Сдвиговые волны в резонаторе с кубичной нелинейностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.06, кандидат физико-математических наук Крит, Тимофей Борисович

• Крит, Тимофей Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Крит, Тимофей Борисович

Введение.

Глава 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В РЕЗИНОПОДОБНЫХ

МАТЕРИАЛАХ.

§1.1. Линейные и нелинейные модули упругости резиноподобных материалов.

§ 1.2. Методы измерения упругих модулей резиноподобных материалов.

§1.3. Особенности нелинейных эффектов в средах с кубичной нелинейностью.

§ 1.4. Новые методы медицинской диагностики на основе измерений модулей упругости мягких биологических тканей.

§ 1.5. Современные методы моделирования резиноподобных сред.

Глава 2. СТОЯЧИЕ СДВИГОВЫЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОМ

РЕЗОНАТОРЕ С КУБИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ.

§2.1. Введение.

§ 2.2. Расчёт стоячих волн в одномерном резонаторе с кубичной нелинейностью.

§ 2.3. Численное моделирование стоячих волн конечной амплитуды в резонаторе с кубичной нелинейностью.

§ 2.4. Стоячие сдвиговые волны в одномерном линейном резонаторе без релаксации.

§ 2.5. Экспериментальная установка для измерения резонансных кривых и методы измерений.

§ 2.6. Результаты экспериментальных исследований линейного резонатора без релаксации.

§ 2.7. Определение вязкоупругих параметров резиноподобной среды.

§ 2.8. Результаты измерений и их сравнение с численными расчётами.

§2.9. Обсуждение результатов.

§ 2.10. Выводы главы 2.

Глава 3. СТОЯЧИЕ СДВИГОВЫЕ ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОМ

РЕЗОНАТОРЕ.

§ 3.1. Метод конечных элементов для расчёта волн в резонаторе с неоднородностями сдвигового модуля произвольной формы.

§3.2. Метод конечных элементов для несжимаемой резиноподобной среды

§3.3. Область применимости одномерной модели.

§ 3.4. Определение размера и положения неоднородностей по сдвигу резонансной частоты.

§ 3.5. Измерения в резонаторе неправильной формы.

§ 3.6. Нелинейные эффекты в неоднородном резонаторе.

§ 3.7. Обсуждение результатов.

§3.8. Выводы главы 3.

Глава 4. СТОЯЧИЕ СДВИГОВЫЕ ВОЛНЫ В СЛОИСТЫХ

РЕЗИНОПОДОБНЫХ СРЕДАХ.

§4.1. Введение.

§ 4.2. Стоячие сдвиговые волны в резонаторе с А^-слойной структурой

§ 4.3. Слоистые структуры с локально большими деформациями.

§ 4.4. Использование модели слоистой среды для расчёта резонаторов с неоднородной резиноподобной средой.

§ 4.5. Моделирование нелинейных эффектов с помощью модели линейной слоистой среды.

§ 4.6. Измерение сдвигового модуля одного из слоёв в двухслойной структуре.

§ 4.7. Обсуждение результатов.

§ 4.8. Выводы главы 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сдвиговые волны в резонаторе с кубичной нелинейностью»

Возросший в последнее время интерес к волновым процессам в кубично нелинейных средах обусловлен возможностями применения нелинейных эффектов для целей медицинской диагностики мягких тканей [1]. Упругость ткани в поражённой области существенно изменяется, что позволяет выявлять патологию по измерению локальной скорости и затухания сдвиговых волн. Предложенные в различных работах методы неинвазивного возбуждения и детектирования сдвиговых волн продемонстрировали возможность локализации и определения неоднородностей сдвигового модуля с миллиметровым разрешением как на фантомах биологических тканей [2], так и в клинических условиях [3,4]. Нелинейность сдвигового модуля также является информативным параметром, позволяющим уточнить диагностическую информацию, получаемую в линейных измерениях [5]. Нелинейный параметр среды может быть получен как из статических измерений, так и при измерениях параметров нелинейных волновых процессов. Особенностью сред с центром инверсии, к которым с хорошим приближением можно отнести и мягкие биоткани, является отсутствие квадратичной нелинейности при сдвиговых деформациях. В таких средах основной вклад в развитие нелинейных процессов вносит кубичная нелинейность.

Бегущие волны конечной амплитуды в средах с кубичной нелинейностью рассмотрены достаточно детально [6,7]. Показано, что в кубично нелинейной среде профиль гармонической на входе волны по мере распространения искажается симметрично, приобретая на некотором расстоянии трапециевидную форму с крутыми фронтами. В работе [8] получены аналитические выражения для спектральных характеристик простой волны в кубично-нелинейной среде как на стадии её трансформации из синусоидальной формы до образования разрывов в профиле, так и асимптотически самоподобного профиля в виде «трапециевидной пилы».

Экспериментально эффекты, обусловленные кубичной нелинейностью, удобно наблюдать в резиноподобных средах. К резиноподобным средам относятся резины, полимеры, а также мягкие биологические ткани и другие эластичные материалы, способные испытывать значительные упругие деформации без нарушения внутренней структуры при приложении сравнительно небольших механических напряжений [9]. Область упругих деформаций резиноподобных сред лежит в диапазоне (100 - 300)%, что существенно превышает предел упругих деформаций обычных твёрдых тел. Можно определить резиноподобные среды как объекты, сдвиговый модуль упругости которых на несколько порядков меньше модуля объемной упругости [10]. Для твёрдых тел эти величины сравнимы [11].

Деформации, которые возникают в резиноподобных материалах при приложении внешних сил, в основном являются сдвиговыми. Скорость распространения упругих волн в твёрдых телах и в резиноподобных средах, в частности, определяется упругими модулями среды. Для их определения используются методы измерения скорости продольных волн и волн сдвига в образцах. Кроме того, используются вынужденные колебания образцов под воздействием переменного сдвигового напряжения, генерация изгибных колебаний и кручение стержней круглого сечения [12]. Упругие модули, рассчитываемые по измеренной скорости упругих волн, являются динамическими. Наряду с упругостью резиноподобные среды обладают и вязкостью. Поэтому связь между скоростью акустических волн и упругими модулями будет определяться вязкоупругими свойствами материала.

Результаты экспериментального наблюдения динамики нелинейной трансформации профиля гармонической волны в гелеобразной среде описаны в работе [13], где приведены как профили волн на различных расстояниях от источника сдвиговых волн, так и их гармонический состав. Для измерения нелинейных модулей упругости гелеобразных сред с малым значением модуля сдвига авторы работы [13] предложили использовать акусто-упругий эффект, т.е. зависимость скорости упругих волн от статической деформации среды. Теоретические основы определения ограниченного числа нелинейных констант в несжимаемых средах описаны в [14-16]. Результаты измерений нелинейных констант в образцах, изготовленных из желатино-агаровой композиции, приведены в [17,18].

Стоячие волны в кубично нелинейных средах в настоящее время проанализированы менее детально, хотя они представляют не меньший интерес и как объект фундаментального исследования, и с точки зрения практического применения. Теоретический анализ поведения стоячих волн в кубично нелинейной среде проведён в [19], где получены решения для волн, содержащих ударные фронты.

Для возбуждения стоячих волн конечной амплитуды удобно использовать резонатор в виде плоскопараллельного слоя резиноподобного материала с жёсткой пластиной, закреплённой на его верхней границе. Толщина резонатора подбирается так, чтобы на ней укладывалось около четверти длины волны. В работе [20] показано, что в таком резонаторе возникают стоячие волны с амплитудами, на порядок и более превышающими амплитуду смещений, приложенных к нижней границе резонатора даже в случае использования полимерного материала с большой сдвиговой вязкостью. В качестве среды с кубичной нелинейностью используется полимерный материал пластисол (производитель - компания M-F Manufacturing, USA), нелинейный параметр в котором определялся из статической зависимости сдвиговой деформации от напряжения [21]. Настоящая работа посвящена экспериментальному исследованию стоячих сдвиговых волн, возбуждаемых в резонаторе, заполненном средой с кубичной нелинейностью. Анализируются волны умеренной амплитуды, когда ударные фронты еще не образуются. При этом развивается подход, основанный на модели одномерного резонатора [20,22]. Такая модель применима при условии, что отношение длины резонатора к его толщине более четырёх, а ширина больше или равна толщине. Расчёт резонаторов, в которых данное соотношение не выполняется, следует проводить численно с помощью метода конечных элементов (МКЭ).

МКЭ позволяет рассчитывать резонаторы с локальными неоднородностями плотности и модулей упругости. Данный метод используется в работе для расчёта резонаторов с включениями, сдвиговый модуль которых отличается от модуля сдвига в теле резонатора, а также для расчёта резонаторов с полостями. Возможность моделирования таких резонаторов особенно важна для исследования кубичной нелинейности, поскольку наличие в резонаторе неоднородностей в виде полостей влияет на его нелинейные свойства. Кроме того, положение неоднородностей в резонаторе влияет на его измеряемые резонансные характеристики. Таким образом, изменяя положение полостей, можно управлять нелинейностью резонатора и его резонансными характеристиками.

Частным примером неоднородного резонатора является слоистая структура. В отличие от резонатора с произвольными неоднородностями, для расчёта структуры в виде набора плоскопараллельных слоев можно пользоваться более простой по сравнению с МКЭ моделью одномерного резонатора. Использование слоистой структуры, в которой слои из резиноподобного материала чередуются со слоями из твёрдого материала, позволяет создавать локально большие деформации в резиноподобных слоях при сравнительно небольших деформациях всей структуры в целом. Использование слоистой структуры из резиноподобного и твёрдого материала приводит к усилению нелинейных эффектов в резиноподобных слоях. На модели слоистой среды основан и метод интерферометра. В данной работе этот метод используется для решения задачи по измерению сдвигового модуля упругости одного из слоёв в двухслойной структуре.

ОСНОВНОЙ ЦЕЛЬЮ ДИССЕРТАШОННОЙ РАБОТЫ стало исследование сдвиговых волн конечной амплитуды в резонаторах с кубичной нелинейностью, а также развитие методик, позволяющих определять вязкоупругие и нелинейные параметры резиноподобных сред по измеренным резонансным кривым. Объектом исследования являются как однородные по структуре резонаторы, так и резонаторы с локальными включениями, отличными по своим упругим свойствам от материала остального резонатора. В рамках указанной цели решались следующие конкретные задачи:

1. Разработка численного алгоритма, позволяющего моделировать сдвиговые волны в резонаторах с учётом кубичной нелинейности и релаксации среды. Расчёт резонансных линий, как в линейном, так и в нелинейном режимах колебаний, а также профилей волн и их гармоник в стационарном режиме и в процессе их установления.

2. Разработка метода расчёта стоячих волн в резонаторе с неоднородностями произвольной формы и размера. При этом сдвиговая упругость неоднородностей могла значительно превышать упругость материала резонатора (твёрдые включения), быть ниже (мягкие включения) или равняться нулю (жидкие включения и полости).

3. Создание установки и проведение экспериментальных исследований стоячих волн в резонаторе в виде слоя резиноподобной среды, нагруженного пластиной конечной массы. Развитие методик определения вязкоупругих и нелинейных параметров резиноподобной среды по измеренным резонансным кривым. Сравнение результатов измерений с численными расчётами.

4. Разработка качественного метода локализации неоднородностей в резонаторе по виду резонансных кривых. Решение обратной задачи определения сдвигового модуля одного из слоёв двухслойного резонатор.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ 1. Впервые проведено численное моделирование поведения стоячих сдвиговых волн в резонаторе, заполненном однородной резиноподобной средой с учётом кубичной нелинейности и релаксации. Показано, что при увеличении амплитуды колебаний в резонаторе форма резонансных кривых становится асимметричной и происходит сдвиг резонансной частоты. При определенной амплитуде возбуждения, зависящей от добротности резонатора, возникает область бистабильности. Время установления колебаний на частотах в области бистабильности увеличивается более чем на порядок.

2. Впервые экспериментально зарегистрирован эффект увеличения резонансной частоты с ростом амплитуды колебаний в резонаторе в виде слоя полимерного резиноподобного материала, нагруженного пластиной конечной массы. По измеренной зависимости был определён коэффициент нелинейности материала. Показано, что уровень третьей гармоники в резонаторе зависит от амплитуды первой гармоники по степенному закону, при этом показатель степени изменяется от трёх до двух по мере роста колебаний в резонаторе.

3. Предложенный метод определения вязкоупругих параметров резиноподобных материалов в низкочастотном диапазоне колебаний (10 -400 Гц), основанный на сравнении измеренных и рассчитанных резонансных кривых, полученных при различных массах верхней границы резонатора, является оригинальным.

4. Впервые показана возможность увеличения эффективного нелинейного параметра среды и управления эффективностью нелинейных процессов путём изменения пространственной структуры среды. Указанный эффект экспериментально продемонстрирован на примере резонатора с полостями, расположенными в области максимальных сдвиговых деформаций.

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается сравнением данных экспериментов, проведённых в ходе выполнения работы с данными, полученными в других работах, в том числе, с использованием общеизвестных методов измерения. Кроме того, надёжность результатов подтверждается их соответствием теоретическим оценкам на основе самостоятельно разработанных и классических моделей, а также соответствием результатов данным численных расчётов, полученным в работах других авторов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

1. В работе создан новый метод измерения вязкоупругих модулей резиноподобных материалов. Метод основан на сравнении измеренных и рассчитанных резонансных кривых в диапазоне частот 10 — 400 Гц. При этом для увеличения точности и достоверности получаемых параметров предложено изменять массу пластины, расположенной на верхней границе резонатора. Изменение массы пластины приводит к плавному изменению резонансных частот, что обеспечивает увеличение точности измерений.

2. Предложен новый метод определения динамического нелинейного параметра резиноподобных материалов, основанный на измерении зависимости сдвига резонансной частоты от амплитуды колебаний. Этот метод позволяет измерить зависимость нелинейного параметра от частоты.

3. По результатам измерений в многослойной структуре предложен новый метод создания структур с заданными вязкоупругими свойствами из композиции полимера и жёсткого наполнителя. Упругие свойства композиционных структур определяются полимером, а инерционные свойства - жёсткой фракцией. Деформации сдвига в полимере могут достигать более 100%, что позволит моделировать экстремальные перегрузки резиноподобного материала. При этом нелинейные характеристики оказываются явно выраженными. Разработанные методы измерения модулей упругости позволяют определять значения этих модулей в структуре и управлять свойствами всей структуры.

4. Влияние положения неоднородностей на резонансные свойства позволяет использовать разработанную методику для решения задач по локализации дефектов в материалах. С другой стороны, введение искусственных неоднородностей с известными параметрами и расположением даёт возможность проводить новые независимые измерения с целью получения дополнительных сведений об исследуемом материале.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Форма резонансной кривой в резонаторе в виде слоя полимерного резиноподобного материала, нагруженного пластиной конечной массы, искажается с ростом амплитуды колебаний. Форма резонансной кривой становится несимметричной, а резонансная частота увеличивается. При определённой амплитуде колебаний возникает область бистабильности, ширина которой растёт с увеличением амплитуды колебаний. Время установления колебаний на частотах в области бистабильности увеличивается более чем на порядок.

2. Динамический нелинейный модуль сдвига, измеренный по зависимости сдвига резонансной частоты от амплитуды волны, вдвое меньше, чем измеренный статическим методом.

3. Нелинейное искажение профиля стоячей волны сопровождается генерацией нечётных гармоник. Амплитуда третьей гармоники растёт с уменьшением коэффициента сдвиговой вязкости. Амплитуда третьей гармоники в резонаторе зависит от амплитуды первой гармоники по степенному закону, при этом показатель степени изменяется от трёх до двух по мере роста колебаний в резонаторе.

4. Вязкоупругие параметры резиноподобного материала в области низких частот могут быть определены из сравнения измеренных резонансных кривых с рассчитанными. Точность измерений может быть увеличена путём изменения массы пластины на верхней границе резонатора. По результатам измерений можно сделать вывод, что используемый в работе резиноподобный полимер пластисол описывается моделью вязкоупругой среды с одним временем релаксации, значение которого составляет около одной миллисекунды и зависит от композиции и способа приготовления полимера.

5. Резонансные кривые при наличии неоднородностей сдвигового модуля произвольного вида в резонаторе могут быть вычислены с помощью метода конечных элементов, модифицированного с учётом эффекта объёмной блокировки. Наличие неоднородностей в виде полостей приводит как к росту, так и уменьшению резонансной частоты по сравнению с однородным резонатором в зависимости от положения полостей относительно нижней границы резонатора.

6. Расчёт однородного резонатора конечных размеров следует проводить численно с помощью метода конечных элементов при условии, что отношение его длины к толщине менее четырёх, а ширина меньше или равна толщине. В противном случае для расчёта резонансных характеристик можно пользоваться одномерной моделью.

7. Наличие в резонаторе неоднородностей в виде полостей влияет на его нелинейные свойства. Нелинейные свойства выражены сильнее, если полости находятся в области с большой деформацией.

8. Изменение положения неоднородностей влияет на измеряемые характеристики резонатора, что может быть использовано для управления резонансными свойствами.

9. Использование слоистой структуры, в которой слои из резиноподобного материала чередуются со слоями из твёрдого материала, позволяет создавать локально большие деформации в резиноподобных слоях при сравнительно небольших деформациях всей структуры в целом. Это позволяет использовать слоистые структуры для усиления нелинейных эффектов.

10.Предложенный в работе метод интерферометра позволяет решать обратную задачу по измерению сдвигового модуля одного из слоёв в двухслойной структуре. Для этого используются измеренные значения резонансных частот двухслойной структуры, а сдвиговый модуль второго слоя считается известным.

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, в первой из которых представлены особенности нелинейных эффектов в резонаторах с кубичной нелинейностью, а следующие четыре являются оригинальными, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Акустика», Крит, Тимофей Борисович

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом:

1. Теоретически и экспериментально показано, что форма резонансной кривой в резонаторе в виде слоя однородного резиноподобного материала, нагруженного пластиной конечной массы, искажается с ростом амплитуды колебаний. Форма резонансной кривой становится несимметричной, а резонансная частота увеличивается. При определённой амплитуде колебаний возникает область бистабильности, ширина которой растёт с увеличением амплитуды колебаний. Время установления колебаний на частотах в области бистабильности увеличивается более чем на порядок.

2. Предложен новый метод определения динамического нелинейного параметра резиноподобных материалов в области низких частот, основанный на измерении зависимости сдвига резонансной частоты от амплитуды колебаний.'Показано, что динамический нелинейный параметр почти вдвое меньше, чем измеренный статическим методом.

3. Нелинейное искажение профиля стоячей волны сопровождается генерацией нечётных гармоник. Амплитуда третьей гармоники растёт с уменьшением коэффициента сдвиговой вязкости. Экспериментально показано, что амплитуда третьей гармоники в резонаторе зависит от амплитуды первой гармоники по степенному закону, при этом показатель степени уменьшается от трёх до двух по мере роста колебаний в резонаторе.

4. Предложен новый метод измерения вязкоупругих модулей резиноподобных материалов. Метод основан на сравнении измеренных и рассчитанных резонансных кривых в диапазоне частот 10 - 400 Гц. При этом для увеличения точности и достоверности получаемых значений варьируется масса пластины, расположенной на верхней границе резонатора. Изменение массы пластины приводит к плавному изменению резонансных частот, что обеспечивает увеличение точности измерений. Показано, что используемый в работе резиноподобный полимер пластисол описывается моделью вязкоупругой среды с одним временем релаксации, значение которого составляет около одной миллисекунды и зависит от композиции и способа приготовления полимера.

5. Теоретически и экспериментально продемонстрировано, что наличие в резонаторе неоднородностей в виде полостей влияет на его нелинейные свойства. Нелинейные свойства выражены сильнее, если полости находятся в области с большой деформацией.

6. Показано, что жёсткие включения повышают, а полости, заполненные жидкостью, снижают резонансные частоты. Пустые полости могут как снижать, так и повышать резонансную частоту в зависимости от их положения и относительного объёма. Теоретически и экспериментально показано, что наличие полостей в области больших сдвиговых деформаций снижает резонансную частоту, поскольку снижается эффективная упругость резонатора, а при наличии полостей в области малых деформаций снижение упругости несущественно, и больше влияет снижение погонной массы в области расположения неоднородности, что приводит к росту резонансной частоты.

7. Показано, что использование структуры, в которой чередуются твёрдые дюралюминиевые пластины и тонкие слои пластисола, позволяет создать в отдельных слоях полимера локальные сдвиговые деформации, в несколько раз превышающие значения, усреднённые по структуре. В таких слоях возможно проявление нелинейных свойств резиноподобного материала уже при относительно небольших амплитудах колебаний всей структуры. Подбором слоёв с различной сдвиговой упругостью можно управлять резонансными частотами получаемой слоистой структуры.

8. В двухслойной структуре решена задача однозначного определения сдвигового модуля одного из слоёв по измеренным значениям первой резонансной частоты. При этом предполагается, что упругость второго слоя известна.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Крит, Тимофей Борисович, 2011 год

1. Oberai А.А., Gokhale N.H., Goenezen S., Barbone P.E., Hall T.J., Sommer

2. A.M., Jiang J. Linear and nonlinear elasticity imaging of soft tissue in vivo: demonstration of feasibility // Phys. Med. Biol. 2009. V. 54. 1191— 1207.

3. Ведерников A.B., Андреев В.Г. Измерение распределения сдвигового модуля упругости в неоднородных резиноподобных средах // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2006. № 3. С. 52-56.

4. Garra B. S., Cespedes I., Ophir J., Pratt S., Zuubier R., Magnat С. M, Pennanen M. F. Elastography of breast lesions: initial clinical results // Radiology 2002, 202:79-86.

5. Erkamp R.Q., Emelianov S.Y., Skovoroda A.R., O'Donnell M. Nonlinear elasticity imaging: theory and phantom study // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control. 2004. V. 51. № 5. P. 532-539.

6. Руденко O.B., Сапожников O.A. Волновые пучки в кубично нелинейных средах без дисперсии // ЖЭТФ. 1994. Т. 106. № 2(8). С. 395-413.

7. Wochner M.S., Hamilton M.F., Ilinskii Yu. A., Zabolotskaya E.A. Cubic nonlinearity in shear wave beams with different polarizations // J. Acoust. Soc. Am. 2008. V. 123 № 5. P. 2488-2495.

8. Гусев B.A., Маков Ю.Н. Спектральное представление решения кубично-нелинейного уравнения простой волны Римана // Акуст. журн. 2010. Т. 56. № 5. С. 591-596.

9. Treloar L.R.G. The physics of rubber elasticity. New York: Oxford university press. 2005.

10. Энциклопедия полимеров: В 3 т. / Под ред. В. А. Кабанова. М.: Советская энциклопедия. 1974.

11. Ультразвук. Маленькая энциклопедия. Гл. ред. И.П. Голямина. М.: Советская энциклопедия. 1979, 400 с.

12. Физическая акустика. Под. ред. У. Мэзона. Т. 1. Часть А. М.: Мир. 1966, 592 с.

13. Catheline S., Gennisson J.-L., Tanter M, Fink M. Observation of shock transverse waves in elastic media // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91. № 16. 164301. P. 1-4.

14. Destrade M., Gilchrist M. D., Ogden R. W. Third- and fourth-order elasticities of biological soft tissues (L) // J. Acoust. Soc. Am. 2010. V. 127 №4. P. 2103-2106.

15. M Rénier, J.-L. Gennisson, C. Barrière, et al. Fourth-order shear elastic constant assessment in quasi-incompressible soft solids // Appl. Phys. Lett. 2008. V. 93. № 10. 101912. P. 1-3.

16. Gennisson J.-L., Rénier M., Catheline S., Barrière С., Bercoff J., Tanter M., Fink M. Acoustoelasticity in soft solids: Assessment of the nonlinear shear modulus with the acoustic radiation force // J. Acoust. Soc. Am. 2007. V. 122. №. 6. P. 3211-3219.

17. Руденко О.В., Хедберг К.M., Энфло Б.О. Стоячие акустические волны конечной амплитуды в кубично нелинейной среде // Акуст. журн. 2007. Т. 53. №4. С. 522-532.

18. Андреев В.Г., Крит Т.Е., Сапожников О.А. Стоячие сдвиговые волны в слоистых резиноподобных средах // Акуст. журн. 2010. Т.56. №5. С. 579-586.

19. Gittes F., MacKintosh F. C. Dynamic shear modulus of a semiflexible polymer network // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. № 2. P. 1241-1244.

20. Ландау JI.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. VII. Теория упругости. М.: Наука. 1987, 248 с.

21. Hamilton M.F., Ilinskii Y.A., Zabolotskaya Е.А. Separation of compressibility and shear deformation in the elastic energy density (L) // J. Acoust. Soc. Am. 2004. V. 116. № 1. P. 41-44.

22. Catheline S., Jennisson J.-L., Fink M. Measurement of elastic nonlinearity of soft solid with transient elastography // J. Acoust. Soc. Am. 2003. V. 114. №6. P. 3087-3091.

23. Baghani A., Eskandari H., Salcudean S., Rohling R. Measurement of Viscoelastic Properties of Tissue Mimicking Material Using Longitudinal

24. Wave Excitation // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control. 2009. V. 56. №7. P. 1405-1418. 40. Waters N.E. The indentation of thin rubber sheets by spherical indentors //

25. Ультразвук в медицине. Физические основы применения / Под ред. К. Хилла, Дж. Бэмбера, Г. тер Хаар. Пер. с англ. под ред. JI.P. Гаврилова, В.А. Хохловой, О.А. Сапожникова. 2008, 544 с.

26. Акопян Б.В., Ершов Ю.А. Основы взаимодействия ультразвука с биологическими объектами: Ультразвук в медицине, ветеринарии и экспериментальной биологии: Учеб. пособие / Под. Ред. С.И. Щукина. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2005, 224 с.

27. Krouskop Т.А., Wheeler Т.М., Kallel F., Garra B.S., Hall T. Elastic Moduli of Breast and Prostate Tissues Under Compression // Ultrason. Imaging 1998. V. 20. № 4. P. 260-274.

28. Ophir J., Cespedes I., Ponnekanti H., Yazdi I., Li X. Elastography: a quantitative method for imaging the elasticity for biological tissues // J. Ultrasonic Imaging. 1991. V. 107. № 13. P. 111-134.

29. Skovoroda A.R., Emelianov S.Y., O'Donnell M. Tissue elasticity reconstruction based on ultrasonic displacement measurement and strain images // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr., Freq. Contr. 1995. V. 42. № 4. P. 747-765.

30. Олтник B.H. Моделювання мехашчшн реакцп цилшдра з в'язко-пружно!' бютканини при гармошчному навантаженш торщв в умовах повного зчеплення з в1братором // Акуст. вюн. 2004. Т. 7. № 2. С. 6571.

31. Андреев В.Г., Дмитриев B.H., Пищалъников Ю.А., Руденко О.В., Сапожников О.А., Сарвазян А.П. Наблюдение сдвиговых волн, возбуждённых сфокусированным ультразвуком в резиноподобной среде // Акуст. журн. 1997. Т.43. №2. С. 123-128.

32. ЪЪ.Егкатр R.Q., Skovoroda A.R., Emelianov S.Y., O'Donnell М. Measuring the Nonlinear Elastic Properties of Tissue-Like Phantoms // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control. 2004. V. 51. № 4. P. 410-419.

33. Руденко O.B., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М: Наука. 1975, 288 с.

34. Parker K.J., Doyley М.М., Rubens D.J. Imaging the elastic properties of tissue: the 20 year perspective // Phys. Med. Biol. 2011. V. 56. P. R1-R29.

35. Gao L., Parker K.J., Alam S.K., Lerner R.M. Sonoelasticity imaging: Theory and experimental verification // J. Acoust. Soc. Am. 1995. V. 97. № 6. P. 3875-3886.

36. Varghese Т., Ophir J., Krouskop T. A. Nonlinear Stress-Strain Relationships in Tissue and Their Effect on The Contrast-to-Noise Ratio in Elastograms // Ultrasound in Med. & Biol. 2000. V. 26. № 5. P. 839-851.

37. Samani A., Bishop J., Luginbuhl C., Plewes D.B. Measuring the elastic modulus of ex vivo small tissue samples // Phys. Med. Biol. 2003. V. 48. P. 2183-2198.

38. Markidou A., Shih W.Y., Shih W.-H. Soft-materials elastic and shear moduli measurement using piezoelectric cantilevers // Rev. Scient. Instr. 2005. V. 76. 064302. P. 1-7.

39. Миронов М.А., Пятаков П.А., Конопацкая И.И. и др. Параметрическое возбуждение сдвиговых волн в мягких упругих средах // Акуст. журн. 2009. Т. 55. № 4-5. С. 557-564.

40. Тютекин В.В. Метод измерения механических параметров резины на звуковых и ультразвуковых частотах // Акуст. журн. 1955. Т. 1. № 4. С. 356-359.

41. Кашина В.И., Тютекин В.В. Установка для измерения модуля упругости и коэффициента потерь материалов // В сб. «Машины и приборы для испытания металлов и пластмасс». М.: Машиностроение. 1965. С. 31-36.

42. Espinoza Ortiz J.S., Giraldi G.A., Souza Neto E.A., Feijôo R.A. QuasiLinear Soft Tissue Models Revisited // arXiv:cs.OH. 2006. V. 1. 0602017. P. 1-11.

43. Sun D.N., Gu W.Y., Guo X.E., Lai W.M., Mow V.C. A Mixed Finite Element Formulation of Triphasic Mechano-Electrochemical Theory for Charged, Hydrated Biological Soft Tissues // Int. Journ. Numer. Methods Eng. 1999. V. 45. P. 1375-1402.

44. Liul Yi, Kerdok A.E., Howe R.D. A Nonlinear Finite Element Model of Soft Tissue Indentation // Proc. Med. Simulation Int. Symposium. 2004. V. 3078. P. 67-76.

45. Zachow S., Gladiline E., Hege H.-C., Deuflhard P. Finite-Element Simulation of Soft Tissue Deformation // Computer Assisted Radiology and Surgery (CARS), Elsevier Science B.V. 2000. P. 23-28.

46. Mendoza С., Laugier С. Simulating Soft Tissue Cutting using Finite Element Models // Proc. IEEE: International Conference on Robotics&Automation. 2003. P 1109-1114.

47. Pan L., Gu L., Yan Z, Lv S., Zhu B. An Improved Facial Orthopedic Surgery Planning System with Pre-processing FEM Modelling // Proc. 18th Int. Conf. Art. Reality Telexistence. 2008. P. 116-122.

48. SS.Basiaga M., Paszenda Z. FEM analysis of drills used in bone surgery // Archives of Materials Science and Engineering. 2009. V. 36. № 2. P. 103— 109.

49. Chabanas M., Payan Y., Marecaux C., Swider P., Boutault F. Comparison of linear and non-linear soft tissue models with post-operative CT scan in maxillofacial surgery // Lecture Notes in Computer Science. 2004. V. 3078. P. 19-27.

50. Андреев В.Г., Крит Т.Е., Костиков В.В., Шанин А.В., Шиндерук С.И. Стоячие сдвиговые волны в резонаторе с неоднородной резиноподобной средой // Акуст. журн. 2011. Т.57. №1. С. 3-12.

51. Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. Основы молекулярной акустики. М.: Наука, 1964. 516 с.

52. Oudry J., Bastard С., Miette V., Willinger R., Sandrin L. Copolymer-in-oil phantom materials for elastography // Ultrasound Med. Biol. 2009. V. 35. №7. P. 1185-1197.

53. Sapozhnikov O.A., Maxwell A.D., MacConaghy В., Bailey M.R. A mechanistic analysis of stone fracture in lithotripsy // J. Acoust. Soc. Am. 2007. V. 112. № 2. P. 1190-1202.

54. Тютекин В.В., Шкварников А.П. Синтез и исследование поглотителей изгибных волн в стержнях и пластинах // Акуст. журн. 1972. Т. 18. №3. С. 441-447.

55. Mutter P. On the evaluation of damping in a structure with viscoelastic components // Continuum Thermomechanics. 2000. P. 331— 342.

56. Виноградова М.Б., Руденко O.B., Сухорукое А.П. Теория волн. М.: Наука. 1979,384 с.

57. Андреев В.Г., Кливлэнд P.O., Пищальников Ю.А., Сапожников О.А., Хохлова В.А. Диагностика релаксирующей среды акустическим импульсом с ударным фронтом // Акуст. журн. 1999. Т. 45. № 1. С. 1319.

58. Jacob X, Catheline S., Gennisson J.-L. et al. Nonlinear shear wave interaction in soft solids. J. Acoust. Soc. Am. 2007. V. 122. № 4. P. 19171926.

59. Hughes T.J.R. The finite element method. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1987.

60. Zienkiewicz O.C., Taylor L.R. The finite element method. Butterworth-Heinemann, 2000.

61. Koch R.M., Gross M.H., Carlsy F.R. et al. Simulating Facial Surgery Using Finite Element Models // Proc. SIGGRAPH. 1996. V. 30. P. 421428.

62. Picinbono G., Delingette II, Ay ache N. Non-linear and anisotropic elastic soft tissue models for medical simulation // Proc. ICRA. 2001. 1370-1375.

63. Bro-Nielsen M., Cotin S. Real-time volumetric deformable models for surgery simulation using finite elements and consideration // Proc. EUROGRAPHICS. 1996. V. 15. № 3. P. 57-66.

64. Delingette H. Towards realistic soft tissue modeling in medical simulation // Proc. IEEE: Special Issue on Surgery Simulation. 1998. V 86. №3.P 512-523.

65. Bell R.W., Houlsby G.T., Burd H.J. Suitability of three-dimensional finite elements for modeling material incompressibility using exact integration // Communications in Numerical Methods in Engineering. 1993. V. 9. №4. P. 313-329.

66. Joldes J.R., Wittek A., Miller K. Improved linear tetrahedral element for surgery simulation // Proc. MICCAI. 2006. No. 1 P. 54-65.

67. Sarvazyan A.P., Rudenko O.V., Swanson S.D., Fowlkes J.B., Emelianov S.Y. Shear wave elasticity imaging: a new ultrasonic technology of medical diagnostics // Ultrasound Med. Biol. 1998. V. 24. № 9. P. 1419-1435.

68. Carstensen E.L., Parker K.J., Lerner R.M. Electrography in the management of liver disease // Ultrasound Med. Biol. 2008. V. 34. № 10. P. 1535-1546.

69. OphirJ., Céspedes E.I., Ponnekanti H., Yazdi Y, LiX. Elastography: a quantitative method for imaging the elasticity of biological tissues // Ultrason. Imaging 1991. V. 13. №2. P. 111-134.

70. Сковорода А.Р., Аглямов С.Р. Определение механических свойств многослойной вязкоупругой среды по данным измерений импеданса //Биофизика. 1998. Т. 43. №2. С. 348-352.

71. Yapp R.D., Insana M.F. pH-induced contrast in viscoelasticity imaging of biopolymers // Phys. Med. Biol. 2009. V. 54. № 5. P. 10891109.

72. Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: Физматлит, 2001. 160 с.

73. Руденко О.В. Нелинейные стоячие волны, резонансные явления и частотные характеристики распределенных систем. В кн.: Актуальные аспекты физико-механических достижений. Киев: Наук, думка. 2007. С. 278-316.

74. Гурбатов С.Н., Руденко О.В., Саичев А.И. Волны и структуры в нелинейных средах без дисперсии. М.: Физматлит. 2008, 496 с.

75. Зайцев В.Ю., Гурбатов С.К, Прончатов-Рубцов Н.В. Нелинейные акустические явления в структурно-неоднородных средах : эксперименты и модели : учебное пособие. Нижний Новгород: ИПФ РАН. 2009, 268 с.

76. Storm С., Pastore J.J., MacKintosh F. С., Lubensky Т. С., Janmey P.A. Nonlinear elasticity in biological gels // Nature. 2005. V. 435. P. 191-194.J