• 6-ой Международной конференции по аэроэлектроразведке (ЮАР, Мпу-маланга, 2013 г.);

• Всероссийских совещаниях по проблемам управления (Москва, 2014, 2019 гг.);

• 7-й Всероссийской мультиконференции по проблемам управления (Санкт-Петербург, 2014);

• Всероссийских научно-практической конференциях «Перспективные системы и задачи управления» (Сочи, 2014 г.; Домбай, 2015 г.; Евпатория, 2016 г.).

• 11-й научно-практической конференции «Инженерная геофизика» (Геленджик, 2015 г.).

• 30-й Конференции памяти выдающегося конструктора гироскопических приборов Н. Н. Острякова (Санкт-Петербург, 2016 г.).

• Конференции «Управление в морских и аэрокосмических системах» (Санкт-Петербург, 2016 г.).

• 13-й Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого, Москва, 2016 г.).

• 11-й Международной конференции по математическим проблемам аэрокосмических исследований и инженерного дела (Ла-Рошель, 2016 г.).

• Международных конференциях по интегрированным навигационным системам (Санкт-Петербург, 2017, 2018 гг.).

• 16-й Всероссийской школе-конференции молодых ученых «Управление большими системами» (Тамбов, 2019 г.).

• 4-й Всероссийской конференции «Навигация, наведение и управление ЛА» (Москва, 2019 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 26 работ (31 работа с учетом переводов), в т.ч. 1 монография, 7 статей в журналах/сборниках из перечня ВАК (12 статей с учетом переводов), в т.ч. 5 работ из перечня Web of Science/Scopus, сделано 18 докладов на российских и международных конференциях, в т.ч. 4 из перечня Web of Science/Scopus1.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка публикаций, списка литературы, списков используемых сокращений и обозначений. Работа изложена на 107 страницах, содержит 29 иллюстраций, 5 таблиц. Список цитируемой литературы включает 82 пункта.

Содержание работы

Основное содержание работы изложено во введении, 4 главах и заключении.

ХС учетом находящихся в печати

Введение посвящено обоснованию актуальности, практической и теоретической ценности диссертационной работы. Дается краткий обзор существующих методов локальной и глобальной навигации, использующих измерения различных параметров магнитного поля. Формулируются цели и задачи исследования, изложены структура, основные положения диссертационной работы и краткое содержание ее разделов.

В Главе 1 обосновывается перспективность применения интегрированных навигационных систем, корректируемых по магнитным измерениям; вводятся понятия вектора и тензора градиента геомагнитного поля; дается обзор существующих технических решений, предназначенных для измерения различных параметров магнитного поля на борту подвижного объекта. Данная глава содержит описание общих принципов комплексирования БИНС с магнитными измерителями и возможную структуру таких систем. Описан алгоритм вычисления параметров градиента магнитного поля Земли по картам аномального магнитного поля, основанный на методе регуляризации Тихонова. Приведены результаты численного моделирования, подтверждающие сравнительно высокую точность восстановления параметров градиента магнитного поля Земли с использованием описываемого алгоритма.

Глава 2 посвящена синтезу алгоритмов коррекции БИНС по различным магнитным измерениям. Данные алгоритмы получены на основе линеаризованных уравнений ошибок БИНС, линеаризованных уравнений измерения и методов калмановской фильтрации. Приведен сравнительный анализ различных схем комплексирования, из результатов которого следует, что магнитоградиен-тометрические системы на базе СКВИД являются наиболее перспективными источниками корректирующей информации для интегрированных навигационных систем.

Глава 3 описывает новый алгоритм работы низкочастотной системы электромагнитной навигации, основанный на матричном подходе. Выписывается модель измеряемого поля, выводятся уравнения, связывающие магнитные измерения с навигационными параметрами. На основе данных измерений формулируется алгоритм относительной навигации в виде, пригодном для реализации на ЭВМ. Рассматриваются случаи неоднозначной работы данного алгоритма, предлагается механизм устранения данной неоднозначности. Для синтезированного алгоритма навигации выводятся уравнения ошибок. Также проводится

численное моделирование работы алгоритма относительной навигации в составе аэроэлектроразведочного комплекса «EM-4H»; результаты моделирования подтверждают высокую потенциально достижимую точность электромагнитной системы относительного позиционирования, основанную на описываемых в данной главе принципах. Демонстрируются результаты практического применения данных алгоритмов. В заключение, рассматривается применение разработанного алгоритма в составе различных аэроэлектроразведочных систем производства ООО «Геотехнологии».

Изложение в Главе 4 начинается с анализа уравнений ошибок алгоритма относительного позиционирования, полученных в в предыдущей главе. Данный анализ показывает, что для достижения высокой точности определения навигационных параметров необходимо определить параметры излучателя навигационного электромагнитного поля, т.е. решить задачу калибровки. Данная задача решается в различных постановках для различных условий эксплуатации. Приводятся результаты численного моделирования работы алгоритма калибровки на большой высоте в составе аэроэлектроразведочного комплекса «EM-4H», подтвердившее значительное снижение навигационных ошибок после осуществления калибровки. Описывается практическое применение данного алгоритма в составе аэроэлектроразведочных систем «EM-4H» и «EQUATOR».

В Заключении дается краткий обзор достигнутых в настоящей работе результатов.

Глава 1

Характеристики магнитных измерений для коррекции

БИНС

Как известно, метод инерциальной навигации обладает тем недостатком, что ошибки определения положения, скорости и ориентации объекта накапливаются со временем и могут достигать весьма большой величины. Распространенным способом борьбы с данным неприятным явлением является использование, наряду с данными инерциальной навигационной системы, измерений неинерциальной природы, определение текущего местоположения по которым не приводит к накоплению ошибок; навигационная система, работающая таким образом, называется интегрированной навигационной системой [38]. В настоящее время, в связи с доступностью спутниковых навигационных систем особенно широкое распространение получило комплексирование инерциальных и спутниковых измерений, что в ряде случаев позволяет построить навигационную систему, обладающую хорошими показателями точности и, в то же время, способную работать при малом числе навигационных спутников или коротких периодах пропадания навигационного сигнала [17]. Комплексирование данных ИНС с данными СНС, несмотря на удобство и распространенность, не лишено, тем не менее, существенных недостатков. Прежде всего, проблемы связаны с навигацией в областях, в которых отсутствует уверенный прием сигналов СНС, например под водой, под землей, внутри зданий; в таких условиях, в комплекси-рованной навигационной системе ИНС-СНС будет работать фактически только

инерциальная часть, что приведет к быстрому накоплению ошибок позиционирования. Чтобы преодолеть данные трудности, разрабатываются альтернативные подходы к навигации, подразумевающие комплексирование ИНС с данными иной природы, например, сигналами беспроводных сетей. Новый подход к проблеме построения интегрированных навигационных систем, в последние годы активно развивающийся в нашей стране - использование наряду с показаниями ИНС данных о градиенте магнитного поля, регистрируемых с помощью векторного или тензорного измерителя, установленного на борту подвижного объекта [28], [29]. В рамках указанного подхода, путем измерения величины градиента магнитного поля, навигационная система способна не только существенно ограничить ошибки встроенного блока инерциальной навигации, но и осуществлять автономную навигацию (без использования данных инерциаль-ных датчиков), сравнивая измеренные значения градиента поля с хранящейся в памяти прибора картой градиента в данном районе.

Использование параметров градиента геомагнитного поля для коррекции БИНС обладает рядом несомненных преимуществ. В частности, такая схема коррекции позволяет достичь высоких точностей навигации в полностью автономном режиме (некоторые оценки величины навигационных ошибок для данных систем даны в главе 2). Кроме того, градиент магнитного поля является величиной гораздо более стабильной во времени, чем само поле. Для примера рассмотрим рисунки 1.1 и 1.2. На первом из них представлено изменение модуля вектора магнитной индукции, зафиксированное над определенным участком земной поверхности за время около 12 лет. На втором рисунке показано изменение величины горизонтальной компоненты вектора градиента над тем же участком за тот же период времени. Учитывая, что на сегодняшний день модуль магнитной индукции может быть измерен с точностью порядка 0,1 нТл [39], а компоненты вектора градиента - с точностью порядка 0,01 нТл/м [40], видно, что градиент изменился существенно слабее, чем само поле. Таким образом, использование для навигации магнитоградиентной информации позволит значительно реже обновлять данные о геомагнитном поле. Наконец, для магнитоградиентной системы сложно создать помехи. Действительно, любой искусственный источник магнитного поля на большом расстоянии можно с хорошей точностью считать точечным магнитным диполем, градиент поля которого убывает, как известно (см., например, [41]), как 1/г4. Таким образом,

радиус эффективной работы любого источника помех будет достаточно мал.

Т, пТ

0.2 0.9 1.6 2.2 2.9 3.6 4.3 4.9 5.6 6.3 6.9 7.6 6,3

.........п...

Рис. 1.1: Изменение модуля вектора магнитной индукции за продолжительный период времени, нТл

сЛ\ пТ / т

0.0012а 0 01026 0.01923 0.02821 0 03713 0.04615

И^П I I I ШМ

Рис. 1.2: Изменение горизонтальной компоненты вектора магнитного градиента за продолжительный период времени, нТл/м

Настоящая глава состоит из нескольких частей. В первой части будет представлен принцип построения интегрированных навигационных систем, использующих магнитоградиентную информацию, и дано краткое описание различных параметров градиента геомагнитного поля. Во второй части содержится обзор существующих технических средств проведения измерений магнитного поля и его градиента. Третья часть данной главы посвящена алгоритму построения магнитоградиентных карт по имеющимся измерениям аномального магнитного поля.

1.1 Принципы построения интегрированных навигационных систем с магнитными измерениями

Идея комплексирования данных БИНС и данных о каком-либо параметре магнитного поля Земли состоит в следующем. Пусть над каким-то участком земной поверхности в ряде точек с известными координатами измерен некоторый параметр магнитного поля - в таком случае будем говорить, что построена магнитная карта. Пусть на подвижном объекте установлены инерциальный измерительный блок и магнитоизмерительная система. Тогда, сравнивая измеренные значения определенного параметра магнитного поля в некий момент времени со значениями этого же параметра, взятыми из карты в точке с координатами, соответствующими координатам БИНС в этот момент времени, можно, в принципе, оценить ошибку определения координат, а, следовательно, и ошибки определения скорости и ориентации по данным инерциальной системы. Один из возможных способов это сделать состоит в следующем. Будем предполагать ошибки БИНС малыми, тогда, как можно показать, эти ошибки удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям. Линеаризуя карту градиента вблизи модельной точки, получаем задачу оптимального оценивания векторов ошибок навигационной системы, решением которой, как известно, является фильтр Калмана [42]. После того, как оценки ошибок получены, с их помощью можно скорректировать текущие показания БИНС.

Существует, однако, и другой способ комплексирования, основанный на непосредственном оценивании вектора состояния, содержащего, например коор-

динаты и скорости объекта и компоненты кватерниона, определяющего ориентацию. Действительно, динамика вектора состояния задается некоторым дифференциальным, вообще говоря нелинейным, уравнением. В тоже время, процесс измерения некоего параметра магнитного поля можно описать некоторой нелинейной функцией, связывающей измеренное значение этого параметра с вектором состояния с использованием данных магнитной карты. Задача, поставленная таким образом (нелинейное уравнение измерений и нелинейное уравнение динамики), называется нелинейной задачей оценивания. В отличии от линейной задачи оптимального оценивания, нелинейная задача оптимального оценивания решения в общем случае не имеет, однако существует ряд эффективных эвристических алгоритмов, в частности, различные нелинейные обобщения фильтра Калмана [43], [44]. В настоящей работе, однако, я ограничусь рассмотрением схем комплексирования, основанных на линеаризованных уравнениях ошибок и линеаризованных уравнениях измерения.

Структурно, интегрированная навигационная система с магнитными измерениями состоит из следующих основных частей:

• магнитоизмерительный модуль;

• БИБ;

• вычислитель.

Основным назначением магнитоизмерительного модуля является измерение того или иного магнитного параметра с определенной частотой, перевод измеренного значения в цифровую форму и передача этого значения по бортовой сети обмена данными вычислителю для последующей обработки. Отметим, что в состав навигационных систем, к которым предъявляются повышенные требования по надежности функционирования, может входить несколько идентичных измерительных блоков, формируя таким образом функционально-избыточную схему, устойчивую к единичным сбоям.

БИБ состоит из трех ДУС и трех акселерометров, жестко закрепленных на корпусе. Предназначением данного блока является формирование в цифровом виде векторов угловой скорости объекта и его кажущегося ускорения и передача данных значений бортовому вычислителю посредством сети передачи данных. Заметим, что в высоконадежных системах, инерциальный измерительный блок

также может иметь функционально-избыточную структуру, однако такие блоки в настоящей работе не рассматриваются.

Вычислитель должен обеспечивать решение следующих задач:

• постоянный надежный прием сигналов от магнитоизмерительного и инер-циального измерительного блоков;

• решение в реальном времени задачи инерциальной навигации;

• вычисление в реальном времени поправок к навигационному решению, полученных на основе магнитных измерений, и постоянный ввод этих поправок в алгоритм инерциальной навигации;

• выдача навигационного решения потребителям по согласованному интерфейсу;

• возможность ввода на любом этапе работы поправок в калибровочные параметры чувствительных элементов;

• возможность докалибровки чувствительных элементов в процессе движения объекта.

1.2 Магнитное поле Земли и его градиент

В области навигации, как и в физике в целом, принято характеризовать магнитное поле Земли вектором индукции В, выражающимся в системе СИ в Тл (в геофизической практике, ввиду малости измеряемых магнитных полей, общеупотребительной является производная единица - нТл). В дальнейшем будем отождествлять вектор В со столбцом В € К3х1, составленным из компонент В, записанных в какой-либо системе координат. Существуют два типа измерителей магнитного поля, широко применяемых как в геофизике, так и в навигации - векторные измерители, способные измерять все компоненты вектора В в некоторой, связанной с измерителем, системе координат, и скалярные измерители, определяющие только модуль т = |В| вектора В. Оба типа измерителей применяются в существующих навигационных системах; алгоритмы работы таких систем не являются новыми, но, несмотря на это, приводятся в данном разделе, чтобы показать единство предлагаемого подхода к

комплексированию БИНС с магнитными измерениями и продемонстрировать преимущество применения магнитоградиентных систем перед обычными маг-нитоизмерительными.

В соответствии со сложившейся в геофизике традицией, тензором градиента магнитного поля называется величина

г дВ

%3 дж, '

где В, - компоненты вектора В в какой-либо прямоугольной декартовой системе координат. Заметим однако, что выражение, записанное выше, вообще говоря не является ковариантным, поэтому в криволинейных координатах тензор градиента имеет другой вид (см., например, [45]). В дальнейшем мы будем также пользоваться матричной формой записи тензора градиента Г € К3х3, где матрица Г составлена из компонент тензора Г,.

Просто показать, что в области, в которой отсутствуют источники, тензор градиента является симметричным Г, = Г, и его след равен нулю ^3=1 Г^ = 0 [31], следовательно из 9 компонент Г, только пять являются независимыми. Введем операцию {•}, ставящую в соответствие некоторому тензору 2-го ранга с компонентами Т, в трехмерном евклидовом пространстве вектор-столбец Т €

М5х1:

{•} : Т, Д Т = (ТшТ22,Т12,Т1з,Т2з)т.

Если тензору 2-го ранга с компонентами Т, поставлена в соответствие некоторая матрица Т € К3х3 (как это было сделано выше для тензора градиента магнитного поля), то операция {•} может быть записана следующим образом:

{•} : Т Д Т = (Т11, Т22, Т12, Т13, ТГ23)Т.

С помощью введенной операции определим вектор-столбец О € К5х1 как О = {Г} - в дальнейшем, где это удобно, будем использовать столбец О вместо матрицы Г.

Кроме тензора градиента магнитного поля, можно ввести и другую величину - данная величина по сложившейся в геофизике традиции называется вектором градиента геомагнитного поля, компоненты которой в прямоугольной декартовой системе координат определяется следующим образом:

д |В |

1г =

дж

В дальнейшем будем представлять вектор градиента магнитного поля в виде столбца д € К3х1, составленного из компонент 7^. Легко видеть, что:

3=¡Вгв

1.3 Средства измерения магнитного поля и его градиента

Для измерений компонент вектора магнитного поля чаще всего применяются феррозондовые магнитометры [46]. Разработанные для бортовых применений феррозондовые магнитометры имеют чувствительность порядка 0.1 нТл и погрешность измерений до 10 нТл.

Для измерения модуля вектора индукции магнитного поля применяются, как правило, квантовые датчики разных модификаций [46]. Разработанные для бортовых применений квантовые датчики имеют чувствительность порядка 0.001 нТл и погрешность измерений до 0.1 нТл.

Сравнительные характеристики различных магниточувствительных датчиков приведены в табл. 1.1. Отметим, что индукционные датчики (проводящие рамки, работа которых основана на явлении электромагнитной индукции) не способны измерять постоянную составляющую поля, а СКВИД измеряют магнитное поле с точностью до произвольной постоянной; поэтому данные о точности этих датчиков в таблице не приводятся.

Тип Диапазон, Чувствитель- Точность,

мТл ность, нТл нТл

Индукционные 10-ю _ 106 10-4 -

Феррозонды 10-4 - 0,5 0,01 50

СКВИДы 10-9 - 0,1 10-5 -

Ядерно-прецессионные 0,02 - 0,1 0,05 0,5

Квантовые с оптичес- 0,01 - 0,1 0,0005 0,5

кой накачкой

Таблица 1.1: Сравнительные характеристики магниточувствительных датчиков

Векторным магнитным градиентометром называют конструкцию, включающую несколько квантовых магнитометров, работающих в дифференциальном

режиме при фиксированном известном разносе датчиков, который обычно составляет 1-10 метров. Чувствительность измерений определяется жесткостью базовой линии между датчиками и ее длиной и для существующих систем имеет порядок 1 пТл/м в полосе 1 Гц [47]. Погрешность же измерения компонент градиента зависит от условий калибровки. Учитывая конструктивные особенности, такие системы трудно калибровать в лабораторных условиях, поскольку даже после калибровки каждого датчика в отдельности останется неучтенным влияние конструкции градиентометра. Оценка поля конструктивных элементов градиентометра выполняется в специальном калибровочном полёте на большой высоте. Как правило, градиент внешнего поля в таком эксперименте имеет величину порядка 10 пТл/м, что сопоставимо с погрешностью квантового магнитометра, отнесённого к длине базовой линии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тхоренко Максим Юрьевич, 2020 год

Список литературы

1. Jordan, J. F. Interplanetary Navigation: An Overview. / J. F. Jordan, L. J. Wood // Localization and Orientation in Biology and Engineering. / ed. by D. Varjú, H. U. Schnitzler. — Springer, 1984. — P. 294-305.

2. Inertial Navigation Systems and Its Practical Applications / A. Nawrat [et al.] // New Approach of Indoor and Outdoor Localization Systems / ed. by F. Elbahhar, A. Rivenq. — IntechOpen, 2012. — P. 213-240.

3. Wingfield, S. L. The joint direct attack munition (JDAM) I cost and operational effectiveness analysis (COEA): the philosophy and methodology / S. L. Wingfield, T. L. Venema // Proceedings of National Aerospace and Electronics Conference (NAECON'94). Vol. 2. — 1994. — P. 1200-1207.

4. Escher, M. Future Automotive GNSS Positioning in Urban Scenarios / M. Escher, M. Stanisak, U. Bestmann // 2016 International Technical Meeting of The Institute of Navigation. — 2016. — P. 836-845.

5. Manuel, P.-R. GNSS in precision agricultural operation / P.-R. Manuel, S. K. Upadhyaya // New Approach of Indoor and Outdoor Localization Systems / ed. by F. Elbahhar, A. Rivenq. — IntechOpen, 2012. — P. 3-26.

6. Rosario, M. B. del. Tracking the Evolution of Smartphone Sensing for Monitoring Human Movement / M. B. del Rosario, S. J. Redmond, N. H. Lovell // Sensors (Basel). — 2015. — Vol. 15, no. 8. — P. 18901-18933.

7. Torrecilla, E. G. Navigation Systems in Current Electrophysiology / E. G. Torrecilla // Revista Española de Cardiología. — 2004. — Vol. 57, no. 8. — P. 722-724.

8. Дмитриев, С. П. Высокоточная морская навигация / С. П. Дмитриев. — СПб.: Судостроение, 1990. — С. 224.

9. Андреев, В. Д. Теория инерциальной навигации. Корректируемые системы / В. Д. Андреев. - М.: Наука, 1967. - С. 648.

10. О'Доннел, К. Ф. Инерциальная навигация / К. Ф. О'Доннел. - М.: Наука, 1969. - С. 592.

11. Кузовков, Н. Т. Инерциальная навигация и оптимальная фильтрация / Н. Т. Кузовков, О. С. Салычев. - М.: Машиностроение, 1982. - С. 216.

12. Бранец, В. Н. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем / В. Н. Бранец, И. П. Шмыглевский. - М.: Наука, 1992. - С. 280.

13. Titterton, D. H. Strapdown Inertial Navigation Technology / D. H. Titterton, J. L. Weston. — 2nd ed. — Institution of Engineering, Technology, 2004. — P. 558.

14. Пешехонов, В. Г. Перспективы гироскопии / В. Г. Пешехонов // ВСПУ-2019. - 2019. - С. 1-4.

15. Groves, P. D. Principles of GNSS, Inertial, and Multisensor Integrated Navigation Systems / P. D. Groves. — Artech House, 2008. — P. 540.

16. Bahl, P. RADAR: an in-building RF-based user location and tracking system / P. Bahl, V. Padmanabhan // INFOCOM' 00. — 2000. — P. 775-784.

17. Greval, M. S. Global positioning systems, inertial navigation, and integration / M. S. Greval, L. R. Weil, A. P. Andrews. — John Wiley & Sons, 2007. — P. 525.

18. Leik, A. GPS Satellite Surveying / A. Leik, L. Rapoport, D. Tatarnikov. — 4th ed. — Wiley, 2015. — P. 807.

19. Kalyan, B. A feasibility analysis on using bathymetry for navigation of autonomous underwater vehicles / B. Kalyan, M. Chitre // 28th ACM Symposium on Applied Computing. — 2013. — P. 229-231.

20. Щербинин, В. В. Построение инвариантных корреляционно-экстремальных систем навигации и наведения летательных аппаратов / В. В. Щербинин. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. - С. 232.

21. Щербинин, В. В. Алгоритмы фрагментации цветных фотоснимков для формирования разносезонных эталонных изображений оптических корреляцио] экстремальных систем навигации ЛА / В. В. Щербинин, Е. В. Шевцова // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 3. - С. 87-92.

22. Красовский, А. А. Теория корреляционноэкстремальных навигационных систем. / А. А. Красовский, И. Н. Белоглазов, Г. П. Чигин. — М.: Наука, 1979. - С. 447.

23. Джанджгава, Г. Навигация по аномальному гравитационному полю Земли. Выбор структуры и обоснование требований к системе навигации с учетом возможностей существующего картографического и аппаратного обеспечения / Г. Джанджгава, Л. Августов, А. Сорока // Авиакосмическое приборостроение. - 2002. - С. 63-68.

24. Августов, Л. И. Бортовой гравивариометр. Опыт разработки и результаты стендовых испытаний / Л. И. Августов, А. И. Сорока // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2009. - С. 51-56.

25. Джанджгава, Г. И. Навигация по геополям / Г. И. Джанджгава, Л. И. Августов. - М.: Научтехлитиздат, 2018. - С. 296.

26. Каршаков, Е. В. Применение измерений параметров градиента магнитного поля Земли в задаче навигации летательного аппарата / Е. В. Каршаков // Управление большими системами. - 2011. - С. 265-282.

27. Karshakov, E. V. Aeromagnetic Gradiometry and Its Application to Navigation / E. V. Karshakov, M. Yu. Tkhorenko, B. V. Pavlov // Automation and Remote Control. — 2018. — Vol. 79, no. 5. — P. 897-910.

28. Волковицкий, А. К. Магнитоградиентные измерительные системы и комплексы. Том I. Принципы измерений и структура магнитоградиентных комплексов. / А. К. Волковицкий, Е. В. Каршаков, Б. В. Павлов. - ИПУ РАН, 2018. - С. 149.

29. Магнитоградиентные измерительные системы и комплексы. Том II. Обработка информации и применение магнитоградиентных комплексов. / А. К. Волковицкий, Е. В. Каршаков, Б. В. Павлов, М. Ю. Тхоренко. - ИПУ РАН, 2018. - С. 135.

30. Terminal control of the trajectory and rotational motion of an active spacecraft during a rendezvous with a passive spacecraft / N. E. Zubov, E. A. Mikrin, A. S. Oleynik, V. N. Riabchenko // Journal of Computer and Systems Sciences International. — 2016. — Vol. 55, no. 3. — P. 435-445.

31. The models and structure of onboard measurements of three-dimensional physical fields / T. A. Vovenko, A. K. Volkovitskiy, B. V. Pavlov, M. Yu. Tkhorenko // Automation and Remote Control. — 2017. — Vol. 78, no. 6. — P. 1115-1127.

32. Tumanski, S. Modern magnetic field sensors - a review / S. Tumanski // Przeglad Elektrotechniczn. — 2013. — P. 1-12.

33. Принципы построения, структуры и алгоритмы аэроэлектроразведочных комплексов. Часть I. Состояние, проблемы и теоретические основы. / А. К. Волковицкий, Д. А. Гольдин, Е. В. Каршаков, Б. В. Павлов. — ИПУ РАН, 2013. — С. 141.

34. Каршаков, Е. В. Стохастическая задача оценивания при компенсации девиации аэромагнитометра / Е. В. Каршаков, М. В. Харичкин // Автоматика и телемеханика. — 2008. — С. 68—77.

35. Remote Object Position Locator.US405488 / F. H. Raab ; F. H. Raab. — 1977.

36. Smith, R. S. Tracking the Transmitting-Receiving Offset in Fixed-Wing Transient EM Systems: Methodology and Application / R. S. Smith // Exploration Geophysics. — 2001. — No. 32. — P. 1-4.

37. Павлов, Б. В. Низкочастотная электромагнитная система относительной навигации и ориентации / Б. В. Павлов, А. К. Волковицкий, Е. В. Каршаков // Гироскопия и навигация. — 2010. — № 1. — С. 191—199.

38. Rogers, R. M. Applied Mathematics in Integrated Navigation Systems / R. M. Rogers. — AIAA, 2003. — P. 330.

39. Волковицкий, А. К. Система аэромагнитной съемки аномалий магнитного поля / А. К. Волковицкий, Е. В. Каршаков, М. В. Харичкин // Датчики и системы. — 2007. — С. 17—21.

40. Мельников, П. В. Результаты опытных аэромагнитных работ по измерению горизонтальных градиентов магнитного поля с использованием самолета Ан-3 / П. В. Мельников, Е. В. Каршаков // Труды 14-й научно-практической конференции «Инженерная и рудная геофизика 2018» (Ал-маты, Казахстан). — 2018. — С. 1—5.

41. Стрэттон, Д. А. Теория электромагнетизма / Д. А. Стрэттон. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 539.

42. Медич, Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление / Д. Медич. — М.: Энергия, 1973. — С. 440.

43. Степанов, О. А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации. / О. А. Степанов. — ЦНИИ Электроприбор, 2003. — С. 370.

44. Simon, D. Optimal State Estimation. Kalman, Иж, and Nonlinear Approaches / D. Simon. — John Wiley & Sons, 2006. — P. 550.

45. Kotsiaros, S. The geomagnetic field gradient tensor / S. Kotsiaros, N. Olsen // International Journal on Geomathematics. — 2012. — P. 297-314.

46. Telford, W. M. Applied Geophysics / W. M. Telford, L. R. Geldart, R. E. Sheriff. — Cambridge University Press, 2004. — P. 744.

47. Noriega, G. Aeromagnetic Compensation in Gradiometry - Performance, Model Stability, and Robustness / G. Noriega // IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters. — 2015. — Vol. 12, issue 1. — P. 117-121.

48. Geophysical Exploration Using Magnetic Gradiometry Based on HTS SQUIDs / C. P. Foley [et al.] // IEEE Transactions on Applied Superconductivity. — 2001. — Vol. 11, issue 1. — P. 1375-1378.

49. Calculation of the Magnetic Gradient Tensor from Total Magnetic Anomaly Field Based on Regularized Method in Frequency Domain / Y. Gang, Z. Ying-tang, M. Songlin, F. Hongbo, Z. L. // Journal of Applied Geophysics. — 2016. — Vol. 134. — P. 44-54.

50. Regularized Derivatives of Potential Fields and their Role in Semi-automated Interpretation Methods / R. Pasteka, F. Richter, R. Karcol, K. Brazda, M. Hajach // Geophysical Prospecing. — 2009. — No. 57. — P. 507-516.

51. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. - М.: Наука, 1990. - С. 232.

52. Analytic Continuation of a Potential in the Direction of Disturbing Masses by the Regularization Method / A. N. Tikhonov, V. B. Glasko, O. K. Litvinenko, V. P. Melichov // Izv., Earth Physics. — 1968. — No. 12. — P. 738-747.

53. Блох, Ю. И. Интерпретация гравитационных и магнитных аномалий / Ю. И. Блох. - М.: Самиздат, 2009. - С. 232.

54. REGCONT: A Matlab Based Program for Stable Downward Continuation of Geophysical Potential Fields Using Tikhonov Regularization / R. Pasteka, R. Karcol, D. Kusniraka, M. A. // Computers & Geosciences. — 2012. — No. 49. — P. 278-289.

55. International Geomagnetic Reference Field: the 12th generation / E. Thebault [et al.] // Earth, Planets and Space. — 2015. — Vol. 67, no. 79.

56. Purcell, E. M. Scattering and Absorbtion of Light by Nonspherical Dielectric Grains / E. M. Purcell, C. R. Pennypacker // The Astrophysical Journal. — 1973. — Vol. 186. — P. 705-714.

57. Lakhtakia, A. Strong and Weak Forms of the Method of Moments and the Coupled Dipole Method for Scattering of Time-harmonic Electromagnetic Fields / A. Lakhtakia // International Journal of Modern Physics C. — 1992. — Vol. 3, no. 3. — P. 583-603.

58. Yurkin, M. A. The discrete dipole approximation: an overview and recent developments / M. A. Yurkin, A. G. Hoekstra // arXiv. — 2007. — Vol. 0704.0038. — P. 1-36.

59. Extended discrete dipole approximation and its application to bianisotropic media / R. A. de la Osa [et al.] // Optics Express. — 2010. — Vol. 18, no. 23. — P. 23865-23871.

60. Голован, А. А. Математические основы навигационных систем. Часть I. Математические модели инерциальной навигации. / А. А. Голован, Н. А. Парусников. - Издательство Московского университета, 2007. - С. 110.

61. Голован, А. А. Математические основы навигационных систем. Часть I. Математические модели инерциальной навигации. / А. А. Голован, Н. А. Парусников. - Издательство Московского университета, 2010. - С. 126.

62. Голован, А. А. Математические основы навигационных систем. Часть II. Приложение методов оптимального оценивания к задачам навигации. / А. А. Голован, Н. А. Парусников. — М.: Макспресс, 2012. — С. 172.

63. Степанов, О. А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Часть 1. Введение в теорию оценивания. / О. А. Степанов. — ЦНИИ Электроприбор, 2017. — С. 509.

64. Степанов, О. А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Часть 2. Введение в теорию фильтрации. / О. А. Степанов. — ЦНИИ Электроприбор, 2017. — С. 428.

65. Trusov, A. A. Allan Variance Analysis of Random Noise Modes in Gyroscopes / A. A. Trusov // Universoty of California. — 2011. — P. 1-5.

66. Бурмистров, Е. В. Градиентометр на базе ВТСП СКВИДов для работы в неэкранированном пространстве / Е. В. Бурмистров // Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. по специальности 01.04.01. — 2009. — С. 107.

67. Желамский, М. В. Первый отечественный магнитный трекер для целеуказания / М. В. Желамский // Датчики и системы. — 2011. — № 1. — С. 49— 53.

68. Принципы построения, структуры и алгоритмы аэроэлектроразведочных комплексов. Часть II. Пути и методы реализации. / А. К. Волковицкий, Д. А. Гольдин, Е. В. Каршаков, Б. В. Павлов. — ИПУ РАН, 2013. — С. 114.

69. Волковицкий, А. К. Низкочастотная индуктивная аэроэлектроразведоч-ная система EM-4H / А. К. Волковицкий, Е. В. Каршаков, В. В. Попович // Записки Горного института. — 2009. — Т. 183. — С. 224—227.

70. Волковицкий, А. К. Новая вертолетная электроразведочная система «Экватор» для аэрометода переходных процессов / А. К. Волковицкий, Е. В. Каршаков, Е. В. Мойланен // Записки Горного института. — 2011. — Т. 194. — С. 154—157.

71. Якубовский, Ю. В. Индуктивные методы электроразведки / Ю. В. Якубовский. — М.: Госгеолтехиздат, 1963. — С. 212.

72. Светов, Б. С. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индукционной электроразведки / Б. С. Светов. — М.: Недра, 1973. — С. 254.

73. Жданов, М. С. Электроразведка / М. С. Жданов. — М.: Недра, 1986. —

C. 316.

74. Светов, Б. С. Основы геоэлектрики / Б. С. Светов. — М.: Изд-во ЛКИ, 2008. — С. 656.

75. Fountain, D. Airborne Electromagnetic Systems - 50 Years of Development /

D. Fountain // Exploration Geophysics. — 1998. — Vol. 29. — P. 1-11.

76. Fountain, D. 60 Years of Airborne EM - Focus on the Last Decade / D. Fountain // AEM2008. — 2008. — P. 8.

77. Волковицкий, А. К. Компенсация влияния наведенных токов в низкочастотной индуктивной аэроэлектроразведочной системе ЕМ-4Н / А. К. Волковицкий, Е. В. Каршаков, В. В. Попович // Международная конференция, посвященная 50-летию Института геофизики УрО РАН. — 2008. — С. 40—43.

78. Жданов, М. С. Геофизическая электромагнитная теория и методы / М. С. Жданов. — М.: Научный мир, 2012. — С. 680.

79. Каршаков, Е. В. Задача калибровки электромагнитной системы относительного позиционирования / Е. В. Каршаков // Управление большими системами. — 2012. — Т. 37. — С. 250—268.

80. Жданов, М. С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей / М. С. Жданов. — М.: Наука, 1984. — С. 326.

81. Karshakov, E. V. Receiver Positioning by Means of EM Field Measurements /

E. V. Karshakov, A. K. Volkovitskiy, M. Yu. Tkhorenko // 13th SAGA Biennial and 6th International AEM Conference. — 2013. — P. 1-4.

82. Golub, G. H. Matrix Computations / G. H. Golub, C. F. Van Loan. — The Johns Hopkins University Press, 2013. — P. 756.