Синтез алгоритмов численного дифференцирования, работающих в реальном времени, с увеличенным шагом дискретизации для целей управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Кошоева, Бибигуль Бейшенбековна

• Кошоева, Бибигуль Бейшенбековна
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кошоева, Бибигуль Бейшенбековна

Введение.

1 Коррекция систем с использованием алгоритмов взятия производной.

1.1 Алгоритмы ПД и ПИД-регулирования и особенности их использования в локальных системах управления.

1.1.1 Существующие подходы к построению систем с алгоритмами ПД и ПИД-регулирования и синтезу их параметров.-.

1.1.2 Синтез параметров алгоритмов ПИД-регулирования в составе систем в частотной области.

1.1.3 Особенности анализа и синтеза дискретных алгоритмов ПД и ПИД-регулирования в составе системы в частотной области.

1.2 Реализация операции дифференцировании в непрерывных и дискретных алгоритмах ПИД и ПД-регулирования.

1.3 Влияние возмущений на качество работы систем с алгоритмами ПД и ПИД-регулирования.

1.4 Выводы.

2 Алгоритмы численного дифференцирования, работающие в реальном времени и их свойства.

2.1 Алгоритмы численного дифференцирования, работающих в реальном времени на базе производной от интерполяционного полинома Ньютона.

2.2 Частотные свойства алгоритмов численного дифференцирования, работающие в реальном времени, в зависимости от их структуры и шага дискретизации.

2.3 Анализ свойств алгоритмов численного дифференцирования при наличии высокочастотных шумов.

2.4 Выводы.

3 Разработка методики синтеза алгоритмов численного дифференцирования, работающих в реальном времени, для одноконтурных систем.

3.1 Объекты промышленных систем и их модельное представление в составе одноконтурных систем.

3.2 Особенности окрестности частоты среза на частотных характеристиках разомкнутых систем, работающих без перерегулирования в замкнутом режиме.

3.3 Применение алгоритмов численного дифференцирования, работающих в реальном времени в составе алгоритмов управления для одноконтурных систем.

3.3.1 Синтез параметров непрерывного алгоритма ПИД-регулирования с использованием частотных характеристик разомкнутой системы.

3.3.2 Частотные свойства алгоритмов численного дифференцирования с увеличенным шагом дискретизации.

3.3.3 Частотные характеристики разомкнутой системы с дискретными алгоритмами ПД-регулирования (с разным числом слагаемых) и с их непрерывными эквивалентами

3.3.3.1. Сравнительный анализ частотных характеристик непрерывных эквивалентных и дискретных алгоритмов ПД-реї улирования.

3.3.3.2. Сравнительный анализ частотных характеристик разомкнутых систем с непрерывными эквивалентными и дискретными алгоритмами ПД-регулирования.

3.3.4. Чувствительность замкнутой системы к высокочастотным помехам в тракте управляющего сигнала.

3.3.5. Методика синтеза дискретного алгоритма дифференцирования с увеличенным шагом дискретизации в алгоритмах ПД и ПИД-регулирования.

3.4. Выводы.

4 Синтез алгоритма численного дифференцирования с увеличенным шагом дискретизации для системы управления горячим водоснабжением (ГВС) на центральном тепловом пункте (ЦТП).

4.1 Система ГВС на ЦТП, структура, требования к функционированию, динамические свойства элементов ее составляющих.

4.1.1 Система регулирования температуры воды горячего водоснабжения.

4.1.2. Динамические свойства элементов системы ГВС.

4.1.3. Частотные характеристики линеаризованной разомкнутой системы ГВС и динамика замкнутой системы.

4.2 Анализ динамических свойств системы ГВС с увеличенным шагом дискретизации алгоритма дифференцирования.

4.3 Анализ качества работы систем ГВС в стационарном режиме при наличии случайных возмущений.

4.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез алгоритмов численного дифференцирования, работающих в реальном времени, с увеличенным шагом дискретизации для целей управления»

Операции численного дифференцирования широко используются в практике обработки сигналов и так же непосредственно в алгоритмах прямого цифрового управления. Существует достаточное число работ по численным методам и справочной литературы, в которых рассматриваются принципы построения и представлены наиболее употребляемые алгоритмы численного дифференцирования. Подавляющее большинство известных алгоритмов численного дифференцирования строятся на основе использования ограниченного числа первых слагаемых производных интерполяционных полиномов Ньютона, Стерлинга или Бесселя. При этом для целей прямого цифрового управления (или управления в реальном времени) подходят только алгоритмы, построенные на базе производной интерполяционного полинома Ньютона, так как в них для оценки производной используются текущие и прошлые значения поступающего в обработку сигнала.

Вместе с тем проблема численного дифференцирования применительно к задачам управления является достаточно старой и общей. Суть ее заключается в том, что производная в алгоритмах управления вычисляется обычно как разность двух соседних на интервале дискретизации переменных, отнесенная к интервалу времени между ними, поэтому относительная погрешность оценки производной по отношению к истинному значению производной оказывается весьма большой и зависящей от величины шага дискретизации.

С другой стороны погрешность оценки производной во временной области не столь важна для обеспечения требуемого качества и устойчивости работы замкнутой системы с применением алгоритмов численного дифференцирования в стандартных регуляторах, таких, например, как ПД и ПИ Д-регул яторы.

В работах по автоматическому управлению справедливо отмечается, что как уменьшение шага дискретизации, так и усложнение алгоритма численного дифференцирования повышают точность оценки производной. Современная микропроцессорная техника, с помощью которой реализуется алгоритмы управления, постоянно совершенствуется в части повышения быстродействия и соответственно, уменьшения шага дискретизации при реализации алгоритмов управления численными методами. Вследствие этого даже простейшие алгоритмы численного дифференцирования по своим свойствам приближаются к идеальному дифференцированию. Это обстоятельство способствует усилению высокочастотных помех за регулятором, приводит к излишне частому и неоправданному срабатыванию регулирующей аппаратуры, снижает качество и надежность работы систем.

К таким системам относится, например, система регулирования температуры воды в системе горячего водоснабжения (ГВС) на центральных тепловых пунктах (ЦТП). Управление положением клапана, который дозирует подачу горячей воды с теплостанции на теплообменник, осуществляется приводным двигателем через редуктор, а включение, выключение и реверс двигателя осуществляется с помощью механических реле по сигналам с выхода ПД-регулятора. Срок безотказной службы реле и регулирующей аппаратуры существенно уменьшается из-за чрезмерно частого срабатывания реле под действием возмущений, причиной которых является случайное потребление горячей воды [42].

Для ослабления высокочастотных шумов обычно вставляют отдельные фильтры, которые включаются на выходе соответствующих регуляторов, в структуре алгоритмов которых используется численное дифференцирование. Однако последовательное включение фильтров с регуляторами порой существенно снижает быстродействие всей системы и увеличивает длительность переходного процесса. Поэтому, например, на тепловых объектах с большими постоянными времени такое решение может привести к неприемлемо большой длительности и без того длительного переходного процесса.

Вместе с тем в [29] показывается, что частотные свойства алгоритмов численного дифференцирования на базе первых слагаемых производной интерполяционного полинома Ньютона ограничивают коэффициент передачи такого дифференциатора в области высоких частот и существенно уменьшают коэффициент передачи его в окрестностях частот кратных частоте

2 п дискретизации со = —. То есть фильтрующая способность алгоритмов численного дифференцирования в области высоких частот (при рациональном выборе шага дискретизации) может оказаться выше чем у алгоритма дифференцирования с бесконечно малым шагом в связке с фильтром нижних частот.

Указанное свойство алгоритмов численного дифференцирования может позволить отказаться от постановки дополнительного фильтра нижних частот в составе дискретного алгоритма управления. Функции дифференцирования и одновременно фильтра нижних частот с более высоким качеством может выполнять алгоритм численного дифференцирования с большим интервалом дискретизации. Однако интервал этот не может быть слишком большим, так как его чрезмерное увеличение неизбежно станет оказывать негативное влияние на устойчивость всей системы. В связи с этим актуальной является задача анализа свойств алгоритмов численного дифференцирования, работающих в реальном времени в составе регуляторов, на динамику, устойчивость и качество систем и разработка соответствующей методики синтеза.

Следует отметить, что работы по анализу частотных свойств и методикам выбора структуры и расчета параметров алгоритмов численного дифференцирования применительно к задачам управления практически отсутствуют. Вместе с тем существует достаточное число работ по расчету параметров алгоритмов регулирования, в которых численное дифференцирование входит как составляющее более общего алгоритма управления.

Алгоритмы численного дифференцирования достаточно широко используются для коррекции систем автоматического управления, но наибольшее распространение они находят как составная часть алгоритмов ПД и ПИД-регулирования для соответствующих регуляторов.

ПИД и ПД - регуляторы относится к наиболее распространенному типу регуляторов. Порядка 90-95% регуляторов, находящихся в настоящее время в эксплуатации, используют ПИД и ПД алгоритмы регулирования и их модификации [1,5].

После появления дешёвых микропроцессоров и аналого-цифровых преобразователей в промышленных ПИД- регуляторах активно реализуются автоматическая настройка параметров, различные адаптивные алгоритмы, нейронные сети, генетические алгоритмы, методы нечеткой логики. Усложнилась структура регуляторов: появились регуляторы с двумя степенями свободы, с применением принципов разомкнутого управления в сочетании с обратной связью, со встроенной моделью процесса и другие. Кроме функции регулирования, в ПИД-контроллерах вводятся функции аварийной сигнализации, контроля разрыва контура регулирования, выхода регулируемого параметра за границы диапазона и др. [19].

Настройка параметров ПИД-регулятора для линейной системы автоматического управления (САУ) подразумевает нахождение управляющего воздействия и, позволяющего оптимальным образом решать две основные задачи: первая задача состоит в обеспечении необходимых динамических показателей качества системы, а вторая - в достижении требуемой точности этой системы. Обычно при синтезе регуляторов решаются одновременно обе эти задачи.

Качество работы САУ зависит от настройки параметров регуляторов. Наиболее эффективные методы оценки параметров регуляторов базируются на частотных методах.

По способу реализации выделяют два вида ПИД-регуляторов САУ: аналоговые и цифровые. Аналоговые регуляторы реализуются на основе операционных усилителей. Цифровые регуляторы строятся на основе микропроцессорной техники. Однако применение цифровых регуляторов ставит перед разработчиками задачи, связанные с выбором формата представления данных, выбором периода дискретизации, алгоритмов численного интегрирования и дифференцирования, фильтрации и т.д. Решение всех вышеперечисленных задач напрямую влияет на точность и помехоустойчивость САУ. Одним из средств проверки работоспособности спроектированной системы является компьютерное моделирование. Благодаря такому моделированию может быть сделан вывод о соответствии показателей качества полученной в результате синтеза САУ требованиям технического задания на систему.

Обширная литература по анализу и синтезу параметров алгоритмов ПД и ПИД-регуляторования оперируют устоявшимися структурными представлениями алгоритмов интегрирующей, пропорциональной и упрощенной составляющей по оценке производной в общем алгоритме регулирования и направлены на оптимальный выбор параметров алгоритма с целью обеспечения требуемых условий работы системы. При этом шаг дискретизации определяется возможностями управляющего микропроцессора и его изменение не обсуждается.

Таким образом, актуальным является анализ свойств алгоритмов численного дифференцирования в частотной области, в которой чаще всего производится анализ и синтез систем управления. При этом важным является исследование следующих задач:

• оценка влияния длительности шага дискретизации алгоритма численного дифференцирования на устойчивость, качество и помехозащищенность проектируемой системы;

• привязка понятия требуемой точности алгоритма численного дифференцирования по отношению к рассматриваемой полосе пропускания системы;

• выбор структуры алгоритма численного дифференцирования применительно к особенностям проектируемой системы.

Для реализации цели работы были поставлены следующие задачи:

1. Анализ существующих подходов к реализации дискретных алгоритмов ПИД и ПД-регулирования в частотной области в составе одноконтурных систем управления при наличии шумов измерений и возмущений.

2. Проведение комплексного анализа частотных свойств алгоритмов численного дифференцирования на базе производной интерполяционного полинома Ньютона в зависимости от структуры алгоритма и шага дискретизации.

3. Разработка методики синтеза алгоритма дифференцирования в составе одноконтурных систем управления при наличии шумов измерений и возмущений.

4. Исследование эффективности алгоритма регулирования с точки зрения частоты переключений исполнительных механизмов при сохранении требуемой точности системы и качества функционирования локальной системы на примере существующей системы горячего водоснабжения ЦТП с ПД-регулятором, в котором реализуется алгоритм численного дифференцирования с увеличенным шагом дискретизации.

Научная новизна работы:

1. Определены частотные свойства алгоритмов численного дифференцирования на базе производной интерполяционного полинома Ньютона в зависимости от структуры алгоритма и шага дискретизации, обеспечивающие уменьшения влияния высокочастотных помех в •выходном сигнале алгоритмов ПД и ПИД-регулирования на работу регулирующей аппаратуры.

2. Разработана методика синтеза алгоритмов численного дифференцирования в составе дискретных алгоритмов ПД и ПИД-регулирования для одноконтурных систем управления, определяющая структуру алгоритма дифференцирования и максимально допустимый его шаг дискретизации.

Практическая значимость работы:

Разработанная методика синтеза алгоритмов численного дифференцирования в составе дискретных алгоритмов ПД и 1ТИД-регулирования для одноконтурных систем управления, определяющая структуру алгоритма дифференцирования и максимально допустимый шаг дискретизации, которая позволяет повысить помехозащищенность систем управления, уменьшить число срабатываний регулирующей аппаратуры в единицу времени при сохранении точности регулирования.

В первой главе диссертации рассматриваются алгоритмы ПД и ПИД-регулирования: особенности их использования в локальных системах управления, реализация операции дифференцировании в непрерывных и дискретных алгоритмах регулирования, влияние возмущений на качество работы систем с алгоритмами регулирования.

Далее во второй главе проводится анализ частотных свойств алгоритмов численного дифференцирования в зависимости от их структуры и шага дискретизации и проводится анализ свойств алгоритмов численного дифференцирования при наличии высокочастотных шумов.

В главе 3 рассмотрены объекты промышленных систем и их разные возможные модельные представление в составе одноконтурных систем, а также особенности применения алгоритмов численного дифференцирования реального времени для таких систем. Разработана методика синтеза алгоритмов численного дифференцирования, работающих в реальном времени, с увеличенным шагом дискретизации для одноконтурных систем (систем локальной автоматики).

В четвертой главе приведен пример синтеза алгоритма численного дифференцирования с увеличенным шагом дискретизации для коррекции системы управления горячим водоснабжением (ГВС) на центральном тепловом пункте (ЦТП). Для системы ГВС на ЦТП описана структура, требования к функционированию, динамические свойства элементов ее составляющих.

Произведен анализ динамических свойств системы ГВС со стандартными настройками алгоритма ПД - регулирования и описана динамика системы ГВС на ЦТП с модифицированным алгоритмом численного дифференцирования с увеличенным шагом дискретизации в составе алгоритма ПД - регулирования.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Кошоева, Бибигуль Бейшенбековна

4.4 Выводы

- использование предложенной методики синтеза дискретного алгоритма дифференцирования в составе алгоритма ПД- регулирования с увеличенным шагом дискретизации позволяет сократить число срабатываний регулирующей аппаратуры системы ГВС, что повышает ресурс работы системы;

- применение предложенной методики синтеза дискретного алгоритма дифференцирования в составе алгоритма ПД-регулирования с увеличенным шагом дискретизации позволяет использовать упрошенное представление передаточной функции объекта управления для замкнутых систем при требовании отсутствия перерегулирования при отработке скачка замкнутой системой или при не более чем 20% перерегулирования; - реализация алгоритма численного дифференцирования с увеличенным шагом дискретизации с использованием первого слагаемого производной интерполяционного полинома Ньютона по предложенной методике . приводит к наименьшему числу срабатываний регулирующей аппаратуры в системе ГВС.

В диссертационной работе проведен комплексный анализ свойств дискретных алгоритмов численного дифференцирования в частотной области, реализуемых на базе суммы, содержащей до шести первых слагаемых производной интерполяционного полинома Ньютона. Показано, что дискретные алгоритмы дифференцирования, работающие в реальном времени в составе алгоритмов управления и реализуемые на базе ограниченного числа первых слагаемых производной интерполяционного полинома Ньютона, представляют собой как простейшие, известные алгоритмы дифференцирования, так и более точные и сложные алгоритмы.

Предложено оценивать точность дифференцирования для дискретных алгоритмов численного дифференцирования в составе алгоритмов регулирования замкнутых систем управления по максимальному отклонению частотных характеристик дискретного алгоритма дифференцирования от идеального в полосе нижних частот, ограниченной частотой среза разомкнутой системы.

Показано, что как уменьшение шага дискретизации дискретного алгоритма численного дифференцирования, так и увеличение суммы числа первых слагаемых производной интерполяционного полинома Ньютона в дискретном алгоритме численного дифференцирования увеличивает точность дифференцирования в заданной полосе нижних частот, ограниченной частотой среза разомкнутой системы, и одновременно поднимает коэффициент усиления для высоких частот. Найдены условия и предложена методика оценки параметров дискретных алгоритмов численного дифференцирования в составе алгоритмов регулирования, базирующаяся на требовании обеспечении заданного запаса по фазе на частоте среза разомкнутой системы. Реализуемый при этом максимально допустимый шаг дискретизации уменьшает влияние высокочастотных помех на сигнал управления по сравнению с непрерывным аналогом подобного алгоритма дифференцирования, а также с вариантом использования дискретного алгоритма численного дифференцирования с малым шагом дискретизации совместно с фильтром низких частот.

6. Предложенная методика синтеза параметров дискретных алгоритмов дифференцирования позволяет пользоваться упрощенными аппроксимирующими передаточными функциями объекта управления при требовании отсутствия в системе перерегулирования и быстродействия близкого к максимальному.

7. Предложенная методика синтеза параметров дискретных алгоритмов дифференцирования позволяет отказаться от дополнительного фильтра высоких частот в составе алгоритмов регулирования и понизить чувствительность системы к высокочастотным помехам за счет определенного увеличения шага дискретизации в канале дифференцирования.

8. В системе ГВС использование предложенной методики синтеза дискретного алгоритма дифференцирования на базе первого слагаемого производной интерполяционного полинома Ньютона в составе алгоритма ПД - регулирования с увеличенным шагом дискретизации позволяет сократить число срабатываний регулирующей аппаратуры под действием случайных возмущений, что повышает ресурс работы системы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кошоева, Бибигуль Бейшенбековна, 2012 год

1. Ang К.Н., Chong G., Li Y. PID control system analysis, design, and technology // IEEE Transactions on Control Systems Technology. 2005. Vol. 13. No. 4. P. 559-576.

2. Ziegler J.G., Nichols N.B. Optimum settings for automatic controllers // Trans. ASME. 1942. Vol. 64. P. 759-768.

3. O'Dwyer A. PID compensation of time delayed processes 19982002: a survey //Proceedings of the American Control Conference, Denver, Colorado, 4 6 June 2003. P. 1494-1499.

4. Quevedo J., Escobet T. Digital control: past, present and future of PID control //Proceedings of the IF AC Workshop, Eds., Terrassa, Spain, 57 Apr. 2000.

5. Astrom K.J., Hagglund T. Advanced PID control. ISA (The Instrumentation, System, and Automation Society), 2006. — 460 p.

6. Li Y., Ang K.H, Chong G.C.Y. Patents, software, and hardware for PID control. An overview and analysis of the current art //IEEE Control Systems Magazine. Feb. 2006. P. 41-54.

7. Денисенко В.В. Заземление в системах промышленной автоматизации// Современные технологии автоматизации. 2006. №2. С.9499.

8. Денисенко В.В., Халявко А.Н. Защита от помех датчиков и соединительных проводов систем промышленной автоматизации// Современные технологии автоматизации. 2001. №1. С.68-75.

9. Leva А., Сох С., Ruano A. Handson PID autotuning: a guide to better utilisation. — IFAC Professional Brief. — http://www.ifaccontrol.org. 84 p.

10. Smith O.J.M. Close control of loops with dead time // Chemical Engineering Progress. 1957. Vol. 53. P. 217235.

11. Методы робастного, нейро -нечеткого и адаптивного управления: Учебник/ Под ред. Н.Д.Егупова, 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им.Баумана, 2002. - 744 с.

12. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and Control. 1965. № 8. P. 338353.

13. Ротач В.Я. Теория автоматического управления. — М. : Издательство МЭИ, 2004. — 400 с.

14. Mamdani Е.Н. Application of fuzzy algorithm for simple dynamic plant // Proc. IEEE. 1974. № 12. P. 1585 1588.

15. Yesil E., Guzelkaya M., Eksin I. Internal model control based fuzzy gain scheduling technique of PID controllers// World Automation Congress, 28 June 1 July 2004. Proceedings. Vol. 17. P. 501-506.

16. Feng H.M. A selftuning fuzzy control system design // IFSA World Congress and 20th NAFIPS International Conference, 2528 July 2001. Vol. 1. P. 209214.

17. Kawafuku R., Sasaki M., Kato S. Selftuning PID control of a flexible micro actuator using neural networks // IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetics, 1114 Oct. 1998. Vol. 3. P. 30673072.

18. Денисенко B.B. ПИД-регуляторы: принципы построения и модификации //Современные технологии автоматизации. 2006. № 4. С. 6674; 2007. № 1. С. 7888.

19. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость.- М.: Наука, 1979.-336 с.

20. Изерман Р. Цифровые системы управления,- М.: Мир, 1984. 541 с.

21. Chien K.L., Hrones J.A., Reswick J.B. On automatic control of generalized passive systems // Trans. ASME. 1952. Vol. 74. P. 175185.

22. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1976, стр.576.

23. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. Изд. 4-е, перераб. и доп. Спб, Изд-во «Профессия», 2004. -752 е.- (Серия: Специалист)

24. Денисенко В.В. ПИД-регуляторы: вопросы реализации //Современные технологии автоматизации. 2007. №4. С.8697; 2008. № 1. С. 8698.

25. Нетушил A.B. Теория автоматического управления. Под ред. A.B. Нетушила. Учебник для вузов. М., «Высшая школа», 1976. 420 с илл.

26. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 616 е.: ил.

27. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. С предисловием Луи Де Бройля, перевод с французского под общей редакцией К.С. Шифрина, 2-е издание. М.: Наука. Гл. физ.-мат. лит.,1967.-627 с.

28. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. - 487 с.

29. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений: Пер. с анг. М.: Мир, 1969. - 368 с.

30. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.-598 с.

31. Бут Э.Д. Численные методы. — М.: Физматгиз, 1959.- 239 с.

32. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.:Наука, 1970.

33. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения. М.: Физматлит, 1995. -560 с.

34. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984.-832 с.

35. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб.пособие. М.: Наука, 1990.-320 с.

36. Колосов О.С. Алгоритмы численного дифференцирования в задачах управления / О.С. Колосов, И.Е. Подольская, С.А. Кульмамиров, Фон Чжаньлинь. М.: Издательский дом МЭИ, 2009. 144 с.

37. Кошоева Б.Б. Алгоритмы численного дифференцирования реального времени на базе интерполяционного полинома Ньютона// Международная научно-техническая конференция "Прикладная математика и механика: Проблемы и перспективы" (КГТУ-2010).- Бишкек

38. Колосов О.С., Кошоева Б.Б. Алгоритмы численного дифференцирования реального времени для задач автоматизации и управления. // Мехатроника, автоматизация, управление. 2012. - № 2. - С.10-15.

39. Теория автоматического управления. Под редакцией A.B. Нетушила. -Учебник для вузов. Изд. 2-е, доп. и перераб. - М.: Высшая школа, 1976. -420 с.

40. Ротач В.Я. Расчет настройки промышленных систем регулирования. М. -Л., Госэнергоиздат, 1961. 344с. с черт.

41. Ротач В.Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования. М., «Энергия», 1973. 440с. с ил.

42. Кулаков Г.Т. Инженерные экспресс-методы расчета промышленных систем регулирования: Спр.пособие.- Мн.: Выш.шк., 1984. 192с., ил.

43. Денисенко В.В. ПИД-регуляторы: принципы построения и модификации //Современные технологии автоматизации. 2006. № 4. С. 6674; 2008. № 1.С. 86 98.

44. Балакирев B.C. , Дудников Е.Е., Цирлин A.M. Экспериментальное определение динамических характеристик промышленных объектов регулирования. М.: 1967.-232с

45. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. -М.:Энергия, 1979.-240с.

46. Широкий Д.К., Куриленко О.Д. Расчет параметров промышленных систем регулирования.- Киев: Техника, 1972.-232с.

47. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления: Линейные системы регулирования одной величины. М.-Л.; 1965. 4.1. — 396с.

48. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. 2-е изд., перераб. - М.: Энергия, 1980. - 312с.

49. Стефании Е.П. Основы расчета настройки регуляторов теплоэнергетических объектов. М.:- Энергия, 1972.-376.

50. Минина О.М. Определение динамических характеристик и параметров. -М.: Издательство АН СССР, 1963. -47 с.

51. Турецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием: Пер. с польск. М.: Машиностроение, 1974. - 327 с.

52. Нетушил A.B. Теория автоматического управления. 4.2. Под ред. A.B. Нетушила. Учебник для вузов. М., «Высшая школа», 1972. 432 с илл.

53. Дудников Е.Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов, ГЭИ, 1956 263 с.

54. Волгин В.В. Некоторые вопросы применения устройств прямого и обратного предварения промышленных системах автоматического регулирования. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук, М, 1963г.

55. Железнов H.A. О принципиальных вопросах теории сигналов и задачах ее дальнейшего развития на основе новой стохастической модели. //Радиотехника. 1957. №11. С. 3-12.

56. Волгин В.В. К проблеме принятия решений при синтезе систем управления технологическими процессами.- Труды международной научной конференции Control-2000 (Теория и практика построения и функционирования АСУТП), МЭИ, 2000. С 28-31.

57. Стефании Е.П. Расчет настройки регулятора с воздействием по отклонению регулируемой величины, скорости ее и ускорению. Изв. ВТИ, №7, 1952г.

58. Справочные материалы по расчету типовых систем автоматического регулирования технологических процессов. ИАТ, 1959.

59. Волгин В.В. Модели корреляционных функций случайных процессов в системах управления.//Сборник научных трудов: Теория и практика построения и функционирования АСУТП. Изд.МЭИ, 1998г. С. 179-191.

60. Волгин В.В. К определению оптимальных настроек ПИД-регуляторов. //Автоматика и телемеханика. 1962. №5. С 620-630.

61. Волгин В.В., Смирнов К.О. Погрешности численного дифференцирования случайных процессов. //Научный вестник МГТУ ГА. 2000. С.91-97.

62. Попков C.JI. Следящие системы. М.:Высшая школа. 1963 г. С.304.

63. Оценки первой производной по алгоритмам численного дифференцирования на базе полинома1. Ньютона.

64. Рассмотрим производную интерполяционного полинома Ньютона:

65. У\іо) = —I Ду, + А2^-2 + " + •

66. Рассмотрим первое слагаемое выражения (П1.1): А/ А/1. П1.1)1. П1.2)

67. Выражение (П1.2) представляет собой алгоритм численного дифференцирования с использованием первого слагаемого производной интерполяционного полинома Ньютона.

68. Теперь для оценки производной возьмем два первых слагаемых выражения (ПІ. 1):1

69. Второе слагаемое (П1.3) можно записать так:1. А2У-2 = Уо~ 2У-1 + У-2

70. Подставим выражение (П1.4) в оценку производной (П1.3):1. П1.3)1. П1.4)

71. Уо " 2У-\ + У-2 ) 2Уо 2У-1 + Уо - 2У-1 + У-22М1. П1.5)

72. Рассмотрим оценку производной по трем слагаемым производной интерполяционного полинома Ньютона:1. А/1. ДУ-1 +1. V ^ ->1. П1.6)

73. Разность третьего порядка для аргумента у3 можно получить, используя соответствующие индексы:1. Л3у3 = Уо~ + 3У-2 У1. П1.7)

74. Оценка производной (П1.6) с учетом выражений (П1.7) и П(1.5) будетиметь вид:1. А(

75. Зу0 4ух + + у0 - Ъух + 3у2 - уз2 і = 9у0 12у, + Зу2 + 2у0 - 6у} + 6у2 - 2у36АГуЮ =11у0-18у1+9у2-2у 6Аґ1. П1.8)

76. Рассмотрим оценку производной по четырем слагаемым производной интерполяционного полинома Ньютона:

77. Ш = — Ду-. + ^У-2 + - А37-3 + Т ^У-А ДМ 2 3 41. П1.9)

78. Разность четвертого порядка для аргумента у4 можно получить, используя соответствующие индексы:

79. А4 У-4 =Уо- 4У-1 + 6У-2 4У-3 + У-41. П1.10)

80. Оценка производной (П1.9) с учетом выражений (П1.8) и (П1.10) будет иметь вид:1 \у0 -1+ 9у2 2у3 | - 4у, + 6у2 - 4у3 +1. Д/22^о 36у^ +18у2 - 4у3 + Зу0-\2у, +18.у2 -12у3 + 3у41. У%) =12Д^25у0 48^, + 36^2 - 16у3 + 12 Аг1. П 1.11)

81. Рассмотрим оценку производной по пяти слагаемым производной интерполяционного полинома Ньютона:11 А 21