Сингулярная задача Римана - Гильберта и ее приложение тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Безродных, Сергей Игоревич

• Безродных, Сергей Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Безродных, Сергей Игоревич

Введение

0.1. Общая характеристика работы. Диссертация посвящена исследованию задачи Римана — Гильберта с разрывными коэффициентами и условиями роста, получению нового, удобного для вычислений представления решения и применению этих результатов к актуальной прикладной проблеме.

Актуальность темы. Задача о восстановлении аналитической в области 23 функции vT = и + w по заданному на границе дЪ соотношению между ее вещественной и мнимой частями au — bv = с, (0.1) где а, Ь, с — заданные вещественнозначные функции, называемая задачей Римана — Гильберта, восходит к классическим работам этих авторов [111], [94].

Теория этой задачи и других краевых задач для аналитических функций получила глубокое развитие в работах Ю.В. Сохоцкого [67], Племеля [107], Вольтерра [123], Гильберта [94], [95], Карлемана [85], Нётера [103], Ф.Д. Гахова [32]-[34], Н.И. Мусхелишвили [54], [55], Б.В. Хведелидзе [73], И.Н.Векуа [17]-[20], Н.П. Векуа [21], Б.В. Боярского [14]-[16], A.B. Бицадзе [11]-[13] и др. Об истории исследований в этой области см. также [34], [35], [40], [55], [73].

Развитие этой теории активно продолжается в настоящее время [56]-[58], [63]-[65], [125], [128] и др. Стимулирующим фактором для этого являются многочисленные применения задачи Римана — Гильберта к актуальным прикладным проблемам в традиционных (гидро- и аэродинамика [45], [53], [98], [130], теория упругости [53], [75]) и современных областях, в том числе в обратных задачах термовязкоупругости [129], теории рассеяния [116] и импе-дансной томографии [97], [110], задачах электролиза [126], теории нейтронных звезд [127] и др.

Задачи Римана — Гильберта, возникающие в связи с приложениями, как правило, приходится решать в сложных областях. Для их сведения к задаче в канонической области, где решение выписывается явно, необходимо строить соответствующее конформное отображение. Его построение представляет собой самостоятельную трудную задачу. Даже в случае многоугольника, когда для отображения есть явное представление (в виде интеграла Кристоффеля

Шварца), возникает проблема отыскания неизвестных прообразов вершин, фигурирующих в этом интеграле [48], [93], [120]. Эта проблема значительно усложняется в типичной для приложений ситуации, когда прообразы вершин расположены крайне неравномерно и некоторые из них — очень близко друг к другу (что называют кроудингом) [93], [100], [119], [131]. Проблема параметров в ситуации кроудинга является весьма актуальной и привлекает большое внимание исследователей [88], [93], [96], [100], [102], [118], [119], [120], [131].

Отметим, что в приложениях (в механике [71], физике плазмы [27], [51], [69] и др.) нередко возникает важный частный случай задачи (0.1) в сложной области, когда коэффициенты а, Ь и с кусочно-постоянны, а в точках их разрыва предписываются условия роста решения. Заметим, что условие (0.1) при постоянных а, Ъ и с представляет собой уравнение прямой на плоскости w = и + iv. Такое наблюдение подсказывает, что решение задачи Римана

Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами может быть интерпретировано геометрически как конформное отображение исходной области на некоторый (не обязательно однолистный) многоугольник. Возможность такой интерпретации была указана Риманом [111] (даже для более общей ситуации). Отметим, что реализацией этой интерпретации в случае задачи Римана — Гильберта (с кусочно-постоянными коэффициентами) в полуплоскости было бы представление решения в виде интеграла Кристоффеля — Шварца.

Целью диссертационной работы является:

1) исследование разрешимости задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами и условиями роста в точках разрыва (сингулярной задачи Римана — Гильберта);

2) получение для функции Аппеля Р\ (обобщения гипергеометрической функции Гаусса Р) формулы, являющейся аналогом формулы Якоби для F и дающей выражение для производной от произведения ^ на некоторые биномы в виде произведения (других) биномов и линейной функции;

3) вывод при помощи найденной формулы типа Якоби для функции ^ нового представления в виде интеграла Кристоффеля—Шварца для решения задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами а, 6 и с, имеющими три точки разрыва;

4) решение сингулярной задачи Римана — Гильберта в сложной области (внешности десятиугольника), возникающей при моделировании явления магнитного пересоединения в плазме;

5) построение конформного отображения указанной в п. 4 многоугольной области на каноническую, включающее решение проблемы параметров для интеграла Кристоффеля — Шварца и его обращение в аналитическом виде.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) на основе классических подходов [34], [55] исследована разрешимость сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами; решение задачи выписано через интегралы типа Коши;

2) получена указанная в п. 2 целей работы формула типа Якоби для функции Аппеля

3) с помощью этой формулы решение сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами, имеющими три точки разрыва, преобразовано к виду интеграла Кристоффеля — Шварца; такое представление дает геометрическую интерпретацию решения задачи как конформного отображения полуплоскости на некоторый (не обязательно однолистный) многоугольник и доставляет удобный аппарат для его вычисления;

4) решена сингулярная задача Римана — Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами во внешности десятиугольника, возникающая при моделировании явления пересоединения магнитного поля в плазме; проведена численная реализация решения и представлена динамика картины магнитного поля в зависимости от параметров модели; найдены формулы для физически значимых характеристик поля;

5) построено необходимое для решения задачи, указанной в п. 4, конформное отображение исходной многоугольной области на полуплоскость; при этом решена проблема параметров для обратного отображения, представляемого интегралом Кристоффеля — Шварца, с использованием найденных асимптотик для неизвестных параметров этого интеграла; интеграл Кристоффеля — Шварца обращен в аналитическом виде.

Приемы, использованные в п. 5 для построения конформного отображения, допускают обобщение на широкий класс многоугольных областей.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ [4]-[9], [77], [122].

Структура работы. Диссертация разбита на главы, параграфы, пункты и подпункты. Первая цифра номера пункта совпадает с номером параграфа, а вторая обозначает номер пункта в параграфе. В каждой главе принята своя нумерация теорем и предложений. Нумерация формул — двойная: первая цифра означает номер параграфа, вторая — порядковый номер формулы в параграфе. При ссылке на формулу из другой главы к номеру формулы добавляется номер главы. При ссылке на подпункт к его номеру добавляется номер параграфа и пункта.

0.2. Обзор содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

Глава I посвящена сингулярной задаче Римана — Гильберта в полуплоскости. Основными результатами главы являются: 1) установленная разрешимость сингулярной задачи Римана — Гильберта с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами и полученное представление решения такой задачи через интегралы типа Коши; 2) найденная формула типа Якоби для функции Аппе-ля и выведенное на ее основе представление в виде интеграла Кристоффеля — Шварца для решения сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами, имеющими три точки разрыва.

§1 главы I содержит вводный материал о задаче Римана — Гильберта в односвязной области и методах ее решения. Отмечено, что в настоящей работе используется подход, основанный на использовании конформного отображения для перехода к аналогичной задаче Римана — Гильберта в канонической области с последующим сведением к задаче сопряжения, решение которой строится через интегралы типа Коши. В связи с этим даны краткие сведения об отображении прямолинейных многоугольников при помощи интеграла Кристоффеля — Шварца и круговых многоугольников на основе уравнения Шварца, а также о приближенных методах конформного отображения, в том числе о методе Теодорсона — Гаррика и вариационных методах.

В §2 главы I приведены используемые в дальнейшем положения теории гипергеометрической функции Гаусса и ее обобщения — функции Аппеля Получен ряд соотношений между ассоциированными гипергеометрическими функциями; эти соотношения затем использованы в

§4 при выводе формулы типа Якоби для функции Р\.

§3 главы I посвящен сингулярной задаче Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами и условиями роста решения в точках разрыва коэффициентов (предполагается, что коэффициенты задачи могут иметь разрыв и в бесконечно удаленной точке, а общее число точек разрыва конечно).

В пункте 3.1 дана постановка сингулярной задачи Римана — Гильберта и осуществлено ее сведение к задаче сопряжения. В пункте 3.2 исследованы свойства модифицированного интеграла типа Коши, который затем в пункте 3.3 используется для построения канонического и общего решения однородной задачи Римана — Гильберта. Введена формула для индекса х, учитывающая показатели роста из постановки задачи. В пунктах 3.4 и 3.5 построено в терминах интеграла типа Коши частное решение неоднородной задачи; для случая, когда х < — 1, выписаны условия разрешимости задачи. Основные результаты параграфа 3 сформулированы в виде теорем 1 и 2.

В §4 главы I рассмотрен частный случай изученной в

§3 задачи Римана — Гильберта, когда ее коэффициенты кусочно-постоянны. В пунктах 4.1 и

4.2 даны представления решения через интегралы типа Коши; разрешимость задачи установлена в теореме 3.

Пункт 4.3 посвящен преобразованию решения сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами, имеющими три точки разрыва, к виду интеграла Кристоффеля — Шварца; такой интеграл представляет собой первообразную от произведения биномов и полинома с вещественными коэффициентами. Техническим средством, позволяющим осуществить указанное преобразование является найденная в этом пункте формула типа Якоби для функции Аппеля Р\.

Основной результат параграфа 4, т.е. представление решения задачи Римана — Гильберта в виде интеграла Кристоффеля — Шварца, сформулирован в виде теоремы 4.

Глава II посвящена решению сингулярной задачи Римана — Гильберта во внешности десятиугольника с кусочно-постоянными коэффициентами и заданным на бесконечности условием роста; такая задача возникает при моделировании явления пересоединения магнитного поля в плазме.

В §1 главы II изложены основные положения модели пересоединения магнитного поля во внешности токовой конфигурации, состоящей из токового слоя и присоединенных к нему четырех ударных МГД-волн; токовый слой и ударные волны, считающиеся бесконечно тонкими, изображаются в виде симметричной системы прямолинейных разрезов на комплексной плоскости, см. рис. 1 на стр. 80. Десятиугольная область, в которой рассматривается магнитное поле, является внешностью этой системы разрезов.

В §2 главы II описанно сведение изложенной в

§1 математической модели к задаче Римана — Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами в указанной десятиугольной области и условием линейного роста решения на бесконечности.

В пункте 2.3, основываясь на соображениях симметрии, исходная задача Римана — Гильберта сведена к аналогичной задаче в четверти исходной области (квадранте с разрезом), обозначаемой через (7 (см. рис. 2 на стр. 84), относительно аналитической в С? функции Э-(г).

В пункте 2.4 дан подход к решению задачи. Функцию 2г предлагается искать в виде суперпозиции = о Ф(^) конформного отображения £ = Ф(.г) области (3 на верхнюю полуплоскость Н+ и решения У+{() соответствующей задачи Римана — Гильберта в Ш+ (см. рис. 2 на стр. 84). При этом указаны основные трудности, возникающие при построении конформного отображения, а также изложен способ их преодоления. Нахождению конформного отображения Ф посвящены

§§3-6; функция строится в

§7.

В §3 главы II выписано представление в виде интеграла Кристоффеля — Шварца для конформного отображения г = Ф-1(С) верхней полуплоскости на (пятиугольную) область (7. Указанный интеграл содержит неизвестные параметры: величины Ли т — прообразы двух вершин многоугольника (7, а также предынтегральный множитель X.

В пункте 3.3 сформирована система нелинейных уравнений для прообразов Л и г. В правых частях этих уравнений фигурируют известные геометрические параметры области (7, а их левые части выписаны в терминах интегралов гипергеометрического типа, в которых фигурируют неизвестные Л и г. В пункте 3.4 изложен подход к решению этой системы, основанный на сочетании метода продолжения по параметру и метода Ныотона. После вычисления Лиг множитель X находится по явной формуле.

Для эффективного решения указанной системы нелинейных уравнений требуется с высокой степенью точности вычислять фигурирующие в системе интегралы, а также иметь хорошее начальное приближение для искомых величин Лиг.

В §4 главы II изложен аналитический метод вычисления интегралов гипергеометрического типа, фигурирующих в системе уравнений для Лиг. Метод дает представление для таких интегралов в виде экспоненциально сходящихся рядов, коэффициенты которых выписаны явно через гипергеометрические функции.

§5 главы II посвящен нахождению асимптотик для величин Л и г в зависимости от геометрических параметров многоугольника С? и построению на основе этих асимптотик начальных приближений для Лиг; предлагаемый подход описан в пунктах 5.1 и 5.2.

Основным аппаратом, применяемым для получения результатов

§5, является разработанная в [23], [24] теория конформного отображения сингулярно деформируемых областей; используемые в диссертации положения этой теории приведены в пункте 5.3.

Геометрическими параметрами области (3, в зависимости от которых исследуется поведение прообразов Лит, являются относительная длина р = г/Я наклонного разреза и а — показатель угла наклона этого разреза, см. рис 2 на стр. 84.

В пункте 5.4 найдены асимптотики для Ли т при р 0, в пункте 5.5 — соответствующие асимптотики при р оо, а в пункте 5.6 — при а -> 0. В пункте 5.7 указаны начальные приближения для Лит, используемые при их нахождении из системы нелинейных уравнений. Результаты параграфа 5 сформулированы в виде предложений 2-4.

В §б главы II изложен метод обращения интеграла Кристоффеля — Шварца, позволяющий получить искомое отображение Ф(г) в виде набора экспоненциально сходящихся степнньк разложений с явно выписанными коэффициентами; множества сходимости разложений (см. рис. 3 на стр. 87) покрывают в совокупности всю область (7. Метод основан на теории [23], [24]. В пунктах 6.1-6.3 изложена общая схема метода и приведены формулы для коэффициентов разложения. В этом параграфе завершается построение конформного отображения Ф(г) области С на верхнюю полуплоскость Н+.

В §7 главы II сформулирована и решена задача Римана — Гильберта в Н+ для функции У+(С)- Заметим, что коэффициенты этой задачи кусочно-постоянны и имеют три точки разрыва, а для функции Т+(С) ставится условие роста на бесконечности.

В пунктах 7.1-7.3 с помощью результатов главы I получено представление для функции в виде интеграла Кристоффеля — Шварца.

В пункте 7.4 дана геометрическая интерпретация решения задачи Римана — Гильберта как конформного отображения полуплоскости Н+ на некоторую бесконечную четырехугольную область 1У. Исследована зависимость этой области (называемой областью годографа магнитного поля) от параметров модели.

В пункте 7.5 получены представления для функции У+ в виде степенных разложений с явно выписанными коэффициентами, доставляющие удобный аппарат для вычисления

В пункте 7.6 изложен полный алгоритм вычисления решения 3 исходной задачи Римана — Гильберта вСв виде суперпозиции = о Ф(^).

В пункте 7.7 получены формулы для физически значимых характеристик магнитного поля: полного тока и скорости пересоединения.

§8 главы II посвящен численной реализации полученного решения. Продемонстрировано, что построенный метод решения рассматриваемой задачи Римана — Гильберта в многоугольнике является эффективным. В частности, для параметров Л, т, X интеграла Кристоффеля — Шварца была достигнута относительная точность не хуже Ю-11.

0.3. Основные обозначения и некоторые определения.

Io. Числа. Буквами z, ( и w обозначаются комплексные переменные; z = х + iy, С = £ + ir], w = и + iv, где i — мнимая единица. Вещественная и мнимая части числа а обозначаются, как обычно, через Rea и Ima; а — число, комплексно сопряженное с а.

2°. Множества. Все рассматриваемые в работе области плоские. Если Ъ — область, то дЪ — ее граница, а Ъ = Ъ U дЪ — замыкание области Ъ; точки границы дЪ обозначаем z', если Ъ расположена на комплексной плоскости z.

R — множество вещественных чисел;

N — множество натуральных чисел;

Z+ — множество неотрицательных целых чисел;

С — комплексная плоскость;

С = С U {оо} — расширенная комплексная плоскость;

Н+ = {z : Im z > 0} — верхняя полуплоскость;

U = : < 1} — единичный круг.

3°. Функции. Запись / : Ъ —у V означает, что функция / осуществляет конформное отображение области Ъ на область G; (р о f — суперпозиция функций / и (р\ ip~l — функция, обратная к (р. Выражение а \=Ь означает, что а по определению равно Ъ.

4°. Асимптотические символы. Пусть функции /(О и д(() определены на некотором множестве М изменения переменной С, а £ — его предельная точка. Запись

С) = о (Ж)). означает существование такой постоянной С и окрестности U точки что 1/(01 <С\д(С)\ при всех С G МП U. Запись

0 = 0* (р(0), С->£, означает существование отличного от нуля предела шм[т/9(о]=сфо, а запись /(0 = о(д(0), С £> — чт0 этот предел равен нулю.

5°. Замечание о виде краевого условия Римана — Гильберта. Очевидно, что условие (0.1) задачи Римана — Гильберта можно переписать в виде

Re [h(z')?{z')} = c(z'), (0.2) где h(z') := a(z') + ib(z'). В дальнейшем краевое условие этой задачи будем записывать в форме (0.2), называя функции h(z') и c(z') коэффициентами задачи.

0.4. Области класса (Л) и сходимость конформного отображения последовательности областей.

Io. Области класса (Л). Излагаемый в данном подпункте материал взят из монографий [37], [52], [68].

Область D принадлежит классу (Л), если она односвязна и функция ¿í : U D, конформно отображающая единичный круг U := {\z\ < 1} на область D, непрерывна в замыкании круга U в смысле метрики римано-вой сферы.

Отображение ц задает в D топологию, порождаемую естественной топологией в U. Говоря о точке границы области, будем подразумевать граничный элемент (простой конец в смысле Каратеодори [83]); одна точка границы дИ может изображать несколько и даже бесконечное множество граничных элементов. Установлено [82], что между точками окружности и граничными элементами из дИ существует соответствие, являющееся взаимно однозначным и непрерывным в смысле указанной топологии. В связи со сказанным дуга 7 границы области В € (Л) понимается как образ р(5) некоторой дуги 6 окружности ¿Ш. Интервал и^7 границы дО есть дуга 7 без концевых точек, и^7 = р(тЬ5). Дугу называем невырожденной, если она состоит более, чем из одной точки. Отметим, что граница области И £ (Л) состоит из элементов только первого рода.

2°. Сходимость отображающих функций последовательности областей. Излагаемый в данном подпункте материал взят из монографий [37], [52].

Пусть {(?п}пек ~~ последовательность односвязных областей (Зп, содержащих точку го■ Обозначим через % — <рп(0 функцию, отображающую единичный круг И на область йп с нормировкой ц>п(0) = г0, ^(0) > 0, а через £ = Фп(г) — обратную функцию. Вопрос о сходимости последовательности отображений срп в наиболее общей форме исследовался в работах Каратеодори [81] и ряда других исследователей [78], [86], [87], [92], [101], [112]. Основной результат формулируется следующим образом.

Пусть каждая из областей последовательности {С?п}пек содержит круг V := {г : ¡г — < р}, р > 0; тогда ядром этой последовательности называют наибольшую область (3, содержащую круг 2) и обладающую тем свойством, что любая ее замкнутая часть принадлежит всем (2П, начиная с некоторой. Говорят, что последовательность {С?п} сходится к своему ядру (3, если область С является ядром для любой подпоследовательности {СПк}.

Теорема Каратеодори [81] гласит: для того чтобы последовательность отображений сходилась в круге V к (р, необходимо и достаточно, чтобы последовательность областей {(?п} сходилась к области С? как к своему ядру; при этом сходимость равномерна внутри и, а последовательность обратных отображений {Фп} сходится равномерно внутри й к отображению Ф.

Из этой теоремы следует, что для сходимости (рп —> (р и Фп -> Ф не только не требуется какой-либо регулярности деформирования, но не требуется даже близости границ областей С и Сп (о геометрическом смысле сходимости {С?п} к С? как своему ядру см. [52]). В этой теории был изучен также вопрос о сходимости срп в замыкании круга и и о сходимости обратных отображений Фп, см. [92], [101], [112]. Перечисленные результаты переносятся на случай семейства областей (это, в частности, было отмечено в [28]).

Глава I

Сингулярная задача Римана — Гильберта

§1. Предварительные сведения

1.1. Задача Римана — Гильберта в односвязной области. Io. Постановка задачи и некоторые ее приложения. Задачу о построении аналитической функции по заданному соотношению между ее вещественной и мнимой частями на границе области называют задачей Римана — Гильберта. Впервые эта задача в весьма общем виде была поставлена Риманом

Для случая, когда указанное соотношение является линейным, такая задача была рассмотрена в работах Гильберта [94], [95] и ряда других исследователей [17], [32], [54], [62],[103], [106], [108], [123]. Она формулируется следующим образом.

Пусть область Ъ ограничена простым гладким замкнутым контуром Г; требуется найти аналитическую в Ъ и непрерывную в Ъ функцию = и(х,у) + iv(x,y), удовлетворяющую на контуре Г краевому условию

Re [h{z') J(/)] = c(z'), z'eT, (1.3) где h(z') и c(z') — соответственно комплексная и вещественная функции, заданные на Г, причем h(z') не обращается в нуль.

Развернутая теория задачи (1.3) изложена в монографиях [34], [55] и курсах [49], [61]; эта теория и ее дальнейшее развитие отражено в монографиях [И], [12], [13], [19], [20], [53], [63], [64], [128] и моногочисленных статьях.

Задача Римана — Гильберта и ее обобщения [34], [55], [63], [64], [89], [125],

128] находят многообразные применения, в том числе в теории псевдоаналитических функций, теории уравнений смешанного типа и эллиптических уравнений и систем [И], [12], [13], [19], [20], [49], [63], [64], в задачах теории упругости [71] и гидро-и аэродинамики [И], [18], [49], [53], [59], [76], [98], [121],

129], [130], задачах распространения волн и соответствующих обратных задачах [41], [50], [62], [70], [72], [116], а также в задачах электролиза [126], в теории нейтронных звезд [127], в обратных задачах импедансной томографии [97], [110] и мн. др.