Синхронизация колебаний в стохастических и хаотических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Сильченко, Александр Николаевич

• Сильченко, Александр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сильченко, Александр Николаевич

4

Глава 1. Вынужденная синхронизация переключений в стохастических и хаотических бистабильных системах

1.1 Мгновенная фаза колебаний в стохастических и хаотических бистабильных системах.

1.2 Фазовая синхронизация переключений в стохастической бистабильной системе, возмущаемой внешним периодическим сигналом.

1.3 Фазовая синхронизация переключений в стохастической бистабильной системе при апериодическом воздействии

1.4 Фазовая синхронизация переключений в хаотической бистабильной системе с дискретным временем.

Глава 2. Взаимная синхронизация переключений в связанных стохастических и хаотических бистабильных системах

2.1 Фазовая синхронизация переключений в связанных стохастических бистабильных системах.

2.2 Взаимная синхронизация хаотических бистабильных систем

2.2.1 Исследуемая модель и результаты численных экспериментов

2.2.2 Бифуркационный анализ взаимной синхронизации систем Лоренца.

Глава 3. Синхронизация хаотических систем посредством управления 104 3.1 Нелинейная динамика двух связанных через емкость цепей Чуа.

3.2 Синхронизация как управляемый переход.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синхронизация колебаний в стохастических и хаотических системах»

Явление синхронизации, открытое в начале XVII века Х.Гюйгенсом [1], является одним из первых классических примеров самоорганизации в нелинейных колебательных системах и благодаря своей фундаментальности оно и по сей день вызывает неослабевающий интерес исследователей. С момента открытия данного явления представителями различных областей знания пройден большой путь к пониманию его механизма и возможностей использования в различных приложениях. Как показали результаты исследований, явление синхронизации наблюдается не только в случае взаимодействия простейших автоколебательных систем, демонстрирующих регулярные периодические колебания [2], но также в случаях, когда взаимодействующие подсистемы совершают сложные хаотические колебания [3, 4, 5]. На сегодняшний день синхронизация является одним из основных явлений, рассматриваемых нелинейной динамикой, и проявляющимся в режимах функционирования широкого класса колебательных систем [6].

В соответствии с определением - "синхронизация колебаний есть установление и поддержание такого режима колебаний двух или нескольких связанных систем, при котором их частоты равны, кратны или находятся в рациональном отношении друг с другом" [7]. Различают взаимную синхронизацию колебаний связанных систем, при которой каждая из систем действует на другие и частота синхронных колебаний отличается от исходных частот, и принудительную (внешнюю) синхронизацию, при которой устанавливается колебание, управляемое синхронизирующим воздействием. Из приведенного определения ясно, что наличие у подсистем собственных временных масштабов (некоторых собственных частот) является необходимым условием для наблюдения синхронизации. С наиболее общих позиций синхронизация может быть определена как появление некоторых функционалов, характеризующих корреляции во временной эволюции двух и более процессов [6, 8]. В классической теории колебаний роль такого функционала традиционно играет мгновенная фаза колебаний. В случае взаимодействия двух регулярных автоколебательных систем синхронизация определяется как взаимный (вынужденный) захват мгновенных фаз </>i(i) и 02 (t), разность которых остается ограниченной во времени \тф\{Ь) — пф2^)\ < const. Частоты парциальных подсистем и 0,2 связаны в этом случае соотношением i^i = чт0 позволяет определить синхронизацию как взаимный (вынужденный) захват частот. Следует особо подчеркнуть, что характерной чертой явления синхронизации является наличие на плоскости парамеров "расстройка - связь" так называемых "языков Арнольда" - конечных областей, внутри которых фазы и частоты подсистем захвачены. Бифуркационный механизм синхронизации регулярных осцилляторов также хорошо известен: вхождение, при изменении параметра связи или расстройки, в область синхронизации сопровождается рождением в объединенном фазовом пространстве системы резонансного цикла, лежащего на поверхности эргодического тора, существующего вне области. Подобное описание синхронизации является чисто детерминистским и не учитывает один важный аспект, а именно, наличие флуктуаций, влияющих на динамику синхронизуемых систем. Случайные флуктуации являются принципиально неустранимой компонентой динамики любой системы, будь то автогенератор, живая клетка, биологическая популяция или любая другая система. Их учет необходим на всех уровнях описания систем от микроскопического, построенного на представлениях о дискретности материи, до макроскопического, рассматривающего взаимодействие системы со средой [9, 10, 11]. Влияние флуктуа

А 1

0 Ф

-4к -2к \ 4 к

Рис.0.1 Потенциальный профиль в котором диффундирует мгновенная разность фаз для классического случая вынужденной синхронизации в присутствии шума. Параметры А = 0.06, е = 0.15.

Рис.0.2 Временная эволюция мгновенной разности фаз для различных значений параметра расстройки А. Интенсивность шума О = 0.07, параметр нелинейности б = 0.15. ций на синхронизированный автогенератор хорошо изучено в ставших уже классическими работах С.М.Рытова [12], Р.Л.Стратоновича [13] и А.Н.Малахова [14]. Как показано в [13, 14], действие шума приводит к появлению медленных флуктуаций амплитуды и фазы колебаний, которые существенным образом влияют на синхронизацию и при большой интенсивности ф.тухтуаций способны приводить к ее срыву. Особенно важными для дальнейшего рассмотрения являются классические результаты, связанные с изучением динамики мгновенной разности фаз синхронизуемого генератора типа Ван-дер-Поля и внешнего периодического воздействия. Как известно, медленные флуктуации разности фаз описываются, в этом случае, следующим стохастическим дифференциальным уравнением (СДУ) [13, 14]: ф = A-€G($ + \/2Z>£(t), (0.1) где А - расстройка между собственной частотой генератора и частотой синхронизирующего воздействия, б - параметр нелинейности, - 27Г-периодическая функция, £(£) - белый гауссов шум интенсивность которого равна D. В простейшем случае G((j)) = sin(ф) и СДУ (0.1) описывает движение передемпфированной броуновской частицы в наклоненном периодическом потенциале U [ф) — —А ф — е cos ф ( Рис.0.1). Величина расстройки А определяет наклон потенциала, а параметр нелинейности е - высоту потенциальных барьеров. В случае А < е минимумы потенциала фь = arcsin(A/e) + 2тгк соответствуют синхронизации, т.к мгновенная разность фаз остается постоянной во времени. Наличие шума приводит к диффузии разности фаз в потенциале U(ф): ф{Ь) флуктуирует вблизи минимумов потенциала фи и более или менее часто совершает переходы из одной потенциальной ямы в другую, меняясь на 2тх. На Рис.0.2. показаны реализации разности фаз для различных значений расстройки в (0.1). Как хорошо видно из рисунка, изменение наклона потенциального профиля в ту или другую сторону приводит к характерным 27г-скачкам, которые соответствуют переходам между метастабильными состояниями. Очевидно, что чем больше наклон (расстройка), чем мельче ямы (чем меньше амплитуда синхронизирующего сигнала) и чем больше интенсивность шума, тем меньше время в течение которого фазы генератора и воздействия захвачены и тем чаще имеют место переходы из одного метастабильного состояния в другое, что в свою очередь приводит к увеличению разности фаз, обуславливающему изменение средней частоты колебаний.

Средняя частота колебаний (ш) может быть найдена по стационарной плотности вероятности: где - частота синхронизирующего воздействия, а стационарная плотность вероятности д(ф) определяется следующим равенством [13]: где N - постоянная нормировки. Зависимость разности средней частоты и частоты воздействия от величины параметра расстройки при различных значениях интенсивности шума представлена на Рис.0.3. Как видно из рисунка, в некоторой области значений расстройки средняя частота колебаний генератора совпадает с частотой воздействия, т.е имеет место синхронизация или захват частоты внешнего сигнала. Увеличение интенсивности шума, как уже отмечалось выше, приводит к необратимой диффузии фазы синхронизируемого генератора, обуславливая тем самым изменение средней частоты и сужая область синхронизации.

Знания стационарной плотности вероятности q(ф), однако, недостаточно для решения вопросов связанных с оценкой скорости изменения

0.2) йф, (0.3) Д

Рис.0.3 Зависимость разности средней частоты стохастических колебаний в системе (0.1) и частоты синхроннизиру-ющего воздействия от величины параметра расстройки для указанных значений интенсивности шума О.

Рис.0.4 Зависимость эффективного коэффициента диффузии мгновенной разности фаз (0.4) от интенсивности шума в предположении нулевой расстройки. фазы во времени. Для определения скорости расплывания распределения разности фаз с течением времени в работе [13] было предложено использовать такую характеристику как эффективный коэффициент диффузии мгновенной разности фаз:

Эта величина показывает сколько 27г-скачков совершает мгновенная разность фаз в единицу времени и связана, таким образом, со средним временем, в течение которого имеет место фазовый захват. В приближении слабого шума коэффициент диффузии определяется следующим выражением:

Зависимость эффективного коэффициента диффузии от интенсивности шума при нулевой расстройке показана на Рис.0.4. Как видно из рисунка, увеличение интенсивности шума обуславливает рост коэффициента диффузии, что означает уменьшение длительности интервалов времени в течение которых колебания генератора синхронизованы внешним сигналом.

Из приведенных результатов с очевидностью следует, что шум оказывает отрицательное воздействие на синхронизированный автогенератор, сужая область синхронизации и обуславливая диффузионную нестабильность частоты. В связи с этим возникает следующий вопрос: возможны ли ситуации, когда случайные флуктуации оказывают "конструктивное" воздействие на динамику системы, увеличивая степень порядка в ней? Положительный ответ на этот вопрос противоречит интуитивным представлениям, однако результаты исследований, про

0.4)

0.5) водившихся в течение двух последних десятилетий убедительно свидетельствуют, что действие шума на нелинейные системы может приводить к появлению новых режимов, не реализующихся в соответствующей детерминированной системе, а также к возникновению новых когерентных структур, индуцируя тем самым ее самоорганизацию [15, 16, 17]. Одним из наиболее ярких примеров конструктивного действия шума, привлекших к себе большое внимание исследователей, является эффект стохастического резонанса.

Термин "стохастический резонанс" (СР) был введен учеными Р.Бенци, А.Сутерой, А.Вульпиани и К.Николис, исследовавшими закономерности наступления периодов обледенения на Земле [18, 19, 20]. Для изучения имевших место глобальных климатических изменений ими анализировалось содержание изотопов кислорода в окаменевшем планктоне, взятом со дна Тихого океана, которое отражает изменения толщины ледяного покрова за последние 700000 лет [21, 19]. В результате исследований было обнаружено, что глобальные климатические изменения носят почти периодический характер, с периодом порядка 100000 лет. По своей продолжительности этот временной масштаб близок к периоду колебаний эксцентриситета Земной орбиты, поэтому было сделано вполне логичное предположение о том, что именно эти колебания, приводящие к изменению количества падающей на Землю солнечной энергии, обуславливают глобальные климатические изменения. Для описания климатических явлений ими была предложена простая одномерная модель, которая, по сути, является уравнением энергетического баланса [19]:

С,~ = цР[ 1 - а(Ге;)] - схТе4, (0.6) где Те - глобальная температура Земли, Р - средняя мощность падающего на Землю излучения, Се - теплоемкость Земли, а{Те) - среднее альбедо Земли, а - средняя, нормализованная константа Стефана-Больцмана, которая описывает охлаждение земной поверхности за счет инфракрасного излучения. Параметр /л характеризует эксцентриситет Земной орбиты, который, как уже отмечалось, меняется периодически во времени, с периодом 2тг/Ое и 105 лет, ц = /Ф) = 1 + АсояП^. (0.7)

Уравнение (0.6) может быть переписано как уравнение движения передемпфированной частицы с координатой Те в "климатическом потенциале" и{Те) [20]:

5 = " Й' и(Те) = Г - а(Те)] + О йте. (0.8)

Потенциал и{Те) имеет три состояния равновесия, два из которых устойчивы, а одно неустойчиво. Устойчивые состояния равновесия соответствуют двум качественно различным ситуациям: при температуре Те 1, соответствующей первому состоянию равновесия, Северное Полушарие свободно от ледяного покрова (нормальные климатические условия), тогда как при температуре Те2, соответствующей второму состоянию равновесия, Северное Полушарие покрыто льдом (обледенение). Разница между температурами Те1 и Те2, по сути определяющая величину потенциального барьера, невелика и составляет порядка 10К. Как показали оценки амплитуды модуляции эксцентриситета А, она является недостаточной для того, чтобы обуславливать чисто детерминированные переходы из одного состояния в другое. Авторами [18, 19, 20] была выдвинута гипотеза о том, что упомянутые переходы могут быть индуцированны совокупным действием колебаний эксцентриситета и случайных флуктуаций температуры Земной поверхности, которые имеют сравнительно малое время корреляции (порядка года) и обусловлены атмосферными вихрями, вулканическими извержениями и прочими катаклизмами. Для учета флуктуации температуры, в уравнение (0.8) был введен источник гауссова шума £(£): = + т, {№ = 0. тт) = 2Щ« - о, (0.9) где - интенсивность шума. Шум полагается слабым и лишь изредка порождает флуктуации, способные перевести систему из одного состояния в другое. Более того, вполне логичным является предположение о малости шума по сравнению с периодической компонентой воздействия, ибо вклад в изменения климата периодических колебаниий Земной оси должен быть гораздо большим, чем влияние атмосферных флуктуаций. Первоначально, эффект был описан в рамках теории активации переходов, развитой Крамерсом [22]. Было показано, что периодический сигнал модулирует вероятности переходов из одного ме-тастабильного состояния в другое, меняя глубину потенциальных ям и их населенности. Это, собственно, и является причиной появления большого пика в спектре мощности процесса на частоте периодического воздействия [19].

Немного позднее, в 1983 году С. Фаув и Ф. Хесло впервые экспериментально исследовали СР в триггере Шмитта [23]. Ими была предложена новая мера для стохастического резонанса - отношение сигнал/шум. Зависимость этой характеристики на выходе триггера Шмитта от интенсивности шума носит резонансный характер, что является яркой демонстрацией конструктивного действия шума, увеличение интенсивности которого приводит к росту периодической компоненты в спектре мощности. Дальнейшие исследования показали, что стохастический резонанс может наблюдаться в кольцевом лазере [24], в пассивных оптических бистабильных системах [25], в эксперименте с броуновскими частицами [26], в туннельном диоде [27], в сверхпроводящих квантовых интерферометрах [28], в эксперименте с магнито-эластичной лентой [29], в автогенераторе с жестким возбуждением [30], в хаотических цепях [31], в моностабильных системах [32, 33]. Более того, СР наблюдался в химических системах [34], в системах с цветным внутренним шумом [35], в биологических системах [36, 37, 38, 39, 40], в сенсорных нейронах [41, 42] и даже в социологической модели формирования общественного мнения [43]. Стохастическому резонансу были посвящены две специальные конференции: в Сан Диего (1992 г.,США) [44] и на о.Эльба (1994 г. Италия) [45]. Приведенный перечень экспериментальных результатов является далеко неполным и увеличивается с каждым днем (более полную библиографическую информацию можно найти в Интернете на специально созданном сервере [46]). Фактически, огромное количество экспериментальных результатов, подтверждающих возможность наблюдения стохастического резонанса в системах самой различной природы, говорит о том, что данный эффект является фундаментально общим и может наблюдаться в любой системе, обладающей статистическим временным масштабом, контролируемым либо интенсивностью флуктуаций, либо управляющим параметром. По этой причине, в конце 80-х - начале 90-х стохастический резонанс становится объектом многочисленных теоретических исследований, основными результатами которых стали приближенная адиабатическая теория СР, построенная Б. Макнамарой и К. Везен-фельдом [47], общая теория периодически модулируемого броуновского движения, развитая в работах П. Юнга и П. Хэннги [48, 49, 50], теория линейного отклика, разработанная в работах М. И. Дыкмана с соавторами [51, 52] и в уже упомянутых работах П. Юнга и П. Хэннги [49, 50, 53]. Последняя стала одним из основных "инструментов" теоретиков при исследовании СР, поскольку она помещает данный эффект в круг явлений традиционно изучаемых статистической физикой. Согласно этой теории, отклик системы на слабое внешнее воздействие является суперпозицией среднего значения невозмущенной переменной состояния системы и малого возмущения, которое определяется интегральным выражением, связывающим возмущающую силу и функцию отклика системы. Как известно, равновесная спектральная плотность мощности связана с восприимчивостью системы через флуктуационно-диссипативную теорему [54] и ее знания достаточно, чтобы расчитать отклик системы на слабое внешнее воздействие. Причем как показали исследования, структура воздействующего сигнала может быть любой (сигнал может быть периодическим, квазипериодическим или даже шумовым) [55, 56, 57, 58, 59]. В рамках теории линейного отклика, для существования стохастического резонанса необходимо, чтобы зависимость восприимчивости системы от интенсивности шума носила нелинейный характер и обладала максимумом. Ограничения: данной теории касаются прежде всего амплитуды воздействия, которая должна быть очень малой в сравнении с существующим потенциальным барьером. Мгновенные значения населенностей устойчивых состояний являются при слабом входном сигнале случайными величинами, а их усредненные по ансамблю реализаций значения оказываются периодически модулированными. В связи с этим, в самой первой работе, посвященной стохастическому резонансу [18] был поднят следующий вопрос: возможна ли ситуация, при которой модуляция населенностей индуцированная шумом и сигналом будет столь сильной, что их мгновенные значения, а не только усредненные по ансамблю величины, будут меняться периодически во времени и если да, то каковы необходимые для этого условия? Учитывая, что периодическое изменение мгновенных значений населенностей, фактически, означает полную когерентность процесса переключений и входного сигнала, поставленный вопрос можно перефразировать следующим образом: возможна ли индуцированная случайными флуктуациями синхронизация процесса переключений и периодического сигнала? Частично, ответ на данный вопрос был дан в работах [60, 61], где было показано, что в случае, когда амплитуда периодического сигнала сравнима по величине с потенциальным барьером (сигнал по прежнему остается подпороговым и в отсутствие шума не способен переключать бистабильную систему), наблюдается весьма нетривиальный эффект захвата средней частоты переключений (/), которая вводилась как моментная функция распределения времен пребывания в одном из состояний [60]:

•00 = 2тг/(Т), <Т} = /0 rp(r)dr. (0.10)

В режиме захвата средней частоты переключений бистабильная система оказывается нечувствительной к изменению интенсивности шума, совпадая при этом с частотой входного сигнала. Также было обнаружено, что на плоскости параметров "интенсивность шума - амплитуда внешнего воздействия" существуют области синхронизации, напоминающие классические "языки Арнольда". В связи с этим очень важным представляется информационный аспект стохастического резонанса, поскольку процесс переключений может рассматриваться как информационный поток через стохастический резонатор [62]. Так как синхронизация регулярных осцилляторов является классическим примером самоорганизации нелинейных систем, сопровождающимся уменьшением числа степеней свободы, то вполне естественно предположить, что синхронизация переключений в бистабильной системе есть индуцированный шумом переход к более упорядоченному состоянию. Оценка степени упорядоченности стохастической системы, а также количества информации на ее выходе по сравнению со входом, осуществлявшаяся путем вычисления спектра условных энтропий Шеннона [63, 64, 65, 66] и энтропии Кульбака [67], полностью подтвердили данное предположение. Как показали результаты вычислений, в режиме синхронизации переключений происходит увеличение степени порядка в выходной бинарной последовательности [68, 69, 70], которая в этот момент наиболее близка ко входной.

Данные результаты имеют большое значение и свидетельствуют о глубокой взаимосвязи, которая существует между двумя такими фундаментальными явлениями, как стохастический резонанс и синхронизация. По сути, отказ от предположения малости амплитуды возмущения переводит рассматриваемую задачу о нахождении отклика биста-бильной системы в разряд принципиально нелинейных, для решения которых уже нельзя использовать теорию линейного отклика. В этом случае имеет место качественная трансформация самого механизма явления: если при малой амплитуде сигнала стохастический резонанс связан с трансформирующими свойствами системы (ее восприимчивостью) и, как показано в работе [59], вовсе не определяется условием совпадения средней частоты переключений (0.10) с частотой сигнала, то при значениях амплитуды, сравнимых с высотой барьера, напротив, имеет место взаимодействие временного масштаба внешней силы и собственного временного масштаба стохастической бистабильной системы, управляемого интенсивностью флуктуации. В связи с этим особое значение преобретает вопрос о способе описания СР, поскольку теория линейного отклика, дающая исчерпывающие результаты в случае слабого сигнала, более не может быть использована. В упомянутых выше работах [60, 61], описание обнаруженного эффекта вынужденной синхронизации переключений осуществлялось с помощью усредненных характеристик, которые не несут никакой информации о мгновенных состояниях бистабильной системы и их корреляциях со входным сигналом. Синхронный режим диагностировался с помощью простого сравнения частоты воздействия и средней частоты переключений (при синхронизации переключений они различались на 0.5%) [61]. Очевидно, что такое описание является неполным. Открытыми остались вопросы о том - коррелируют ли мгновенные значения воздействия и отклика и если да, то как долго они остаются синхронными? Какая величина может быть использована в качестве меры синхронности входного сигнала и отклика? Возможна ли фазовая синхронизация переключений ? Подобная постановка задачи характерна для классической теории колебаний и поэтому вполне уместным представляются следующий вопрос, обобщающий предыдущие: возможно ли корректное описание эффекта стохастического резонанса в терминах теории колебаний и если да, то каковы необходимые условия ?

Все сказанное выше относится к случаю периодического воздействия на стохастическую бйстабильную систему. С точки зрения практических приложений наиболее интересными являются ситуации, когда входной сигнал обладает сложным спектральным составом. Стохастический резонанс для сигналов со сложным спектральным составом на сегодняшний день достаточно хорошо исследован как теоретически , так и экспериментально [58, 59]. В работе [58] СР для слабых входных сигналов со сложным спектром был рассмотрен с позиций теории линейного отклика. Было показано, что в случае многочастотного воздействия СР имеет место для всех спектральных компонент и сопровождается частотными искажениями, которые определяются видом восприимчивости невозмущенной стохастической системы. Более того, как было обнаружено в работах [71] и [57], стохастический резонанс наблюдается даже в тех случаях, когда входной сигнал имеет конечную ширину спектральной линии или вовсе является шумовым (апериодический стохастический резонанс), причем его механизм остается таким же, как и в случае периодического воздействия. Полученные в [58] результаты, справедливы лишь при очень малых амплитудах воздействия. Вполне логично предположить, что увеличение амплитуды воздействия, по аналогии со случаем гармонического входного сигнала, приведет к появлению нового механизма СР и вызовет новые эффекты, подобные захвату средней частоты переключений.

Синхронизация переключений в триггере Шмитта сигналом, содержащем высокочастотную и низкочастотную составляющие рассматривалась в [59]. В ходе исследований было установлено, что эффект захвата средней частоты переключений реализуется для обеих компонент сигнала. Также было показано, что высокочастотная компонента сигнала может индуцировать синхронизацию на низкой частоте. Поскольку рассмотрение в [59] ограничено лишь случаем двухчастотного воздействия, то остается невыясненным следующий вопрос: возможна ли фазовая синхронизация переключений в стохастическом резонаторе входным сигналом, обладающим многокомпонентным или даже сплошным спектром?

Во всех случаях, упомянутых выше, предполагалось, что стохастическая система на которую действует внешний сигнал представляет собой передемпфированную бистабильную систему, состояние которой в отсутствии воздействия (даже шумового) не меняется во времени. Иными словами, роль сосуществующих в системе аттракторов играют состояния равновесия. Этот случай является простейшим, поскольку в качестве таких аттракторов могут выступать предельные циклы, хаотические аттракторы. В работах [72, 73, 74, 75] показано, что несмотря на усложнение внутриямной динамики эффект стохастического резонанса по прежнему имеет место. Более того, он реализуется даже в том случае, когда переключения в системе обусловлены не действием шума, а являются проявлением эффекта динамической перемежаемости [76, 77]. Влияние типа внутриямной динамики в хаотических би-стабильных системах на интегральные характеристики стохастического резонанса исследовались в [59]. Автором было установлено, что путем выбора внутриямной динамики можно повысить коэффициент усиления и отношение сигнал/шум, т.е улучшить свойства бистабиль-ной системы. Стохастический резонанс в хаотической бистабильной системе, находящейся в режиме динамической перемежаемости, был рассмотрен в работах [59, 78]. Было обнаружено, что хаотическая би-стабильная система в режиме перемежаемости типа "хаос-хаос" чувствительна к наличию слабого периодического возмущения, что проявляется в структурировании распределения времен пребывания. При сильном гармоническом воздействии на хаотическую систему, на плоскости параметров "амплитуда сигнала - параметр системы" появляются области, внутри которых средняя частота переключений совпадает с частотой сигнала (в пределах заданной точности).

Как и в случае с синхронизацией переключений в стохастической бистабильной системе, подобное описание эффекта синхронизации переключений в хаотической бистабильной системе не является исчерпывающим, поскольку анализировались лишь усредненные характеристики. Тем более, что сравнительно недавно М.Г.Розенблюмом и А.С.Пиковским был предложен корректный способ введения мгновенной фазы хаотических колебаний, позволивший описать эффект взаимной хаотической синхронизации в терминах классической теории колебаний [79, 80]. В связи со сказанным вполне правомерным представляется следующий вопрос: возможна ли фазовая синхронизация переключений в хаотической бистабильной системе, находящейся в режиме динамической перемежаемости?

Продолжая аналогию с классическим случаем синхронизации автоколебательных систем, вполне логично перейти к рассмотрению взаимной синхронизации стохастических и хаотических бистабильных систем. Как уже отмечалось, динамика стохастических бистабильных систем может быть условно разделена на локальную или "внутриям-ную", соответствующую движениям на одном из сосуществующих аттракторов и глобальную, которая обусловлена переключениями с одного аттрактора на другой. В равновесном состоянии стохастическая система обладает характерным временным масштабом, связанным со средним временем выхода из метастабильного состояния и не зависящим от начального состояния системы. Данный факт позволяет провести аналогию с автоколебательными системами, амплитуда и частота колебаний в которых также не зависят от начального состояния, хотя природа временных масштабов, безусловно, различна. В работах [81, 82] было показано, что в системе двух симметрично связанных передемпфированных осцилляторов Крамерса при увеличении связи между ними происходит затягивание средних частот переключений. Сопровождается ли затягивание средних частот переключений фазовой синхронизацией подсистем и как ведет себя соответствующая мера синхронности переключений при изменении расстройки между ними?

Весьма интересным представляется также вопрос о взаимной синхронизации переключений в связанных хаотических бистабильных системах. Как уже говорилось выше, переключения в таких системах являются неотъемлимой частью их внутренней динамики и поэтому подобную задачу можно рассматривать как некий "динамический аналог" поставленной ранее задачи о фазовой синхронизации стохастических бистабильных систем.

Будет ли иметь место взаимная фазовая синхронизация переключений в расстроенных по одному из параметров хаотических бистабильных системах и как будет вести себя мера их когерентности при изменении коэффициента связи? Поскольку исследуемая система в этом случае является чисто детерминистской, то все эффекты, имеющие в ней место при изменении параметра связи, будут сопровождаться качественной перестройкой существующих в ее фазовом пространстве предельных множеств. В связи с этим особый интерес представляет бифуркационный анализ синхронизации расстроенных по параметру хаотических систем [83, 84, 85, 86, 87], которому в большинстве работ по хаотической синхронизации уделялось мало внимания.

Следует заметить, что задача о синхронизации расстроенных по параметру хаотических систем имеет самостоятельный интерес, поскольку расстройка в той или иной степени всегда присутствует в реальных хаотических генераторах. Данная задача относится к классу задач об "автономной синхронизации", когда рассматриваемая система не включает в себя никаких элементов обратной связи, которые соответствовали бы дополнительным синхронизирующим воздействиям на одну из подсистем [89, 90, 92, 93, 95]. Случаи же, когда синхронизация подсистем обусловлена не только их взаимодействием, но и влиянием обратной связи, недавно было предложено называть "управляемой синхронизацией" [89]. Появление такой классификации обусловлено большим количеством теоретических и эксприментальных работ, в которых ставилась задача о нахождении наиболее эффективных способов принудительной синхронизации двух хаотических систем [94]. Задачи подобного рода тесным образом связаны с разработкой методов управления хаосом в динамических системах различной природы, что является одной из важных прикладных задач современной теории динамического хаоса. На сегодняшний день существует достаточно большое количество методов управления хаосом, основной целью которых является осуществление посредством малых возмущений эффективного перехода от хаотических движений к регулярным [97, 98]. Методы, позволяющие стабилизировать седловые циклы, встроенные в хаотический аттрактор, представляют собой достаточно сложную процедуру, связанную с нахождением устойчивых и неустойчивых многообразий стабилизируемого седлового цикла, а также с определением вида стабилизирующих его возмущений параметра системы [97]. Так как режиму синхронных колебаний соответствуют движения на предельном множестве, лежащем в симметричном подпространстве объединенного фазового пространства, то задача об управляемом переходе к синхронным колебаниям, по сути, сводится к задаче о стабилизации движений на этом множестве [99, 100]. Причем в случае, если система обладает несколькими типами симметрии, например Хх = Х2 и Хх = — Х2, которые соответствуют синфазным и противофазным колебаниям подсистем (Хх и Х2 - векторы состояния подсистем), то возможна постановка задачи о стабилизации как синфазных, так и противофазных режимов.

Как показано в работах [101, 102, 103], достаточно простая процедура принудительной синхронизации двух взаимодействующих хаотических осцилляторов может быть реализована при использовании в качестве парциальной подсистемы генератора Чуа [104, 105, 106]. В этом случае большую роль играет тип связи между подсистемами. Случай резистивной связи детально исследован в работе [138], где было показано, что для связанных идентичных генераторов Чуа характерно явление мультистабильности, т.е сосуществование в фазовом пространстве системы при фиксированных значениях параметров множества аттракторов. Причем сценарий формирования мультистабильности для определенных семейств аттракторов является таким же, как и в двух логистических отображениях с квадратичной связью [139], и в двух рези-стивно связанных нелинейных колебательных контурах, синфазно возбуждаемых гармоническим сигналом [140]. Поскольку динамика системы и бифуркационные переходы в случае резистивно связанных генераторов Чуа хорошо изучены, то интересными представляются следующие вопросы: как трансформируются характерные колебательные режимы и какие бифуркационные переходы будут наблюдаться при введении емкостной связи между подсистемами? могут ли быть реализованы управляемые переходы к синхронным колебаниям?

Поиск ответов на поставленные вопросы определил цель настоящей диссертационной работы, которая заключается в детальном исследовании посредством численного эксперимента эффектов вынужденной и взаимной синхронизации переключений в стохастических и хаотических бистабильных системах, а также в экспериментальном изучении управляемых переходов к синхронным колебаниям в системе двух связанных через емкость генераторов Чуа.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Корректно ввести понятие мгновенной фазы стохастических колебаний в передемпфированной бистабильной системе, возмущаемой внешним шумом и входным сигналом и определить условия фазовой синхронизации переключений.

2. Исследовать и сформулировать закономерности вынужденной и взаимной синхронизации переключений в стохастических и хаотических бистабильных системах и дать их в терминах классической теории колебаний.

3. Провести детальный бифуркационный анализ процесса взаимной синхронизации хаотических бистабильных систем в пространстве управляющих параметров.

4. Провести экспериментальное исследование нелинейной динамики двух связанных через емкость цепей Чуа, а также их принудительной синхронизации, осуществляемой с помощью дополнительной цепи обратной связи.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. В первой главе приводятся два возможных определения мгновенной фазы стохастических колебаний в передемпфированной бистабильной системе, возмущаемой внешней силой (первое основано на использовании концепции аналитического сигнала, а второе на вычислении времен возврата в одно из двух состояний). Показывается, что при амплитуде внешнего воздействия (периодического или апериодического), сравнимой с величиной потенциального барьера имеет место фазовая синхронизация переключений. Демонстрируется наличие данного эффекта в бистабильной хаотической системе, возмущаемой внешним периодическим сигналом, переключения в которой обусловлены динамической перемежаемостью. Вторая глава посвящена исследованию взаимной фазовой синхронизации стохастических и хаотических бистабильных систем. На примере связанных систем Лоренца представлен детальный бифуркационный анализ процесса синхронизации хаотических бистабильных систем. В третьей главе посредством физического эксперимента исследуется нелинейная динамика двух связанных через емкость

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Сильченко, Александр Николаевич

Выводы

В данной главе были рассмотрены результаты физических экспериментов в ходе которых исследовались особенности нелинейной динамики двух связанных через емкость генераторов Чуа, а также осуществлялись управляемые переходы к синхронным колебаниям, которые могут быть как синфазными, так и противофазными.

В случае емкостной связи динамика генераторов Чуа является более сложной, чем в сучае резистивной связи и характеризуется рядом новых колебательных режимов [138]. В частности, при изменении управляющих параметров в физическом эксперименте наблюдался новый эффект объединения самосимметричных торов. Для данного типа связи характерно возбуждение автоколебаний при меньших значениях параметра а, чем в индивидуальной системе и в случае резистивной связи. Также как и в случае резистивной связи, эволюция колебательных режимов завершается режимом БОБ [137], однако, при связи через емкость это происходит при меньших значениях параметра а. Поскольку хаос в системе связанных через емкость генераторов Чуа возникает раньше, чем в парциальных подсистемах, то следовательно седловые циклы, сначала теряют устойчивость к противофазным возмущениям, а затем к синфазным (данное обстоятельство также отличает рассматриваемый случай от случая резистивной связи).

Использование данной особенности нелинейной динамики рассматриваемой системы позволило реализовать управляемый переход к синхронным колебаниям, подавив с помощью дополнительной цепи обратной связи противофазные возмущения и стабилизировав, таким образом, устойчивые к симметричным возмущениям седловые циклы (стабилизированный режим может быть как хаотическим, так и регулярным). Более того, как показали результаты исследований предложенный метод принудительной синхронизации также позволяет реализовать режим противофазной хаотической синхронизации.

Заключение

В соответствии с поставленными задачами в работе проведено исследование эффектов синхронизации в стохастических и хаотических системах. Основными результатами диссертационной работы являются следующие:

1. В случае, когда амплитуда входного сигнала, возмущающего стохастическую бистабильную систему, сравнима с потенциальным барьером, разделяющим метастабильные состояния, имеет место фазовая синхронизация переключений. Мгновенная фаза стохастических колебаний может быть введена как с помощью концепции аналитического сигнала, так и через времена возврата в одно из двух состояний. Средняя частота стохастических колебаний в режиме синхронизации переключений совпадает с частотой входного сигнала. Эффект фазовой синхронизации переключений наблюдается не только в случае периодического входного сигнала, но и для сигналов с многокомпонентным и даже сплошным спектром. При взаимодействии двух связанных стохастических бистабильных систем имеет место взаимная фазовая синхронизация переключений.

2. Эффекты взаимной и вынужденной синхронизации переключений могут быть обобщены на случай, когда бистабильная система является хаотической, а переключения обусловлены ее внутренней динамикой. В этом случае, также как и ранее, наблюдается фазовый и частотный захват. Бифуркационный анализ процесса взаимной синхронизации хаотических бистабильных систем на примере двух связанных систем Лоренца показал, что фазовая синхронизация процессов переключений в подсистемах, предшествующая их почти полной синхронизации, обусловлена появлением в некоторой малой окрестности симметричного подпространства полного фазового пространства семейства седловых циклов, наличие которого делает когерентные переключения наиболее вероятными. Процессу фазовой синхронизации систем Лоренца предшествует их взаимная фазовая рассинхронизация, которая является следствием рождения в окрестности состояний равновесия седловых предельных циклов.

3. Установлено, что синхронизация в системе связанных хаотических генераторов может быть осуществлена не только посредством изменения величины параметра связи, но и с помощью цепи обратной связи в которую включен контроллер, генерирующий стабилизирующие синхронный режим импульсы тока. Показано, что используя реализованный в работе метод принудительной синхронизации можно достичь не только синфазной, но и противофазной синхронизации хаотических систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сильченко, Александр Николаевич, 1998 год

1. Christian Hugenii, Holoroqium Occilatorium, Parisiis, Prance, 1673.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э., Теория колебаний, М.: Наука, 1981.

3. Мун Ф., Хаотические колебания, М.: Мир, 1990.

4. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы, М.: Наука, 1980.

5. Неймарк Ю.И., Ланда П.С., Стохастические и хаотические колебания, М.: Наука, 1987.

6. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971.

7. Физический энциклопедический словарь, Москва, Советская энциклопедия, 1983.

8. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981.

9. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука,1982.

10. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. М.: Наука, 1990.

11. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986.

12. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Случайные процессы. М.: Наука, 1976.

13. Стратонович P.JI. Избранные вопросы теории флюктуации в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.

14. Малахов А.Н. Флуктуации в атвоколебательных системах. М.: Наука, 1968.

15. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987. 397 с.

16. Ланда П.С., Заикин А.А. Шумоидуцированные фазовые переходы в простых системах// ЖЭТФ, 1997. Т. 111. С. 358-364.

17. Landa P.S., Zaikin A.A. Noise-induced phase transitions in a pendulum with a randomly vibriating suspension axis// Phys.Rev.E., 1996. Vol. 54., № 4.

18. Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance// J.Phys.A: Math. Gen., 1981. Vol. 14. P. L453-L457.

19. Benzi R., Parisi G., Sutera A., Vulpiani A. Stochastic resonance in climatic change// Tellus, 1982. Vol. 34. P. 10-16.

20. Nicolis C. Stochastic aspects of climatic transitions responce to a periodic forcing// Tellus, 1982. Vol. 34. P. 1-9.

21. Academy Report, "Understanding climatic change", U. S. Committee for GARP, 1975, P. 144.

22. Kramers H.A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions// Physica, 1940. Vol. 7. P. 284-312.

23. Fauve S., Heslot F. Stochastic resonance in a bistable system// Phys. Lett. A, 1983. Vol. 97. P. 5-9.

24. McNamara В., Wiesenfeld К., Roy R. Observation of stochastic reso-nanse in a ring laser// Phys. Rev. Lett., 1988. Vol. 60. P. 2626-2629.

25. Дыкман М.И., Великович A.JI., Голубев Г.П., Лучинский Д.Г., Цупиков С.В. Стохастический резонанс в пассивной полностью оптической бистабильной системе// Письма в ЖЭТФ, 1991. Т. 53. С. 193-197.

26. Simon A., Libchaber A. Escape and Synchronization of a Brownian Particle// Phys. Rev. Lett., 1992. Vol. 68, № 23. P. 3375-3378.

27. Mantegna R.N., Spagnolo B. Stochastic resonance in a tunnel-diode// Phys. Rev. E, 1994. Vol. 49, № 3. P. R1792-R1795.

28. Hibbs A.D., Jacobs E.W., Bulsara A.R., Bekkedahl J.J., Moss F. Signal Enhancement in a r.f.SQUID Using Stochastic Resonance// IL Nuovo Cimento, 1995. Vol. 17, № 7/8. P. 811-818.

29. Spano M.L., Wun-Fogle M., Ditto W.L. Experimental observation of stochastic resonance in a magnetoelastic ribbon// Phys.Rev.A., 1992. Vol.46. P. R5253-R5256.

30. Постнов Д.Э., Стохастический резонанс в автогенераторах с жестким возбуждением// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1995, т. 3. с. 91-100.

31. Анищенко B.C., Хованов И.А., Шульгин Б.В., Стохастический резонанс в цепи Чуа при взаимодействии различных типов аттракторов системы// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1995, т. 3. с. 80-91.

32. Stocks N.G., Stein N.D.,Soskin S.M., McClintock P.V.E. Zero-Dispesion Stochastic Resonance// J.Phys. A, 1992. Vol. 25. P. L1119-L1125.

33. Stocks N.G., Stein N.D., McClintock P.V.E. Stochastic resonance in monostable systems// J. Phys. A, 1993. Vol. 26. P. L385-L390.

34. Leonard D.S., Reichl L.E. Stochastic resonance in a chemical-reaction// Phys. Rev. E, 1994. Vol. 49, № 2. P. 1734-1737.

35. Neiman A., Sung W. Memory effects on stochastic resonance// Phys. Lett. A. 1996. Vol. 224. P. 341-347.

36. Moss F., Pierson D., O'Gorman D. Stochastic Resonance: Tutorial and Update// Int. J. Bif. and Chaos, 1994. № 4. P. 1383-1392.

37. Makeyev V.M., Stochastic resonance and its possible role in animate nature// Biophys., 1993. Vol. 38. P. 189-195.

38. Maddox J. Toward the brain-computer's code // Nature, 1991. № 352. P.469.

39. Douglass J.K. Wilkens L., Pantazelou E., Moss F. Noise enchancement of the information in crayfish mehcanoreceptors by stochastic resonance// Nature, 1993. Vol. 365. P. 337-340.

40. Moss F. The Crayfish Mechanoreceptor A Biological Example of Stochastic Resonance// J. Biophys. 1994. Vol. 66, № 2. P. A250-A250.

41. Longtin A., Bulsara A., Moss F. Time interval sequences in the bistable systems and the noise induced transmission of information by sensory neurons// Phys. Rev. Lett., 1991. Vol. 65. P. 656-662.

42. Longtin A. Stochastic resonance in neuron models// J. Stat. Phys. 1993. Vol. 70. P.309-327.

43. Babinec P. Stochastic resonance in the weildich model of public opinion formation// Phys. Lett. A., 1997. Vol. 225. P. 179-181.

44. Proceedings of the NATO Advanced Research Workshop: Stochastic resonance in physics and biology// J. Stat. Phys., 1993. Vol. 70. № 1/2.

45. Proceedings of the International Workshop: Fluctuations in physics and biology: stochastic resonance, signal processing and related phenomena// И Nuovo Cimento, 1995. Vol. 17D, № 7/8.

46. Gammaitoni L., WWW Internet server at UNFN in Perugia: http: / / www / pg. infnit/S R/index, html

47. McNamara В., Wiesefeld K. Theory of stochastic resonance// Phys. Rev. A, 1989. Vol. 39, № 9. P. 4854-4869.

48. Jung P., Hanggi P. Resonantly driven brownian motion: basic concepts and exast results// Phys. Rev. A, 1990. Vol. 41. P. 2977-2988.

49. Jung P., Hanggi P. Amplification of small signals via stochastic resonance// Phys. Rev. A, 1991. Vol. 144, № 12. P. 8032-8042.

50. Jung P. Periodically driven stochastic systems// Phys. Rep., 1993. Vol. 234. № 175.

51. Дыкман М.И., Макклинток П.В.Е., Маннелла P., Стоке Н.Г. Стохастический резонанс при линейном и нелинейном отклике биста-бильной системы на периодическое поле// Письма в ЖЭТФ, 1900. Т.52. С. 780-782.

52. Dykman M.I., Haken Н., Ни G., Luchinsky D.G., MannelaR., McClin-tok P.V.E., Ning C.Z., Stein N.D., Stocks N.G. Linear response theory in stochastic resonance// Phys. Lett. A, 1993, Vol. 180. P. 332-335.

53. L.Gammaitoni, P.Hanggi, P.Jung, F.Marchesoni, Stochastic resonance. Rev. Mod. Phys. 1998. Vol. 70. № 1 P. 227-283.

54. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. ч.1- 3-е изд. М.: Наука, 1976.

55. Анищенко B.C., Нейман А.В., Сафонова М.А., Хованов И.А. Стохастический резонанс при многочастотном воздействии// Радиотехника и Электроника, 1994. Т. 39, № 8/9. С. 1380-1392.

56. Anishchenko V.S., Neiman А.В., Safonova М.А., Khovanov I.A. Multi-frequencies stochastic resonance// Chaos and Nonlinear Mechanics: Proceedings Euromech Colloquium/ Ed. T. Kapitaniak, J. Brindley. Singapore: World Scientific, 1995. P. 41-53.

57. Neiman A., Schimansky-Geier L., Moss F. Linear response theory applied to stochastic resonance in models of ensemble of oscillators// Phys. Rev. E., 1997. Vol.56., № 1 P. R9-R12.

58. Нейман А.Б. Стохастический резонанс и синхронизация стохастических систем: Дисс. . докт.физ.-мат. наук. Саратов: СГУ, 1998. 286 с.

59. Хованов И.А. Стохастический резонанс и синхронизация в би-стабильных системах, возбуждаемых многочастотным сигналом и шумом: Дисс. . канд.физ.-мат. наук. Саратов: СГУ, 1997. 182 с.

60. Shulgin В., Neiman A., Anishchenko V. Mean switching frequency locking in stochastic bistable system driven by a periodic force// Phys. Rev. Let., 1995. Vol. 75, № 23. P. 4157-4161.

61. Шульгин Б.В., Стохастический резонанс в бистабильных радиофизических системах: Дисс. . канд.физ.-мат. наук. Саратов: СГУ, 1996. 127 с.

62. Moss F. Stochastic Resonance: Prom the Ice Ages to the Monkey Ear// Some Problems in Statistical Physics, SIAM: Philadelphia, 1994. P. 205-253.

63. Шеннон К. Работы по теории информации. М.:ИЛ 1963.

64. Ebeling W., Nicolis G. Word frequency and entropy of symbolic sequences: a dynamical perspective// Chaos, Solitons and Fractals. 1992. Vo:. 2. P. 635-650.

65. Ebeling W., Freund J., Rateitschak K. Entropy and extended memory in chaotic dynamics// Int. J. Bif. and Chaos. 1996. Vol. 6. P. 611-625.

66. Кульбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука, 1967. 408 с.

67. Neiman A., Shulgin В., Anishchenko V., Ebeling W., Schimansky-Geier L., Freund J. Dynamical entropies applied to stochastic resonance// Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76, № 23. P. 4299-4302.

68. Schimansky-Geier L., Freund J., Neiman A., Shulgin B. Noise induced order: stochastic resonance// Int. J. Bif. Chaos. 1998 Vol. 8. N° 5. P. 869-881.

69. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер JL, Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка// УФН, 1999. № 1.(принята к публикации).

70. Neiman A., Schimansky-Geier L. Stochastic resonance in bistable systems driven by harmonic noise// Phys.Rev.Lett., 1994. Vol. 72. № 19. P. 2988-2991.

71. Anishchenko V.S., Neiman А.В., Safonova M.A. Stochastic resonance in chaotic systems// J. Stat. Phys. 1993. Vol. 70, № 1/2. P. 183-196.

72. Anishchenko V.S., Safonova M.A., Chua L.O. Stochastic resonance in Chua's circuit// Int. J. Bif. and Chaos. 1992. Vol. 2, № 2. P. 397-401.

73. Anishchenko V.S., Safonova M.A., Chua L.O. Stochastic resonance in Chua's circuit driven by amplitude or frequency modulated signals// Int. J. Bif. and Chaos, 1994. Vol. 4, № 2. P. 441-446.

74. G.Nicolis, C.Nicolis, and D.McKernan, Stochastic resonance in chaotic dynamics// J. Stat. Phys. 1993. Vol. 70, № 1/2. P. 125-141.

75. Анищенко B.C. Взаимодействие аттракторов. Перемежаемость типа "хаос-хаос".// Письма в ЖТФ. 1984. С. 629-633.

76. F.T.Arecci, R.Badii, and A.Politi, Low-frequency phenomena in dynamical systems with many attractors, Phys. Rev. A, 1984. Vol. 29. P. 1006-1009.

77. Khovanov I. A., Anishchenko V.S., Mechanism of stochastic resonance in a system with "chaos-chaos" intermittence// Techn. Phys. Lett., 1996. Vol. 2. № 10. P. 854-856.

78. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators// Phys. Rev. Lett., 1996. Vol. 76. P. 1804-1807.

79. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. Phase synchronization in noisy and chaotic oscillators// Stochastic Dynamics/ Eds. L. Schimansky-Geier and T.Pöschel: Springer, Berlin, 1997, P. 232-244.

80. Neiman A. Synchronizationlike phenomena in coupled stochastic bistable systems// Phys. Rev. E, 1994. Vol. 49. P. 3484-3488.

81. Анищенко B.C., Нейман A.B. Стохастический резонанс и стохастическая синхронизация// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т. 5, № 1. С. 5-10.

82. Anishchenko V.S., Silchenko A.N., Khovanov I.A., Synchronization of switching processes in coupled Lorenz system//Phys. Rev. E, 1998. Vol. 57. P. 316-322.

83. Анищенко B.C., Сильченко A.H., Хованов И.А., Взаимная синхронизация и рассинхронизация систем Лоренца// Письма в ЖТФ, 1998, Т. 24. № 7. С. 22-30.

84. Анищенко B.C., Сильченко А.Н., Хованов И.А., Взаимная синхронизация процессов переключений в связанных системах Лоренца// Письма в ЖТФ, 1997. Т. 23. № 8. С. 14-19.

85. Anishchenko V.S., Silchenko A.N., Khovanov I.A., Mutual synchronization of switchings in coupled chaotic systems// Int.Conf. Nonlinear Dynamics and Chaos (ICND-96). Book of abstracts. Saratov: Saratov State University, 1996. P. 20.

86. Silchenko A.N., Khovanov I.A., Anishchenko V.S., Mutual synchronization of switchings in coupled Lorenz systems// 1st Int.Conf. Control of Oscillations and Chaos (COC-97). Proceedings edited by F.L.Chernousko, A.L.Fradkov. 1997. Vol. 2. P. 372.

87. Kresimir Josic. Invariant manifolds and synchronization of coupled dynamical systems// Phys. Rev. Lett. Vol. 80. № 14. P. 3053-3056.

88. Nijmeijer H., Blekhman I.I., Fradkov A.L., Pogromsky A.Yu., Self-synchronization and controlled synchronization// 1st Int.Conf. Control of Oscillations and Chaos (COC-97). Proceedings edited by F.L.Chernousko, A.L.Fradkov. 1997. Vol. 1. P. 36.

89. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах. // Известия ВУЗов, Радиофизика, Т. 29, № 9, С. 1050-1060, 1986.

90. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova М.А. Synchronization of chaos. // Int. J. Bif. and Chaos, 1992. Vol. 2, № 3, P. 633.

91. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова М.А. Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса. // Радиотехника и электроника, Т. 36, № 2, С. 338-351, 1991.

92. Постнов Д.Э. Регулярные и хаотические процессы в системах взаимодействующих нелинейных осцилляторов. Дисс. . канд.физ.-мат. наук. Саратов: СГУ, 1990. 147 с.

93. Pekora L.M., Caroll T.L. Synchronization in chaotic systems. // Physical Review Letters, Vol. 64, № 8, P. 821-824, 1990.

94. Alexeyev A. A. and Shalfeev V. D., Chaotic synchronization of mutually coupled generators with frequency controled feedback loop. // Int. J. of Bifurcations and Chaos, Vol. 5, P. 551-557, 1995.

95. Chua L.O., Iton M., Kocarev L., Eckert K. Chaotic synchronization in Chua's circuit. // Journal of Curcuits, Systems and Computers, Vol. 3, № 1, P. 93-108, 1993.

96. Ott E., Grebogi C., Yorke J.A. Controlling Chaos. // Phys. Rev. Lett. Vol. 64, P. 1196-1199, 1990.

97. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback. // Phys. Lett. A, Vol. 170, P. 421-428, 1992.

98. Kozlov A. k., Shalfeev V. D., and Chua L. 0. Exact synchronization of mismatched chaotic systems. // Int. J. of Bifurcations and Chaos, Vol. 6, № 3, P. 569-580, 1994.

99. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский А.Р. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление.// Успехи современной радиоэлектроники, № 10, С. 27-49, 1997.

100. Астахов В.В., Сильченко А.Н., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В., Анищенко B.C. Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов. // Радиотехника и Электроника, Т. 41, № 11, С. 1323-1331, 1996.

101. Шабунин А.В. Синхронизация и управление хаосом в связанных колебательных системах. Дисс. . канд.физ.-мат. наук. Саратов: СГУ, 1998. 120 с.

102. L. О. Chua, Motomasa Komuro, and Takashi Matsumoto. The double Scroll Family.//IEEE Trans. Circuits and Systems, vol. cas-33, № 11, 1073-1118, 1986.

103. M. P. Kennedy, Robust op amp implementation of Chua's circuit.// Frequenz Vol. 46, P. 66-80, 1992.

104. CHUA'S CIRCUIT: A Paradigm for CHAOS, edited by Rabinder N. Madan, World Scientific, 1993.

105. Афраймович В.С //Тр. междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Т. 2. Киев: Наук, думка, 1984. С. 34.

106. Вайнштейн JI.A., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. М.: Наука, 1983, 287 с.

107. Бендат Д., Пир со л А. Прикладной анализ случайных данных. -М.: Мир, 1989.

108. Neiman A., Silchenko A., Anishchenko V., Schimansky-Geier L., Stochastic resonance: noise enhanced phase coherence// Phys. Rev. E, 1998. Vol. 58. № 6 (принята к публикации).

109. Сильченко A.H., Нейман А.Б., Анищенко B.C., Фазовая синхронизация переключений в стохастических бистабильных системах// Письма в ЖТФ, 1998. Т. 24, С. 12-19.

110. Anishchenko V.S., Neiman А.В., Silchenko A.N., Khovanov I.А. Phase synchronization of switchings in stochastic and chaotic bistable systems// Applied Nonlinear Dynamics, 1998, (принята к публикации).

111. Никитин Н.Н., Разевиг В.Д., Методы цифрового моделирования стохастических дифференциальных уравнений и оценка их погрешностей// ЖВМ, 1978. Т. 18, № 1. С. 106-117.

112. Gammaitoni L., Marchesoni F., Menichella-Saetta E.,Santucci S. Stochastic resonance in bistable systems// Phys. Rev. Lett., 1989. Vol. 62. P. 349-352.

113. Zhou Т., Moss F., Jung P. Escape-time distributions of a periodically modulated bistable system with noise// Phys. Rev. A, 1990. Vol. 42, № 6. P. 3161-3169.

114. L. Gammaitoni, F. Marchesoni, and S. Santucci, Stochastic resonance as a bona-fide resonance// Phys. Rev. Lett., 1995. Vol. 74, № 7. P. 1052-1055.

115. Mee H.Choi, R.F.Fox, and P.Jung, Quantifying stochastic resonance in bistable systems: Response vs residence-time distribution functions.// Phys. Rev. E, 1998. Vol. 57. P. 6335-6343.

116. Collins J.J., Chow C.C, Imhoff T.T. Aperiodic stochastic resonance in excitable systems// Phys. Rev. E, 1995. Vol. 52. P. R3321-R3323.

117. Collins J.J., Chow C.C, Imhoff T.T. Aperiodic stochastic resonance// Phys. Rev. E, 1996. Vol. 54. P. 5575-5584.

118. Dante R. Chialvo, Longtin A., Miiller-Gerking J. Stochastic resonance in models of neural ensembles revisited// Phys. Rev. E., 1997. Vol. 55. P. 1798-1805.

119. Харкевич А.А. Спектры и анализ. Лениниград: Гостехиздат, 1952.

120. Kjell Ottar Wiklund and John N. Elgin, Multifractality of the Lorenz system// Phys. Rev. E, 1996. Vol. 54. P. 1111-1119.

121. П.Берже, И.Помо, К.Видапь. Порядок в хаосе, Москва: Мир, 1991.

122. Анищенко B.C., Сложные колебания в простых системах. Москва, Наука, 1990.

123. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow// J.Atmos.Sci. 1963. Vol. 20. P. 130-141.

124. Nicolis C., Nicolis G., Effective noise of the Lorenz attractor// Phys. Rev. A. 1986. Vol. 34. P. 2384.

125. V.Anishchenko, G.Strelkova, Irregular Attractors// Discrete Dynamics in Nature and Society , 1998. Vol. 2, P. 53-72.

126. Быков В.В., Шильников A.JI. О границах существования аттрактора Лоренца// Методы качественной теории дифференциальных уравнений и теории бифуркаций. Горький: ГГУ, 1989. С. 151-159.

127. Сильченко А.Н., Капитаник Т., Анищенко B.C. Фазовая синхронизация переключений в стохастической бистабильной системе при апериодическом внешнем воздействии.// Письма в ЖТФ, 1998. Т. 24. № 18, С. 14-21.

128. Vadim Anishchenko and Alexander Silchenko, Phase synchronization of switchings in periodically driven stochastic and chaotic bistable systems// Int.Symposium NOLTA'98, Crans-Montana, Switzerland, 1998, Vol. 2, P. 523-526.

129. Silchenko A., Kapitaniak T. and Anishchenko V. Noise enhaced phase coherence in stochastic bistable system driven by chaotic signal// Phys. Rev. E, 1999. Vol. 59. № 1 (принята к публикации).

130. Анищенко B.C., Сильченко А.Н., Хованов И.А. Взаимная синхронизация и рассинхроннизация систем Лоренца.// Письма в ЖТФ, 1998. Т. 24. № 7, С. 22-30.

131. Веричев Н.Н. Взаимная синхронизация стохастических автоколебаний систем Лоренца.// Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький: ГГУ, 1986. С. 47-57.

132. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. Структурно неустойчивые предельные множества типа аттрактора Лоренца.// Тр. ММО. 1982. Т. 2. С. 153-215.

133. Khibnik A.I., Kuznetsov Yu.A., Levitin V.V., Nikolaev E.V. Continuation techniques and interactive software for bifurcation analysis of ODEs and iterated maps// Physica D, 1996. Vol. 62. P. 360-371.

134. Астахов В.В., Шабунин А.В., Сильченко А.Н., Стрелкова Г.И., Анищенко B.C. Нелинейная динамика двух связанных через емкость генераторов Чуа. // Радиотехника и Электроника, 1997, Т. 42, № 3, С. 320-327.

135. Anishchenko V. S., Kapitaniak Т., Safonova М. A., Sosnovtseva О. V., Birth of double-double scroll attractor in coupled Chua's cir-cuits//Phys. Lett. A192, 1994. P. 207-214.

136. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V., Wu C.W., Chua L. Dynamics of two coupled Chua's curcuits. // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1995. Vol. 5, № 6, P. 1677-1699.

137. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Пространственные структуры в диссипативных средах у порога возникновения хаоса. // Известия ВУЗов, Радиофизика, Т. 34, № 2, С. 142-146, 1990.

138. Астахов В.В., Безручко Б.П., ЕрастоваЕ.Н., Селезнев Е.П. Формы колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбау-мовских системах. // Журнал Технической Физики, Т. 60, № 10, С. 19-26, 1990.1. Благодарности

139. Считаю своей приятной обязанностью выразить глубокую благодарность своему Учителю Анищенко Вадиму Семеновичу, без постоянного руководства и внимания которого данная работа была бы невозможна.

140. Я благодарен Нейману Александру Борисовичу за большую помощь и плодотворное обсуждение полученных результатов.

141. Благодарю докторанта кафедры Постнова Дмитрия Энгелевича и аспиранта Александра Никитина за помощь при проведении физических экспериментов.

142. Выражаю искреннюю признательность всем сотрудникам Лаборатории Нелинейной Динамики за поддержку и помощь при выполнении данной работы.