Сингулярно возмущенные интегродифференциальные уравнения с быстро изменяющимися ядрами и с нулевым оператором дифференциальной части тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Бободжанова, Машхура Абдухафизовна

• Бободжанова, Машхура Абдухафизовна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бободжанова, Машхура Абдухафизовна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ И ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ

§1.1. Регуляризация задачи (1.1). Построение асимптотического решения (31) §1.2. Предельный переход в задаче (1.1) (39) §1.3. Случай чисто мнимых собственных значений (45) §1.4. Примеры (48)

ГЛАВА 2. СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ИНТЕГР О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БЫСТРО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ЯДРАМИ И С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ

§2.1. Регуляризация задачи (2.1). Разрешимость итерационных задач (55) §2.2. Обоснование асимптотической сходимости формального решения к точному (63) §2.3. Предельный переход в задаче (2.1) (66) §2.4. Примеры (69) Пример 2.1 (69) Пример 2.2 (72) Пример 2.3 (73)

ГЛАВА 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ

§3.1. Регуляризированная асимптотика решения задачи (3.1) в случае ¡i{t) ф 0(83) §3.2. Предельный переход в задаче (3.1) при fi(t) ^ 0 (94) §3.3. Регуляризированная асимптотика решения задачи (3.1) в случае /i(t) = 0 (98) §3.4. Предельный переход в задаче (3.1) при ¡i{t) = 0 (106) §3.5. Пример (111)

ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ

ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БЫСТРО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ЯДРАМИ И С НУЛЕВЫМ ОПЕРАТОРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЧАСТИ

§4.1. Регуляризация задачи (4.1). Разрешимость итерационных задач (118) §4.2. Обоснование асимптотической сходимости формального решения к точному (127) §4.3. Предельный переход в задаче (4.2) (131) §4.4. Пример (132)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сингулярно возмущенные интегродифференциальные уравнения с быстро изменяющимися ядрами и с нулевым оператором дифференциальной части»

ВВЕДЕНИЕ

Теория сингулярных возмущений, основные идеи которой были сформулированы в работах Шлезингера [132], Биркгофа [12], Лангера [58], Лиувилля [60], Тамаркина Я.Д. [ИЗ], Тихонова А.Н. [111,112], Трджинского [115,116], Территина Х.Л. [114], Пугачева B.C. [87], получила свое дальнейшее развитие в конце пятидесятых - начале шестидесятых годов прошлого столетия в многочисленных трудах как зарубежных, так и отечественных математиков. Были созданы различные методы асимптотического интегрирования, сконцентрировавшие вокруг себя школы различных направлений. Самыми заметными из них стали школы Вишика-Люстерника [20-21], Боголюбова-Крылова-Митропольского [3,24-27,77-79,122,123], Понтрягина-Розова-Мигценко [80-82,88-91], Васильевой-Бутузова-Нефедова [10,11,15-19,83,94,95], Маслова-Федорюка [73-75,124,125], Ильина [45-47], Ломова [62-71,4-6,9,30-32,52,53,85,86„96,97,100,101,103-110,135], Нестерова [83], Коняева [52]. Современные зарубежные исследования представлены трудами Вазова [13-14], Ван-Дайка [23], Джакалья [35], Коула [50], Уизема [119], Чанга и Хауэса [133] и др. Заметим, что теория сингулярных возмущений тесно связана с теорией устойчивости решений дифференциальных уравнений (см., например, работы [112,16], где используются критерии устойчивости присоединенной системы). Здесь уместно отметить работы М.М. Хапаева [128-131], в которых получены эффективные критерии устойчивости, развивающие и дополняющие известные результаты A.M. Ляпунова [72]. В основе каждого из перечисленных выше методов лежит своя идея построения асимптотических решений сингулярно возмущенных задач. Например, в методе Васильевой-Бутузова-Нефедова лежит идея аппроксимации решения в приграничной зоне функциями пограничного слоя; при этом оценка остаточного члена призводится либо сведением исходной задачи к эквивалентному интегральному уравнению и применением к нему метода последовательных приближений, либо построением барьерных функций и оценке норм соответствующих верхних и нижних решений. Настоящая работа примыкает к методу

регуляризации С.А. Ломова [62,63,70] и в своей основе широко использует теоретические концепции этого метода, поэтому будет не лишним напомнить основные идеи метода регуляризации. В шестидесятых годах прошлого столетия в теории асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных уравнений появилось предпосылки развития метода, позволяющего рассмотреть различные типы уравнений с общих позиций. В основе этого метода (получившего впоследствии название метода регуляризации Ломова [62,63,70]) лежали спектральная теория переменных линейных операторов и уточненное понятие асимптотического ряда. Не вдаваясь в подробности, отметим, что метод регуляризации позволяет получать в ряде случаев асимптотические ряды, сходящиеся в обычном смысле (см., например, [66]). Но не только в этом состоит ценность метода. Асимптотические ряды, получаемые с помощью метода регуляризации, одинаково пригодны как в колебательном, так и в неколебательном случае. Ранее эти случаи изучались раздельно, это создавало определенные трудности при рассмотрении конкретных прикладных задач. Поскольку объектом исследования настоящей работы является обобщение метода регуляризации на неизученные ранее сингулярно возмущенные системы интегродиффе-ренциальных уравнений, остановимся кратко на основных идеях метода применительно к таким уравнениям (см. [62,63,70]). Рассмотрим следующую задачу:

(

£М=Л^У + /+ 2/(0, е) =у\ (0.1)

о

где у = {у1,---,уп}- -4 (¿)—известная (п х п)— матрица, Н(Ь) — = {/г1,...,/г„} — известная вектор-функция, е > 0—малый параметр, £ £ [0,Т]. В методе регуляризации [62,63,70] показано, что если спектр {АД*)} оператора А(() стабилен, т.е. удовлетворяет условиям: 1') \3{1)ф\г{1), г ф г,] = ТТп, V* е [0,Г]; 2') Ф о, V* е [о. т], % =

то все сингулярности в решении задачи (0.1) описываются функциями

г

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бободжанова, Машхура Абдухафизовна, 2012 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. -М.: Высш. школа, 1994. 544 с.

2. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П., Штарас А.Л. Метод осреднения ' для уравнений с частными производными и его применения . Итоги науки и техники. Соврем, проблемы матем. Фундаментальные направления.

- М.: Изд-во ВИНИТИ, 1988. - T. 34.-С. 215 - 240.

3. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 504 с.

4. Бободжанов A.A. Сафонов В.Ф. Интегральные уравнения Воль-терра с быстро изменяющимися ядрами и их асмиптотическое интегрирование// Матем. сборник 2001. Т. 192. N 8. С.53-78.

5. Бободжанов A.A. Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных интегральных систем с диагональным вырождением ядра /Дифференц. уравнения. 2001. Т.37. N 10. С. 1330-1341.

6. Бободжанов A.A.. Сафонов В.Ф. Сингулярно возмущенные нелинейные интегро-дифференциальные системы с быстро изменяющимися ядрами // Математические заметки. 2002. Т.72, вып.5.С.654-664.

7. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1979, 254 с.

8. Богаевский В.Н..Повзнер А.Я.Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений . - М.: Наука , 1987. - 256 с.

9. Бобочко В.Н.,Ломов С.А. Внутренний пограничный слой // Тр. Моск. энерг. ин-та. - 1980 . Вып. 499 . - С. 57 - 60.

10. Бутузов В.Ф. Асимптотика решений некоторых модельных задач химической кинетике с учетом диффузии // ДАН СССР.-1978.-Т.242, № 2. - С. 268 - 271.

11. Бутузов В.Ф.,Васильева А.В.,Нефедов H.H. Асимптотическая теория контрастных структур Автомат, и телемех.,7 (1997), 3 - 32.

12. Birkhoff C.D. On the asymptotic character of the solutiohs of certain linear differential equations containinq a parameter. Trans. Amer. Math. Soc.-

1908. - Y.9.- P. 219 - 231.

13. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений-М.:Мир,1968.-464 с.

14. Wasow W. Asymptotic solutions of boundary value problems for the differential equation Duke.Vath.J. - 1944,- V.ll. - P.405 - 411.

15. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной // УМН. - 1963.-Т.18,вытт.(Ш).-С. 3-86.

16. Васильева А.Б., Бупзов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.-М.:Наука, 1973.-272 с.

17. Васильева А.Б.,Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях . -М.: Изд-во МГУ, 1978.-106 с.

18. Васильева А.В.,Бутузов В.Ф. Об асимптотике решения типа контрастной структуры // Матем.заметки.- 1987,Т. 42, № 6, С.831 - 841.

19. Васильева А.Б.,Бутузов В.Ф.,Нефедов Н.Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах// Фунд. и прик.матем., 4 (3)(1998), С. 799-851.

20. Вишик М.И.,Люстерник А.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром . //УМН.-1957.-Т. 12,ВЫП.5.-С.3-122.

21. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстроменяющимися коэффициентами и граничными условиями // УМН.-1960.-Т.15,вып.4.-С.27-95.

22. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики.-М.:Изд-во МГУ,1971.- 506 с.

23. Ван -Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.-М.:Мир, 1967.- 310 с.

24. Гребеников Е.А.,Рябов Ю.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике .- М.:Наука, 1978.

25. Гребеников Е.А.,Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем.-М.:Наука, 1979.-432 с.

26. Гребеников Е.А.Метод усреднения в прикладных задачах.-М.:Наука, 1986.- 256 с.

27. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц,- М.: ГИТТЛ, 1953.- 491 с.

28. Глушко В.П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения. Воронеж, 1972.194с.

29. Грачева Г.С. Об асимптотическом представлении решения одного дифференциального уравнения с замкнутой правой частью.-В кн.: Приближенные методы исследования дифференциального уравнения и их приложения. -Изд-во Куйбышевского госуни-та, -1980.- в. 6. -С. 11-33.

30. Губин Ю.П.,Сафонов В.Ф. Нелинейная регуляризация резонансных задач//Тр.Моск.энерг.ин-та.-1980.-Вып.499.-С.73-77.

31. Губин Ю.П.,Сафонов В.Ф. Нормальные дифференциальные формы и регуляризация нелинейных сингулярно возмущенных задач//Тр. Моск.энерг.ин-та.-1982.-Вып.566.-С. 18-22.

32. Губин Ю.П.,Сафонов В.Ф. Асимптотические решения сингулярно возмущенных задач со слабой нелинейностью в случае нетождественного резонанса//Диф.уравн.-1984.-Т.20, N 6.-С.930-931.

33. Далецкий Ю.Л.,Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.-М.:Наука,1970.- 536 с.

34. Далецкий Ю.Л. Асимптотический метод некоторых дифференциальных уравнений с осциллирующими коэффициентами //ДАН СССР-1962,- Т. 143, N 5.- С. 1026-1029.

35. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. -М.:Мир,1979,- 320 с.

36. Дьдонне Ж. Основы современного анализа - М.:Мир, 1964.- 431 с.

37. Джураев А.М. Асимптотическое интегрирование краевой задачи с кратным чисто мнимым спектром// Спектральная теория в задачах математической физики. Сб. науч.трудов. - М.: Моск.энерг.ин-т, 1987.- N 141. - С. 30 - 34.

38. Елисеев А.Г.,Ломов С.А.Теория возмущений в банаховом пространстве //ДАН СССР,- 1982.-Т.264, N1.- С. 34 - 38.

39. Елисеев А.Г.,Ломов С.А. Теория сингулярных возмущений в слу-

чае спектральных особенностей предельного оператора // Матем.сб. -1986. -Т.131.(173) , N 4. - С.544 - 557.

40. Еругнн Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.- Минск: Наука и техника, 1970.

41. Жукова Г.С. Аналог метода диаграммы Ньютона для одного класса сингулярно возмущенных дифференциальных уравне-ний//Дифференц. уравнения.-1990.- т.26, N 9,-сЛ500-1509.

42. Зигель К.Л. Лекции по небесной механике.-М.:ИЛ,1959.

43. Иманалиев М. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнений.-Фрунзе.:Илим, 1972.

44. Иманалиев М.И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложения,- Фрунзе.:Илим, 1977.

45. Ильин А.М. Пограничный слой .Итоги науки и техники. Соврем.проблемы матем.Фундаментальные направления.-М.:Изд-во ВИНИТИ,1988,- Т.34,- С. 175-214.

46. Ильин А.М.,Леликова Е.Ф. Метод сращивания асимптотических разложений для уравнения в прямоугольнике.//Матем.сб.-1975.-Т.96,Я4.-С. 568 - 583.

47. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В.Келдыша обыкновеннных дифференциальных операторов.//ДАН СССР, 1976, Т.227, N 9, -С.796-799.

48. Канторович Л.В.. Акилов Г.П. Функциональный анализ .-М.:Наука, 1977.-744 с.

49. Касымов К.А. Об асимптотике решения задачи Коши с большими начальными условиями для нелинейных уравнений содержащих малый параметр//УМН.-1962.-Т.17.вып.5.-С. 187-188. .

50. Коэл Дж. Методы возмущений в прикладной математике.-М.:Мир, 1972.- 274 с.

51. Като Т. Теория возмущений линейных операторов,- М.:Мир,1972.-740 с.

52. Коняев Ю.А. Конструктивные методы анализа многоточечных

краевых задач // Изв. вузов. Сер. матем,- 1992, N 2, -С.57-61.

53. Кирпикова О.И.,Ращепкина Н.А.Регуляризованная асимптотика решения параболической задачи в случае спектральных особенностей //Спектральная теория в задачах матем. физики.Сб.задач науч. трудов.-М.гМоск энерг.ин-т,1987,-Аг141.-С.109-113.

54. Кобрин А.И.,Мартыненко Ю.Г. Асимптотическое решение слабо нелинейной системы //Диф.уравн.-1977.-Т.13, N 6.- С.1008-1019.

55. Коддингтон Э.А.,Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.:ИЛ,1958.- 475 с.

56. Качалов В.И.,Ломов С.А. Гладкость решений дифференциальных уравнений по сингулярно входящему параметру // ДАН СССР.-1988.-Т.299, N4- С.805-807.

57. Крылов Н.М.,Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику.-Киев: Изд-во АН УССР, 1937,- 363 с.

58. ' Lanqer R.E. The asymptotic solution of ordinary linear differential equations of second order with special refrence to the Stokes phenomenon//Bull.

Amer. Math. Ann.-1934.-V.63.-P.505-582.

59. Lanqer R.E. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of second order with special refrence to a turninq point //Trans. Amer.

Math.Soc.-1949.-V,67.-P.461-490.

60. Liouville J Sur le développement des fonctions ou parties en series dont les divers termes sont assujettis a satisfaire a une meme equation différentielle du second ordre contenant une paramétré variable//J.Math.Pure Appl.-1937.-V.2.-P.16-35.

61. Luke Y.L. Integrals of the Bessel functions. - New York - Toronto -London, 1962.

62. Ломов С.A. Введение в общую теорию сингулярных возмущений,-М.:Наука,1981.-400 с.

63. Lomov S.A. Introduction to the General Theory of Singular Perturbation. Translations of Mathematical Monographs. Volume 112,

American Mathematical Society,-1992.

64. Ломов C.A. Метод возмущений для сингулярных задач//Изв.АН СССР, Сер.матем.-1972.-Т.36, N З.-С.635-651.

65. Ломов С.А. Формализм неклассической теории возмуще-ний//ДАН СССР. -1973.-Т.212, Дт 1.-С.33-36.

66. Ломов С.А.,Стрижков В.А. Обобщение теоремы Тихонова на случай чисто мнимого спектра //ДАН СССР.-1983.-Т.271, TV6.-С. 1317-1320. ,

67. Ломов С.А.,Холомай Б.В. Излучение релятивистских фермионов в периодическом магнитном поле.-Томск:Изд-во Томского ун-та, 1982 -N1-С.75-80.

68. Ломов С.А.,Елисеев А.Г.Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач//УМН.-1988.-Т.43,вып.3(261).-С.3-53.

69. Ломов С.А. Обычная сходимость асимптотических рядов при наличии нулевых точек спектра//Вестн.Моск.гос.ун-та.Сер.матем.,мех.-1987.-7V6.-С.85-91.

70. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя.-М.: Издательство Московского Университета, 2011. 453с.

71. Ломов И.С. Условия существования целых аналитических решений некоторых сингулярно возмущенных уравнений//Спектральная теория в задачах математической физики.Сб.научн.трудов.-М.:Моск. энерг.ин-т, 1987,- N141.-С. 61-67.

72. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения //Академик А.М.Ляпунов.Собр.соч.-М.-Л.:Изд-во АН СССР,1956.-Т.П.-С.7-263.

73. Маслов В.П.Теория возмущений и асимптотические методы.-М.: Изд-во. МГУ, 1965.-554 с.

74. Маслов В.П.Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. -М.: Наука, 1977,- 384 с.

75. Маслов В.П.,Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики.-М.:Наука,1976.-296 с.

76. Моисеев Н.Н.Асимптотические методы в нелинейной механике.-М.: Наука,1981,- 400 с.

77. Митропольский Ю.А.,Лопатин А.К. Теоретико-групповой под-

ход в асимптотических методах нелинейной механики.-Киев:Наук.думка, 1988.-272 с.

78. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике.-Киев:Наук.думка, 1971.-440 с.

79. Митропольский Ю.А.,Филатов А.Н. Усреднение интегродиффе-ренциальных и интегральных уравнений//Укр.матем.журн. -1972.-Т.24, Ш.-С. 30-48.

80. Мищенко Е.Ф. Асимптотическое вычисление периодических решений систем дифференциальных уравнений,содержащих малые параметры //Изв.АН СССР.Сер.матем.-1957.-Т.21,АГ 5.-С.627-654.

81. Мищенко Е.Ф.,Розов Н.Х.Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания.-М.:Наука,1975.-247 с.

82. Мищенко А.С.,Стернин Б.Ю.,Шаталов В.Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора.-М.:Наука, 1978.-352 с.

83. Нестеров A.B. Асимптотика решения слабо нелинейной системы дифференциальных уравнений типа "реакция-перенос"// Тезисы Международной конференции "Математическая физика, математическое моделирование и приближенные методы посвященной памяти А.Н.Тихонова -Обнинск, 2000, С.42-43.

84. Олейник O.A. Математические задачи теории пограничного слоя// УМН.-1968.-Т.23,вып.З.-С.3-65.

85. Омуралиев A.C. Краевая задача для сингулярно возмущенных систем интегродифференциальных уравнений в критическом случае //Всесоюзная конф.по асимптотическим методам в теории сингулярно возм. уравнений.-Алма-Ата:Изд-во" Наука" Каз. ССР, 1979.-4.1.-С. 113-115.

86. Омуралиев А.С.,Салейдинов К.И. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных интегральных уравнений//Исследования по интегродиф- ференциальным уравнениям,- Фрунзе:Изд-во "Илим 1987,-вып.20.-С.68-79.

87. Пугачев B.C. Об асимптотических представлениях интегралов систем линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр // Изв.АН СССР.Сер.матем.-1941.-Т.5, N1.-0.75-84.

88. Понтрягин Jl. С. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при высших производ-ных//Тр.Всесоюзного матем.съезда.-1956(1958).-Т.2.-С.93-95.

89. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных //Изв.АН СССР.Сер.матем.-1975.-Т.21 N 5.-С.605-626.

90. Понтрягин Л.С.,Мищенко Е.Ф. Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных//Изв.АН СССР.-Сер.матем.-1959. -Т.23,Л^5.-С.643-660.

91. Пулькин С.С.,Розов Н.Х. К асимптотической теории релаксационных колебаний в системах с одной степенью свободы.¡.Вычисление фазовой траектории//Вест.Моск.гос. ун-та.Сер.матем.,мех.-1964,-N2.-G.70-82.

92. Prandtl L. Uber Flussiqkeitsbewequnq ber senr kleiner Reibunq// Verk.d.HI,Int. Math.Konqr.,Heidelberq, 1904.Teubener.-1905.-484-494.

93. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. -М.:ИЛ, 1947.

94. Рожков В.И. Об одном методе исследования периодических решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных //Диф.уравн.-1975-T.II, N 8.-С.

95. Рожков В.И.,Иванова И.Л. Почти-периодические решения систем уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием в некритическом случае//Методы малого параметра.Тезисы докл. Всесюзного науч.совщ.-Нальчик:Изд-во Каб.-Балк.гос.ун-та,1987.-С. 129.

96. Рыжих А.Д. Асимптотическое интегрирование уравнения в банаховом пространстве//Тр.Моск.энерг.ин-та.-1980.-Вып.499.-С. 159-161.

97. Рыжих А.Д. Асимптотическое решение линейного дифференциального уравнения с быстро осциллирующими коэффициента-ми//Тр.Моск. энерг.ин-та.1978.-Вып.357 -С.92-94.

98. Рабинович Ю.Д.,Хапаев М.М. Линейные уравнения с малым параметром в окрестности регулярно особой точки //ДАН СССР. -1959.-

Т. 129, ./V 2.-С.268-271.

99. Рождественский Б.Л,Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. -М.:Наука,1978.-529 с:

100. Ращепкина H.A. Асимптотическое интегрирование краевой задачи при изменении характера спектра//Укр.матем.журн.-1982.-Т.4, А^б. -С. 789 - 792.

101 Стрижков В.А. Некоторые вопросы разрешимости в целом сингулярно возмущенных нелинейных задач//Матем.заметки-1985. -Т.37,вып.6.-С.857-868.

102. Стрижак Т. Г. Асимптотические методы нормализации. -Киев,1981,- 52 с.

103. Сафонов В.Ф. Нормальные формы и регуляризация нелинейных сингулярно возмущенных эволюционных уравнений//Диф.уравн.-1989.-Т.25,7V4.- С.627-635.

104. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений/,/' Изв.АН СССР. Сер.матем,- 1979.-Т.43, A3,-С.628-653.

105. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации и асимптотические решения систем с медленными и быстрыми переменными//Всесаюзная конф. по асимптот.методам в теории сингулярно возм.уравнений. -Алма-Ата:Изд-во "Наука"Каз.ССР, 1979.-4.1.-С.77-79.

106. Сафонов В.Ф, Туйчиев О.Д. Регуляризация сингулярно возмущенных интегральных уравнений с быстро изменяющимся ядром и их асимптотика. //Дифференц. уравнения,- 1997 - Т. 33, А 9, С. 1199-1211.

107. Сафонов В.Ф., Калимбетов Б. Метод регуляризации для систем с нестабильным спектральным значением ядра интегрального оператора. //Дифференц. уравнения. -1995 -Т. 31, A4, С. 696-706.

108. Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных урав-нений//ДАН СССР -1987. -Т.235 7V6.-C.1274-1276.

109. Сафонов В.Ф,Румянцева М.А. Асимптотические решения син- , гулярно возмущенных задач с нарушением стабильности спектра на мно-

жествах положительной меры//Спектральная теория в задачах матем. -физзики. Сб.науч. трудов.-М.:Моск.энерг.ин-т, 1987. TV 41.-С.86-88.

110. Сафонов В Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных задач в критическом случае // Изв.высших учебных заведений. Математика. - 1994. - N 5, 384,- С. 41-48.

111. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра.'/Матем.сб.-1948-Т.22(64). -С. 193-204.

112. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных //Матем. сб.- 1952. -Т.31(73), № 3.- С.575 - 586.

113. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных уравнений и разложениях произвольных функций в ряды. - Петроград, 1917.

114. Территин X.JI. Асимптотическое поведение решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Математика. - 1957. -T.1,JV 2,- С.129 -159.

115._ Trjitzmsky W. S. Analitic theory of linear differential equations //Acta Math. - 1934. - V. 62. -P. 167-226.

116. Trjitzinsky W. S.Theory of linear differential equations containing a parameter //Acta Math. - 1936. - V.67. -P. 1-50.

117. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстериика-Вишика//УМН. - 1970. -Т.25, вып.4(154). -С. 123-156.

118. Треногин В.А. Функциональный анализ. -М.:Наука,1980.- 440 с.

119. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.-М.:Мир,1977.-622 с.

120. Флэтто Л. Левинсон Н. Периодические решения сингулярно возмущенных систем.//Математика. -1958.- T.2,iV2. -С.61-68.

121. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений.- Киев: Наук. Думка, 1966. -252 с.

122. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и инте-гродифференциальных уравнениях.-Ташкент: Фан, 1971.

123. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференци-

альных и интегродифференциальных уравнений,- Ташкент: Фан, 1974.214 с.

124. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений.-М.:Наука, 1983.-352 с.

125. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. - М.:Наука, 1987,- 544 с.

126. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Мир, 1970.- 720 с.

127. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ)-М.:Мир, 1965.-238 с.

128. Хапаев М.М. Проблемы устойчивости в системах обыкновенных дифференциальных уравнений// УМН. - 1980.- Т.35, вып.1(211). -С.127-170.

129. Хапаев М.М. Обощение второго метода Ляпунова//Диф.уравн,-1973. -Т.9, N11.-0.2020-2028.

130. Хапаев М.М. Об исследовании на устойчивость в теории нелинейных колебаний//Матем.заметки.-1968.-Т.З,вып. З.-С.307-318.

131. Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний: Учеб.пос.для вузов.-М.:Высшая школа, 1988.-184 с.

132. Schlesinger L. Uber asymptotische Darstellungen der Losungen linearer Differential systeme als Funktionen eines Parameters//Math.Ann.-1907.-bd63.-S.277-300.

133. Чанг К.,Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения.-М.:Мир,1968.-247 с.

134. Эрдейи А. Асимптотические разложения.-М.:Физматгиз,1962.

135. Юдина A.C. Асимптотическое решение задачи Коши для неоднородного уравнения Бесселя с мнимым параметром//Спектральная теория в задачах матем.физики.Сб.науч.трудов.-М.:Моск.энерг.ин-т,1987. -N 141,- С.105 - 109.

136. Сафонов В.Ф.. Бободжанова М.А. Предельный переход сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнениях с нулевым

оператором дифференциальной части//Вестник МЭИ, 2006. N 6, С.91-100.

137. Бободжанова М.А., Фомина Ю.В. Слабо нелинейная интегро-дифференциальная задача с интегральным оператором типа Фредголь-ма// Международная конференция по Математическому моделированию, Саратов 2008 , С. 103.

138. Бободжанова М.А. Сингулярно возмущенные интегродифферен-циальные системы с нулевым оператором дифференциальной части// Вестник МЭИ, 2010, N6, С.63-72.

139. Бободжанова М.А, Сафонов В.Ф. Интегродифференциальные уравнения с нулевым оператором дифференциальной части // Международная конференция по Математическому моделированию, Белгород,

2010, С.45.

140. Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф. Сингулярно возмущенные интегродифференциальные уравнения с быстро изменяющимися ядрами// Математические методы и приложения. Труды девятнадцатых математических чтений РГСУ (29 января- 2 февраля 2010 года) М.:АПК и ППРО, 2010, С. 26-34.

141. Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф. Нелинейные интегродиффе-ренцальные уравнения с быстро изменяющимися ядрами и с нулевым оператором дифференциальной части// Математические методы и приложения. Труды двадцатых математических чтений РГСУ (27-31 января 2011 года) М.:АПК и ППРО, 2011, С.12-21.

142. Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф. Асимптотический анализ сингулярно возмущенных интегродифференциальных систем с нулевым оператором дифференциальной части //Дифференциальные уравнения

2011, т. 47, N 4, С.519-536.

143. Бободжанова М.А. Обоснование метода регуляризации для нелинейных интегродифференциальных уравнений с нулевым оператором дифференциальной части// Вестник МЭИ, 2011, N6, С.85-95.