Сингулярные эллиптические краевые задачи в областях с угловыми точками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Киселевская, Светлана Викторовна

• Киселевская, Светлана Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Киселевская, Светлана Викторовна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ

С УГЛОВБ1МИ ТОЧКАМИ. ф 1.1. Операторы преобразования.

1.2. Функциональные пространства (одномерный случай)

1.3. Функциональные пространства (двумерный случай)

1.4. Теоремы о следах

1.5. Краевая задача

9 ГЛАВА 2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ОБЛАСТЯХ НА КОНУСЕ

2.1. Некоторые определения и обозначения

2.2. Определение пространств и теоремы вложения

2.3. Прямая и обратная теоремы о а-следах

2.4. Краевая задача на конусе.

ГЛАВА 3. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО НЕОДНОРОДНОГО

МЕТАГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

3.1. Пространства Мд(П) и обобщённые гармонические функции

3.2. Вспомогательные результаты.

3.3. Краевая задача

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сингулярные эллиптические краевые задачи в областях с угловыми точками»

Актуальность проблемы (работы). В последние десятилетия построена общая теория эллиптических задач в областях, границы которых содержат особенности - углы, конические точки, рёбра и т.д. Эта теория имеет широкие и важные приложения в физике, в механике сплошных сред, в частности, в теории трещин. Одной из первых и основополагающих работ ® здесь является работа В.А.Кондратьева [32]. В монографии С.А.Назарова, Б.А. Пламеневского [45] дано подробное изложение главных разделов теории эллиптических задач в областях с кусочно гладкой границей. Эллиптическим уравнениям второго порядка посвящён ряд работ, среди которых отметим работы Д. Гилбарга, Н. Трудингера [б], Т.Р. Мамтиева [37], А.К. Гущина, В.П.Михайлова [9], В.Н. Масленниковой [39], Ю.А. Алхутова и В.А, Кондратьева [1], В.А.Козлова, В.Г.Мазьи [54]. Отдельно отметим серию работ 9 опубликованных М. Костебелем, М. Доуж и другими (см. [55] и ссылки там), в которых рассматриваются как общие эллиптические системы, так и некоторые прикладные задачи электро- и гидростатики. Рассмотренные ими особенности решений нами считаются слабыми и в рамках данной диссертации будут относится к регулярным.

В случае сильного вырождения уравнение имеет не только ограниченные решения, но и неограниченные (сингулярные) вблизи характеристической части границы решения. Такие задачи для гиперболических уравнений изучались Т.Н. Кигурадзе [31], [46], а для эллиптических уравнений В.П.Глушко, Н.А. Ярцевой [7], P.M. Гобеджшвили [8]. Для уравнений математической фиф зики соответствующие факты приведены в книгах А.Н. Тихонова, А.А. Самарского [50], С.Л.Соболева [49], О.А.Ладыженской [33]. В работе [10] изложена теория разрешимости задач для эллиптического уравнения, в которых значения решения на границе рассматриваемой области выражаются через его значения во внутренних точках и других точках границы. В работах Г.А. Чечкина [53] и Л.Г. Михайлова [42] изучены краевые задачи с различными условиями на малых участках границы. В частности, в [53] рассматрива-Ф ется задача Аи£ + /=0, ад£|г=0, исследуется поведение решений задачи при стремлении параметра, характеризующего период изменения типа граничных условий, к нулю и даётся оценка этих решений. Во всех цитированных и других работах этого направления в основном рассматриваются решения с особенностями не более чем степенного или логарифмического характера.

Решения эллиптических задач могут терять гладкость в особых точках. Это обстоятельство играет важную роль: возникают вопросы о поведении решений вблизи особых точек, о выборе специальных функциональных пространств, в которых порождённый краевой задачей оператор обладает пхо-рошими|,свойствами (оказывается непрерывным). Поэтому постановка и изучение новых краевых задач для уравнений с сильным вырождением в соответствующих им функциональных пространствах, а также создание эффективных методов их решения является актуальным.

Цель работы состоит в доказательстве теорем об однозначной и непре-^ рывной разрешимости поставленных краевых задач. А именно, сингулярной краевой задачи в плоских областях с угловыми точками и краевой задачи в областях на конусе, а также сингулярных краевых задач для уравнений высших порядков.

Научная новизна. В работе вводится новое понятие в определённом смысле нелокального сигма-следа (а-следа) функции. Так как в данном случае невозможно использовать теорию известных ранее функциональных пространств, то в диссертации вводятся новые функциональные простран-® ства типа Фреше (счётно-нормируемые) в которые вложены пространства Соболева-Никольского-Бесова, (последние подробно описаны, например, в работах С.Л Соболева [48], Д. Гилбарга, М. Трудингера [б], В.П.Михайлова [41], О.А. Ладыженской [33] и во многих других). Известные весовые функциональные пространства обычно обладают тем свойством, что порядок особенности функций из этих пространств зависит от показателя гладкости и забывает с возрастанием гладкости. Последнее обстоятельство для рассматриваемого случая неприемлемо. Особо отметим, что в диссертации впервые рассмотрены сверхстепенные сингулярности решений, а в некоторых случаях (например, для метагармонической функции) сингулярности в угловой (особой) Ш точке являются совершенно произвольными особенностями (типа существенных особенностей голоморфных функций, определяемых всей сингулярной частью ряда Лорана). Для изолированных граничных точек аналогичные решения рассматривались ранее в работах В.В. Катрахова [30].

Практическая значимость работы. В задачах механики твёрдого тела наблюдается концентрация напряжений в угловых (особых) точках границы, в частности, в вершинах трещин. Аналогичным образом дело обсто-ф ит и в гидродинамических задачах. Это приводит к сингулярности решения в особых точках. В такой ситуации обычно рассматривают так называемые энергетические решения, имеющие наиболее слабую сингулярность. В настоящей работе рассматриваются решения с сингулярностью произвольного порядка, относящиеся к классу неэнергетических решений, введённому Н.Ф.Морозовым [40], в этой связи некоторые вопросы механики сплошных сред также были рассмотрены Н.С.Зориным, А.Б. Мовчаном, С.А.Назаровым [11], В.Н.Власовым [4]. Проблема, поставленная в работе, также возникает в классической задаче электростатики об определении потенциала поля, создаваемого заряженными точечными объектами, каковыми могут быть точечные заряды, диполи и, вообще, мультиполи произвольных порядков, а также их конечные и бесконечные комбинации.

Методы исследования. В диссертации применяются современные методы исследования эллиптических краевых задач в соответствующих функцио-^ нальных пространствах, которые вводятся и изучаются базовым методом операторов преобразования. Остановимся на нём поподробнее. Операторы преобразования исследовались достаточно полно в работах многих авторов, достаточно подробная их теория изложена в работах С.Г. Самко, А.А. Килбаса, О.И. Маричева [47], А.А. Килбаса, С.А. Шлапакова [24]. Известные классы операторов Сонина и Пуассона нашли также применение в теории сингулярных гиперболических уравнений. Ряд результатов в этом направлении получен Е.А.Ларионовым [34]. В работах В.В. Катрахова [12], [14], [13], [30] ® введены новые операторы преобразования, которые применены в теории сингулярных эллиптических уравнений, в теории псевдодифференциальных операторов, спектральной теории.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

1) научных семинарах кафедры теории функций и функционального анализа Дальневосточного государственного университета под руководством проф. Н.Н. Фролова (г.Владивосток, 2004 г.);

2) семинарах кафедры математики и моделирования Владивостокского государственного университета экономики и сервиса под руководством доц. Л.С.Маз елиса (г.Владивосток, 2004-2006 гг.);

3) 5-ой Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России"(г. Владивосток, 2003 г.).

4) дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В . Золотова (г.Владивосток, 2003 - 2004гг.).

5) международной научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики."(г.Хабаровск, 2003г.), ф 6) объединённом научном семинаре ИПМ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецова, чл.-корр. РАН В.Н. Дубинина (г. Владивосток, 2004 г.).

7) объединённом семинаре кафедр ВМ и ПМиИ ХГТУ под руководством проф. А.Г. Подгаева. (г.Хабаровск, 2004г.).

8) семинаре института математики им. С.Л.Соболева Сибирского отделения РАН по неклассическим краевым задачам под руководством д.ф.-м.н., проф. А.И. Кожанова, (г. Новосибирск, 2004 г.).

9) семинарах МГУ под руководством академика В.А. Ильина и академика Е.И. Моисеева, (г. Москва, 2004 г.).

10) 7-ой Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России" (г. Владивосток, 2005 г.).

11) 8-ой Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России" (г. Владивосток, 2006 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15]-[22], [25]-[29], из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору.

Объём и структура работы. Диссертация изложена на 101 странице компьютерного текста (набранного в системе ЖГцХ) и состоит из введения, трёх глав и списка литературы, включающего 56 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Киселевская, Светлана Викторовна, 2006 год

1. Алхутов Ю.А., Кондратьев В.А. Разрешимость задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в выпуклой области //Диф.ур. -1992. 5. С. 806 - 818.

2. Бейтемен Г.,Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. -М.: Наука, Т. 1. 1973. 294 с.

3. Бейтемен Г.,Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. -М.: Наука, Т. 2. 1974.- 294 с.

4. Власов В.И., Пальцев А.Б. Метод решения задачи Дирихле для области с узкой щелью // Докл. АН (Россия). 1993. - Т. 330, № 2. - С. 140 - 143.

5. Г'афуров Ф.Н. Граничная задача с производными в краевом условии для уравнения второго порядка эллиптического типа на плоскости // Докл. АН респ. Таджикистан 1992. - № 1. - С. 12 - 15.

6. Гилбарг Д., Трудингер. Н Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, гл.ред.физ.- ат. лит., 1989. - 464 с.

7. Глушко В.В., Ярцева Н.А. Об одной эллиптической периодической задаче с вырождением в Lp // Мат.заметки. 1998. - Т. 63, № 4. - С. 628-632.

8. Гобеджишвили P.M. О единственности решений внешних краевых задач эллиптических уравнений второго порядка // Вестник МГУ. 1992, - Сер.1, № б. - С. 45 - 47.

9. Гущин А.К., Михайлов В.П. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения // Мат.сб. 1991. - Т. 182, № 6. - С. 787-810.

10. Гущин А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка // Мат.сб. 1994. - Т. 185, № 1. - С. 121 - 160.

11. Зорин Н.С., Мовчан А.Б., Назаров С.А. Об использовании тензора упругой поляризации в задачах механики трещин // Мех. твёрд, тела. 1988.- № б. С. 128 - 134.

12. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Мат.сб. 1980. - Т. 112, №3.- С. 354 379.

13. Катрахов В.В. Об одной сингулярной краевой задаче для уравнения Пуассона // Мат.сб. 1991. - Т. 182, № б. - С. 849 - 876.

14. Катрахов В.В. Краевая задача для уравнения Пуассона с особенностями произвольного порядка в граничных точках // Коррект. краев, задачи для некласс, ур-ий /АН СССР. Ин-т мат. 1990. - С. 109 - 123.

15. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная краевая задача в областях с угловыми точками // Сб. докладов международной научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики". Хабаровск:ХГТУ, 2003. С. 183 - 189.

16. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками: Препринт ИПМ ДВО РАН. № 8. -Владивосток, 2004. - 28 с.

17. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Эллиптическая краевая задача в областях на конусе: Препринт ИПМ ДВО РАН. -К0- 7. Владивосток, 2004. - 32 с.

18. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками. 1. Функциональные пространства // Дифференциальные уравнения. 2006. - Т. 42, № 3. - С.395 - 403.

19. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками. 2. Краевая задача // Дифференциальные уравнения. 2006. - Т.42, № 4. - С. 514 - 520.

20. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная краевая задача в областях на конусе // Доклады Академии Наук.- 2006. Т. 407, № 6. С. 732-735.

21. Катрахов В.В., Мазелис JI.C. Непрерывность, пополнение, замыкание в метрических пространствах. Владивосток: ДВГУ, 2000. - 112 с.

22. Килбас А.А., Шлапаков С.А. Об интегральном преобразовании типа Бесселя и его композиции с интегральными и дифференциальными операторами // ДАН Беларуси. 1993. - Т. 37, №4. - С.10 - 14.

23. Киселевская С.В. Счётно-нормируемые функциональные пространства в областях с особыми угловыми точками // Конференция "Вологдинские чтения": Тезисы докладов. Владивосток, 2003. - С. 15 - 16.

24. Киселевская С.В. Сингулярная краевая задача для уравнения Пуассона в плоских областях с угловыми точками // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В.Золотова: Тезисы докладов. -Владивосток, 2003. С. 30 - 31.

25. Киселевская С.В. Сингулярные сигма-следы // Труды ДВГТУ 2004.- № 135. С. 15 - 19.

26. Киселевская С.В. Сингулярная краевая задача в плоской области с разрезом // Труды ДВГТУ. 2004. - № 135. - С. 117 - 123.

27. Киприянов И.А., Катрахов В.В. Сингулярные краевые задачи для некоторых эллиптических уравнений высших порядков: Препринт ИПМ ДВО АН СССР. Владивосток, 1989. 25 с.

28. Кигурадзе Т.Н. О периодических краевых задачах для линейных гиперболических уравнений // Диф.ур. 1993. -Т. 29, № 2. - С. 281 - 297.

29. Кондратьев В.А. Граничная задача для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Московского Математического общества. 1967.- вып. 16. - С. 227 - 313.

30. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. - 576 с.

31. Ларионов Е.А. Дифференциальные уравнения гиперболического типа // Диф.ур. 1992. - № 1. - С. 91 - 96.

32. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи матем.наук. 1951. - 6, № 2. - С. 102 - 143.

33. Лионе Ж.-Л.,Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. - 371 с.

34. Мамтиев Т.Р. О разрешимости первой краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка с однородными коэффициентами. //Ин-т мат. и мех. АН Азерб. Респ. Баку. 1995. - 26 с.

35. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. -Киев: Наукова думка, 1977. 331 с.

36. Масленникова В.Н. Дифференциальные уравнения в частных производных. -М.: Изд-во РУДН, 1997. 445 с.

37. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука,1984.-256 с.

38. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.-392с.

39. Михайлов А.Г. О некоторых сингулярных уравнениях с частными произбодными // Докл.АН СССР. 1991. - Т. 319, № 1. - С. 46 - 52.

40. Михлин С.Г. Курс матеметической физики. СПб.: изд-во Лань, 2002. - 576 с.

41. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.:Мир, 1977.-504с.

42. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991.-336 с.

43. Расулов М.Л., Ибрагимов Т.М., Рагимова Т.А. Об одном методе решения задач с краевым условием для нелинейного уравнения гиперболического типа первого порядка // Изв. АН Азерб. Респ. Сер.наук о земле. 1990. - № 3-4. - С. 45 - 49.

44. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.-Минск: Наука и техника,1987.-688 с.

45. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. - 808 с.

46. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. 5 изд.,испр. М.: * Наука, 1992. - 431 с.

47. Тихонов А.Н.,Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. 736 с.

48. Финер Г. Асимптотическое поведение электрического поля и плотности электрического заряда в окрестности сингулярных точек проводящей поверхч ности // Успехи матем.наук. 1975. - Т. 30, № 3. - С. 103 - 124.

49. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965. - 379 с.

50. Чечкин Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат.сб. 1993.- Т. 184, № 6. - С. 99 - 150.

51. V.A. Kozlov, V.G. Maz'a. On stress ingularities near the boundary of apolygonal crack //Proc.Roy. Soc., Edinburg Sect.A. 1993. - Vol. 117(1-2). -P. 31-37.

52. Martin Costabel, Monique Dauge. Crack singularities for general elliptic systems / Math. Nachr. 2002. - Vol. 235. P. 29 - 49.

53. Yari Zhimin Differential operators and function spaces // Several Complex Variables China: Providence (R.I.), 1993. P. 121 - 142.