Синхронизация реактивно связанных осцилляторов Ван дер Поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Чернышов Николай Юрьевич

• Чернышов Николай Юрьевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Чернышов Николай Юрьевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Система двух реактивно связанных осцилляторов Ван

дер Поля, на один из которых оказывается внешнее

гармоническое воздействие.

1.1 Вывод фазовых уравнений системы двух

реактивно связанных осцилляторов Ван дер

Поля с внешним гармоническим воздействием

1.2. Аналитическое исследование системы фазовых

21

уравнений.

1.3 Численное исследование системы фазовых

уравнений двух реактивно связанных

осцилляторов с внешним воздействием. 1.4. Численное исследование исходной системы

реактивно связанных осцилляторов Ван дер

Поля с внешним гармоническим воздействием. Выводы к главе

Глава 2. Синхронизация цепочки трех реактивно связанных осцилляторов.

2.1 Вывод фазовых уравнений цепочки трех реактивно

связанных осцилляторов Ван дер Поля.

2.2 Случай диссипативной связи

2.3. Симметрии фазовых уравнений реактивно

связанных осцилляторов

2.4. Численный бифуркационный анализ фазовых

уравнений цепочки трех реактивно связанных

осцилляторов.

54

55

101

102

110

2.5. Сканирование плоскости параметров фазовых

уравнений цепочки трех реактивно связанных

осцилляторов.

2.6. Численный анализ исходной системы цепочки

89

реактивно связанных осцилляторов. Выводы к главе

Глава 3. Синхронизация цепочки реактивно связанных осцилляторов во внешнем поле

3.1 Вывод фазовых уравнений цепочки реактивно

связанных осцилляторов во внешнем поле. 3.2. Ляпуновский анализ цепочки реактивно

связанных осцилляторов во внешнем поле. 3.3 Классификация двухчастотных режимов в фазовых

уравнениях цепочки трех реактивно связанных

осцилляторов. 3.4. Исследование исходной системы реактивно

127

связанных осцилляторов во внешнем поле. Выводы к главе

Глава 4. Синхронизация кольца реактивно связанных осцилляторов.

4.1 Вывод фазовых уравнений кольца реактивно

связанных осцилляторов.

4.2 Численный бифуркационный анализ кольца

реактивно связанных осцилляторов.

4.3 Численное исследование исходной системы

реактивно связанных в кольцо осцилляторов Выводы к главе

Заключение

Библиографический список

137

137

143

162

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синхронизация реактивно связанных осцилляторов Ван дер Поля»

Актуальность темы исследования

Задача о динамике связанных автоколебательных осцилляторов является фундаментальной в теории колебаний и нелинейной динамике [15]. Описание различных систем в терминах взаимодействующих осцилляторов используется в радиофизике, электронике, лазерной физике, биофизике, химии. Осциллятор Ван дер Поля является одной из базовых моделей радиофизики и теории колебаний. Соответственно, возникает задача описания связанных осцилляторов такого типа. Благодаря универсальности осциллятора Ван дер Поля задачи о связанных осцилляторах и их редуцированных вариантов в виде укороченных уравнений или фазовых моделей появляются в микроволновой электронике [6-9], лазерной физике [10-17], динамике контактов Джозефосна [18-25], биофизике [26-31], робототехнике [32-35] и других областях.

При описании связанных осцилляторов важным является вопрос о том как именно они связаны. Один из возможных вариантов - это диссипативная связь, которая в традиционной радиофизической интерпретации [1] организована через резистор. В этом случае в уравнения входит разность обобщенных скоростей осцилляторов [1-5]. В отличие от диссипативной, реактивная связь осуществляется через индуктивность (рис. 1) или другой элемент с мнимым импедансом. В уравнения в этом случае входит разность самих значений переменных [1-5]. Несмотря на общность постановки задачи, эти два случая связи существенно отличаются друг от друга1. В качестве одного из актуальных примеров реактивной связи можно указать задачу об ионных ловушках [38].

1 Возможна также связь через ускорение [1], в [36] ее называют гироскопическая связь (gyroscopic coupling). Отметим, что реактивную связь в [37] называют консервативной, возможен также механический термин «упругая» связь (elastic coupling) [36].

Рис.1 Принципиальная схема связанных осцилляторов Ван-дер-Поля с диссипативной и реактивной связью. НЭ - нелинейное сопротивление, Я12 - резисторы с отрицательным сопротивлением. Ьь Ь2 - индуктивность, Сь С20 - емкость, С21 - переменная емкость, отвечающая за настройку частоты, Ь - переменная индуктивность реактивной связи, Я - переменное сопротивление диссипативной связи.

В таких ловушках ионы «заперты» с помощью переменных СВЧ полей, ограничивающих радиальные колебания ионов и постоянного электрического поля, ограничивающего осевое движение. При использовании сегментированной ловушки с множеством электродов возникает цепочка ионов, расположенных в своих потенциальных ямах. Число элементов в цепочке может быть различным. При этом нелинейность обеспечивает ангармоничность колебаний ионов в ловушке. Внешнее лазерное излучение в зависимости от его частоты может приводить как к диссипации, так и к «раскачиванию» ионов. Ионы в цепочке связаны через кулоновское отталкивание, так что связь является чисто консервативной. В случае двух или трех ионов получается система укороченных уравнений с реактивной связью. Для большого числа элементов возникает комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау с реактивной связью. Авторы [38] отмечают, что подобные системы могут представлять интерес для реализации элементов квантовых компьютеров, а также, что подобная модель применима к описанию массива наноразмерных резонаторов [39] .

Степень разработанности темы исследования

Задача о двух осцилляторах с разными типами связи детально исследована [1,2,5,37,41-44]. Особенность реактивной связи состоит в необходимости учета членов второго порядка по константе связи в фазовой модели - в первом порядке вклад каждого осциллятора взаимно уничтожается [37,41-44]. Соответственно, появляются новые моменты, отсутствующие в фазовом приближении для диссипативной связи. Во-первых, для реактивной связи характерна специфическая форма языка синхронизации в виде сужающегося по корневому закону острия. Во-

2 Отметим, что переход к наноразмерным системам приводит к моделям квантовых осцилляторов ван дер Поля. Соответствующие вопросы обсуждаются в работе [40], в частности, исследуется влияние квантовых флуктуаций на динамику двух связанных осцилляторов.

вторых - это появление бистабильности, когда возможны как синфазный, так и противофазные устойчивые режимы синхронизации [5,37,41-44]. Задачи о динамике большего числа осцилляторов, а также неавтономных моделей из нескольких реактивно связанных осцилляторов изучены в гораздо меньшей степени по сравнению со случаем диссипативной связи. Можно указать на работы [45,46], где рассмотрена задача о внешнем воздействии на систему двух реактивно связанных осцилляторов. Однако фазовая модель не построена, не исследован наиболее интересный случай малых амплитуд сигнала, не выполнено обобщение на большее число осцилляторов. На необходимость учета квадратичных эффектов по параметру связи указывалось в работах [47-48], однако исследование зависимости картины от величины параметра связи не выполнено, и, кроме того, авторы ограничились случаем совпадающих собственных частот осцилляторов и рассматривают большие массивы осцилляторов. Важными для классификации режимов реактивно связанных осцилляторов являются работы [49,50]. Отметим также достаточно большое число недавних публикаций по диссипативно связанным системам [51-62], включая случай «активной» связи, т.е. отрицательных значений коэффициента связи [61,62]. Однако столь же широкое исследование для случая реактивной связи отсутствует.

Цель диссертационной работы

Целью настоящей работы является исследование колебательных режимов разного типа в случае низкоразмерного ансамбля реактивно связанных осцилляторов Ван дер Поля как в рамках фазовой модели, так и исходной системы. Решаются задачи по исследованию динамики:

1) возбуждаемых внешним сигналом двух реактивно связанных осцилляторов Ван дер Поля;

2) трех реактивно связанных в цепочку осцилляторов;

3) возбуждаемых внешним сигналом трех связанных в цепочку осцилляторов;

4) трех реактивно связанных в кольцо осцилляторов.

Научная новизна

В настоящей работе впервые

1. Получены фазовые уравнения для задач о воздействии внешнего сигнала на два и три реактивно связанных осциллятора, а также для трех связанных в цепочку и кольцо осцилляторов. Проведены исследования для исходных уравнений и выполнено сопоставление с фазовой моделью с точки зрения устройства пространства параметров. Выявлены значения параметров и области их изменения, когда фазовая модель эффективна, а также определенные отличия, возникающие при увеличении связи.

2. Проведен аналитический и численный бифуркационный анализ четырех полученных фазовых моделей. Обнаружены бифуркации коразмерности два и три.

3. С помощью карт ляпуновских показателей для моделей связанных фазовых осцилляторов исследовано устройство пространства параметров собственных частот осцилляторов, а также плоскости параметров частота воздействия - амплитуда воздействии для неавтономных систем. Указаны области параметров периодических и квазипериодических режимов с разным числом несоизмеримых частот. Обнаружены различные типы мультистабильности - между периодическими и квазипериодическими режимами, квазипериодическими режимами с разным числом несоизмеримых частот, а также между хаосом и квазипериодичсекими режимами.

4. Обсуждены отличия устройства пространства собственных частот цепочки и кольца из трех реактивно связанных осцилляторов.

5. Выявлено устройство пространства параметров с точки зрения

разных типов двухчастотных режимов, для чего применен метод «карт

торов». Показана передача синхронизирующего воздействия внешнего сигнала на осциллятор, на который оно не оказывается непосредственно, т.е. сквозь другой осицллятор.

Теоретическая и практическая значимость работы

Полученные результаты дополняют разделы теории колебаний, относящиеся к задачам о динамике автономных и неавтономных ансамблей, состоящих из нескольких осцилляторов Ван дер Поля. При этом выполненное исследование сочетает как аналитические, так и численные методы. В силу универсальности использованной базовой модели, полученные результаты могут быть использованы для разнообразных конкретных задач, среди которых можно указать ионные ловушки, связанные устройства микроволновой электроники, например, связанные виркаторы, различные генераторы ритмов в робототехнике и т.д.

Методология и методы исследования

В настоящей работе используются аналитические методы получения укороченных и фазовых уравнений; аналитический бифуркационный анализ; численный бифуркационный анализ с помощью программы MatCont. Используется построение фазовых портретов; метод карт ляпуновских показателей, визуализирующий периодические режимы, квазипериодические режимы с разным числом несоизмеримых частот и хаос; метод «карт торов», позволяющий выявлять и классифицировать различные типы двухчастотных квазипериодических режимов.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие положения и результаты.

1. Фазовые модели систем двух и трех возбуждаемых внешним

сигналом осцилляторов, а также соединенных в цепочку или кольцо трех

автоколебательных элементов в случае реактивной связи оказываются

9

эффективными и качественно правильно передают характер реализующихся режимов для значений нормированного на управляющий параметр коэффициента связи до величин порядка 0.2-0.3.

2. Области квазипериодических колебаний в двумерных фазовых моделях с реактивной связью устроены как системы языков встроенные в область трехчастотных колебаний. Реактивная связь допускает частичный захват фазы осцилляторов без непосредственной связи между собой, а также, в отличие от диссипативно связанных осцилляторов, захват внешней гармонической силой осциллятора, на который это воздействие не оказывается.

3. В трехмерной фазовой модели трех реактивно связанных осцилляторов во внешнем поле наблюдаются также четырехчастотные режимы, тогда как трехчастотные встроены в них в виде языков. Перекрытие языков трехчастотных режимов при повышении амплитуды внешнего воздействия в этой системе приводит к возникновению хаотических режимов.

4. Для возбуждаемых внешним сигналом реактивно связанных осцилляторов Ван дер Поля и автономных систем в виде цепочки и кольца из трех элементов картина бифуркаций существенно отличаются от той, что имеет место в случае диссипативной связи. В фазовой модели с реактивной связью типичной оказывается бифуркация Андронова-Хопфа, приводящая к специфической частичной синхронизации всех осцилляторов, и отсутствуют характерные для случая диссипативной связи вырожденные седло-узловые бифуркации.

Достоверность результатов

Достоверность результатов работы определяется использованием в расчетах известных, апробированных численных методов, соответствием качественного описания результатам расчетов. А также соответствием

результатов аналитических и численных методов в области эффективности аналитических моделей.

Личный вклад соискателя

Постановка задач и обсуждение результатов в главах 1-4 проводились совместно с научным руководителем и соавторами совместных работ. Аналитический бифуркационный анализ в первой главе выполнен совместно с Л.В. Тюрюкиной, а во второй главе - лично соискателем. Численный бифуркационный анализ полностью выполнен автором с использованием пакета MatCont. Анализ результатов численной симуляции выполнен совместно с научным руководителем.

Публикации и апробация

Основные результаты диссертационной работы были представлены в виде докладов на X международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур" (Саратов, 2013), Международной конференции «Динамика, бифуркации и странные аттракторы» (Нижний Новгород, 2013 г.), Международной конференции «Nonlinear Dynamics of Deterministic and Stochastic Systems: Unraveling Complexity» (Саратов, 2014), на IV, VI, VII и VIII Всероссийских конференциях молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2009, 2011 - 2013), школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (2008-2012).

Частично результаты диссертации получены в процессе выполнения работ, поддержанных грантом Президента РФ поддержки Ведущей научной школы России "Фундаментальная нелинейная динамика и ее приложения" и проекта РФФИ № 12-02-31465.

По результатам диссертации опубликовано 12 работ, из них 6 статей [72-77] в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК и 6 тезисов докладов [78-83].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы и содержит 184 страницы и 61 рисунок.

Краткое содержание работы

Во введении обсуждается актуальнось темы исследования, цель работы, научная новизна и положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматривается задача о возбуждении двух реактивно связанных осцилляторов внешним сигналом, причем воздействие осуществляется на один из них. В рамках метода медленно меняющихся амплитуд получены укороченные уравнения, а на их основе -соответствующая фазовая модель с учетом квадратичных по параметру связи членов. Проведен бифуркационный анализ фазовой модели, выявивший не только седло-узловые бифуркации состояний равновесия, но и бифуркацию Андронова-Хопфа (как прямую, так и обратную), а также бифуркации коразмерности два - точки Богданова-Такенса, седло-узловые бифуркации предельных циклов, вырожденные точки сборки, обобщенные точки бифуркации Андронова-Хопфа.

Проведено исследование плоскости частота - амплитуда воздействия методом карт ляпуновских показателей и методом карт торов. Представлены результаты анализа методом ляпуновских показателей исходной системы, продемонстрировано хорошее соответствие с фазовой моделью для значений параметра связи менее 0.3. С ростом амплитуды сигнала соответствие ухудшается.

Во второй главе получены укороченные уравнения и фазовая модель

для трех связанных в цепочку осцилляторов с учетом необходимых членов

второго порядка. Картина бифуркаций на плоскости частотных расстроек

осцилляторов сравнивается со случаем диссипативной связи. Представлены

результаты бифукационного анализа для нескольких значений параметра

12

связи, что позволило выполнить достаточно полное сопоставление с исходной системой и продемонстрировать улучшение соответствия по мере уменьшения параметра связи. Представлены также результаты исследования методом карт ляпуновских показателей и даны характерные фазовые портреты. Изучена возможность синфазной, противофазной синхронизации и двух типов смешанной синхронизации. Обсуждается проблема мультистабильности в системе.

В третьей главе рассматривается цепочка из трех реактивно связанных осцилляторов под воздействием внешнего поля. Проведено исследование методом ляпуновских показателей и построены «карты торов», позволяющие выявлять и классифицировать различные режимы двухчастотной квазипериодичности.

В четвертой главе рассматривается система из трех связанных в кольцо осцилляторов, для которой аналогичное исследование и обсуждаются отличия случаев цепочки и кольца.

ГЛАВА 1. СИСТЕМА ДВУХ РЕАКТИВНО СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ВАН ДЕР ПОЛЯ, НА ОДИН ИЗ КОТОРЫХ ОКАЗЫВАЕТСЯ ВНЕШНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

Синхронизация автогенераторов периодических колебаний внешним сигналом (импульсным, гармоническим и т.п.) на данный момент представляется хорошо изученным явлением. Существенный прогресс при изучении явления синхронизации достигнут также и при исследовании синхронизации хаотических автоколебаний, однако в настоящее время проблема синхронизации квазипериодических колебаний прояснена в гораздо меньшей степени, чем синхронизация регулярных и хаотических режимов [2,37, 41, 43, 44, 64-70]. В последнее время выявлен целый ряд новых аспектов такой задачи [45, 46, 53, 58]. Существенный прогресс в понимании картины возникает с использованием уравнений для динамики фаз осцилляторов.

В работах [45-46] в рамках фазового приближения исследована синхронизация на примере возбуждаемой гармоническим сигналом системы двух связанных диссипативной связью осцилляторов Ван дер Поля. Установлены важные особенности устройства плоскости параметров частота - амплитуда воздействия. Найдены область захвата фаз осцилляторов внешней силой, области двух- и трехчастотных квазипериодических режимов. Указано, что границей между последними являются линии седло-узловых бифуркаций устойчивой и неустойчивых инвариантных кривых, что отвечает аналогичной бифуркации торов в исходной системе. Важно заметить, что вне зависимости от количества осцилляторов фазовые уравнения системы диссипативно связанных осцилляторов характеризуются некоторой симметрией, что приводит к появлению вырожденных бифуркаций типа седло-узел, отвечающих совпадению условий бифуркаций устойчивый узел-седло и неустойчивый узел-седло. Также отсекается ряд важных эффектов, связанных с рождением

инвариантных кривых и периодических структур, которые наблюдаются в ряде других систем уравнений фазовой динамики.

Поведение системы реактивно связанных осцилляторов оказывается существенно богаче поведения системы диссипативно связанных осцилляторов аналогичной конфигурации, так как влияние слагаемых более высокого порядка малости приводит к возникновению новых бифуркаций и мультистабильных режимов.

1.1 Вывод фазовых уравнений системы двух реактивно связанных осцилляторов Ван дер Поля с внешним гармоническим воздействием

Рассмотрим систему реактивно связанных осцилляторов Ван дер Поля, на один из которых подано внешнее гармоническое воздействие

Здесь х, у — динамические переменные; X - управляющий параметр, отвечающий за бифуркацию Андронова-Хопфа в автономных невозбуждаемых несвязанных осцилляторах; А - расстройка осцилляторов по собственной частоте колебаний; е - параметр реактивной связи между осцилляторами; А и f - амплитуда и частота внешнего воздействия.

В квазигармоническом приближении (параметры X, е, А и А малы) систему (1) можно приближенно решать аналитически методом медленно-меняющихся амплитуд. Для этого представим динамические переменные в следующем виде:

Здесь а(1) и Ъ(Х) - медленно меняющиеся комплексные амплитуды, а символ «*» означает комплексное сопряжение. Вслед за [2] наложим на медленно-меняющиеся амплитуды дополнительное условие

(1.1)

х = а(1)е{^ъ + а*(г)е-Гь, у = ОДе^ + Ь*(г)е-1^ь ■

(1.2)

ае^ + а*е-1?1 = 0, Ье1Гг + Ь*е—1Гь = 0. (1.3)

Тогда получаем

х = 1(ае1?1 — у = —Ь*е-^),

х = — а*е—^) — (ае^ + а*е—^1),

у = — Ь*е—^1) — (Ье^1 + Ь*е),

X2 = а2 е —а*2 е—игь +2\а\2,

(1.4)

у2 = ь2 е2^ — Ь*2 е—2^1 + 2\Ь\2. Кроме того, выразим внешнее воздействие через комплексные экспоненты по формуле Эйлера:

) = _гА _е . (1.5)

Подставив выражения (1.2), (1.4), (1.5) в уравнения (1.1), получаем следующую систему:

_п* Р —^^^ (~~ift I I /-1 I „* „—I

— а*е—^1) — (ае^1 + а*е—^1) + (1 — (ае^1 + а*е—^1)

— 1(Х — а2 е 2^ — а*2 е—2^г +2\а\2 )(ае^г —а*е—^г) + £(ае^ + а*е—^ъ — Ье1^ — Ь*е—^1)

= —¿А---, (1.6)

2

— Ь*е—^) — (Ье^ + Ь*е—^) + (г (Ье^ + Ь*е—^)

— 1(Л — Ь2 е21Г1 — Ь*2 е—2^ъ + 2\Ь\2 )(Ье^ — Ь*е—^1) + е(Ье^ + Ъ*е—^ъ — ае^1 — а*е—= 0.

После приведения подобных слагаемых, умножения уравнений (1.6) на в^ (для исключения быстро осциллирующих членов) и усреднения по времени переходим к системе комплексных укороченных уравнений относительно амплитуд осцилляторов:

( ? £ A 1— f

a = IX — i~2f) a — a\a\2 — i~r(b — a) — i ~2 + i

If) Г J 2 f '

• / A\ , £ 1 —f

b = U + i —)b — b\b\2 — i~(a — b) + i J

2

(1.7)

2 f f f Далее представим комплексные амплитуды осцилляторов в виде:

a(t) = r1 (t)ei(P i (t) ,b(t) = r2 (t)ei( 2 (t). (1.8)

Здесь r1 , r2 и ф1, ф2 - действительные амплитуды и фазы первого и второго осцилляторов соответственно. Подставим выражения (1.8) для комплексных амплитуд в уравнения (1.7), после разделения действительной и мнимой части амплитуд и фаз получаем:

h = (Xri — Г13 ) — —j2 sin( (Pi — (P2 ) cos((pi), ^ . £r1 .

Ï2 = №2 — Г23 ) + — sin( Pi — (2),

A £\ £Г1 A 1 — f

Pi ' ' 4 ■ ' 4 '

P 2

/ A £\ £Г1 A

= (—2f + J) — W2c0s((p2 — pi) — 2fsin(pi) + f ■ = + l)—liCOs((p1 —(2) + 1 ~f

(1.9)

2/ V / л ЧГ1 /

Далее мы будем считать, что частота внешнего воздействия близка к центральной частоте осцилляторов, которая принята за 1. Тогда представив частоту внешнего воздействия f в виде 1+О, где О - некоторая малая величина и отбрасывая квадратичные слагаемые, содержащие О, можно упростить выражения (1.9):

Л

Л = - гх3) - £Г2 (рг - Ф2) С05(Р1) Г2 = (А.Г2 - Г23) + £Г1Б\П(Рг - Р2),

• (К £Г1 г л Л ■ г ^ (1Л0)

Р1 = у-2 +£ - 2П)-^СОБ(Р2 - Рг)--Бт(р1),

( 2 = (2 + 8 — 2П) — T^Os^ — (2 ).

(Л

2 ' ' ) ?1

Параметр А можно убрать из уравнений (1.10) с помощью перенормировки переменных и параметров:

г = \, г12 = 4Лг12, е = ХЕ, А = Л^ЛА, А = ЛА, Л = ЛП. (1.11)

л

Для удобства будем использовать новые переменные без знаков над ними. Тогда уравнения (1.10) примут вид:

ч А

Г1 = {п —Г16) — £Г2 Бт(ф1 — (Р2) — 2 СОБ(ф1),

Г2= (Г2 —Г23) + £Г1Бт(ф1 — (Р2),

• (К 9 п\ ЕГ1 Г Л А ■ Г Л (112)

(Р1 = (—- + £ 2П^ — — СОБ{Ф2 — ф1) — 2 ),

Ф2 = (^ + £ — 2П^ —у-СОБ(ф1 — (р2).

Теперь получим фазовые уравнения системы (1.1). Сначала рассмотрим амплитудные уравнения невозмущенной системы (1.12), отбросив малые слагаемые. Вслед за [2] получим радиус стационарных орбит осцилляторов, решив систему уравнений:

* = (г, ) = а (1.13)

Г2 = (Г2 — Г23) = 0. Система (1.13) имеет три решения, однако только два из них, г1= г2 = 0 и г1= г2 = 1 имеют физический смысл. Первое отвечает неустойчивой неподвижной точке в начале координат, а второе — устойчивому предельному циклу (стационарной орбите осцилляторов).

Теперь перейдем к возмущенной системе. Известно, что в первом порядке малости по возмущению реактивная связь не влияет на динамику фазовых уравнений (1.10) [1-4]. Поэтому в случае реактивной связи надо учитывать члены более высокого порядка малости. Поэтому положим:

Гл = 1 + Г],

(114)

Г2 = 1+ Г2,

Здесь г1, г2 - некоторое малое возмущение стационарных орбит. Для того,

чтобы найти это возмущение, подставим соотношения (1.14) в амплитудные

уравнения системы (1.12). Следуя методологии работ [1-4], пренебрегаем

влиянием внешней силы на амплитуду колебаний, считая, что она

18

эффективно возмущает только фазу. Если пренебречь членами высоких порядков малости, получим:

К(0 = -2^ + £Б\П(Р2 - Р1),

1 (1.15)

Г2 (0 = -2?2 + £5Ш(Р1 -Р2).

Тогда приравняв правые части уравнений (1.15) нулю, находим возмущения стационарных орбит осцилляторов:

?1 = 2Б\П(Р2 -Р1),

Е (1.1«) ?2 =2*\П( Р1 -Р2 ).

Теперь рассмотрим фазовые уравнения системы (1.12). Подставим в них выражения для амплитуд (1.14) и получим:

(Л \ 1 + г1 Л

Р1 = у-^ + £ - 2П)-ЕСОБ(Р2 -Р1)--Б\П(Р1),

2 (1.17)

(А \ 1 + г2

Ф2 = ^ +£ - 2nj-s Y^cosicp! -ф2 У

2 ) 1 + rt

Поскольку реактивная связь начинает влиять на динамику системы через слагаемые второго порядка малости, перепишем систему уравнений (1.17), пренебрегая слагаемыми третьего и больших порядков малости. Тогда она примет вид:

ф1 = (-А + £ 2п)- £(1 +?!- ?2 ) CÖS((P2 - (Pi) -f Sin((Pi),

2 A 2 (1.18) Ф2= (^ + £- 2n^j - £(1 - fi + ?2) COSÍPi - Ф2).

Подставив теперь в уравнения (1.18) выражения для возмущений орбит

осцилляторов (1.16), после преобразований получим:

А £2 А

ф 1 = - — - 2П + £(1 - cosß) + — sin(2O) - — sin(p1),

2 2 2 2 (1.19)

А 2

ф2=- - 2П + е(1 - cos6) —-sin(2O). 22

Здесь в = ф2 — - разность фаз второго и первого осциллятора. Сами переменные ф12 имеют смысл отстройки фазы колебаний соответствующего осциллятора от фазы внешнего сигнала.

Уравнения (1.19) представляют собой фазовые уравнения, описывающие синхронизацию возбуждаемых реактивно связанных осцилляторов Ван дер Поля.

1.2. Аналитическое исследование системы фазовых уравнений

Сначала исследуем динамику фазовых уравнений (1.19) аналитически. Найдем режим полной синхронизации, когда оба осциллятора точно захвачены с частотой внешнего сигнала. В режиме захвата скорость изменения относительных фаз осцилляторов равна нулю, т. е. ф 1,2 = 0. Тогда из фазовых уравнений (1.19) получаем

Заметим, что система (1.20) представляет собой уравнения для поиска неподвижных точек системы (1.19). Другими словами, режиму полной синхронизации отвечает устойчивая неподвижная точка системы (1.19).

В отличие от случая диссипативно связанных осцилляторов, в случае реактивной связи найти границы области полной синхронизации не так просто. Уравнения (1.20) не удается решить аналитически и найти область существования устойчивой неподвижной точки. Это связано с тем, что при выводе фазовых уравнений (1.19) учитываются слагаемые не только первого, но и второго порядка малости. Однако, область полной синхронизации можно найти, используя следующий метод. Сначала найдем линии седло-узловых бифуркаций всех неподвижных точек системы фазовых уравнений (1.19). Эти линии разобьют плоскость параметров (О, А) на некоторое количество областей. Далее можно будет определить, в каких

2

2

(1.20)

из полученных областей существует хотя бы одна устойчивая неподвижная точка. Это и будет область полной синхронизации системы (1.19).

Для того, чтобы найти линии седло-узловой бифуркации в системе (1.19), дополним систему (1.20) матрицей возмущений, вычисленной в неподвижной точке системы уравнений (1.19):

М =

А о п

— cos( <1 ) — ssinO — £ 2cos(2O) ssinO +£2cos(2O) 2

—ssinO + £2cos(2O) — ssinO +£2cos(20)

Условием седло-узловой бифуркации является равенство нулю детерминанта матрицы возмущений M. Тогда получаем

А А

£2 — cos<p1 cos(2O) — £ — cos<p1 sin(O) = 0. (1.21)

22

Уравнение (1.21) распадается на два

£cos26 = sinO, (122)

cos^¡=0. (1.23)

Пусть сначала выполняется условие (1.22). Тогда, воспользовавшись соотношением cos2O = 1 — 2sin2O, относительно sinQ получим квадратное уравнение, решение которого имеет вид:

1

sinO =— (1 ±j1+8£2). (1.24)

Выражение (1.24) совместно со вторым уравнением системы (1.20) задают на плоскости параметров (Q, A) первую группу линий седло-узловой бифуркации

sinO = —(1 + VT+8F),

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чернышов Николай Юрьевич, 2018 год

Библиографический список

1 Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. // М.: Наука, 1980, 360 с.

1. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. // М.: Техносфера, 2003, 494 с.

2. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и влияние флуктуаций. Учебник-монография. Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2009, 312 с.

3. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В, Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. // Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2003, 443 с. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике, часть 2. РХД, Москва-Ижевск, 2009, 548 с.

4. Balanov A.G., Janson N.B., Postnov D.E., Sosnovtseva O. Synchronization: from simple to complex. // Springer, 2009, 437 p.

5. Привезенцев А.П., Саблин Н.И., Филиппенко Н.М., Фоменко Г.П. Нелинейные колебания виртуального катода в триодной системе // Радиотехника и электроника, 1992, т. 37, № 7, с. 1242.

6. Магда И.И, Пащенко А.В., Романов С.С. К теории пучковых обратных связей в генераторах с виртуальным катодом // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения, 2003, №4, с. 167-170.

7. Sze H., Price D., Harteneck B. Phase locking of two strongly coupled vircators // J. Appl. Phys. 1990, vol. 67, № 5, p. 2278-2282.

8. Репин Б.Г., Дубинов А.Е. Исследование режимов фазировки трех виркаторов в рамках модели связанных осцилляторов Ван-дер-Поля // Журнал технической физики, 2006, т. 76, вып. 4, с. 99-104.

9. Pampaloni E., Lapucci A. Locking-range analysis for three coupled lasers // Opt. Lett., 1993, vol. 18, p. 1881-1883.

176

10. Braimanc Y., Kennedyd T.A.B., Wiesenfeldd K., Khibnik A.I. Entrainment of solid-state laser arrays // Phys. Rev. A. 1995, vol. 52, p. 15001506.

11. Khibnik A.I., Braimanc Y., Protopopescu V., Kennedyd T.A.B., Wiesenfeldd K. Amplitude dropout in coupled lasers // Phys. Rev. A, 2000, vol. 62, p. 063815.

12. Глова А.Ф., Лысиков А.Ю. Синхронизация трех лазеров с оптической связью на пространственном фильтре // Квантовая Электроника, 2002, № 4, c. 315-318.

13. Глова А.Ф. Синхронизация излучения лазеров с оптической связью // Квантовая Электроника, 2003, № 4, с. 283-306.

14. Владимиров А.Г. Нелинейная динамика и бифуркации в многомодовых и пространственно распределенных лазерных системах. // Диссертация на соискание степени доктора физико-математических наук, 2006.

15. Khibnik A.I., Braimanc Y., Kennedyd T.A.B., Wiesenfeldd K. Phase model analysis of two lasers with injected field // Physica D, 1998, vol. 111, № 14, p. 295-310.

16. Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина Л.В., Чернышов Н.Ю. Синхронизация в фазовой модели трех связанных лазеров // Квантовая Электроника, 2014, том 44, № 1, с. 17-22.

17. Valkering T.P., Hooijer C.L.A., Kroon M.F. Dynamics of two capacitively coupled Josephson junctions in the overdamped limit // Physica D, 2000, vol. 135, № 1, p. 137-153.

18. Saitoh K., Nishino T. Phase locking in a double junction of Josephson weak links // Phys. Rev. B, 1991, vol. 44, p. 7070-7073.

19. Heath T., Wiesenfeld K.. Synchronization transitions in Josephson arrays: a puzzle and its resolution // Ann. Phys., 2000, vol. 9, No 9-10, p. 689-696.

20. Vlasov V., Pikovsky A.. Synchronization of a Josephson junction array in terms of global variables // Phys. Rev., 2013, vol. 88, p. 022908.

21. Kurt E., Canturk M.. Chaotic dynamics of resistively coupled DC-driven distinct Josephson junctions and the effects of circuit parameters // onlinear Physica D, vol. 238, No 22, p. 2229-2237.

22. Qian M., Wang J.Z.. Transitions in two sinusoidally coupled Josephson junction rotators // Annals of Physics, 2008, vol. 323, No 8, p. 19561962.

23. Liu F., Zhao X., Feng J.. Chaos and control in Josephson system subjected to combined bounded noise and harmonic excitation // Journal of Vibration and Control, 2014, June 30, 1077546314538298.

24. Shukrinov Y.M., Botha A.E., Medvedeva S.Y.. Structured Chaos in a Devil's Staircase of the Josephson Junction // arXiv preprint, 2014, arXiv: 1403.0961.

25. Lucero J., Schoentgen J. Modeling vocal fold asymmetries with coupled van der Pol oscillators // Proceedings of Meetings on Acoustics, 2013, vol. 19, 060165. p. 1-8.

26. Dutra M.S., PinaFilho A.C. de, Romano V.F.. Modeling of a bipedal locomotor using coupled nonlinear oscillators of Van der Pol // Biol. Cybern., 2003, vol. 88, p. 286-292.

27. Булдаков Н. С., Самочетова Н. С., Ситников А. В., Суятинов С. И. Моделирование связей в системе «сердце-сосуды» // Наука и образование. Электронный научно-технический журнал, 2013, №1. с. 123134.

28. Beek P. J., Schmidt R. C., Morris A. W., Sim M. Y., Turvey M. T. Linear and nonlinear stiffness and friction in biological rhythmic movements // Biological Cybernetics, 1995, vol. 73, No. 6, p. 499-507.

29. Kawahara T. Coupled van der Pol oscillators - A model of excitatory and inhibitory interactions // Biol. Cybern., 1980, vol. 39, p. 37-43.

30. Rompala K., Rand R., Howland H. Dynamics of three coupled van der Pol oscillators with application to circadian rhythms // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2007, vol. 12, № 5, p. 794-803.

31. Kobayashi J., Ohkawa F.. Force control system with nonlinear oscillator for manipulator in oscillatory motion // Proceedings of the 2007 IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics December 15 -18, 2007, Sanya, China.

32. Kobayashi J.. Entrainment property analysis of Van der Pol oscillator driving a spring-mass system for large force generation by averaging method // Robotics Automation and Mechatronics (RAM), 2010 IEEE Conference, 28-30 June 2010. p. 498 - 503.

33. Kobayashi J.. Large Force Generation Method Exploiting Oscillatory Motion of Manipulator Driven by Van Der Pol Oscillator // International Journal of Control, Automation and Systems, 2006, vol. 8, No 5, p. 1048-1060.

34. Libera F. Dalla, Minato T., Ishiguro H.. Direct Programming of a Central Pattern Generator for Periodic Motions by Touching // Robotics and Autonomous Systems, 2010, vol. 58, No 7, p. 847-854.

35. Cveticanin L.. On the Van der Pol oscillator: An overview // Applied Mechanics and Materials, 2013, vol. 430, p. 3-13.

36. Ivanchenko M., Osipov G., Shalfeev V., Kurths J. Synchronization of two non-scalar-coupled limit-cycle oscillators // Physica D, 2004, vol. 189, № 12, p. 8-30.

37. Lee T. E., Cross M. C. Pattern formation with trapped ions // Phys. Rev. Lett., 2011, vol. 106, p. 143001.

38. Lifshitz R., ZumdieckA., Rogers J.L., Cross M.C. Synchronization by Nonlinear Frequency Pulling // Phys. Rev. Lett., 2004, vol. 93, p. 224101.

39. Tony E. L. and Sadeghpour H. R. Quantum synchronization of quantum van der Pol oscillators with trapped ions// Phys. Rev. Lett., 2013, vol. 111, No. 23, p. 234101.

40. Rand R., Holmes P.J. Bifurcation of periodic motions in two weakly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics, 1980, vol. 15, p. 387-399.

41. Астахов В.В., Коблянский С.А., Вадивасова Т.Е., Анищенко В.С. Бифуркационный анализ динамики диссипативно связанных генераторов Ван дер Поля // Успехи современной радиоэлектроники. 2008, вып. 9, c. 6168.

42. Kuznetsov A.P., Stankevich N.V., Turukina L.V. Coupled van der Pol-Duffing oscillators: Phase dynamics and structure of synchronization tongues. // Physica D, 2009, vol. 238, No 14, p. 1203-1215.

43. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Связанные осцилляторы ван дер Поля и ван дер Поля - Дуффинга: Фазовая динамика и компьютерное моделирование. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2008, том 16, №4, с. 101-136.

44. Анищенко В.С., Николаев С.М. Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе // Нелинейная динамика, 2008, том 4, №1, с. 39-56.

45. Anishchenko V., Nikolaev S., Kurths J. Bifurcational mechanisms of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // Chaos, 2008, vol. 18, p. 037123.

46. Rosenau P., Pikovsky A. Phase Compactons in Chains of Dispersively Coupled Oscillators // Phys. Rev. Lett., 2005, vol. 94, p. 174102.

47. Pikovsky A., Rosenau P. Phase compactons // Physica D, 2006, vol. 218, p. 56-69.

48. Крюков А.К., Осипов Г.В., Половинкин А.В. Мультистабильлность синхронных режимов в ансамблях неидентичных осцилляторов. Цепочка и решетка связанных элементов. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2009, том 17, № 2, с. 29-36.

49. Kryukov A.K., Osipov G.V., Polovinkin A.V., Kurths J. Synchronous regimes in ensembles of coupled Bonhoeffer-van der Pol oscillators // Phys. Rev., 2009, vol. 79, p. 046209.

50. Осипов Г.В. Синхронизация в неоднородных сетях осцилляторов. // Нижний Новгород: ННГУ, 2006, 135 с.

51. Матросов В.В., Шалфеев В.Д. Динамический хаос в фазовых системах. Нижний Новгород: ННГУ, 2007, 256 с.

52. Anishchenko V., Astakhov S., Vadivasova T. Phase dynamics of two coupled oscillators under external periodic force // Europhysics Letters, 2009, vol. 86, p. 30003.

53. Анищенко В.С., В.В. Астахов, Вадивасова Т.Е, Феоктистов А.В. Численное и экспериментальное исследование внешней синхронизации двухчастотных колебаний // Нелинейная динамика, 2009, т. 5, № 2, с. 237252.

54. Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина Л.В. Фазовая динамика возбуждаемых квазипериодических автоколебательных осцилляторов // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2010б том 18, № 4, с. 1732.

55. Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина Л.В. Вынужденная синхронизация двух связанных автоколебательных осцилляторов Ван дер Поля. Нелинейная динамика, 2011, т. 7, №3, с. 411-425.

56. Kuznetsov A.P., Sataev I.R., Turukina L.V. On the road towards multidimensional tori // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, vol. 16, No 6, p. 2371-2376.

57. Кузнецов А.П., Сатаев И.Р, Тюрюкина Л.В. Синхронизация и многочастотные колебания в цепочке фазовых осцилляторов // Нелинейная динамика, 2010, том 6, № 4, c. 693-717.

58. Emelianova Yu.P., Kuznetsov A.P., Sataev I.R., Turukina L.V. Synchronization and multi-frequency oscillations in the low-dimensional chain of

the self-oscillators // Physica D, 2013, vol. 244, No 1, p. 36-49.

181

59. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Turukina L.V. About Landau-Hopf scenario in a system of coupled self-oscillators // Physics Letters A, 2013, vol. 377, p. 3291-3295.

60. Astakhov S., Fujiwara N., Gulay A., Tsukamoto N., Kurths J. Hopf bifurcation and multistability in a system of phase oscillators // Phys. Rev. E, 2013, vol. 88, p. 032908.

61. Hong H., Strogatz S.H. Kuramoto Model of Coupled Oscillators with Positive and Negative Coupling Parameters: An Example of Conformist and Contrarian Oscillators // Phys. Rev. Lett., 2011, vol. 106, p. 054102.

62. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Динамический хаос // М.: Физматлит, 2001.

63. Storti D.W., Rand R.H. Dynamics of Two Strongly Coupled Van der Pol Oscillators. // Int. J. Non-Linear Mechanics, Vol. 17, № 3, 1982, p. 143-152.

64. Chakraborty T., Rand R.H. The Transition From Phase Locking to Drift in a System of Two Weakly Coupled Van der Pol Oscillators. // Int. J. NonLinear Mechanics, vol. 23, № 5/6, 1988, p. 369-376.

65. Poliashenko M., McKay S.R., Smith C.W. Chaos and Nonisochronism in Weakly Coupled Nonlinear Oscillators. // Phys. Rev. A. 44, 1991, p 3452.

66. Poliashenko M., McKay S.R. , Smith C.W. Hysteresis of Synchronous - Asynchronous Regimes of Two Coupled Oscillators. // Phys. Rev. A. 43, 1991, p 5638.

67. Pastor I., Perez-Garcia V.M., Encinas-Sanz., Guerra J.M. Ordered and Chaotic Behavior of Two Coupled Van der Pol Oscillators. // Phys. Rev. E. 48, 1993, p 171.

68. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. О динамике двух связанных осцлляторов Ван дер Поля-Дуффинга с диссипативной связью. // Изв. Вузов «ПНД», т. 11, №6, 2003, с. 48-64.

69. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Особенности устройства пространства параметров двух неидентичных связанных осцилляторов Ван дер Поля — Дуффинга. // Изв. Вузов «ПНД», т. 13, №4, с. 3-19 (2005).

70. Baesens C., Guckenheimer J., Kim S. and MacKey R.S. Three coupled oscillators mode locking, global bifurcations and toroidal chaos. // Physica D, vol. 49, 1991, p. 287-475.

71. Кузнецов А.П., Тюрюкина Л.В. Синхронизация автоколебаний системы Ван дер Поля-Дуффинга короткими импульсами. // Изв. вузов Пр. нел. дин., 12, 2004, №6, с 16-31.

72. Л.В. Тюрюкина, Н.Ю. Чернышов. Синхронизация возбуждаемых реактивно связанных фазовых осцилляторов. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 20, 2012, №1, с. 81-90.

73. А.П. Кузнецов, Н.Ю. Чернышов, Л.В. Тюрюкина. Синхронизация и квазипериодические колебания трех реактивно связанных осцилляторов. // Нелинейная динамика, 9, 2013, №1, с. 11-25.

74. А.П. Кузнецов, И.Р. Сатаев, Л.В. Тюрюкина, Н.Ю. Чернышов. Синхронизация в фазовой модели трех связанных лазеров. // Квантовая Электроника, 44, 2014, № 1, с. 17-22.

75. А.П. Кузнецов, И.Р. Сатаев, Л.В. Тюрюкина, Н.Ю. Чернышов. Синхронизация и многочастотные колебания в низкоразмерных ансамблях осцилляторов. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 22, 2014, №1, с. 27-54.

76. Y.P. Emelianova, A.P. Kuznetsov, L.V. Turukina, I.R. Sataev, N.Yu. Chernyshov. A structure of the oscillation frequencies parameter space for the system of dissipatively coupled oscillators. // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 19, 2014, No 4, p. 1203-1212.

77. A.P. Kuznetsov, L.V. Turukina, N.Yu. Chernyshov, Yu.V. Sedova. Oscillations and Synchronization in a System of Three Reactively Coupled Oscillators. // International Journal of Bifurcation and Chaos, 26, 2016, No 1, 1650010

78. А.П. Кузнецов, Л.В. Тюрюкина, Н.Ю. Чернышов. Сихронизация возбуждаемых реактивно связанных осцилляторов Ван дер Поля. // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов VI Всероссийской конференции молодых ученых. 13-15 сентября 2011 г. Изд-во Саратовского университета, 2011, с. 172-173.

79. Н.Ю. Чернышов, А.П. Кузнецов, Л.В. Тюрюкина. Синхронизация трех реактивно связанных осцилляторов Ван-дер-Поля. // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов VII Всероссийской конференции молодых ученых. 24-26 сентября 2012 г. Изд-во Саратовского университета, 2012, с. 171-172.

80. Н.Ю. Чернышов, А.П. Кузнецов, Л.В. Тюрюкина. Синхронизация и динамика в системе трех реактивно связанных осцилляторов. // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов VIII Всероссийской конференции молодых ученых. 3-5 сентября 2013 г. Изд-во Саратовского университета, 2013, с. 256-257.

81. А.П. Кузнецов, Л.В. Тюрюкина, Н.Ю. Чернышов. Синхронизация и динамика трех реактивно связанных осцилляторов. // Материалы X международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур", 7-12 октября 2013 г. Саратов, 2013, с.117.

82. A.P. Kuznetsov, L.V. Turukina, N. Chernyshov. Synchronization and dynamics of three reactively coupled oscillators. // International Conference "Dynamics, Bifurcations and Strange Attractors" dedicated to the memory of L.P. Shil'nikov (Nizhni Novgorod, Russia, July 1-5, 2013). Book of Abstracts. Nizhny Novgorod, 2013, p.72-73.

83. A.P. Kuznetsov, L.V. Turukina, N.Yu. Chernyschov. Features of the dynamics of oscillators with reactive coupling. // Book of Abstracts. International Conference «Nonlinear Dynamics of Deterministic and Stochastic Systems: Unraveling Сomplexity» 19-23 May 2014, Saratov: Saratov State University, 2014, с. 31-32.