Сферические полудизайны и кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Котелина, Надежда Олеговна

• Котелина, Надежда Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Котелина, Надежда Олеговна

Содержание

Введение

Глава I. Сферические полудизайны п

§ 1. Определения и свойства сферических полудизайнов

§ 2. 2-полудизайны и жёсткие фреймы

§ 3. Определения сферических дизайнов

§ 4. Неравенство Б. Б. Венкова и первое экстремальное свойство

сферических полудизайнов

§ 5. Пример сферического полудизайна: вершины икосаэдра

§ б. Пример сферического полудизайна: вершины додекаэдра

§ 7. Полиномы Гегенбауэра и формула сложения

§ 8. Потенциалы В. А. Юдина и второе экстремальное свойство

сферических полудизайнов

§ 9. Неравенство Б. Б. Венкова с весами и взвешенные сферические полудизайны

§ 10. Несферические полудизайны

Глава II. Кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере

§ 11. Кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере

§ 12. Кубатурные формулы степени точности 5

§ 13. Кубатурные формулы степени точности 7

§ 14. Кубатурные формулы степени точности 9

§ 15. Кубатурные формулы степени точности 11 и 13

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сферические полудизайны и кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере»

Введение

Понятие сферического 1-дизайна было введено Ф. Дельсартом. Й. Гё-тальсом, Й. Зайделем в 1977 г. (см. [43]). С тех пор Н. Н. Андреев. Б. Б. Венков. В. А. Юдин, Н. Слоан. Е. Боннаи занимались проблемами существования, строения и нахождения дизайнов заданного порядка на сфере с заданной размерностью. Сферические дизайны — это особый класс сферических кодов, т. е. конечных множеств точек на сфере б1"-1. Мотивом для их изучения послужило приближённое вычисление интегралов по сфере 5'п_1. Интеграл от алгебраического полинома степени не выше £ по сфере может быть вычислен как среднее от значений полинома в точках дизайна порядка Вопросы вычисления интегралов по сфере подробно освещены в книге И. П. Мысовских [26].

В диссертации вводятся множества точек на сфере, именуемые взвешенными сферическими полудизайнами, элементы которых можно брать

1

в качестве узлов кубатурных формул для вычисления интегралов по сфере, а веса являются коэффициентами в этих формулах.

Целью диссертационной работы является:

1. Введение понятия сферического полу дизайна и изучение свойств сферических полудизайнов.

2. Введение понятий взвешенного сферического полудизайна и несферического полудизайна, изучение их свойств.

3. Исследование связей между взвешенными сферическими полудизайнами и кубатурными формулами для вычисления интегралов по сфере.

Приведём краткий обзор содержания диссертации. Работа состоит из двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Нумерация параграфов сквозная. Ссылки на формулы и теоремы образуются из номера параграфа и номера формулы или теоремы в параграфе.

В первой главе диссертации рассматриваются сферические полудизайны и взвешенные сферические полудизайны. В первом параграфе изучаются свойства сферических полудизайнов. Понятие сферического полудизайна является новым и впервые появилось в работах Н. О. Ко-телиной, А. Б. Певного [21, 22].

Пусть заданы натуральные числа п ^ 2. т, причём £ чётное. Используем скалярное произведение (х.у) = х\у\ + ••• + хпуп векторов х. у £ Мп и норму ||.т|| = у/(х. х).

Пусть задана система векторов Ф = {</?!,..., <рт} С 5П_1. В диссертации рассматривается тождество, которое именуется тождеством Варинга, в честь английского математика Э. Варинга. поставившего за-

+ /9

дачу о представлении формы [х\ + • • • + ж^) "в виде суммы степеней порядка Ь линейных форм (см. [50]):

гп

^[М]ь = Аг\\х\\\ хеЖ1. (0.1)

1=1

Пусть 5П_1 = {жеМп|||ж|| = 1} — единичная сфера в Мп.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.1. Система векторов Ф - {ч>\, ■ ■ • С Б71'1, для которой существует константа At > 0 такая, что выполняется тождество (0.1), называется сферическим полудизайном порядкаЬ.

В первом параграфе установлено следующее свойство сферических полудизайнов (см. [20]).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 0.1. Сферический г-полудизайн Ф = {(рх,____<рт}

является сферическим р-полудизайном для всех р — 2,4, ...Л, с константой Ар = срт, где

_ {р-1)!!

°р ~~ п(п + 2) • ■ • (п + р — 2)' (°'2)

Далее получено ещё одно эквивалентное определение сферического полудизайна порядка t (см. [20]).

ТЕОРЕМА 0.1. Пусть задана система векторов Ф = \}Р\,..., (рт} С С в71-1. Для того чтобы система Ф была сферическим полудизайном порядка I, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

1

(7 „

Г 1 т

/ (Хх) =

1сп-1 т —'

Jb 7 = 1

для любого однородного полинома С^{х) степени Ь от п переменных. Здесь ап — площадь сферы 5'п~1.

С каждым сферическим ¿-полудизайном связана кубатурная формула, точная для всех полиномов степени не выше t + 1.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 0.2. Пусть Ь — натуральное чётное число, система Ф = {</?!,..., (рт } — сферический Ь-полудизайн. Положим (рт+г — = —<ръ, г Е 1 : т. Тогда справедливо равенство

1 Г 1 2т

- (¿{х)<18 = — ^Ы (0.3)

ап JSn-l 2т ^

для любого полинома <5(.т) степени не выше 1 + 1.

Во втором параграфе рассматриваются сферические полудизайны порядка 2. В этом случае сферические полудизайны представляют собой жёсткие фреймы (см., например. [24. 25]). Рассматриваются веществен-

ные гармонические фреймы и доказывается, что они являются сферическими 2-полудизайнами в К".

В третьем параграфе вводится понятие сферического дизайна. Пусть I натуральное. £ ^ 2. В. А. Юдин в статье [31] привёл следующее определение сферического дизайна.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.2. Система Ф = {уэь ... ,<рт} С 571"1 - сферический дизайн порядка если для любого х € Мп и всех р = 0,1,... А выполняется равенство

1 х^л п СрУжЦ7', р чётное.

г=1 I 0. нечётное.

где ср определяются по формуле (0.2) при чётных р ^ 2, а со = 1.

В третьем параграфе вводится также понятие симметричного сферического дизайна. Для чётных t устанавливается связь между определениями симметричного сферического (£ + 1)-дизайна и сферического ¿-полудизайна (см. [20, 21, 22]).

Существует также определение сферического ¿-дизайна через куба-турные формулы, точные для всех полиномов (}(х) степени не выше £.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.3. Система Ф = {фЪ ..., <рш} С Б71'1 называется сферическим Ь-дизайном. если выполнено тождество

Л С 1 т

/ (Хх)й8 =-У^СЦъ) (0.4)

/ сп-1 т —

л 1=1

а.

для всех полиномов (5(;х) степени не выше I. Здесь ап — это площадь сферы 5'п~1.

Это определение впервые появилось в работе Ф. Дельсарта, Й. Гё-тальса, Й. Зайделя [43] в 1977 г. В. А. Юдин в [31] доказал, что опре-

деления 0.2 и 0.3 эквивалентны. Для симметричных сферических дизайнов это автоматически следует из симметричности. Приводятся примеры сферических полудизайнов и соответствующих симметричных дизайнов.

В работах Гётальса, Зайделя [45. 46] впервые появился Ь-потенциал системы векторов Ф = {</?!,.... (рт} С ¿'п~1:

т т 1=1 3=1

где £ — натуральное чётное число. Для £ = 2 потенциал был рассмотрен в работах [35. 38] и назван фреймовым потенциалом. Неравенство для фреймового потенциала было установлено в [35, 38].

В четвёртом параграфе приводится неравенство для ¿-потенциала, доказанное В. М. Сидельниковым в работе [28], Гётальсом, Зайделем в [45], а для симметричных множеств на сфере Б. Б. Венковым в [54].

Для любой системы Ф = {(/?!,..., </?ш} С б""-1 выполняется неравенство

Рг(Ф) ^ С(??г2. (0.6)

где константа с^ определена формулой (0.2) при р = I.

В работе Б. Б. Венкова рассматривались только симметричные множества Ф и тогда минимум Д(Ф) достигается на сферических ¿-дизайнах и только на них. В диссертации берутся произвольные множества Ф, лежащие на сфере. Тогда справедливо следующее экстремальное свойство сферических ¿-полудизайнов.

ТЕОРЕМА 0.2. Неравенство (0.6) обращается в равенство на сферических Ь-полу дизайнах и только на них.

Теорема 0.2 является следствием более общей теоремы, установленной далее в диссертации.

В пятом параграфе «Вершины икосаэдра» доказывается, что вершины икосаэдра образуют сферический 5-дизайн (см. [21, с. 164]). В этом параграфе для системы Ф12 из всех 12 вершин икосаэдра, вписанного в сферу S2, вычисляется матрица Грама. Вид матрицы G позволяет установить следующее свойство вершин икосаэдра:

(<Pi,<Pj) = ±^ i^j, \г~]\ 6, i,j е 1 : 12.

Это свойство используется при вычислении 4-потенциала системы Фб из половины вершин икосаэдра, с помощью которого доказано, что икосаэдр — сферический 5-дизайн.

В шестом параграфе «Вершины додекаэдра» рассматривается додекаэдр, двойственный к икосаэдру, вписанный в сферу S2. Его вершинами являются центры граней икосаэдра, спроектированные на сферу. Вычисляются координаты всех вершин додекаэдра, выписывается матрица Грама для соответствующей системы и устанавливается, что Ф20 является сферическим дизайном порядка 5.

Существует ещё одно экстремальное свойство сферических t-полу-дизайнов, в формулировке которого используются полиномы Гегенбау-эра G^\u). В качестве подготовительного шага в седьмом параграфе доказывается, что для произвольного ортонормированного базиса С Harm(fc) справедлива формула сложения для полиномов Ге-

генбауэра

N(k)

Здесь N(k) — размерность пространства Harm(Zc) сферических функций порядка к (см.. например, [3]).

Из формулы сложения следует неотрицательная определённость полиномов Гегенбауэра, которая означает, что для произвольных т > 0 и точек £2, • • •: £т на Б71'1 матрица А = {С^ }™=1 является

неотрицательно определённой.

В. А. Юдин получил критерий сферического дизайна в терминах полиномов Гегенбауэра (см. [31. с. 40]). Он рассматривал три определения ¿-дизайна: через кубатурные формулы, систему тождеств и через полиномы Гегенбауэра и доказал, что они эквивалентны. В восьмом параграфе устанавливается критерий для сферических полудизайнов в терминах полиномов Гегенбауэра (см. [21, с. 168]).

ТЕОРЕМА 0.3. Пусть £ — натуральное чётное число. Для того, чтобы система Ф = {(^1,... . 1рт} С й*™-1 была сферическим 1-полу-дизайном, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

т

=0, жбГ1, к = 2,4, (0.7)

г=1

Заметим, что в случае ¿-дизайна равенства (0.7) должны выполняться при всех к = 1,2,... Л.

Далее для системы векторов Ф = {</?!,... ,(рТп} на сфере 5"-1 определяем потенциалы В. А. Юдина:

т т

= Е Е 4П) (К ¥>;»: к = 1,2,..., г.

1=1 ¿=1

Поводом для введения названия «потенциал» послужила неотрицательность выражений С//с(Ф), которая следует из формулы сложения для полиномов Гегенбауэра.

В восьмом параграфе доказывается критерий сферических полудизайнов в терминах потенциалов Ф) (см. [21, с. 168]):

ТЕОРЕМА 0.4. Пусть t — натуральное чётное число. Система Ф = = {(/?!,... ,(ргп} С S'"'-1 является сферическим t-полу дизайном тогда и только тогда, когда выполняются равенства

Uk{ Ф) = 0, к = 2,4,

Достижение потенциалами Uk{Ф) минимума, равного нулю, на сферических ¿-полудизайнах и только на них в диссертации именуется вторым экстремальным свойством t-полудизайнов.

В девятом параграфе обобщается неравенство Б. Б. Венкова (0.6) на случай произвольных весов (см. [11, 17. 18]).

Пусть t — натуральное чётное число, системаФ = {(р\..... ipm} лежит на сфере Sп~1. Б. Б. Венков на лекциях в университете Бордо в 1997— 98 гг., опубликованных в статье [54], рассмотрел квадратную матрицу А размера m с элементами

<kj = [{<Pi,Vj)]\ i,jel-.m.

Нетрудно доказать её неотрицательную определённость: '

(AW. W) ^ 0 для всех W Е Rm.

Рассмотренное выше неравенство Б. Б. Венкова для i-потенциала может быть переписано так:

{AW0iW0) W0= €Mm

В диссертации устанавливается более общее неравенство. ТЕОРЕМА 0.5. Пусть t — натуральное чётное число, задана си-

стема векторов Ф = {(/?!, <р2,...; <рт} на сфере Б'^1 и вектор ]¥ = = ...; £ Мт такой, что ^21=1 = 1. Тогда справедливо неравенство

{А\¥, \¥) ^ с*. (0.8)

Далее доказывается необходимое и достаточное условие равенства в неравенстве (0.8) (см. [11. 17, 18]).

ТЕОРЕМА 0.6. Для того, чтобы в (0.8) имело место равенство, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

т

^ Щ [(<Ри х)]1 = Сг\\х\\г, X е Мп. (0.9)

г=1

Замечание. По аналогии с (0.1) тождество (0.9) будем называть тождеством Варинга с весами.

Условие (0.9) стало основой для введения понятия взвешенного сферического полудизайна, которое является новым и появилось впервые в работах Н. О. Котелиной, А. Б. Певного [11, 15, 17. 18].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.4. Пусть вектор = (Жь ..., \¥ш) 6 Мт такой, что ^ — 1- Система Ф = {(/?!, (/?2; • • •; <рт} С Б71'1 называется взвешенным сферическим полудизайном порядкаЬ с вектором весов ИЛ если выполнено тождество (0.9).

Для краткости введём обозначение (Ф. И^) для взвешенного сферического полудизайна Ф с вектором весов У/.

Таким образом, неравенство (0.8) обращается в равенство на взвешенных сферических полудизайнах (Ф, \¥) порядка £ и только на них.

Взвешенные сферические полудизайны обладают следующим свойством (см. [18]).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 0.3. Пусть пара (Ф, W), где Ф = {<рь ..., iprn} С С Sn~l, W G Wi — 1? ~~ взвешенный сферический полудизайн

порядка t. Тогда эта пара является взвешенным сферическим полудизайном порядка р для любого р = 2, 4,.... t.

В девятом параграфе вводится также определение взвешенного сферического дизайна порядка ¿ через систему тождеств и для чётных ¿ устанавливается связь между определениями взвешенного симметричного сферического (t + 1)-дизайна и взвешенного сферического ¿-полудизайна (см. [18, с. 31]). Приводится пример, связанный с минимальными векторами решётки Коркина-Золотарёва Eg (см. [16, 18, 31]). Для этих векторов доказывается тождество Варинга с весами и устанавливается, что эти векторы образуют в пространстве М8 взвешенный сферический дизайн порядка 7 с весами Wi — Поскольку все веса W{ равны, то это утверждение эквивалентно тому, что множество минимальных векторов решётки Eg — это просто сферический 7-дизайн.

В десятом параграфе рассматриваются ¿-полудизайны в Rn, состоящие из векторов разной длины. Это понятие впервые появилось в работах Н. О. Котелиной, А. Б. Певного [21, 22].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.5. Пусть ¿ — натуральное чётное число. Система ненулевых векторов Ф = .... (рт} С Кп, для которой существует константа At > 0 такая, что выполняется тождество (0.1), называется несферическим полудизайном порядка t.

В десятом параграфе доказывается обобщённое на случай ненулевых векторов из Rn неравенство для ¿-потенциала (см. [21, 22]).

ТЕОРЕМА 0.7. Для произвольной системы ненулевых векторов Ф = = {сpi...., ipm} в пространстве Мп справедливо неравенство

m 9

Ptm > ; (0.10)

i= 1

где константа et определяется формулой (0.2) при р = £. Равенство в (0.10) достигается на t-полу дизайнах и только на них.

При £ = 2 неравенство (0.10) доказал P. Casazza в [38]. С одиннадцатого параграфа начинается вторая глава, которая посвящена построению кубатурных формул на сфере. В одиннадцатом параграфе доказан критерий взвешенных сферических полудизайнов в терминах кубатурных формул (см. [15]).

ТЕОРЕМА 0.8. Пусть задана система векторов Ф = {(/?i, if2- ■ ■ ■ ■ <f>m} на сфере S71-1. вектор W = {W\...., Wm) £ Ш.т такой, что ^ = = 1. Для того чтобы пара (Ф. W) была взвешенным сферическим полудизайном порядка £. необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

1 Г т

— Q{x)dS = YtWiQ{(pi) (0.11)

ап JS7'-1

для любого однородного полинома Q(x) от п переменных х = (х\..... хп) степени £.

Равенство (0.11) выполняется для любого однородного полинома Q(x) степени 0, 2. ..., t. Чтобы оно было справедливым для полиномов нечётной степени, добавим узлы —(fii,..., —<рт- Получим кубатур-ную формулу

1 Г т 1

- / Q{x)dS^y2-Wi(Q(iPi) + Q(-iPi))1 (0.12)

точную для всех однородных полиномов от п переменных степени не выше £+1. В одиннадцатом параграфе доказано следующее предложение (см. [15]).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 0.4. Пусть пара (Ф. УУ), где Ф = {<р1:..., (рт} С С 5п_17 \¥ 6 Мт.' ^ = является взвешенным сферическим

1-полудизайном. Тогда кубатурная формула (0.12) будет точной для любого полинома С}{х) от п переменных х — (х\,... :хп) степени не выше £ + 1.

В параграфах с двенадцатого по пятнадцатый приводятся примеры построения взвешенных сферических полудизайнов порядка 4, 6, 8, 10, 12 и соответствующих кубатурных формул степени точности 5, 7, 9. 11, 13. Часть из этих примеров основана на тождествах из книги Б. Резника [50]. Некоторые кубатурные формулы присутствуют в книге И. П. Мысовских [26] и в статье В. И. Лебедева [23]. Все кубатурные формулы строятся по приведённому выше методу. Приведём те из них, которые имеют меньшее количество узлов, чем формулы в [26, 23].

Для п = 3, д — 7 получена кубатурная формула, со следующими узлами и коэффициентами:

Эта формула имеет 22 узла. В [26] для п — 3 приведены формулы со степенью точности 7 с количеством узлов N = 38. N — 32, N = 26.

Для п = 8, (I — 7 построена кубатурная формула со следующими узлами и коэффициентами:

(±1,0,0), (0,±1,0) (0,0,±1)

^-(±>/3,0. ±2), ^(0,±ч/3,±2) 4=(±л/3,±\/3,±1)

1

20'' 1

27'' 49

1

1080' 49

1080'

1

Число узлов в этой формуле равно 240 и является минимальным. Для (I = 7 в [26] приведены формулы с количеством узлов, при п — 8 равным 402 и 576.

Для п ^ 3, в, = 7 построена кубатурная формула со следующими 2п2 + 2п узлами и коэффициентами:

(±1,0п~1)

8 - п

п3 + 6п2 + 8 п'

1:(±1,±1!0П"2^ 4

Vх2 ' ; п3 + 6п2 + 8п'

1 (±1.....=ы;

пк у 2п(п2 + 6п + 8)'

При п = 3, 4, 5, 6, 7, 8 количество узлов в этой формуле равно 26, 48, 82, 136, 226, 368. В [26] при п — 3, 4, 5, 6, 7, 8 для й — 7 представлены формулы, которые имеют соответственно 26, 50, 90, 168. 296, 402 узла. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Введено понятие сферического полу дизайна. Установлено, что неравенство для I-потенциала достигается на сферических Ь-по-лудизайнах и только на них (первое экстремальное свойство сферического Ь-полудизайна).

2. Установлен критерий сферических полудизайнов в терминах полиномов Гегенбауэра. Установлено, что минимум потенциалов В. А. Юдина достигается на сферических Ь-полу дизайнах и только на них (второе экстремальное свойство сферического Ь-полу-дизайна).

3. Доказано необходимое и достаточное условие для сферического ^полудизайна в терминах кубатурных формул. Строится кубатурная формула с узлами в точках сферического полудизайна, точная для полиномов степени не выше t + 1.

4- Неравенство для і-потенциала обобщается на случай произвольного вектора весов ]У — (\У\,.... \Ут): Ж = 1- Введено понятие взвешенного сферического і-полудизайна. Установлено, что неравенство для і-потенциала с весами достигается на взвешенных сферических і-полудизайнах и только на них.

5. Введено понятие несферического полудизайна порядкаі. Доказано, что обобщённое на случай произвольных векторов неравенство для і-потенциала достигается на несферических і-полудизайнах и только на них.

6. Получен критерий взвешенных сферических полудизайнов в терминах кубатурных формул. Строится кубатурная формула с узлами в точках взвешенного сферического і-полудизайна, точная для полиномов степени не выше £ + 1.

7. Построены некоторые кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере с числом узлов, меньшим, чем в известных формулах.

Основные результаты опубликованы в работах [11. 14. 18, 19, 21]. Предварительные результаты обсуждались на Санкт-Петербургском семинаре «Дискретный гармонический анализ и геометрическое моделирование» ([12, 13, 15, 16, 17, 20, 22]). По результатам работы был сделан доклад на семинаре кафедры вычислительной математики СПбГУ. Автор благодарен профессору В. Н. Малозёмову за обсуждение полученных результатов.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю профессору А. Б. Певному за постановку задач, обсуждение результатов и ценные замечания в процессе работы над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Котелина, Надежда Олеговна, 2013 год

Литература

1. Афонин Р. Е.. Малозёмов В. Н.. Певный А. Б. Интегрирование по сфере в п-мерном пространстве // Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA & CAGD). Избранные доклады. 15 мая 2010 г. (http://dha.spb.ru/repslO.shtml#0515).

2. Афонин Р. E.. Малозёмов В. Н. Вычисление интеграла Гильберта-Сонина // Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA & CAGD). Избранные доклады. 4 сентября 2010 г. (http://dha. spb.ru/reps 10. shtml#0904) .

3. Афонин Р. Е.. Певный А. Б. Представление Гаусса для однородных полиномов и критерий сферического дизайна // Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA & CAGD). Избранные доклады. 28 августа 2010 г. (http://dha.spb.ru/repslO.shtml#0828).

4. Афонин Р. E.. Певиый А. Б. Три определения сферических дизайнов // Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA & CAGD). Избранные доклады. 22 мая 2010 г. (http: //dha. spb. ru/repslO. shtml#0522) .

5. Андреев H. H. Минимальный дизайн 11-го порядка на трехмерной сфере 11 Матем. заметки. 2000. Т. 67. № 4. С. 489-497.

6. Андреев Н. Н., Юдин В. А. Арифметический минимум квадратичной формы и сферические коды II Мат. просвещ. Сер. 3. 1998. Вып. 2. С. 133-140.

7. Андреев Н. Н., Юдин В. А. Экстремальные расположения точек на сфере // Мат. просвещ. Сер. 3. 1997. Вып. 1. С. 115-125.

8. Владимиров В. С.. Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 400 с.

9. Гавурин М. К.. Малозёмов В. Н. Экстремальные задачи с линейными ограничениями: Учеб. пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1984. 176 с.

10. Диткин В. А.. Люстерник Л. А. Об одном приёме практического гармонического анализа на сфере // Вычислительная математика и вычислительная техника. 1953. № 1. С. 3-13.

11. Котелина Н. О. Обобщение неравенства Б. Б. Венкова и взвешенные сферические полудизайны // В мире научных открытий. 2012. № 8.1(32). С. 108-120.

12. Котелина Н. О. Оценка снизу количества элементов сферического дизайна с помощью линейного программирования // Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA & CAGD). Избранные доклады. 29 мая 2010 г. (http://dha.spb.ru/repslO.shtml#0529).

13. Котелина H. О. Формула сложения для полиномов Гегенбауэра // Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA & CAGD). Избранные доклады. 13 ноября 2010 г. (http://dha.spb.ru/repslO.shtml#1113) .

14. Котелина H. О., Певный А. Б. Взвешенные сферические полудизайны и кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере // Известия вузов. Математика. 2013. № 2. С. 49-55.

15. Котелина Н. О.., Певный А. Б. Взвешенные сферические полудизайны и кубатурные формулы для вычисления интегралов по сфере //

Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA & CAGD). Избранные доклады. 19 ноября 2011 г. (http: //dha. spb. ru/repsll. shtml#1119) .

16. Котелина H. О.. Певный А. Б. Контактные числа и сферические коды / / Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA h CAGD). Избранные доклады. 26 марта 2011 г. (http://dha. spb .ru/repsll. shtml#0326) .

17. Котелина H. О.. Певный А. Б. Неравенства для точек на сфере в n-мерном пространстве // Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA & CAGD). Избранные доклады. 8 сентября 2012 г. (http://dha.spb.ru/repsl2.shtml#0908).

18. Котелина H. О.. Певный А. Б. Неравенство Венкова с весами и взвешенные сферические полудизайны // Проблемы математического анализа. 2011. Вып. 55. С. 29-36. (English translation: J. Math. Sei. 2011. Vol. 173. No. 6. P. 674-682.)

19. Котелина H. О., Певный А. Б. Оценка снизу количества элементов сферического дизайна с помощью линейного программирования // Вестник СыктГУ. Сер. 1. 2010. Вып. 12. С. 167-175.

20. Котелина Н. О.. Певный А. Б. Эквивалентные определения сферических дизайнов // Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA & CAGD). Избранные доклады. 4 апреля 2009 г. (http://dha.spb.ru/reps09.shtml#0404) .

21. Котелина И. О.. Певный А. Б. Экстремальные свойства сферических полудизайнов // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22. Вып. 5. С. 162— 170. (English translation: St. Petersburg Math. J. 2011. Vol. 22. No. 5. P. 795-801.)

22. Котелина H. О., Певный А. Б. Экстремальные свойства сферических полудизайнов / / Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA & CAGD). Избранные доклады. 27 мая 2009 г. (http ://dha.spb.ru/reps09.shtml#0527).

23. Лебедев В. И. Значения узлов и весов квадратурных формул типа Гаусса-Маркова для сферы от 9-го до 17-го порядка точности, инвариантных относительно группы октаэдра с инверсией // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15. Вып. 1. С. 48-54.

24.- Малозёмов В. Н.. Певный А. Б. Равноугольные жёсткие фреймы // Проблемы математического анализа. 2009. Вып. 39. С. 3-25.

25. Малозёмов В. Н., Певный А. Б. Четвёртое определение жёсткого фрейма ¡I Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA & CAGD). Избранные доклады. 30 мая 2007 г. (http://dha. spb.ru/reps07. shtml#0530) .

26. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981. 336 с.

27. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ, 1962. 500 с.

28. Сидельников В. М. Новые оценки для плотнейшей упаковки шаров в n-мерном эвклидовом пространстве // Математический сборник. 1974. Т. 95. № 1. С. 148-158.

29. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука. 1974. 808 с.

30. Соболев С. Л. О формулах механических квадратур на поверхности сферы // Сибирский матем. ж. 1962. Т. 3. № 5. С. 769-796.

31. Юдин В. А. Вращения сферических дизайнов // Проблемы передачи информации. 2000. Т. 36. Вып. 3. С. 39-45.

32. Юдин В. А. О вариациях дизайнов // Проблемы передачи информации. 1999. Т. 35. Вып. 4. С. 68-73.

33. Юдин В. А. Распределение точек дизайна на сфере // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. Т. 69. № 5. С. 205-224.

34. Baker J. A. Integration over spheres and the divergence theorem for balls // Amer. Math. Monthly. 1997. Vol. 104. No. 1. P. 36-47.

35. Benedetto J. J.. Fickus M. Finite normalized tight frames. Frame potentials // Adv. Comput. Math. 2003. Vol. 18. No. 2-4. P. 357385.

36. Benedetto J. J.. Kolesar J. D. Geometric properties of Grassmannian frames for R2 and M3 // EURASIP J. Applied Signal Proc. 2006. P. 1-17.

37. Bonnai E., Munemasa A.. Venkov B. The nonexistence of certain tight spherical designs // Алгебра и анализ. 2004. Т. 16. Вып. 4. С. 1-23.

38. Casazza P. G. Custom building finite frames // Contemporary Math. 2004. Vol. 345. P. 61-86.

39. Davis P. J.. Rabinovitz P. Methods of numerical integration. 2nd ed. Academic Press. 1984. 612 p.

40. de la Harpe P., Pache C., Venkov B. Construction of spherical cuba-ture formulas, using lattices // Алгебра и анализ. 2006. Т. 18. Вып. 1. С. 162-186.

41. Delsarte P. An algebraic approach to the association schemes of coding theory // Philips Res. Reports (Suppl.). 1973. No. 10.

42. Delsarte P. Bounds for unrestricted codes, by linear programming // Philips Res. Reports. 1972. Vol. 27. P. 272-289.

43. Delsarte P.. Goethals J. M., Seidel J. J. Spherical codes and designs // Geom. Dedicata. 1977. Vol. 6. No. 3. P. 363-388.

44. Dickson L. E. History of the theory of numbers. Vol. II. Washington, 1919, reprinted by Chelsea, New York, 1966. 838 p.

45. Goethals J. M., Seidel J. J. Spherical designs // Proc. Symp. Pure Math. A.M.S. 1979. Vol. 34 P. 255-272.

46. Goethals J. M., Seidel J. J. Cubature formulae, polytopes, and spherical designs // The geometric vein, the Coxeter Festschrift, Springer. 1981. P. 203-218.

47. Goyal V. K., Kovacevic J.. Kelner J. A. Quantized frame expansions with erasures // Appl. and Comput. Harmonic Analysis. 2001. Vol. 10. P. 203-233.

48. Haantjes J. Equilateral point-sets in elliptic two- and three-dimensional space // Nieuw. Arch. Wisk. 1948. Vol. 22. P. 355-362.

49. Leal Junior L. C., Menegatto V. A. On the construction of spherical designs U TEMA Tend. Mat. Apl. Comput. 2007. Vol. 8. No. 3. P. 423-432.

50. Reznick B. Sums of even powers of real linear forms // Mem. Am. Math. Soc. 1992. Vol. 96. No. 463. P. 1-155.

51. Seidel J. J. Integration over spheres // Cong. Num. 1987. Vol. 56. P. 53-61.

52. Seymour P. D., Zaslavsky T. Averaging sets: A generalization of mean values and spherical designs // Adv. Math. 1984. Vol. 52. P. 213— 240.

53. Stroud A. H. Approximate calculation of multiple integrals. Engle-wood Cliffs. New Jersey: Prentice-Hall, 1971. 431 p.

54. Venkov B. B. Réseaux et designs sphériques // Réseaux euclidiens, designs sphériques et formes modulaires. L'Enseign. math. Monograph. 2001. No. 37. Genève. P. 10-86.