Резонансные свойства детерминированных математических моделей и устойчивость функционирования технических систем с гистерезисными нелинейностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Толоконников, Павел Вячеславович

• Толоконников, Павел Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Толоконников, Павел Вячеславович

Введение

Глава 1 Постановка задачи и краткий обзор способов ее решения

1.1 Постановка задачи для систем дифференциальных уравнений

1.2 Обзор работ на тему гармонического и параметрического резонанса f 1.3 Гистерезисные преобразователи

1.3.1 Обобщенный люфт

1.3.2 Неидеальное реле

1.3.3 Преобразователь Прейсаха

1.3.4 Преобразователь Ишлинского 26 t 1.4 Диссипативность

1.4.1 Свободные колебания диссипативных систем

1.4.2. Диссипативные системы с конечным числом степеней свободы

1.5 Понятие резонанса

1.5.1 Гармонический резонанс

1.5.2 Параметрический резонанс

Глава 2 Диссипативность систем дифференциальных уравнений с гисте-резисными нелинейностями

2.1 Определение диссипативности систем и устойчивости систем по Лагранжу

2.2 О диссипативности одного класса систем с гистерезисными нелинейностями

2.3 О диссипативности одного класса систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями

Глава 3 Исследование резонансных свойств уравнения Матье, содержа! щих гистерезисные нелинейности

3.1 Физические (механические и электрические) процессы, приводящие к уравнениям, в которых возможен параметрический резонанс

3.1.1 Механические процессы, приводящие к уравнениям, в кото! рых возможен параметрический резонанс 76 1 3.1.2 Электрические процессы, приводящие к уравнениям, в которых возможен параметрический резонанс

3.2 Анализ классического уравнения Матье и его возможные обобщения

3.2.1 Гармоническое параметрическое возбуждение. Области неустойчивости'уравнения Матье — 83 5 3.2.2 Определение областей неустойчивости уравнения' Матье —

Хилла в общем случае

3.2.3 Влияние диссипации на устойчивость параметрически возii буждаемых систем

3.3 Постановка задачи для уравнений типа Матье с гистерезисными нелинейностями

3.4 Численная реализация решения уравнения Матье с гистерезисными нелинейностями, блок-схема, результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Резонансные свойства детерминированных математических моделей и устойчивость функционирования технических систем с гистерезисными нелинейностями»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многие модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, экономики, биологии и т.д. сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных функциональных нелинейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле; электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы; экономические циклы в условиях «гистерезисного» поведения экономических агентов, системы автоматического регулирования, обратная связь которых включает гистерезисные звенья). Одним из аспектов исследования этих моделей является изучение их резонансных свойств. В частности, важную практическую роль играет диссипативность систем - наличие области в фазовом пространстве систем, обладающей тем свойством, что всякое решение, исходящее из нее остается ограниченным при неограниченном возрастании времени. Особую важность приобретает эта задача в ситуации, когда система находится под периодическим воздействием резонансной частоты. Вопросу изучения резонансных свойств систем дифференциальных уравнений в условиях, когда правая часть периодична, посвящено достаточно много работ (С.П. Кузнецов, И.Д. Папалески, В.В. Болотин, Н.В. Жинжер, М.А. Красносельский, А.В. Покровский, Д.И. Рачинский и многие другие). Диссипативность моделей в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены работы А.А. Андронова, JL Чезари, Р.А. Нелепина, С.П. Кузнецова, И.Д. Папалески, В.В. Болотина, A.M. Красносельского, А.В. Покровского, М.Е. Семенова и ряда других ученых.

В последнее время существенно возрос интерес к системам, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями со сложными нелиней-ностями, в том числе и гистерезисной природы. Это обуславливается необходимостью как можно более полного и адекватного моделирования реальных физических, экономических, биологических и других систем.

Однако, к настоящему времени отсутствуют эффективные методы анализа моделей систем с гистерезисными нелинейностями, с периодической правой

частью резонансной частоты. Возможность создания таких методов основывается на развитой М.А. Красносельским, А.В. Покровским и их учениками, операторной трактовке гистерезисных нелинейностей. В связи с вышеизложенным, является актуальной задача изучения резонансных свойств моделей систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями.

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления кафедры ПМиЭММ Воронежской государственной технологической академии — «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г.р. 01200003664.

Цель работы. Исследование резонансных свойств моделей систем с сосредоточенными параметрами, описываемых дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями.

Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач: -выделение класса моделей систем с периодическим внешним воздействием, описываемых дифференциальными уравнениями с гистерезисными нелинейностями;

-выявление зависимости гармонических резонансных свойств систем с гистерезисом от амплитуды внешнего периодического воздействия; -формулировка и доказательство теорем об областях диссипативности моделей систем с гистерезисными нелинейностями; -построение областей устойчивости (неустойчивости) параметрически возбуждаемых систем с гистерезисом; численные эксперименты и апробация предложенных алгоритмов.

Методы исследования. При выполнении работы использовались операторная трактовка гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

-условия диссипативности (а также недиссипативности) класса уравнений, являющиеся математическими моделями систем с гистерезисными свойствами, находящиеся под внешним воздействием резонансной частоты;

- условия, обеспечивающие диссипативность выделенного класса уравнений (типа уравнений Матье) с аддитивными гистерезисными нелинейностями;

-алгоритм построения областей устойчивости (неустойчивости) уравнений Матье с гистерезисными нелинейностями;

- условия, обеспечивающие диссипативность класса моделей систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью. Практическая ценность работы. Глобальные характеристики наличия или отсутствия резонанса, приведенные в работе, позволяют на этапе проектирования технических систем прогнозировать их резонансные свойства. Результаты работы применимы для анализа и построения областей диссипативности систем, математические модели которых сводятся к системам дифференциальных уравнений, в том числе и с гистерезисными нелинейностями. Предложенные в работе алгоритмы и условия позволяют проводить этот анализ и исследование резонансных свойств.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (г.Сочи - Дагомыс, октябрь 2005 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г.Воронеж, декабрь 2005 г.), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г.Воронеж, март 2006 г.), XLIV отчетной научной конференции за 2006 год (г.Воронеж, апрель 2006 г.), международная научно-практическая конференция: «Образование, наука,-производство и управление» (Московский институт стали и сплавов - г.Ст.Оскол ноябрь 2006 г.); ИГ международная научно-техническая конференция: «Современная металлургия начала нового тысячелетия» (Липецкий государственный технологический университет - г.Липецк ноябрь 2006), международная научная конференция: «Сложные системы управления и менеджмент качества CCSQM'2007» (Старооскольский технологический институт (филиал) Московского института стали и сплавов,— 5 г.Ст. Оскол март 2007г.), международная научно — практическая конференция: «Образование, наука, производство и управление» (Старооскольский технологический институт (филиал) Московского института стали и сплавов — г.Ст. Оскол ноябрь 2007г.), научно — техническая конференция ОАО «ОЭМК» (ноябрь 2007г.), на семинарах кафедры ПМиЭММ ВГТА и кафедры АиПЭ СТИ-МИСиС за 2005, 2006 гг.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ. Из них одна - статья в научных журналах, включенных в "Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук".

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, состоит в следующем: построение областей диссипативности для различных классов моделей систем [66], [70], [71], [74]; доказательства утверждений о реализуемости предложенных алгоритмов [1], [62], [68], [72],; исследование резонансных свойств уравнений с гистерезисными нелинейностями [66], [67], [68], [73], [74], [75].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 85 наименований, изложена на 115 страницах и включает 35 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Толоконников, Павел Вячеславович

Заключение

В работе исследованы резонансные свойства систем с гистерезисными нелинейностями. Получены условия диссипативности одного класса систем с гистерезисными нелинейностями, систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями. Исследованы резонансные свойства уравнений Матье, содержащих гистерезисные нелинейности.

Перечислим основные результаты, полученные в работе:

1. Проведен анализ и получены условия диссипативности одного класса уравнений, являющиеся математическими моделями систем с гистерезисными свойствами.

2. Получены условия, обеспечивающие дисипативность одного класса уравнений (типа уравнений Матье) с гистерезисными нелинейностями.

3. Для уравнений Матье с гистерезисными нелинейностями предложен численный алгоритм построения областей устойчивости (неустойчивости).

4. Для одного класса моделей систем автоматического регулирования с гистерезисной обратной связью получены условия, обеспечивающие дисипативность.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Толоконников, Павел Вячеславович, 2008 год

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В .И: Арнольд. М. : Наука, 1974. - 431 с.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. -М. : Наука, 1975. 240 с.

3. Ахиезер Н.И. Элементы теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер.ч — М. : Наука, 1965.-407 с.

4. Байге X. Детерминированный хаос и сегнетоэлектричество / X.Байге, М. Дистельхорс, С.Н. Дрождин // Материалы семинаров НОЦ "Волновые процессы в неоднородных средах". — 2003. — С. 9-22.

5. Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. -М. : Физматгиз, 1963. 503 с.

6. Болотин В.В. Численный анализ устойчивости линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. / В.В. Болотин: Избранные проблемы прикладной механики. М., изд. ВИНИТИ, 1974, с. 155—166.

7. Воронов А.А. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость / А.А. Воронов. М. : Наука, 1979. - 335 с.

8. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. М. : Наука, 1967.-416 с.

9. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. М. : Высш. шк., 2001. — 395 с.

10. Гребенников Е.А. Новые качественные методы в нелинейной механике / Е.А. Гребенников, Ю.А. Рябов. М. : Наука, 1971. - 432 с.

11. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. М. : Наука, 1966. - 664 с.

12. Жинжер Н.И. О дестабилизирующем влиянии трения на устойчивость неконсервативных упругих систем . / Н.И. Жинжер «Изв. АН СССР. МТТ», 1968, № 3, с. 44—47.

13. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М. : Наука, 1976. - 576 с.

14. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. -М. : ИЛ, 1958. 476 с.

15. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями / Л. Коллатц. — М. : Наука, 1968. 500 с.

16. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М. : Наука, 1976. - 542е.

17. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного* анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко — М. : Наука, 1975, 325 с.

18. Красносельский М.А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов М. : Наука, 1970. -351 с.

19. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом / М.А. Красносельский, А.В. Покровский М.: Наука, 1983. - 271с.

20. Красносельский М.А. Векторные поля на плоскости / Красносельский М.А. и др.. М. : Физматгиз, 1963. - 248 с.

21. Красносельский М.А. К теории периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский // "УМН". 1966. -21, №3.-С. 53-74.

22. Красносельский М.А. О применении методов нелинейного функционального анализа в задачах о периодических решениях уравнений нелинейной механики / М.А. Красносельский // "ДАН СССР". 1956. - т. 111, № 2. -С. 283-286.

23. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966. -332 с.

24. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // "Труды Междунар. симпозиума по нелин. колеб.". 1963. - № 2 - С. 202-211.

25. Красносельский М.А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // "ДАН СССР". 1958. - т. 123, № 2. - С. 235-238.

26. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин // "ДАН СССР". 1964. - т. 156, № 5. -С. 1022-1024.

27. Красносельский М.А. О вычислении вращений вполне непрерывных векторных полей, связанных с задачей о периодических решениях дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин "ДАН СССР". 1963.-т. 152, №3.-С. 540-543.

28. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев М.: Наука, 1985. - 256 с.

29. Красносельский М.А. Математическая теория систем / под ред. М.А. Красносельского. М. : Наука, 1986. - 166 с.

30. Красносельский М.А. О динамике систем управления, описываемыхуравнениями параболического типа с гистерезисными нелинейностями /

31. М.А. Красносельский, А.В. Покровский, Ж. Тронель, В.В. Черноруцкий // Автоматика и телемеханика. 1992. -№ 11.- С. 65-71.

32. Красносельский A.M. О континуумах циклов в системах с гистерезисом / A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Доклады РАН. 2001. - т. 378, №3.-С. 314-319.

33. Красносельский A.M. О существовании циклов у квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка / A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2001. -т. 5, № 1-2.-С. 143-151.

34. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. М. : Наука, 1965. - 520 с.

35. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский. Киев : Наукова думка, 1966. - 305 с.

36. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний / Ю.А. Митропольский. М. : Наука, 1964. - 431 с.

37. Митропольский Ю.А. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием / Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. Киев : Изд-во Киевского унта, 1969.-309 с.

38. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю.И. Неймарк. М. : Наука, 1972. - 471 с.

39. Нелепин Р.А. Об исследовании точными методами систем с двумя нелинейными элементами / Р.А. Нелепин. Изв. вузов, Радиофизика, 1965. -№3.

40. Нелепин Р.А. Об исследовании нелинейных автоматических систем высокого порядка точными аналитическими методами / Р.А. Нелепин // Докл. АН СССР.-1965.-т. 161.-№4.

41. Нелепин Р.А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем / Р.А. Нелепин. Л.: Судостроение, 1967. - 447 с.

42. Нелепин Р.А. Динамика одного класса систем автоматического управления при учете типовых нелинейностей / Р.А. Нелепин // сб. трудов ЛВВМИУ. 1969. - Вып. 32.

43. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / под ред. Р.А. Нелепина. М.: Наука, 1975. — 448 с.

44. Алгоритмический синтез нелинейных систем управления J под ред. Р.А. Нелепина. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. - 235 с.

45. Ортега Дж. Итерационные методы решения-нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. — М. : Мир, 1975. — 560 с.

46. Перов А.И. О задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений / А.И. Перов // в сб. "Приближенные методы решения дифференциальных уравнений", Вып. 2 — Киев : Наукова думка, 1964. -С. 115-134.

47. Перов А.И. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / А.И. Перов, А.В. Кибенко. Воронеж : ВГУ, 1969. —52 с.

48. Перов А.И. Периодические колебания / А.И. Перов. — Воронеж : ВГУ, — 1973.-50 с.

49. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов. Воронеж: ВГУ, 1981. - 196 с.

50. Перов А.И. Об одном методе приблиэ/сенного отыскания периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений / А.И. Перов // Вестник факультета ПММ. Воронеж, 2003. - Вып. 4. - С. 89-97.

51. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В.А. Плисе. — М.; Л. : Наука, 1964. 368 с.

52. Покровский А.В. Корректные решения уравнений с сильными нелинейностями / А.В. Покровский // "ДАН СССР". 1984. - т. 274, № 5. - С. 1037-1040.

53. Покровский А.В. Системы с сильными нелинейностями / А.В. Покровский // В кн.: Математическая теория систем. М. : Наука, 1989, С. 96 -112.

54. Покровский А.В. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями / А.В. Покровский, М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. 1990. - № 2. — С. 31-37.

55. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования / Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. — 1968.—№ 6. — С. 5-36.

56. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем дифференциальных уравнений / A.M. Самойленко // Укр. мат. журн., 1965. т. 17, № 4. - С. 82-93.

57. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы исследования периодических решений / A.M. Самойленко, Н.И. Ронто. Киев : Вища школа, 1976. -180 с.

58. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы в теории периодических решений уравнений с частными производными / A.M. Самойленко, Б.П. Ткач. Киев: Наук думка, 1992.-208 с.

59. Семенов М.Е. О континуумах вынужденных устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями / М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. -1994. -№ 8. С. 82-86.

60. Семенов М.Е. О континуумах периодических режимов в системах управления / М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. 1994. — № 8. -С. 95-97.

61. Семенов М.Е. Устойчивые колебания в системах с абстрактным гисте-резисным преобразователем / М.Е. Семенов // Вестн. Воронеж, гос,. унта, Естеств. Науки. -1998. -№2. С. 71-77.

62. Синицкий Л. А. Методы аналитической механики в теории электрических цепей/ Л .А. Синицкий. Львов : Вшца школа, 1978. - 138 с.

63. Толоконников П.В. О сходимости метода Пикара для дифференциальных уравнений с гистерезисньши нелинейностями / П.В. Толоконников,108

64. А.Н. Гулин // Материалы. XLIV отчетной научной конференции за 2006 год / Воронежской государственной технологической академии. — Воронеж, 2006.-4.2. С. 99.

65. Трубников Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями / Ю.В. Трубников, А.И. Перов. Минск : Наука и техника, 1986. -199 с.

66. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем / Е.Н. Розенвассер. -М. : Наука, 1969. 576 с.

67. Харди Г.Г. Неравенства / Г.Г. Харди, Д.Е. Литтльвуд, Г. Полна. М. : ГИИЛ,- 1948.-456 с.

68. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. — М. : Мир, 1966.-234 с.

69. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. — М. : ГИ-ИЛ, 1964. — 480 с.

70. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисной нелинейностью / В.А. Якубович // "ДАН СССР".- 1963.-т. 149, №2.

71. Якубович В.А., Стиржинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. / Якубович В.А., Стиржинский В.М. //М.: Наука, 1972.

72. Kalman R. Remaks on some control system. / Kalman R. // Com. Pure Appl. Math., 1962. V. 12, p. 112 - 126.

73. Ronto M. Numerical-Analitic Methods in the Theory of Boundary-Value Problems / M. Ronto, A.M. Samoilenko. New-York : World Scientific Publishing, 2001.-456 c.

74. Visintin A. Hyperdolic equations and hysteresis / A. Visintin. C.R. Acad. Sc. Paris. - 2001. - Serie I. - P. 315-320.