Римановы структуры почти произведения на касательном расслоении гладкого многообразия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Сухова, Ольга Владимировна

• Сухова, Ольга Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сухова, Ольга Владимировна

Введение.

Глава 1. Структуры почти произведения и почти эрмитовы структуры. Метрика Тамма.

§1. Структуры почти произведения; римаповы структуры почти произведения, почти эрмитовы структуры.

§2. Классификация С.Е. Степанова структур почти произведения на многообразии с линейной связностью.

§3. Классы Навейра римановых структур почти произведения и их геометрические характеристики.

§4. Почти эрмитовы структуры Грея-Хервсллы.

§5. Пространства с метрикой Тамма.

Глава 2. Инвариантные характеристики некоторых классов римановых структур почти произведения и почти эрмитовых структур на касательном расслоении гладкого многообразия.

§6. Римановы структуры почти произведения и почти эрмитовы структуры на касательном расслоении гладкого многообразия • • ■

§7. Инвариантные характеристики классов С.Е. Степанова структур почти произведения па касательном расслоении гладкого многообразия.

§8. Условия принадлежности классам Навейра римановых структур почти произведения, заданных на касательном расслоении

§9. Тензорные признаки классов Грся-Хервеллы почти эрмитовых структур на касательном расслоении почти симплектического многообразия.

Глава 3. Исследование кривизн касательного расслоения со специальной римановой метрикой структуры почти произведения.

§10. Специальная римаиова метрика д на ТМ. Связность Леви

Чивита метрики д.

§11. Тензор кривизны пространства (ТМ,д)

§12. Тензор Риччи пространства (ТМ,д).

§13. Секционные кривизны касательного расслоения с метрикой д и их свойства

§14. Скалярная кривизна касательного расслоения с метрикой д • ■ ■

§15. Промежутки зпакопостоянства скалярной кривизны касательного расслоения с метрикой д.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Римановы структуры почти произведения на касательном расслоении гладкого многообразия»

Актуальность темы. Систематическое исследование структур почти произведения (7г - структур), в том числе и римановых структур почти произведения, было начато в середине 50-х годов прошлого столетня. К числу первых работ в этом направлении следует видимо отнести работы Легранда [42] - [47]. В работе [46] Леграпд исследовал естественную тг-структуру на главном расслоенном многообразии, горизонтальное распределение которой задавалось ипфипитезпмалыюй связностью. Большое число работ посвящено построению различных связноетей. согласованных с 7г-структурой [43], [44], [29]. В работах Б.Н. Шапукова [17] - [18] изучались естественные тг-структуры и связности па расслоенных пространствах и их автоморфизмы.

Имеется большое число различных классов (римановых) структур почти произведения. Например, в работе [51] Навсйра получил 64 класса римановых структур почти произведения аналогично тому, как это было сделано Греем и Хервелла в [35] для почти эрмитовых структур. В работе [14] С.Е. Степанов выделил восемь основных классов структур почти произведения, заданных на гладком многообразии с линейной связностью без кручения. Указанным классам дана геометрическая характеристика и получены инвариантные признаки принадлежности тому или иному классу.

Изучение специальных римановых метрик па касательном расслоении ТМ гладкого многообразия Ы начинается с известных работ Сасакп [56]. [57], в которых вводится и исследуется естественный класс метрик, являющихся эрмитовыми относительно почти комплексной структуры, порожденной связностью Леви-Чивита римановой метрики д базисного многообразия М. Однако, как было замечено некоторыми авторами, [40], [53], класс метрик Сасакп является достаточно узким. Например, метрика Сасакп является келеровой лишь в случае, когда базисное многообразие является локально евклидовым; среди указанных метрик нет метрик ненулевой секционной кривизны.

Более общие метрики главной диагонали типа Сасакп исследовались многими авторами [39], [38], [9]. [11]. В указанных работах предполагалось, что базисное многообразие наделено более общей метрикой, чем (псевдо) риманова, например, финслсровой или лагранжевой (обобщенной финслс-ровой, обобщенной лагранжевой). Изучались также метрики на ТМ, у которых по главной диагонали стоят разные блоки. Такие метрики уже не являются эрмитовыми, а принадлежат классу римановых метрик естественной структуры почти произведения. Примером такой метрики является известная метрика Чигера-Громола [36], [58]. В указанных работах получены некоторые оценки различных кривизн касательного расслоения в зависимости от кривизны базы.

Автоморфизмы касательных расслоений со специальными римановыми метриками исследованы в работах [3], [4], [28].

Следует отметить, что геометрия касательных расслоении как фазовых пространств конфигурационных многообразий широко используется в аполитической механике, например, при исследовании динамических (гамиль-тоновых) систем . [1], [2].

Целью диссертационной работы является изучение римановых структур почти произведения, заданных па касательном расслоении гладкого многообразия, в частности, получение инвариантных характсрпстйк'клао-.-. сов Навейра и С.Е. Степанова, а также исследование кривизн касательного расслоения риманова многообразия, наделенного специальной римановой метрикой структуры почти произведения.

Методы исследования. Основным методом исследования, применяемым в работе, является аппарат тензорного анализа. Большая часть вычислений проводится в бсскоординатной форме с использованием исчисления Кошуля. Исследования носят локальный характер и ведутся в классе достаточно гладких функций.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации и выносимых па защиту, заключается в следующем:

1. Исследованы обобщенные лагранжевы пространства с метрикой Тамма, [15], [16], [63],

Шз = 4>{2)9ц + ^(¿ОВД, гле ю и Ф - произвольные гЬутткттии апгумепта, х = * та,кие. что р ф 0, (р + 2гф ф 0, а - компоненты (псевдо) римапова метрического тензора, у{ = д{Рур. Выяснено, что метрика Тамма принадлежит классу обощенных фнпелеровых метрик тогда и только тогда, когда она является локально конической, [8]. Установлено, что среди метрик Тамма нет финслсровых метрик. Доказано, что экстремали ассоциированного лаграпжева пространства с метрикой Тамма совпадают с геодезическими риманова пространства с метрикой д, а усеченная связность Картапа пространства с метрикой Тамма совпадает со связностью Лсви-Чивита метрики д.

2. На касательном расслоении римапова многообразия изучен специальный класс рнмановых метрик структуры почти произведения где д^ - компоненты риманова метрического тензора базисного многообразия, д^ - компоненты метрики Тамма, причем (р > 0, ф > 0. Данный класс содержит как частный случай метрику Сасаки, метрику Чнгера-Громола. Вычислена связность Лсви-Чивита метрики д, получены выражения для тензора кривизны, тензора Риччи, секционных кривизн касательного расслоения, наделенного метрикой, принадлежащей рассматриваемому классу. Установлена зависимость скалярной кривизны касательного расслоения от функций ср, ф и объектов базисного многообразия. В случае, когда базисное многообразие является пространством постоянной секционной кривизны, найдены условия на метрику д и размерность базы, при которых скалярная кривизна касательного расслоения является постоянной величиной. Для некоторых частных случаев римаповых метрик д установлена зависимость промежутков знакопостоянства скалярной кривизны касательного расслоения от размерности и кривизны базы.

3. Установлены условия принадлежности классам Навсйра рнмановых структур почти произведения, заданных па касательном расслоении гладкого многообразия с помощью инфинитезимальной связности, и метрики д = д^{х)йх1 ® (1х3 + у)5у7 0 5у3 а — Опп(х. и)Н,хг (£) в,х3 -4- а^(х. Т1)6иг (Я> Ьь3. где д7] = дзп д13 = дзи с1еЬ\\д^\\ =/=■ 0, с^Н^Н -ф О.

4. Получены инвариантные характеристики классов С.Е. Степанова структур почти произведения в случае, когда в качестве исходного многообразия выступает касательное расслоение, структура почти произведения определена ипфииитезпмалыгой связностью, а в качестве линейной связности выбрана связность Лсви-Чивита римановой метрики структуры почти произведения д.

5. Получены тензорные признаки классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур, естественным образом возникающих на касательном расслоении почти симплсктичсского многообразия.

Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении структур почти произведения, рпмановых метрик структуры почти произведения, геометрии касательного расслоения, в аналитической механике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались н обсуждались па геометрическом семинаре физико-математического факультета Пензенского гос. пед. университета (2004-2008гг.), на Четвертой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2005г.), на Пятой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2006г.), на Международной конференции "Лаптевские чтения"(Пенза, декабрь 2006г.), на Шестой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2007г.), на XIX международной летней школе - семинаре "Волга-2007"по проблемам теоретической и математической физики (Казань, июнь 2007г.), на геометрическом семинаре им. Г.Ф. Лаптева при МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, октябрь 2008г.), на геометрическом семинаре КГУ (Казань, октябрь 2008г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах [63]-[69].

Краткое содержание диссертации.

Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности темы и краткое содержание работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сухова, Ольга Владимировна, 2008 год

1. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики: Уч.пособие для вузов/ В.И. Арнольд. — М.: Наука, 1989. — 431с.

2. Ибрагимова, Р.Х. Движения па касательных расслоениях, сохраняющие ортогональную и касательную структуры/ Р.Х. Ибрагимова// Известия ВУЗов. Математика. 1996.- N8. - С.29-34.

3. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях/ В.Ф. Кириченко. — М., 2003. — 495с.

4. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии. В 2 т. Т.1/ Ш. Кобаяси, К. Номидзу. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. — 344с.

5. Кобаяси, Ш.Основы дифференциальной геометрии. В 2 т. Т.2/ Ш. Кобаяси, К. Номидзу. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981- 416с.

6. Паньженский, В.И. Исследование локально-конических многообразий с помощью соприкасающихся римаиовых метрик / В.И. Паньженский // Геометрия погруженных многообразий. — М.: МГПИ. — 1986. — С.65-70.

7. Паиьженский, В.И. Инвариантные характеристики некоторых классов почти эрмитовых структур / В.И. Паиьжснский // Труды геометрического семинара. Вып. 23. — Казань, 1997. — С.77-83.

8. Папьжеиский, В.И., Сурина О.П. Об одном классе обобщенных лагран-жевых пространств / В.И. Паиьженский, О.П. Сурипа. // Движения в обобщенных пространствах. Межвузовский сборник научных трудов. -Пенза:ПГПУ им. В.Г. Белинского. 2002. - С.183-189.

9. Сорокина, М.В. Об ппфииитезимальпых автоморфизмах почти эрмитовой структуры на касательном расслоении гладкого многообразия/ М.В. Сорокина // Движения в обобщенных пространствах. Мсжвуз. сб. науч. тр. / Пенз. гос. пед. ун-т. — Пенза, 2005. С.105-111.

10. Степанов С.Е. Об одном классе римаповых структур почти произведения / С.Е. Степанов // Известия ВУЗов. Математика. — 1989. — N7. С.40-46.

11. Степанов С.Е. Техника Бохнсра в теории римаповых структур почти произведения / С.Е. Степанов // Мат.заметкп. — 1990. — 48, N2. — С.93

12. Степанов С.Е. О классификации структур почти произведения на многообразии с линейной связностью/ С.Е. Степанов // Известия ВУЗов. Математика. 1999. — N1. - С.61-68.

13. Тамм, И.Е. О кривом импульсном пространстве / И.Е. Тамм // Собрание науных трудов II. М., 1975. - С.218-225.

14. Тамм, И.Е, Вологодский, В.Г / Об использовании кривого импульсного пространства при построении нелокальной евклидовой теории поля / И.Е. Тамм // Собрание науных трудов II. М., 1975. — С.226-253.

15. Шапуков, Б.Н. Линейные связности векторного расслоения/ Б.Н. Ша-пуков// Труды геометрического семинара. Межвуз. темат. сб. науч. тр. вып.8. - Казань, 1975. - С.118-131.98

16. Шапуков, Б.H. О структуре почти произведения и а векторном расслоении / Б.И. Шапуков// Труды геометрического семинара. Мсжвуз. темат. сб. науч. тр. — вып.11 — Казань, 1979. — С.100-110.

17. Шапуков, Б.Н. Автоморфизмы расслоенных пространств/ Б.Н. Шапуков// Труды геометрического семинара. Межвуз. темат. сб. науч. тр. — вып.8. Казань, 1982. - С.97-108.

18. Ширяев, К.Б. Связность и кривизна метрики типа Чигера-Громола па касательном расслоении гладкого многообразия / К.Б. Ширяев // Движения в обобщенных пространствах: межвуз.сборник паучн.трудов, ПГПУ. Пенза, 2000. - С.182-186.

19. Ямпольский, А.Л. К геометрии сферических касательных расслоений римаиовых многообразий / А.Л. Ямпольский // Украинский геометрический сборник. — Харьков, 1981. N24. - С.129-132.

20. Ямпольский, А.Л. Кривизна метрики Сасаки сферических касательных расслоений. — Харьков, 1985. — N28. — С.132-145.

21. Ямпольский, А.Л., Борпсепко, A.A. Секционная кривизна метрики Сасаки 1\Мп / А.Л. Ямпольский, A.A. Борисепко // Украинский геометрический сборник. — Харьков, 1987. — N30. — С. 10-17.

22. Abassi, Mohamed Tahar Kadaoui, Sarih Maati. On natural metrics on tangent bundles of Riemannian manifolds / Abassi Mohamed Tahar Kadaoui, Maati Sarih // Archivurn mathematicum(BRNO) 2005. - 41, N1. - P.71-92.

23. Asanov, G.S., Kawaguchi Tomoaki. A post-Newtonian estimation for the metric Jij(x) +ac~2yiïjj / G.S. Asanov, Tomoaki Kawaguchi // Tensor, N.S. 1990. - Vol.49. - P.99-102.

24. Asanov, G.S., Kawaguchi Tomoaki. Anomalously-Fislerian corrections to specd-of-light given by metric tensor gij(x, x) = г^(х) ßklj / G.S. Asanov, Tomoaki Kawaguchi // Tensor. N.S. 1991. - Vol.50. - P.170-176.

25. Blanuta V., Yawata M. Infinitesimal transformations of the 2-7T structures on tangent bundle / Victor Blanuta, Makoto Yawata // Tensor N.S. — 1994- Vol.55. P.43-52.

26. Chen-Jung Hsu. On some properties of 7r-structures on differentiable manifold / Hsu Chen-Jung // Tohoku Math. J. 19C0. - 12, N3. - P. 429-454.

27. Gil-Medrano. O., Naveira, A.M. Some remarks about the Riemannian curvature operator of Riemannian almost-product manifold / O. Gil-Medrano, A.M. Naveira // Rev. roum. math, pures et appl. — 1985. — 30, N8. — P.647-G58.

28. Gray A. Some examples of almost Hermitian manifolds / A. Gray // 111. J. Math. 1966. - 10, N2. - P.353-366.

29. Gray A. Pseudo-Riemannian almost product manifolds and submesions / A. Gray // J. Math, and Mech. 1967. - 16, N7. - P.715-737.

30. Gray'A., Hervella Luis M. The sixteen Classes of almost Hermitian manifolds and their lineare invariants / A. Gray, M. Luis Hervella // Ann. mat. pura ed appl. 1980. - 123. - P.35-58.

31. Gudmundsson S., Kappos E. On the geometry of the Tangent Bundle with the Cheeger-Gromoll Metric / S. Gudmundsson, E. Kappos // Tokyo J.Math.2002. Vol.25, N1. - P.75-83.

32. Johnson, David L., Whitt, Lee B. Totally geodesic foliations / David L. Johnson, Lcc B. Whitt // J. Differential Geometry. — 1980. N15. — P.225-235.

33. Kawaguchi Tomoaki, Miron Raclu. On the generalized Lagrange spaces with the metric 7¿j(.т) + (^t)yiVj / T. Kawaguchi, R. Miron // Tensor, N.S.- Vol. 48. 1989. - P.52-63.

34. Kawaguchi Tomoaki, Miron Radii. Generalized Lagrange metric derived from a finsler function / T. Kawaguchi, R. Miron // Reports of Mathimatical Phisics. Vol. 30, N1. - 1991. - P.41-52.

35. Kovalski 0., Sekizawa M. Natural transformations of Riemannian metrics on manifolds to metrics on tangent bundles a classification / 0. Kovalski, M. Sekizawa // Bull. Tokyo Gakuci Univ. - 1988. - Sect IV, 40. - P. 1-29.

36. Kushner, A. Almost product structures and Monge-Ampere Equations / A. Kushner // Lobachevskij Journal of Mathimatics. — 2006. — Vol.23. — P.151-181.

37. Legrand G. Sur les variétés a structure de presque-produit complexe / G. Legrand // C. r. Acad. sci. 1956. - 242, N3. - P.335-337. :

38. Legrand G. Structures presque hermitiennes au sens large / G. Legrand // C. r. Acad. sci. 1956. - 243, N19. - P.1392-1395.

39. Legrand G. Etude d'une generalisation des structures presque complexe sur les variétés differentiables / G. Legrand // Rend. Circolo mat. Palermo.- 1958. 7, N3. - P.323-354; - 1959. - 8, N1. - P. 5-48.

40. Legrand G. T structures sur les variétés differentiables / G. Legrand // C. r. Acad. sci. - 1960. - 250, N20. - P.3266-3268.

41. Legrand G. Une interpretation de la forme de courbure d:une connexion infinitesimale / G. Legrand // C.r.Acad. sci. 1960. - 250, N21. - P.3441-3442.

42. Legrand G. Notions diverses cle formes de torsion / G. Legrand // C.r.Acad. sci. 1963. - 256. N10. - P.2087-2088.

43. Miquel, V. Some examples of Riemannian almost-product manifolds / V. Miquel // Pasif J. Math. 1984. - 111, N1. - P.163-178.

44. Mishra, R.S. On almost product and almost decomposable manifolds / R.S. Mishra // Tensor, N.S. 1970. - 21, N3. - P.255-260.

45. Montesinos, A. On certain classes of almost product structures / A. Montesinos // Mich. Math. J. 1983. - 30, N1. - P.31-36.

46. Naveira, A.M. A classification of Riemannian almost-product manifolds / A.M. Naveira // Rend. mat. cappl. 1983. - 3, N3. - P.577-592.

47. Niminct V. New geometrical properties of generalized Lagrange spaces of relativistic optics / V. Niminet // Tensor, N.S. — Vol.68. 2007. - P.66-70.

48. Papaghiuc, N. A locally symmetric pseudo-Riemannian structure on the tangent bundle / N. Papaghiuc // Publ. Math. Debrecen. — 59, N3-4 — 2001. P.303-315.

49. Pripoae, Gabriel Teodor. A sharper classification of semi-riemannian almost product manifolds / Gabriel Teodor Pripoae // Tensor, N.S. — 2005.- Vol.66. P.9-17.

50. Sasaki Shigeo. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds 1 / S. Sasaki // Tohoku Math. Jour.— 1958 -10, N3. -P.338-354.

51. Sasaki Shigeo. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds II / S. Sasaki // Tohoku Math. Jour.- 1962 -14, N2. — P.146-155.

52. Sekizawa, M. Curvatures of Tangent Bundle with the Chccgcr-Gromoll Metric / M. Sekizawa // Tokvo J.Ma.th. — 1991. — Vol.14. N2. P.407-417.

53. Singh, U.P. On the generalized Lagrange space ancl corresponding lagrange spacc arising from the metric tensor gij(x.y) 4- (1 /c2)yiyj / U.P. Singh // Indian J. pure apple Math. 2004. - 35(4). - P.501-512.

54. Stepanov, S.E. An integral formula for a Riemannian almost-product manifold / S.E. Stepanov // Tensor, N.S. 1994. - Vol.55. - P.209-214.

55. Stepanov, S.E. Riemannian almost product manifolds and submersions / S.E. Stepanov // Journal of Mathematical Sciences. — 2000. — Vol.99, N6.- P. 1788-1810.

56. Yano Kentaro, Kon Masahiro. CR Submanifolds of Kaehlerian and Sasakian Manifolds / K. Yano, M. Kon. — Boston; Basel; Stuttgart: Birkhauscr. 1983. - 213p.Список публикаций автора по теме диссертации

57. Панъжсиский В.И. К геометрии пространств с метрикой Тамма / В.И. Паиьженский, О.В. Сухова // Лаптевскис чтения: Сборник трудов Международного геометрического семинара им. Г. Ф. Лаптева. Пеи-за:ПГПУ, 2004. - С. 95-101.